Задачи срешениями для 2

КОНКУРСНЫЕ ЗАДАНИЯ
-го тура областной Всероссийской студенческой олимпиады по
предмету «математика»
2 – 4 курсы
ТГАСУ, 9 апреля 2006 года
Все задания оцениваются в 10 баллов
Задача 1. Найти среднее значение квадрата расстояния точки круга (х - а) 2  ( у  в) 2  R 2 от начала
координат.
Решение. Обозначив через  ( х, у ) расстояние точки круга от начала координат, получим:


 2 ( х, у )  х 2  у 2 ; ( х, у )  ( х - а)2  ( у - в)2  R . По теореме о среднем имеем:
2
 ср
( х, у ) 
1
R
2
 
2
( х, у ) dx dy . Перейдя к полярным координатам по формулам
( x - a) ( y - в) 2  R
2
2
R
 x - a  rcos
1
2
( х, у ) 
d ( a 2  в 2 ) r  2r 2 ( a cos  в sin )  r 3 ) dr =
, получим  ср

2
y
в

rsin

R 0

0
1  2 2
R 4 
R2
=
.

R (a  в 2 ) 
 a2  в2 
2 
2
R 2 
Задача 2. Найти положительную дифференцируемую на [0, + ) функцию f (x ) , если известно, что при
 
х
замене независимой переменной ξ   f(t)dt она переходит в функцию e - .
0
х
Решение. По условию е
  f ( t )dt
0
х
= f (x )   f (t ) dt = - ln f (x ) . Дифференцируя, находим
0
df
1
1
f ( x )
.
 dx  -   x  c  f 
f (x )  
 f ( x )  ( f ( x )) 2 , причем f (0) =e0 = 1. Отсюда
f
xc
f ( x)
f2
1
С учетом начального условия f ( x ) 
.
x 1


 1
Задача 3. Пусть интеграл  f (x) dx сходится и равен J . Доказать, что интеграл  f  х -  dx также
х
- 
-
сходится и равен J .

0
 
1
 1
 1
Решение.  f  х -  dx =  f  х -  dx +  f  х -  dx = 1   2 . В каждом из интегралов делаем
х
х
х
- 
0 
- 
t  t2  4
t  t2  4
1
x

 t . Имеем x 
при х > 0,
при х < 0, т.е.
2
х
2





1 
t
t
 dt ,   1  f (t )1 
 dt . По признаку Абеля интеграл
1   f (t )1 
2




2
2
2 
2

t 4
t 4




t
dt сходится, если сходится  f (t ) dt . Отсюда получаем, что 1 и  2 сходятся и
 f (t )


t2  4
замену переменной х -
1   2 =

1 
=
f
(
t
)

2
dt

 f (t ) dt .
2 

Задача 4. Вычислить
-xy
 y  3
D
log 3 (1  x 2 y 2 ) dx dy , где D – прямоугольник: -2005  х  2005, -2006  у  2006.
x x
1 0
U  -x
y V
Решение. Сделаем замену 
. J
=
= 1, D:
V

-y
0

1
y y

U V
 2005  U  2005
. Тогда

 2006  V  2006
   y  3 xy log 3 (1  x 2 y 2 ) dx dy =   V  3UV log 3 (1  U 2V 2 ) dU dV  - . Итак,      = 0.
D
D

Задача 5. Ряды  a n2000 x n и
n 0

2006 n
 an
n 0
x имеют одинаковые ненулевые радиусы сходимости. Сходится
 a
n 
n
n 0 3
ли ряд 
1  2000
1  2006








Решение. По условию задачи R  lim  an n 
= lim  a n n 
 0. Следовательно
n  
n  







lim a n
n
 a

n 0 3
1

n  1 . Это означает, что радиус сходимости ряда  a x n равен 1. Т.к. x  1  1  ряд
n
3
n 0
n сходится.
n
Задача 6. Имеется бесконечно много выключателей, каждый из которых срабатывает с вероятностью
p
1
(т.е., если вы его включили, то с вероятностью р он действительно включен, а с вероятностью 1 – р
2
выключен, и наоборот). Доказать, что из них можно составить сколь угодно хороший выключатель (т.е.
выключатель, который срабатывает в обе стороны с вероятностью, сколь угодно близкой к 1).
Решение. Рассмотрим последовательное соединение 2n участков, каждый из которых состоит из n параллельно подключенных выключателей, срабатывающих независимо друг от друга с вероятностью p 
1
.
2
n
Докажем, что при n   и фиксированном p 
2n
1
вероятности того, что эта схема будет срабатывать в
2
обе стороны стремится к 1. Если включить выключатели, то вероятность того, что на каждом участке из n
параллельно соединенных выключателей все они не сработают и цепь разомкнется (1  p) n . Вероятность
того, что вся система не сработает не превосходит 2 n (1  p) n  (2 – 2p)n  0 при n  , т.к. при p 
1
2
2  2 p  1 . Обратно, если выключить выключатели, то вероятность того, что цепь все же будет пропускать
n
ток равна q  (1  p n ) 2 . Рассмотрим ln q  2n ln (1  p n )  2 n ( p n )  (2 p) n   (воспользовались
неравенством ln( 1  u )  u , при u  (0; 1) ). Значит q  0 при n   .
Задача 7. Решить уравнение
хуу   уу   х 2(у )3  0 .
Решение. (хуу) = уу + хуу + хуу = уу + х (у)2 + хуу, отсюда хуу + уу = (хуу )  х (у)2. Подставляя последнее равенство в уравнение, получим (ху  у)  х (у )2 + х2 (у )3 = 0  (ху)у + хуу - х (у)2 + х2(у)3 = 0
  (ху)у = х2 (у )3  
( ху )
( ху ) 2

dx
1
у
1
 y ln cy – y = ln c1 x.

= ln cy  xy =
 ln cy dy =
x
ln cy
у
ху 