Doc1

ПРИДНЕСТРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ Т. Г. ШЕВЧЕНКО
КУРСОВАЯ РАБОТА
Тема: РЯДЫ ТЕЙЛОРА
Тирасполь 2019
Оглавление
1 Числовые ряды ......................................................................................................................................... 3
2 Функциональные ряды ............................................................................................................................ 7
2.1 Признаки сходимости функциональных рядов .............................................................................. 7
2.2 Свойства функциональных рядов ..................................................................................................10
2.3 Степенные ряды ..............................................................................................................................14
2.3.1 Ряды Тейлора – Маклорена.....................................................................................................17
2.3.2 Вывод формулы для ряда Маклорена....................................................................................18
2.3.3 Признаки сходимости рядов Тейлора – Маклорена .............................................................20
2.3.4 Разложение в ряд Тейлора дифференцированием ..............................................................22
3 Источники ................................................................................................................................................24
1 Числовые ряды
a1  a2  a3 

  an
 an 
n 1
Числовой ряд
суммируемым, если его частичные суммы
Sn  a1  a2 
 an имеют предел при n   .
S  lim Sn
n
Величина
ряда (тоже ряд).
Если
lim Sn
n
называется сходящимся, или
Rn  S  S n называется остатком
называется суммой ряда, а число
не существует либо он бесконечен, то ряд расходится.
R
Ряд сходится тогда и только тогда, когда для любого n остаток n сходится.

Необходимый признак сходимости. Если ряд
утверждение неверно.
a
n
n 1
сходится, то
lim an  0
n
. Обратное

Достаточный признак расходимости. Если
lim an  0
n

Свойства сходящихся рядов. Пусть
Тогда

a
n 1
n
 an  A
n 1

b
n 1
,

 a
 bn   A  B
n 1
;
n
n
, то ряд
B
и
a
n 1
n
расходится.
 – постоянная величина.
 A
.
Если ряд сходится, то сходятся также и другие ряды, полученные из исходного ряда
добавлением, удалением или перестановкой конечного числа членов. (Сумма ряда может
измениться).

Критерий Коши. Для сходимости ряда
всякого положительного числа
любом положительном
a
n 1
n
необходимо и достаточно, чтобы для
 можно было подобрать такое N , чтобы при n  N и
an1  an 2   an p  
p выполнялось неравенство
Пример 1.1. Исследовать сходимость рядов:
.
4n  3

а) n 1 5n  7 ;


б)
1
n
n 1
.
Решение. а) Проверим выполнение необходимого признака сходимости:
4n  3 4
 0
n 5n  7
5
.
lim an  lim
n
Необходимый признак сходимости не выполняется, следовательно, ряд расходится.

б) Ряд
1
n
1
0
называется гармоническим. Очевидно, n n
, т. е. общий член
lim
n 1
стремится к нулю. Покажем, что этот ряд расходится. Используем критерий Коши. Следует
a  an 2 
доказать, что   0  N n  N , p : n1
В качестве
 an p  
.
 выберем число 1 2 . Берем любое N и любое n  N . Пусть p  n .
Тогда
1
1


n 1 n  2

1
1
1



2n 2n 2n

1
n 1

 
2n 2n 2
n раз
.

Пример 1.2. Исследовать на сходимость ряд
 nn
n 1
2
1
 3n  2 
и найти его сумму.
Решение. Используя метод неопределенных коэффициентов, представим общий
an 
член ряда
an 
1
1

n  n  3n  2  n  n  1 n  2 
2
в виде суммы простейших дробей:
1
A
B
C
1 1
2
1 
 

  


n  n  1 n  2  n n  1 n  2 2  n n  1 n  2 
1 1
1
1
1 
  



2  n n 1 n 1 n  2 .
Таким образом,
1 1 1 1 11 1 1 1
Sn  1           
2 2 2 3 2 2 3 3 4
11
1
1
1 
  



2  n n 1 n 1 n  2 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 1            
2 2 2 3 2 3 3 4 3 4 4 5

1
1
1
1 




n n 1 n 1 n  2 
1 1
1
1  1 1 1
1 
 1  


  

2  2 n 1 n  2  4 2  n 1 n  2  .
Так как
lim Sn 
n
1
1
4 , данный ряд сходится и его сумма равна 4 .
Пример 1.3. Пусть
q  1 . Доказать, что ряды

а)
 q n1
n 1

б)
;
 nq
n
n 1
сходятся и найти их суммы.
Решение. а) Используя формулы для суммы n первых членов геометрической
n
прогрессии, получаем

q
n 1

n 1
Sn   q k 1 
k 1
1
1  qn
lim Sn 
1  q , откуда следует, что n
1  q . Итак,
1
1  q , q  1.
n
б) Так как
Sn   kq k
k 1
Sn  Sn q   q  2q 2  3q 3 
  q 2  2q 3  3q 4 
 q  q 2  q3 
Откуда
, то
 nq n  
 n  1 q n  nq n1  
 q n  nq n1 .
Sn 1  q  
Sn 
q 1  q n 
1 q
q
1  q 
2

 nq n1
;
q n1
1  q 
2
nq n1

1 q
lim qn1  0,
q

1
Если
, то n
lim Sn 
поэтому существует

q
 nq  1  q 
т. е.
n
n 1
n
2
.
.
lim nqn1  0
n
q
1  q 
2
,
;
2 Функциональные ряды
2.1 Признаки сходимости функциональных рядов
Пусть задана последовательность функций un ( x ) , определенных на множестве
ER.

Функциональный ряд
 u ( x) называется сходящимся в точке x
n 1
0
n

числовой ряд

, если сходится

 u ( x ) . Если сходится ряд  u ( x ) , то ряд  u ( x)
n 1
n
0
n 1
n
0
n 1
называется
n
абсолютно сходящимся в точке x0 .
Если функциональный ряд сходится в каждой точке x  E , то этот ряд называют
сходящимся на множестве
E.

Множества значений x , для которых сходятся ряды
 u ( x)
n 1
n

 u ( x) ,
и
n
n 1
называются соответственно областью сходимости и областью абсолютной сходимости ряда

 u ( x) .
n 1
n
Функция Sn  x  

n
 u ( x)
k 1
k
называется n -й частичной суммой ряда
 u ( x) , а
n 1
предел последовательности частичных сумм сходящегося на множестве
n
E ряда называют
его суммой:
S  x   lim S n  x  .
n 

В простейших случаях для определения области сходимости ряда
 u ( x)
n 1
n
достаточно применить к этому ряду известные признаки сходимости числовых рядов,
считая x фиксированным.
Последовательность функций
множестве
E , если:
 f  x 
n
называется равномерно сходящейся на
xE;
1) существует предельная функция f ( x)  lim f n ( x)
n
  0 можно указать число N  N   такое, что
2) для любого числа
f  x   f n  x    для всех n  N и для всех x  E .

 u ( x) называется равномерно сходящимся на множестве
Функциональный ряд
n
n 1
E , если на этом множестве равномерно сходится последовательность его частичных сумм
Sn ( x) или остаток ряда Rn  x    S  x   Sn  x  

 u  x
k n 1
k
равномерно сходится к
нулю.

Критерий Коши. Ряд
 u ( x) равномерно сходится на множестве E тогда и только
n
n 1
тогда,
  0 N  N ( )  0 n  N p  N x  X
когда
un1 ( x) 
 un  p ( x )   .
Признак
Вейерштрасса.
Пусть
для
всех x  E
выполняется


n 1
n 1
неравенство
un ( x)  bn . Пусть, кроме того, числовой ряд  bn сходится. Тогда ряд  un ( x) сходится
на множестве
E абсолютно и равномерно.
В случае, когда выполняется неравенство un ( x)  bn ,

 un ( x) мажорируется рядом
n 1
n  1,2,
, говорят, что ряд

b .
n 1
n

Признак Абеля. Ряд
 a  x  b  x  сходится равномерно на множестве E , если:
n 1
n
n

1) ряд
 a  x  равномерно сходится на множестве E ;
n 1
n
2) функции bn  x  ограничены в совокупности и при каждом x образуют
монотонную последовательность.

Признак Дирихле. Ряд
 a  x  b  x  сходится равномерно на множестве E , если:
n
n 1
n
N
1) частичные суммы
 a  x  в совокупности ограничены;
n 1
n
2) последовательность функций bn  x  монотонна для каждого x и равномерно на
E стремится к нулю при n   .
2.2 Свойства функциональных рядов
1. Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций есть функция
непрерывная.

2. Если члены ряда
 u ( x) непрерывны и этот ряд равномерно сходится к своей
n 1
n
сумме S ( x) на отрезке  a; b , то ряд можно почленно интегрировать, т. е. x   a; b 
выполняется равенство
x
x 
a
a n 1
 x
 S (t )dt    a (t )dt   a (t )dt ,
n
n 1 a
n
причем полученный функциональный ряд тоже будет сходиться равномерно.

 u ( x) непрерывно дифференцируемы на отрезке
3. Если члены сходящегося ряда
n 1
 a; b , а ряд производных
n

 u ( x )
n 1
n
равномерно сходится на отрезке

 u ( x)
n 1
сходится
n
равномерно
на
отрезке
 a; b
и
 a; b ,
допускает
то ряд
почленное
дифференцирование, т. е.
 
 
S ( x)    un ( x)    un ( x) .
 n1
 n1
Пример 2.1. Доказать равномерную сходимость функциональных рядов в указанных
промежутках:

xn
а)  2 на отрезке  1; 1 ;
n 1 n

б)
cos nx
на всей числовой прямой;
2n
n 1


в)
n
n 1
1
на всей числовой прямой.
2
 x2
Решение. Воспользуемся признаком Вейерштрасса. Тогда:
xn
1
а) Т. к. при x  1 выполняется неравенство 2  2 , а ряд
n
n

1
n
n 1
2
сходится, то

xn
ряд  2 равномерно и абсолютно сходится на отрезке  1; 1 .
n 1 n

б) Ряд
cos nx
равномерно и абсолютно сходится на всей числовой прямой, т. к.
2n
n 1

cos nx 1
 x , а ряд
2x
2

1
2
n 1
в) Неравенство
n
сходится.
1
1
 2 выполняется при любом x . Числовой ряд
2
2
n x
n

сходится. Следовательно, ряд
n
n 1

1
n
n 1
2
1
равномерно и абсолютно сходится на всей
2
 x2
числовой оси.
Пример 2.2. Найти область сходимости и абсолютной сходимости ряда:


ln n ( x)
а) 
;
n
n 1
б)

n 1
 1
n
2n1
1 x 

 .
1 x 
n
ln n x
Решение. а) Обозначив un 
, будем иметь
n
n1
u
ln x n
n
lim n1  lim
 ln x lim
 ln x .
n
n u
n
n  n  1
n

1
ln
x


n
На основании признака Даламбера можно утверждать, что ряд сходится абсолютно,
если
ln x  1, т. е. при 1 e  x  e ; ряд расходится, если ln x  1 , т. е. если
x   , 1 e    e,    . При x  e получаем гармонический ряд

1
n,
который
n 1


расходится, а при x  1 e – ряд
 1
n
, который (по признаку Лейбница) сходится
n
n 1
условно.
1

1

 область сходимости,  ; e   область абсолютной
e 
Таким образом,  ; e 
e 
сходимости.
б) Обозначим un
 1

n
1 x 

 . Имеем
1 x 
n
2n1
u
2n1 1  x
lim n1  lim n2
n u
n 2
1 x
n

Ряд

n 1
 1
2
n
n 1
1 x 


1 x 
n1
n
1 x
1 1 x
.

1 x
2 1 x
n
сходится абсолютно, если
1 x
 2 , т. е. при
1 x
3  x  1 3 ; ряд расходится, если x   ;  3   1 3;    . При x  3 получаем

1
ряд  , а при x  1 3 – ряд
n 1 2


 1
2
n 1
Таким образом,  3; 1 3
n
. Оба ряда расходятся.
 область сходимости и абсолютной сходимости ряда.

Пример 2.3. Доказать, что ряд
x
n
не сходится равномерно в интервале  1; 1 ,
n 0
но сходится равномерно на всяком отрезке, лежащем внутри этого интервала.
Решение. Пользуясь формулой суммы геометрической прогрессии, получим при
x 1
x n1
Rn ( x)   x 
.
1 x
k  n 1

k
Интервал  1; 1 содержит точки, сколь угодно близкие к точке x  1 , а так как
x n1
lim Rn  x   lim
  , то, как бы велико ни было число n , найдутся точки x , для
x1
x1 1  x
которых Rn  x  больше любого, сколь угодно большого числа. Следовательно, нельзя
подобрать такое N , чтобы при n  N неравенство Rn  x    имело место во всех точках
интервала
 1; 1 . Это означает, что сходимость ряда в интервале  1; 1
не является
равномерной.
Возьмем лежащий внутри интервала  1; 1 отрезок  1   ; 1    , где  – сколь
угодно малое положительное число. На этом отрезке
x  1    . Поскольку числовой ряд
n
n

 1   
n
x  1   , следовательно,
сходится, то, по признаку
n 0

Вейерштрасса, ряд
x
n 0
1   ; 1    .
n
сходится абсолютно и равномерно на любом отрезке
2.3 Степенные ряды

Функциональный ряд вида
a x
n 0

n
n
a x  x 
, или
n 0
n
0
n
, называется степенным
рядом.

Теорема Абеля. Если степенной ряд
a x
n 0
n
n
сходится в точке x  x0  0 , то он
сходится абсолютно для любого значения x такого, что x  x0 , а если этот ряд
расходится в точке x  x0  0 , то он расходится при всяком x , для которого x  x0 .

Для всякого степенного ряда
a x
n 0
n
n
существует неотрицательное число
R такое,
что ряд абсолютно сходится на интервале x  R .
Число
R называется радиусом сходимости ряда, а интервал   R; R  – интервалом
сходимости ряда.

Для радиуса сходимости
R степенного ряда
a x
n 0
R  lim
n
an
;
an1
R  lim
n n
1
n
n
справедливы формулы:
.
an
Пользоваться этими формулами следует осторожно, т. к. пределы, стоящие в правых
частях формул, могут не существовать. Это, например, имеет место, если ряд содержит
члены только с четными или нечетными степенями x . В таких случаях при определении
интервала сходимости следует применять признаки Даламбера или Коши непосредственно.

Степенной ряд
a x
n 0
n
n
представляет собой функцию, непрерывную на интервале
  R; R  , где R  радиус сходимости ряда.

a x
r  R . Тогда ряд
Пусть
n 0
n
n
сходится на множестве x  r абсолютно и
равномерно.
Дифференцирование и интегрирование степенного ряда. Если степенной ряд

f  x    an x n имеет радиус сходимости R  0 , то:
n 0
1) в интервале сходимости   R; R  функция f  x  имеет производные любого
порядка, получаемые почленным дифференцированием ряда;
2) внутри интервала сходимости этот ряд можно почленно интегрировать, т. е.
x

0
x n1
;
f  t  dt   an
n 1
n 0


3) степенные
ряды,
получаемые
из
ряда
a x
n 0
n
n
при
почленном
дифференцировании и интегрировании, имеют тот же радиус сходимости, что и исходный
ряд.
Пример 2.4. Найти область сходимости и абсолютной сходимости ряда:


xn
а) 
;
n 0 n !
б)
n 1
2n  x  1
в) 
;
2
n 1 n ln  n  1

Решение. а)
n

г)
2n  1
n
 x  1 ;
2
2
 3n
3
n2
2
xn .
n 1
R  lim
n
an
 n  1!  lim n  1   . Ряд абсолютно
 lim
 
n
an1 n n!
сходится на всей числовой прямой.
2
2n  1  3n  6n  5 
an

б) R  lim
 lim
 1. Ряд сходится абсолютно, если
n  a
n 3n 2  2

  2n  3 
n 1
2n  1
, который
2
3
n

2
n 1

x  1  1, т. е. в интервале  0;2  . При x  2 получаем числовой ряд 
расходится, т. к. для его общего члена an справедлива асимптотическая формула
an
2  3n  . В точке x  0 получаем знакочередующийся ряд

  1
n 1
n
2n  1
,
3n 2  2
сходящийся по признаку Лейбница. Следовательно, область сходимости ряда –
полуинтервал 0; 2  , а область абсолютной сходимости – интервал  0;2  .
2n
 n  1 ln  n  2   1 . Ряд сходится абсолютно, если
R  lim
2
n n ln  n  1
2n1
2
2
в)
x  1  1 2 , т. е. в интервале  3 2; 1 2  . При x  3 2 и x  1 2 ряд абсолютно
сходится, т. к. по интегральному признаку сходится ряд

1
 n ln  n  1 .
n 1
2
Поэтому область абсолютной сходимости ряда – отрезок  3 2; 1 2 .
г) Обозначим un  3 x . Вычислим
n2
lim n un  lim n 3n x
2
n
n
n2
n2
 lim  3 x  .
n
n
Очевидно, предел существует, если 3 x  1 , т. е. x  1 3 . При x  1 3 ряд
расходится (не выполняется необходимое условие сходимости). Следовательно, область
сходимости и абсолютной сходимости ряда – интервал  1 3; 1 3 .
2.3.1 Ряды Тейлора – Маклорена
Ряды Тейлора являются степенными рядами, которые используются для
аппроксимации различных функций, что в ряде случаев значительно упрощает их анализ и
преобразование таких функций. Традиционно ряд Тейлора определяют следующим
образом:
∞
f (k) (a)
f(x) = ∑
(x − a)k
k!
k=0
При этом предполагается, что функция f(x) бесконечно диффериецируемая в окрестности
точки a.
С математической точки зрения бесконечная длина такого ряда не является препятствием
для его рассмотрения и дальнейших аналитических преобразований. С точки зрения
реальных вычислений, приходится ограничиваться некоторой конечной длиной ряда.
Иными словами, приходится ограничивать верхний индекс ряд Тейлора некоторым
конечным значение N, что приводит ряд к следующему виду:
N
f (k) (a)
f(x) = ∑
(x − a)k + R N
k!
k=0
где R N называют остаточным членом, то есть, некоторым числом, которое отражает ошибку
представления функции ограниченным рядом, а его значение оценивают (как правило, в
форме Лагранжа) следующим образом:
RN =
f(N+1) (δ)
(x
(N+1)!
− a)N+1, a < δ < x
При выполнении условия, когда все производные вычисляются в нулевой точке, ряд
Тейлора приобретает вид, известный как ряд Маклорена:
N
f (k) (0) k
f(x) = ∑
(x) + R N
k!
k=0
2.3.2 Вывод формулы для ряда Маклорена
Классический вывод коэффициентов степенного ряда в форме ряда Маклорена
получается путем аналитического дифференцирования степенного ряда записанного в
общем виде. Пусть является возможным представить некоторую функцию следующим
степенным рядом:
f(x) = b0 + b1 x1 + b2 x 2 + b3 x 3 + b4 x 4 + ⋯ + bN x N + R N
Поскольку степенной ряд достаточно просто дифференцировать, вычислим все его
производные до N-го порядка включительно:
f (1) (x) = b1 + 2 ∙ b2 x1 + 3 ∙ b3 x 2 + 4 ∙ b4 x 3 + ⋯ + N ∙ bN x N−1
f (2) (x) = 2 ∙ b2 + 3 ∙ 2 ∙ b3 x1 + 4 ∙ 3 ∙ b4 x 2 + ⋯ + N ∙ (N − 1) ∙ bN x N−2
f (3) (x) = 3 ∙ 2 ∙ b3 + 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ b4 x1 + ⋯ + N ∙ (N − 1) ∙ (N − 2) ∙ bN x N−3
f (4) (x) = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ b4 + ⋯ + N ∙ (N − 1) ∙ (N − 2) ∙ (N − 3) ∙ bN x N−4
Далее, применяя индукцию можно записать:
f (N) (x) = N ∙ (N − 1) ∙ (N − 2) ∙ (N − 3) ∙∙∙∙∙ (N − (N − 1)) ∙ bN x N−N
или
f (N) (x) = N! ∙ bN
Вычислим все эти производные в нулевой точке (то есть, при x = 0). В этом случае, все
члены суммы, содержащие x, кроме 1, обнулятся и вычисленные производные примут вид:
f (1) (0) = b1
f (2) (0) = 2! b2
∙∙∙
f (N) (0) = N! ∙ bN
Соответственно коэффициенты, можно легко определить следующим образом:
bk =
f (k) (0)
k!
0≤k≤N
что автоматически позволяет перезаписать исходный степенной ряд в виде ряда Маклорена:
N
f(x) = ∑
k=0
Действительно, если
d
dx
1
(x)k + R N
k!
(ex ) = ex , а любое число в нулевой степени равно единице, то
производные всех порядков функции вычисленные в нуле, будут равны единицам и
соответствующий ряд примет приведенный выше вид. x e Однако, следует также отметить
функции, которые для их представления в компактной форме рядом Маклорена,
дополнительно требуют вычисления специальных чисел, таких как числа Бернулли или
числа Эйлера в форме представления таких чисел для рядов Тейлора. Так, например,
тангенс:
tg(x) = x +
x3
3
+
2x5
15
+
17x7
315
+ ⋯ = ∑∞
k−1
B2k (−4)k (1−4k ) 2k−1
x
(2k)!
π
+ R N , |x| < 2 ,
B2k - число Бернулли
или секанс:
∞
sec(x) = ∑
k=1
E2k (−1)k 2k
x + RN
(2k)!
|x| <
π
2
E2k - число Эйлера
Эти специальные числа мы рассмотрим несколько позже, а пока сосредоточимся на
вопросах возможности и точности представления функций с помощью рядов Тейлора и
Маклорена.
2.3.3 Признаки сходимости рядов Тейлора – Маклорена
Исходное требование, которое формулируется при выводе формул для рядов
Тейлора и Маклорена предполагает существование у функции производных любых
порядков. Как правило, это подразумевает, что их значения f (k) (a), являются конечными
величинами.
Иначе:

в случае принципиальной невозможности определения одной или нескольких
производных, неопределённой будет и вся сумма;

в случае и бесконечно больших значений (с одним знаком) одной или нескольких
производных вся сумма будет бесконечно большой величиной; x ≠ 0

в случае и знакопеременных бесконечных значений у нескольких производных,
вопрос о конечности всей суммы становится нетривиальным и требует отдельного
анализа. x ≠ 0
Требование конечных значений всех производных, хотя и является необходимым условием,
однако не является условием достаточным, поскольку бесконечная сумма конечных
величин, также может приводить к бесконечно большим значениям.
Таким образом, вопрос о возможности представления функций с помощью рядов Тейлора
и Маклорена, помимо требования существования у функции конечных производных любых
порядков, должен включать и требование об обязательной сходимости этих рядов.
Вопросы сходимости числовых рядов исследовались многими математиками. В результате
исследований, было формулировано достаточно много критериев и признаков для анализа
сходимости рядов. Наиболее общим является критерий Коши сходимости числового ряда.
На основе этого критерия были доказаны признаки сходимости рядов, которые
преимущественно используются для проверки сходимости рядов Тейлора и Маклорена, а
именно:
а) Признак Даламбера, который формулируется следующим образом:
Если не равные нулю знакоположительные члены pk некоторого ряда ∑∞
k=0 pk строго
удовлетворяют условию Dk+1 =
Pk+1
pk
< 1 для всех k, то данный ряд сходится.
б) Признак Даламбера в предельной форме, который формулируется следующим образом:
Если для не равных нулю знакоположительных членов pk некоторого ряда ∑∞
k=0 pk строго
выполняется log k→∞
Pk+1
Pk
= q < 1, то данный ряд сходится.
б) Признак Даламбера был обобщен Лейбницем для знакочередующихся рядов, то есть:
k
Если знакочередующиеся члены (−1)k pk некоторого ряда ∑∞
л=0(−1) ∙ pk удовлетворяют
условию 𝟎 < 𝐩𝐤+𝟏 < 𝐩𝐤 и выполняется 𝐥𝐢𝐦𝐤→∞ (𝐩𝐤 ) = 𝟎, то данный ряд сходится.
Из названных выше признаков, чаще всего, для проверки сходимости рядов, используется
признак Даламбера в предельной форме, либо его обобщение, выполненное Лейбницем.
Поскольку названные признаки оперируют с знакоположительными членами ряда, то для
анализа сходимости ряда удобно применять абсолютные величины этих членов.
Рассмотрим несколько примеров:
а) Для функции 𝐟(𝐱) = 𝐞𝐱 , признак обобщенный признак Даламбера использует следующее
отношение:
1
k
|pk+1 | (k + 1)! ∙ |x |
|x|
|Dk+1 | =
=
=
1
|pk |
(k + 1)
∙ |x k |
(k)!
для которого достаточно просто найти предел
limk→∞
|pk+1 |
|x|
1
= limk→∞
= |x| ∙ limk→∞
= |x| ∙ 0 < 1
|pk |
(k + 1)
(k + 1)
б) Для функции ln(x + 1) = ∑∞
k=1
(−1)k−1
k
x k соответствующий признак примет вид:
x k+1
|
|pk+1 |
k
k
k+1
|Dk+1 | =
|x| =
=
= |−1|
|x|
k
|x |
pk
k+1
k+1
k−1
|(−1)
|
k
|(−1)k
limk→∞
|pk+1 |
k ∙ |x|
k
1
= limk→∞
= |x| ∙ limk→∞
= |x| ∙ limk→∞
= |x| < 1
1
|pk |
(k + 1)
(k + 1)
(1 + )
k
Таким образом этот ряд сходится только на интервале −1 < x < 1. При выходе значения x за
границы этого неравенства ряд начнет расходиться и его значения уже не будут
соответствовать значениям аппроксимируемой функции.
2.3.4 Разложение в ряд Тейлора дифференцированием

Функцию f(x) требуется разложить в ряд вида

n 0
n
f    õ0 
 x  õ0 n и определить
n!
интервал  x0  R, x0  R  , в котором это разложение верно, т. е. выполняется равенство
(6). Нужно выполнить следующие действия:
1) найти производные f
( 0)
( x)  f ( x), f ( x), f ( x),  , f
(n)
( x),  ;
2) вычислить значения производных в точке õ0 ;
3) найти общую формулу f
 n  x и составить ряд (4);
 0
4) найти интервал сходимости ряда Dсх  ( x 0  R, x 0  R ) ;
5) определить точки x  Dсх , где lim rˆn ( x ) = 0, т. е. точки, в которых разложение
ï 
функции f(x) справедливо.
З а м е ч а н и е. В алгоритме А1 четвертый шаг мы будем выполнять частично, не
проверяя сходимость ф. р. (4) в граничных точках x  x0  R , а пятый шаг будем считать
выполнившимся автоматически: все f(x) будут у нас элементарными, и поэтому rˆn ( x )  0
при ï   для всех x  Dсх .
На практике часто ограничиваются получением нескольких начальных членов ряда, что
соответствует аппроксимации функции f(x) многочленом Тейлора Ðï  õ в некоторой
окрестности точки õ0 . Построение именно таких аппроксимаций требуется выполнить в
задачах типового расчета на алгоритм А1.
Стандартные разложения в степенные ряды
При помощи алгоритма А1 для многих простейших функций f(x) были получены
разложения в ряды Тейлора. Особенно часто используется таблица рядов Маклорена для
некоторых основных элементарных функций, в которую в разных учебниках включается
разное количество формул.
Таблица рядом Маклорена
ó ó2 ó3


1) å  1  
1! 2! 3!
ó



ï 0
óï
,
ï!
ó  R.
ó3 ó5 ó7
2) sin y  y 



3! 5! 7!
ó2 ó4 ó6
3) cos y  1 



2! 4! 6!

4) 1  ó   1   ó 
   1
2!

ó2 ï 1
,

 1
2
n

1
!


ï 0


ó2 ó4 ó6
7) ch y  1 



2! 4! 6!
ó3 ó5 ó7
8) arctg y  y 



3
5
7
ó  R.
ó2 ï
,

 1
2
n
!


ï 0

n

ó 

2

   1
ó  R.
  ï
ï!
ï 0

óï 1
,

 1
ï

1
ï 0
ó2 ó3 y 4
5) ln 1  y   y 



2
3
4
ó3 ó5 ó7
6) sh y  y 



3! 5! 7!
n

n
 1
óï ,
ó  1,1
ó  1,1 .

ó2 ï 1
,

2
n

1
!


ï 0

ó  R.

ó2ï
,

2
n
!


ï 0


ó  R.
ó2 ï 1
,

 1
2
n

1
ï 0

n
ó 1,1 .
3 Источники
1. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и
инженеров). М.: Наука, - 1978, - 832с.: ил.
2. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.:
Государственное издательство физико-математической литературы, -1960, - 624с.:
ил.
3. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ, ч. 1, изд. 3,
ред. А. Н. Тихонов. М.: Проспект, 2004.
4. Graphs, and Mathematical Tables (9th printing ed.), New York: Dover, pp. 804–806.
5. Джоунс У., Трон У. Непрерывные дроби, Аналитическая теория и положения. – М.:
Мир, 1985. – 414 с.