Преобразование графиков Параллельный перенос Рассмотрим графики функций f(x) и f(x+a): Как видно из рисунка, график функции f(x+a) получается из графика функции f(x) сдвигом графика вдоль оси Ох влево на а единиц. Рассмотрим графики функций f(x) и f(x - a): Как видно из рисунка, график функции f(x - a) получается из графика функции f(x) сдвигом графика вдоль оси Ох вправо на а единиц. При изменении х на а происходит параллельный перенос графика функции f(x) на а единиц вправо (при а<0) или влево (при а>0). Другими словами ось Оу переносится на а единиц влево или вправо (в зависимости от знака). Рассмотрим графики функций f(x) и f(x)+a: Как видно из рисунка, график функции f(x)+a получается из графика функции f(x) сдвигом графика вдоль оси Оу вверх на а единиц. Рассмотрим графики функций f(x) и f(x) - a: Как видно из рисунка, график функции f(x) - a получается из графика функции f(x) сдвигом графика вдоль оси Оу вниз на а единиц. При изменении f(х) на а происходит параллельный перенос графика функции f(x) на а единиц вниз (при а<0) или вверх (при а>0). Другими словами ось Ох переносится на а единиц вверх или вниз (в зависимости от знака). Рассмотрим графики функций f(x) и f(x+а)+b: Как видно из рисунка, график функции f(x+a)+b получается из графика функции f(x) сдвигом графика вдоль оси Ох вправо на а единиц и вдоль оси Оу на b единиц (в зависимости от знаков а и b). Пусть F(x)=f(x – a)+b. Тогда график функции F получается из графика функции f с помощью параллельного переноса, при котором начало координат О(0; 0) переходит в точку А(а; b). Изменение масштаба Рассмотрим графики функций f(x) и f(kx) (k>1): Рассмотрим графики функций f(x) и f(kx) (k<1): Рассмотрим графики функций f(x) и lf(x) (l>1): Рассмотрим графики функций f(x) и lf(x) (l<1): Пусть k0, l0 и F(x)=lf(kx). Тогда график функции F получается из графика функции f с помощью растяжения от оси абсцисс с коэффициентом l и последующего растяжения от оси ординат с коэффициентом k. Рассмотрим графики функций f(x) и - f(x): Если F(x)= - f(x), то график функции F получается из графика функции f с помощью симметрии относительно оси абсцисс. Рассмотрим графики функций f(x) и f( - x): Если F(x)=f( - x), то график функции F получается из графика функции f с помощью симметрии относительно оси ординат. Рассмотрим графики функций f(x) и - f( - x): Если F(x)= - f( - x), то график функции F получается из графика функции f с помощью симметрии относительно начала координат. Примеры решения задач Пример 1. На рисунке изображен график функции f : . Построить график функции F(x)=f(x+3)+2). Решение. График функции F получается из графика функции f путем переноса начала координат в точку А( - 3; 2): Пример 2. Построить график функции 𝑦 = −𝑥 2 − 2𝑥 − 3. Решение. Преобразуем заданную функцию: −𝑥 2 − 2𝑥 − 3 = −(𝑥 2 + 2𝑥) − 3 = −(𝑥 2 + 2𝑥 + 1 − 1) − 3 = −(𝑥 2 + 2𝑥 + 1) + 1 − 3 = −(𝑥 + 1)2 − 2. Для построения графика полученной функции используем следующие преобразования: строим график функции 𝑦 = 𝑥 2 ; график функции 𝑦 = (𝑥 + 1)2 получаем из графика функции 𝑦 = 𝑥 2 путем движения его на единицу влево по оси Ох; график функции 𝑦 = −(𝑥 + 1)2 получаем из предыдущего симметричным отображением относительно оси Ох; график заданной функции получаем из графика функции 𝑦 = −(𝑥 + 1)2 параллельным переносом на две единицы вниз по оси Оу. Пример 3. Построить график функции 𝑦 = √8 − 4𝑥. Решение. Вначале преобразуем формулу, задающую функцию: 𝑦 = 2√2 − 𝑥. Шаги построения: 1) 𝑦 = √𝑥 (на рисунке обозначен голубым цветом) 2) 𝑦 = √−𝑥 – отображение симметрично оси Оу в левую полуплоскость (красная линия); 3) 𝑦 = √−(𝑥 − 2) – смещение вдоль оси Ох вправо на две единицы (зеленая линия); 4) 𝑦 = 2√2 − 𝑥 – увеличение коэффициента роста в два раза (фиолетовая линия). Пример 4. Построить график функции 𝑦 = | Решение. D(f)=( - ∞; - 1)( - 1; +∞). 𝑥+2 𝑥+1 |. Преобразуем функцию 𝑦 = | (𝑥+1)+1 𝑥+1 | = |1 + 1 𝑥+1 |. 1 Данный график может быть получен из графика функции 𝑦 = 𝑥 следующими преобразованиями: 1) 𝑦 = 1 𝑥+1 – смещение вдоль оси Ох на единицу влево (красная линия); 1 2) 𝑦 = 1 + – смещение вдоль оси Оу вверх на единицу (зеленая 𝑥+1 линия); 1 3) 𝑦 = |1 + | – отображение части графика, которая расположена ниже 𝑥+1 оси Ох, в верхнюю полуплоскость (фиолетовая линия). Упражнения 1. На рисунке изображен график функции f: функции: . Постройте график 1) 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 1 2) 𝑦 = 2𝑓(𝑥) 3) 𝑦 = −𝑓(𝑥) 5) 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 2) 6) 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 1 7) 𝑦 = 9) 𝑦 = |𝑓(𝑥)| − 1 4) 𝑦 = 1 − 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) 8) 𝑦 = |𝑓(𝑥)| 2 10) 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 1) 2. На рисунке изображен график функции f: функции: . Постройте график 1) 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 2) 2) 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 1) 3) 𝑦 = 𝑓(−𝑥) 4) 𝑦 = −𝑓(−𝑥) 5) 𝑦 = 𝑓(|𝑥|) 6) 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 2) 7) 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 1) 8) 𝑦 = −𝑓(𝑥) 9) 𝑦 = |𝑓(𝑥)| 10) 𝑦 = 𝑓(1 − 𝑥) 3. Параллельный перенос переводит начало координат в точку А(4; - 3). Найдите образ точки М и прообраз точки N, если: 1) 𝑀(−1; 5), 𝑁(−3; 4) 2) 3) 4) 𝑀(2; −7), 𝑁(−3; 4) 5) 𝑀(2; −7), 𝑁(8; −6) 6) 7) 8) 𝑀(−1; 5), 𝑁(8; −6) 9) 10) 4. Параллельный перенос переводит точку А(2; - 5) в точку В( - 6; 1). Найдите образ точки М и прообраз точки N, если: 1) 𝑀(0; 6), 𝑁(−2; 3) 2) 3) 4) 𝑀(8; −1), 𝑁(−2; 3) 5) 𝑀(0; 6), 𝑁(5; −4) 6) 7) 8) 𝑀(8; −1), 𝑁(5; −4) 9) 10) 5. Постройте график функции: 1) 𝑦 = −𝑥 2 − 4𝑥 + 2 2) 3) 4) 𝑦 = (𝑥 − 2)2 − 2𝑥 5) 6) 8) 9) 1 7) 𝑦 = (𝑥 − 2)3 + 4 3 10) 6. Постройте график функции: 2) 3) 4) 𝑦 = 1 + √𝑥 2 5) 6) 7) 𝑦 = −3 − √−𝑥 8) 9) 1) 𝑦 = 2√𝑥 + 4 1 10) 𝑦 = 4 − √1 − 2𝑥 7. Постройте график функции: 1 1) 𝑦 = −| + 4| 𝑥 4) 𝑦 = | 7) 𝑦 = 2𝑥 2𝑥+2 |−1 𝑥 2 −4 |𝑥−2| 10) 𝑦 = |𝑥 2 − 4𝑥 + 3| − 2 2) 3) 1 5) 𝑦 = 2 − |𝑥 + 5| 6) 8) 𝑦 = −|1 − 𝑥| + 3 9) 𝑦 = 2 𝑥 2 −|𝑥|−2 𝑥−1