Лекция 2 Стоматология

Кафедра медицинской и биологической физики
Темы лекции:
Основы интегрального исчисления.
Дифференциальные уравнения.
Лекция №2
студентов 1 курса,
обучающихся по специальности
Стоматология
Лектор: Рузанова Л.Н.
Красноярск 2015
План лекции:

Первообразная функции и
неопределенный
интеграл. Свойства неопределенного интеграла.

Определенный интеграл и его свойства.

Основные
формулы
интегрирования.

Дифференциальные уравнения, типы и способы их
решения.
и
простейшие
методы
Первообразная функции и
неопределенный интеграл

Функция
F(x),
называется
первообразной
функции f(x), если ее
производная F'(x) равна функции f(x):
F'(x) = f(x), dF(x)=f(x)dx.

Совокупность
всех
первообразных
F(x)+C данной функции f(x) называется
неопределенным интегралом.
∫f(x)dx=F(x)+C,
f(x)dx – подынтегральное выражение,
f(x) – подынтегральная функция,
С- произвольная постоянная.
Графики первообразных функций
Свойства неопределенного интеграла
1.

Дифференциал неопределенного
подынтегральному выражению:
интеграла
равен
d(∫F(x)dx) = F(x)dx;
2. Неопределенный интеграл от дифференциала функции
равен этой функции:

∫d(F(x))= F(x) + C;
3.

Постоянный
интеграла:
множитель
можно
выносить
за
знак
∫kf(x)dx = k∫f(x)dx;
4. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от
слагаемых:
∫(f1(x) ± f2(x))dx= ∫f1(x)dx± ∫f2(x)dx.
Таблица интегралов основных
функций
x n 1
 x dx  n  1  c, n  1
n
x
a
x
a
 dx  ln a  с
dx
 x  ln x  с
x
x
e
dx

e
c

 cos xdx  sin x  c
 sin xdx   cos x  c
dx
 cos2 x  tgx  c
dx
 sin 2 x  ctgx  c
Простейшие методы интегрирования

Интегрирование по формулам.

Внесение под знак дифференциала

Интегрирование
переменной.
посредством
замены
Определенный интеграл
b

Выражение  f ( x)dx
определенным
интеграломa функции f(x) на отрезке [a;b],
значение а – нижний предел интегрирования, b –
верхний предел интегрирования.

Неопределенный интеграл – это совокупность функций,
отличающихся друг от друга на некоторую константу.

Определенный интеграл – это число, значение которого
определяется
видом
подынтегральной
функции
и
значениями
верхнего
b
и
нижнего
а
пределов
интегрирования.
Геометрический смысл определенного
интеграла:
b
Определенный интеграл  f ( x)dx
a
под графиком функции f(x).
равен площади
Свойства определенного интеграла:

При перестановке пределов интегрирования
изменяется знак интеграла:
b
a
a
b
 f ( x)dx   f ( x)dx


Интеграл с одинаковыми пределами равен
a
нулю:
 f ( x)dx  0
a
Отрезок интегрирования можно разбивать на
части:
b
c
b
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
a
a
c
Формула Ньютона -Лейбница

Определенный
интеграл
равен
разности значений первообразной на
верхнем
и
нижнем
пределах
интегрирования:
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a)
a
Дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение – равенство, содержащее
производные или дифференциалы неизвестной функции.
F(x,f(x),f'(x),f''(x),…,f(n)(x),С)=0.

Если
функция
зависит
от
одной
дифференциальное
уравнение
обыкновенным.
переменной,
называется

Порядок дифференциального уравнения определяется
порядком высшей производной, содержащейся в этом
уравнении.

Решением дифференциального уравнения называется
функция y=f(x), обращающая его в тождество при
подстановке ее в это уравнение.
Алгоритм решения
дифференциальных уравнений
у 
dy
dx

Записать производную в виде:

Разделить
переменные,
т.е.
выражения,
содержащие переменную х, должны находиться
в правой части уравнения,
выражения,
содержащие
переменную y, – в левой части
уравнения;

Проинтегрировать
обе
части
записать решение в виде y=f(x);

Выполнить проверку,
функцию в уравнение.
равенства
подставив
и
найденную
Основные типы дифференциальных
уравнений и способы их решения

уравнение вида y'= f(x).
dy
y 
dx
dy
 f ( x)
dx
dy  f ( x )  dx
 dy   f ( x )dx
y  F ( x)  c

уравнение вида: y'= f(у).
dy
y 
dx
dy
 f ( y)
dx
dy
 dx
f ( y)
dy
 f ( y )   dx
F ( y)  x  c

уравнение с разделяющимися
переменными вида:
f1 ( x)  1 ( y )  dx  f 2 ( x)  2 ( y )  dy  0
f1 ( x)1 ( y )  dx   f 2 ( x)  2 ( y )  dy
f1 ( x)
2 ( y )
dx  
dy
f 2 ( x)
1 ( y )

f1 ( x)
2 ( y )
dx   
dy
f 2 ( x)
1 ( y )
F ( x)  c  F ( y )
Общее и частное решение
дифференциального уравнения

Общее
решение
дифференциального
уравнения
множество
решений,
определяющихся формулой, содержащей
одну произвольную постоянную.

Частным
называется
решение
дифференциального
удовлетворяющее
определенным
условиям,
при
этом
константа вычисляется и имеет вполне
определенное значение.
Нами были рассмотрены:
 Следующие понятия:
1. первообразная функции
2. неопределенный интеграл
3. определенный интеграл,
4. дифференциальное уравнение

Примеры нахождения интегралов и
решения дифференциальных уравнений.
Спасибо ЗА ВНИМАНИЕ