12. Теорема Вейерштрасса

§12. Теорема Вейерштрасса.
п.1. Теорема Вейерштрасса.
Теорема 1. (Вейерштрасс)
Пусть
функции f n (z ) являются аналитическими в
области G;

ряд
 fn ( z)
n 1
сходится равномерно в любой замкнутой
подобласти G ' области G к функции f (z ).
(1)
Тогда
1) функция
f ( z) 

 fn ( z)
n 1
является аналитической в области G;

2)
f
3) ряд
(k )
( z) 



(k )
f n ( z );
n 1
(k )
fn ( z)
n 1
сходится равномерно в любой замкнутой
подобласти G '  G.
Доказательство.
1) Так как ряд (1) сходится равномерно, то его
сумма f (z ) является непрерывной функцией в
области G.
Пусть z  G.
Покажем, что в точке z функция
конечную производную.
f (z ) имеет
Окружим точку z кусочногладким замкнутым
контуром Г так, что

z
G
  G.
По условию теоремы ряд (1) сходится
равномерно на контуре Г, причем
f ( ) 
Обозначим

 f n ( ),
  .
(2)
n 1
d : inf |   z | .
 
Тогда

|   z | d  0,   .

z
G
Поэтому, функция
1
 z
ограничена по модулю на Г, т.к.
1
1
1

 .
  z |  z | d
Умножим все члены равенства (2) на
1
.
 z
Ряд
f ( )

 z


n 1
f n ( )
 z
очевидно, сходится равномерно на Г.
Поэтому, проинтегрируем этот ряд почленно
вдоль кривой Г и разделим на 2i :
1
f ( )
d 
2i   z



 
1
2

i
n 1

f n ( )
d .
 z
(3)
Так как функции f n (z ) — аналитические, то
1
2i


f n ( )
d  f n ( z )
 z
(по интегральной формуле Коши).
Поэтому, из (3)
1
f ( )
d 
2i   z



 f n ( z).
n 1
Учитывая полученное равенство и (2), имеем:
1
f ( )
f ( z) 
d .
2i   z


Таким образом, функция f (z ) представляется
интегралом типа Коши в любой точке z,
лежащей внутри контура Г.
Значит, по теореме 1 §10 функция f (z )
является аналитической в точке z.
Из произвольности выбора точки z следует
аналитичность функции f (z ) в области G.
2) Рассуждаем аналогично пункту 1).
Рассмотрим равномерно сходящийся на Г ряд

(2):
f ( ) 
 f n ( ),
n 1
Функция
1
(  z )

  .
,
k

N
,
k 1
ограничена по модулю на Г.

z
G
Поэтому ряд
f ( )
(  z )
k 1


f n ( )
 (  z)k 1 ,
k  N,
n 1
сходится равномерно на Г.
Проинтегрируем этот ряд почленно вдоль
кривой Г и умножим на k!
2i

f n ( )
k!
f ( )
k!
d


d

.
k 1
2i (  z ) k 1
2

i
(


z
)
n

1



 
Применяя формулы Коши для производных,
получим
f
(k )
( z) 


(k )
f n ( z ),
k  N.
n 1
Из произвольности выбора точки z следует
справедливость утверждения 2) теоремы.
(4)
3) Докажем равномерную сходимость ряда (4)
в произвольной области G '  G.
Построим замкнутый контур Г,   G ,
содержащий область G ' внутри себя такой, что
  G'  .
Пусть
d :

z
inf
  , zG '
|  z |.
Тогда
|   z | d , z  G ',   .
G'
G
Функция
rn ( z )  f ( z ) 
n
 fk ( z)
k 1
является аналитической в области G (как
сумма аналитических функций).
Поэтому,
(k )
rn ( z ) 
rn ( )
k!
d

,
k

N
.
2i (  z ) k 1


Кроме того, из равномерной сходимости ряда
(1) следует:
  0 N ( ) : n  N ( ),   
| rn ( ) |  .
Используя последние два соотношения,
получим
| rn ( ) |
k!
k!
k!l
(k )
rn ( z ) 
| d | 
| d | 
,
k

1
k

1
k

1
2 |   z |
2d
2d



где l — длина Г.
Значит, ряд



n 1
(k )
fn ( z)
сходится равномерно в любой замкнутой
подобласти G '  G.
п.2. Приложение теоремы
Вейерштрасса к степенным рядам.
Рассмотрим степенной ряд

 cn ( z  z 0 ) ,
n
n 0
R  0 — радиус сходимости.
С одной стороны, по теореме 8 §11 ряд (5)
сходится равномерно в любом круге
| z  z0 | r  R.
(5)
С другой стороны, члены ряда (5) являются
аналитическими функциями во всей
комплексной плоскости.
Значит, по теореме 1 сумма ряда (5) является
аналитической функцией в круге
| z  z0 | R
и ряд (5) можно почленно дифференцировать
сколь угодно раз в этом круге.
Обозначим

 cn ( z  z 0 ) .
(6)
cn  n  (n  1)  ...  (n  k  1)( z  z0 ) nk , k  N.
(7)
f ( z) 
n
n 0
Тогда
f (k ) ( z) 


nk
Применяя формулу Коши-Адамара можно
показать, что радиус сходимости ряда (7) при
любом k равен
R
?.
z  z0 , получим
c0  f ( z0 ).
Полагая в (7) z  z0 , получим
(k )
f ( z0 )
ck 
, k  N.
k!
Полагая в (6)
Подставляя полученные соотношения в (6),
имеем
f ( z) 


n 0
f
(n)
( z0 )
n
( z  z0 ) .
n!
Степенной ряд (6), коэффициенты которого
вычисляются по формулам
cn 
f
(n)
( z0 )
, n  0,1,2,...,
n!
называется рядом Тейлора функции
f (z ).
Теорема 2.
Всякий сходящийся степенной ряд есть ряд
Тейлора своей суммы.
Замечание.
Применяя формулы Коши для производных,
коэффициенты степенного ряда (6) можно
записать в виде
1
f ( )
cn 
d

,
n

N
,
n

1
2i (  z0 )


где Г — кусочно-гладкий замкнутый контур,
окружающий точку z0 и целиком лежащий
внутри круга сходимости ряда (6).
Указанные формулы дают интегральное
выражение коэффициентов степенного ряда (6).