Обратные ТФ

Алгебра
10 класс
«Функция, как правило, определяется
для тех значений аргумента, какие для
данной задачи представляют реальное
значение»
Хинчин А.Я.
,
При каких значениях t верно равенство?
sint = 0,5
sint = 0,3
t=?
Обратные
тригонометрические функции
у=arcctgx
у=arcsinx
график
график
у=arccosx
график
у=arctgx
график
Функция
у = sin x
Область определения функции — множество R всех действительных чисел.
Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. синус функция —
ограниченная.
Функция нечетная: sin(−x)=−sin x для всех х ∈ R.
График функции симметричен относительно начала координат.
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π:
Функция у = cos x
Область определения функции — множество R всех действительных чисел.
Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. косинус функция —
ограниченная.
Функция четная: cos(−x)=cos x для всех х ∈ R.
График функции симметричен относительно оси OY.
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π:

2
Определение


0
arcsin t = a


1)    
2
2
2) sin   t
3)  1  t  1


2
arcsin(-x) = - arcsinx
Содержание
Определение

2


0
arccos t = a
1) 0  а  
2) cos a  t
3)  1  t  1


2
arccos(-x) =  - arccosx
Содержание

2
Определение


arctg t =
1) 

a
а
2
2) tgа  t

0


2
2
Содержание
Определение


2

0
arcctg t = a
1) 0  а  
2) ctgа  t


2
Содержание
у = arcsinx
;
х
1)Область определения: отрезок [-1; 1];
2)Область значений: отрезок
3)Функция у = arcsin x нечетная:
arcsin (-x) = - arcsin x;
4)Функция у = arcsin x монотонно возрастающая;
Содержание
у = arccos x
1
0
-1
1)Область определения: отрезок [-1; 1];
2)Область значений: отрезок
3)Функция у = arcсos x четная:
arcscos (-x) =
4)Функция у = arcсosx монотонно убывающая;
Содержание
у = arctgx
1)Область определения: R – множество действительных чисел
2)Область значений:
3)Функция у = arcsin x нечетная: arctg (-x) = - arctg x;
4)Функция у = arctg x монотонно возрастающая;
Содержание
у = arcctgx
1)Область определения: R 2)Область значений:
3)Функция у = arcctgх ни четная ни нечетная
4)Функция у = arcсtgx монотонно убывающая;
Содержание
Работаем устно
arcsin 1
arcsin 0
arccos 1
arccos 0
2
arcsin
2
1
arcsin
2
1
arccos
2
1
arccos
3
arcsin(-x) = - arcsinx
1
arcsin(  )
2
1
arccos(  )
2
3
2
arcsin( 
)
arccos( 
)
2
2
arccos(-x) =  - arccosx
Работаем устно
Имеет ли смысл выражение?
arcsin 2 arccos 3
arctg100
Может ли arcsint и arccost принимать
значение равное
5
5,  ,  ,  10,
9
3
,?
7
Работаем устно
Найдите значения выражений:
arccos(cos

)
3
5
arcsin(sin
)
2
7
5
ctg (arcctg ( )) sin(arcsin
)
8
13
3
tg (arctg15)
cos(arcsin
)
2
Работаем устно
3
arctg1
arctg 3
arctg ( )
3
3
arcctg1 arcctg 3
arcctg ( )
3
arctg(-x) = - arctgx
arcctg(-x) =  - arcctgx
Свойства аркфункций
cos(arccos x)  x,
sin(arcsin x)  x,
tg ( arctgx)  x
ctg (arcctgx)  x
arccos(cos x)  x, x   1;1
arcsin(sin x)  x, x   1;1
arctg (tgx)  x,
arcctg (ctgx)  x.
Тригонометрические тождества
arcsin x  arccos x 

2
1 
arctgx  arctg  при x  0
x 2
1
tg (arcctgx) 
x
arctgx  arcctgx 

2
1

arcctgx  arcctg   при x  0
x
2
1
ctg (arctgx) 
x
Тригонометрические тождества
sin(arccos x)  1  x 2
cos(arcsin x)  1  x 2
1 x2
ctg (arcsin x) 
x
ctg (arccos x) 
sin( arctgx) 
cos( arctgx) 
tg (arcsin x) 
x
x 1
sin( arcctgx) 
2
1
x2 1
x
1 x2
cos( arcctgx) 
x
1 x2
1
x2 1
x
x2 1
1 x2
tg(arccos x) 
x
Тригонометрические тождества
sin( 2 arcsin x)  2 x 1  x 2
cos(2 arcsin x)  1  2 x
2x
sin( 2arctgx) 
1 x2
2x
tg (2arctgx) 
1 x2
sin( 2 arccos x)  2 x 1  x 2
2
cos( 2 arccos x)  2 x 2  1
1 x2
cos( 2arctgx) 
1 x2
1
1 x
cos( arccos x) 
2
2
1
sin( arccos x) 
2
1 x
2
arcsin x  x 
Решите уравнение
Графический метод
решения уравнений
1) Строим график
2) Строим график
y  arcsin x
y  x

в той же системе координат. 2
1
3) Находим абсциссы точек
пересечения графиков
(значения берутся приближенно).
4)Записываем ответ.
Ответ.1.

2
1
Функционально-графический
метод решения уравнений
Пример: решите равнение
arccos x 
Решение.

2
x
1) у =arccosx убывает на области определения

2 g x  
2
 x,
возрастает на D,
3) Уравнение f(x)=g(x) имеет не более одного
корня.
4) Подбором находим, что x=0.
Ответ. 0.
Спасибо за урок!
Успехов в дальнейшем
изучении тригонометрии!