Зависимость решений систем дифференциальных уравнений

О.Н.Чижова
13
Зависимость решения системы дифференциальных уравнений от параметров и начальных данных.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в нормальной форме,
содержащую p параметров
Ẋ = F (t, X, λ), где λ = (λ1 , λ2 , ..., λp ).
(1)
Зададим начальные условия:
X(t0 ) = X0
(2)
Теорема 13.1 Пусть правые части системы (1) определены и непрерывны
по t и по компонентам векторов X и λ на множестве
R̄ = {(t, X, λ)| |t − t0 | ≤ a;
kX − X0 k ≤ b;
λk ≤ λk ≤ λ̄k }
k = 1, p
¯ , λ) множества
Пусть кроме того для любых двух точек (t, X̄, λ) и (t, X̄
R̄ выполнено условие Липшица по аргументу X
¯ , λ) k≤ L k X̄ − X̄
¯ k,
k F (t, X̄, λ) − F (t, X̄
причём величина L одна и та же для всех рассматриваемых значений λ.
Тогда решение задачи Коши (1)-(2) существует, единственно и непрерывно дифференцируемо по t при t ∈ [t0 − h̄; t0 + h̄], а также непрерывно по
b
λ равномерно относительно t. (Здесь h̄ = min{a; M̄
}; M̄ = maxR̄ k F k).
Схема доказательства. Проведем только доказательство равномерной
непрерывности решения задачи Коши (1)-(2) по λ.
Для этого построим последовательные приближения Пикара
X0 (t, λ) ≡ X0
Rt
(3)
Xm (t, λ) = X0 + t0 F (s, Xm−1 (s, λ), λ) ds
Используя непрерывность функции F по всем аргументам на замкнутом
множестве R̄, методом индукции по m установим, что все функции Xm (t, λ)
непрерывны относительно λ при |t − t0 | ≤ h̄ и не выходят при этом из
множества R̄.
Далее, покажем что последовательность {Xm (t, λ)}∞
m=0 на промежутке
Пикара сходится равномерно относительно λ к предельной функции X̄(t, λ).
Для этого рассмотрим ряд
1
X0 +
∞
X
(Xm (t, λ) − Xm−1 (t, λ))
(4)
m=1
и проведем оценку слагаемых этого ряда, как и при доказательстве теоремы
Пикара. Поскольку величины M̄ , L, h̄ не зависят от вектора λ, то оценочный
мажорантный ряд будет иметь тот же вид, что и в теореме Пикара. Тогда
будет выполнено соотношение
λ
Xm (t, λ) ⇒ X̄(t, λ),
откуда следует непрерывность предельной функции X̄(t, λ) относительно
вектора λ. Полученные оценки не зависят также и от t, что означает равномерную относительно t непрерывность функции X̄(t, λ) по λ.
Теорема доказана.
Рассмотрим теперь систему
Ẋ = F (t, X)
(5)
и пусть теорема Пикара выполнена на множестве
R = {(t, X) | |t − t0 | ≤ a;
k X − X0 k≤ b}
Рассмотрим начальные условия вида
X(t∗ ) = X ∗ ,
∗
(6)
∗
где (t , X ) - внутренняя точка множества R.
Теорема 13.2 Решение задачи Коши (5)-(6) X = X(t, t∗ , X ∗ ) на некотором подмножестве множества R непрерывно по начальным данным t∗ , X ∗
равномерно относительно t.
Схема доказательства.
Сделаем в системе (5) замену переменных
t − t∗ = ξ
X − X∗ = Z
(7)
В новых переменных система (5) примет вид:
dZ
= F (ξ + t∗ ; Z + X ∗ ) = F1 (ξ; Z; t∗ ; X ∗ )
dξ
(8)
Начальные условия (6) примут вид
Z(0) = 0
Множество R примет вид
R∗ = { |ξ + t∗ − t0 | ≤ a; k Z + X ∗ − X0 k≤ b}
2
(9)
Неравенства, определяющие множество R∗ будут выполнены, если, например, считать что
|ξ| ≤ a/2;
k Z k≤ b/2;
|t∗ − t0 | ≤ a/2
k X ∗ − X0 k≤ b/2.
Тогда система (8), где величины t∗ ; X ∗ являются параметрами, удовлетворяет теореме 1 на множестве R∗ , поскольку линейное преобразование
(7) не изменяет необходимых свойств правой части. Тогда решение задачи
Коши (8)-(9) непрерывно по параметрам t∗ ; X ∗ равномерно относительно ξ
при |ξ| ≤ h/2.
Для завершения доказательства вернемся к исходным переменным
X(t; t∗ ; X ∗ ) = Z(t − t∗ ; t∗ ; X ∗ ) + X ∗
(10)
При этом из неравенства |ξ| ≤ h/2 вытекает
|t − t∗ | = |t − t0 + t0 − t∗ | ≤ |t − t0 | + |t0 − t∗ | ≤ h/2
Решение (10) будет тогда определено при |t − t0 | ≤ h/4 и непрерывно по
t∗ , X ∗ , если |t0 − t∗ | ≤ h/4;
k X0 − X ∗ k≤ b/2.
Теорема доказана.
3