НАУЧНЫЙ МИР
Е.А. ГРИГОРЬЕВ
ЧИСЛОВЫЕ
И
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ
РЯДЫ
Теория и практика
Допущено учебно-методическим советом по прикладной
математике и информатике УМО по классическому
университетскому образованию для студентов высших учебных
заведений, обучающихся по специальности ”Прикладная
математика и информатика”
«
М ОСКВА
НАУЧНЫ Й М ИР
2004
УДК 517.5.52
ББК 22.161
Г 83
Григорьев Е. А.
Г 83 1исловые и функциональные ряды. Теория и практика
- М.: Научный мир, 2004, 216 с.
18ВИ 5-89176-229-3
Учебное пособие отражает опыт преподавания математического
анализа студентам, обучающимся по программе бакалавров на фа­
культете Вычислительной математики и кибернетики МГУ
им. М. В. Ломоносова. Изложение теории сопровождается прак­
тическими рекомендациями и подробным разбором примеров.
Первая, вводная, глава посвящена вопросам сравнения скорости
изменения функций и последовательностей (О-символика, эквива­
лентность). Пособие содержит большое коичество вопросов и задач
для самостоятельной работы учащихся.
От читателя требуется знание материала начального курса ма­
тематического анализа.
Рекомендуется студентам физико-математических специально­
стей вузов.
УДК 517.5.52
ББК 22.161
18ВИ 5-89176-229-3
© Григорьев Е. А., 2004
© Научный мир, 2004
Оглавление
П р е д и с л о в и е .................................................................
I
8
ОТН О Ш ЕН И Я П О РЯ Д К А И АСИ М П ТО ТИ ЧЕСКО Е
ПОВЕДЕНИЕ Э Л Е М Е Н ТА РН Ы Х Ф УН К Ц И Й
10
1.1. Сравнение поведения ф ункций. О -сим воли ка . . 10
1.1.1. Основные определения.....................................
1.1.2. Достаточные условия отношений порядка . . . .
1.1.3.
1.1.4.
Ю
13
П рим еры ........................................
14
Вопросы и задачи.................................................21
1.2. Д ей ств и я с отнош ениям и п о р я д к а ........................... 23
1.2.1. Основные утверждения.........................................23
1.2.2. Сравнения со степенной функцией...................... 24
П рим еры .............................................................. 26
1.2.3. Уточнение основных разложений.........................29
1.2.4. Случай числовых последовательностей...........29
П рим еры .............................................................. 30
1.2.5. Вопросы и задачи.................................................32
1.3. Ш к а л а роста (у б ы в а н и я ) основны х ф ун кц ий и
п о с л е д о в а т е л ь н о с т е й ................................................... 34
1.3.1. Случай функций .................................................34
1.3.2. Случай числовых последовательностей.............. 35
1.3.3. Простейшие неравенства как следствия
отношения порядка ...............................................36
1.3.1. П рим еры ...............................................................
1.3.5. Несколько полезныхнеравенств.......................39
1.3.6. Вопросы и задачи..............................................40
1.4. Асимптотические разлож ения ф у н к ц и й .................42
2
ЧИСЛОВЫ Е РЯД Ы
43
2.1. Основные понятия. Свойства числовых рядов . . 43
2.1.1. Определения......................................................43
П рим еры ........................................................... 44
2.1.2. Простейшие утверждения о сходимости...........47
П рим еры ........................................................... 49
2.1.3. Критерий Коши сходимостиряда....................... 50
П римеры ........................................................... 50
2.1.4. Некоторые свойства числовых рядов................ 54
2.1.5. Вопросы и задачи
........................................... 55
2.2. Знакопостоянные ряды. Сходимость рядов с
неотрицательными ч л е н а м и ................................... 57
2.2.1. Знакопостоянные ряды ...................................... 57
2.2.2. Признаки сравнения........................................ 58
П римеры ........................................................... 00
2.2.3. Признаки Даламбера и К о ш и ........................... 62
П рим еры ........................................................... 05
2.2.4. Вопросы и задачи
........................................... 07
2.3. Знакопостоянные ряды. (П родолж ение) ...........09
2.3.1. Интегральный признакКоши-Маклорена . . . . 69
П римеры ........................................................... 70
2.3.2. Признак Г а у с с а ......................................... 71
П римеры ........................................................... 73
2.3.3. Формула Стирлинга ........................................ 75
П римеры ................................................... 70
2.3.4. Разные задачи........................................... 77
2.3.5. Вопросы и задачи...................................... 82
2.4. Ряды с членами произвольного знака. А бсо­
лютная и условная с х о д и м о с т ь .............................. 84
2.4.1. Абсолютная и условная сходимость............84
2.4.2. Знакочередующиеся ряды. ПризнакЛейбница . 85
П римеры ...........................................................
Признаки сходимости Дирихле-Абеля.................89
Исследование рядов на сходимость...................93
П римеры ...........................................................
2.4.5. Вопросы и задачи................................................. 99
2.4.3.
2.4.4.
2.5. П ерестан овка ч лен о в р яда
.......................................102
2.5.1.
2.5.2.
2.5.3.
Случай абсолютно сходящегося р я д а ............... 102
Случай условно сходящегося ряда
104
Асимптотическое поведение частичных сумм
гармонического р я д а ........................................ 108
2.5.4. П римеры ............................................................. Ю9
2.5.5. Вопросы и задачи..............................................Ш
2.6. А р и ф м ети ч еск и е действия с р я д а м и ................... 113
2.6.1. Расстановка скобок.............................................ИЗ
П римеры ............................................................. П5
2.6.2. Линейная комбинация р я д о в .............................116
2.6.3. Умножение р ядов................................................ПО
2.6.4. Примеры ............................................................. П9
2.6.5. Дальнейшие результаты о произведении рядов . 122
П римеры ............................................................. 123
2.6.6. Вопросы и задачи................................................124
Ф УН КЦ И О Н АЛЬН Ы Е ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И
РЯДЫ
126
3.1. О сновны е п о н я т и я ........................................................126
3.1.1.
3.1.2.
3.1.3.
Функциональная последовательность............... 126
П римеры ............................................................. 127
Функциональный р я д .......................................... 129
П римеры ............................................................. 139
Вопросы и задачи................................................133
3.2. Равн ом ер н ая сходим ость на
3.2.1.
3.2.2.
м н о ж е с т в е .............. 134
Равномерная сходимость последовательности . 134
П римеры ............................................................. 135
Критерий равномерной сходимости
последовательности.............................................137
П рим еры ........................................................138
Критерий Коши равномерной сходимости
последовательности........................................142
3.2.4. Равномерная сходимость ряда ..........................143
П рим еры ............................................................. 145
3.2.5. Вопросы и задачи................................................149
Достаточные условия равномерной сходимости 152
3.3.1. Равномерная сходимость последовательности . 152
П рим еры ........................................................152
3.3.2. Признаки равномерной сходимости ряда . . . . 154
П рим еры ........................................................157
3.3.3. Вопросы и задачи.......................................... 160
Свойства равномерно сходящихся ф ункциональ­
ных последовательностей и рядов
.................... 162
3.4.1. Равномерная сходимость и непрерывность . . . 162
3.4.2. Почленное интегрирование ............................... 164
3.4.3. Почленное дифференцирование..................... 166
3.4.4. П рим еры ........................................................ 168
3.4.5. Вопросы и задачи........................
174
Степенные ряды ......................................................176
3.5.1. Понятие степенного ряда.
Структура множества сходимости................176
П римеры ........................................................ 178
3.5.2. Равномерная сходимость .................................. 180
П рим еры ........................................................ 182
3.5.3. Свойства суммы степенного р я д а ...................183
П римеры ........................................................ 184
3.5.4. Вопросы и задачи...........................................187
Разлож ение функций в степенные ряды .............. 189
3.6.1. Определения и предварительные замечания . . 189
3.6.2. Разложимость функции в степенной ряд . . . . 190
3.6.3. Разложения основных элементарных функций
в ряд М ак лор ен а........................................... 194
3.6.4. Некоторые приемы разложения функций
в степенные р я д ы ........................................... 196
3.2.3.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
..................197
..................203
..................205
..................205
Стирлинга 207
................ 208
С писок л и т е р а т у р ы ...............................
..................209
Биографические сп равки .....................
................ 212
Предметный у к а з а т е л ь ........................
3.0. 5. П рим еры .....................................
3.0. 6. Вопросы и задачи........................
Д обавление .............................................
1. Формула Валлиса........................
2. Вычисление константы в формуле
П РЕДИ СЛО ВИ Е
Это учебное пособие возникло в результате опыта препо­
давания математического анализа студентам, обучающимся на
отделении бакалавров факультета Вычислительной математи­
ки и кибернетики М Г У им. М. В. Ломоносова. Книга отражает
попытку автора при некотором сокращении объема и частич­
ном упрощении изложения теоретического материала ввести 1?
курс значительное число примеров и задач.
От читателя требуется знание материала стандартного на­
чального курса математического анализа, например, в объеме
основной части книги [1].
Глава 1 пособия носит вспомогательный характер. Ее цель
помочь с гудснту овладеть теми началами "асимптотического”
анализа ( О-большое” , о мал о с ", сравнение скоростей роста
или убывания функций и т.п.), основные понятия которых были
введены на первом курсе. При подборе материала этой главы
были использованы отдельные примеры из [3,4].
Глава 2, посвященная числовым рядам, находится в ру­
сле традиционного курса, читаемого на основном отделении
факультета ВМиК. Однако объем излагаемого материала не­
сколько сокращен (например, исключены методы обобщенно­
го суммирования рядов, теория двойных и повторных рядов,
бесконечные произведения). Любознательный читатель может
ознакомиться с этими разделами по учебникам [2,5].
Глава 3, содержащая теорию функциональных рядов, по­
дробно освещает один из наиболее трудных для студентов во­
просов
понятие равномерной сходимости.
Здесь несколько
,,'иргм (в частности, о почленном интегрировании и дифферениироиаиии) излагается в упрощенном варианте. В то же время
• мимание читателя обращено на ряд полезных для практики
\ I перждений.
Вообще, примеры, разбор решения типовых задач, рекомен1,и11111 к применению теории на практике занимают значитель„VI,, часть пособия. Включение таких материалов в основной
,, к,-1 продиктовано желанием автора помочь учащемуся в бо­
не ак тивном освоении курса. С той же целью в конце каждого
триграфа приводятся вопросы и задачи для самостоятельной
риб<>ты.
Нумерация определений, теорем, утверждений своя в каI, |<>м параграфе. Несколько слов о принятой системе ссылок.
I с,:|и упомянута, к примеру, теорема 5 и. 2.3.4, то это озна­
чает, что ссылка находится в тексте другого параграфа. На ту
1\1‘ теорему изнутри параграфа 3.4 главы 2 мы ссылаемся как
па теорему 5.
Значки ► и ◄ соответственно используются для обозначе­
ния начала и конца доказательства либо рассмотрения приме­
ра
В заключение автор выражает глубокую признательность
к'йствительному члену РАН В. А. Ильину, действительному
члену РАН Е. И. Моисееву, проф. В. В. Федорову за внима­
ние, с которым они прочли рукопись, и за многие полезные
тмечания. Особая благодарность д.ф.-м.н. И. С. Ломову, чья
скрупулезная работа с рукописью пособия немало способегвонала его улучшению.
ОТНОШ ЕНИЯ ПОРЯДКА
И АСИМ ПТОТИЧЕСКОЕ
ПОВЕДЕНИЕ
ЭЛЕМЕНТАРНЫ Х
Ф УН КЦ И Й
В этой, вводной, главе будет обсуждаться сравнительное повеностой ^ *'КЦИИ’ а также асимптотическое поведение последователь-
1.1. С Р А В Н Е Н И Е П О В Е Д Е Н И Я Ф У Н К Ц И Й .
О -С И М В О Л И К А
1.1.1. Основные определения
Введем сначала основные определения (эти понятия частич­
но уже известны из материала 1-го курса).
Пусть К
числовая прямая.
Определение 1.
Окрестностью (,г-окрестностью) точки
х° е М называется множество О = {.г е 1 : \х - ж0| с б }. где
е > 0 некоторое число.
Окрестность О называется проколотой, если сама точка
•го ей не принадлежит.
11
О-символпка
Ио многих случаях приходится рассматривать также расши­
ренную числовую прямую, получаемую добавлением к К бескопг'шо удаленной точки.
Окрестностью точки хо = оо называется множество О =
( / С К : |.т| > К } , где К > 0 - некоторое число.
Вводится понятие односторонней окрестности (полуокрестНОС ! и).
Если :с0 Е К, ее правой полуокрестностью называется мно­
жество 0 + = { х 6 К : т 0 < х < х0 + е}, где е > 0 некоторое
число.
Иногда множество Г2+ называют окрестностью точки жо+ .
Если х0 = + сю , ее окрестностью называется множество
{./■ Е К : х > К } , где К > 0 - некоторое число.
Аналогично определяются левая полуокрестность точки
г,) Е К , а также окрестность хо = —сю.
Определение 2. Пусть функции / и у заданы на некотором
множестве И С К .
Говорят, что на множестве С С Й
(читается: ” о-болыное от у (х )'1). если существуют такая посто­
янная М , что при х Е С выполнено неравенство
|/(.т)| < м\д(х)\ .
Определение 3. Пусть функции / и д заданы на некотором
множестве И. а Хо предельная точка этого множества.
Говорят, что
/(.т) = о
(читается: ” о-малое от д (х ) ” ),
при х —> х0 ,
если существует такая беско­
нечно малая при х —> ,г0 функция а (х ) , что
/(., ) = п(.г) • д(х)
для всех х из некоторой проколотой окрестности О точки хп
П С В.
Определение 4. Пусть функции / и д заданы на некотором
множестве В , а х0 предельная точка этого множества.
Эти функции эквивалентны при х —►х 0 , если в некоторой
проколотой окрестности точки х0
Данное соот ношение кратко записывается следующим образом:
/ (х ) ~ д (х),
х
т 0 (х е В ) .
Замечания.
1) Соотношения, указанные в определениях 1 - 4, называются
отношениями порядка.
2) В определении 2 в качестве множества С может выступать
как все множество В , так и окрестность О. точки х0 , принад­
лежащая В (как в определениях 3 - 4).
3) Отношения порядка из определений 3
4 следует рассматри-
ва I ь только ко,к предельные, получающиеся в процессе
мления переменной х к предельной точке множества В.
1да, если из контекста ясно, о какой предельной точке .ту
множества идет речь, запись ” х -> т 0” опускают, хотя
стоянно имеют ее в виду.
стре­
Иноэтого
и по­
4) Отношение эквивалентности является примером так называ­
емого бинарного отношения; оно обладает свойствами рефлек­
сивности, симметрии и транзитивности.
5) Равенства, указанные в определениях 2
3, не являются
равенствами в обычном смысле, для них не выполнено свойство
симметрии. А именно, когда мы говорим, например, что при
•г
го ./(•/’ ) = о
. это не значит, что о
= /'(у)
13
О-символика
Знак равенства в записях, использующих символы о или
понимается как обозначение принадлежности функции /
I, некоторому мноэюеству.
1.1.2.
Д о ста то ч н ы е у с л о в и я отн ош ен ий п о р я д к а
Пусть функции / и у заданы на некотором множестве Д
л ./•„ предельная точка этого множества. Здесь допускается
возможность ж0 = оо (а также ж0 = +оо или х0 = - с о ).
Легко доказать следующие утверждения.
У т в е р ж д е н и е 1.
Если существует предел 1ш^ ^
то /(ж) = О (а{Ф ) ^ ,
—А,
А ф оо,
х —> ж0 ■
У т в е р ж д е н и е 2.
Если существует П т
то /(ж) = о^д{ ж)^ ,
= 0,
ж —> ж0 .
У т в е р ж д е н и е 3.
Если существует П т
= 1,
Х—+ХО У'1' 1
то /(ж) ~ д{ ж), ж —> ж0 •
Зам ечания.
1) Условия, сформулированные в утверждениях 2 - 3 , на прак­
тике обычно используют как определения для ”о ” малого и экви­
валентности соответственно. Мы тоже будем в основном при­
держиваться этого варианта определений.
2) Условия утверждений 2
3 являются частными случаями
утверждения 1.
3) Если в утверждении 1 значение предела А Ф 0; о о ,
одновременно /(ж) = О ^.(/(ж)^
то
и д(х) = 0 ^ / (ж )^ , ж —> з<),
(т.е. / и д имеют одинаковый порядок при ж —■>жо ).
Это соотношение записывают следующим образом:
/(ж) = 0 * ^ ( ж ) ^ ,
ж -* ж 0 .
Другая возможная запись: /(ж) х д (х ) ,
4) Из определений следует:
ж —> ж0 .
а) если /(ж) = 0 (1 ),
х —> ж0 , то функция / ограничена
в проколотой окрестности точки ,т0;
б) если /(ж) = о(1),
ж —» ж0 , то / - бесконечно малая
функция в проколотой окрестности точки Жо .
1.1.3. Примеры
1.
Доказать, что:
а) 81п ж ~ ж, ж —>0;
с) 81ИЖ = 0(ж ),
ж€М.
6) з т ж = о(ж),
ж —> оо ;
►
а) Пусть О = К , ж0 = 0 , /(ж) = зш ж, д (х ) = х . Вычислим
11ш Щ
ж->0 ц(ж)
=Кт
Ж
ж
-+0
ж
—
>0
1.
В соответствии с утверждением 3 получаем з т ж ~ ж, ж
Ь) Если Жо = ОО , ТО
8Ш ж =
о(ж ),
ж
ОО , ПОСКОЛЬКУ
81ПХ
Пш ----- = 0.
х —>оо
ж
с) Пусть по-прежнему /4 — К . Известно, что
О- символика
Отсюда по определению 2 следует з т ж
О (х ), ж 6
Доказать, что для ш, п е N , т < п :
2.
а) ж" = о( хт
а: —> 0;
Ь )х т = о ( У ) ,
^ Пусть Г> - числовая полуось х
х^+оо.
> -1 , /(*) = хт , »(х) =
хп , т < п .
жп = о жт
/) Если жо = 0, то ж
./
Пт —
* -0
хт
,
как
ж —> 0 , Так кг
п —т
= Пт ж
_ п
- И•
Ь) Указанное равенство справедливо, потому
1
ж
Пт
— = Пт
1>+оо X11
*-+оо ж"
=
0
ЧТО для Жо = +оо
◄
В дальнейшем мы будем указывать лиш ь точку х 0 , потому
что множество О обычно ясно из контекста.
3.
Доказать, что при ж —> 0 :
«)/(*)*«(*). № /(*)=* (2+8Ь^) ' ®(1)=Х;
Ь) /(ж) = о{д{х ) ) ,
где
ж2 , ж е О ,
/ (*)
о , же I ,
д{х) =
ж, х € V !
0, ж € I .
(Здесь О и I обозначают множества рациональных и ирраци­
ональных чисел соответственно).
►
а)
Так как
1<
то |/(ж)| = |ж|
2 + 8111 — < 3 ,
X
2 + 8111 — < 3 |ж| и одновременно |ж| < |/(ж)|.
X
Отсюда, согласно определению 2, следует /(ж) = 0\ д(х)
и д (х ) = 0\^/(х)у , т.е. /(ж) х # (ж ).
Заметим при этом, что отношение
/(ар
2 + 8111 —
X
не имеет предела при х —> О
Ь) Очевидно, /(ж) = х - д (х ) . Поскольку а (х ) = х - бесконечно
малая функция при х —►0, то по определению 3 /(ж) = о (Д ж )).
п>
\
/ (х)
В то же время, как и в а), не существует предела Ь т
;
,
д(х)
так как знаменатель дроби обращается в нуль в точках, сколь
угодно близких к Жо = 0
◄
Эти два примера показывают, что понятия ” О-большого” и
” о-малого” , основанные на утверждениях 1 и 2, не равносиль­
ны исходным определениям 2 и 3 соответственно.
Очень часто проводится сравнение поведения данной функ­
ции / со степенной функцией, т.е. с д (х) = ха .
4. Доказать, что:
а) ^
= 0 ( ж), ж ►о о .
► Требуемое равенство справедливо, так как
ж2 + 1
Нш
х—>ос Ф ~ 2)
О-символпка
|'(спич', мы получили утверждение, что
х2 + 1
.т, х —* сю
х - 2
Исследовать асимптотическое поведение функции:
ь) / и ) -
н1и3х- '; ^ ° ,а
► Для сравнения возьмем степенную функцию д(х) ( ( ' ДО)
,
Й
Сл
и вычислим
/ м _ Нш
^ - В
*-2
1
8111 Зх
---- • Н т — —
2С х—>о ха
Сх»
Последний предел существует и не равен нулю только при
а = 1. Имеем
11111
/(а)
'о Ф
) = ~ 2С '
О
С = - - , следовательно,
при
5.
1
8111 З х
_
*
_3_ _
т
20
3
_^ А
/1т) ~ - ,
•
^
'
Аналогично примеру 1 а) можно провести сравнения для
основных элементарных функций.
Таким обратом, по­
лучается известная из начального курса математическо­
го анализа
таблица эквивалентны * бесконечно малых
функций при х —> 0 :
ех — I ~ х ,
1п(1 + х) ~ х ,
(X + х )а — 1 ~ а • х , а € К ■
8111X ~ X .
1
2 Ряды
— С08 X ~ ту ■
1§ X ~ Ж,
&ГС8П1 X ~ X ,
агс!$ х ~ х .
Эти соотношения остаются в силе, если в них заменить х на
некоторую бесконечно малую функцию а (х ) : а (х ) —» 0 при
X —> Хо •
6.
Используя таблицу эквивалентностей, решим задачу 4Ь).
► / (х ) =
7.
8111 Зх ~
| 8111 Зх ~ —| X, При X,—> 0
Верно ли утверждение х 1 — о (/ (х )) ,
◄
х —> 0 :
а) / (х ) = х 81п 2х ;
6) / (х ) = х соз(х2) ;
с) / (х ) = 5 ^
с?) / (х ) = — агс!§(х2) ?
1п(1 — х ) ;
Ответ: неверно а) ; верны Ъ) — с1) .
а) Имеем
,.
х2
х
1
11111
■ = НШ
— — ~ ф О,
х—0 / (х )
х^О 81П 2х
2
поэтому предлагаемое утверждение неверно.
Ь) Справедливость следует из того, что
Н т -7^—
х^О / (х )
X
Нш
х—>0 С08(хС
0.
с) Получаем
х
х2
Ь т —— = П т
х- *0 / (х )
х—>о 5 \/х 1п(1 — х)
1
- 3 Нт Ух4= 0 ,
5 х-^о
г.е. утверждение верно.
х2
Пт
_ .
х—»о 5 ух, ( —х)
19
О-символика
'/)
X
Нш X ■— = 0 ,
X
х2
х
= Иш х ■
Нш
Х^о / (х )
'
а гс !§ (х 2)
поэтому утверждение верно
8.
◄
Верно ли утверждение / (х ) = О
а) / (х ) = х 1п ( 1 + ^
с) / И = (а г + 1 ) • 81ч
^ ;
, х —> оо :
Ь) / (х ) = \ а гс !§ (х 2) ;
х
‘2 х
С08 117
Л) / Ы = 5 7 3 м
X
Ответ,: верны а) — с ) ; неверно с?).
Равенство верно, поскольку существует
1
..
2 - I 2
Нш ,/(х) : - = Иш х ■1п I 1 + ~2
ж—»оо
X
ж—>сю
\
X
у =
4
I Ит 3
X2 ! У~*0
= 3.
У
7Г
Ь) Поскольку
Нш агс!§(х ) — — , то
Нш / (х) : - = Нш - агс!§(х2) = 0 ,
■ ;с—>оо '
X
х-*со X
поэтому
с)
/ (х ) = о
, значит, и / (х ) = О
х —> оо .
Утверждение верно, так как
Нш / (х) : — = Нш х (2х + 1) ■ьш ( —
ж— ос
X
х —ос
\Х
= Нш
х —*ос
х(2х + 1)
20
Отношения порядка
Здесь мы учли, ЧТО 8П1
,,.‘2 , X —»
X/
ОС
«О Имеем
Нш Я х ) : 1 = Нщ
х^ ° °
X
. С08
х->ос
=
,•
11Щ
Зх -
10
ж+ 2
/]
Зх — 10
1х
X • --------- . соч / _
=
ОС'
так как
пт
х+ 2
---------х^оо Зх — 1()
поэтому утверждение неверно
9.
Рассмотрим функцию
1•*
Л °
щих ииже утвержден! 1й
. 1
х2 •8111 - =
X
. 1
(Ь) х 2 •8111— 0 ( 1 ) ,
X
. 1
(с) х2 •8111 — = о(х ) ,
X
. 1
(<*) х2 •8111- = 0 ( х ) ,
X
. 1
(е) х2 •8111 — = о( х 2) ,
X
. 1
х 2 - 8111 (0
0 ( х 2) ,
х
. 1
(8) х2 ■8111 — ~ X ,
X
. 1
(Ь) х 2 ■8111 — ~ X•>.
(а)
■со8и И м
Нт) -
г2
■’ [Х) ~ х
^
-ып-
в проколотой
21
О-символика
Ответ: верны (о) - {(1), (/ ); неверны (е), ( д ), (Ь).
►
(г) и (с?) Справедливость следует из того, что
г
/0е)
у
•П —
1 = п
1ип
—
-— = 1нп
х ■31
0.
х —>0
х
X
2-^0
(/) Равенство следует из оценки |/(х)| < х 2 .
(г) Соотношение неверно, так как
/ (х )
. 1
— — = з т — не является
бесконечно малой функцией при х —» 0 (не имеет предела) ◄
1.1.4. Вопросы и задачи
1.
Докажите утверждения 1
2.
Приведите примеры, показывающие, что условия утвер­
ждений 1 - 3 не являются необходимыми.
3.
Приведите примеры функций /, для которых справедли­
во:
о) / (х ) = о (х),
с) / (х ) = О (х),
е) / (х ) = о(х),
я)
М
г) / (х )
4.
х
0;
6) / ( х ) = С>(х),
X
0;
х
с1) / ( х ) = О (х ),
/ ) / ( х ) = С>(х),
X
5;
х
5;
оо;
X
оо
х
0;
/г) / ( х ) = О ^ 1
X
0;
X
оо
= Xо
^
оо;
,
х
Д / ( х ) = С>
Верно ли утверждение х° = о (/ (х )) ,
а)
с)
е)
5.
= « ( ; ) .
3.
х
х —> I» :
/ (х ) = х ;
6) / (х) = х4 ;
/ (х ) = х2 ^ х ;
Д / (х )
= (х + I ) 2;
/ (х ) = (х агс!§|х|)2 ; /) / (х )
= (х с о зх )2?
Верно ли утверждение — = О (/ (х )) . х —> ос :
х2
а)
= ^
/И
е)
5)
6.
=
дл =
дл
Ж
(еИ + 9) ;
• 8111
1
— • агс^к
х
>
«О /с*) = 1 . со. ( I ) ;
Я
/ ( ж ) = ^ • а гс* §(ж 2 + 3) ;
х3 + 4 '
Проверьте справедливость эквивалентностей из примера 5.
Для функции /(ж) = ж2 8111 ~ проверьте, какие из восьми
утверждений примера 9 верны, а какие
нет, если х -> ос.
I
ДЕЙСТВИЯ С ОТНОШ ЕНИЯМ И ПОРЯДКА
1.2.1.
Основные утверждения
Ггорема 1.
Пусть функция / определена на некотором множестве О.
Пусть Хо предельная точка этого множества, причем функ­
ц и и / не обращается в нуль в некоторой окрестности этой
пшики (за исключением, быть может, сам,ой точки Хо).
Тогда при х —> х0 имеют место следующие утверждения:
О
" (Я + " (} ) = о (Я ;
0 ( 1)
г)
Я)
+ о ( { ) = о (1 ) ;
0 ( ! ) + < ,(/ ) =
о(Я;
) о( о ( / ) ) = о (/ ) ;
4
5) 0(0(Я) = 0(Я ;
е; о(о(Я) = «(Я;
Ч «(о(Я) = »(Я■
► Докажем, например, первые два соотношения:
I) Д ля левой части доказываемого равенства Е(ж) = дДж) +
ц2( х ) , где рДж) = о (/ (х )) , р2(^) = о (/ (я )) при ж -► х0 , имеем
11111
Х-+ХО
П *)
№
Нт
дЛх) + </2(д)
х—>Х0
О,
/ (* )
гак как
Нт 7ДТ = 0
-'О ./(.г)
(/ = 1,2).
Следовательно, Е(.г) = о(,/(.г)). что и требовалось доказать.
2) Пусть Р (х ) = дх(х ) + д2(х ) , где
Ы ® )| <
1/0*01> |0гО*О1 < М 2 |/(х)|,
М ь М 2 > О,
для всех х из некоторой проколотой окрестности точки х$. Т о­
гда для этих значений х
№ ) 1 < \91(х)\ + \92(х )\
< М г \Г(х)\ + М 2 \/(х)\
= {М\ + М 2) |/(т)| = М \/(х)|,
М = М 1 + М 2 > 0,
что и требовалось доказать.
Остальные соотношения доказываются аналогичным обра­
зом
◄
Замечания.
1) Все равенства в утверждении теоремы 1 читаются слева на­
право (см. также замечание 5) п. 1.1.1).
2) Обратите внимание на то, что имеют место соотношения
° ( / ) - » ( / ) = »(/ )•
0 ( 1)
-
0 ( 1)
т.е. в правой части не нуль.
1.2.2. Сравнения со степенной функцией
Как было отмечено выше, часто приходится сравнивать по­
ведение функций при х —> т 0 со степенями (х —х0) п . Тогда го­
ворят, что бесконечно малая (х —х0) п , п > 0 , имеет, порядок п .
Если х —* ос , то функция х п , п > 0, является бесконечно
большой порядка п .
=
Ксли имеет место равенство
/(гг) = с „ (х - х0) п + Сп+1(х - х 0)п+1 + • • •
+ Сп+к(х - х0) п+к
+ о ((х - х 0) п+к) ,
X -> х0
( Сп ф 0 ),
го выражение Сп(х — х0) п называется главным членом, а
о((х — Хо),(+А:) - остаточным 'членом асимптотического пред­
ставления / ( х ) при х —> х0 .
Замечание. Остаточный член может иметь другой вид, напри­
мер, О ((ж - х0) п+к) ■
Полезные соотношения (частные случаи сформулированных
в теореме 1 утверждений) дает следующая теорема.
Теорема 2.
Пусть на некотором множестве Г) , для которого х 0 пре­
дельная точка,
определена бесконечно малая функция
а — а{х) : а (ж) —г 0 при х —> х 0 , причем функция о (х )
не обращается в нуль в некоторой окрестности этой точ­
ки (за исключением, быть может, самой точки Хо). Пусть
т .п е N .
Тогда справедливы следующие утверждения:
т < п;
1)
о(а 11) = о(а т ),
2)
о
3)
о(а т) + о(а п) == о (а т ) ,
4)
0 ( а т) + 0 ( а 11]) — 0 ( а т ) , т < п
5)
о(а т) ■о(ап) = о(а т+п) ;
0)
О (а "' ) • » ( < > ” ) = С9(пш+" ) :
« ) = О (а™ ) ,
т < п;
т < п;
Отношения порядка
7)
(о (а )) п = о (а п) ;
8)
( 0 { а ) ) п = 0 ( а п) ;
9)
а ■о (а п) = о {а п+1) ;
^
а • <9(а") = 0 (а п+1) ;
“ )
^
Щ
5 Ы = 0 ( а» - ') ,
= 4 “ ”- ) .
и > 1;
п>1.
Замечание. Аналогичные утверждения можно сформулировать для бесконечно больших функций.
П р и м ер ы
1.
Найти главн ый член асимптотического представления сле­
дующих функций:
a) /( х ) = 2х3 +
/(.г) = 2ж3 +
X
с) /(х) =
2х3 +
х
(!) 1 (х) =
2х3 +
b)
Ответ: а) 2.т3 ;
а) При
х4
х4
5
5
Ь) х4
при х —>0;
при х —> оо;
при X —> о ;
при
Ж
—> ОО .
<*»*.
х >0 ]'(х ) = 2х3 + .г’ = 2/ ’ + 0(.т3) .
Ф При х —» ос
./(./■) = 2.г3 + .г1= х4 ^1 + ^
= х 4 + о (.г1)
I 11ри .т —►0 получаем
—1
X
/С О
2ж3
. 1+ -х с
5 V
о
+ 5
(1 - ! * > +
= 1
о (* з)
I/) Для х —> оо и м е е м ----->0.
X
X
~ 2ж3 + 5 ~ 2 ^
! + 0 ( * 4)
поэтому
X
,, ч
) =
(
о
-1
V1 + 2 ^
1
-г-3
2т;
Ъ?
При решении
с)
2? + ° ( ^
— в) использовано равенство
1 - х + о (ж ) , х —> 0 .
(1 + ж) ~ 1 =
Найти асимптотические представления при х —» 0 с точ­
ностью до членов второго порядка включительно следую­
2.
щих функций:
я)
/(ж)
= сой ж ;
я) Докажем,что при
6)
ж
/(ж)
—> 0
= е*
сой
.
ж= 1— — +
о (ж 2)
вычислим
1 — СОЙ Ж
2 81112 |
1ип ----- 5-----= п т ------- = п т
ж—0
21
ж—0
21
ж—О
2
Следовательно,
сой
2
Ж2
1 — сой ж ~ — , поэтому
/2
ж = 1 ----- -— 1- о (ж2) , ж —> 0 .
•
х \ 2
81П | Х
х
2
. Д ля этого
Можно показать, что остаточный член имеет вид о(х 3) , или
еще точнее, 0 ( х 4) .
Ь) Уж е известно, что ех - 1 ~ х ,
х -> 0. Используя первое
правило Лопиталя, вычислим предел
Пт
Пт
а:->0
еж- 1 _ 1
х —>0
2х
х2
Поэтому при х —> 0 имеем е — 1 — х
х2
О1 — 1 + х -\— -— г о(т;2)
3.
~ 2'
2 ’
т.е.
◄
Найти асимптотическое разложение при х -► 0 функции
/(и ) = 8ш х , выписывая члены до третьего порядка вклю­
чительно.
► Известно, что в т х ~ х , при гг —»• 0, т.е.
Найдем
Пт
х^О
8111X — X
т-2
=
Пт
х —>0
соз х — 1
2х
= Пт
х-^0
х-^о
81п х — х = о(х)
—2 81112 х
2х
= о.
Это означает, что Ни х - х = о (х 2) . Теперь найдем предел
Пт
х —>0
8111X — X
Пт
С08 х — 1
х^О
(при вычислении пределов использовались правило Лопиталя
и результат примера 2а) ) .
Последнее равенство означает, что
точнее
8 т .т — х = О (ж3)
а
1.2.3. Уточнение основных разложений
11олученные в примерах 1 - 2 результаты уточняют таблицу
(киивалентностей из п.5 раздела 1.1.3.
Приведем более точную таблицу асимптотических разло­
жений основных элементарных функций при х —> 0 (ее следу|I л помнить):
ех = 1 - \ - х + ^ + 0 ( х 3) ;
1п(1 + х) = х — у + 0 ( х л) ;
(1 + х )а = 1 + ах +
8 1П
х = х—
х2 д. 0 ( х 3) ;
+ О (ж5) ;
сов х = 1 — у + 0 ( х 4) ;
1§ х = х + О ( х 3) ;
агсзт х = х + О (ж3) ;
агс!§ х = х + О (ж3) ;
вЬж =
= х + ^ + О (ж5) ;
сйж =
= 1 + ^ + С>(ж4) .
1.2.4. Случай числовых последовательностей
Д ля пары числовых последовательностей {/ п} и {//„},
н Е N , гак же, как это сделано выше для функций, можно вве­
сти отношения порядка при п —> ос (т.е. понятия ” о-малое” ,
" О-бол ыпое” , эквивалентность). Аналогичный смысл имеют
понятия асимптотического представления (разложения), глав­
ного и остаточного членов.
Отношения порядка
П р и м ер ы
Найти главный член асимптотического представления при
П -» оо следующих последовательностей:
а) 1п
Ъп + С
,
с) }п = V И2 + 1 -
е) /п =
п
6) /„ =
' ’"
2п5 + 773 — 1 ’
а, Ь ф 0 ;
'
'
- 3;
Ф) /п =
п2 агс!§ ??,
- ей - ;
гг агс!§ ~
/) /п =
гг3 4- 2
тг3 4- 2
► При гг —> сю последовательность — является бесконечно
п
малой, поэтому мы будем использовать таблицу асимптоти­
ческих разложений основных элементарных функций 1.2.4 .
,
_
а
_ а
1
___ а_ /
с -1
”
Ъп + с
а
Ьп 1 4- г7
Ьп
Ъп V
1 -^ - + 0 ( 1
Ьп
Ъп
Ъп
Ьп
77,
Итак, заменяя при п —> оо выражение /п =
Ъп 4- с
(с 7^0)
а
й
1
на -— , мы совершаем ошибку, которая имеет порядок — .
077,
7?2
Я2
Ь)
/„
г)2
77
2775 + 77,3 -
1
2775
1
1
2п2
1
1
1
2тг3
2пъ
/
4- о
поскольку
Нш
( 1 4----- ------
п—>оо V
с)
2гг2
= 1.
2тг5
772 1 1 - 772 + 3
/ „ = л/772 + 1 — у/772 — 3 =
у/т?.2 + 1 + у/»2 — 3
4
77,
: =
1 + 7Р + V 1 “ н2
2
-
+
О
Л
-
77
1.н. как
Припадем теперь более общий способ решения этого примера:
е)
так как агс!§ п
для п Е N , п —> о о .
п2 агс!§ ^ _ п2
О
-
пз + 2 _
= п
■ П3 (1 +
+ ° („ ))
п3 + 2 "
= !_ + о Г — V
;я2
V " 2/
п
1.2.5. Вопросы и задачи
1.
Докажите утверждения теоремы 1.
2.
Докажите утверждения теоремы 2.
3.
Пусть ш ,п € N .
место равенства:
Докажите, что для ж —> сю имеют
a) 0 ( х т) = 0 ( х п) ,
b)
0 { х т) + 0 ( х п) = 0 ( х п) ,
c) 0 ( х т) ■0 ( х п) = 0 ( х т+п) .
4.
Найдите асимптотическое разложение функции / п])и
х * 0, выписывая члены до второго порядка включи­
тельно:
а) /0*0 = 1п(1 + ж );
5.
Ь) /(ж) = ах - 1
(а > 0).
Найдите главный член асимптотического представления
следующих функций:
о) /(ж)
ъ)
/
0*0
Ж+ 81Пж
ж2 + 1
Ж+ 8111 Ж
Ж2 + 1
с) / ( ж ) = л/ж + 1 — ^ ж 2 + 4ж + 1,
(I) /( ж ) = Д ж + 1 — ^ ж 2 + 4ж + 1,
•у/с • агс!§ ж2
е) /(ж) =
1 + ж2
у/х • агс!§ ж2
/) / (* ) =
1 + ж2
6.
т < гг ;
т<п;
ж-
0;
ж-
ос;
жж-
0;
+оо;
ж-
0;
ж » оо.
Определите порядок бесконечно малой функции / при
ж —» 0 :
а) / (х ) = 4ж2 - (зш \/2х)6;
с) / (ж) = \Л — 2ж4 ж4 - 1;
Ь) /(ж) = 1§2(2ж2) - Зж5 ;
(I) /(ж) = жсов ж + 1п(1 — ж );
*0 /0*0 = у + 1и (со8ж) ;
/) /(ж) = с_гг _ у/еоя ж .
7.
Найдите главный член асимптотического представления
при п —> ос следующих последовательностей.
2п + 1
Ь) /п = \/» +
а) /„ =
, 1
1
е) /„ = с Ь - - соз п
1
/ ) / » = ( Д > - V " 171) - | п ( 1 + у )
1.3.
Ш К А Л А Р О С Т А (У Б Ы В А Н И Я ) О С Н О В Н Ы Х
ФУНКЦИЙ И П ОСЛЕД ОВАТЕЛБНОСТЕЙ
1.3.1. Случай функций
Рассмотрим на множестве И = {х : х > 0 } несколько воз­
растающих функций и изучим их поведение при х —» +оо
Утверждение 1. Для функций из таблицы
1па х
(о- > 0),
хк (А: > 0),
ах
(а > 1)
имеет место равенство
} { х ) = 0(д (х ) ) , х
+оо,
если (функция / в этой таблице предшествует у .
Замечание. Приведенная выше таблица (которую мы назовем
шкалой роста) может быть продолжена и вверх, и вниз.
Например,
1п1пж = о(1пх) , х -л +оо ,
аЛ = о ^а1’ ^ , х —> + о о , если а ,Ь > 1.
Доказательство утверждения 1 проводится вычислением со­
ответствующих пределов.
► Например,
..
1п° х
пн*
х—>+оо х*Г — 0
ПРИ к > 0 и любом а .
Действительно, при а < 0 результат очевиден, а для а > 0
предел можно вычислить, используя правило Лопиталя
М
Остальные соотношения доказываются аналогичным образом.
I ‘посмотрим на том же множестве О = {х : х > 0 } при
0+ несколько убывающих функций и составим шкалу
обивания.
У тв ер ж д ен и е 2. Для функций из таблицы
о*
Д
(0 < а < 1),
( к > 0),
ь а (|)
( « < °)
имеет место равенство
1{х) = о (д (х )) , х —> 0+ ,
гели функция / в этой таблице предшествует у.
Доказательство проводится аналогично доказательству утвер­
ждения 1.
1.3.2. Случай числовых последовательностей
Рассмотрим далее несколько числовых последовательностей,
которые являются дискретными аналогами элементарных функ­
ций.
У т в е р ж д е н и е 3.
Имеет место следующая шкала роста чи­
словых последовательностей:
1па п
пк
ап
п\,
(а > 0),
{к > 0),
(а > 1),
где
/п = о ( уп) ,
п -+ оо ,
если последовательность {/ „ } в этой таблице предшествует
{Яп} ■
►Доказательство также проводится вычислением соответству­
ющих пределов. Заметим только, что эта шкала дополнена по­
следовательностью {п !}
-4
Замечание. Таблицы, приведенные в утверждениях 2 3, так­
же могут быть продолжены и вверх, и вниз.
1.3.3. Простейшие неравенства как следствия
отношения порядка
Сформулируем далее два очевидных утверждения.
Лемма 1.
Пусть функции /, у , определены на некотором множестве
О т имеющем предельную точку х0 .
Если / (х ) = о ^ д (х )^ , х —►х0 , то существует проколо­
тая окрестность точки х 0 , в которой |/(ж)| < \д{х)\
► По условию леммы существует такая бесконечно малая при
х
хо функция а (х ) , что
} { х ) = а (х ) • д (х )
ДЛЯ всех
так как
X
из некоторой проколотой окрестности точки х 0 . Но
Нш а (х ) = 0 ,
Х -+ Х О
ТО в достаточно малой окрестности точки х0 выполняется
|о(.г)| < 1, откуда и вытекает утверждение леммы
<4
Соответствующее утверждение верно для числовых последовател ьностей.
Лемма 2.
Пусть члены, числовых последовательностей { / „} и {у ,,}
при п -> тс свянаны соотношением. /„ = о(у п) .
1'<>/()а существует такое число N , чт,о для всех п > N
т/шпсдливо неравенство \}п\< \9п\ ■
1.3.4. Примеры
I
Какая из функций принимает большие значения при до­
статочно больших значениях х :
a) / ( х ) = 106 х3
b) / (х ) = 1п(х300 + 1)
д (х) = Ю~6х4 ;
д (х) = Ч/х ?
или
или
„) Существует такое число А > 0, что Vх > А выполнено
неравенство / (х ) < д ( х ) . В самом деле,
Нт
х —>+оо
/М
д(х)
Нт
106.т3
х —»+оо 10_6х4
нозтому /{х) = о (д (х )),
х -
ю 12
Нт
х —>+оо
X
= 0,
+оо , и ответ следует из леммы
I п. 1.3.3 .
/,)
При
достаточно
больших
/(х) < # ( х ) , так как
значениях
/ (х ) = о (# (х )) ,
х
справедливо
х -»• + о о ,
потому
что
Нт
/(д)
х —>+оо 0(я)
Пт
1п(х300 + 1)
300 1пх
ж—»+оо
ж—>+оо
(см. шкалу роста из утверждения 1)
◄
Выяснить, что больше при достаточно больших значениях
о
*
о
о
5
п
II
2.
Пт
/„ = 1п25 п
c) /„ = У п ш
= (1пп)|п"
b)
или
или
или
или
9п = П0001;
д„ = (0.95)"
9п =
9)1 = п10 ?
) Существует такое число щ , что Уп > щ
выполнено не­
равенство 1п500 П < и п
пп' , та к к а к / „ = о(.9п) ,
0001
п
о с , ЧТО
следует из утверж дения 3.
6) П ри п —+ оо последовательность / „
м у \/п > п 0 (1п25 п > (0 .9 5 )").
00 ) а 9п
О , поэто-
с) Известно, что
Ищ
= 1.
Поэтому
Ига /,П
п-+оо
1:
/ „/—\100_
П^ °°
П- . 0 0
'
~
Н 10 ж е время при п —> оо последова­
тельность
СЬ, — ЫО/СГ __. ^
,,
,
У
Vп
0 0 , значит, Уп > п 0 справедливо
Уп > /п •
У) Преобразуем выражение / п , используя основное логариф ­
мическое тождество:
/ п = е1пп1п1пп = (е1 п п у “ 1пп _ и |п1пп
П оскол ьку последовательность {1 п 1 п п } бесконечно большая
найдется такое число п 0 , что Уп > п 0 выполнено 1п1пп > 10.’
Значит, $п > дп ; если п > щ
-4
3.
Найти, для к а к и х значений а и /? при достаточно больших
и справедливо неравенство
па < 1п^ п .
О твет:
1) если а < 0 , то
0 - любое;
2) если а = 0. то
►
! ) П усть а < о. Тогда для 0 > 0 неравенство очевидно,
ели / 1 < 0 то согласно шкале роста числовых последователь­
ностей Ы -0 п = о ( П - ) , п - оо (здесь - а > 0 . - / ? > ( ) ) П о-
Уп > Щ
1н /?п < п '
п° < Ь / п .
2) П усть а = О . Тогда, очевидно, для п > 3
1п/3 п > 1
О
(3 > 0 .
3)
П усть а > 0. Тогда по ш кале роста числовых последо1 1 ,цельностей
1п;3 п — о (п а) , п —> оо ,
111и
/3 > 0 , тем более для /3 < 0. Следовательно, при любых
шачениях /3, для лю бых п > щ справедливо 1п^ п < п а , т.е.
1 линое в условии неравенство не выполнено при а > 0
◄
1.3.5. Несколько полезных неравенств
С помощью ш калы роста (убывания) для ф ункц и й или погнедовательностей и лемм из 1.3.3 м ож но легко получить ряд
неравенств, которые полезны при исследовании сходимости не­
собственных интегралов. Такие неравенства мы будем такж е
использовать в дальнейшем (см. главу 2) при исследовании
рядов. Приведем несколько результатов для числовых после­
довательностей.
1.
П у с т ь а - произвольное фиксированное число, /3 > 0.
Тогда найдется т а ко е натуральное число N (зависящее о т
а ,/3 ) , ч т о для всех п > N справедливо неравенство
1п“ п
1
П1+Р
+2
► Заметим, что
1п“ п
д'+З <
0
«ф 1пг п < П2 .
Поскольку
к =
— >
0
, учитывая, что
1п“ п = о (п к) , Т1 —♦ оо ,
по лемме 2 получаем 111" п < пк для п > N
◄
2.
П у с т ь а - произвольное фиксированное число, (3 > 0 .
Тогда найдется т а к о е натуральное число N = ТУ( а , / ? ) ,
ч т о для всех п > N справедливо неравенство
1 па
п
и
77 1
1
177
— —
1
2
Доказательство аналогично.
3.
П у с т ь к - произвольное фиксированное число.
Тогда
для всех п > N ,
п к ■е~п < —
где N = АТ( к ) .
1.3.6. Вопросы и задачи
1.
Докажите утверждение 2 и. 1.3.1.
2.
Докажите утверждение 3 п. 1.3.2.
3.
Выясните, что больше при достаточно больших значениях
х :
а) /(ж) = х агс!§ х
9
хг
Ь) / (я ) =
\/х + 10
. 1
с) /(ж) = X 8111 —
д) /(.г) =
1
Х
или
9 (х) = х 1п х
или
9(х) = х 1п х
или
9 (х) =
или
9(х) =
1п х
X
4.
Выясните, что больше при ж —* 0 + , т.е. в достаточно
малой правой полуокрестности точки Жо = 0 :
а) /(ж) = ж агс!§ ж
ж
6) /(ж) =
с) /(ж)
ж + 10
1
Ж 81П
сО /(ж) =
5.
ж+ 1
д(х) = х 1п — ;
или
ОС
или
д(х) = ж 1п — ;
или
д(х) = \[х ;
или
д( ж) = — • 1п — ?
ж
ж
ж
Выясните, что больше при достаточно больших значениях
п
а) п ЮО100 или
с) пп или п!
е)
6.
(1 п 1п
п
) 1п п
(1.001)";
или
п2 ;
Ь) 100"
Л) 1п ^
!)
(1 п
п
или
или
) 1п1п"
п !;
\^1п п , к € N ;
или
Найдите, для каких значений а > 0 и Ь при достаточно
больших п справедливо неравенство:
а) аЪп < п2 ;
7.
п ?
Ь)
1пь п < ап ;
с)
1пь п > ап ?
Докажите неравенства 2 и 3 и. 1.3.5.
1.4. А С И М П Т О Т И Ч Е С К И Е Р А З Л О Ж Е Н И Я
ФУНКЦИЙ
В заключении вводной главы напомним асимптотические
представления основных элементарных функций, полученные
в начальном курсе анализа. Они уточняют приведенную в п.
1.2.4 таблицу. Итак, согласно формуле Тейлора-Маклорена, в
некоторой окрестности точки х0 = 0 для любого фиксирован­
ного значения и € N имеют место равенства:
1.
ех = 1 + х + - -- + ^ + о ( х п+1
2.
зш х = х - § + • • • + ( —I ) " -1
3.
С08х = 1 — ^ + ... + ( - 1 ) " ^
4.
зЬ.т = х + ^ + • • • + ^
5.
сЪх
6.
1п(1 + х) = х - ^ + • •• + ( —1)п-1
7.
(1 + х )а = 1 + а ж +
= 1 + *4 + . . . + ^
+ О ^ г 2м+ Л
+ 0 ( х 2п+* )
+ О ^ж2п+Л
+ о ( х^
+ о ( х п+Л
—— ж2 +
а (а — 1) • • • (а — п + 1)
+ — ------------ г------- хп + О
п\
Дополнительная литература к главе 1: [4, 7].
.
х п+1
2
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
г л а в а
2.1. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я . С В О Й С Т В А
ЧИ СЛО ВЫ Х РЯДОВ
2.1.1. Определения
Рассмотрим последовательность действительных чисел
{ а п }.
О п р ед елен и е 1. Выражение
ОО
а\ + (12
+ •' ' +
(1п
+ ' ' ’ = X I а"
п= 1
называется ч и с л о в ы м р я д о м .
Числа « 1 , « 2 , •••«п, •• • называются
чл ен а м и ряда.
О п р ед елен и е 2. Конечная сумма
П
зп
называется
=
а\
+
й2
+ ••• +
п -й ча ст и чн ой су м м ой
ап =
X I аь
к= 1
ряда (1).
(Й
Заметим, что числовым рядом (1) последовательность {$п} опре­
делена однозначно. Обратно, по заданной последовательности чи­
сел {■‘>',1} однозначно определяется ряд, для которого {,<?„} является
последовательностью частичных сумм:
а\ = «15 ак = Зк ~ Щ--1 (к > 1).
оо
Определение 3. Числовой ряд ^ ап называется сходящимся, если
71=1
сходится последовательность его частичных сумм {.?„}, т.е. суще­
ствует конечный предел П т зп.
п—>оо
00
Число 5 = ^Пт_ зп называется суммой ряда: ^ ап = з .
77=1
Ьсли последовательность {.?„} расходится, ряд (1) называется
расходящимся.
Определение 4. Выражение
ОО
гп =
ак
к=п+1
называется п-м остатком ряда.
Если ряд сходится к сумме з , то гп = з — зп .
Примеры
Исходя из определения, исследовать сходимость следующих ря­
дов:
ОО
а)
дга-1 = 1 + у + у2 -|------ \-уп -\---- .
71= 1
Ответ: ряд сходится тогда и только тогда, когда \ц\ < ] , т.е. когда
■но сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
► Используя формулу суммы п членов геометрической прогрессии
1 - а11
найдем для данного ряда частичную сумму: з„ = ---- — а ф 1
1- Ч '
1) Если |д| < 1, то существует
П т зп =
п —»оо
Пт
п —>оо
1
1-
——
1 —
Я
т.е. ряд сходится и имеет сумму з — ^
1
Т ^ ’
^•
2) При |д| > 1 не существует конечного предела
\'т^ зп , т.е.
ряд расходится.
3) Если д = -1, имеем ряд
1 — 1 + 1 — 14---- ,
для которого 82в—1 = 1, «2п = 0 • Ряд расходится, так как у после­
довательности {$ „} две предельные точки: 0; 1.
4) Если д = 1, получаем ряд
1 + 1 + 1 + ••• ,
у которого зп = п ,
Ь)
Е
п= 1
Шп^п = оо , т.е. имеем расходимость
__1___
п(п + 1)
Ответ: ряд сходится.
^ Заметим, что
1
п(п + 1)
1 ____ 1_
п п+ 1
Тогда
1
1
= Г^2 + + 3 +
1
1 1
1___
+ п(п + 1)
1
1
1
= 1 - - + - - - + - + " + -------- 777
1
п + 1’
◄
т.е. ряд сходится к сумме
« = Пт [ 1
п+ 1
= 1
1
с) п=1
Е п(п + 1)(п + 2) '
Ответ: ряд сходится.
► Нетрудно проверить справедливость равенства
ак -
1
1
1
+
к(к + 1)(к + 2)
2к
к + 1 2(к + 2)
1 П ____ 1 _\
1
1
1
к к + 1) + 2
к+ 2 к+ 1
Тогда
1
1
1
8п ~ ~-- 1----- (■ X--Г-- г + ••• +
1-2-3
2- 3- 4
п(п + 1)(п + 2)
_ 1 Л
1
1 11 1:
1
1
1
1
~ 2 ( 1 ~ 22 + 3
Я- 2
9 + --- + -п - п + 1 + п + 2
п+
1
= ^
1 - 2^ ' п +1 2 п + 1)
2 V
+
“
Данный ряд сходится, поскольку существует
П т зп = П т
п_*°°
-
(1 — - -)---------------- 1 _
п^°° 2 V
2
причем сумма этого ряда з =
п + 2 п+1
4 И
I кинет: ряд сходится.
► Используя оценку
1
1
1
V1 < к(к - 1) ~ к - 1
I
(2 )
(к>1),
Покажем ограниченность сверху последовательности частичных сумм:
\/п:
а „ - 1 + 1 + --. + 1
<1
+
1
1
2
1
+
2
1
“
3
• 4---- —г — — = 2 — — < 2 .
+
п —1
п
п
Поскольку ап = — > 0, последовательность { « „ } возрастает, зна-
пл
шт, она (а вместе с нею и рассматриваемый ряд) сходится
■{амечание. Исследование сходимости ряда на основе определения
3 предполагает либо вычисление предела последовательности ча­
стичных сумм { 5,,} (см. примеры а ) —с)), либо доказательство его
существования на основе теории пределов (пример <1)). Заметим,
что в первом случае мы находим сумму ряда (тем самым доказав
его сходимость).
Однако на практике эти методы применяются редко, так как
обычно последовательность { з „ } имеет сложный вид. Тогда ре­
шить вопрос о сходимости {,5„} , а тем более вычислить ее предел,
не представляется возможным. Поэтому используются другие ме­
тоды (так называемые признаки сходимости), с помощью которых
и исследуется сходимость рядов.
2
. 1 .2 . П р о с т е й ш и е у т в е р ж д е н и я о с х о д и м о с т и
Утверж дение 1. Из определения 3 следует:
для сходимости ряда (1) необходимо и достаточно, чтобы су­
ществовало такое число з, что
V? > 0.
ЗЛГ = Лг(е).
V » >
N : |в - в„| < с .
Другими словами, необходимо и достаточно, чтобы последователь­
ность остатков ряда была бесконечно малой:
гп = о( 1), п —> оо .
Утверждение 2 (необходимое условие сходимости ряда).
Если ряд (1) сходится, то
Нш ап = 0 .
(3)
4
п — ►ОО
► ап — 8п —вп_1 . Так как ряд сходится, то Нт
п —»оо
вательно, существует
8, следо-
Пш ап = Пт (в„ - вп_ 1) = Пт зп - Н т 5„_1 = 5 - в = О
п—>оо
п—>оо
п —>оо
п—>оо
7
◄
Замечания.
1) Для решения задач важно очевидное следствие последнего утвер­
ждения:
Если не выполнено условие Пт ап = 0, то ряд
ап расхо­
дится.
2) Условие (3) не является достаточным.
1
1
—= расходится, тогда как Пт —— = 0.
,д1 V й
п^°° Ф
т.е. необходимое условие сходимости выполнено.
В самом деле, рассмотрим оценку частичной суммы:
“
► Покажем, что ряд
1
1
п
8п — 1 + — т= Н--------- Ь — р= > — р= = л / п .
Д2
х /п
х /п
Отсюда следует, что не существует конечного предела последова­
тельности {я,,}, значит, ряд расходится
◄
11римеры
Доказать расходимость следующих рядов, используя необходи­
мое условие сходимости:
ОО
а)
^2дк = 1 + д + д2-\------ \-дп -\---- , оде |д|>1.
^ Этот ряд уже был рассмотрен в примере а) п. 2.1.1. Здесь мы
ос шновимся на доказательстве его расходимости. Действительно,
при Ы > 1, очевидно, не выполнено условие Нт д11 = 0. А
именно, для д > 1 э т о т предел равен + о о , для д =
I, а при д < —1 он не существует
◄
1
предел равен
► Ряд расходится, так как для него не выполнено необходимое услоиие сходимости:
2п3
п^оо 3п3 + 1
оо
с)
^
8П1П .
п= 1
► Ряд расходится, поскольку не выполнено необходимое условие
сходимости.
В самом деле, предположим, существует Н т^зтп = 0.
I [оскольку
з т (п + 1) = з т п соз 1 + соз гг з т 1
имеем
соз п з т 1 = зт (п + 1) — з т п соз 1.
Из предположения следует, что существует предел при
п —е ос правой части последнего равенства, значит, существует
Нт (соз п •з т 1) = П т зт (п + 1) — соз 1 • Нт зтга = 0 .
п —>оо
оо
Отсюда с учетом з т 1 / 0 получаем
4 Ряды
п—юо
Нт^соз п = 0 .
С другой стороны, предельный переход в основном тригономе­
трическом тождестве дает
П т (з т 2 п + соз2п) = 1,
что противоречит
Н т з т п = Пт соз п = 0.
п —*оо
п —>оо
Таким образом, равенство Н т з т п = 0 не имеет места
2.1.3.
◄
Критерий Коши сходимости ряда
Теорема.
Для сходимости ряда (1) необходимо и достаточно, чтобы
\/е > 0, ЭТУ = 7У(е), Уп > ЛГ, Ур 6 N : \ап+\ -I------ 1- ап+р|< е .
► По определению сходимость ряда - это сходимость последова­
тельности его частичных сумм { зп}. Используя критерий Коши для
последовательности, получаем: { зп} сходится тогда и только то­
гда, когда
Уе >
0, ЭЛТ =
7 У (б ), У п >
./V,
Ур
€ N : |зп+р — з„| < е .
Но
Примеры
Исследовать сходимость рядов с помощью критерия Коши.
а)
► Используя очевидное неравенство
1
1
’
к > 1, и оценку
('.!), рассмотрим
|® п + 1 + ’ ' ‘ + а п + р |
__1___
~ ( п + 1)3 +
1
(п + I ) 2 +
1
1
п
П+ 1
1
(п + р)3
1
(п + р)2
1
П+ р 1
1 _1
П+ р
п.
_1 _
П+ р
Итак,
1
1
------ < - < е ,
п+ р
п
|ап+1 + ---- 1" а«+р1 < п
\/р е
. Ряд сходится согласно критерию Коши
если п > АГ, где АГ —
◄
оо
ь)
(гармонический ряд).
V п=1
► Если р = п
п +р
1 + ...+ + - >
*
п+ р п+ р
п+ 1
Е
&=гН-1
п
2п
2
Таким образом,
Зб =
^
> О,
УАГ,
Уп
>
А /\
Эр = п
:
1.е. по критерию Коши ряд расходится
соз(п!)
с)
+
п—1
|а
„+1 4---------Н а п + р | >
◄
е ,
► Рассмотрим
соб(п + 1)!
соз(те + р)!
+ ••• +
(те + I ) 3
(П + р)3
сов(те + 1)!
сов(те + р)\
<
+ ••• +
(п + I ) 3
(те + р)3
1
1
<
(те + 1)3 + ‘ ” + (те + р )3 '
|°п+1 + ••• + ап+р\—
Далее можно полностью повторить оценки примера а). Поэтому
получаем
У п> N , \/р е N :
так что ряд сходится
а)
|ап+1 + ---- I- ап+р\< - < е ,
те
◄
2 + Вт те
>
,
— г.
п=1 V й ■(п + 1)
► Если р — те > 1
1а п + 1 + • • • + а п+р\
2 + зт(те + 1)
^
2 + зш(те + р)
\ / ( т е + р ) ■ (те + р + 1 )
\ / ( т е + 1 ) • (те + 2 )
ъ ________1________^
^ _________ 1
_ у/(п + 1) • (те + 2)
^ ________1________ ^
л/(те + р) • (т е + р + 1)
^ _____
1
л/(те + 2) • (те + 2)
-
1
1
те + 2
те+р+1
>
^/(те + р + 1) • (те + р + 1)
Р
_
те
те _ 1
те+р+1
2 т е + 1 > 3те
3‘
Мы использовали очевидные соотношения
|2 + 81п к\ = 2 + 8ш к > 1
и идею решения задачи Ь ).
Таким образом,
УЛГ, Уп > Я, Зр = п :
<4
п по критерию Коши ряд расходится
ОО
«)
1011+ 1 + • • • + а-П+р I > 6 !
{1пп}
зп '
Е
п=2
► Здесь запись {1пп} обозначает дробную часть числа 1пп. Известно, что 0 < {1пп} < 1.
Оценим сумму
Ур € N :
|ап+1 + • '' +
{ 1 п(п +
—
1
а п+р I
)}
дп+1
,
, { 1 п(п + р )}
Н
Ь
1
<
1
^Г+ 1 + • • • +
3
+ "
_1 __
1
З^+р < ^ т г + • • • +
1 / 1
= ^Й Т V1 +
3 п+Р
1
+ ЗП+Р+1
\ _
1______1 _ =
1
) ~ Зп + 1 1 - 5
2- 3”
Поэтому, очевидно
Уб > О, ЗЛГ, У п > 1 У,
так что ряд сходится
ОО
/) Е
УреК:
|о„+1 Н------ 1-оп+р| < б ,
◄
1пп
^Ъ/2-
71=1
► Поскольку 1цп = о (п 1/2)
при т
г
оо , то найдется такой номер
ЛТ
ЛТ
1пп
_ ,
N , что для п > N имеем —г-рг < 1 (см. п. 1.3.5 . Тогда
|ап+Н---- + Оп+р|
1п(п + 1)
(п + I ) 5/2
1п(п + р)
(п + р)5/2
1п(п + 1)
1
(п + 1)1/2 (п + 1)2
1п(п + р)
1
(п + р )1/2 (п + р) 2
(п + р)2 '
(п + I ) 2
Далее, используя оценку (2) и повторяя рассуждения, приведенные
в примере а) , получаем сходимость данного ряда
◄
2.1.4. Некоторые свойства числовых рядов
оо
а)
Ряды
оо
и
где гп > 1, сходятся и расходятся
п=т
одновременно.
► Доказательство следует из того, что критерий Коши сходимости
одного из этих рядов является одновременно критерием Коши схо­
димости и второго ряда
◄
Замечание. Утверждение а) означает, что отбрасывание, добавле­
ние или изменение любого конечного числа членов данного ряда не
влияет на его сходимость (но может повлиять на сумму).
Ь)
Пусть с ф 0
фиксированное число.
оо
с - ап . Если з - сумма ряда (1), то сумма второго равна с ■з.
71= 1
► Перейдем к рассмотрению частичных сумм этих рядов, которые
равны соответственно зп и с- зп . Утверждение следует из того, что
последовательности { з „ } и {с •,ч„} при с ф 0 сходятся и расходятся
одновременно
◄
' Замечание. Если с = 0, то второй ряд сходится всегда.
°о
с) Пусть ряды
^ ап
п= 1
II В соответственно.
оо
и
Ъп сходятся и имеют суммы А
п=1
оо
Тогда ряд ^
( ап + Ъп) сходится и имеет сумму А + В .
71=1
► Обозначим частичные суммы данных рядов
Ап - а\ + 02 Н----- 1-а п , Вп = Ь] + Ь2 -\------ Ь Ьп ■
11о условию Нт Ап = А ,
П т Вп = В .
Тогда частичные суммы третьего ряда имеют вид
Сп = (а.1 + Ъ\) + ••• + (йп "Т Ъп)
= (а\ + а2 + ■■■+ ап) + {Ъ\ + Ъ2 + ■■■+ Ьп)
— Ап + Вп .
11о теореме о сумме сходящихся последовательностей существует
Пт Сп = Пт (Ап + В„) = П т Ап + П т Вп = А + В
п — ►ОО
п — ►ОО
71— ►ОО
п
◄
►ОО
2.1.5. Вопросы и задачи
1.
Исходя из определения, докажите сходимость следующих ря­
дов и найдите их суммы:
a)
b)
с)
1 1
1
1 ~ 3 + 9 ~~ 27 + " ’
1 +Л +Л +
3-5 ' 5-7
1-3
1
1
+
+
+
3- 5- 7 ' 5- 7- 9
1-3-5
оо
^2, { У п + 2 — 2 л/п + 1 + у/п\ ;
п= 1
'
е)
д з т а + д2 з т 2 а + ••• + д” з т п а + •• •
/)
<7 соз
а + д2 с о з 2 а + • • • + дп с о з п а + •• •
(|д |< 1);
(|д| < 1 ) .
ОО
а« = О• Обязан ли сходиться ряд
^
ап ?
2.
Известно, что
3.
Докажите расходимость рядов, используя необходимое усло­
вие сходимости:
2п
П
у/п
п
+
2
п
+
1
1п(п + 1) ’
71=1
п=1
“>
» Е
<=> Е
71=1
71=1
Д
0,001 + у/0, 001 + у/0,001 + • • • + ^/бДШ + • • • ;
е)
соз а + сое 2а -I----- 1- соз па Н----- ;
ОО
,
я Е ^ге=1
4.
2
Исследуйте сходимость рядов, используя критерий Коши:
«) Е ^ # Е
71=1
оо
■=) п=1
Е
00
■о Е
71=1
ОО
71=1
2 "
,
Ч Е ^ 2г 5);
71= 1
ОО
о
1 4- С0 э гг
у/п
я_
п ±п .
П
;
Е
Йа
^
^
71=1
агс1§ п
у/ п
8 1П
' (п
+ 1) ’
пт •агс!§ (у /п + 3)
П*
хе
оо
5.
ап сходится. Докажите, что полученный из
Пусть ряд
п= 1
него в результате группировки членов (без перестановок) ряд
^ ' -Ап также сходится и имеет ту же сумму. Докажите, что
п=1
обратное неверно.
2.2. З Н А К О П О С Т О Я Н Н Ы Е Р Я Д Ы . С Х О Д И М О С Т Ь
РЯДОВ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫ М И ЧЛЕН АМ И
2.2.1. Знакопостоянные ряды
Определение. Ряд называется знакопостоянным, если его члены
ап не меняют знака Уп > гщ .
Заметим, что в соответствии со свойством а) п. 2.1.4 отбрасыва­
ние или изменение любого конечного числа членов ряда не влияет
на его сходимость, поэтому можно считать, что ап сохраняют зна­
ки Уп > 1.
В дальнейшем будем для определенности рассматривать число­
вой ряд с неотрицательными членами:
оо
( 1)
(подчеркивая неотрицательность членов, для них используют обо­
значение рп вместо ап ).
Все утверждения этого параграфа о сходимости остаются спра­
ведливыми для знакопостоянных рядов (если ап < 0, то нужно
произвести умножение на —1; сходимость при этом сохраняется,
см. 2.1.4 6) ).
Теорема 1 (критерий сходимости рядов с неотрицательными
членами).
Ряд (1) с неотрицательными членами сходится тогда и только
тогда, когда его последовательность частичных сумм ограничена
сверху, т.е. 3 С, У п : зп < С .
► Необходимость. Пусть ряд (1) сходится. Это значит, что схо­
дится последовательность {,9„}, поэтому она ограничена.
Достаточность. Из условия рп > 0 вытекает, что последова­
тельность {.5П} монотонно не убывает. Так как по условию теоремы
она ограничена сверху, {.?„ } сходится
◄
2.2.2. Признаки сравнения
Теорема 2 (первый признак сравнения).
Рассмотрим два ряда
оо
^ 2 рп
ОО
(1)
и
(2)
71=1
Если Уп имеют место неравенства 0 < рп < р'п ,
то: 1) из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1);
2) из расходимости ряда (1) следует расходимость (2).
► Обозначим последовательности частичных сумм рядов (1) и (2)
соответственно { з „ } и { з^} . Из условия рп < р'п имеем зп < з'п .
1) Пусть ряд (2) сходится. По теореме 1 существует такое число
С, что Уп справедливо з'п < С . Но тогда и зп < С , следовательно,
сходится ряд (1).
2) Пусть ряд (1) расходится. Из теоремы 1 следует, что после­
довательность { зп} не ограничена сверху. Следовательно, не огра­
ничена также и {з^ }, поэтому ряд (2) расходится
◄
Замечание. Как уже отмечалось, изменение конечного числа чле­
нов ряда не влияет на его сходимость, поэтому в условиях этой
и нижеследующих теорем достаточно требовать выполнения нера­
венств вида рп > 0 или
рп < р!п и т.п. не для всех п, а
Уп > щ , т - фиксированное число.
Следствие.
Пусть рп > 0, р'п > 0 и рп = о(р'п) , п —> оо.
Тогда из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).
► Если рп = о(р'п) , п —> оо, то Уп > по выполнены неравенства
О < рп < Рп > откуда в силу теоремы 2 следует утверждение ◄
Теорема 3 (второй признак сравнения).
Пусть рп > 0, р'п > 0 и рп — 0*(р'п), п —> оо
(т.е.
Р п -Р 'т п ^ оо).
Тогда оба ряда (1),(2) сходятся или расходятся одновременно.
► Из условия Рп = 0*{р 'п) , п - » оо, следует, что существуют но­
мер по и постоянные М\> 0; М 2> 0 , что \рп\< М\ \рп\и одновремен­
но
\р'п\< М 2 \рп\для всех п>щ.
С учетом неотрицательности рп , р'п имеем
0 < рп < М\ •
о
<
р;
<
м
,
(3)
2 -р п -
(4)
Остается применить теорему 2. Действительно, пусть сходится
оо
ряд (2). Тогда сходится ряд ^
М х ■р'п и из неравенств (3) следует
71—1
сходимость ряда (1).
Аналогично, имея сходимость (1), с помощью неравенств (4) по
теореме 2 получаем сходимость ряда (2)
◄
Следствия теоремы 3.
Утверждение 1 (признак сравнения в предельной форме).
Пусть рп > 0 , р'п > 0 и существует
И
= Ь
п^оор'п
{Ьф 0 , Т / о о ) .
Тогда ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.
Р'П
► Пусть существует конечный предел Игп^
= Ь , где Ь ф 0. Из
п~~* Рп
этого условия следует рп — р'п , п
оо
◄
Важным частным случаем (при Ь = 1) утверждения 1 является
следующее утверждение.
Утверждение 2.
Пусть рп ~ р'п, п -^ оо.
Тогда ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.
Замечание. Обратите внимание на то, что все признаки сравнения
сформулированы для рядов с неотрицательными членами. Ниже
приведен пример (см. 2.4.4 /г)), показывающий, что для знакопере-
менного ряда утверждение 2 неприменимо.
Примеры
Применение теорем 2, 3, а также их следствий к исследованию
сходимости сводится к сравнению членов данного ряда с членами
уже известных рядов. Этими рядами чаще всего являются сумма
оо
бесконечно убывающей геометрической прогрессии ^ дп , \у\ < ] .
п=1
и обобщенный гармонический ряд ^
1
—
(ряд Дирихле).
п= 1 ^
1.
Исследуем сходимость обобщенного гармонического ряда
1_
Е нР
п=
(5)
1
для а) р > 2;
Ъ) р < 1.
Сходимость ряда (5) для 1 < р < 2 будет показана ниже, см.
2.3.1, пример а).
1 1
► Очевидно, — < —- при р > 2;
1 1
— > -
при р < 1.
пР~п
ОО ^
Выше было доказано, что ряд Е Е 2 сходится (2.1.1, пример
пР
пг
п= 1 П
ОО |
д)), а ряд ^ — расходится (2.1.3, пример Ь)). Поэтому согласно
п= 1 П
первому признаку сравнения ряд (5) при р > 2 сходится, а при р < 1
расходится
◄
2.
Исследовать сходимость следующих рядов:
|
«)
оо
Е ; — ;
И=2 1пП
ОО
^
/
ь)
1
\
1
у ] 2п •81П ■
^
3^
00
) п=1
Ё 1п(* +-); «ОпЕ
=3
П
7Г
п2 + 1
п
61
Знакопостоянные ряды
о) Поскольку 0 < 1пп < гг , п > 2 , то
ос
^
ч('ский ряд У
1
1 ГТЛ
---- >
• Так как гармони1П 71
ТЬ
— расходится, то по первому признаку сравнения
п=1
п
1>асходится и данный ряд.
Ь) Отметим, что агп— > 0 при всех п > 1.
В силу известного неравенства 0 < зш а < а (а > 0) имеем
8Ш —
<
Зп ~
Так как ряд
2\п
- )
^
2П
_1_
У
сходится, наш ряд также является сходя­
щимся.
г) При п > 1 1п ^1 + —^ > 0. Имеем
п
1п
оо.
ОО
Поскольку ^ ^ — расходится, данный ряд также расходится в сил^
71=1 П
утверждения 2.
(I) Очевидно, члены этого ряда положительны. При п —> оо спра­
ведливы асимптотические соотношения
7Г
-----
п
7Г
п
1
п
п2 + 1
7Г
1
п
7Г
П
Исходный ряд сходится в силу признака сравнения, потому что схооо
ДИТСЯ р я д
У
77=1
2
◄
2.2.3. Признаки Даламбера и Коши
Теорема 4 (признак Даламбера).
1) Пусть члены ряда
Е Рп,
где
рп > 0, удовлетворяют
п=1
неравенству
Р ^ < д<1
Уп > по > I .
(6)
Тогда ряд сходится.
2) Пусть
^ п+1 > 1) при всех п > щ > 1.
Рп
Тогда ряд расходится.
► 1) Заметим, что, не уменьшая общности, можно считать щ = 1.
Тогда из неравенства (6) следует
Р п + 1 < <7 • Рп < <?2 • Р п —1 < • • • <
•Р 1 .
ОО
Так как ряд
53 (р
при 0 < д < 1 сходится, то сходится ряд
71=1
ОО
53 Р1 ' Цп , следовательно, сходится (1) в силу теоремы 2.
п=1
2) Если
^п+1 > 1, т.е.
рп+1 >
Рп
Рп
> 0 при любом п, то не
выполнено необходимое условие сходимости
ряд (1) расходится
Н т рп = 0 , поэтому
◄
Для практических целей более удобна иная форма.
Теорема 5 (признак Даламбера в предельной форме).
Пусть для членов ряда (1) существует предел Нт ^п+1 = Ь .
п -о о
рп
Тогда ряд:
1) при Ь < 1 - сходится;
2) при Ь > 1 - расходится.
► Если Ь < 1, то найдется такое число е > 0, что Ь = 1 — 2е , т.е.
Т + е = 1 —е .
По определению предела для этого е существует такой номер ЛГ,
что У п > N
, л
(7)
ь _ е < Рц±1 < Ь + е = 1 - е .
Рп
Число 1 - е играет роль у < 1 из неравенства (6). В силу теоремы
4 ряд сходится.
Если I > 1, то существует такое число е > I), что ь - г -I- е ,
т.е. Ь —е — 1. Тогда на основании левого неравенства из (7) имеем.
Уп> N :
> Ь - € = 1,
Рп
откуда по теореме 4 получаем расходимость ряда (1)
◄
Замечания.
рп+1
1) В теореме 4 условие —— < Я < 1 нельзя заменить на
оо х
». В самом деле, для гармонического ряда 53 - , имеем
71=1
П
Рп+1
Рп
п
+ 1
< 1,
однако этот ряд расходится
◄
2) В теореме 5 при I = 1 о сходимости ряда (1) ничего нельзя
сказать.
► Легко проверить, что Нт
71
= 1 для рядов 53 ^ и 51 п2 ’ пер
р п
00
вый из которых сходится, а второй расходится
п —1
71=1
◄
Теорема 6 (признак Коши).
Р а ссм от р и м р я д с неот рицат ельны м и членам и
^
53
’
Рп>
0•
71= 1
1)
П уст ь
< я < 1
для все х п.
Т о гд а р я д сходи т ся .
2)
П уст ь
> 1
для всех п.
Т о гд а р я д р а сх о д и т ся .
( 8)
► 1) Из неравенства (8) следует, что рп < дп . По признаку сравнеОО
ния получаем сходимость ряда (1), так как ^
, 0 < д < 1, схо-
п= 1
ДИТСЯ.
2) Из неравенства (9) вытекает рп > 1 при любом п, т.е. для
ряда (1) не выполнено необходимое условие сходимости
◄
Теорема 7 (признак Коши в предельной форме).
Пусть для членов ряда (1) существует Н т г/рТ = Ь .
П —КХ)
У
Тогда: 1) при Ь < 1 ряд сходится;
2) при Ь > 1 ряд расходится.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 5.
Замечания.
1) Как и в случае признака Даламбера, условие (8) теоремы 6
нельзя заменить на г^/ущ < 1.
2) В случае Ь = 1 признак Коши в предельной форме не решает
вопроса о сходимости ряда.
Теорема 8 (усиленный признак Коши).
Пусть верхний предел Н т {/гД = Ь .
п — ►ОО
Тогда: 1) при Ь < 1 ряд (1) сходится;
2) при Ь > 1 ряд расходится.
► Заметим, что верхний предел Н т г/гД, возможно бесконечный,
п — ►ОО
существует всегда.
1) Пусть Ь < 1. Поскольку верхний предел - наибольшая из
предельных точек последовательности, то \/е > 0 найдется такое
число N , что \/п > N выполнено неравенство
< Ь + е.
'1 '
г
1+Ь
Выбирая е =
имеем д = Ь + е = —-— < 1. Поэтому
утверждение следует из п. 1) теоремы 6.
2) Пусть Ь > 1. Рассмотрим монотонно сходящуюся к нулю по-
Ь ~ 1. Из
т
жопределения верхнего пре­
следовательность чисел еп = -----дела следует, что Уп € N существует такой член рассматриваемой
последовательности { (/щ} с номером кп , что
> Ь - еп .
Так как при п > 1 справедливо Ь - еп > Ь - 1. то Рк„ > ■
Поэтому для последовательности членов ряда не выполнено необ­
ходимое условие сходимости Ут\^Рк = 0. Ряд (1) расходится
Примеры
Исследовать следующие ряды на сходимость:
00 х11
а)7 Е
“ ~Т
п!> х > 0 ;
п=1
~ Зп п\
с)
пп
6
п=1
«
Е
е)
п=1
“ 2 (1о§2П)п ’
«
( - 1 Г + 3.
2П+1
’
п10 (\/3 + ( —1)ПУ
/) п—
Е1------2П + Зп
1
►
а) Находим
Пт
х п +1
Рп+1
П— ►ОО
^
Рп
п\
(п + 1)! ' ж"
Н т ------ = 0 < 1,
п —>оо п + 1
следовательно, ряд сходится по признаку Даламбера.
b) Так как
’
Нт Ч/п = 1, то
п —>оо
>/п
1
Нш хГПп = Пш г------ = И < 1 >
п >С>С) 1 о § 2 ^
п —>оо
поэтому ряд сходится в силу признака Коши.
c) Имеем
Нт
Рп+1
п—>оо Рп
"
Зп+1 (п + 1 )! п'
(п + 1)п+1 Зп п!
= 3 71—
Нт
КХ)
1,
(1 + ^)п
е
следовательно, ряд расходится по призна!
5 Ряды
3 -пп
п^оо (п + 1)”
Даламбера.
А) Вычисляем
/ 4п + 1 \
VЗп + 2 /
Итак, ряд расходится по признаку Коши,
е) Рассмотрим
Рп+ 1
Рп
_
[(-!)"+ ! + 3] -2»+1
2 п +'2
• [(—1)га + 3]
1 ( —1)” +1 + 3
" 2 ‘ 1 -1 )п+ 3
( 1, п = 2к + 1
п = 2к
Последовательность
имеет две предельные точки, поэтому
т™ Р п + 1
не существует и признак Даламбера в предельной форме
не применим. Условия теоремы 4 также не выполнены, поэтому
признак Даламбера не дает результата.
В то же время существует
Пт
<У К =~-Вт Д - ф + З = 1 < 1
Итак, по признаку Коши ряд сходится.
/) Заметив, что рп > 0, найдем
( !ледовательно, по усиленному признаку Коши ряд сходится
◄
Замечание. Из доказательства теорем 4, 6 видно, что призна­
ки Даламбера и Коши как средство исследования сходимости ря­
дов примерно одинаковы по точности (сходимость в обоих случаях
получается из сравнения с членами бесконечно убывающей геоме­
трической прогрессии, а расходимость - по причине невыполнения
необходимого условия). Однако признак Коши является несколь­
ко более сильным, чем признак Даламбера, в следующем смысле:
когда признак Даламбера дает результат, тот же результат дает и
признак Коши. Если же признак Даламбера не дает ответа о сходи­
мости (или расходимости) ряда, признак Коши такой ответ может
дать (см. пример е ) ).
2.2.4. В оп р осы и задачи
ОО
1.
Пусть ап < Ьп
Ьп сходится.
при всех п е N и ряд
п—1
ОО
Обязан ли сходиться ряд
2.
Приведите примеры, доказывающие утверждения замечаний
1), 2) к теоремам 6 и 7.
3.
Докажите усиленный признак Даламбера: если для членов ря­
да (1), где рп > 0, выполнено неравенство
- < 1, то
ряд (1) сходится.
ОО
4.
Докажите, что ряд
^
ап , ап > 0 , сходится тогда и только
п=1
тогда, когда сходится полученный из него в результате про­
ОО
(Сравните с
извольной группировки членов ряд
утверждением задачи 5 п. 2.1.5).
ОО
5.
Докажите, что из сходимости ряда ^
77=1
рп ,
рп > 0, следует
У
сходимость ряда
у/рпрп+1.
п—1
оо
6.
^РпРп+ 1 ,
Следует ли из сходимости ряда
Р п > 0, схо-
п= 1
димость ряда
Е Рп?
те=1
7.
Исследуйте сходимость следующих рядов, используя различ­
ные признаки:
а)
Ё
П
I 1-
71= 1
п+ 1
6)
п2 + 1
у 1п
п= 1 и2 + 3 ’
е)
V
оо
д)
^
п 10
Зга+ 4П
оо
.
У -------- —
(Зп - 2)
п' Ч
= 1 1 -4---ГЗ
оЕ
”
(2га)!
00
*) Е
(2п)!(3п)!
(п!)(4п)! ’
(»!)2 ’
П - 8 1 П 2п Ж ,
оо
ОО
с)
Е
|ж| <
1;
п=1
«о п=1
Е
оо
я ПЕ\
ОО
Л)
^
71=1
оо
л Е
^
п + 24 п
+ 3,
81П8 (2п - 3)
п (3 п + 1)
’
1пп + 2со8(п!)
п3 + 1п3гг
агс<;§(п4)
\/2гг + 1 + ^/Зп — 1
^2 5*п ( у/ п + 1 — ■у/гг)
2.3. З Н А К О П О С Т О Я Н Н Ы Е Р Я Д Ы .
(П Р О Д О Л Ж Е Н И Е )
2.3.1. Интегральный признак Коши-Маклорена
Теорема 1.
Пусть функция /(х) > О и не возрастает при х > т , где т некоторое натуральное число.
Тогда числовой ряд
X ] / ( * ) = Д т ) + / ( т + !) +
( 1)
к=т
сходится в том и только том случае, когда сходится последовагп
телъность {ап}, где ап =
ф{х)дх, т.е. существует конечный
Пт
гп
г+ о с
предел Нт / Нх)дх — /
п-^°° )т
./т
1{х)дх (другими словами: сходится
г+ о о
несобственный интеграл первого рода
/
Ут
/ (х)с1х ).
► Пусть к— любой номер, к > т + 1', х Е [к — 1, к ]‘, по условию
теоремы
1{к) < /(х) < / (к - 1).
Поскольку функция / ограничена и монотонна, она интегриру­
ема на сегменте [к — 1; /с] и
/
п к —1
/(А:)дх < [
? {х )д х < [
Пк —1
/(&■- 1)дх ,
^к 1
ИЛИ
/(&) < [
!{х )д х < /{к - 1).
Л -1
Выпишем последнее неравенство для всех значений к от т + 1 до
п :
.,
гт +1
+1
1{т + 1) < /
Пт
1 (х )д х < / {т ),
гт+2
/ ( т + 2) < /
^т+1
}{х)6х < / ( т + 1),
Я п) < [
}{х)Лх < } { п - 1).
оп—1
Складывая почленно эти неравенства, получаем
Е /(*0^
к=т+1
Ц /(*)•
т
й=т
Обозначив частичную сумму ряда (1)
«п = Е
Я к ),
Як) > 0 ,
к=т
имеем
Зп - Я т) < а п < 8п- 1.
(2)
Из определения ап и условия /(ж) > 0 следует, что последова­
тельность {ап} является неубывающей. Поэтому для ее сходимости
необходима и достаточна ее ограниченность.
Пусть ряд (1) сходится. Тогда {.§„ } ограничена, следовательно,
из (2) получаем ограниченность, а значит и сходимость {ап} .
С другой стороны, из (2) имеем зп < ап + / (ш ). Если сходится
{ап}, то эта последовательность ограничена. В силу последнего не­
равенства ограниченной является и {.зп} , следовательно, по теореме
1 п. 2.2.1 ряд (1) сходится
◄
Примеры
Исследовать следующие ряды на сходимость:
°) Е
1_
пР ’
оо
Ь)
Е
1
п ■1пп
„) Если р < 0, ряд расходится, так как не выполнено необходимое
условие сходимости.
Пусть р > 0. Рассмотрим
но, /(ж) > 0 и убывает.
Несобственный интеграл ^
/(ж) = —
^
при т > 1 • Очевид­
сходится при р > 1 и рас-
ХОДИтакТпо^Щ ЬЮ интегрального признака получен окончатель­
ный результат:
Ряд ^
сходится при р > 1, расходится при р < 1 •
.1
71= 1
Ь) Рассмотрим / ( Х ) = ^
н р и х > 2 . Функция Д * ) > 0 , убы.
вает.
Интеграл
+°°
I
с2ж
ж •1пж
Г Ь = \пх |
у+О 0
(Ц
( д = | }/« т
расходится, следовательно, данный ряд также расходится
2.3.2. Признак Гаусса
Существуют признаки сходимости рядов с положительными членами более сильные, чем признак» Даламбера и Коши. Таковы, например, признаки Гаусса, Раабс. Приведем один из них призн
Гаусса. Его доказательству предшествует лемма.
Лем м а.
п
Пусть для последовательности с членами рп > о имеет место
асимптотическое равенство при п —> оо
Рп
Рп + 1
1 + —+ О
п
(у
Тогда найдется такое число С ф О, что рп ~ — п
п^
оо.
Т)
► Возьмем последовательность положительных чисел ап = —~ ~ =
1/пм
п м ■рп . Используя (3) и биномиальное разложение (см. п. 1.4),
получаем при п —» оо
а„„_/п + 1^
О-т)
™ /
Л + . = (' 1 + 1 у . ( ' 1 + М + 0 /1
п
п
пА
Рп
= (1 + - + С>/1
п
гг
1+ 0
1-И + о ( ±
п
\т
-1
П*
Рассмотрим для достаточно больших номеров т и п > т отно­
шение
_ ат+1
ат+2
ат
0 "т + 1
1
1п
ат
к=т
а м
ак
II
=
;Н |
71—1
1п —
+
О
Тогда
(4 )
Отсюда
1п ап = 1п ат + зп ,
71— 1
5П = ] Г 1п О-к+1
где
0-к
к=т
Ряд в правой части (4) сходится, так как
1л 1 + 0
= 0 (^ 1 ,
к -*
оо.
Пусть его сумма равна 5 . Тогда существует
П т 1п ап = 1п ат + з ,
п—<■оо
следовательно,
Пт 1п ап
щ п л. о
П т ап = е «- ° о
= е ш “ т ^ 8 = ат ■е3 = С > 0 .
Это
и
означает, что
рп ~ Р —,
п+ '
п —> оо
Теорема 2 (признак Гаусса).
Е сл и для членов ряда
^
р п , Рп >
0 , сп ра ведли во
п р едст а влен и е
71=1
Рп
Р п +1
п —» оо ,
х + п~ + ° \( П\
(5)
т о ряд:
1) при
2 ) при
А> 1
А= 1
сходит ся,
при
А< 1
> 1
с х о д и т с я , если р
расходит ся;
и р а сх о д и т ся , если р <
1.
► Заметим сначала, что при А ф 1 признак Гаусса превращается в
признак Даламбера. В самом деле, поскольку
Нш
п —>оо
Рп+1 _
рп
1
А’
то в силу теоремы 5 п. 2.2.3 при А > 1 ряд (5) сходится, при А < 1
расходится.
Пусть А = 1. Тогда утверждение теоремы следует из леммы.
Для этого достаточно применить второй признак сравнения (теоре­
ма 3 п. 2.2.2) и использовать результат о сходимости обобщенного
ОО ^
гармонического ряда
^ —
71=1
Замечание. Теорема 2 остается справедливой, если условие асим­
птотики для членов ряда (5) имеет вид при п —> оо
! П - = \ + !± + о ' 1+е
1
п
П
, 6> о .
Рп+1
Примеры
~
1.
Исследовать сходимость ряда
(2п — 1)!!
1
—(2п)И— 2п + 1
п =1
'
► Рассмотрим при п —> оо:
Рп _ (2п-1)!!-(2п + 2)!!-(2п + 3)
Рп+1
(2п)\\ ■(2п + 1) • (2п + 1)!!
= (2п + 2)(2п + 3) _ /
1 \ (
2 \
(2п + 1)2
\
2п + \ ) \ + 2п + \ )
значит, ряд сходится по признаку Гаусса, поскольку Л =
ц = 3/2.
Мы воспользовались преобразованием
1
2п + 1
1
1
2п
п2
1,
))
◄
2.
Найти все значения параметра р, при которых сходится сле­
дующий ряд:
а)
П =1
►
а) Вычисляем при п —> оо:
1
(2п + I ) 2
В терминах теоремы 2 имеем Л = 1, р = р/2, откуда следует ответ:
ряд сходится тогда и только тогда, когда р > 2.
При проведении выкладок были использованы асимптотические
формулы
(1 + х )р = 1 + рх + 0 (х 2) , х —►0,
— -— = — + О ( — ,
2п + 1
2га
\ ?*2/
п —>оо .
Ь) Найдем асимптотику отношения
рп _ еп •та! • (та + 1)п+1+р _ 1 /
рп+1
п"+ р •еп+1 • (п + 1)!
е V
1\"+р
п/
= 1 е( п + р ) - 1 п ( 1 + ^ ) = 1 е(П + р ) ( 1 - ^ + 0 ( ^ ) )
е
е
= еп
2 п + ° ( п 2) = 1 + ^ - 1 + С>(ДгЛ) ,
га
\п2/
га —> оо .
Мы воспользовались основным логарифмическим тождеством и асим­
птотическими равенствами (при ж —►0) :
ж2
1п(1 + х) = х — — + 0 (х 3)
2
ех = 1 + х + С?(ж2)
для
для
р _
I
х = ---- 2
га
1
х = —;
га
(га —» о о ).
Итак, А = 1, р = р — 1/2, поэтому ряд сходится тогда и только
тогда, когда р > 3/2
◄
2.3.3. Ф о р м у л а С т и р л и н га
Эта формула дает асимптотическое поведение последовательно­
сти {га!} .
Теорема 3.
га! ~ А \/га •га" • еГп ,
(.здесь А > 0 - некоторое число).
га —>оо
(6)
Числовые ряды
► Рассмотрим последовательность с членами
числим
рп
п! (п + 1)га+1 ега
Рп+1
(п + 1)!пп еп+1
—1 + п 1п ( 1 +
= е
е
п
п\
и выпп е~п
14 п
1 /
1
Рп
\
п,
„
,1
1
_ / 1
—1 + п • ---- — 77 + О
п
2п2
тг
—е
1 +0 / 1
= е
Применив теперь лемму п. 2.3.2 (при р = —1/2), получаем
Рп —
п\
пп е 71
п Н2
= Л \/п, п —» оо ,
где Л > 0 - некоторое число. Отсюда
п! ~ Л \/п • п” •е_тг, п —* со
Замечание. Можно показать, используя формулу Валлиса (см.
Добавление в конце книги), что константа в формуле Стирлинга
Л = у/2тг.
Примеры
Исследовать сходимость следующих рядов:
°)
Л
п\
п\М ’
Ъ)
Е
п~
3
1п(п!)
п‘
►
а) Заметим, что члены ряда положительны. Для общего члена ряда
в силу формулы (6) имеем при п —> оо
п!
ПУ&
Л у/п ■пп •е п
у/п ■Пп~ ^
е"
= Рп ■
Очевидно, найдется такое число г?о , что при п > по справедли— ТЬ
9
во неравенство п — у/п > —. Тогда, считая, что щ > е , имеем
I
у/п-п11/2
У п > п0 :
у/п ■еп
Рп > А -------- --------> А -------- -—
г~
=
А - у/п.
Таким образом, не выполнено необходимое условие сходимости, по­
этому ряд расходится.
Ь) Преобразуем общий член ряда, заметив, что рп > 0 :
Рп
—
1п (А у/п ■пп ■е ")
п2
1п(п!)
п2
1пЛ+ (п +
А п п -п
п Апп
п2
п2
1пп
----- ,
п
гг
оо .
_
1пп
1пп
1
Ряд у ---расходится, так как ---- > — для п > 3; значит,
■*—1 п
п
п
п=3
в силу признака сравнения данный ряд также расходится
◄
2.3.4.
1.
Разные задачи
Используя асимптотические равенства и признаки сравнения,
исследовать, при каких значениях параметра р сходятся сле­
дующие ряды:
а)
^
к
оо
с)
у/к
кР+2
/
Е 1о^
к= 1
. 1
’ яш I ’
Ь)
±
00 1-2 , р-к
V
►
а) Заметим сначала, что члены ряда положительны, так как
кш — > 0 при к > 1.
гь
Рассмотрим р < 0 . Тогда при к —>оо
С>*(АЛ/2) ,
кР + 2
так как
2, р < О
3, р = О
Н т ( кр + 2)
к —>оо
Проводя сравнение с членами обобщенного гармонического ряда,
получаем в данном случае расходимость.
Пусть р > 0 . Тогда при к —» оо
'/к
кР + 2 ~
1
’
следовательно,
ч//с
.
1
---------------- • 8 1 П —
&Р + 2
к
1
~
1
1
---------- г
к
’ Т
кР~ 5 А:
АТ+Г
оо.
Поэтому по признаку сравнения ряд сходится тогда и только тогда,
когда р + - > 1
Ответ.
р> ^•
1
1
Ряд: сходится, если р > - ; расходится, если р < - .
2
2
6) Отметим сначала, что
аь = ( л/ аГ + Т — \//Г)Р • 1п ^
| < 0.
Так как при А; —>оо
1
1
( Л ь + Т + Л ) ' >~ 2’ 'г''/2’
1н
к- 1
= 1н
А+ 1
2
к+ 1
2
к+ 1
2
кг
то
аь
~2Р~1 к1+'
11оскольку ряд с положительными членами
^ ^ ( оД
сходится
к=2
тогда и только тогда, когда 1 + ^ > 1
О
р > 0, исходный ряд
ОО
аь
сходится при тех же значениях р .
к-2
Ответ.
. п
Ряд: сходится, если р > 0; расходится, если р < 0 .
г) Отметим условие существования логарифма: р > 0, р ф 1 • Пре­
образуем
(
1обРк \ +
ак
1" О+9 ) = 1"(1+^а)
к )
Н р к)
к \пр
’
откуда видно, что а*; сохраняют знак (он совпадает со знаком 1ир).
При к —> оо
ак
{/2
/с
1
..... / 1
- (Т _
/с 1пр
\к2
Ответ: по признаку сравнения ряд сходится при любых значениях
Р > 0, р ф 1 •
(I) Заметим для начала, что
ак > 0 , при к —> оо ,
к
к2 + е■"*
2к + 3 " 2
Для р > О имеем
агс*§ (АТ) = О* (1) .
Поэтому о*, =
О* {к) , к —> оо, следовательно, ряд расходится, так как для не­
го не выполнено необходимое условие сходимости.
При р < 0 имеем агс(д (кр) ~
. Тогда
А
1
при к —> оо, од. ~ - •
= О
1
Аг (р+>)
Ответ: ряд сходится тогда и только тогда, когда —1 - р > 1 <=>
р < -2
◄
2.
Используя асимптотические неравенства и признаки сравне­
ния, исследовать сходимость следующих рядов:
^ 1нрк
а) к
с)
кУк
оо
1п к
Е
к=1 кР
1
а) Ё
к!=з
- 3(1п к)
Ь)
’
1
1п1пк
к=
(Асимптотические неравенства, которые используются при ре­
шении примеров этого задания, получаются либо на основе шкалы
роста (см. п. 1.3.5), либо непосредственными вычислениями.)
►
а) Зафиксируем произвольно взятое число р. Известно (см. 1.3.2),
что
при к —* оо, 1пр к = о( Ук) .
Поэтому найдется такое число к0 = к0{р), что 1пр к < Ук при лю­
бом к > ко', тогда
Ук > к0 :
1пр к
Ук _ _1_
ку/к
ку/к
кI
00 |
Так как сходится ряд ^
— , исходный ряд также сходится по
&=1 к4
первому признаку сравнения при любом р .
Ъ) Для р < 1 справедливы неравенства
1п к
1
1
—— > — > - ,
кР
кР ~ к
к > 2,
поэтому данный ряд расходится в силу признака сравнения.
Пусть р > 1. Тогда найдется такое число е > 0, что р — е > 1.
Так как
при к
о о , 1н к
оЮ ■
имеем
1п к
кР
1
,, е\
1
о{к) = о
кР-е
кР
исходный
IЬскольку сходится ряд 5 1
> где р - с > 1,
к =1
ряд при р > 1 также сходится.
г) Покажем, что для достаточно больших значений к верно нера­
венство
к р ■е - ' Я
)
<
1
4
/Г
^
А~2
^
кР+2 < е ^
■
Действительно,
Мр :
Пт
х = \//с
к р+2
— т=-
/с—> о о
(з
у
Т 2 (р + 2 )
=
пт
х -»+ о о
к = х2
К
^
-
= 0,
ех
как следует из шкаль, роста (см. п. 1,3.2). Поэтом, найдется такое
число ко = М р ),
< 1 для всех
что
к*
®
. откуда и
ОО ^
следует (7). Из сравнения со сходящимся рядом
51
слеДУет
к= 1
сходимость данного ряда.
й) Преобразуем выражение а^1 , используя основное логарифмиче­
ское тождество:
-1
, 1п\пк _
1
Дп1пЫп1п/с _
—е
ак — тк
(1п1п/г)2
—^
Заметим, что при достаточно больших значениях к справедливо не­
равенство
(1п 1пк ) 2 < 1пк .
В самом деле, это следует из того, что
к —> оо ,
так как
(Ы
иЧ
1н к
! = {1 = 1пИ
1
=
Шп
* х -к + оо
Пт
Х - > + 0О
6 Ряды
(1п1п к ) 2
21п х ■ - = 0.
X
X
=
о(1н/с),
Поэтому
Ук>к°
а* = \п 11п1пк = е-(1п1п*)2> е ~ Ык = ^ ,
I
откуда согласно первому признаку сравнения следует расходимость
данного ряда
◄
2.3.5. В о п р о с ы и задачи
1.
Пусть функция / определена и непрерывна при х > 1,
г+оо
/(т) > 0, несобственный интеграл /
/(х)с1х
сходится.
оо
Обязан ли ряд ^
/(п) сходиться?
71=1
Указание. Рассмотрите функцию, определенную следующим обра­
зом:
!{х ) =
1 —п2 • |х — п \,
О
1
1
если х 6 п ---- 2 ; П + ~9 , п > 2 ;
ГГ
_
в остальных точках х > 1.
ОО
2.
Дан числовой ряд с неотрицательными членами
ап . Сле„
п= 1
дует ли из условии:
&)
—О
б) ап = О
в) ап = О*
3.
,
,
п
оо.
сходимость ряда ?
п
оо,
расходимость ряда ?
п
оо,
расходимость ряда ?
Выясните, при каких значения
Е
параметров а > 0, 6, с ряд
об . I ЛХХ IV)
о\С
О IV
П—6
4
'
о) сходится;
6) расходится.
4.
(Луг
Исследуйте сходимость следующих рядов, используя различ­
ные признаки:
83
Знакопостоянные ряды
а) кЕ
= 1
к ■(2* - 1)!!
(2/с)!!
оо
<4 к=2
Е
оо
«) ^Е
Г».
-рк .
~
^
СI)
1п3 к
2 • 5 • •• (3& — 1)
3А: . ^1
Е
^
81П
к=2
Л! • кр
5 • 6 • •• (Л + 5) ’
ОО
(2А;)!
/) Е
Используя асимптотические равенства и признаки сравнения,
исследуйте, при каких значениях р сходятся следующие ряды:
ОО
2 - 21;Г + 1
к= 1
оо
А=1
'
*к '
кР + 1
кР
с) Е у1п
(I.
к ■1п к
ч к=2
Е
\//с + 1 — \/к — 1
кР
оо
*
7Г
^
к
Используя асимптотические неравенства и признаки сравне­
ния, исследуйте сходимость следующих рядов:
ч ^
1пр к
а) Е
ч ^
с) к=1
Е
1пр к
П ’
кр
ч к=2
Е 1п2 к '
оо
2^
,,
,
> \1п А:
^=3 (1п1п *0
2.4. Р Я Д Ы С Ч Л Е Н А М И П Р О И З В О Л Ь Н О Г О
ЗНАКА. АБ С О Л Ю Т Н А Я И УС Л О В Н А Я
СХОДИМ ОСТЬ
2.4.1. Абсолютная и условная сходимость
Рассмотрим ряд
оо
1>П ,
(1)
71=1
членами которого могут быть числа любого знака.
Определение 1. Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если
сходится ряд
ОО
Е К1-
71= 1
(2)
Если ряд (2) расходится, будем говорить, что (1) абсолютно рас­
ходится.
Определение 2. Ряд (1) называется условно сходящимся, если он
сходится, в то время как ряд (2) расходится.
Теорема 1.
Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1) (т.е. аб­
солютная сходимость влечет сходимость ряда).
► Критерий Коши сходимости ряда (1) требует, чтобы было выпол­
нено
Уе> 0, ЗА , \/п> N , У р е П :
\ап+1 + ап+2 + ••. + ап+р\< е . (3)
Фиксируем произвольное е > 0. В силу известного неравенства
К +1 + ап+2 + ••• + ап+р\< |оп+11+ \ап+2\+ ••• + \ап+р\.
Так как по условию ряд (2) сходится, то по критерию Коши
ЗДГ(е),Уп > ЛГ,Мр € N : ||ап+1|+ ••• + |оп+р|| = |оги-гН-----Нап+р| < 6•
Таким образом, (3) доказано
◄
Отметим прежде всего, что для установления абсолютной сходимости/расходимости (1) к членам ряда (2) \ап\ можно применять
признаки для рядов с неотрицательными членами, которые были
рассмотрены в п. 2.2.
Однако эти методы не дают возможности выяснить сходимость
ряда (1), если она является условной. Для исследования такой
ситуации можно использовать определение сходимости ряда, кри­
терий Коши, а также некоторые достаточно тонкие признаки схо­
димости.
Признаки сходимости рядов с членами произвольного
знака
2.4.2. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбни­
ца
Определение. Ряд называется знакочередующимся, если его чле­
ны поочередно меняют знак, т.е.
ОО
^ 2 ап = Р 1—Р2+ Рз — ---- Ь ( —1)" 1Рп + ■■■
(4)
71= 1
Здесь ап = (~1)п“ 1рп ■
, Рп > 0. (Разумеется, первый член ряда
(4) может быть и отрицательным, тогда ап — (- 1 )” рп ).
Теорема 2 (признак Лейбница).
Пусть члены знакочередующегося ряда (4) удовлетворяют условиям
а) Пт рп = 0; Ь) рп.и < рп при любом п.
71—*ОО
Тогда этот ряд сходится.
(Условия а) — Ь) монотонного стремления {рп} к нулю объеди­
няются обозначением: рп [ 0 при п —> оо .)
► Рассмотрим частичную сумму
«2п = (Р1 - Р2) + (рз - Р а) н---- + {Р2п~\ - Р2п) ■
(5)
Так как все разности в скобках по условию Ъ) неотрицательны, то
последовательность {з2п} монотонно не убывает. С другой сторо­
ны,
«2п = Р \ - {Р2 -
Р з ) ------------ (Р 2п -2 - Р2п—1)
~ Р2п •
(6)
Поскольку каждая скобка здесь также неотрицательна, то
•52п < Р \ • Таким образом, последовательность { в 2 п } не убывает
и ограничена сверху, т.е. существует Нт з2п = 8 , причем
п —»оо
О < 8 < Р1 .
(7)
Но
Н т 52„+1 = Н т (з2п + Р 2п + \ ) = Нт з2п + Н т р2п+1 = 8 .
П—+ОС
п —► оо
п —>оо
п —► оо
(Здесь учтено условие а)).
Итак, последовательность { 82П+1} также сходится к з, следова­
тельно, вся последовательность { 8П} имеет своим пределом з
◄
Определение. Знакочередующийся ряд, удовлетворяющий услови­
ям а) — Ъ) теоремы, называется рядом Лейбница.
Замечание. Для ряда Лейбница с положительным первым чле­
ном из (5) следует, что з2п | 5 при п —►о о .
Аналогично:
32п+1 = Р\ -
(Р2 ~ Р з ) ------------ {Р2п ~ Р 2 п + \) ,
значит, { 8271+1} монотонно не возрастает, т.е. 82п+1 { 8 при п —>сю
и 82П < 8 < 82,7+1 При любом П .
Теорема 3.
Остаток гп ряда Лейбница имеет знак своего первого члена и
не превосходит его по абсолютной величине.
гп = 7 •Р п + 1,
где
0 < 7 < 1.
(8)
► Как было отмечено выше (7), 0 < з < р\ ■ Всякий остаток
гп =
^2 ( - 1)* 1 Рк
к—п+1
ряда Лейбница сам также является рядом Лейбница. Поэтому для
Г2п = Р2п+1 ~ Р2п+2 Н------
имеем 0 < Г2П < Р 2п + \ ■
А для остатка
Г
Г 22 п
п -\
-\ == -Р 2 п + Р2П+1 - Р2П+2 Н------ — — (Р2п
Р2п+1 + Р 2п+2
“ •)
2
получаем 0 < —Г П-\ < Р2п ■
Итак, во всех случаях |г„| < рп+1
<
Примеры
Исследовать на абсолютную (условную) сходимость следующие
числовые ряды:
Ответ: а) сходится условно;
Ъ) сходится абсолютно.
►
а) Знакочередующийся ряд
71=1
п
О)
1
сходится по признаку Лейбница, так как — X 0, п —>оо . В то же
п
время ряд
расходится, поэтому сходимость (9) условная.
71=1
Ь) Для знакочередующегося ряда
( 10)
из оценки
скольку ряд
(- 1 )” - 1 ^ 1
< ^
следует абсолютная сходимость, по­
сходится.
В силу теоремы 1 исследование на этом завершается
◄
Заметим однако, что признак Лейбница применим как для ряда
(9), так и (10).
Неравенство (8) часто используют для оценки точности при­
ближенных вычислений при замене рядов их частичными суммами,
с) Сколько членов ряда (10) достаточно взять, чтобы при замене
его суммы на конечную сумму
ошибка не превышала 10 3 ?
► Ряд (10) является рядом Лейбница, поэтому с учетом оценки (8)
имеем:
5 — ^ п | 5; Рп + 1 5; Ю 3 ,
т.е.
откуда вытекает, что заданную точность приближения суммы ряда
(10) обеспечивает зп , где число слагаемых п = 31
<
2.4.3. Признаки сходимости Дирихле-Абеля
Рассм отрим две числовы е последовательности
{
и
, Д/с } .
Лемма 1 (преобразование Абеля, или формула суммиро­
вания по частям).
Пусть
8П = Щ + 1X2 + ' ’ ' + и п ■
Тогда Уп € М, Ур € К, р > 1, справедливо
п +р
Е
п + р —1
Е
и^Ук =
к=п+ 1
► Так как
—
5 к — 8^ - 1 ,
=
п+р
+ 8п + р у п + р — з пу п + 1 .
им еем
п +р
У]
У]
=
к=п+ 1
Но
Ук+\)
к=п+\
& =п+1
,
п +р
Е
Е
-
8к - \ у к ■
&=п+1
^
п + р —1
Е
8 к -\Ь к =
й=п+1
п+р
.
п + р —1
8ку к+ 1 =
к=п
8ку к+1 + 8пУп + 1 .
Е
к=п+ 1
11оэтому
п+р
Е
п + р —1
и^ к
п + р —1
= Е
/е = п + 1
+ ^п+р^п+р — УЗ 3/ггУс+1
& =п+1
п + р —1
=
Е
ЗпУп+1
й=п+1
8к (у к ~ ук + 1 ) + 8п+рУп+ р ~ 8п Уп + 1
к=п+ 1
Лемма 2 (лемма Абеля).
Пусть последовательность сумм (вД ограничена, т.е. Ук :
|зд.|<М, а последовательность {Уд} удовлетворяет условиям
Ук :
г’к > 0 ,
(Д+1
< >!к ■
Тогда
п +р
Ур е N :
'У ^ ик^к < 2М ■ип+1.
к=п+ 1
► Используя преобразование Абеля и условия леммы 2, получаем
п +р
Е
к=п+ 1
п + р —1
ЩЩ
< Е
ы - \ У к - у к+1\
к=п+1
+|в„+Рн « п+р| + |вп|.|«п+1|
п + р —1
(Е
'
( ^ - ^ + 1) + и п+р + уп+1
к=п+ 1
= М ■[уп+1 - ип+2 + ип+2 - Уп+3 н------ 1- уп+р_ 1
— Щ + р + Уп +р +
г^п +1^ =
2
М
■ь п + х
Рассмотрим ряд вида
ОО
Е
к= 1
и^ к •
(11)
Теорема 4 (признак Дирихле).
Пусть для ряда (11):
а) конечные суммы чисел ик ограничены в совокупности
П
Уп :
х>* < М
;
к= 1
б)
последовательность {г;*.} является невозрастающей и беско­
нечно малой:
Ук :
г,^+1 < ьк ;
Тогда ряд (11) сходит,ся.
Н т ик = 0.
к -* оо
► Г1о лемме Абеля
п+р
Ур 6 N :
22 щщ < 2М ■уп+\ .
к = п +1
И силу сходимости последовательности {щ.} к нулю
\/е > 0, 31У(е), Уп > N :
\уп\<
2М
’1'огда для этого е > 0 и найденного номера N справедливо
п+р
Уп > N ,
Ур € N :
22 икУк 5 2 М ' 2 5 ? - '
к = п +1
и согласно критерию Коши ряд (11) сходится
◄
Замечание. Признак Лейбница является частным случаем при­
знака Дирихле (для ик = ( —
имеем |в*| < 1, а ук | 0 при
к —> оо ; здесь ик = р к).
Теорема 5 (признак А б е л я ).
Пусть для ряда (11) :
ОО
а) ряд 22 ик сходится;
к=1
б) последовательность {щД монотонна и ограничена.
Тогда ряд (11) сходится.
► Заметим, что из условия а) вытекает выполнение условия а) теП
оремы 5 (последовательность {«,,}, где зп = 22 ик > ограничена,
1—1
поскольку она сходится). Далее, у монотонной и ограниченной (по
условию) последовательности {г>Д существует предел I = ^Нт ук .
Предположим для определенности, что {ук} не возрастает, тогда
Ы - 0 1 0 , к -* о о .
92
Ч и сл о в ы е р я д ы
Рассмотрим
ОО
ОО
^ и к -{ьк -1 ) + ^2 I ■щ .
к—1
( 12)
Первый из рядов в (12) сходится по признаку Дирихле; второй
лишь множителем отличается от сходящегося по условию ряда, по­
этому сам сходится. Сумма этих сходящихся рядов дает сходящийОО
◄
к=1
При решении ряда задач, связанных с применением признака
Дирихле, бывает полезен следующий результат.
Лемма 3.
Пусть
П
п
(х ф 2-кт , т б 2 ) .
Тогда справедливы оценки
(если х — 2пт , то 8п = 0, а З'п — п).
X
► При х ф 2пт , т & Ъ , имеем вш — ф 0, тогда
А
П
откуда
(п + 21
11оэтому
\8„ <
IСОВ § |+
С 08
( п + г)
<
2 1 8111
Вторая оценка доказывается аналогично
◄
2.4.4. Исследование рядов на сходимость
Стандартная схема исследования числовых рядов на абсолют­
ную (условную) сходимость выглядит следующим образом.
ОО
\ап\.
Изучается ряд ^
п=1
1° Если он сходится, то исследование заканчивается (см. теоре­
му 1).
Ответ: данный ряд сходится абсолютно.
2° Если он расходится, то изучается исходный ряд
^
^
ап .
71=1
Возможно одно из двух: а) ряд сходится; б) ряд расходится.
Ответ: а) ряд условно сходится; б) ряд расходится.
Замечания.
1) Последовательность действий в предложенной схеме можно из­
менить. Если доказать расходимость данного ряда (например, не
выполнено необходимое условие сходимости
о,п — 0), то сразу
следует дать ответ: ряд расходится.
2) Сходимость знакопостоянного ряда - всегда абсолютная сходи­
мость. Поэтому в таком случае исследование ограничивается толь­
ко шагом 1°.
Примеры
Исследовать следующие ряды на абсолютную (условную) схо­
димость.
а)
ОО
Е
(- 1 )п • (п + 1) • со8(п2)
Уп7 + 2п5 - 1
► Оценим
^ п^
п+ 1
п
1
\/тп7 + 2п5 — 1
п7/3
п4/3
ОО
Поскольку ряд
п —> оо .
|
^2 —Щ
сходится, исходный ряд абсолютно схо-
п= 1 П
дится (по признаку сравнения)
◄
Ь)
(13)
► Очевидно,
100
| 0 при п —>• оо, поэтому ряд (13) сходится по
V^
оо
признаку Лейбница. В то же время ряд
как
^
7о0/— расходится, так
Е-
1
1
П=1 ^
юо/^ > ~ Для и > 1, поэтому (13) абсолютно расходится.
Ответ: ряд условно сходится
◄
с)
Е м )’
п=2
► Введем функцию /(ж) =
1п3ж
^ ,
1п3п
П
(14)
х > 2. Легко установить (см.,
например, шкалу роста из п. 1.3.1), что
..
1п3ж
1нп ----- = о
х —>+оо
X
Рассмотрим
1 'Н =
31п2х — 1п3 х
1п2х
х2
(3 — 1пх ) .
Поскольку
/'(ж )
0 при х > е3, последовательность с общим
<
П монотонно убывает при п > е3 . Следовательно,
п
ряд (14) сходится по признаку Лейбница.
, ,
1п3п
1
„
^
Но |а„ | = ----- > —
(п > 2), значит, абсолютно этот ряд
п
п
расходится.
Ответ: ряд условно сходится
членом вида
в)
ОО
Е
П=\
С08
ТЬХ
пР
/
/
Г77\
(х ф 2тгт,ш € Ъ) .
/1 г\
(15)
► Заметим сначала, что если р < 0, то ряд расходится, так как не
выполнено необходимое условие сходимости.
Пусть р > 0. Для доказательства сходимости применим при­
знак Дирихле. Согласно лемме 3 имеем
71
Уп :
. ж
У") сов кх <
8Ш2
к= 1
Далее, для р > 0 — I 0 при п —уоо . Таким образом, ряд (15)
сходится, если р > 0.
пр
Займемся исследованием абсолютной сходимости.
сов пх
< — то по признаку сравнения имеем абсоТак как
пР
пР
лютную сходимость (15) при р > 1.
Покажем, что при 0 < р < 1 ряд абсолютно расходится. Дей­
ствительно,
сов пх
пр
сов2пх
> ---------
пР
1
2
сов 2пх \
пР ) '
^
оо
сов 2пх
при
— расходится, гак как р < 1. Ряд
У]
пР
п—1^
эт.=1
р > 0 сходится по признаку Дирихле (доказательство аналогично
оо
Ряд
приведенному выше). Сумма этих двух рядов дает расходящийся
ряд, поэтому в силу признака сравнения расходится ряд
О < р < 1.
Ответ: ряд расходится, если р < 0, сходится, если р > 0. При
этом для 0 < р < 1 сходимость условная, а для р > 1 - абсолютная
◄
(16)
► Используем признак Абеля. Здесь
Ряд
сходится по признаку Лейбница,
так как
1
I 0 , п —►оо.
1пп
Последовательность уп —» е при п —> оо , причем, как известно
из начального курса математического анализа [1], монотонно.
Итак, все условия признака Абеля выполнены, следовательно,
ряд (16) сходится.
Рассмотрим
п —> оо .
ОО
Ряд
расходится, так как
абсолютно расходится.
Ответ: ряд сходится условно
◄
---- > —. Значит, ряд (16)
/)
ОО • о
^
81112п
п=2 П ‘ 1п2 П
► Оценим
ап\=
|8111 2 п |
2
П • 1п п
<
(17)
у
п ■1п п
Рассмотрим при х > 2 убывающую функцию /(х) = ---- к— > 0 .
х ■1п х
ОО
^
Ряд ^ —— -5— сходится по интегральному признаку, поскольку
п= 2
пЛ хг п
интеграл
+°°
I
йх
х Лгг х
сходится. Теперь следует принять во внимание неравенство (17).
Ответ: ряд сходится абсолютно ◄
я)
Е
п —1
( —1)" •С082п
п
СОВ2 П
► Отметим, что \аг
. Расходимость ряда с такими членами
п
доказана выше в примере в) (у нас частный случай р = 1 , х = 1 ).
Поскольку 2 сов2 п = 1+ со82п , исходный ряд является суммой
рядов
^ (—1)п ^ ( - 1)" -со82п
^
2п + 7^1 = 1
2п
71 1
—
первый из которых сходится согласно признаку Лейбница.
Замечая, что со8 7гп = ( —1)" , 8Ш7гп = 0 , для исследования
второго ряда преобразуем
( —1)" •С О В 2п — С 0 8
7ГП • С О В
2п —8 1 1 1 7 Г П •8 1 1 1 2П =
Тогда в силу леммы 3 получаем оценку
7 Ряды
С 0 8 (7 Г
+ 2)п .
Числовые ряды
Уп :
( —1)а • соз 2к
СОЗ (7Г + 2)/с
к=1
/с=1
.
7Г' _1
< 8Ш ( 1 + -
соз 1
Теперь сходимость второго ряда очевидным образом следует из при­
знака Дирихле.
Ответ: ряд условно сходится
◄
к)
1Г
Е
Д1 у/п+ ( —1)п_1
( -
(18)
п=
► Имеем при п —> оо
—
( - 1) "
( - 1)
п
у/п
/
( - 1)’
/ 1 )4 - 1 ’
1+
<=Д + Д о
Дп
п
у/П
(-
1У
п
, _ м р
л/п
+ 0 Д
(«3/2
Ряд с членами вида О
И'3/2
сходится (в силу признака сравне­
( - 1)
— ~Т~~ сходится (по признаку Лейбница), а гармо1
п=1 \/П
у
оо ^
нический ряд У^ — расходится. Сумма двух сходящихся рядов и
^^ п
П=1
одного расходящегося дает расходящийся ряд.
Ответ: ряд расходится ◄
( —1)"
Замечание. Для членов ряда (18) имеем ап ~ — у=— при п —> оо.
ния), ряд V
у/п
°о /_^\п
Заметим, что У^ — у=- сходится, в то время как ряд (18) расходит1 V
п=1
у^
ся. Таким образом, мы получили пример, показывающий, что при­
знак сравнения для знакопеременного ряда применять нельзя (см.
замечание и. 2.2.2).
2.4.5. Вопросы и задачи
1.
Возможно ли, чтобы числовой ряд одновременно:
а) сходился и абсолютно сходился ?
б) расходился и абсолютно сходился ?
в) сходился и абсолютно расходился ?
2.
Верно ли следующее утверждение: если для членов знакоче­
редующегося ряда (4) выполнено условие
рп = 0, то
этот ряд сходится. (Другими словами: можно ли в признаке
Лейбница отказаться от требования монотонности последова­
тельности { рп} ? )
Указание. Рассмотрите ряд
У * ( —1)” • — —--- — ■
,
п
п—1
оо
3.
( —1)п -рп , где рп> 0- Известно, что при п—>оо
Дан ряд У
п=
1
В р, ~ У
Какие из утверждений справедливы для этого ряда:
а) расходится;
б) сходится;
в) абсолютно сходится;
г) условно сходится?
4.
ОО
ОО
Пусть ряд У (- 1 ) ” -1 Ап , Ап > 0, получен из ряда У а,п в
п=1
п=1
результате группировки его членов в скобки без нарушения по­
рядка членов.
Известно, что: а) каждую скобку, т.е. член вида ( —I ) ” -1 Ап ,
образуют слагаемые ап одного знака; б) число слагаемых в
каждой скобке ограничено общей константой.
Докажите, что ряды сходятся (и расходятся) одновременно.
°о /_1\п—1
"У ----- ;--- достаточно взять, чтобы
П\
п= 1
при замене его суммы на конечную сумму
5.
Сколько членов ряда
П
(- 1 )* - 1
зп = 52
к!
к= 1
ошибка не превышала 10 3 ?
6.
Исследуйте на абсолютную (условную) сходимость следующие
числовые ряды:
п
<о Е ( - 1)' 2п + 1 ’
п—1
п(п—1)
°°
5/
6)
оо
^ ;
п=1
, ч
^
/) 2^
71 —2
ОО
е)
^
п2 е ” 81П4п3;
77 = 1
ОО
ОО /
о пЕ= 1 (‘
4
к)
у
81П
81
(- 1 )
(
тг=1
оо
81П П
77+1 '
П
п= 1
Е Ь1)
'
\/1пп2
с)
^
(- 1 Г
71/ О ! Т 5
^п2+ 1
( —1)п п10
— ™—
сон п >
2"
8111 2 п
^ П=6 1п1пп ’
1 \ . /С08П\
С08 —=
81П —
;
у/п/
\ у/п )
..
3)
ОО
х—7
у
71=1
оо
ОО
(-1 Г
\2
П
+ С08
,
П
1
0 5:,|п(1+ л:
’
п==2 (л / п + (- 1 )п)
С08
П
П
С08 — .
2
ОО
7.
ап
Пусть ряд
71=1
а) - сходится;
Ь) - абсолютно сходится.
ОО
а2 ?
Должен ли сходиться ряд
71=1
° °
8.
Ряды
Ц
°°
а«
и
п —1
сходимость ряда
И
сходятся. Докажите абсолютную
77=1
'ОО
^ ап •Ъ„ .
п= 1
9.
Ряд
Е
Е
сходится. Докажите абсолютную сходимость
71= 1
ОО
ряда
71=1
П
Ч и сл о в ы е р я д ы
2.5. П Е Р Е С Т А Н О В К А Ч Л Е Н О В Р Я Д А
Одно из важнейших свойств суммы конечного числа слагаемых переместительный закон (коммутативность). Остается ли это свой­
ство справедливым для бесконечного числа слагаемых? Ответ на
этот вопрос дают теоремы Коши и Римана.
2.5.1. Случай абсолютно сходящегося ряда
Теорема 1 (Коши).
Пусть ряд
ОО
п=1
( 1)
сходится абсолютно.
Тогда любой ряд, составленный из него посредством некоторой
перестановки членов, также абсолютно сходится и имеет ту же
сумму.
► а) Сначала рассмотрим случай, когда ряд (1) знакопостоянный.
Пусть для определенности ап > 0. Обозначим
ОО
( 2)
ряд, составленный из тех же слагаемых, но взятых в другом поряд­
ке. Пусть частичные суммы рядов (1) и (2) обозначены соответ­
ственно {$ „ } и {ап} .
Рассмотрим
а тп
— Ь\ + &2 + • • • + Ьт .
Каждое из чисел
, Ьг ... ,Ът является членом ряда (1). Пусть
I - максимальный из номеров, с которыми эти числа входят в (1).
Тогда
О т < а \ + а г + • • • + а/ = $1 .
81 8
Но
< , где 8 - сумма ряда (1) (заметим, что зп | в при п —>
00 , так как ап > 0). Тогда ат < для любого т. Поскольку (2) ряд с неотрицательными членами, отсюда следует его сходимость.
11|>и этом для суммы а ряда (2) в результате предельного перехода
8
получаем
а < з.
(3)
Ряд (1), в свою очередь, можно считать полученным в результа­
те перестановки членов в (2). Проводя аналогичные рассуждения,
имеем
8< а .
(4)
Из (3), (4) следует 8 = а .
б) Пусть члены (1) имеют произвольные знаки. Рассмотрим ряд
ОО
Е ы ,
(5)
71=1
сходящийся по условию теоремы. Введем
Пп
-
Щ
2
&п
|Йга|
1&71 1 “ Ь ®71
2
рассмотрим ряды
ОО
ОО
Е
Е
71=1
71=1
Справедливы неравенства:
0
^
ип ^
|&п|
ч
0
5:
—
|а п| !
из которых в силу признака сравнения следует сходимость (абсо­
лютная) рядов (6) и (7). Обозначим их суммы соответственно V и
V.
Переставим члены ряда (1), тогда соответственно переставятея члены рядов (5), (6), (7). Так как три последних ряда имеют
неотрицательные члены и сходятся, по доказанному в а) после пе­
рестановки они останутся сходящимися и их суммы не изменятся.
Но ап = ип —пп , так что
и после перестановки имеем ряд, равный разности двух абсолютно
сходящихся рядов, а потому сам абсолютно сходящийся, причем
оо
=11- V
◄
п= 1
2.5.2.
Случай условно сходящегося ряда
Пусть
ОО
( 1)
71— 1
- знакопеременный ряд. Снова рассмотрим ряды (6) и (7) с членами
соответственно.
Лемма.
Пусть ряд (1) сходится условно.
Тогда оба ряда (6), (7) расходятся, причем для членов этих ря­
дов ип и ип , а также последовательностей их частичных сумм
Ип и Уп имеют место равенства
Н т ип = И т ип = 0
(8)
Н т Пп = Нт Уп = +оо .
(9)
п —>ОО
► Заметим, что условно сходящийся ряд (1) содержит бесконечное
число как положительных, так и отрицательных членов, т.е. это
знакопеременный ряд (если бы членов одного знака было конеч­
ное число, то, отбросив не влияющее на сходимость конечное число
членов, мы бы получили знакопостоянный ряд, для которого схо­
димость означает абсолютную сходимость).
Равенство (8) очевидным образом следует из необходимого усло­
вия сходимости ряда (1): П т ап = 0.
п —юо
Покажем,что оба ряда (6), (7) расходятся. Пусть 8п и 8* частичные суммы соответственно сходящегося ряда (1) и расходяОО
щегося по условию ряда ^
|ап|.
71=1
Поскольку ад, = ик ~ Щ , К-1 = ик + Щ , то
Уп + Уп- Поэтому
п
Уп
*^ 5 ^
+ Уп —> +оо ,
Зп — Пп - У п ,
* ОО,
(10)
п —>оо,
(Н )
где 8 - сумма ряда (1).
Если бы последовательность {[/ „} сходилась, то из (10) следо­
вала бы сходимость и {Уп} , но это противоречит (11).
Так как 11п и V), являются частичными суммами рядов с нео­
трицательными членами, имеем
Нт 11п — Пт Уп = +оо
П—+00
п —►
оо
◄
Теорема 2 (Риман).
Пусть ряд (1) сходится условно.
Тогда для любого числа Ь можно так переставить члены этого
ряда, чтобы полученный ряд сходился к Ь . Можно также переста­
вить члены ряда (1) таким образом, что полученный ряд станет
расходящимся.
► Для данного условно сходящегося ряда (1) обозначим через
Р1,р2,... , рп ,... неотрицательные члены, выписанные без изме­
нения порядка, а через
, <72 , ••• , дп , • •• ~ модули отрицательных
членов этого ряда, также взяв их в том порядке, в каком они стоят
в (1). Мы получим два ряда с неотрицательными членами
оо
оо
Рп )
(12)
^
п=1
9п>
(13)
п=1
совпадающие с рядами (6) и (7) с точностью до нулевых слагаемых,
отбрасывание которых не влияет ни на сходимость, ни на значение
суммы.
Рассмотрим частичную сумму Зп ряда (1). Обозначим сумму
всех положительных членов из 8п через Рп , а сумму модулей
отрицательных членов через <5п , так что 8п = Рп —(}п .
Утверждения леммы применительно к рядам (12), (13) дают
Н т рп = Н т
п —>оо
п —► оо
= 0,
Н т Рп = Пт Оп — + о о .
п —► оо
п —► оо
(14)
(15)
7
а)
Покажем теперь, как из (1) перестановкой членов получить
ряд, сходящийся к произвольно выбранному числу Ь (пусть для
определенности Ь > 0).
В силу (15) существует такое к\ , что
Р\ +Р2 + ■■■ +Рк! > Ь
(пусть к\ - первый из номеров, при которых выполнено это нера­
венство). Точно также найдется номер /1 , при котором
(Р1 +Р2 +■■■ +Рк1) - { д 1 + <72 + • • • + % ) < 1
(1\ - первый из таких номеров). Затем возьмем из ряда (12) ровно
столько очередных членов, чтобы начало выполняться неравенство
(Р1 +Р2 + ••• +Ркг) ~ (91 +92 + •■• +9й)
+ (Р/Ц+1 + РЬ+2 + ‘ •• + РкЛ > к ■
Потом добавим со знаком минус ровно столько следующих чле­
нов из (13), чтобы
(Р 1 н------ + Р к 1 ) — (<71 + • • ' + Я к )
+ (Ркг+1 Н---- + Рк2) - (Як+1 Н------+ Як) < Ь •
и так далее. В общем случае имеем:
(Рг Н---- + Ркх) ~(<71 Н------+ 9/1)
+ (Рк!+1 Н---- + Рк2) - (як
+1
------+Як) -----
+ {Ркп-1+1 ^---- +РЛП) >
(Р1 Н------ + РАц) -
(91 Н-------- + % ) +
(РА=1-Ы “I---------+ Р к 2) -
+ (Р Ь » -1 + 1 + • • • + Р * „ ) -
•••
(Ш п - 1 + 1 •+------ + Я/ „ ) < Ь ■
Продолжая процесс до бесконечности, получим ряд, в который вой­
дут все члены из (1), потому что каждый раз приходится добавлять
хотя бы один положительный или отрицательный член исходного
ряда.
Докажем, что полученный ряд сходится к Ь . Обозначим его
ОО
^
Ъп
и
рассмотрим
произвольную
частичную
сумму
п=1
<ХШ = Ь\ +
+ ••• + Ът .
Если <т
т заканчивается полностью завершенной группой сла­
гаемых, то отклонение от от числа Ь не превосходит модуля по­
следнего слагаемого. Например, если Ът = ркп , то
\& т ~~ Ь \ < Ркп ■
Если частичная сумма от заканчивается не полностью завершен­
ной группой слагаемых, то отклонение \ат — Ь\ не превосходит
модуля последнего члена в предпоследней группе слагаемых. На­
пример, если Ьт = Рг, кп- 1 < г < кп , то
<?т - Ц < Я1п- 1 •
Так как, согласно (14),
Н т рп = К т
п—+ос
п—>ос
из двух последних неравенств следует
сходимость полученного ряда к Ь .
= 0,
Нт ат = Ь
га—>ос
т.е. доказана
б)
Покажем, как переставить члены исходного ряда, чтобы по­
лучился расходящийся ряд. Для этого можно сделать неограничен­
ной последовательность {егп} его частичных сумм.
Рассмотрим следующий процесс. Выберем к\ так, чтобы
Р1 + Р2 + ••• + Рк! > 1 •
Добавим со знаком минус первое слагаемое из (13), а затем - оче­
редную группу членов из (12) так, чтобы
(Р1 +Р2 +■■■ + Ръ) Потом прибавим
<71
+ (р*1+1 + Рк!+2 + ••• + Рк2) > 2 •
—^2 и следующие члены ряда (12), чтобы
{Р1 + • • • + Р к х) - 9 1
+ Ы 0 + 1
+ • • • + Рк2) - 9 2
+ (Рк2+1 4------ + Р к 3 ) > 3
и так далее до бесконечности
◄
2.5.3. Асимптотическое поведение частичных сумм
гармонического ряда
Теорема 3.
Пусть
Нп = 1 + - +
Тогда при п
1.
п
оо
Нп = 1пп + с + еп ,
(16)
где с - некоторая постоянная, а последовательность еп —> 0 при
п —> оо .
оо
ап , частичные суммы которого имеют вид
► Рассмотрим ряд
71=1
8п = Нп - 1пп .
Для членов этого ряда справедливо
—1
ап —
~
1пп
Н п—\ -Ь 1 п (п
1)
= ^ +1П(1_^) = " 2^ +0Ш ’ П^°°’
т.е. ряд является сходящимся. Это равносильно тому, что для по­
следовательности {ап} существует с = Нт^ зп , т.е. верно (16)
◄
Замечание. Число с из формулы (16) называется постоянной Эй­
лера, с = 0.5772...
2.5.4. Примеры
а)
ряда
Используя асимптотическую формулу (16), вычислить сумму
-
Е
71=1
(- !)»- !
(17)
П
► Заметим сначала, что ряд (17) сходится (по признаку Лейбни­
ца), значит, для его последовательности частичных сумм существу­
ет 5 = Н т зп . Э т о т же предел имеет любая подпоследователь71— ►ОО
ность, в частности,
{5 2 п }-
Преобразуем
,
1 1 1
1 1
82" = 1 _ 2 + 3 ~ 4 + " ' + 2 ^ Т ” 2п
/ 1
1 \
1 Д
1
1
= (1+ 3 + '" + Й Г л ) “ 2 (1+ 2 + ’" - Ч
= Н‘2п
=
1п 2 п
2
+
с + 6271
2
-
~ -^2п
1п п —
Нп
с — еп = 1п 2 - 1- а п ,
где ап —>0 при п —> оо .
Поэтому 5 = П т б'2п = 1п2
П—НХ)
Ь) Вычислить сумму ряда
1 1 1 1 1 1
1+3 ~ 2 + 5+ 7 ~ 4 +
(18)
полученного перестановкой ряда (17).
► Для частичных сумм ряда (18) вида {53п} имеем
,
1 1 1 1 1
1
1
+
+
53п- 1 + 3 _ 2 + 5 + 7 ~ 4 +
4п — 3 4п — 1
1
1
+
- ( 1 + - + --- +
4п — 1
= |1 + з +
п
1
+
^ ( 1 + х + ••• + :-—
1+ 2 +
4п
2п
1
1
+
2 1+ 2 +
п
—
2 ’ -^2 п
2 ’ Нп
= 1п4п + с + е4п - ]- (1п2п + с + б2„ + 1пп + с + еп)
,
— 1п
4п
_
3 , „ ,
+ ап — - 1п2 + ап ,
у2 п ■п
4
где
ап — е4п
О,
2
П —» ОО.
Следовательно,
П т з 3п = - 1 п 2 .
п—*оо
2
Для сумм вида {ззп+х} имеем
П т я.зп+1 = П т ( з 3п +
1
4п + 1
П т з 3п = - 1п 2 .
п — >ОС
2
1
2п
Аналогично
Н т $3п_1 = Н т
п—*оо
п —* ОО 53п + 2п )
Итак,
Н т 8п — - 1п 2 , другими словами,
п — ►ОО
2
,
1 1 1 1 1
1+з “ 2+ 5+ 7 ~ 4 +
1п2
Сравнение результатов примеров а) и &) показывает, как пере­
становка членов условно сходящегося ряда может менять его сум­
му.
2.5.5. Вопросы и задачи
оо
1.
Пусть ряд '^2 ап условно сходится. Докажите, что для сумм
71=1
П
к= 1
|о/с| “Ь О'к
2
справедливо равенство
2.
ЛГ _ \ ^ |а/с| — ак
Уп ~
о
*=1
^
«ш
п—
»оо ^ - 1
Используя метод доказательства теоремы Римана, укажите
такой способ перестановки членов условно сходящегося ряда,
чтобы в результате получился ряд, последовательность ча­
стичных сумм которого не имела бы предела (ни конечного,
ни бесконечного).
Справедливо ли равенство
Е
к=1
1
1
2к~1 + Зк
1+ \ + \
_1_ _1_
+ 22 + 23 + 32
1
1
1
---- 1
------ 1
------ 124 25
З3
4.
Используя формулу (16), вычислите сумму ряда
5.
Докажите, что
Нт
п —»оо
\п + 1
+
1
п+ 2
= 1п 2.
2.6. А Р И Ф М Е Т И Ч Е С К И Е Д Е Й С Т В И Я С Р Я Д А М И
В предыдущем параграфе мы обсуждали перестановки членов
числовых рядов. Здесь будут рассмотрены проблемы, связанные с
расстановкой скобок в бесконечных суммах, сложением и умноже­
нием рядов. Частично эти вопросы уже затрагивались выше (см.
пн. 2.1.4, 2.1.5, 2.2.6).
2.6.1. Расстановка скобок
Пусть задан числовой ряд
ОО
( 1)
Рассмотрим некоторую последовательность натуральных чисел
{пк} : 1 < П1 < п2 < ■■■< пк < ■•• и ряд
ОО
( 2)
где А\ — а\ + ---- Ь аП1 , Ак = аПк_1+\ Н---- + аПк , для к > 2 .
Ряд (2) рассматривается как результат расстановки скобок в (1)
без изменения порядка членов с последующим суммированием в ка­
ждой скобке.
Обозначим последовательности частичных сумм рядов (1) и (2)
через { « „ } и {5к}, а суммы этих рядов (если они существуют) через
5 и 8 соответственно.
Теорема 1.
Пусть ряд (1) сходится.
Тогда ряд (2) сходится к той же сумме.
► Утверждение следует из того, что {б Д , является подпоследова­
тельностью сходящейся к 8 числовой последовательности {вп}
◄
8 Ряды
Замечание. Обратное неверно. Так, для расходящегося ряда
оо
53 ( —I ) ” -1 = 1 — 1 + 1 — !. + •••
п—1
расстановка скобок (1 —1) + (1 —1) Н---приводит к сходящемуся
ряду, поскольку все члены последнего - нули.
Ниже мы укажем несколько условий, при которых сходимость
ряда (2) влечет сходимость (1).
Теорема 2.
Знакопостоянный ряд (1) сходится тогда и только тогда, ко­
гда сходится ряд (2), полученный из (1) в результате какой-либо
расстановки скобок. При этом суммы рядов совпадают.
► Достаточно показать, что из сходимости (2) следует сходимость
ряда (1). Пусть для определенности ап > 0. Тогда последова­
тельность {$ „}, как и любая ее подпоследовательность, не убывает.
Поскольку ряд (2) сходится, последовательность {5&} ограничена
сверху. Следовательно, {з п} также ограничена сверху (докажите!)
Отсюда вытекает сходимость {5П}, т.е. сходимость ряда (1). Со­
гласно теореме 1 8 = 5
◄
Теорема 3.
Пусть ряд (2), каждый член которого Ак содержит слагаемые
ап одного и того же знака, сходится.
Тогда ряд (1) сходится к той же сумме.
► Сходимость ряда (2) означает, что
Уе > О, Ж ь Ук > К х :
\8к - 8\ < | .
Из необходимого условия сходимости (2) следует также, что
Ж 2, У к > К 2 :
\Ак\ < е
~.
Пусть К = та х { К \, } . Возьмем в качестве N номер послед­
него слагаемого из Ац- Пусть п > N , а к номер скобки, куда
входит ап . Тогда, поскольку к > К, для частичных сумм ряда (1)
имеем
Уп > N :
|з„ - 5| = |я„ - 8 к + 8 к - 8\ < |в„ - 8 к\+ \8к - 5|
<\Ак\+ \Зк - 3 \ < е
- + ^ = е,
Н т зп = 3 .
п—►
ОО
Неравенство
|вп — Зк\ < \Ак\
слагаемых в скобке
◄
т.е.
Примеры
следует из знакопостоянства
ОО
где [о] обозначает
Доказать сходимость ряда
целую часть числа а .
п=1
П
(-1 )кА к . Здесь
► Данный ряд можно представить в виде
71=1
Ак
1 _
1
1
(к + I ) 2 — 1
к? + ^ П
1
1
\
(
1
+
+ ••• +
к2 + к
к2 + " ' + к2 + к - 1
( л + 1)2 - 1 ; ’
+ ••• +
причем первая скобка содержит к, а вторая - (к + 1) слагаемое.
Отсюда следуют оценки:
Ак < к . ± + (к +
=
Ак > к ■
+ {к + 1)
(к + I ) 2 — 1
к2 + к - 1
1
1
2
> к•
+ (& + !)•
к2 + к
(к + I ) 2 к + Г
Таким образом, 0 < Ак+\ < Ак , поэтому ряд
^ 2 ( - 1 ) кАк схоп=1
дится по признаку Лейбница. Тогда в соответствии с теоремой 3
исходный ряд также сходится
◄
2.6.2. Линейная комбинация рядов
Теорема 4.
Пусть
ОО
ОО
^ ] аП1
Е Ьп
(1)
71= 1
(3)
71=1
- два сходящихся ряда, которые имеют суммы А и В соответственно.
Тогда ряд
ОО
Е
( « « « + р ъп) ,
(4)
71=1
где а , /3 - числа, также сходится и имеет сумму а А + /3В .
При этом (4) сходится абсолютно, если ряды (1), (3) абсолютно сходятся.
► Сходимость ряда (4) к сумме а А + /3В вытекает из свойств
Ь) , с) числовых рядов п. 2.1.4. Абсолютная сходимость следует по
признаку сравнения из неравенства
\аап + (ЗЬп\< |а| |а„| + |/3||ЬП|,
если (1) и (3) абсолютно сходятся
<
2.6.3. Умножение рядов
Из теоремы 1 следует, что сходящиеся ряды можно почленно
складывать и вычитать, можно умножать на постоянную. Сложнее
обстоит дело с умножением рядов. По аналогии с перемножени­
ем сумм конечного числа слагаемых ясно, что произведение рядов
(если оно существует) должно содержать всевозможные члены ви­
да а^Ь[ . Однако в каком порядке их следует суммировать? Так,
для таблицы с бесконечным числом строк и столбцов, содержащей
элементы а^-Ь/, можно, к примеру, предложить такие способы пере­
числения этих элементов (стрелками показан порядок нумерации):
а\Ьз . . .
т
02^3
•••
т
азЬ1 - -* ОдЪ‘2 ~-> 0363 . . .
«1^1
«1^2
т
02/>1 - -> 02^2
суммирование
” по квадратам”
«1^1
«1^2
а\Ъз
0 2б1
02^2
02 Ьз
0 3/»1
03^2
а-зЬз
суммирование
” по диагоналям”
Определение 1. Назовем произведением рядов (1), (3) ряд, соста­
вленный из всех произведений вида
ак к
(к = 1,2,3,...;
/ = 1,2,3,...),
если его сумма не зависит от порядка его членов.
Теорема 5.
Пусть ряды (1) и (2) сходятся абсолютно к суммам А и В
соответственно.
Тогда существует ряд, являющийся их произведением, который
также сходится абсолютно, причем его сумма равна А ■В .
2
1
► Обозначим через ио\, Ю , юз,... произведения вида аф , зану­
мерованные в каком-то порядке. Вместе с полученным рядом
ОО
X ] шк
к=1
(5)
ОО
рассмотрим ряд
Х ]| гуА;|(6)
к=1
Докажем сходимость ряда (6). Пусть 8п - п-ая частичная
сумма этого ряда. Зафиксируем номер п. Сумма 8п состоит из
слагаемых вида
. Среди индексов к , I таких членов, входящих
в Зп , существует максимальный. Обозначим его через т . Тогда,
очевидно,
Зп < (1^11+ |&21 + ••• + |йш|) • (|^11 + 1^21+ ••• + \Ьт\) ■
(7)
В правой части (7) стоит произведение т-ы х частичных сумм
оо
оо
рядов
Х > *1 ,
Ц |^1‘
к—1
к=1
Это ряды с неотрицательными членами, по условию теоремы
они сходятся. Следовательно, их частичные суммы ограничены,
поэтому в силу (7) ограничена последовательность {5'п} , откуда
следует сходимость (6), т.е. абсолютная сходимость ряда (5).
Остается доказать, что ряд (5) имеет сумму, равную А - В . Так
как этот ряд сходится абсолютно, согласно теореме Коши (см. п.
2.5.1) его сумма IV не зависит от перестановки членов. Располо­
жим члены ряда в порядке ” по квадратам” . Тогда имеем: IV =
Н т \Уп , где { \Уп} - последовательность частичных сумм ряда
п —хх)
из произведений, упорядоченных указанным способом.
Рассмотрим
^Уп — (а 1 + й2 + • •• + ап) • (61 + 62 + ••• + Ъп) .
Очевидно, {\Уп} является подпоследовательностью сходящейся
последовательности { \Уп} , поэтому
IV = Ит 1Уп = Нт Щ
П— ►ОО
п —X X )
= Нт (а\+а2 -\------ Ь ап) • Нт (&х + Ь2 Н------ Ь Ьп) = А В
71— >00
п —>00
◄
Определение 2. Ряд, составленный из произведений членов рядов
(1), (2), суммируемых ” по диагоналям” :
оо
О-к ■
= 01^1 + (01^2 + 0-2^1) + (0163 + а2 Ь2 + азЪ\)
к,1=1
+ ••• + («1 &А.—1 + а2Ъ);-2 + •• • + ак~\Ъ\) + ••• ,
называется произведением рядов по Коши.
Таким образом, произведение рядов по Коши имеет вид:
ОО
ОО
^ ' ак
к= 1
' У
ОО
1 Ьк
— У
к= 1
' Сп >
п= 1
п
где
С п -^ 2 а* • Ъп-к+\.
к=1
Из определений 1, 2 вытекает утверждение, полезное при вычи­
слении произведений рядов:
Если существует произведение рядов (1), (2), равное А ■В , то
их произведение по Коши представляет собой сходящийся к А ■В
ряд.
Обратное неверно, из сходимости произведения по Коши не сле­
дует существование произведения рядов в смысле определения 1.
2.6.4. Примеры
а) Найти сумму рядов
1 -.г- Й 4 ) * г ( т *
► Учитывая, что
Е
С0 8 7гп
( - 1)
71=1
1_
3"
= ( —! ) ” , а ряды
п—1
Е
П
( - 1)
71 —
1
Ё —
071
71=1
71= 1
сходятся, имеем
Зп
~
( _ 1)п -1
~ пЕ= 1
1+ о
^
V
+
(—I )” -1
«
+Е
п=1
2п
Е
п=1
1
I
9
9
^
К '
(—1)п_1
у
^
п —1
1
зп
Числовые ряды
(При получении окончательного результата использована формула
суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии)
◄
Ъ) Вычислить произведение рядов
оо
Е
(~ 1)*
к!
•кЕ
=0
1_
(8)
► Заметим, что оба ряда в (8) абсолютно сходятся (доказательство
ОО
1
сходимости ряда ^
легко получить с помощью признака Дак=о
ламбера).
В силу теоремы 5 существует произведение этих рядов. По­
скольку его значение не зависит от порядка суммирования, рас­
смотрим произведение по Коши. Обозначая члены перемножаемых
оо
рядов через щ-, /д , получаем ряд ^
гд ,
где
п =0
со = ао • 6о = 1,
Сп — ^ ^О-к ' Ьп—к — ^ '
к=0
к=О
(-1 )*
1
к\
(п —к)\
к=0
Здесь Ск - биномиальные коэффициенты. Сумму сд можно
найти, заметив, что по формуле бинома Ньютона
Е ( - 1)" -С к
п= ± С к
п . {—1)к ■Г - к = (1 - 1Г = 0, п > 1.
к=0
к=0
Итак, все Сп = 0 для п > 1, поэтому данное произведение рядов
равно со = 1
◄
с)
Найти коэффициент при х 2002 в произведении рядов
'У ^к
1
^
Лк- 1
^
к
( —1)* 81ПЙ лк
к\
► Нетрудно показать, что каждый из перемножаемых рядов аб­
солютно сходится при любом х € К . Члены ряда-произведения
имеют вид
у/2к
о-к ■Ь/
- 1 _4к_1 (-1)' вЫ
1\
^1
(2к)\
(~1 У
х^+2г-1;
т.е. содержат лишь нечетные степени х .
О твет:
0
◄
сI) Найти член, содержащий хп , в произведении рядов
00
Е
к=
00
( —1 )* х к
Е
к
зк
1
х к~ 1
4/с-1 >
Ы < 3.
=1
► Применим к перемножаемым рядам признак Коши в предельной
форме:
Пт
Пт
к —>оо
к—>оо
Пт
к—>оо
( — 1)^' х к
\
$/\Н\
у
Пт
к —>оо
Пт
к —>оо
3й
к
1;
хк 1
4& —1
Отсюда следует, что при \х\ < 3 оба ряда абсолютно сходятся, зна­
чит, произведение данных рядов в соответствии с теоремой 5 также
шляется абсолютно сходящимся рядом.
Рассмотрим произведение рядов по Коши, в котором именно вы­
ражение
П
содержит множитель
х п
. В самом деле,
Используя формулу суммы
сии, вычислим
п
членов геометрической прогрес­
Итак
Замечание. Перемножаемые ряды в примерах с ) , (1) принадлежат
классу так называемых с т е п е н н ы х р я д о в . Их теория излагается
ниже, в главе 3.
2.6.5. Дальнейшие результаты о произведении рядов
Имеет место обобщение теоремы 5 на случай произведения рядов
по Коши.
Теорема 6 (М ертен с).
П р о и з в е д е н и е
щ и й с я
х о т я
к
б ы
А
- В
о д и н
р я д о в
р я д ,
-
е с л и
(1 ),
(3 )
п о
К о ш и
п р е д с т а в л я е т
о б а
п е р е м н о ж а е м ы х
р я д а
с о б о й
с х о д я т с я ,
с х о д я ­
п р и ч е м
а б с о л ю т н о .
Доказательство см., например, в книге [2].
Однако последующее ослабление требований к сходимости ря­
дов, участвующих в произведении, невозможно.
Примеры
Доказать, что произведение по Коши условно сходящихся рядов
к=1
^
к=1
^
дает расходящийся ряд.
► Найдем это произведение
ОО
(9)
Ц °п п= 1
Здесь
Су. = У З а к ’ ^п —к + \ = У З
/с=1
7г
л/п —к +
Л=1
1
1
У
= Г -1 Д -1 • V
.
^ уД(п - к + 1 )
Так как по неравенству между средним арифметическим и средним
геометрическим
^к(п —к + 1) <
то
к + п— к+
1
2
?г
ы >/Уг=З1 п 2
+ 1
Поскольку
п+
1
2п
п+
1
П т ------ = 2, то |с„|, а следовательно и сп не
+1
стремится к 0 при п —> оо , поэтому ряд (9) расходится
◄
п -> О
ОП
Таким образом, произведение двух условно сходящихся рядов
уже не обязано (хотя и может см. ниже задачу 9 п. 2.6.6) быть
сходящимся рядом.
2.6.6.
Вопросы и задачи
1.
Пусть ряд (2) расходится. Может ли сходиться ряд (1) ?
2.
Исследуйте сходимость ряда
1
3
1 1 1 1 1
4 5
7 8
9
(—I ) ” -1 , (- 1 )” - 1 , (- 1 )” " 1 ,
4п — 1
4п
4п + 1
'"
3.
Что можно сказать о сходимости суммы двух рядов, если
a) один из рядов сходится, а другой расходится?
b) оба складываемых ряда расходятся?
4.
Найдите сумму ряда
1
1+ 2
1
3
+
1
+
1
22
+
1
23
+
1
32
1
21
+
2
+
25
.
+
33
+
’ "
Указание: см. задачу 3 из и. 2.5.5.
ОО
5.
ОО
ак
к= 1
лившегося ряда, если
Сложите ряды
^
и
X/ ^
к=1
1
( —1)* втЗ/с
уз
’
{ -1 )к к + 81ГГ 5А:
b ) ак =
^
5
a) ак =
6.
х2к~1
~
&
7.
1
(—I)*5-1 зш3/с
Ьк р
;
соа25/с +
~~
+
Найдите коэффициент при
и вычислите сумму полу-
ж11
в произведении рядов
^
(-1 )Ь Х2к+1
(4*-!)!'&
*!
Найдите коэффициенты сп в равенстве
°°
к
°°
к
ОО
Е ^ - Ек = 1^ - Еп=2
* * * - ы<2-
к- 1
(к + 1)
8.
Перемножив ряды, докажите равенство
ОО о1с
2*
Е *.| к=0
Е кИ
55 кИ
\•
\ - к=0
&=0
9.
Докажите, что произведение по Коши рядов
Е
( - 1)
к= 1
к- 1
Е
( - 1)
к—1
й=1
дает сходящийся ряд.
Указание: при оценке с„ воспользуйтесь тождеством
= _1_ П
к (п —к + 1)
п + 1 \/с
1
1
\
п — /с + 1у
и асимптотическим равенством из теоремы п. 2.5.3.
Ф УН КЦ И О Н АЛЬН Ы Е
3
г л а в а
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
И РЯДЫ
3.1. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я
3.1.1. Функциональная последовательность
Рассмотрим совокупность функций /„, п = 1,2,... , каждая из
которых определена на некотором множестве
Рек.
Определение 1. Если всякому числу п (Е N поставлена в соответ­
ствие некоторая функция /„ , то говорят, что задана ф у н к ц и о н а л ь ­
н а я п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь
(ф .п .)
{/„}.
Функции ф п , п 6 N называются ч л е н а м и ф у н к ц и о н а л ь н о й п о ­
с л е д о в а т е л ь н о с т и .
Определение 2. Множество И , на котором определены все функ­
ции
, п = 1,2,..., называется м н о ж е с т в о м о п р е д е л е н и я ф.п.
Определение 3. Функциональная последовательность {/ „ } с х о ­
д и т с я в т о ч к е
х о Е И , если сходится соответствующая числовая
последовательность { / „ ( . х о ) } •
Определение 4. Ф.п. {/ „ } с х о д и т с я н а м н о ж е с т
она сходится в каждой точке X . Это множество
м н о ж е с т в о м
с х о д и м , о с т и ф.п.
{/ „ } ■
в е
X
X
ф 0 , если
называется
Определение 5. Функция / , определенная на X следующим обра­
зом
Уж0 € X
:
/ (ж 0) =
1пн / „ ( ж0) ,
п —►ОО
называется предельной функцией для ф.п.
{/п} •
Принята форма записи, отражающая способ получения / :
/(ж ) =
или
^ П т^ /Д ж )
/„(ж )
-> /(ж), п ->■ оо
(х е X ) .
Замечание. Сходимость ф.п., о которой шла речь выше, иногда
называется поточечной сходимостью ф.п. Из определений 4, 5 ясна
причина такого названия.
Примеры
Для функциональной последовательности {/п(ж)} найти мно­
жества определения и сходимости; найти предельную функцию:
1 — пх , 0 < ж <
о)
Ь)
/ п(ж) = ж" ;
/п(ж) = <
п
О, — < ж < 1
п
X
с)
/ п (ж )
=
ПХ
8111 -
д)
;
/„ (ж) = агс(,§ пх .
►
о) Область определения ф.н. с членами вида /„(ж) = ж" - вся
числовая прямая: И = К = ( —оо; + о о ).
Найдем множество сходимости и предельную функцию.
Если |жоI < 1, то Нш Жп = 0 .
п —юо
Если |жп| > 1. то
Нш ж„ не существует.
п — ЮО
При жп = —1 Нш ( —1)п также не существует.
п —>оо
При жо = 1 имеем Нш 1 = 1.
п —>оо
Итак, получаем множество сходимости X = ( —1; 1]. Предель­
ная функция имеет вид
/(ж)
0 , |ж| < 1
1, ж = 1
Ь) Множество определения ф.п. задано в условии: 1) = [0; 1].
Покажем, что множество сходимости этой ф.п.
предельная функция
X = [0; 1], а
В самом деле, если жо — 0, то /„(жо) = 1 ПРИ всех п и, значит,
т = ь % 0ш
= 1-
1
Если же жо Ф 0, то, выбрав номер N так, чтобы — < хо (т.е.
N > — ), получим /п(х о) = 0 при любом п > N. Поэтому /(жо) =
ж0
11т /„(жо) = 0.
п —>оо
с)
Каждая из функций данной последовательности определена
всюду, следовательно, область определения ф.п. - вся числовая
прямая: Л = К .
Зафиксируем произвольное значение х . Поскольку
.
ж
ж
П
П
81П — ~ —
п —* оо,
в) Очевидно, область определения ф.п. Л = К . Легко видеть, что
данная ф.п. сходится в любой точке ж € К . При этом
—7г /2 ,
ж< 0
0
ж= 0
,
7г/2 ,
ж> 0
Таким образом, множество сходимости X — М; предельная
функция
7Г
/ (ж )
= - •81§ПЖ
◄
3.1.2. Функциональный ряд
Определение 1. Пусть дана ф.п. {ип} с множеством определения
О . Выражение вида
оо
щ (х) + и2{х) Н------ \-ип(х)-\---- = ^
ип(х)
(1)
71=1
называется функциональным рядом (ф.р.). Множество В при этом
называется множеством определения данного ф.р.
Определение 2. п-й частичной суммой ф.р. (1) называется функ­
ция
П
8п(х) = и\{х) + и2(х) Н------ 1- ип(х) =
щ (х) .
к= 1
Определение 3. Ф.р. называется сходящимся (поточечно сходя­
щимся) на некотором множестве, если соответствующая ф.п. {5'п}
его частичных сумм сходится на этом множестве.
Множество сходимости X ф.р. - это множество сходимости
ф.п. {5 ^}, т.е. множество всех точек жо , в каждой из которых
ОО
Е 1Ьп(хо) •
п=1
Предельная функция 8(х) = Нт 8п(х) (если она существует)
п—>оо
называется суммой ф.р. (1).
Множество определения функции 8 - это множество сходимо­
сти ф.р. (1) (не путать с И - множеством определения ряда!)
сходится числовой ряд
Замечания.
1) Поскольку между последовательностями {ип} и { 8п} имеется
взаимно однозначное соответствие (см. п. 2.1.1), то утверждения,
доказанные для ф.п., очевидным образом переносятся на ф.р. и
наоборот.
2) Для ф.р. (1) имеют место понятия абсолютной сходимости (это
ОО
сходимость ряда ^
п= 1
ления п. 2.4.1).
9 Ряды
\ип(х)\ ) и условной сходимости (см. опреде-
При этом один и тот же ф.р. может сходиться абсолютно на
некотором множестве Х\ с X и сходиться условно на другом мно­
жестве Х С X (см. ниже пример 2 п. 3.1.4).
3) Для выяснения сходимости ф.р. используются методы, обсу­
ждавшиеся в главе 2.
2
Примеры
1.
Для данного ф.р. найти множества определения, сходимости
и сумму ряда:
ОО
о)
Ь)
п= 1
►
а) Все члены ряда определены при любых х, поэтому множество
определения ф.р. И = К .
Вычислим п-ю частичную сумму. По формуле для суммы п
первых членов геометрической прогрессии получаем
к=1
Предел последовательности {5 п(ж)} существует только при |:с| < 1
(см. пример а) п. 2.1.1). Итак, множество сходимости ф.р. X =
( —1; 1). Сумма ряда
X
1 —х
Ь) Множество определения ф.р. задано в условии: В = [0; + о о ).
Применяя тождество (к > 1)
X
((к — \)х + 1){кх + 1)
1
(к — 1)х + 1
1
кх + 1 ’
найдем частичную сумму
^
=кЕ
=1
((к - 1)х + 1)(кх + 1)
(/с
— 1)х + 1
+ 1
Для любого х > 0 существует 8(х) =
жество сходимости ф.р. X — [0;
Найдем сумму ряда:
2.
1
пх + 1
8п(х ) , значит, мно­
+оо) .
1
5 (ж) = ^
= 1
О, ж = О
1, х > О
1 - пх + 1
◄
Для ф.р.
ОО
Е
( - 1) "
п —1
( 2)
пх
найти множества определения и сходимости; выяснить характер
сходимости.
► Все члены ряда определены при любых х, поэтому множество
определения ф.р. И = Ш.
Если х < 0, то, очевидно, не выполнено необходимое условие
сходимости, значит, здесь ф.р. (2) расходится.
Фиксируем произвольную точку х > 0. Полученный знакоче­
редующийся числовой ряд сходится в силу признака Лейбница, так
как — | 0 , когда те —> оо . Следовательно, множество сходимости
пх
ф.р. (2) X = (0; + о о ).
Рассмотрим ряд
Е
71=1
(- 1 )"
пх
1
Е пх
Ряд в правой части (называемый рядом Дирихле) сходится тогда и
только тогда, когда х > 1 (см. пример а) п. 2.3.1).
Таким образом, функциональный ряд (2) сходится абсолютно
для х € (1; Т о о ) , сходится условно для х €Е (0; 1]
◄
Замечание. При исследовании ф.р. с помощью признаков сходи
мости (как в примере 2) мы можем получить лишь множество опре­
деления суммы ряда 3 (х ) , но не ее значение.
3.
Найти множество определения функции / , задаваемой функ­
циональным рядом (р - параметр):
а)
Ях) = ^
пРе-п *.
ь)
П х) = ^ А _ \ _ '
|
►
о) Применяя признак Коши в предельной форме, имеем
I = Нш \/пр е~пх = Нт у/цР ■е~х
п —»оо
п—*оо
При х < 0 получаем I > 1, поэтому ряд расходится; из условия
х > 0 следует / < 1, значит, ряд сходится. Заметим, что эти
результаты не зависят от р .
ОО
Для х = 0 имеем ряд ^
пр , сходящийся тогда и только тогда,
п=1
когда р < —1.
Ответ. Функция / определена на множестве:
[О; + о о ) , если р < —1;
(О; + о о ) , если р > —1.
Ь) Если р < 0, то для любого х не выполнено необходимое условие
сходимости. Значит, ф.р. расходится.
При р > 0 имеем знакочередующийся ряд, для членов которого
(п + х 2) р
| 0,
п —> оо, в любой фиксированной точке х € К .
Следовательно, ряд сходится по признаку Лейбница.
Ответ: если р > 0, то функция / определена на множестве
если р < 0, то / не существует
◄
3.1.3. Вопросы и задачи
1.
Для функциональной последовательности {/п} найдите мно­
жества определения и сходимости; найдите предельную функцию:
2.
а)
/п(х) =
с)
/ «(*) = л/1 +
е)
/ ™ (Х )
+
ж"
= х
’
/тг(х) =
п+
(7)
1п{х) =
е71*;
/)
1п(х) =
агс!§
гг +
1
ж2
ж
Для данного функционального ряда найдите множество схо­
димости и сумму ряда:
о)
х ; (- * )":
=)
Е^
Ь)
71=1
71=1
ОО
3.
;
пж2 +
Ь)
1
,
ж > 0.
(п + ж )(п + 1 + ж)
Найдите множество определения функции /; выясните, как
сходится (абсолютно или условно) функциональный ряд:
ПО
а)
! ( х ) = ^ 2 е~
СО
;
Ь)
=
71= 1
71=1
с)
°° 81ППX
/(®) = X !
П
71=1
/ _ 1\П
^
81П
«о
/0*0 =
71 =
1
П Х
П
3.2. Р А В Н О М Е Р Н А Я С Х О Д И М О С Т Ь Н А
МНОЖ ЕСТВЕ
3.2.1. Равномерная сходимость последовательности
Рассмотрим сходящуюся ф.п. {/ „ } ; пусть / - ее предельная
функция. Пусть Е - некоторое подмножество (состоящее более чем
из одного элемента) множества сходимости ф.п., в частности, это
может быть все множество сходимости X .
Определение. Функциональная последовательность {/ „ } сходит­
ся к / равномерно на множестве Е , если
Уб > 0 ,
ЗА — А (е), Vп > А,
Ух е Е :
\/п(х) - /(ж)| < е .
Запись:
/п(х)
/(ж ), п -* оо, х е Е .
Замечания.
1) В этом определении существенно, что номер А зависит только
от е , но не от х .
2) Если ф.п. {/п} равномерно сходится на некотором множестве
Е , то, как следует из определения, она равномерно сходится и на
любом его подмножестве Е\ С Е (Е\ состоит более чем из одного
элемента).
3) Не имет смысла говорить о равномерной сходимости ф.п. в од­
ной точке, отсюда требование, чтобы множество Е состояло более
чем из одного элемента. Заметим далее, что если Е состоит из
конечного числа точек, то сходимость ф.п. {/„ } на множестве Е
равносильна равномерной сходимости на этом множестве (докажи­
те!)
4) В дальнейшем, если заранее указано множество Е, на котором
равномерно сходится ф.п. { /га} , мы, как правило, будем опус­
кать ссылку на это множество, ограничиваясь записью
/п(ж) =4
/(ж ), п -► со.
Примеры
1.
►
Исследовать на равномерную сходимость ф.п. /„(ж) = хп ,
п — 1,2,... на заданном множестве Е :
а) Е = [0; 1]; Ь) Е = [0; 1 - 5], где 0 < 5 < 1.
а) Предельная функция
0, 0 < х < 1
1, х = 1
/ (*)
Обратимся к геометрической интерпретации данного примера.
Неравенство |/п(ж)-/(ж)| < е определяет е-окрестность графи­
ка предельной функции /(ж ). При 0 < х < 1 это полоса шириной
2е, симметричная относительно оси абсцисс. Очевидно, при любом
достаточно малом е > 0 графики всех функций /„(ж) = хп выходят
из этой полосы, поскольку это графики непрерывных функций, при­
нимающих значения /п(1) = 1. Это значит, что сходимость данной
ф.п. к /(ж) на множестве Е = [0; 1] неравномерная
б) Предельная функция
/ (ж ) = 0 .
Возьмем произвольное е > 0 и найдем N из условия (1 — 5)Л < е.
Это возможно, поскольку Н т (1 — 5)п = 0 .
п — ►ОО
Тогда из монотонного возрастания функции
следует:
Уж
*€ [0;
1 — 5] :
Ух € [0;
1
- 5]
ж д?
на Е
$) — (1 ~ $)Ы■
при п > N . Поэтому
В то же время ж” < жл
Уп >М,
/лг(ж) < /лг(1 -
/ д ' (ж ) =
:
|/„(ж) - Дж )| = ж" < ж ^ < (1 -
т.е. в соответствии с определением /„(ж)
/(ж ), п —> ос
8 )"
◄
< е,
2.
Исследовать на равномерную сходимость на данном множе­
стве Е ф.п.
/п{х) = <
► а) Пусть Е — [0; 1].
примере Ь) п. 3.1.2,
1 —пх , 0 < х < —
1
0, — < х < 1
п
( 1)
Предельная функция, как показано в
/ (* ) =
1, х = 0
0, 0 < х < 1
Сходимость ф.п. (2) на множестве Е неравномерная. Действитель­
но, для любого п можно указать хп — — е Е , чтобы
2п
11п{хп) - /{хп)\ = /п(хп) = ^ .
Это противоречит определению равномерной сходимости
◄
► б) Пусть Е = [8; 1], где 0 < 8 < 1.
Очевидно, ф.п.
сходится на Е к предельной функции /(ж) = 0.
(1)
Выберем N так, чтобы ~ < 8. Тогда
Уе > 0 ,
\/п > М, У х е [6; 1] :
т.е. имеем /п(х)
0, п —>оо
\/п(х) - /(х)\ = /п(х) = 0 < е ,
◄
Замечание. Приведенные примеры показывают, что наличие рав­
номерной сходимости для одной и той же ф.п. может существенным
образом зависеть от выбора множества Е .
3.2.2. Критерий равномерной сходимости
последовательности
Теорема 1.
Ф.п. /п(х ) =4 /(ж ), п —* оо, ж € Е тогда и только тогда,
козда
П т вир |/п(ж) - /(ж)| = 0.
(2)
п —► оо
► а) Пусть /„(ж) =4 /(ж ), п -> оо, х е Е , т.е.
Ч/е > 0, Ж ,\ / п > Л Г ,
Тогда
\/х&Е:
\/п(х) - /(ж)| < е .
вир |/„(ж) - /(ж)| < е при всех п > Я, что и означает (2).
х е е
б)
Пусть выполнено (2).
последовательности
По определению предела числовой
\/е > О, ЭТУ, У п > N : вир |/„(ж) - /(ж)| < € ,
хеЕ
тогда Уж € Е : |/„(ж) - /(ж)| < е , т.е. /„(ж) =1 /(ж), п - » оо
◄
Метод исследования равномерной сходимости ф.п.
Теорема 1 дает алгоритм исследования равномерной сходимости
ф.п. {/ „ } на заданном множестве Е . Этот алгоритм состоит в
следующем.
1°
Найти предельную функцию
Пт_/п(ж) ==/(ж)
(здесь фик­
сируется ж). 1
2° Выписать гп(ж) = |/п(ж) - /(ж)|, раскрывая модуль, если
это требуется для дальнейших вычислений.
3° Найти числа ап = виргп(ж) (здесь п фиксировано).
х
Е Е
4° Выяснить, выполнено ли условие П т ап — 0 .
п —>оо
Если оно выполнено, то сходимость равномерная. Если нет
сходимость неравномерная.
Примеры
Исследовать на равномерную сходимость данную ф.п. на ука­
занном множестве.
1.
Сравните с примером 1 из п. 3.2.2.
а) /п(ж) = х п ,
Е = [0; 1].
► Используя предложенный выше алгоритм, получаем
ч
|0, 0<ж <1
1°
/М = \ 1 ,1 = 1
1
2°
'. И
3°
ап = зир гп(х) = 1;
хе[0;1]
4°
П т ап = 1 ф 0.
гс—Ю
О
хп , 0 < х < 1
0, х = 1
= 1/пМ - /М1 = |
Итак, сходимость данной ф.п. к / на множестве Е = [0; 1]
неравномерная
◄
б) Рассмотрим ту же ф.п. /п(х) = хп , если Е = [0; 1 — <$].
► 1°
/ ( * ) = 0;
2°
гп(х) = хп ;
3° ап = зир гп(х) = (1 — 5)п, так как хп возрастает на Е ;
хЕЕ
4°
Пт ап = П т (1 —5)п = 0 .
п—>оо
п—+оо
Поэтому $п(х) =4 0 , п —►оо
2.
◄
Сравните с примером 2 из п. 3.2.2.
а) Исследовать на равномерную сходимость ф.п.
1 п (х ) =
<
1 —пх , 0 < 2 < —
1
П >
0, - < х < 1
п
Е = [0; 1].
о < ж< 1
► 10
;
1 —п х , О < х < —
1П
{
;
О, х = О или — < х < 1
п
3° ап = яир гп(х) — 1;
х е Е
4° Н т ап = 1 ф О.
п ^ оо
.
Следовательно, ф.п. {/п} сходится к / на множестве Е = [0; 1]
неравномерно
◄
б) Исследуем теперь ту же ф.п., что в предыдущем примере, но
при условии Е = [5; 1] (0 < 5 < 1).
► 1° / (*) = 0;
2° гп(х) = /п(ж);
3° ап = /п(<5);
так как при п > -
4°
/п(<$) = 0 , то
Итак, /п(ж) гДО, п —> оо
3.
ап = 0 .
◄
X
Исследовать на равномерную сходимость ф.п. /га(ж) = соя —
на множестве
а) Я = К ; 1 б) Е = [а; Ъ\.
►
а) Имеем
7
X
1° {(х) = Н т соя — = 1;
п —и зо
2°
°
,
77,
X
ч
Л
.
о
X
г„(ж) = 1 - соя - = 2 8Ш — ;
4'
п
а п = зир г„(ж) = 2 ;
х
ЕЕ
2п
4°
Нш ап — 2 ф 0 .
п —»оо
Поэтому сходимость данной ф.п. на Е = К неравномерная,
б) Пункты 1° — 2° исследования те же, что выше.
3° _ 4°
Предположим сначала, что 0 < а < Ь. Ближайшей к
нулю положительной точкой максимума гп(ж) = 2 з т 2 — является
2те
точка ж = 7гп. Следовательно, при х € [0; 7гп] функция гп возра­
стает. Выбрав номер N столь большим, чтобы Ъ < тгМ, получим
Уп > N :
Так как
ап — зиргДж) = гп(Ь) — 2зш2 — .
хеЕ
2п
Итоп=
В случае а < 0
находим
0,
то
/ „ ( ж ) =1
1,
п —> оо .
(а < Ь ), учитывая четность функции гп ,
ап = 8ир гп(ж) = 2 81П — ,
с
где с = шах {|а|, |Ь|} , п > N > —.
7Г
Далее рассуждения повторяются дословно
4.
◄
Исследовать на равномерную сходимость ф.п.
. . .
2пх
/п(х) = —2 2 ,
п=1,2,...
на множестве
а) ^7 = [0; 1];
а) 1°
2°
б) Е = ( 1; + о о ).
/(ж) = Нт
2пх
п —>оо гг2 + ж 2
г„(ж)
2пх
(3)
3° Для вычисления вир гп(х) найдем максимум гп при х 6 Е .
х
€ Е
С этой целью рассмотрим
г'п{х) = 2п
П2 —X2
(те2 + х2)‘
Точки возможного экстремума х = ± п не принадлежат множеству
[0; 1). Так как здесь г'п(х) > 0, то
вир гп(х) = шах гп(х) = гп{ 1) =
х& Е
4°
Х^ Е
2те
1пп
°° те2 + 1
2те
те2 + 1
0.
Следовательно, ф.п. (3) сходится к
номерно.
/ (ж )
= 0 на Е — [0; 1] рав­
б) Как и в случае а), находим
1° /(ж) = 0;
2
П г (*Д
2пх
2 >
те^ +I ж^
о
3° Производная Д(ж) = 0 в точке х = п е Е (те > 1). Легко
видеть, что ж = те - точка максимума функции гп . Поэтому
вир тп(ж) = г„(те) = 1.
хеЕ
4° 1ип 1 = 1 ф 0 .
п —>оо
Ф.п. (3) сходится к
номерно
◄
/ (ж )
= 0 на множестве Е = (1;+ос) нерав­
3.2.3. Критерий Коши равномерной сходимости
последовательности
Теорема 2.
Для того, чтобы ф.п.
{/п} равномерно сходилась на мно­
жестве Е к своей предельной функции, необходимо и достаточно,
чтобы
Уе > 0 , ЗЛГ = АГ(е), Уп > Ы, \/р е Ы, Ух е Е : \фп+р(х) - /п(ж)| < е.
(4 )
► а) Пусть /п(ж) =4 /(ж ), п —> сю. Фиксируем е > 0. Тогда по
определению равномерной сходимости для этого числа е
ЗАГ, У п > М, У х е Е :
\фп(х) - ф(х)\ < 1 .
(5)
Пусть р ~ произвольное натуральное число. Тогда из (5) следует
Уп>М, УхеЕ :
|/п+р(х )- / (х )| < | .
Имеем Ух & Е
\фп+р(х) - фп(х )| < |/„+р(ж) - /(х)| + |/п(ж) - /(х)| < |
| = е,
т.е. получено (4).
б) Пусть выполнено условие (4). Из него при любом фикси­
рованном х <2 Е согласно критерию Коши для числовой последова­
тельности вытекает сходимость последовательности {/ «(ж )} . Таким
образом, на Е существует предельная функция /. В неравенстве
(4), которое справедливо Ур 2 N, совершим предельный переход
при р —» сю (п , ж фиксированы). Получаем
I/ (ж) - /п(ж)| < 6 .
Но это верно Уп > Л7', Ух 2 Е . В силу произвольности е > 0 при­
ходим к определению равномерной сходимости ф.п.
-4
Р а в н о м е р н а я
сходи м ост ь
н а
м н ож ест ве
3.2.4. Равномерная сходимость ряда
О п р ед елен и е. Функциональный ряд
ОО
( 6)
равномерно сходится на множестве Е ( Е С X , где X - множество
сходимости ф.р. (6)), если на множестве Е равномерно сходится
последовательность его частичных сумм {5'п} .
Поскольку на Е существует сумма ряда 8 (х ) , то можно рас­
сматривать функцию
ОО
Еп{х) = 8(х) - 8п(х) =
^
щ{х),
к=п+ 1
т.е. п-й остаток ф.р. (6).
Непосредственно из определения следует
Теорем а 3.
Функциональный ряд (6) равномерно сходится на множестве Е
тогда и только тогда, когда при п —> оо Кп(х) =* 0, х е Е .
Отметим? что последнее условие равносильно утверждению, что
Уе > 0, ЗЛГ = ЛГ(е), Уп > Лг, Ух € Е :
Н т
\Пп(х)\ < е
з и р | Я п ( ж )| = 0 .
п^ ° ° х&Е
Т е о р е м а 4 (критери й К о ш и равном ерной сходимости ф .р .).
ОО
равномерно сходится на мно-
Функциональный ряд
к= 1
жесгпве Е тогда и только тогда, когда
п+р
Уе > 0 ,
ЭЛТ = ЛГ(е),
< €
Уп > Лг, Ур € N. Ух е Е :
/с=п+1
.
► Согласно определению равномерная сходимость ф.р. - это равно­
мерная сходимость ф.п. его частичных сумм {5п} . Поэтому утвер­
ждение следует из теоремы 2, так как
п+р
|*5'п+р(а;)
— \ип-1-1(ж) + ••• + ип+р(х)\
Е
Щ(х)
к=п+ 1
Следствие
(необходимое условие равномерной сходимости
ф.р.)-
ОО
Пусть функциональный ряд
^
ип(х)
равномерно сходится
71=1
на множестве Е.
Тогда при п —» оо
ип(х) =4 0 , х € Е .
(7)
► Если ф.р. равномерно сходится на Е, то он отвечает критерию
Коши (теорема 4). Взяв в его условии р = 1, получаем
Уе > О, ЗЛГ = ЛГ(е), Уп > /V, Ух € Е :
\ип+\(х)\ < в .
Это и означает (7) ◄
Замечания.
1) Условие
ип(х)
эквивалентно
0, х € Е, при п —*• оо в силу теоремы 1
Нш вир |м„(х)| = 0 .
п^°° хеЕ
(8)
2) Невыполнение необходимого условия (8) означает, что ф.р. на
указанном множестве не обладает свойством равномерной сходи­
мости. Если известно, что ряд сходится на Е, то эта сходимость
неравномерная.
Примеры
1.
Исследовать на равномерную сходимость данный функциональ­
ный ряд на указанном множестве, переходя к рассмотрению
частичных сумм:
ОО
а)
Е = [-д-,д]
][> ",
(0 < Я < 1) ■
п—1
► Как было показано в примере 1а) п. 3.1.4, частичная сумма
%
х™\
х
ряда равна 8п(х) — — -------- - , а его сумма 8 (х ) = ——— , так что
1 X
1 X
Ч
хП +1
аир |Дп(ж)
аир
„
/
остаток ряда Дп(ж) = ----- .
1 —х
Заметим, что
„п +\
х&Е
_7г+1
1 -д
хеЕ
О,
п
оо.
так как |д| < 1.
Следовательно, Кп(х) гз 0, х е Е , т.е. данный ряд равномерно
сходится на множестве Е = [—д; д]
◄
*) Е
х
, Е = [0; + о о ).
((п - \)х + 1){пх + 1)
► Выше (пример 1 Ь) п. 3.1.4) было получено выражение для ча­
стичной суммы данного ряда
его суммы:
Зп(х) = 1 —
3(х) = Нт 8п(х) =
пх + 1
а также для
0, х = 0
1, х > 0
Применяя для исследования критерий теоремы 1, сначала най­
дем
х= 0
0,
1
гп(х) = \Зп(х) - 3{х)\ =
х> 0
10 Ряды
а затем вычислим
ап = 8ир гп(х)
Е
Поскольку
Пт
-------- = 1.
я->о+ пх + 1
Пт ап = 1 ф 0,
п —>оо
то сходимость последовательно-
сти частичных сумм, а, значит, и самого функционального ряда на
множестве Е1= [0;+оо), неравномерная
◄
ОО
с)
Е
X
((п — 1)ж + 1)(пх + 1)
Е — [1; + о о ).
► В этом случае для монотонно убывающей по х функции
гп(х) = |5„(ж) - 8{х)\ =
1
пх + 1
имеем
ап = вир гп(х) = гп( 1) =
ГГ
П т ап = П т ------ = 0.
Поэтому сходимость функп—*оо
п—*оо п + 1
ционального ряда на данном множестве равномерная
◄
так что
2.
Доказать неравномерную сходимость функциональногой ряда
на указанном множестве, используя критерий Коши либо не­
обходимое условие равномерной сходимости.
ОО
х” , Е = (—1; 1).
а)
п= 1
► Используем необходимое условие (8). Легко видеть, что
ап = 8пр |п„.(а::)| = вир \х\п = 1,
х&Е
хаЕ
поэтому Пш ап = 1 ^ 0 , так что необходимое условие равномерной
п — >ОО
сходимости ф.р. не выполнено. Выше (пример 1 а) п. 3.1.4) было
доказано, что данный ряд сходится в каждой точке Е = ( —1:1).
Значит, эта сходимость неравномерная
◄
оо
b)
Л
п= 1 п
>
Е = [°; + ° ° ) •
► Сходимость данного ряда при любом фиксированном значении х
очевидна.
В то же время
ап = зир |г4п(ж)| = зир
хеЕ
X
= +оо,
х&Е п
так что необходимое условие равномерной сходимости ф.р.
1шх ап = 0 не может быть выполнено. Итак, этот ряд сходится
неравномерно на множестве Е
<
ч
c)
^
п2 _ 4
^2е ^ >
Е = (°; + ° ° ) •
71=1
► Нетрудно убедиться (например, с помощью признака Коши), что
данный ряд сходится при любом х > 0. Покажем, что эта сходи­
мость неравномерная.
Поскольку
зир
х&Е
П
х&Е X*
»(ж)| = зир
и2
'7 2
> ип(п) = е-1
П т ап — О не может иметь места, поэтому не
выполнено необходимое условие равномерной сходимости (8)
◄
ОО 1
Е = (0; + о с ).
Л)
гг=1 П
то равенство
п — ►ОО
► Покажем, что сходимость ф.р. неравномерная, используя крите­
рий Коши (теорема 4).
Требуется установить, что
Эе > 0 . \/7У, Эп> ЛГ, Эре N. Э хе Е : К +1(х) + •••+ ип+р{х)\ > е.
Оценим последнюю сумму:
0
< ---------е ~\/(п + ^ )х . . . _|-------- \__ е ~у / (п + р )х
п+ 1
п+ р
Р
е ~ у / (п + р )х
~ п+ р
Выбирая при произвольно взятом
х
= —6
п
Е
п
€ N числа
р
п
—
и
, получаем
|^гс+1(ж) +
где е €
+
и п+ р (х)\ >
п
—
е
◄
е)
ОО
Е
8111ПТ
Е =
(0; 2тг).
(9)
П
► Покажем, что этот ряд сходится на Е , но неравномерно. Схо­
димость при каждом фиксированном х можно доказать с помощью
признака Дирихле для числовых рядов (проверьте!).
Неравномерность сходимости ф.р. (9) на Е = (0; 27г) установим
с помощью критерия Коши.
Если имеются такие п , р ё N , х € Е , что
0 < (п +
\ ) х < ■■■ <
(п +
р)х —
- ,
(Ю)
то
81Н ( п + р ) х
8П1 (п + 1 ) х
+ — Iп + 1
п + р
8111 ( п + р ) X
81П(п + 1)ж
+ ... + ----Е—----> р
п + р
п + 1
8111
(п +
\)х
8Ш ПХ
> р ■------- .
п + р
П + р
Здесь учтено, что при 0 < I < — функция у = 81и^ является
А
положительной и возрастающей.
Для произвольного п выберем р = п и т
7Г
= —
& Е .
Тогда
обеспечено выполнение условия (10) и справедливость оценки
8111
(п +
\)х
+ •■• +
8111
(п +
р)х
п+ р
> П
Д2
4
Таким образом,
/2
Эб = — , Ш ,
4
7Г
\/п > N , Зр € К, Зх = — е Е :
4п
\ип+\{х) Ч---- Ч- « п+р(ж)| > е,
т.е. согласно критерию Коши ф.р. (9) на Е = (0; 2п)
неравномерно ◄
сходится
Подведем итоги.
Замечания.
1) Для исследования на равномерную сходимость функциональной
последовательности обычно применяют алгоритм, вытекающий из
теоремы 1. Поскольку эта теорема дает необходимое и достаточное
условие, исследование может быть проведено полностью.
2) В случае функционального ряда указанный алгоритм можно ис­
пользовать лишь в немногих ситуациях:
а) применительно к ф.п. частичных сумм, когда эти суммы
допускают запись в достаточно простом виде;
б) применительно к последовательности членов ф.р. - для про­
верки выполнения (точнее: невыполнения) необходимого условия
равномерной сходимости (8).
В более сложных случаях равномерная сходимость ряда устана­
вливается с помощью достаточных условий - признаков равномер­
ной сходимости (см. ниже).
Критерий Коши (теорема 4), как правило, применяется для до­
казательства неравномерной сходимости функционального ряда на
заданном множестве.
3.2.5. Вопросы и задачи
1.
Функциональная последовательность {/п} равномерно сходит­
ся на множестве Е . Следует ли отсюда равномерная сходи­
мость этой ф.п. на множестве Е\ С Е?
2.
Функциональная последовательность {/ „ } равномерно сходит­
ся на множестве Е = [0; А] при любом А > 0. Следует ли
отсюда равномерная сходимость этой ф.п. на множестве Е =
[0; +оо) ?
ОО
3.
и„{х)
равномерно сходится на множестве Е =
1
[5; +оо) при любом <5 > 0. Следует ли отсюда равномерная
сходимость этого ф.р. на множестве Е = (0; +оо) ?
Ряд
п=
ОО
4.
Для членов функционального ряда
^
ип(х)
выполнено
71= 1
условие
ип( х ) =10, х & Е .
Следует ли отсюда
а) равномерная сходимость ряда на множестве Е ?
б) сходимость этого ряда на Е?
5.
Исследуйте на равномерную сходимость функциональную по­
следовательность { /„ } на указанном множестве:
a)
b)
c)
«О
е)
6.
Е — К. 5
/„(ж) = \1х2 + ^ ,
V
п
пх2 + 1
1п(х) = --- ---- ~>
2
п + х±_
/„(ж) = \/1+хп ,
1 п (х ) =
еп х ,
/п(ж) = хп
^
Е\ = [—1; 1],
Е2 = Ш;
Е = [0; 1);
Е\ = ( —1; 0],
Е2 = ( - о о ; - 1 ] ;
^ = (-2 ; 2),
Е2 = [-1; 1].
Исследуйте на равномерную сходимость данный функциональ­
ный ряд на указанном множестве, переходя к рассмотрению
частичных сумм:
a)
Ц
п —1
(“ х )
#1 = ( —1; 1) >
Е 2 = [0 ;^ ] ;
Е\ = (-1 ; 1),
Еъ — ( —з’ з) >
ОО
b)
п=1
c)
Е\ = (1; + о о ),
Е2 = [0; + о о ).
7.
Докажите неравномерную сходимость функционального ряда
на указанном множестве, используя критерий Коши либо не­
обходимое условие равномерной сходимости:
ОО ^
а)
п=1
~х
пх ’
Е = (1;+оо);
ОО
пе
Е
п—1
с) п—
Е П
6) Е
П+ X
п=
Ь)
ОО
СОЗ П Х
Е — (0; + о о );
Е = (0; 2тг);
1
ОО
81П П Х
1
Е = (0; 2тг).
3.3. Д О С Т А Т О Ч Н Ы Е У С Л О В И Я Р А В Н О М Е Р Н О Й
СХОДИМ ОСТИ
3.3.1.
Равномерная сходимость последовательности
Теорема 1.
Пусть для функции / члены функциональной последовательно­
сти {/ „ } удовлетворяют условию (\фп{х) —/(х)\ < ап) при любом
х Е Е , причем П т ап = 0 .
п—»оо
Тогда фп{х) =3 / ( х ) , п —> оо, х Е Е.
► Из условия П т ап = 0 имеем Уе > О, ЗА, Vп > N : \ап\< е. Но
п —►ОО
тогда (|/п(Д — /(х)| < ап), ап < е при любом х Е Е ,что означает
фп(х) ^ /(ж ), те —♦ оо, на множестве Е ◄
Отметим полезный частный случай теоремы 1, получаемый при
/ (*) = о.
Утверждение. Пусть для всех х Е Е выполняется \/п(х)\ < ап ,
0 при п —> оо .
Тогда при те —> оо /„(ж) г (0 на множестве Е .
Примеры
Доказать равномерную сходимость ф.п. с членами /„ на множестве Е .
—п3) • агс!§ те^/т
а)
1п(х) =
Е = [0; + о о ).
п+ х
► Оценим
Ух Е Е
: |/„(®)| =
со8(2т 7 —
п 3 ) • а г с !^
п+ х
7Г
г < ---2 (п
+
.г )
_
2 те
те-Д с
Так как П т ап = 0 , то из предыдущего утверждения /п(х) =? О
п — изо
при п —> оо на множестве Е = [0; + о о )
Ь)
/п(х) = П-81П — ,
пх
◄
Ь+0°| ■
Е
► Найдем предельную функцию. При х > - имеем:
/ (ж ) =
Пт п ■81п —
п—юо
=
пх
Пт п ■—
оо
пх
=
—
х
Для дальнейшего потребуется оценка
|8нН —1\ < — ,
I€К.
( 1)
Чтобы получить ее, рассмотрим при Ь > 0 вспомогательную
функцию
= 81П^
<Д0) = 0;
^ + — . Очевидно,
Ц>'(Ь) — сов 1—1 + 1, <//(0) = 0.
Так как +"{1) = —вт2 + 1 > 0, то функция <р' неубывающая,
следовательно, ц?(1) > 0 для I > 0. Точно так же получаем, что
функция <р не убывает при I. > 0, поэтому
( р ( Ь )
—
81111
—
I
+ — > 0.
&
откуда с учетом известного неравенства
Д>0 :
0 < |8т^| < |<|
0 < Ь —8т ^ <
Значит,
81111
1€ К
имеем
(мы использовали четность выражений, стоящих в обеих частях не­
равенства).
Теперь, применяя (1), оценим
Ух > “ 2
I/ п ( х ) - /(ж)|
. 1
П •81П---
пх
1
2 ( пх )2
1
1
= п ■ 8111
ж
пж
1
2
2пх2
п
Принимая во внимание теорему 1, получаем
т-,
на множестве Е
◄
1
пх
/„(ж) гг} - , п —> оо
ж
3.3.2. П р и зн а к и равн ом ерн ой сход и м ости ряд а
Т е о р е м а 2 (пр и зн ак В ей ерш тр асса).
Пусть для функционального ряда
ОО
^2 ип( ж) , х € Е
п=1
(2)
выполнены следующие два условия:
1° существуют числа ап, что Ух Е Е, Уп : \ип(х)\ < ап ;
2° сходится числовой ряд
оо
ап ■
(3)
п= 1
Тогда ф.р. (3) равномерно сходится на множестве Е .
► Справедливы неравенства:
п+р
п+р
Ух & Е :
и
к—пУ 1
«* (* ) <
Ц
к = п -\-1
п+р
М Ж)1 ^
Ц
А;—77—1
<**•
Поскольку числовой ряд (3) сходится, то
п+р
п+р
Уб > О, ЗЛГ, Уп > А7
", Ур € N :
У
У
ак
ак < е .
к—п+1
к=п + 1
Таким образом, согласно критерию Коши (см. теорему 4 и.
3.2.6) ф.р. (2) равномерно сходится на множестве Е
◄
Замечания.
1) Признак Вейерштрасса одновременно дает и абсолютную схо­
димость ряда (2), т.е. сходимость в каждой точке х & Е ряда
СЮ
У \ип{х )\ ■
2) Условия признака Вейерштрасса являются лишь достаточны­
ми, т.е. из их невыполнения не следует отрицание равномерной
сходимости.
► В подтверждение последнего замечания приведем следующий при­
мер. Рассмотрим функциональный ряд
Е
п=1
( -
1У
п
х Е Е — [0; 1],
который является рядом Лейбница при каждом фиксированном
ХП+1
хп
значении х € Е , поскольку 0 < — — < — •
п+ 1
п
Поэтому согласно теореме 4 п. 2.4.2 имеем оценку
„п + 1
Уж € Е :
\8п{х) - 8(х)\ = |Я„(ж)| <
п+ 1
<
п+ 1
0 , п —» оо ,
откуда в соответствии с утверждением п. 3.3.1 следует равномерная
сходимость на Е данного ф.р.
В то же время
Уж е Е :
хп
1
Ы * )| = — < п
п
причем эта оценка не может быть улучшена. Как известно, ряд
ОО
7 — расходится, так что условие 2° признака Вейершрасса не
“ п
п= 1
выполнено
◄
Теорема 3 (признак Дирихле).
Пусть для ф.р.
ОО
^2 щ (х) ■ук{х ) ,
х <ЕЕ ,
(4)
к= 1
выполнены следующие условия:
П
1° Уп, Уж С Е :
^2 иь(х ) < М ;
к=1
2° а) последовательность (гД ж )} является невозрастающей
в каждой точке множества Е ;
б) ик(х) =$ 0, к —
у оо , х € Е .
Тогда ф.р. (4) равномерно сходится на множестве Е .
► По лемме Абеля (проверьте выполнение ее условий!) имеем
п +р
Ур € N, Уж 6 Е :
^2 и^ х) • ук(х) < 2М •г>„+1(ж) .
к=п+\
Так как ик(х) =4 0 , к —> оо , то
Уе > О, ЭТУ, Угг > ТУ, Уж 6 Е :
1
|г>п+1(ж)| = уп+ (х) < ~
.
Поэтому при всех таких значениях п ,
Ур С М, Уж С Е :
п+р
^2 ик( х) -ик{а
< 2М-ип+\{х) <
е
к—п-\-1
и ряд (4) равномерно сходится на Е по критерию Коши
◄
Используя идею доказательства теоремы 6 п. 2.4.3 и рассужде­
ния, аналогичные предыдущим, нетрудно убедиться в справедливо­
сти следующего утверждения.
Теорема 4 (признак Абеля).
Пусть для ф.р. (4) выполнены следующие условия:
оо
1°
ф.р.
щс{х)
равномерно сходится на Е ;
к=1
2° а) последовательность {ок(х)}
к в каждой точке х € Е ;
является монотонной по
б) последовательность {иДх)}
Е , т.е.
равномерно ограничена на
\/к, Ух € Е,
3М :
фДж)! < М .
Тогда функциональный ряд (4) равномерно сходится на множе­
стве Е .
Примеры
Исследовать на равномерную сходимость на указанных множе­
ствах следующие ф.р.:
а
Е
п—1
агс!§(х/п •х 2)
\Лг3 + х2
Е =
(5)
► Имеем оценку
Ух :
7Г
7Г
агс!§(л/п ■ж2)
<
<
2-\/п3 + ж2
2пг
Уп?- Г х*
ОО
У " —ту: сходится, ф.р. (5) равномерно сходится
“ пА' г
п —1
при х € Е по признаку Вейерштрасса ◄
Поскольку ряд
ОО
Ъ)
^ ж2 •е~пж,
Е = (0; + о о ).
п=1
► Применим признак Вейерштрасса. Для получения мажоранты
вычислим производную
< (ж ) = (ж2 •еГпх) ' = х • е~пх ■(2 - и х ) .
Из условия
и'п{х) = 0
находим точки возможного экстремума:
2
х = 0 - не принадлежит Е ; х — — 6 Е . Легко видеть, что
п
т а х ип{х) = ип
хеЕ
поэтому
Ух е Е :
РяД X ) Г2
\ип(х) \— |ж2 •е пх\<
е2 п 2
сходится, следовательно, данный ф.р. равномерно
п= 1
сходится при ж > 0
◄
с)
Т г
71=1
пж
+ п5х 2
' С08 те2ж ,
Е =
(6)
► Оценим:
теж
|«га(ж)|
Так как функция
треть
ж>
1 + те5ж2
/ „(ж )
те ж
= ---- ,
С08
1 + тейж2
пX<
пж
1 + п 5ж2
- четная, достаточно рассмо-
0. Найдем ее производную
/п (ж) =
5™
1 — те5
ж2
(1 + те5ж2) 2
Из условия
(ж) = 0 получаем ж = те 2 > о и убеждаемся, что
это точка глобального максимума функции /п . Поэтому
Уж €
Е
:
К ( ж ) | < / „(ж ) < / „
•
Достаточные у с л о в и я р а вн ом ер н ой сходим ост и
ОО
Поскольку ряд
Е:
1
сходится, функциональный ряд
(6)
п—1
равномерно сходится при х € Е
◄
Л)
81ПП
Х
Е = [5-, 2тг —<5]
Е П+ X
п= 1
(0 < 5 < тг).
(7)
► Применим признак Дирихле. Используя оценку леммы 3 п. 2.4.3,
получим
1
,
8П1 кх < ----- <
Vп, Ух € Е :
8111 |
к= 1
Последовательность ьп(х)
х. По теореме 1
выполнено условие:
у п
( х
)
1
монотонна по п при каждом
п+ X
1
=4 0, п —> оо, на Е, так как
п+ х
< - —>0,
п
п+ х
1
8Ш |
п —>оо,
хеЕ .
Итак, все требования признака выполнены, следовательно ряд
(7) равномерно сходится на множестве Е = [5; 2т
т—<5]
◄
е)
Е ” 84"
Е = м.
П-
► Имеем
сов 4к <
Уп :
к= 1
для всех значений х & Е
81П2
(так как соз4А: не зависит от х ).
( 8)
Последовательность
точке х 6 Е и
1
{ 1
I у/п + х2 )
О п —> оо , х € Е , так как
\/п + .
1
\/ж
монотонно убывает в любой
\/п + X2
< -ут= —>О,
п
п —> оо .
Итак, ряд (8) равномерно сходится при ж е I
/)
_°°_ С _Л"
У ,
— ----------- ■ С 0 8
1нп
^2
х
- ,
п’
Е
=
[ 0 ; 7Г ]
1
]
(9)
°°^ /_ып
► Знакочередующийся ряд У —-----, очевидно, сходится по прип^= 2
ш п
знаку Лейбница. Этот ряд можно рассматривать как функциональ­
ный, члены которого - константы (не зависящие от ж). Тогда его
сходимость равномерна на Е .
Последовательность
|сое — > монотонна по п при каждом
х
< 1
п
Значит, в силу признака равномерной сходимости Абеля (теоре­
ма 4) ф.р. (9) сходится равномерно на Е
◄
хе
кроме того, Уп , Ух & Е :
008 —
3.3.3. Вопросы и задачи
1.
Докажите признак равномерной сходимости Абеля (теорема
4).
2.
Пусть ряды
оо
у
п=1
оо
ип(х )
и
У
щ (х)
сходятся на мно-
п= 1
жестве Е , причем первый из них равномерно. Известно, что
ип(х ) > 0, уп( х ) > 0; ип(х) ~ уп( х ) , п —> о с . Обязан ли рав­
номерно сходиться второй из указанных рядов?
У казание.
Р ассм отр и те на
= [0 ; + о о )
Е
ОО
ЕпX
оо
х
Е
и
( 2 + п 2)
3.
71=1
Докажите равномерную сходимость функциональной последо­
вательности {/ « } на указанном множестве.
a)
„ , .
гг +
1
, 4 4
^
b)
л м
c)
1п\х)
Е
=
[— л/2 ; > / 2 ];
Е
=
[0; + о о ) ;
Е
=
К .
С05(х >•
( сов
1п ( 1
= ™ ^—
+
у/х +
п 4)
;д г т ^
а г с Д (гг!
4.
ряды
х)
_ агсс^ (п! ж) ’
Д о к а ж и т е р авн ом ер н ую сход и м ость дан н ого ф ун кц и он ал ьн ого
р я д а на ук азан н ом м н ож естве:
ОО
о)
Е
Е 1п(1+ Д Д ),
Е
Е
Е
Е
Е
е
•в т
(п 4х
) ,
(1 ; + о о ) ;
Е
= --
Е
== ( - 5 , 5 ) ;
я
== [ - 3 ; 1 0 ) ;
Е
== [0 ; + о о ) ;
Е
==
71=1
ОО
Ь)
\
71=1
ОО
с)
71=1
ОО
<1)
п х
П2 +
х 3
71=1
ОО
е)
у/пА + Х
.
X1
X
п
• е -Хч/” • с о в ( п ж ) ,
1
7ГП
• сов — ,
3
,
71=1
у/п +
х 4
81П 2 х • СОВ П Х
/)
71=1
ОО
5)
71=1
11 Ряды
2/
у/п
( -
^/п •
+
1
Е --
к
*,
= (0 ; + о о ) ;
X
)"
(ж + Д ™ )
Е
--=
[0 ; + о о ) .
3.4. С В О Й С Т В А Р А В Н О М Е Р Н О С Х О Д Я Щ И Х С Я
Ф УНКЦИОНАЛЬНЫ Х
П О СЛЕД О ВАТЕЛЬН О СТЕЙ И РЯДОВ
3.4.1. Равномерная сходимость и непрерывность
Теорема 1 (непрерывность предельной функции).
Пусть ф.п.
{/ „ } равномерно сходится на множестве Е к
функции /, жо € Е - предельная точка этого множества.
Если все функции /„ непрерывны в точке жо , то и / непре­
рывна в этой точке.
► Условие /п(ж) =3 /(ж ), п —> оо означает, ^то
Vе > 0; ЗА, Уп > А, Ух е Е :
|/„(ж) - /(ж)| < | .
( 1)
Зафиксируем произвольный номер п0 > А . Тогда
1/ 0*0 - / Ы 1
~ | / ( Ж) ~ / п 0 (х ) + / п о ( т ) — Фп0 (х о) + / По(ж о) — / (ж о ) (
~
1/ 0*0 —
/по ( * ) | + |/по
0*0 —
/ п 0(Т о )| + |/п0 ( х
о) ~
/ ( х о)1
< 3+ 3+ 3 =е-
(2)
Крайние слагаемые в предпоследней строке (2) были оценены вслед­
ствие (1). Для среднего слагаемого использовано неравенство, вы­
текающее из непрерывности /По( ж) в точке жо :
3(5 > 0, Ух Е Е : |ж-ж„|<(*
=*
|/по(Д-/п0Ы | < | .
о
Неравенство (2), верное для всех ж е Е , |ж-ж0|< <5, и означает
непрерывность функции /(ж) в точке ж0 ◄
Замечание. В предположениях теоремы 1
/0го) = Пт /„(жо) = Пт Пт /„(ж).
п->оо х -*х 0 ■’
К '
С другой стороны,
Д ж 0) =
'
Нт
X—>Хо
/ (ж)
— Нт Нт
Х—>ХО
■хопп—>оо
—юо
/ „ (ж ).
Таким образом, условия теоремы гарантируют равенство этих
двух повторных пределов.
Пусть Е - множество, каждая точка которого является для не­
го предельной (это может быть, например, интервал, сегмент, полу­
прямая, вся числовая прямая). Поскольку непрерывность функции
на множестве - это непрерывность в каждой точке этого множества,
из теоремы 1 непосредственно следует
Теорема 2.
Пусть все функции /„ непрерывны на Е и при п —> ос /п(х) =1
/( х ) на Е .
Тогда / непрерывна на Е .
Так как функциональный ряд и его свойства полностью опреде­
ляются ф.п. его частичных сумм (и наоборот), теоремам для ф.п.
соответствуют аналогичные утверждения для функциональных ря­
дов.
Теорема 3 (непрерывность суммы ф.р.).
Пусть все члены ф.р.
ОО
(3 )
непрерывны на множестве Е , ряд равномерно сходится на Е .
Тогда сумма этого ряда также непрерывна на этом множе­
стве.
► Так как все функции ип непрерывны на Е , то и частичные сум­
мы 8п непрерывны. Равномерная сходимость ф.р. (3) по определе­
нию это равномерная сходимость ф.п. {5',,} . Далее применяется
теорема 2.
Отметим, что в условиях теоремы справедливо равенство:
оо
=
= ^(^о)
м
к=1
Замечание. Результат теоремы 2 в отрицательной форме выгля­
дит так:
Если все члены ф.п. {/ „ } непрерывны на множестве Е , а пре­
дельная функция / разрывна, то сходимость этой ф.п. к / на Е
неравномерная.
Это утверждение (и аналогичное ему для ф.р.) можно исполь­
зовать для доказательства неравномерной сходимости. В качестве
иллюстрации можно рассмотреть примеры 1а), 2 а) из п. 3.2.2.
3.4.2.
Почленное интегрирование
Теорема 4.
Пусть на Е = [а; Ъ] /п(ж) =3 /(ж ), п —> оо, и каждая из функ­
ций /п непрерывна на сегменте [а; Ь].
Тогда предельная функция / интегрируема на [а; 6] и суще­
ствует
► Заметим сначала, что по теореме 2 предельная функция / не­
прерывна на [а; Ь]. Таким образом, /п и / интегрируемы на [а; Ь]
как непрерывные функции.
Фиксируем е > 0 . Так как / п(х ) гЗ / ( ж ) , п —►оо , то
31У. Vп > N. Ух е [а,; Ъ] :
|/„(ж) - ф(х)\ <
Тогда
< [
|/п(®) - /(х)1 ^
^
а) - 6 •
Ла
Эта оценка справедлива для п > N . Таким образом, доказано,
что существует
◄
Перенося утверждение теоремы 4 на случай функционального
ряда, получаем следующий результат.
Теорема 5.
.
,
Пусть функциональный ряд (3) равномерно сходится на [а; ,
а каждый член этого ряда - непрерывная функция.
Тогда сумма ряда (3) интегрируема на сегменте [а; Ь], причем
ф.р. можно интегрировать почленно:
Замечание. Теоремы 4, 5 остаются справедливыми, если условие
непрерывности членов ф.п. (ф.р.) заменить на условие их интегрируемости на [а;
Ъ\ .
Доказательство можно найти в книге [6].
3.4.3.
Почленное дифференцирование
Теорема 6.
Пусть каждая функция фп имеет в интервале (а; 6) непрп
рывную производную ф'п , причем последовательность производим./
{/ « } равномерно сходится на (а; Ь), а сама последовательность
{ !п } сходится хотя бы в одной точке ж0 € (а; Ь ).
Тогда последовательность {/ п} равномерно сходится на (о; Ь)
к некоторой функции /, имеющей непрерывную производную, при
чем
/ '(ж) =
/п(ж) •
(5)
► Сначала покажем, что ф.п. {/п} равномерно сходится в интер­
вале (а; 6). Возьмем произвольное е > 0 . По условию сходимости
в точке жо
ЗЛГъ
Ур € N :
|/„+р(ж0) - /„(ж0)| < | .
Из условия равномерной сходимости ф.п. {ф'п} имеем:
2
ЗЛ^2, Уп > N , Ух 6 (а; Ь) :
1п + р (х ) ~
/ п (х )
<
2(6- а ) '
( 6)
Возьмем произвольную точку х 6 (а; 6), х ф ж0 , любое число
р € М, номер п > N = та х {Д ^1 ,N }, и рассмотрим на сегменте
[ж0; х] (если х < х0, то это сегмент [ж; ж0]) функцию
д{1) =
2
/п+р(1) ~ /п(Ь) ■
По теореме Лагранжа (проверьте выполнение ее требований!)
существует такое ^ е (ж0; ж), что
д(х) - д( ж0) = д 'ф • (ж - ж0) .
(7)
Используя равенство (7) и утверждение (6), получаем:
|р(ж) - р(ж0)| = |р'(01 • \х - ж0|< |р'(0| • (Ъ - а)
= I/п+р(0 - /п(01 • (Ь - а) <
• (6 - а) = | .
Так как
\д(х)\ = |д{х) - з(ж0) + д{хо)| < |<?(ж) - ,д(жо)| + 1^(жо)|,
ТО
Vп > N. УрС К, Ух 6 (а; Ь) :
е
|/п+р(ж) - /п(ж)| < 2 + 1/«+р (ж°)
< 2+
т.е. согласно критерию Коши существует такая функция /, что на
множестве (о; Ъ) имеем /п(ж) ^ Л х) , н. —>оо.
Остается доказать, что предельная функция / в любой точке
х € (а; 6) имеет непрерывную производную, причем верно равен­
ство (5).
Обозначим ц>(х) = Шп / '(ж) • Заметим, что согласно теореме 2
П — >ОО
У? непрерывна на (а; 6). Снова возьмем две произвольные точки
X, ж0 € (а; Ь ), ж ф ж0 , и на [ж0; ж] применим к ф.п. {/4} теорему
4. Имеем
Нт
Г 1 п № = Г И т /»(*)Л
Ло
Узд п^°°
"'ЗД
■
Преобразуя левую часть предыдущего равенства, получаем
откуда с учетом сходимости /п(ж) к / (ж) следует
Правая часть (8) имеет производную (по теореме о дифференциро­
вании интеграла с переменным верхним пределом), поэтому суще­
ствует / и
/'(ж) = *>(*) = т1пп /;г(ж)
т.е. получено равенство (5).
Выше уже было отмечено, что р - непрерывная функция
◄
Вариант этой теоремы для ряда формулируется ниже.
Теорема 7.
Пусть все члены ф.р. (3) - функции ип , определенные и непре­
рывно дифференцируемые в интервале (а; Ъ). Известно, что ряд
ОО
равномерно сходится на ( а;Ъ), а исходный ряд (3) схоп= 1
дится хотя бы в одной точке хо (а; Ь).
Тогда ф.р. (3) равномерно сходится на (а; Ь) , его сумма имеет
непрерывную производную и
(9)
Замечания.
1) При доказательстве теоремы 6 предполагалось, что интервал
(а; Ь) имеет конечную длину. Поскольку дифференцируемость локальное свойство функции, нетрудно показать, что равенство (5)
(а, следовательно, и (9)) остается справедливым и в случае, когда
(а; Ъ) - неограниченное множество.
2) Обратите внимание, что условия теорем 1 7 являются доста­
точными.
3.4.4. Примеры
1.
Доказать неравномерную сходимость на множестве Е данной
функциональной последовательности (ряда).
а)
/ „(ж ) =
агс!§ ( пх ) ,
Е —К .
► Нетрудно видеть, что предельная функция
Поскольку все члены последовательности /„ - функции, непрерыв­
ные на Е, а / имеет разрыв в точке х = 0, то предположение о
равномерной сходимости ф.п. на Е противоречит теореме 2
◄
оо
Ъ)
^
ж •е~пх ,
Е = [0 ; + о о ) .
п =О
► Сначала заметим, что сумма ряда / определена для всех х > 0.
В самом деле, /(0) = 0, а при х > 0 значение / непосредствен­
но вычисляется как сумма бесконечно убывающей геометрической
прогрессии с первым членом х и знаменателем е~х < 1 :
'<*>=
Легко убедиться в том, что функция /(ж) в точке х = 0 имеет
разрыв. Действительно,
х
П т /(ж) = И т -
х —► 0 +
= 1 ^ / (0).
х— >0 1
Так как все члены ряда
ип(х ) = хе~пх - непрерывные на
Е — [0; Т о о ) функции, то, используя теорему 3, получаем неравно­
мерную сходимость данного ряда на Е — [0 ; + о о )
◄
2.
Для функции /, являющейся суммой данного ряда, выяс­
нить, где она определена, непрерывна, дифференцируема.
а)
СОЗ П Х
/ (*) = Л
71=1
( 10)
в°
► 1° —2° Заметим, что множество определения / - это множество
сходимости ф.р. (10).
С О З Т1Х
Функции ип(х) = ---з— определены и непрерывны при х € М .
Ряд (10) равномерно и абсолютно сходится на М по признаку
Вейерштрасса, так как
ОО
\/х е
\ип(х)\ <
а ряд
1
У " —=■ сходится.
“
п6
п—1
Следовательно, по теореме 3 функция /(ж) определена и непрерыв­
на при всех значениях ж.
3° Для любого х € К члены ряда (10) непрерывно дифферен.
,
ОО
81П П Х
цируемы: ип(х) — ------ — , ф.р. (10) сходится. Ряд
81П П Х
> ,
п
п—1 П*
сходится равномерно на К по признаку Вейерштрасса, так как
Ух € К :
1
00 1
|<(ж)| < ~2 , а ряд ^
П
п=1 П
сходится.
В силу теоремы 7 функция / имеет непрерывную производную всюду на К , причем
...
8 Ш ПХ
--- т
.—
/ (ж) = — >
◄
71— 1
Ь)
= 5 ; е-п ж
т
(И )
71= 1
► 1° Члены ф.р. (11) определены при любом ж € К и сохраняют
знак: ип(х) = е~г х > 0. Для фиксированного значения ж рассмотрим
С п = у / Пп{Ж) = е~пх .
Так как
П т Сп =
71— К Х )
Го,
ж> 0
1+ 0 0 ,
ж< 0
то по признаку Коши ряд (11) сходится (абсолютно) при ж > 0 и
расходится при ж < 0. Если же ж = 0, ряд (11), очевидно, расхо­
дится. Таким образом, функция / определена при ж > 0 .
2
2° Каждая из функций ип( ж) = е~п х непрерывна всюду. Ряд
(11) равномерно сходится в силу признака Вейерштрасса при ж > 8 ,
2г
где 8 > 0, так как Ух > 8 : |ип (ж)| < е~п 0 , а ряд
52 в '" 2*
п—\
сходится по признаку Коши (см. п. 1°). Следовательно, согласно
теореме 3, его сумма /(ж) непрерывна при ж > 6. В силу про­
извольности выбора 5 > 0 это означает непрерывность / ( х ) при
х > 0.
3° При х > 0 члены ряда (11) непрерывно дифференцируемы:
и'п(х) = - п 2 •е~п2х ,
ОО
а ф.р. (11) сходится. Ряд ]Р *4 (ж )
сходится равномерно на мно-
п=1
жестве {ж > б > 0} по признаку Вейерштрасса. Действительно,
Ух > 5 :
|*4(ж) |< п2 • е~п2&,
ОО
причем ряд
^
п2 ' е_п2<5 сходится в силу признака Коши.
п=1
Таким образом, по теореме 7 у функции / существует непре­
рывная производная при ж > 5,8 > 0, которая имеет вид:
ОО
тг= 1
Поскольку число 5 > 0 можно выбрать произвольно, получен­
ный результат распространяется на множество {ж > 0} .
4° Рассуждения, аналогичные проведенным в п. 3°, позволяют
установить, что при ж > 0 существует непрерывная производная
ОО
/"(ж) = $ > 4 .в -"2*
п— 1
и т.д. до бесконечности.
Итак, ф.р. (11) задает бесконечно дифференцируемую при
ж > 0 функцию, причем производную / любого порядка можно
получить почленным дифференцированием этого ряда
◄
Выяснить, при каких значениях параметра р ф.п. с членами
3.
/п(х) = пр ■х ■е~пх ,
х € Е = [0; 1 ] ,
а) сходится на Е : б) равномерно сходится на Е ; в) удовле­
творяет равенству
Нт
/
п_>00Уо
/ п{х )й х = I
( Пт
^о ™-+°°
/п(х))с1х.
>
(12)
►
а) Сначала заметим, что \/п,\/р : /п(0) = 0. Следовательно,
Пт /п(0) = 0 .
п —>оо
Если х > 0 , то V » : Нт /п(х ) = х ■ П т пр ■е~пх = 0.
71— ^00
71— >00
Итак, данная ф.п. сходится на Е при всех значениях р , причем
предельная функция /(ж) = 0 .
б) Используя критерий равномерной сходимости ф.п. (теорема 1, п.
3.2.3), находим
гп(х) = |/п(ж) - /0*0| = пр ■х ■е пх
Применим производную для вычисления
вир гп{х) .
Е
Имеем
г'п(х ) = пр ■е~пх • (1 — пх) = 0 <*=> жп = — € Е .
Нетрудно видеть, что хп - точка максимума, поэтому
г,?-' ■е-1
ап = зир гп{х) = гп - \ = п
п
Е
Тогда
Н т ап = Нт пр 1 • е 1 = 0
р < 1.
Таким образом,
р < 1.
/п(ж) ^4 0,
ж € Е , тогда и только тогда, когда
в) Теорема 4 гарантирует справедливость равенства (12) при р < 1.
Поскольку условия этой теоремы являются достаточными, равен­
ство может быть верным на большем множестве. Проверим это
непосредственным вычислением.
Очевидно,
\/р :
[
./о
( Н т /„(ж)) 6.x — I
Чп—|’ ° °
2
4о
/(ж)йж = 0.
С другой стороны,
[
4о
/п(ж) с1х — [
^о
пр ■х ■е~пх <1х
= - п Р - 1 хе~пх
г1
1
/
:(1х
-пр~1е~п + пр~2е~п - пр~2,
Так как
Нп^-юо пр 1е п = Ишл-юо пр 2е 71 = 0 при любом
значении р, а
1
Р < 2,
п1™
—»оо
р = 0
то равенство (12) имеет место для р < 2
4.
Вычислить
/г-1•1
/ 8(х)с1х,
40
где
◄
5(ж) =
00
2^
^
(п + ж)"
1
функции, непрерывные при
(п + ж)2
ж > 0, п е N. Данный ряд равномерно сходится при ж > 0 по
признаку Вейерштрасса, так как
► Члены ряда
ип(х) =
Уж > 0 :
__1___
(п + ж )2
1
~ п2 ’
оо ^
У"
сходится. Следовательно (теорема 5), ряд
, пг
п= 1
допускает почленное интегрирование на сегменте [0; 1], т.е.
причем ряд
Сумма последнего ряда найдена как предел последовательности ча­
стичных сумм:
Нт
п—> о о
зп =
Нт
У "
п—>оо ^
(- —
т----- г ' ) =
к + 1У
\/с
Нт
п-*оо
( \ ------— ^
П + 1/
у
=1
◄
3.4.5. Вопросы и задачи
1.
Может ли последовательность разрывных на [а;Ь] функций
/„ равномерно сходиться на [а; Ъ] к непрерывной функции?
2.
Может ли последовательность непрерывных на [а; Ь] функций
/„ равномерно сходиться на [а; Ь] к разрывной функции?
СЮ
3.
оо
ип{х)
Пусть оба ф.р.
и
п= 1
У^ ьп(х)
равномерно схо-
п= 1
дятся на множестве Е . Следует ли отсюда равномерная схоОО
димость на Е ф.р.
4.
(ип(х) + уп(х )) ?
п—1
Докажите неравномерную сходимость на множестве Е данной
функциональной последовательности, принимая во внимание
свойства предельной функции:
а)
ъ)
Ш
с)
/п(х) = хп
с1)
/ »М =
Е = [0; 1];
Е = [ - 2;0];
1п(х) = 'Ухп + 1,
= е ” ,
агсЦ Пу/х
х2 + 1 ■
,
Е — (0; 2];
Е = [0; 1].
5.
Для функции /, являющейся суммой данного ряда, выясни­
те, на каком множестве она определена, непрерывна, диффе­
ренцируема:
сое а)
№
= ^
ОО
ь >
=
’
1
71=1
ОО
с)
= Е
п=1
6.
Можно ли почленно дифференцировать функциональный ряд
00
/
ж2\
1п 1 -|— 2
на множестве Е = К ?
п=1 V П /
3.5.
СТЕПЕННЫ Е РЯД Ы
3.5.1. Понятие степенного ряда.
Структура множества сходимости
Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд
вида
( 1)
1
где хо',ао,й , ... , ап, ... - некоторые числа.
Числа ао, а\,... , ап, ... называются коэффициентами степенно­
го ряда.
Выясним, как устроено множество сходимости р я д я. ( 1 ) . Это
множество не может быть пустым, так как любой степенной ряд
сходится в точке хо .
Теорема 1 (Коши-Адамар).
Пусть для степенного ряда (1)
1
а
( если а = 0, то Я = +оо ; если а = +оо , то Я = 0).
Тогда ряд
1) для х :\х —хо| < Я , Яф 0, абсолютно сходится,
для х : \х —жо| > Я , Я ф +оо , расходится;
2) при Я = 0 сходится только в точке х = ад ,
при Я = +оо он сходится абсолютно в любой точке х € К .
► Применим к ряду (1) признак сходимости Коши в усиленной
форме (см. теорему 8 п. 2.2.3). Рассмотрим
Ь = Нт фап ■(х - х0)п
П—
+00 у
(верхний предел
X —
Хо\ ♦
конечный или бесконечный
всегда существует).
Если а = 0 (т.е. Я = + о о ), то Ь = 0 < 1 для любого фиксиро­
ванного х , следовательно, ряд (1) абсолютно сходится всюду.
Если же а = +оо (т.е. Я = 0), то ряд (1) сходится лишь при
х = Хо ■
Пусть теперь 0 < а < + о о . Если Ь < 1, т.е. \х —хо\ < Я, то
ряд (1) абсолютно сходится. Если Ь > 1, т.е. \х — хо| > Я, то ряд
ОО
\ап\ ‘ \х -
Г
п= 0
расходится, так как для его членов не выполнено необходимое усло­
вие сходимости (см. доказательство усиленного признака Коши).
Но тогда необходимое условие сходимости не выполнено и для ря­
да (1). Итак, при \х —х0\> Я степенной ряд (1) расходится
◄
Определение. Число Я из условия теоремы 1 называется радиусом
сходимости степенного ряда (1).
Множество (ж0 - Я] ж0 + Я ) , где Я\ ф 0 - радиус сходимости,
называется интервалом сходимости ряда (1).
Замечания.
1) Равенство из теоремы 1
называется формулой Коши-Адамара.
2) Можно доказать, что если существует (возможно, бесконечный)
предел
= Я
Нш
п — >ОО
(3 )
^п+1
то существует и предел из (2), причем
Во многих случаях формула (3) более удобна для вычисления
радиуса сходимости.
12 Ряды
Н а х ож д ен и е м н ож ества сходимости.
Множество сходимости степенного ряда (1) может состоять:
а) из одной точки хо (при Я = 0);
б) из всей бесконечной прямой (Я = +оо);
в) из интервала сходимости и, возможно, одной или обеих кон­
цевых точек этого интервала.
Для того, чтобы найти множество сходимости, вычисляют Я ,
выписывают интервал сходимости, а затем исследуют сходимость
числовых рядов, полученных из (1) в результате подстановки х =
хо ± Я (Я Ф 0, + о о ).
Отметим следующее обстоятельство, полезное при исследовании
сходимости степенного ряда в концевых точках.
Если один из двух рядов, полученных в результате подстановки
х = хо ± Я , оказывается знакопостоянным, исследование лучше на­
чинать с него, так как сходимость этого ряда означает абсолютную
сходимость ряда (1) в другой концевой точке интервала. Если же
первый (знакопостоянный) ряд окажется расходящимся вследствие
невыполнения необходимого условия сходимости, то и для второго
ряда мы получим расходимость по той же причине.
П р и м ер ы
Найти множество сходимости степенного ряда.
“>
00 хп
00 хп
52 ц = 1 + Е ТЫ
71=1
п—0
► Находим
Я, = Пт
п—кх>
(Цг
&п-\-1
Нт
п —>оо
(п + 1)!
п!
Итак, данный ряд сходится всюду
ОО
Ъ)
п! • хп .
п=0
^
Пт (п + 1) = +оо .
71—>00
◄
► Применяя формулу (3), получаем
ап
Н т ------- = 0 ,
К = Пш
п —>оо Оп+1
п-+ оо П + 1
следовательно, этот степенной ряд сходится лишь при х = 0
◄
оо „п
с)
► Используя равенство
Пт \Уп = 1, по формуле Коши-Адамара
п — ►ОО
(2) вычисляем
Пт
п —>оо
Нт
1,
п —юо
откуда радиус сходимости Л. = 1 . Интервал сходимости: ( —1; 1)
для любого р .
Исследуем сходимость в концевых точках интервала.
При
ОО
1
— , который сходится, если р > 1,
х = 1 получаем ряд
п=1 пР
расходится, если р < 1 • При х = -1 имеем ряд
дящийся для р > 0 и расходящийся для р < 0 .
(~1)т
тгР
п= 1
^
Ответ. Множество сходимости имеет вид:
( —1; 1) при р < 0 ; [—1; 1) при 0 < р < 1; [-1; 1] при р > 1
<о
п—1
1 ^
П
^
г
.
Здесь хо = —2 . Находим
Д - 1 = Н т (7
2" + (- 3 )г
п—>оо \/
Пт —
г?— оо (у 77
= Нт
П — ЮС
'1 + | ! ) ” = 3'
п/2” + 3"
п
схо-
Рассмотрим концевые точки интервала.
1) х = —2 — —. Имеем ряд
О
2” + (- 3 )"
1
( - з ) га
который расходится как сумма расходящегося и сходящегося рядов.
Сходимость второго ряда в сумме очевидна, так как
Ответ: множество сходимости - полусегмент
◄
3.5.2. Равномерная сходимость
Далее в этом пункте будем для упрощения записи рассматри­
вать степенной ряд вида
ОО
(4)
к которому ряд (1) сводится заменой (х —жо) на х .
Теорема 2.
Ряд (4) равномерно сходится на всяком сегменте [а; Ь}, цели­
ком лежащем внутри интервала сходимости ( —К ; Я ) , Я ф 0 .
► Пусть [а; Ь] С ( —Я; Я,). Тогда |а| < Я , |Ь| < Я . Выберем число
г , чтобы 0 < г < Я , |а| < г , |Ь| < г . Тогда Ух € [а; Ь] : \х\ < г.
оо
Так как г - точка из интервала сходимости (4), то ряд
5И \ипг п\
п=0
сходится, ибо (4) абсолютно сходится в точке х = г . Тогда по
признаку Вейерштрасса ряд (4) равномерно сходится на [а; Ъ\, по­
скольку
Уж € [а; Ь] :
|апжп|= \ап\■\хп\< \ап\■гп = |а„гп|
◄
Теорема 3.
Пусть К ф 0 - радиус сходимости ряда (4).
Если этот ряд сходится в точке х = К (х = —В) , то он равно­
мерно сходится на сегменте [0; -К] (соответственно на [—И, 0]).
ОО
► Пусть ряд
апЕп
^
сходится. Рассмотрим (4), члены кото-
п= 0
рого подвергнем очевидному преобразованию:
оо
ОО
/ г
\ ”
апхп = 53 апКп • ( д )
п=0
П =О
4
,
У
и применим признак равномерной сходимости Абеля (теорема 4 п.
3.3.3).
ОО
Условия признака выполнены, так как ряд
53 ап^-
схо-
п— 0
дится, а, значит,
сходится
при ж € [0; К ] ; последова­
‘ 7 хравномерно
------- а
' 1
|
тельность
Уп е N,
монотонна по п при любом ж € [0; Я] и
Уж € [0; Я] :
<1.
0<
Таким образом, получаем равномерную сходимость (4) на [0; Я ].
Если ряд (4) сходится в точке ж = —Я, то аналогичные рассу­
ждения проводятся для
оо
5 3
п=О
оо
а п жп
=
5 3
/
а п {— Я ) п • (
г \ п
-
-
)
,
Ж €
[ - Д ;
0]
◄
п=0
Следствие. Степенной ряд (4) равномерно сходится на любом сег­
менте, целиком принадлежащем множ.еству сходимости.
Функциональные ряды
Примеры
Найти множество равномерной сходимости степенного ряда.
а)
00 X11
Е V
^
п\
п —О
► В примере а) п. 3.5.2 показано, что данный ряд сходится всюду на
К. В соответствии с теоремой 2 он равномерно сходится на любом
сегменте [а; Ь].
В то же время на всей прямой М сходимость ряда неравномер­
ная, так как не выполнено ее необходимое условие (см. равенство
(8) п. 3.2.6), поскольку
х™
п
зир \ип(х)\ = 8ир
> ип{п) = — > 1
п\
жем
жем п !
Ь)
± ^ ± Ш
П
П—1
◄
. . (Х + 2 Г .
► Множество сходимости ряда - полусегмент
7 _5
(см. при­
3
мер с?) п. 3.5.2). Согласно следствию из теорем 2, 3 ряд сходится
г
5 н
'
7
равномерно на любом отрезке вида а ; — , где а е
’ 3
з:
оо
1пгг
(х — 1)п .
<=)
Е
■п*
п= 2
з;
Вычислим
В -1= П т \
П—>00 V
1пп
— Пт
•П*
1пп
1
= Пт п—>оо 2
■пг
(/Ьп
1
следовательно, К = 2.
Тогда интервал сходимости: ( - 1 ; 3) . В точках х = 3 и х = -1
°°
1п 77-
00
1
получаем абсолютно сходящиеся ряды
и
(—1)п 11п
^
я=2
П=2
П
соответственно. Поэтому теорема 3 гарантирует равномерную схо­
димость данного степенного ряда на сегменте [ - 1 ; 3]
<
3.5.3. Свойства суммы степенного ряда
Поскольку степенной ряд представляет собой частный случай
функционального, принимая во внимание теоремы 2, 3 о равно­
мерной сходимости степенного ряда и результаты предыдущего па­
раграфа (теоремы 2-7), нетрудно сформулировать утверждения о
свойствах суммы степенного ряда.
Теорема 4.
Сумма степенного
(-Д ;
ряда
(4)
непрерывна
в
интервале
В) .
Если ряд сходится в точке х = К , то сумма ряда непрерывна
в х = Я слева; если ряд сходится в точке х — —Я, то его сумма
непрерывна в этой точке справа.
Иначе говоря, сумма степенного ряда непрерывна на его мно­
жестве сходимости.
Теорема 5.
Степенной ряд (4) можно почленно интегрировать на любом
сегменте [а; Ъ], целиком принадлежащем множеству сходимости.
Доказательство этих двух теорем оставляем в качестве упраж­
нения.
Теорема 6.
Пусть степенной ряд (4) имеет радиус сходимости Я ф 0.
Тогда в интервале сходимости его можно почленно дифферен­
цировать, причем ряд из производных
СЮ
X ! п а п хП~ 1 =
п= 1
ОО
X ! ( п + ! ) а п+ 1 х п
п =О
тоже степенной ряд с радиусом сходимости Я' = Я .
(5 )
► Найдем радиус сходимости ряда (5):
п-у/п-\ап|
п
п —1
1
= К ’
откуда К' = Я.
Зафиксируем произвольную точку х е ( —Я; Я ) . Существует
такое число г , что |ж| < г < Я. По теореме 3 ряд (5) равномер­
но сходится на [—г; г ]. Остается применить теорему о почленном
дифференцировании ф.р. (теорема 7 п. 3.4.3). Итак, ряд (4) можно
почленно дифференцировать в интервале (—г; г) и, в частности, в
точке х имеем
Поскольку х - произвольная точка { - Я; Я ) , теорема доказана
◄
Внутри интервала сходимости степенной ряд мож­
но почленно дифференцировать любое число раз. Получающиеся
при этом ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исход­
ный ряд.
Следствие.
Замечание. Утверждение теоремы 6 не распространяется на мно­
жество сходимости степенного ряда (см. ниже пример 2).
Примеры
1.
Исследовать непрерывность и дифференцируемость суммы /
для степенных рядов, рассмотренных в примерах а), Ь), с) п.
3.5.4. Найти /'.
а)
► В примере о) п. 3.5.2 показано, что множество сходимости ря­
да
вся действительная прямая К. Это значит, что его сумма /
определена всюду.
В соответствии с теоремой 4 функция / непрерывна во всех
точках К.
Согласно теореме 6 ряд допускает почленное дифференцирова­
ние
(
Ух € К :
оо
оо
Е
„п - 1
(^ Л )!= № )п= 1 '
'
л
п =о
Точно так же можно убедиться, что в каждой точке х € К суще­
ствует производная любого порядка к, причем /^к\х) = /(ж)
◄
0°
Ь)
суп
Нх) = Л
I
( __ О \ П
+ (
П
п= 1
• {х + 2)п .
► Рассуждая так же, как в предыдущем примере, заключаем, что
( 7
51
сумма ряда / определена и непрерывна на полусегменте I - -; - В каждой точке интервала ( —
—-
у суммы ряда существует
производная, которую можно найти почленным дифференцирова­
нием:
ОО
П х) = Л
(2п + ( - 3 ) п) -( ® + 2)п- 1.
п= 1
Отметим, что ряд можно почленно дифференцировать любое чи­
сло раз в указанном интервале
◄
ОО 1
с)
/М = Е
п= 2
1 ^ 5 ' < * - И” •
► Сумма ряда / определена при х € [ - 1 ; 3] . Из теоремы 4 следует
непрерывность / на отрезке [ - 1 ; 3] . Из теоремы 6, в свою очередь,
вытекает существование производной любого порядка функции /
и возможность почленного дифференцирования ряда в интервале
сходимости ( —1; 3) .
ОО 1
При этом
/'(ж) =
п= 2
2^7^ ' (х ~ 1)П_1
^
2.
Пример степенного ряда, равномерно сходящегося на сегмен­
те [—К', К] , но допускающего почленное дифференцирование
лишь в интервале ( —Я', К) .
► Рассмотрим степенной ряд
ОО
Е
/(ж)
Его коэффициенты
<д. =
( - 1)"
• х2п+1
277- + 1
(-1 Г
/с =
2п + 1 ’
О, к = 2гг,
( 6)
2п + 1;
поэтому
Я~1 = Нт у/|с^| = Нт
п —>оо
п —>оо
V
2п+1
1
= 1,
2п -|- 1
так что радиус сходимости Я = 1 . Очевидно, что ряд (6) сходится
по признаку Лейбница при х = ± 1 . Итак, множество сходимости отрезок [—1; 1].
В силу теоремы 6 для х € ( —1; 1) существует производная
функции /, которую можно найти почленным дифференцирова­
нием ряда (6):
ОО
=
м<1.
гс=0
Последний ряд расходится при х = ± 1 , т.е. утверждение теоре­
мы 6 не может быть распространено на все множество сходимости
исходного степенного ряда
◄
3.
Пример почленного интегрирования степенного ряда.
ОО
► Степенной ряд
^
п =О
х2п
сходится при х 6 ( —1; 1).
По теореме 5 для любого значения х € (—1; 1), х ф 0. ряд
допускает почленное интегрирование на [0; х] (здесь для опреде­
ленности х > 0):
I. с?.' ) * -
г2п<и
и
1п=0
^2 п + 1
ОО
оо
= пЕ= 0
2п + 1
х
о
оо
=Е
71=0
ж2 п + 1
2п + 1
Поскольку при |ж| < 1 сумма исходного ряда /(ж) вычисля­
ется как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
№) = г Ь ’ то
гх
Сх
1
I
т л = 1
ОО
ж2п+1
<1И
1
г=
1 , 1+ х
(2 = 2 П ТТд: ’
так что
Е
п= 0
1
1 4- X
= - 1п
, |ж| < 1
2п + 1
2
1 -х
3.5.4. Вопросы и задачи
1.
Докажите теоремы 4 и 5.
2.
Найдите радиус сходимости и интервал сходимости степенного
ряда:
”
•) Е
^
71=1
<П!)31 ".
(Зп)!
4
’
71=0
«
п= 0
о Е
71=1
3.
зп
ОО
ОО
с)
“
1п(п + 2) ( х + 1'
ч Е
V -
С 0 8 (п !)
,
71=1
п”
П!
ОО
/ )
^
2 - п <3 + ( - 1 ) п ) ( х
+
1)п .
п =0
Найдите множество сходимости и множество равномерной схо­
димости степенного ряда:
а)
Ё ^ (х -1
ОО
) " ;
Ь)
П
п =1
п2
Е—
п=
(2ж)”
1
ОО
с)
Е ( - 1 ) П24
п (х
- 2 Г 2;
«0
п=0
4.
Ё
п=2
3"
1
„
2
П 1П п
Множеством сходимости степенного ряда
^
чпхп
явля-
ется врезок [-Д ; В] . Сходится ли этот ря^д равномерно на
[ К, К\ ! Непрерывна ли сумма ряда на [— В] ?
5.
Множеством сходимости степенного ряда
явля-
Я>• Сходная ЛИ этот рад равномерно в
Непрерывна ли сумма ряда в ( —В; В) ?
(, Н, К) '
6.
^3 апхп
Найдите множество непрерывности суммы степенного рядавыясните, где ряд допускает почленное дифференцирование,’
и найдите /' :
’
ОО
а) / (*) = Е
п=0
ъ) /(ж) = Е
п= 1
с) Д Д = Е
п= 1
Д / (*) = 2
2п
\/п2 + 1
81ПП
п
■X
(п!)2 /ж — 1 \ п
(2п)!
)
;
2 " Р + (- 1)п) ( ж_ 2) " .
п=0
7.
Найдите множество сходимости и сумму функционального ря­
да
Е п х 2п~1.
тг=1
ОО
Указание. Рассмотрите ряд
53 х2п.
3.6. Р А З Л О Ж Е Н И Е Ф У Н К Ц И Й В С Т Е П Е Н Н Ы Е
РЯДЫ
3.6.1.
Определения и предварительные замечания
Определение 1. Если на некотором непустом множестве X для
данной функции / существует степенной ряд, который сходится к
/(ж) при всех ж € X , то говорят, что на этом множестве / может
быть разложена в степенной ряд (или: представима степенным
рядом):
ОО
( 1)
Утверждение (необходимое условие разложимости в ряд).
Пусть функция / разложима в степенной ряд в некотором ин­
тервале (то — Д; ж0 + Д ) , где Я ф 0.
Тогда / имеет производные любого порядка при \х —жо| < Я .
► Справедливость утверждения вытекает из следствия теоремы б
(п. 3.5.5).
◄
Замечание. Условие бесконечной дифференцируемости функции
не является достаточным для разложимости ее в степенной ряд (см.
ниже пример функции (4)).
Далее мы будем предполагать у рассматриваемых функций на­
личие производных любого порядка.
Определение 2. Степенной ряд вида
( 2)
называется рядом Тейлора функции / .
При жо = 0 как частный случай (2) получается ряд Маклорена
(/(0)(ж) = /(ж); 0! = 1).
Определение 3. Формулой Тейлора для функции / называется
представление вида
/(ж )
=
/(ж 0)
+ 1'(х0)(х -
Лп)(Хп)
Жо)
Н------ 1
----- ------ ■(X -
ж о Г
+ Гп( ж ) , (3)
где гп( ж) - остаточный член.
3.6.2.
Разложимость функции в степенной ряд
Теорема 1.
Пусть функция / допускает разложение в степенной ряд в ин­
тервале \х —хо| < Я, К Ф 0.
Тогда это разложение единственное - ряд Тейлора.
► По условию при |ж— жо| < Я для / имеется представление
ОО
/(ж) = ] Г а п( ж - ж 0)п .
п=0
Заметим, что /(жо) = ао .
Дифференцируя наш ряд (1) почленно к раз, получаем
ОО
/^ (ж ) = ^2 п(п — 1) ••• (п - к + 1) •ап(х - х0)п~к .
п —к
Положив ж = жо , приходим к равенству
/(^(ж0) = к\ ■ак .
Итак, исходный степенной ряд имеет коэффициенты
«0 — I{хо) >
С1к
к\
к — 1,2,... ,
1.
Примеры
Найти разложение по степеням х функции
Д х ) = (1 + х2)" .
► По формуле бинома Ньютона имеем
П
(1 + х2)п = '^2 С * х 2к ,
хек.
А:= 0
В силу единственности разложения (теорема 1) эта сумма и есть
искомое представление /
◄
2.
Функция
х / 0
(4)
х = 0
всюду на вещественной прямой имеет производную любого по­
рядка, однако не может быть представлена степенным рядом
в окрестности хо = 0.
► Очевидно, в любой точке I / 0 функция / бесконечно диф­
ференцируема. Пусть хо = 0. Из определения имеем /(0) = 0.
Вычислим
Нт —— • е (Л*>2
Ах—>0 Дх
Поскольку
найдем
(Л*)2 - о .
Последнее равенство следует из того, что
Ук е N :
Пш 1к •е^2 = 0.
1—*оо
Нетрудно с помощью индукции показать, что для
^ п\ х ) = Р3п( ± у е- 5 ,
ж
п = 1,2,...,
фО
(5)
где Рзп(1) - многочлен степени 3п.
Также по индукции доказывается, что Уп € N : /(п)(0) = 0.
В самом деле, уже было показано, что /'(0) = /"(0) = 0. Пусть
/ («-В (0) = 0. Тогда, используя (5), получаем
/<«>(„) =
Шп /1- 1,( ^ > - / (" - 1,(0)
Ах—>0
Ах
= Нт
• Р3(п_ 1) ( —
•е (Л*)2
Дх—>о Аж
^ ' \ А х)
= IН
т Р3п-2 ^ ) ■е~*2 = 0 ,
—>00
что и требовалось.
Предположим теперь, что функция / может быть разложена в
степенной ряд в некоторой окрестности жо = 0. Тогда в соответ­
ствии с теоремой 1 коэффициенты этого ряда
ао = /(0) = 0 , а п = ^ ^ = 0 ,
п!
п = 1,2,...,
следовательно, /(ж) = 0 в некоторой окрестности жо = 0 . Но из (4)
следует /(ж) > Опри любом ж ф 0.
Полученное противоречие показывает, что предположение о раз­
ложимости данной функции в степенной ряд в окрестности жо = 0
неверно
◄
Теорема 2.
Функция /, бесконечно дифференцируемая в интервале (жо —
К] жо + В) , разложима в степенной ряд в эт,ом интервале то­
гда и только тогда, когда ее остаточный член в формуле Тейлора
стремится к нулю:
Пт гп(ж) = 0 , ж € (жо — В; хо + В ) .
ГС— >ОО
► В самом деле, для такой функции / при любом натуральном п
справедливо разложение по формуле Тейлора (3). При этом сумма
1п{х) = /(®о) + 1'(х0)(х - ж0) + • • • +
/Н Ы
• (ж - жо)”
является частичной суммой ряда (2), так что утверждение следует
из определения сходимости ряда
◄
Теорема 3 (достаточное условие разложимости).
Пусть функция / имеет в интервале \х —жо| < К производные
любого порядка и Уп , Уж € (жо — К ; жо + К) : |/^(ж)| < М .
Тогда / разложима в степенной ряд (ряд Тейлора) в этом ин­
тервале.
► Рассмотрим разложение (3) функции / по формуле Тейлора в
окрестности точки жо : |ж— жо| < В. Из предшествующего кур­
са математического анализа [1] известно, что остаточный член гп
имеет представление (форма Лагранжа)
х(п+1) ( С\
гп(х) = , , Л, • (х ~ а’о)” +1 > ^ е (жо - Л; жо + Л ) .
(п + 1)!
Поэтому, используя условие теоремы, при К ф +оо получаем:
л/
,(*)! <
13 Ряды
• Вп+1 = <л + 1
( 6)
оо
Рассмотрим ряд с положительными членами
^
с„ .
Он схо-
п= 1
дится по признаку Даламбера, так как
В силу необходимого условия сходимости получаем 1пп сп = О.
п —>оо
поэтому из (6) следует, что
Ух € (то — Я- хо + Я) :
И т гп(х ) = 0,
П —> 0 0
откуда в соответствии с теоремой 2 вытекает разложимость / в
степенной ряд при \х —хц\ < Я.
Если Я = + о о , то, взяв число А > 0, можно провести те же
рассмотрения при х €
— х ц + А ). Тогда в силу произвольности
выбора А результат получается для х € К
◄
3.6.3. Разложения основных элементарных функций
в ряд Маклорена
Теорема 4.
Справедливы следующие разложения:
ОО
,п
,п
.2
а) ех — 1 + х Н—-—}- ••• Ч----- + • ■• — ^ —- ,
2
п!
п\
х € ( —оо; + о о ).
х 6 ( —оо; + о о ).
с)
со8 х
= 1
- ~
+ ... +
^
г
- х 2" + ..
ОО /_1\П
( ~ )?
Е
Го (2»)!
1
„2 п
х 6 (—сю; + о о ).
б?) 1п( 1 + ж) = х — — + •■• +
2
00 ! 1\га—1
=га=1
Е ( - 1П)’
( - 1)
п —1
п
■х'1+
X е (-1 ; 1].
■х ,
е) (1 + х )а = 1 + аж + ° (° 2 Х) - х2 + --, «(а - 1) ••• (а - п + 1)
,
I
,
• х гп!
^ а(о — 1) •• • (а — п + 1)
„
— 2^>
~
х >
П!
п =О
х 6 (-1 ; 1] •
► а) Функция /(х) = ех имеет производную произвольного поряд­
ка для х € К , причем /60 (х) = ех при любом п. Возьмем Хо = 0,
выберем произвольное число А > 0. Так как
У х е ( - А - А) :
|/(")(х)| < еА ,
то по теореме 3 функция / ( х ) = ех разложима в степенной ряд
при |х| < А (это ряд Маклорена). Вследствие произвола выбора А
полученное разложение справедливо для любого х € К .
Найдем теперь конкретный вид ряда. В силу теоремы 1
«о = /(0) = 1 ■ а„ =
Е
п!
= -г
п\
(п > 1).
поэтому окончательно имеем формулу а).
Ъ) Рассмотрим /(ж) = зтж. При любом натуральном п суще­
ствует производная
Очевидно, Уж 6 К : |/^(ж)| < 1, что является достаточным
условием разложимости / в ряд Маклорена на всей прямой. Вычи­
слим коэффициенты этого ряда. Так как
/(2* ° (0 )= 0 ,
(к = 0,1,.. . ),
/(2*+1)(0) = ( —1)*+!,
то получаем разложение Ь).
Представление с) доказывается аналогично.
Формула в) получена ниже (см. пример с) п. 3.6.5).
Обоснование разложения е) является достаточно сложным, его
можно найти, например, в книге [6]
◄
3.6.4. Некоторые приемы разложения функций
в степенные ряды
Далее мы будем рассматривать функции, для которых суще­
ствуют степенные разложения. Сосредоточим внимание на основ­
ных методах получения этих разложений.
Можно указать следующие приемы.
1) Непосредственное вычисление производных и использование
формулы (2). Примеры применения этого способа разложения в
степенной ряд - получение разложений а) — с) теоремы 4.
2) Использование разложений основных элементарных функ­
ций а) — е) из теоремы 4.
3) Применение формулы суммы бесконечно убывающей геоме­
трической прогрессии:
^
I
ОО
(
’
=
1 +
<7 +
<72 +
••• +
<?" +
••• =
^ 2 ЧП’
п=0
Ы
<
1
•
(7 )
(Заметим, что это частный случай разложения е) теоремы 4 при
х = —д , а = —1).
4) Использование почленного дифференцирования и интегри­
рования рядов.
5) Различные комбинации указанных выше способов.
3.6.5. Примеры
Разложить функцию / в ряд но степеням (х —хо)
же: в степенной ряд в окрестности точки хц ) :
a)
Д ж) =
(или, что то
ж0 = 0 .
► Используя равенство (7), получаем
-
—
ОО
^
=
1 - х
+
х 2 - - - -
= ' Г ( - 1 ) п - х гг,
т.е. радиус сходимости Я = 1
b)
| х| <
1,
( 8)
п=0
1+ ж
◄
/ (ж) = ф ~ ’ ж0 = - 1 .
► Действуя аналогично п. а), приходим к разложению
1
1
1
1
1 - х ~ 2 - (х + 1) ~ 2 ' 1 - зШ.
х “Ь 1
—-— < 1
где
О
степенного ряда Я = 2
c)
/ ( х )
=
1п(1 +
х ) ,
_
^
^
(
х
2"+!
+ 1)"
’
|х + 1| < 2 , т.е. радиус сходимости этого
◄
хо
=
0 .
► Пусть |х| < 1. Интегрируя равенство (8), имеем
С другой стороны,
Г г Ь л=1п(1+х)'
Итак,
1п(1 + ж)
( - 1)
=У
71— 1
п —1
|ж| < 1.
П
(9)
Заметим, что при ж = 1 имеем сходящийся (по признаку Лейб~ (- 1 )"- 1
1
„
^ 1
ница) ряд У
а при х = —1 - расходящийся ряд — > — .
п
п
п- 1
"
п =1
Таким образом, у ряда (9) множество сходимости: ( —1; 1]. В силу
теоремы 4 п. 3.5.5 сумма этого ряда непрерывна при х € ( —1; 1],
следовательно, равенство (9) верно и для х = 1.
Итак, разложение в) теоремы 4 обосновано полностью
◄
6)
/ ( х ) = агс!§ х , жо = 0 .
► Переходя к рассмотрению производной и применяя формулу (7),
имеем
^
ОО
1 + ] Г ( - 1 Г . ж 2" ,
п= 1
№ ) = 1 + х2
|*| < 1 ,
( 10)
где \х\ < 1. Проинтегрируем (10):
[■ х
1
сх
/
00
\
(II
оо
«х
Л
„=1
(
1
ь2п(И = у
•Ж2 п + 1
У
,
2п
+
1
п=0
Итак,
/ (ж ) =
агс!§ж
=
ос Щ рп
У -— —г
2/1 -}-1
71=0
■ж2п+1
Заметим, что ряд этот сходится в точках
венство (11) верно для ж € [—1; 1].
|ж| < 1.
ж
(П )
= ± 1 , так что ра­
В частности, для х = 1 вычисляем
~
( — 1 )П
77=0
7Г
7ПГТ = агс1:ё 1 = 7
2,71 + 1
/(ж) = агент ж, хо = 0.
е)
1
г ----- 7 ,
V I —ж
формулы е) и. 3.6.3 найдем
► Поскольку
\Я
м
=
5
=
/'(ж) =
(1
-
* 2Г
^
сначала с помощью
‘ /2
Н )
Е
|,т| < 1,
Н - д ) - Н - " + 1)
+ 'Ч
п!
= ! + ^ 1 3 _ (2п - Ч
2" п!
71=1
2\п
(- * ■ )
. х2п = ! + ^ (2П~ >?■--- •х2п
“ ' 4=5 (2п)!!
где |ж| < 1. Применяя почленное интегрирование, имеем
агент ж =
-
(2п — 1)!! +2п
•Р п
Г л Ь - Г ( 1+? , ^
+
N<1-
4 2
п=1
сИ
<‘ 2>
Выше, в примере 1 п. 2.3.2, было показано, что ряд
“
Е
п=1
( 2 п - 1)!!
1
(2п)Н " 2п + 1
4
2
сходится. Следовательно, ряд (12) сходится в точках ж = ± 1 , так
что полученное степенное разложение функции /(ж) = агент х вер­
но для х € [—1; 1] -
В частности, для х = 1 получаем
( 2 п - 1)!!
1+ Е
/)
(2 гг)!!
/(х) = соз (2х + 1),
1
7Г
2п + 1
2
------ г = аГС8111 1
◄
х0 = 1 •
► После тригонометрических преобразований воспользуемся основ­
ными разложениями Ь). с) теоремы 4. Получаем
/(х) = соз (2х + 1) = соз (2(х — 1) + 3)
=
С 08
3
2 (х
С 08
—
1)
— 8111
3 81п2(х — 1)
°° ( _1\т?о2п
=
008 3
• '^ 2
------ ------------------ ' ( Ж —
1 ) 2п
(2 П)!
°° ( _1\п—1о2п—1
мпЗ •
----Тм— • (х - 1? п~1
п=1 (2п —1)!
11=0
Е
=пЕ=0 а„ х
х€
Здесь
" ( —I ) ” /2 2"
С 08
77,1
(_ 1 )( и+1)/2 2
п!
3 ,
8111 3 ,
тг = 2 к
п = 2к + 1
1 — 2т
9)
№
= ~г
7 ’ *о = 1X- -------—х — о
► Представим / в виде суммы простейших дробей и воспользуемся
формулой (7):
1 -2 х
1 — 2ж
ж2 - - ж — 6
(ж — 3)(ж
1
ОО
Е
(ж -
1 )
(ж
1 ) ”
—
У
3
—
1
-
:
1
2
( - 1 ) п
•
971+1
Е -/
71=0
2 П +1
71=0
2 )
1
со
-
+
2
+
1
'н '
/ (*) =
(ж
X—1
—
о
^
1
, X- 1
1+ ~
1)п
—
6
ОО
Е (
п=
0
1
-
ЫЗ п - Ги
\ 2 П +1
) Ух
) - Ц
-
1 )п
.
При этом \х — 1| < 2 и |ж — 1| < 3 , откуда получаем Я = 2 и
интервал сходимости ( —1; 3)
◄
/г)
/(ж) = 1п(6 — х — ж2) , жо = 0.
► 1-й способ. Проводя элементарные преобразования и используя
разложение (9), получаем:
/(ж) = 1п(6 - ж - ж2) = 1п(2 —ж)(3 + ж)
= 1п(2 - ж) + 1п(3 + ж) = 1п2 ^1 - ^
+ 1пЗ + 1п (\ + |
= 1п2 + 1п [ 1 71 —
= 1п 6 + 5 : ( - 1)
П
71— 1
оо
1п6 + V го=1 П
Итак, здесь
#-й
|ж|
+ 1пЗ ^1 + ^
1
жV"
“
+
А - !)""1 - Е )
1 зп
2" у
( - 1)^-1
1
71= 1
жп ,
< 2 , т.е. Я = 2
способ. Найдем
1 +2ж
/ '(ж ) = —
ж2 + ж — 6
П
ж
2
ж
< 1,
3
202
Ф ункциональны е р я д ы
Действуя далее так же, как в примере д), имеем
1 + 2х
(х —2)(ж + 3)
1
1
х —2
х+ 3
2 1—|
где |®| < 2. Интегрируя почленно равенство
?1=0
на отрезке [0; ж], |ж| < 2 , получаем
( - 1) ”
3 ?г+ 1
1
2”+1
хп+1
п+ 1
Здесь |®| < 2, т.е. радиус сходимости Е — 2. В
ответе остается учесть слагаемое /(0) = 1пб .
Замечание. Обратите внимание на наличие члена
рах (1), е) было /(0) = 0 ◄
Г% 8111^
—— <и. Хо — о
^о
г
гралъпым синусом).
г)
/(ж) = /
(функция / на
► Разложение Ь) теоремы 4 для функции 8т I сходится при любом
значении I, поэтому, используя возможность почленного интегри­
рования степенного ряда, получаем
/(я
( —1 Г " 1 I 2 п - 1
(2га- 1)!
’- П Ш
( - 1)
=п=1
Е^
п —1
- !)'
гх
Л
00
(2" ~ 2 Л =
)п" 1
=^Е (2га-(-1
1 ) (2га- 1 ) !
3 .6 .6 .
сИ
5
^
х2п-1,
71— 1
( - 1)
(2п - 1) (2га - 1)!
,2п-1
<4
хе
В о п р о с ы и за д а ч и
1.
Докажите, используя метод математической индукции, что
функция (4) для любого га е N имеет в точке х ф 0 про­
изводную, которая выражается формулой (5).
2.
Найдите /(2002)(0) для
3.
Разложите функцию / в ряд по степеням (х — х о ) , если это
возможно; найдите радиус сходимости полученного ряда:
/(х)
a)
/(х) = сйх = \{ех + е~х) ,
b)
/(х) = 1п |
c)
Н х ) —
(Г)
,
=
1_ х +
х0 = 0;
х0 = 0;
1п (2х
+ 3),
хо = 0;
/(х) = 1п (2х
+ 3),
хо =
/ (*)
~2 ■
1+ х
т2
2 -)- 2х -|- х
—1;
х0 = -1
Я
/(ж ) = 1п
1+ ж
2 + 2ж + ж2
хо = 0;
9)
/(ж ) = 1п
1+ ж
2 + 2ж + ж2
хо = - 1 ;
1г)
/(Я
1
\/1 + х 2 ’
ж0 = 0;
0
/ ( ж ) := агсзт (ж2) ,
хо = 0;
7')
/ ( Я = 8111 (ж + 1),
хо = 1;
Л)
/(Я
= ^Г0
е-<2 сИ,
х 0 = 0.
ДОБАВЛЕНИЕ
Формула Валлиса и определение константы в формуле
Стирлинга
1. Формула Валлиса
Формула Валлиса - это равенство
((2п)!!)2
7Г
Н т ---------------о '
п^оо ((2п — I)!!)2
,
( 1)
2'
2п + 1
► Рассмотрим для натурального п > 1 преобразование интеграла
/•тг/2
гтх/2
К
—
8111™ х А х
/
=
-
/о
/
70
8Н 1П
+
(тг — 1 )
тг/ 2
=
— 8 Ш П _ 1 Ж СОВ Ж
/*ЭГ/ 2
1 ) 1 п —2
(т ъ
/
8Ш П"
70
0
—
1 Ж А С 08 Ж
1 ) /п
т
п ~ 11
т
откуда 1
п = —-—
п- 2 •
п
Используя полученную формулу, имеем:
2п
Нп —
^2п—1 —
Поскольку
- 1
2п
2п - 3
2п - 2
2п —2 2п —4
2п - 1 2п - 3
Г '2 Ах
, =
1
2 ./о
1
1
2 Г /2 81П
/
8
3 70
(2 п - 1)!!
X А х
=
7Г
0 < 81п ж < 1 при 0 < х < —, то
8111'2 ,1 + 1 Ж <
„2)1
81112 ” Ж <
8П 12П
тг
--------- • —’
(2п)!!
2’
1 Ж ,
(2п - 2)!!
(2п — 1)!!
Добавление
206
следовательно, Ьп+г < Ьп < Ьп - ! , т.е.
(2п)Н
(2п — 1)!! тг
(2п - 2)!!
гг—гг:— • — < —-------гтг
(2гг)!!
2~(2п -1)!!
<
(2п+ ! ) ! ! “
1
7Г
( ( 2п)\\у
((2 п )»Г
<
<
( ( 2п - I )!!)2 2п + 1 ~ 2 “ ( ( 2п - I )!!)2 2п
-
Приняв для краткости обозначение
((2п)!!)2
^
((2п - 1)!!)
шем полученное неравенство в виде
, нерепи-
У»
< тг < Уп
2п + 1 — 2 — 2тг
Тогда
Л 7Г
О < - - Т---— <
2
2п + 1 2п
1
- »'П.
2п + 1
2п 2п + 1
1
Уп
( 2п + 1
К*
-1 =
2п + 1
2п
2п + 1 2п
7Г
1
7Г
1
2 2п
Так как
Н т — • — = 0, то переходя к пределу в последнем
Т1 юо 2 277неравенстве, получаем
Нт
71
-О О
7Г
Уп
- \2
2п + 1
= 0,
т.е.
К,
7Г
Пт „
„ —•
,
п->оо 2п + 1
2
что й требовалось ◄
207
Добавление
2. Вычисление константы в формуле Стирлинга
Докажем, что в формуле Стирлинга (см. п. 2.3.3)
п! ~ Ал/п-п11■е~п ,
п -> оо
(2)
постоянная А = у/2тг.
► Заметив, что
(2п)Н = 2 •4 ••• (2п - 2) • 2п = 2п ■п\,
(2п — 1)!! =
(2п)!
(2п)!! ’
преобразуем выражение из левой части (1), используя формулу (2):
/ (2п)!! \2 1
\(2п —1)!!) 2п + 1
/((2п)!!)2У
1
\ (2п)! ) 2п + 1
/ (2Пп!)2\ 2
1
~ \ (2гг)! ) 2п + 1
/ 22п А2п ■п2п е2п
^е2" А у/2п (2п)2п
А2п
А2
2(2п + 1) ^ Т ’
п —>оо .
7Г
Сравнивая с правой частью (1), находим
А = у/2тт ◄
2п + 1
Л 2
2 = Т
’
откуда
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. X. Сендов. Мате­
матический анализ. Начальный курс. 2-е изд. М.: изд. МГУ,
1985.
2.
В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. X. Сендов. Ма­
тематический анализ. Продолжение курса. М.: изд. МГУ,
1987.
3.
В. Ф. Бутузов, Н. Ч. Крутицкая, Г. Н. Медведев,
А. А. Шишкин. Математический анализ в вопросах и зада­
чах. 3-е изд. М.: Физматлит, 2000.
4.
В. Г. Сушко. Расходящиеся ряды как инструмент точной
науки. Соросовский образовательный журнал, т. 5, 12, 1999.
5.
В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Основы математического ана­
лиза (т. 1). 6-е изд. М.: Физматлит, 2001.
6.
В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Основы математического ана­
лиза (т. 2). 4-е изд. М.: Физматлит, 2001.
7.
В. А. Ильин. Сравнение бесконечно малых последователь­
ностей и скоростей возрастания функций. Соросовский обра­
зовательный журнал, т. 6, 1, 2000.
Б И О Г Р А Ф И Ч Е С К И Е С П РА В К И
Абель Нильс Хенрик (АЬе1 Мге1з Непггс),
5.8.1802 - 6.4.1829, - норвежский математик.
Исследования в области алгебры, математического анализа, теории
функций комплексной переменной. Его работы оказали огромное
влияние на развитие современной математики.
Адамар Жак Саломон (Нас1атагс1 .}о,сдие8 8а1отоп),
8.12.1865 - 17.10.1963, - французский математик.
Исследования в области теории чисел, теории аналитических функ­
ций, дифференциальных уравнений, устойчивости механических си­
стем.
Валлис (Уоллис) Джон (ШаШз ^оI^п),
23.11.1616 - 28.10.1703, - английский математик.
Один из создателей Лондонского королевского общества. Получил
выражение для числа тт в виде бесконечного произведения, ввел
общепринятый ныне знак оо . '
Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм
(IУ елегз1га(3 Каг1 ТНеойог \УИНе1т),
31.10.1825 19.02.1897, - немецкий математик.
Исследования в области математического анализа, линейной алге­
бры, теории функций, вариационного исчисления, дифференциаль­
ной геометрии.
Гаусс Карл Фридрих ( Саизз Саг1 РггекггсН),
30.4.1777 - 23.2.1855, - немецкий математик.
Внес фундаментальный вклад не только в математику, но и в астро­
номию, геодезию. Его исследования оказали большое влияние на
развитие алгебры, теории чисел, дифференциальной геометрии, вы­
числительной математики, теоретической физики.
Даламбер (Д ’Аламбер) Жан Лерон (Р А1етЪег1 ^еап ЬеКопй),
16.11.1747 - 29.10.1783, - французский математик и философ.
Основные труды относятся к теории дифференциальных уравнений,
математическому анализу, гидродинамике.
Дирихле Петер Густав Ложен
14
Ряды
( Р 1 г н ' Ы < ’1
Ре1ег С и з 1 а г 1 , <
/<п т
).
210
Биографические справки
13.2.1805 - 5.5.1859, - немецкий математик.
Основные труды по теории чисел и математическому анализу, ме­
ханике и математической физике.
К о ш и Огюстен Луи (СаисНу АидизЫп Ьошз),
21.8.1789 - 23.5.1857, - французский математик и философ.
Основные работы в области математического анализа, математиче­
ской физики, теории функций комплексной переменной.
Л[агранж Жозеф Луи (Ьадгапде Фозерк Ьошз),
16.11.1747 - 29.10.1783, - французский математик и механик.
Основные исследования относятся к математическому анализу, ва­
риационному исчислению, теоретической механике.
(ЬегЪтг СоИ/ггеФ \УИсНе1т),
1.7.1646 - 14.11.1716, —немецкий философ, математик, физик,
изобретатель, юрист, историк.
В математике его важнейшей заслугой является разработка (наря­
ду с Ньютоном) дифференциального и интегрального исчисления.
Лейбниц впервые ввел многие основные термины анализа, а также
использующиеся поныне обозначения дифференциала и интеграла.
Изобрел счетную машину, предложил использовать двоичную си­
стему счисления для целей вычислительной математики.
Л е й б н и ц Готфрид Вильгельм
Л о п и т а л ь Гийом Франсуа Антуан
(Ь'НорИа1 ОиШаите Ггапсогз Ап1оте Фе),
*
1661 - 1704, - французский математик.
Автор первого печатного учебника по дифференциальному исчисле­
нию (1696).
М а к л о р е н Колин ( Мас1аиггп СоИп),
1698 - 14.6.1746, - шотландский математик.
Основные труды по теории рядов, теории плоских кривых высших
порядков.
М ер т ен с Ф р ан ц (М е Н е п з Г га п г)
30.3.1840 - 5.3.1927, - немецкий математик.
Исследования по алгебре, аналитической теории чисел.
Н ью тон Исаак (МепЛоп 1заас) ,
Биографические справки
211
1.7.1646 - 14.11.1716, - английский физик, математик и философ.
Создал теоретические основы механики, оптики, астрономии, от­
крывший закон всемирного тяготения, разработавший (наряду с
Лейбницем) дифференциальное и интегральное исчисление. Ав­
тор ряда известных результатов вычислительной математики (ме­
тод приближенного решения алгебраических уравнений, интерпо­
ляционная формула).
Раабе Йозеф Людвиг (ЯааЬе Фозерк Ьш1тгд) ,
15.5.1801 - 12.1.1859, - швейцарский математик.
Исследования по математическому анализу, теории функций.
Риман Георг Фридрих Бернхард
(Кгетапп Сеогд ГггеАггсН ВетНагФ),
7.9.1826 - 20.7.1866, - немецкий математик.
Его труды оказали большое влияние на развитие математики и фи­
зики. Основные труды в области теории аналитических функций,
аналитической теории чисел, дифференциальных уравнений, выс­
шей геометрии. Впервые дал общую идею математического про­
странства.
Стирлинг Джеймс (ЗЫгИпд Фатез),
1692 - 5.12.1770, - шотландский математик.
Получил асимптотическое разложение логарифма гамма-функции,
изучал бесконечные произведения.
Тейлор Брук ( Тау1ог Вгоок),
18.8.1685 - 29.12.1731, английский математик.
Нашел общую формулу разложения функции в степенной ряд, за­
нимался теорией конечных разностей.
Эйлер Леонард ( Еи1ег ЬеопкагФ),
4.4.1707 - 7.9.1783, - швейцарский математик, механик и физик.
Более 30 лет работал в России. Отличался чрезвычайной широ­
той творческих интересов. Внес глубокий вклад в математический
анализ, теорию функций комплексной переменной, теорию диффе­
ренциальных уравнений, теорию чисел, геометрию. Создал основы
вариационного исчисления и теории специальных функций.
ПРЕДМЕТНЫ Й
УКА ЗА ТЕ Л Ь
Абеля лемма, 89
Абеля преобразование, 89
Валлиса формула, 205
Дирихле ряд, 60
Коши теорема о перестановке членов, 102
Коши-Адамара теорема, 176
Лейбница ряд, 86
Лейбница ряда остаток, 87
Маклорена ряд, 194
Мертенса теорема, 122
Римана теорема о перестановке членов, 105
Стирлинга формула, 75
Тейлора ряд, 189
Тейлора формула, 190
абсолютная сходимость ряда, 84
арифметические операции с рядами, 113
асимптотическое представление (разложение) функции, 25
асимптотических разложений элементарных функций таблица, 29, 42
асимптотического представления функции главный член, 25
асимптотического представления функции остаточный член, 25
асимптотическое сравнение последовательностей, 29
асимптотическое сравнение функций, 24
О-большое, 11
достаточное условие. 13
о-малое, 11
достаточное условие, 13
эквивалентность функций, 12
достаточное условие, 13
гармонический ряд, 51
гармонический ряд обобщенный, 60, 71
гармонического ряда частичная сумма, 108
знакопостоянный ряд, 57
знакочередующийся ряд, 85
отношения порядка, 12
действия с отношениями порядка, 23
достаточные условия, 13
признаки сходимости знакопеременных рядов
Абеля признак, 91
Дирихле признак, 90
Лейбница признак сходимости знакочередующегося ряда, 85
признаки сходимости знакопостоянных рядов
Гаусса признак, 71
Даламбера признак, 62
Даламбера признак в предельной форме, 62
Даламбера признак усиленный, 67
Коши признак, 63
Коши признак в предельной форме, 64
Коши признак усиленный, 64
Коши-Маклорена интегральный признак, 69
признак сравнения в предельной форме, 59
сравнения второй признак, 58
сравнения первый признак, 58
сходимости критерий, 57
произведение рядов, 117
произведение рядов по Коши, 119
разложение основных элементарных функций в стеле!... . ряд., 194
разложение функции в степенной ряд, 189
достаточное условие, 193
необходимое и достаточное условие, 193
необходимое условие, 189
свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей
и рядов, 162
непрерывность предельной функции (суммы), 162, 163
почленное дифференцирование, 166
почленное интегрирование, 165
степенной ряд
определение, 176
свойства суммы, 183
сходимости интервал, 177
сходимости множество, 178
сходимости радиус, 177
сходимость равномерная, 180
условная сходимость ряда, 84
функции одного порядка, 14
функциональная последовательность
определение, 126
сходимости равномерной достаточное условие, 152
сходимости равномерной критерий, 137
сходимости равномерной критерий Коши, 142
сходимость поточечная, 126
сходимость равномерная, 134
функциональный ряд
определение, 129
сходимость поточечная, 129
сходимость равномерная, 143
Абеля признак равномерной сходимости, 157
Вейерштрасса признак равномерной сходимости,
Дирихле признак равномерной сходимости, 156
сходимости равномерной критерий Коши, 143
частичная сумма, 129
числовой ряд, 43
п-й остаток, 44
свойства, 54
сумма, 44
сходимости числового ряда критерий Коши, 50
сходимости числового ряда необходимое условие. -1<ч
сходимость, 44
>4
частичная сумма, 43
шкала роста (убывания) последовательностей, 35
шкала роста (убывания) элементарных функций, 34
эквивалентности бесконечно малых таблица, 17
А в т о р
ГРИГОРЬЕВ Евгений Александрович
ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫ Е РЯДЫ
” Научный мир”
Тел./факс (007)(095)291-28-47. Е-таН: пашшг@Ъеплгех.ги
Л Р N 03221 от 10.11.2000
Подписано к печати 27.04.2003. Формат 60x90/16. Гарнитура Таймс.
Печать офсетная. Уел. печ. л. 13. Тираж 600 экз. Заказ 44.
Издание отпечатано в типографии ООО ’Таллея-Принт” .
Москва, 5-я Кабельная, 26
