§17,18. Функциональные ряды. Степенные ряды

Математический анализ
Раздел: Числовые и функциональные ряды
Тема: Функциональные ряды.
Степенные ряды
Лектор Кабанова Л.И.
2014 г.
§17. Функциональные ряды
Пусть задана последовательность функций
областью определения D .
{fn(x)}
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Выражение вида
f0(x) + f1(x) + … + fn(x) + … =
с общей

 f n ( x)
n0
называют функциональным рядом.
При этом, члены последовательности {fn(x)} называются
членами ряда (0-м, 1-м, …, n-м (общим членом) ).
Пусть x0D . Рассмотрим числовой ряд ∑ fn(x0) .
Если ряд ∑ fn(x0) сходится, то говорят, что ряд
сходится в точке x0 .
∑ fn(x)
Множество
D1={ x0D | ∑ fn(x0) –сходится}
называют областью сходимости функционального ряда
∑ fn(x) .
Функция f(x) , определенная на множестве D1 и такая, что ее
значение в любой точке x0D1 совпадает с суммой числового
ряда ∑fn(x0), называется суммой функционального ряда
∑ fn(x)
(1-е определение суммы функционального ряда).
Построим последовательность
S1(x) = f1(x), S2(x) = f1(x)+f2(x) , … ,
Sn(x) = f1(x)+f2(x)+…+ fn(x), …
Функции S1(x) , S2(x) , … , Sn(x) называются частичными
суммами ряда ∑ fn(x) .
Множество
D2={ x0D | {Sn(x0)} –сходится}
называют
областью
сходимости
функциональной
последовательности {Sn(x)}.
Функция f(x), определенная на D2 и такая, что f(x0) совпадает с
пределом последовательности {Sn(x0)} (x0D2), называется
пределом функциональной последовательности {Sn(x)}.
Но Sn(x0) – сумма числового ряда ∑ fn(x0) .
 а) D1=D2;
б) Предел функциональной последовательности {Sn(x)}
есть сумма ряда ∑ fn(x)
(2-е определение суммы функционального ряда).
ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ
РЯДОВ
1) Определить область сходимости функционального ряда и
найти его сумму.
Область сходимости функционального ряда D1 находится с
помощью признаков сходимости числовых рядов.
Область сходимости – множество тех x, для которых
выполняются необходимое и достаточное условие
сходимости.
Сумму ряда обычно находят только приближенно.
Полагают f(x) ≈ Sn(x) , где n выбирают так, чтобы
| f(x) – Sn(x) | <  , xD1 ( заранее задано).
2) Определить, какие из свойств членов ряда переносятся на
сумму ряда.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функциональный ряд ∑fn(x) называется
равномерно сходящимся к f(x) на множестве HD1 , если
>0 Nℕ такой, что
| Sn(x) – f(x) | <  , n>N и xH
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
y
f (x)  
S N 1 ( x)
f (x)
f (x)  
x
Если ∑fn(x) сходится к f(x) на множестве равномерно HD1 , то
в любой -полоске функции f(x) находятся все частичные
суммы ряда, за исключением, возможно, конечного их числа.
ТЕОРЕМА 1 (критерий Коши равномерной сходимости ряда).
Ряд ∑ fn(x) сходится равномерно на множестве H к
функции f(x)  >0 Nℕ такой, что
| Sn+k(x) – Sn(x) | = | fn+1(x) + … + fn+k(x) |<  ,
kℕ , n>N и xH .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что функциональный ряд
∑ fn(x) мажорируется на множестве H числовым рядом
∑an , если
| fn(x) | < an , n, xH .
ТЕОРЕМА 2 (признак равномерной сходимости Вейерштрасса).
Если ряд ∑ fn(x) мажорируется на H сходящимся числовым
рядом ∑an , то он сходится на H равномерно.
Замечание.
Признак Вейерштрасса достаточный. Т.е.  равномерно
сходящиеся ряды, для которых не удается подобрать
мажорирующий сходящийся ряд.
Равномерно сходящиеся ряды, для которых можно найти
мажорирующий сходящийся ряд часто называют правильно
сходящимися.
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ
ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
1) Если ∑ fn(x) сходится на промежутке Hℝ равномерно и
(x) – ограничена на H, то ряд ∑ (x)fn(x) тоже сходится
на H равномерно.
2) Пусть ∑ fn(x) сходится к f(x) на промежутке
равномерно, x0H и существуют lim f n ( x)  cn
Hℝ
x  x0
Тогда: а) числовой ряд ∑cn сходится;
б) сумма ряда ∑cn равна c  lim f ( x)
Иначе говоря,
x  x0
 
 



lim  f n ( x)    lim f n ( x) 
 n  0 x  x0
x  x0 

n

0


3) Если ряд ∑ fn(x) сходится на промежутке Hℝ равномерно
и в точке x0H все функции fn(x) непрерывны, то сумма
ряда f(x) тоже непрерывна в точке x0 .
4) Если функции fn(x) непрерывны на промежутке Hℝ и ряд
∑ fn(x) сходится на H равномерно к f(x) , то x0,x∈H ряд

  x
 f (t )dt 
 n

n  0 x0

тоже сходится на H равномерно и его сумма равна
 
x
 f (t )dt
x0
Замечание: Говорят «ряд можно почленно интегрировать» и
пишут:
 x 
  x

 f (t )dt   
dt
f
(
t
)
n
 n



n  0 x0
n

0

 x0 
 
 
5) Пусть функции fn(x) непрерывно дифференцируемы на
промежутке Hℝ и ряд ∑ fn(x) сходится на H к f(x).
Если ряд ∑ fn(x) сходится на H равномерно, то ряд ∑ fn(x)
тоже сходится на H равномерно, его сумма f(x) является
функцией непрерывно дифференцируемой и имеет место

равенство
 f n ( x)  f ( x)
n0
Замечание: Говорят «ряд можно почленно дифференцировать»
и пишут:

 




f
(
z
)

f
(
x
)
 n  n 
n0
 n0


§18. Степенные ряды
Степенным рядом (рядом по степеням x–x0) называется
функциональный ряд вида

n
a0 + a1(x–x0) + a2(x–x0)2 + … + an(x – x0)n + … =  an ( x  x0 ) ,
где an,x0ℝ. Числа
степенного ряда.
n0
an
называются
коэффициентами
Частный случай степенного ряда – ряд по степеням x :

a0 + a1x + a2
x2
+ … + an
xn
n
a
x
+…=  n .
(1)
n 0
Будем изучать ряд ∑anxn . На общий случай результаты
переносятся заменой x  x – x0 .
1. Сходимость степенных рядов
Степенной ряд ∑ anxn всегда сходится в точке x = 0.
ТЕОРЕМА 1 (Абеля).
1) Если степенной ряд ∑ anxn сходится в точке x1  0, то он
сходится абсолютно в любой точке x , удовлетворяющей
условию
| x | < | x1 | ;
2) Если степенной ряд ∑ anxn расходится в точке x2 , то он
расходится в любой точке x , удовлетворяющей условию
| x | > | x2 | .
Из теоремы 1   R>0 такое, что ряд ∑ anxn сходится
(абсолютно) при | x | < R и расходится при | x | > R.
Число R называют радиусом сходимости ряда ∑ anxn .
Интервал (– R ; R) называют интервалом сходимости ряда
∑ an xn .
Применяя признак Даламбера (Коши) к исследованию ряда
∑ | an xn | находим:
1
R  , где

an 1
  lim
n   an
или   lim
n
n
an
( 2)
Замечания.
1) Формулы (2) справедливы, если ряд ∑ anxn – «полный» (т.е.
присутствуют все степени x ).
2) Допускается R = 0 (ряд сходится только в точке 0) и R = +
(ряд сходится на всей числовой оси)
3) Для ряда ∑ an(x – x0)n интервал сходимости имеет вид:
| x – x0 | < R  (x0 – R ; x0 + R) .
Если ряд ∑ an(x – x0)n – «полный», то формулы (2) для него
тоже справедливы.