Обратные тригонометрические функции Работу выполнила Учитель МАОУ «Лицей №10» Зололтухина Л.В Содержание: 1. Обратные тригонометрические функции, свойства, графики 2. Историческая справка 3. Преобразование выражений, содержащих обратные тригонометрические функции 4. Решение уравнений 5. Задания различного уровня сложности Из истории тригонометрических функций •Древняя Греция.III в до н. э. Евклид, Аполоний Пергский. Отношения сторон в прямоугольном треугольнике. •Ок. 190 до н. э Гиппарх Никейский. Возможно он первый составил таблицу хорд, аналог современных таблиц тригонометрических функций. •Абу-аль-Ваф ввел тригонометрические функции тангенс и котангенс. •Первая половина XV в. Аль-Каши произвел уникальные расчеты, которые были нужны для составления таблицы синусов с шагом 1’. •I-II вв. индийские математики вводят понятие синуса. •1423-1461- австрийский математик и астроном Георг фон Пойербах был одним из первых европейских ученых, которрый применил понятие синуса. •1602-1675 французский математик, астроном и физик Жиль Роберваль построил синусоиду. •XV в. Региомонтан ввел термин тангенс. •1739 г. И. Бернулли ввел современные обозначения синуса и косинуса. •1770 г. Георг Симон Клюгель вводит новый термин тригонометрические функции. •1772 г. Ж. Лагранж вводит первую из шести обратных тригонометрических функций. •Карл Шерфер ввел современные обозначения для обратных тригонометрических функций. х Арксинусом числа m называется такой угол x, для которого sinx=m, -π/2≤X≤π/2,|m|≤1 Функция y = sinx непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y = arcsinx является строго возрастающей. График обратной функции симметричен с графиком основной функции относительно биссектрисы I - III координатных углов. Свойства функции y = arcsin x 1)Область определения: отрезок [-1; 1]; 2)Область изменения: отрезок [-π/2,π/2]; 3)Функция y = arcsin x нечетная: arcsin (-x) = - arcsin x; 4)Функция y = arcsin x монотонно возрастающая; 5)График пересекает оси Ох, Оу в начале координат. х Арккосинусом числа m называется такой угол x, для которого: cos x = m 0≤x≤π |m|≤1 Свойства функции y = arccos x . Функция y= arccosx является строго убывающей cos(arccosx) = x при -1 ≤ x ≤ 1 arccos(cosy) = y при 0≤y≤π D(arccosx)= [ −1;1]] E(arccosx)= [0;π]] Arctgх Арктангенсом числа m называется такой угол x, для которого tgx=m, -π/2<X<π/2. График функции y=arctgx Получается из графика Функции y=tgx, симметрией Относительно прямой y=x. y=arctgх 1)Область определения: R 2)Область значения: отрезок [-π/2,π/2]; 3)Функция y = arctg x нечетная: arctg (-x) = arctg x; 4)Функция y = arctg x монотонно возрастающая; 5)График пересекает оси Ох, Оу в начале координат. y 2 2 yx Arcctgх Арккотангенсом числа m называется такой угол x, для которого ctgx=a, 0<x<π 2 Arcctgх • Функция y=arcctgx непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. • Функция y=arcctgx является строго убывающей. • ctg(arcctgx)=x при xєR • arcctg(ctgy)=y при 0 < y < π • D(arcctgx)=(-∞;∞) • E(arcctgx)=(0; π) Преобразование выражений Вычислить : 3tg arcsin 0,5; 1) 24 2) 4 2 cosarcctg1; 3 7 ctg arcsin . 4 Решение : 1 1) 24 3tg 24 3 24. 6 3 3) 12 2) 4 2 cos 4 2 2 4. 2 4 3 3) sin - , cos 1 sin 4 ctg 12 2 1 7 , 3 3 7 ctg arcsin 12 4 12 9 7 , 16 4 7 ( 7 ) 28. 3 3 7 ctg arcsin 4 Преобразование выражений 1. Вычислить без калькулято ра 1 1 4arctg arctg 5 239 Решение : 1 1 1 1 , ттогд tg , tg 5 239 5 239 Надо вычислить В 4 Возьмем ттанген от обеих частей этого равенства : arctg , arctg tgB tg (4 ) tg 4 tg 1 tg 4tg 1 5 2 2tg 5 5 , tg 4 12 120 tg 2 1 25 12 119 1 tg 2 1 1 25 144 120 1 239 120 119 tgB 119 239 1. Так как tgB 1, т B . 120 1 119 239 120 4 1 119 239 2 Упражнения для самостоятельного решения Вычислить : 4 1. cos(2arcco s ); 5 1 3 2..sin( arccos 2arctg(-2)) ; 2 5 1 3 3.tg( arccos 2arctg(-2)) . 2 5 Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции 1.Решить уравнение arccos(2x 1) 3 . 4 3 0; , тт по определению арккосинус а 4 числа данное уравнение равносильно уравнению Так как 3 2 2 2 , откуда 2x 1 ,x . 4 2 4 2.Решить уравнение 2(arcsinx) 2 5 arcsin x 2 0. 2x 1 cos Пусть arcsinx t, причем t - ; , тогда 2 2 2t 2 5t 2 0. 1 , но 2 - ; , 2 2 2 1 1 arcsinx , x sin . 2 2 t 1 2, t 2 Упражнения для самостоятельного решения Решить уравнения : 1.arccos(2 x 3) 1- x 2.arctg , 4 3 3 ; x 3.arcsinx - arcsin . 2 3 Задания различного уровня сложности Найти значение выражения 5 3 arccos(- )). 6 2 Решение : Применим формулу приведения : 6 11cos( 5 5 3 arccos(- )) 6 11sin(arccos (- )). 6 6 2 Поскольку sin 2 t 1 cos 2 t , тт 6 11cos( 5 5 )) 1 cos 2 (arccos( )) 6 6 11 5 . 1 ( ) 2 36 6 Функция f(x) sinx на промежутке 0; принимаеет ттольк неотрицательные значения, поэтому sin 2 (arccos( 11 5 , ) 6 6 Значение данного выражения равно - 11. sin(arccos ( Задания различного уровня сложности Решить уравнение 2arcsin2x arccos7x. Решение : найдем ОДЗ уравнения : 1 1 x - 1 2x 1 2 2 или - 1 7x 1 1 x 1 7 7 1 1 то есть - x . 7 7 На этом промежутке уравнение равносильно следующему : cos(2arcsi n2x) cos(arccos 7x) Так как cos(farcco s7x) 7x, cos(2arcsi n2x) 1 - 2sin 2 (arcsin2x) 1 - 2(2x) 2 1 8 x 2 1 1 8 x 2 7 x или 8x 2 7 x 1 0, x 1, x . 8 1 С учетом ОДЗ получаем окончательно x . 8 Задания различного уровня сложности Решить задачу : Боковая грань правильной четырехуго льной пирамиды образует с плоскостью основания угол, равный 60 0. Найдите угол между боковыми гранями. Решение : Воспользуе мся соотношением между данным и искомым 2 2 3 6 sin . Получим, что cos . 2 2 2 2 2 4 6 1 Найдем cos 2cos 2 - 1 2 - 1 - . 2 16 4 1 Получим, что - arccos . 4 углами. cos Таблицы значений обратных тригонометрических функций В следующей таблице приведены значения функций арксинуса и арккосинуса для некоторых значений углов: В следующей таблице приведены значения функций арктангенса и арккотангенса для некоторых значений углов: Литература: 1. Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10-11 кл. общеобр. учреждений/ Ш.А. Алимов, Просвещение, 2009.-384 с. 2. Тесты по математике для абитуриентов.-М.:Айрис-пресс,2003.-352 с. 3. За страницами учебника математики/С.А Литвинова, Л.В. Куликова.- 2-е изд.,дополнительное.М.: Глобус, Волгоград: Панорама,2008.-176с.