Методы интегрирования.

План лекции:
1. Методы
интегрирования(продолжение)
2. Определенный интеграл
Методы интегрирования
4) Замена переменной
Часть подынтегральной функции или вся функция Ψ(х)
заменяется новой переменной, т.е.:
Ψ(x)=t , (*)
dx через t находится после дифференцирования обеих
частей уравнения замены (*):
dΨ=dt, или Ψ‘(x)dx=dt
Если интеграл с новой переменной найден , то,
возвращаясь к прежней переменной Х, согласно
уравнению замены, получим искомый интеграл.
Пример:
1) Найти
Cos3
xdx

I

Сделаем замену 3х=t
d (3x)  dt  (3x)dx  dt 
dt
:3
3dx  dt  dx 
3
Теперь…
dt 1
1
1
I   Cost    Costdt  S int  C  Sin3x  C
3 3
3
3
2)
2
x dx
 x3  8  I
Замена
x  8  t  d ( x  8)  dt 
3
3
dt
3x dx  dt  dx  2
3x
2
Теперь
Или
I 
x  3dtx 2
2
t
dt
x dx 
3
2
1 dt 1
1
   ln t  C  ln x3  8  C
3 t 3
3
и тогда
dt 3
I 
t
и т.д.
3) Пример
I 
1  ln x
dx
x
Делаем замену
1  ln x  t  1  ln x  t 2 
 d (1  ln x)  d (t 2 )  (1  ln x)dx  (t 2 )dt 
dx
  2tdt
x
Подставляем
dx
через t в подынтегральное выражение:
x
2 3
2
3
I   t  2tdt  2 t dt  t  C  (1  ln x)  C
3
3
2
5) Метод преобразования дифференциала
Справедливы следующие формулы:
2 xdx  d ( x )
d ( x  C )  dx
dx
d (Cx)  Cdx
 d (ln x)
x
1
Cosxdx  d ( Sinx ) dx  d ( ax  b)
a
 Sinxdx  d (Cosx)
2
e dx  d (e )
x
x
Примеры
1)

x  1)   u 2 du 
x  1dx   ( x  1) d ( 
1
1
2
u
2
2 32
3
( x  1)  C
 u C 
3
3
3dx 1
Cos3xdx   Cos3x 
  Cos3xd (3x) 
2) 
3
3
u
1
1
1
  Cosudu  Sinu  C  Sin3x  C
3
3
3
3)
(1  ln x)dx
u2
 x   (1  ln x)d (ln x)  (1  ln x)d (1ulnx)   udu  2  C 
1
(1  ln x) 2  C
2
Определенный интеграл
Пусть функция f(x)
определена на отрезке (a;b).
Разобьем отрезок на n частей
точками
a  x0x1x2...xn  b ,
выберем на каждом
элементарном отрезке xk 1; xk 
произвольную точку  к ,
вычислим значение f(x) в
каждой из этих точек и
обозначим через xk длину
каждого такого отрезка.
k  1,2,..., n
Определение 1:
n
Сумма вида f ( )  x  f ( )  x    f ( )  x 
 f ( k )  xk
1
1
2
2
n
n
k 1
 
называется интегральной суммой для f(x) на отрезке a; b
Определение 2:
Устремим максимальную длину отрезков к нулю. При этом
n  . Тогда интегральная сумма стремится к некоторому
b
n
пределу
Lim
 f (
max xk 0
k 1
n 
k
)  xk   f ( x)dx
a
называется определенным интегралом от функции f(x) на
отрезке a; b (или в отрезке от a до b). a и b называются
нижним и верхним пределом интегрирования.
Геометрический смысл
b
 
 f ( x)dx
Если f x   0 на a; b , то a
численно
равен площади криволинейной трапеции – фигуры,
ограниченной линиями y=f(x), x=a, x=b, y=a.
Основные свойства определенного интеграла

1)Если
f ( x)dx  F ( x)  C , то
b
 f ( x)dx  F ( x)
b
a
 F (b)  F (a)
- формула
a
Ньютона-Лейбница
Здесь F(x) – первообразная для f(x).
b
2)
  f ( x)  f
1
a
2
b
b
a
a
( x) dx   f1 ( x)dx   f 2 ( x)dx
3)
b

a
a
f ( x)dx    f ( x)dx
b
Т.е. при перестановке пределов интегрирования меняется
знак интеграла.
a
4)

f ( x)dx  0
a
Определенный интеграл с одинаковыми пределами
интегрирования равен 0.
5)
b
c
b
a
a
c
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
Т.е. отрезок интегрирования можно разбивать на части.
6)
b
b
a
a
cf
(
x
)
dx

c
f
(
x
)
dx


Примеры
2
5
x
dx

4
1.Вычислить
1
2
Найдем первообразную
 5x dx  5 x dx  5 
4
4
x5
5
1
F ( x)  x (C  0)
5
Возьмем
Тогда получаем по формуле Ньютона-Лейбница
2
 5x dx  x
4
1
5 2
1
 2  1  31
5
5
 C  x5  C
4
2. Вычислить
 (3x  e
x
4
)dx
0
Найдем первообразную
x
3 2
4
 (3x  e )dx   3xdx   e dx  2 x  4e  C
x
4
x
4
Выберем
x
3 2
4
F ( x)  x  4e
2
Тогда
4
x
3 2
3
4
0
4
(
3
x

e
)
dx

(
x

4
e
)


16

4
e

(
0

4

e
)  28  4e
0
0
2
2
x
4
Спасибо за внимание!!!