Ход урока. Анализ Учитель Ученики

Ход урока.
Анализ
а
к
т
у
а
л
и
з
а
ц
и
я
Учитель
- Перед вами записаны формулы,
задающие некоторые функции.
-Распределите их по каким-либо
характеристическим признакам в 2
группы.
-Почему вы разбили их на группы
именно таким образом?
- А каким образом вы построите
графики функций I-ой группы?
Ученики
I-ая группа
II-ая группа
- Т.к. графики функций I-ой группы мы
можем построить.
-Значения функций этих двух групп
взаимно-обратные числа.
-Используем известные
преобразования.
Основной график
f(x)+a
(
)
f(x+a)
f(x)
f(x-a)
f(x)-a
y
- В одной системе координат постройте
графики данных функций.
1
-1
1
x
-1
Рис.1.
п
о
с
т
а
н
о
в
к
а
Побуждение к
осознанию
противоречия
Побуждение к
формированию
темы урока
- Перейдем к графикам функций II-ой
группы.
Постройте график любой функции из IIой группы.
- А как вы считаете, графики I и II групп
каким-то образом связаны между
собой?
- С помощью известных
преобразований это сделать нельзя.
- Да, их можно разбить попарно.
и
и
и
п
р
о
б
л
е
м
ы
и
- Почему так?
- Значения функции в каждой паре
взаимно-обратные числа.
- Что это значит?
- А, следовательно, графики этих
функций можно построить каким-то
образом?
- Если у нас есть точка с координатами
(x,y) в какую точку при помощи
некоторого преобразования ее надо
перевести?
- При одних и тех же допустимых
значениях аргумента, произведение
значений функций равно 1.
- Да, возможно, с помощью
преобразования плоскости?
- (x,y) -> (x, ) – происходит
перестановка точек
- Такое преобразование плоскости
называется инверсией.
Итак, тема урока:
п
о
и
с
к
р
е
ш
е
н
и
я
Подводящий
без проблемы
диалог
- Инверсия (от лат. Inversion –
переворачивание, перестановка) –
термин, относящийся к перестановкам
в математике.
- Рассмотрим некоторую прямую X и
две точки А и В – принадлежат
соответственно каждому из графиков.
- Инверсия графиков.
- Какие координаты у этих точек?
- А(x,y); B(x, )
- Как эти точки расположены по
отношению к этой прямой и почему?
- АВ ┴ X, т.к. абсциссы их равны.
- А по какую сторону?
- По одну сторону, т.к. знаки у
координат одинаковые.
- Что можно сказать про OA∙OB, где О –
основание перпендикуляра АВ на
прямую X.
Итак
Определение 1:
Точка В называется инвертной точке А
относительно прямой (оси) e, если:
1. Эти точки лежат по одну
сторону относительно прямой
(оси) e.
2. АВ ┴ e
3. ОА∙ОВ = 1
Точки оси e инвертных не имеют.
В
А
e
0
Рис.2.
Определение 2:
Преобразование плоскости, при
котором каждая точка переходит в
инвертную ей относительно данной
- ОА∙ОВ = 1.
прямой, называется инверсией.
- А как будет вести себя точка с
координатами (x,1) и (x,-1)?
- Она перейдет в точку (x, ) = (x,1)
(x, ) = (x,-1). Сама в себя.
п
р
а
к
т
и
к
а
- Такие точки называются
неподвижными или двойными.
Задание: Найти (если они есть) точки
инвертные данным относительно осей
OX и OY.
А(1,2); В(3,0); С(2,1); Д(0, )
ОХ:
у
ОY:
у
В
А
ОХ: А1(1, ) ; В – не имеет инвертной
относительно ОХ.
С1(2,1); Д(0,2)
ОУ: А2(1,2); В( ,0); С( ,1); Д – не имеет
инвертной относительно ОУ.
В
А
х
х
Рис.3.
в
ы
в
о
д
ы
- График функции g(x)=
получается
из графика функции y=f(x) инверсией
относительно оси ОХ.
Записываем в тетради:
ОХ: (x,y) -> (x, )
ОУ: (x,y) -> ( ,y)
- График функции g(x)=f( ) получается
из графика функции y=f(x) инверсией
относительно оси ОУ.
Полезные свойства инверсии:
1) Если (x0,y0) – точка максимума
(минимума) функции y=f(x) и
y0≠0, то (
) – точка
минимума (максимума)
функции y= .
2) Промежуткам возрастания
(убывания) графика функции
y=f(x) соответствуют
промежутки убывания
(возрастания) графика функции
y=
.
п
р
а
к
т
и
к
а
Пример 1:
- Каким образом можно построить
график функции
?
- Построить график f(x)=
применить к нему инверсию
относительно оси ОХ.
- Отметим неподвижные точки.
- (2,1) -> (2,1)
- y=0, след.
- В какую точку перейдет точка (1,0)?
- А если y →∞, то
и
→∞
- y→∞, след.
→0
→?
y
Следовательно:
Чем точка ближе к оси инверсии, тем
ее образ дальше и наоборот.
0
1
x
Рис.4.
Пример 2.
- Аналогично постройте график
.
- f(x) =
- Какой график строим первоначально?
- Каким образом получим искомый
график?
- Инверсией относительно оси ОУ,
т.к. точка с координатами
(x,y) должна перейти в точку с
координатами (
).
y
f(x) =
0
1
x
Рис.5.
- Определим двойные точки, т.е.
точки у которых х=1.
(1,0) → (1,0)
х→∞, то → 0
График построен.
Задания к уроку: Построить графики и проанализировать выполнение свойств (1-2).
y
1.)
1
Г
→Г
x
1
-1
Рис.6.
у
2.)
Г
→Г
1
1
х
Рис.7.
3.)
у
Гx -1→Г
1
2
-1
1
х
-1
Рис.8.
у
4.)
Г2+x →Г 2+( )
2
2
2
1
1
х
Рис.9.
Тренировочные упражнения:
1)
5)
2)
6)
3)
7)
4)
8)
Источники информации:
1. А.П. Карп «Даю уроки математики» (М., «Просвещение», 1992)
2. Н.Я. Виленкин «Алгебра 9» (учебное пособие для учащихся школ и
классов с углубленным изучением математики). (М., «Просвещение»,
1996)
3. http://ru.wikipedia.org/wiki/Инверсия
Урок разработан: Поташникова Елена Михайловна 209-399-099
Косовцева Наталья Ивановна 209-450-854