В. Дихтяр, Математика (для бакалавров)

В. Дихтяр, Математика (для бакалавров)-2015
Раздел 1. Математический анализ
Тема 1-3: Основы дифферинциального исчисления
Практическое занятие 1-3. Основы дифференциального исчисления. Исследование
функций
ЧАСТЬ А. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
1. Производная f'(x0) функции в точке х0 определяется соотношением (если данный
предел существует):
f ( x 0 )  lim
x 0
f ( x 0  x )  f ( x 0 )
f
 lim

x

0
x
x
Производные элементарных функций:
f(х)
sin x
cos x
f'(x)
cos x
-sinx
f(x)
x , x>0
logax, x>0, a>0
f'(x)
ax a-1
1/(x ln a)
ln x
1/x
ax, a>0
ax ln a
a
2. Правила дифференцирования:

( cf(x) )'=c f'(x); ( f(x)  g(x) )'=f’(x)  g'(x);

( f (x)g (x) )'=f'(x)g(x) + f(x)g'(x);

( f(x)/g(x) )'= [ f'(x)g(x) - f(x)g'(x) ] / g2 (x);

производная сложной функции: [ f(g(x)) ]'=[ f '(g(x) ] g'(x);

производная обратной функции: [ f-1(x) ]'=1 / [ f' (f - 1(x) ].
3. Геометрический смысл производной.
Угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) равен производной
функции в данной точке.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Вопросы для самопроверки и обсуждения
1. Найти производные следующих функций
a) f(x) = x sin x;
b) y = (2x+5)2 ;
c) y = 2sin x2;
1
В. Дихтяр, Математика (для бакалавров)-2015
d) y = 2(sin x)2;
e) y = 3x + 3x;
f) y =2x + √𝒙.
2. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к параболе y = x2:
a) в начале координат;
b) в точке (3, 9);
c) в точке (-2, 4).
2. Задания для самостоятельной работы
1. Найти:
a) y = (x10)' ;

b) y   15  ;
x 
c) y 
 x  ;
5
2
d) y = (sin3x)' ;
e) y = (cos4x)' .
2. В каких точках угловой коэффициент касательной к кубической параболе y= x3
равен 3?
3. Тренинговые задания
1. На параболе y = x2 взяты две точки с абсциссами x1 = 1 и x2 = 2. Через эти точки
проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней будет параллельна
проведенной секущей?
2. Найти производные следующих функций:
a) sin x  lnx;
b) sin2x  ln x;
c) (cos x) / (ex);
d) (sin5 3x) / (ln x).
2