ЗАДАНИЯ ПО ВСЕЙ ТЕМЕ «РЯДЫ» РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ. Задание 1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму 2n 1 n n 1 2 n 1 2 Задание 2. Исследовать на сходимость указанные ряды: n! а) n n 1 n с) 2 n n 1n n 1 n n 3n d) 2 tan n 1 2 2 n n 1 e) в) 2 4 n 1 1 sin n n 1 ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ Задание 3. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды: а) n 1 1n1 n 7n 2 1 в) 1 n n 1 n n . СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯД МАКЛОРЕНА. Задание 4. Найти радиус сходимости степенного ряда: x 2 а) 1 x2 xn ... n ... 4 2 x 3 в) 3x 34 x 4 39 x 9 ... 3n x n ... 2 x 9 с) sin x 2 sin 4 sin ... 2 n sin d) x 2 x ... 3n 2! 2 3! 3 n! x 3 x ... n x n ... 2 2 3 n Задание 5. Разложить в ряд Маклорена функцию: а) f ( x) cos 5 x Задание 6. Вычислить 1 e в) f ( x) x2 1 x приближенно с точностью 0,0001 Задание 7. Вычислить 3 10 приближенно с точностью 0,001 Задание 8. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить определенные интегралы с точностью 10 3 : 3 а) arctan x dx 2 3 в) 2 x 0 6 sin x dx РЯДЫ ФУРЬЕ. Задание 9. Разложить в ряд Фурье периодическую T 2 функцию x, x 0 f ( x) 0 x 0, Задание 10. Разложить в ряд Фурье периодическую T 2l 2 функцию 1, 1 x 0 1 f ( x) , x0 2 x, 0 x 1 Задание 11. Разложить в ряд Фурье периодическую T 2l 4 функцию 0,5x 2 1, 2 x 0 f ( x) 0 x2 2, ОТВЕТЫ 1. Ряд сходится и его сумма S=1. 2. а) Ряд сходится (признак Даламбера) в) ряд сходится (признак Коши) с) ряд сходится (интегральный признак) d) ряд расходится. (предельный признак сравнения. Сравнить с гармоническим рядом) е) ряд расходится (необходимый признак сходимости не выполняется) 3. а) ряд сходится абсолютно в) ряд расходится. (Указание: 1 1 . 2 1 1 2 n n n 1 n 1 n 1 n n n n Рассмотреть сходимость двух рядов.) 4. а) R=2 в) R=1/3 n 1 5 2 n x 2 n 5. a) cos 5 x , 2n ! n 0 6. e 7. 3 1 2 e 1 c) R=∞ x 1 1 1 1 1 0,6065 2 8 48 384 3840 10 2,154 8. a) 0,385 b) 1,572 d) R=e x2 n b) 1 x n 2 , 1 x n 0 x 1 a0 9. 2 f ( x) a0 10. 3 ; 2 f ( x) a0 5 ; 2 4 2 an ; 2 2n 1 cos2n 1x 2n 1 n 1 an 3 2 4 2 2 2 2n 1 2 n 1 2 2n 12 cos2n 1 x n 1 2 2 sin nx n n 1 bn ; ; 11. 2 1 n cos2n 1x 2n 1 an 5 2 f ( x) 2 4 bn ; 2 1 1 n sin nx n n 1 bn 1 2 1 n n 1 1 2 1 2 1 2 n 1 n 2n 1 n 1 sin nx 2