www.themegallery.com Знакочередующиеся ряды Пусть имеется последовательность чисел {b1, b2, b3, …, bn, …}, такая, что n bn > 0. Рассмотрим ряд b1 - b2 + b 3 - …(-1)n-1 bn +…= (1) k 1 k 1 bk . (7) Определение. Ряд (7) называется знакочередующимся если его положительные и отрицательные члены строго чередуются. Теорема 12. (Признак Лейбница, сходимости знакочередующихся рядов) Если члены знакочередующегося ряда (7) удовлетворяют условиям: bn 0 убывают по абсолютной величине; 2) (или: 1) монотонно ,) bn 0 то ряд (7) сходится, причем его сумма S положительна и неnlim превосходит первого члена ряда. Company Logo www.themegallery.com Знакопеременные ряды Определение. Знакопеременный ряд a k называется k 1 | ak | абсолютно сходящимся, если сходиться ряд k 1 составленный из модулей его членов. Теорема 13. (Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда) Если сходиться ряд | ak | , то сходится и k 1 a ряд k , причем абсолютно. k 1 Определение. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходиться, но абсолютно не сходится. Company Logo www.themegallery.com Функциональные ряды Пусть дана последовательность функций {u1(x), u2(x), u3(x), …, un(x), …}, определенных на некотором множестве X. Определение. Выражение u1(x) + u2(x) + u3(x) +…+ un (x) + … называется функциональным обозначается (1) рядом относительно переменной x и u ( x). k 1 При этом: k u1(x), u2(x), u3(x), … – называются членами ряда; un (x) – называют общим членом ряда (или n-м членом ряда). Определение. Совокупность D X всех значений переменной x, для которых ряд сходится, называется областью сходимости данного функционального ряда. Если D = , то ряд расходится в каждой точке множества X. Company Logo www.themegallery.com Функциональные ряды Определение. Конечная сумма Sn (x) = u1(x) + u2(x) + u3(x) +…+ un (x) называется n-ой частичной суммой функционального ряда. Функция называется суммой ряда. Функция S ( x) lim Sn ( x) n rn ( x) S ( x) Sn ( x) называется n-м остатком ряда. u ( x) k n 1 k Определение. Сходимость функционального ряда в каждой точке x D называется поточечной сходимостью. Функциональный ряд (1) называется абсолютно сходящимся на множестве D1 X, если в каждой точке этого множества сходиться ряд если он сходится ,а ряд u ( x) k 1 . Ряд (1) называется условно сходящимся, k u ( x) k 1 k расходится. Company Logo www.themegallery.com Равномерная сходимость ф р Определение. Функциональный ряд (1) называется равномерно сходящимся на множестве D к функции S(x), если для любого > 0 существует номер N() не зависящий от x, такой что при всех n N() будет выполняться неравенство |S (x) – Sn (x)| < для всех x D, здесь S (x) – сумма функционального ряда, Sn (x) – его частичная сумма. Теорема. (Достаточный признак равномерной сходимости Вейерштрасса) Если члены ряда (1) удовлетворяют неравенствам |un (x)| an ,n N, x D и ряд a k 1 k (2) , ak 0, сходится, то функциональный ряд (1) сходится равномерно в области D. Company Logo www.themegallery.com Равномерная сходимость ф р Определение. Функциональный ряд (1) называется равномерно сходящимся на множестве D к функции S(x), если для любого > 0 существует номер N() не зависящий от x, такой что при всех n N() будет выполняться неравенство |S (x) – Sn (x)| < для всех x D, здесь S (x) – сумма функционального ряда, Sn (x) – его частичная сумма. Определение. Сходимость функционального ряда в каждой точке x D называется поточечной сходимостью. Функциональный ряд (1) называется абсолютно сходящимся на множестве D1 X, если в каждой точке этого множества сходиться ряд S ( x) lim Sn ( x) . Ряд (1) n называется условно сходящимся, если он сходится ,а ряд расходится. Company Logo www.themegallery.com Свойства равномерно сходящихся рядов 1. (о непрерывности суммы ф р) Если на множестве D функциональный ряд (1) с непрерывными членами сходится равномерно, то его сумма S (x) непрерывна на D. 2. (о почленном интегрировании ф р) Если функциональный ряд (1) с непрерывными членами на (a, b) сходится к функции S (x) равномерно на [a, b], то его можно почленно интегрировать на любом отрезке [c, d] (a, b) т.е. d d S ( x)dx u ( x)dx, c Причем ряд d u ( x)dx n 1 c n n 1 c n сходится равномерно на [a, b]. Company Logo www.themegallery.com Свойства равномерно сходящихся рядов 3. почленном (о функциональный дифференцировании ряд (1) с ф непрерывно р) Если дифферен- цируемыми на [a, b] членами сходится к функции S(x), а ряд u ( x) сходится равномерно на [a, b], то исходный ряд n 1 n (1) сходится равномерно на [a, b], его сумма S(x) – непрерывно дифференцируемая функция и справедливо равенство S ( x) un ( x) n 1 или un ( x) un ( x). n1 n1 Company Logo LOGO Спасибо за внимание