числовым рядом

www.themegallery.com
Числовые и функциональные ряды
Пусть дана последовательность вещественных чисел {a1, a2, a3, …,
an, …} .
Определение. Выражение a1 + a2 + a3 + …+ an +… называется

числовым рядом и обозначается
 ak
k 1
При этом: числа a1, a2, a3, …, an, … – называются членами ряда;
an – называют общим членом ряда (или n-м членом ряда).
По заданной последовательность чисел {a1, a2, a3, …, an, …}
построим последовательность
S1 = a1, S2 = a1 + a2, S3 = a1 + a2+ a3, …, S n = a1 + a2+ a3+ …+ an, …
Определение. Числа S1 , S2 , S3 , …, S n , … называются частными
суммами числового ряда.
Company Logo
www.themegallery.com
Числовые ряды
Определение. Если предел
существует и конечен, то
lim S n  S
n 
говорят, что числовой ряд сходится, а само значение предела, то есть
величину S, называют суммой числового ряда. Если этот предел не
существует или бесконечен, то говорят, что числовой ряд расходится.
Теорема 1. (Необходимый признак сходимости ряда) Если ряд
 ak сходится, то его общий член стремится к нулю, то есть
k 1
lim an  0 .

n
Следствие. (Достаточный признак расходимости ряда) Если условие

lim an  0 не выполнено, то ряд  ak расходится.
n
k 1
Company Logo
www.themegallery.com
Свойства числовых рядов
Теорема 2.

ряд  сak , с 
Если ряд
0, также

 ak
сходится и его сумма равна S, то
сходится и имеет место равенство


k 1
 cak  c   ak  сS .
k 1
k 1
Если члены расходящегося ряда умножить на с, то он будет расходящимся.
Теорема 3. Если ряды

 ak
k 1
k 1
и


( ak  bk )
 b сходится, то ряд 
k 1
k 1
также сходится и имеет место равенство
k

 (a
k 1
k


k 1
k 1
 bk )   ak   bk
.
Теорема 4. Если у сходящегося ряда отбросить конечное число первых
членов, присоединить конечное число членов или произвести перестановку
членов ряда, то это не повлияет на сходимость ряда.
Company Logo
www.themegallery.com
Свойства числовых рядов

Определение. Величина  ak называется

k  n 1
a
n-го слагаемого для ряда  k .
остатком ряда после
k 1
Если n-й остаток ряда сходится, то его сумму будем обозначать rn, т.е.

rn   an  k
k 1
Теорема 5. Если ряд сходится, то и любой его остаток сходится. Если
какой-то остаток ряда сходится, то ряд сходится, причем если

S   ak
n
Sn   ak
,
k 1
k 1
 n = 1, 2, …
Замечание. Если ряд
,

rn   an  k
, то
k 1
S=Sn+rn.

rn  0
 a сходится, то его остаток lim
n
k 1
k
.
Company Logo
www.themegallery.com
Признаки сходимости
знакоположительных рядов

Определение. Ряд a1+ a2+ a3+ …+ an+…=  ak все члены которого
k 1
неотрицательные (a k  0  k  N) называется знакоположительным.
Теорема 6. (Критерий сходимости знакоположительного ряда)
Для сходимости знакоположительного ряда
таточно, чтобы  М < +, n S n  М .

a
k 1
k
необходимо и дос-
Company Logo
LOGO
Спасибо за внимание