1. Геометрический смысл производной. Касательная к кривой.

«Если продолжить одно
из маленьких звеньев
ломаной,
составляющей кривую
линию, то эта
продолженная таким
образом сторона будет
называться
касательной к кривой.»
Касательная к кривой.
- это угловой коэффициент касательной.
Р1
Р
Угловой коэффициент прямой.
Прямая проходит через начало
координат и точку Р(3; -1). Чему
равен ее угловой коэффициент?
 1  3k
1
k 
3
Найдите угловые коэффициенты
прямых:
2
1
1
4
2
3
3
4
При х  0 угловой коэффициен т секущей  к угловому
коэффициен ту касательной.
y
y  f (x)
y
 tg  k
x
Р1
k – угловой
коэффициент
прямой(секущей)
y
y
0
y  kx  b
Р

х0

х х0

х
х
Секущая стремится занять положение касательной.
То есть, касательная есть предельное положение
секущей.
y
y  f (x)
y

0
х0
х
0
х
х
Угловой коэффициент касательной можно найти как
предел выражения:
f ( x )  f ( x0 )
k ( x)  lim
x x
x  x0
0
y  f (x)
y
y
 tg  k
x
k – угловой
коэффициент
прямой(секущей)
y
y  kx  b
y
Обозначение:

0
х0
х
0 х
х
f (x)
Производной функции f ( x) в точке х0 называется
f ( x)
число, к которому стремится отношение
при х  0.
x
y
y  f (x)
f ( x)  tg  k
y  kx  b
y

0
х0
х
0
х
k – угловой
коэффициент
прямой(касательной)
х
Геометрический смысл производной
Производная от функции в данной точке равна
угловому коэффициенту касательной, проведенной к
графику функции в этой точке.
y
y  f (x)
В
y
 tg  k
x
k – угловой
коэффициент
прямой(секущей)
y
y  kx  b
А
1
0
х0

х
f ( x0 )  tg1
х
х 
Геометрический
смыслкоэффициен
производной.
Производная
от
При х 
угловой
тх0секущей
 к угловому
йy0функции
Производно
f
(
x
)
в
точке
называется
( x0 ) (производно
tg  k в данной
 f точке
й от fкоэффициенту
( x) в точке х0 .
функции
равна угловому
коэффициен
x ту касательной.
f ( xв) этой
касательной,
проведенной
к
графику
функции
число, к которому стремится отношение
при х  0.
при х  0
x
точке.
Исаак Ньютон
(1643 – 1727)
«Когда величина является максимальной
или минимальной, в этот момент она не
течет ни вперед, ни назад.»
Свободное падение
2
vср
t
vср  ?
t1
gt
s
2
S t   S t  g t

 
1
t1  t
t
2 t1  t
2
1
g
vср   t1  t 
2
2
2
Свободное падение
gt
s
2
2
t

vср t1 ? t
t1
 v2t g  t
ср
1
 t
2
g
 t1  t  t

gt
t
2
1
Используя слово «предел», можно
сказать, что мгновенная скорость
в точке t – это предел средней
скорости при стягивании отрезка,
на котором она изменяется, в
точку t или в символической записи
S (t1 )  S (t )
v(t )  lim
t t
t1  t
1
- это скорость
х
vср . 
t
Δх – перемещение тела
Δt – промежуток времени
в течение которого выполнялось
движение
При t  0 vcр.  к мгновенной скорости v(t ),
следовательно, v(t )  S (t ).
S (t )  v(t )
или х(t )  v(t )
f ( х)  v( x)
.