11. Ряды

§11. Ряды.
п.1. Числовые ряды.
Пусть
{wn  un  iv n }
— последовательность комплексных чисел.
Выражение

 wn  w1  w2  ...  wn  ...
n 1
назовем числовым рядом.
(1)
Числа
w1, w2 ,..., wn ,...
называются членами ряда (1).
Суммы
S n  w1  w2  ...  wn , n  N,
называются частичными суммами ряда (1).
Если последовательность {S n } сходится, то
ряд называется сходящимся, а число
lim S n  S
n
называется суммой ряда (1).
Если последовательность {S n } расходится, то
ряд называется расходящимся.
Лемма 1 (Необходимое условие сходимости).
Если ряд (1) сходится, то
lim wn  0.
Так как
Sn 
то соотношение
n 
n
n
k 1
k 1
 u k  i  vk ,
lim S n  S    i ,
n 
эквивалентно двум соотношениям
n
uk  Re S   ,

n 
lim
k 1
n
vk  Im S   .

n 
lim
k 1
Следовательно, сходимость ряда с
комплексными членами wn  u n  iv n
эквивалентна одновременной сходимости
рядов


 un ,
n 1
 vn .
n 1
Ряд (1) называется абсолютно сходящимся,
если сходится ряд

 | wn |.
n 1
Лемма 2.
Абсолютно сходящийся ряд сходится.
Доказательство.
Пусть сходится ряд

 | wn |,
n 1
где
wn  un  iv n .
Так как
то ряды
| un || wn |, | vn || wn |,


 | un |,
 | vn |
n 1
n 1
сходятся по признаку сравнения.
Значит, ряды 

 un ,
n 1
сходятся.
Поэтому сходятся и ряд

 wn .
n 1
 vn
n 1
Из двойных неравенств
| un || wn || un |  | vn |, | vn || wn || un |  | vn |
вытекает, что абсолютная сходимость ряда

 wn
n 1
эквивалентна абсолютной сходимости рядов

 un ,
n 1

 vn .
n 1
Значит, справедлива следующая
Теорема 1.
Произвольное изменение порядка членов
абсолютно сходящегося ряда не влияет на
сумму ряда.
Замечание 1.
Судить об абсолютной сходимости ряда (1)
можно на основании любого признака
сходимости рядов с неотрицательными
членами (сравнения, Даламбера, Коши).
п.2. Функциональные ряды.
Пусть
f n ( z ), n  N,
— однозначные функции комплексного
переменного, определенные в некоторой
области G.
Рассмотрим функциональный ряд

 f n ( z).
n 1
(2)
Пусть ряд (2) сходится в каждой точке z  G.
Тогда сумма ряда S (z ) является однозначной
функцией в области G.
Ряд (2) называется равномерно сходящимся в
области G к функции S (z ) , если
  0 N ( ) n  N ( ), z  G
| S n ( z )  S ( z ) |  .
Теоремы о равномерно сходящихся рядах
Теорема 2.
Пусть
f n ( z ), n  N — непрерывные функции в

 fn ( z)
n 1
области G;
сходится равномерно в области G к
функции S (z ).
Тогда сумма ряда
G.
S (z ) непрерывна в области
Теорема 3. (Признак Вейерштрасса)
Пусть
| f n ( z ) | an , z  G,  n  N;

 an
сходится.
n 1
Тогда

абсолютно и равномерно в
 f n ( z ) сходится
области G.
n 1
Теорема 4.
Пусть
Г — кусочно-гладкая кривая;
f n ( z ), n  N — непрерывные функции на Г;

 fn ( z)
сходится равномерно на Г.
n 1
Тогда данный ряд можно почленно
интегрировать, т.е.
 


f n ( z ) dz 



  n 1


  f n ( z)dz.
n 1 
п.3. Степенные ряды.
Функциональный ряд вида

 cn ( z  a )
n
 c0  c1 ( z  a )  c2 ( z  a )  ...,
2
n 0
где cn  C , называется степенным.
Точка a называется центром ряда.
Заменой z  a на z этот ряд приводится к виду

 cn z
n 0
n
 c0  c1 z  c2 z  ...
2
(3)
Ограничимся рассмотрением рядов вида (3).
Теорема 5. (Абеля)
Если степенной ряд (3) сходится в
точке z  z0  0 , то он сходится абсолютно во
всех точках z, для которых | z || z0 | .
Доказательство.
По условию ряд 

n
cn z 0
n 0
сходится.
Тогда по необходимому условию сходимости
lim
n 
n
cn z 0
 0.
n
Значит, величины cn z0 ограничены по модулю,
т.е.
n
A  0 n  N | cn z0 | A.
Тогда при | z || z0 | будем иметь
| cn z |
n
где
n 
cn z0  
n
z 
z
n
  cn z0 
z0
 z0 
z
q
 1.
z0
n
 Aq ,
n

Так как ряд
 Aq
n
n 0
сходится (как бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия), то ряд

 | cn z
n
|, | z || z0 |,
n 0
сходится по признаку сравнения.
Поэтому ряд

 cn z
n 0
n
, | z || z0 |,
сходится абсолютно.
Следствие.
Если степенной ряд

 cn z
n
n 0
расходится в некоторой точке z  z1 , то он
расходится в любой точке z, для которой
| z || z1 | .
Геометрическая интерпретация
Если степенной ряд
сходится в точке z0 , то он
абсолютно сходится во
всякой точке z, лежащей
внутри окружности с
центром в точке 0 и
проходящей через точку
z0 .
z0
z
0
Если степенной ряд
расходится в точке z1 , то
он расходится во всякой
точке z, лежащей вне
окружности с центром в
точке 0 и проходящей
через точку z1.
z1
z
0
Теорема 6.
Для любого степенного ряда

 cn z
n
n 0
существует круг конечного или бесконечного
радиуса R, внутри которого ряд абсолютно
сходится, а вне его расходится.
Замечание.
Указанный в теореме 6 круг называется кругом
сходимости, а его радиус R — радиусом
сходимости.
Доказательство.
Если степенной ряд (3) сходится только в
точке z  0 , то полагаем R  0.
Если степенной ряд (3) сходится во всей
плоскости z, то полагаем R  .
Пусть степенной ряд (3) сходится в
точке z0  0, | z0 | r1 и расходится в точке
z1, | z1 | R1.
По теореме Абеля ряд сходится в круге
| z | r1.
По следствию ряд расходится вне окружности
| z | R1.
В кольце
r1 | z | R1
могут быть как точки, в которых ряд сходится,
так и точки, в которых ряд расходится.
Возьмем точку z 2 на окружности
r1  R1
| z |
.
2
z1
Возможны два случая.
R1
r1
z2
z0
1) Ряд сходится в точке z 2 .
Тогда область сходимости увеличивается до
круга
| z || z2 | .
Полагаем
r1  R1
r2 
, R2  R1.
2
2) Ряд расходится в точке z 2 .
Тогда область расходимости увеличивается до
внешности круга
| z || z | .
Полагаем
2
r1  R1
r2  r1 , R2 
.
2
В обоих случаях ширина кольца уменьшается
вдвое.
Продолжая таким же образом, построим две
последовательности:
r1 , r2 ,..., rn ,...
— неубывающая, ограниченная сверху;
R1 , R2 ,..., Rn ,...
— невозрастающая, ограниченная снизу.
Причем
rn  Rn , n  N,
R1  r1
Rn  rn 
 0, n  .
2
Следовательно,
 lim rn ,  lim Rn
n
и
lim rn  lim Rn  R.
n 
Очевидно, при
а при
n
n 
z , | z | R ряд сходится,
z , | z | R ряд расходится.
Значит,
| z | R
— круг сходимости.
Замечание 2.
Поведение ряда на окружности ряда
сходимости остается неопределенным.
Замечание 3.
Так как в круге сходимости степенной ряд
сходится абсолютно, то для определения этого
круга можно применять признак Коши или
Даламбера.
Теорема 7.
Радиус сходимости R степенного ряда (3)
определяется по формуле
1
 lim n | cn |
R n 
(верхний предел последовательности —
наибольший из частичных пределов этой
последовательности).
(*) — формула Коши-Адамара.
(*)
Пример. Найти радиус сходимости ряда

z
Решение.
Так как
n2
.
n 0
{cn }  1,1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,...,
то
n | cn | 1,1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,...
Значит, частичные пределы равны 0 и 1.
Поэтому,
R  1.
Теорема 8.
Степенной ряд (3) равномерно сходится в
любом круге
| z | r ,
где
r  R, R — радиус сходимости.
Доказательство.
По условию теоремы степенной ряд (3)
сходится абсолютно в точке z  r , т.е.
сходится числовой ряд

 | cn r
n 0
n
|.
При
| z | r
выполняется неравенство
| cn z || cn r | .
n
n
Значит, степенной ряд

 cn z
n 0
n
сходится равномерно по признаку
Вейерштрасса при | z | r.
Замечание 4.
Радиус r можно взять как угодно близким к
радиусу сходимости R, но нельзя брать
равным ему.