Лекции о неподвижных точках - Лаборатория математической

Íåãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå
Ðîññèéñêàÿ ýêîíîìè÷åñêàÿ øêîëà
Â.È. Äàíèëîâ
Ëåêöèè î íåïîäâèæíûõ òî÷êàõ
Ìîñêâà
2006
Äàíèëîâ Â.È., Ëåêöèè î íåïîäâèæíûõ òî÷êàõ.
øêîëà, Ìîñêâà, 2006 ã. 32 ñ.
Ðîññèéñêàÿ ýêîíîìè÷åñêàÿ
Ýòè ÷åòûðå ëåêöèè, ïîñâÿùåííûå íåïîäâèæíûì òî÷êàì, âõîäèëè â êóðñ ìàòåìà
òèêè äëÿ ñòóäåíòîâ Ðîññèéñêîé Ýêîíîìè÷åñêîé Øêîëû.  ïåðâîé îáñóæäàåòñÿ ïðèí
öèï ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé è åãî ïðèìåíåíèÿ. Âòîðàÿ ïîñâÿùåíà ôîðìóëèðîâêå
è ðàçëè÷íûì ìîäèôèêàöèÿì òåîðåìû Áðàóýðà.  òðåòüåé ïðèâîäÿòñÿ ïðèìåíåíèÿ
òåîðåìû Áðàóýðà ê ðàâíîâåñèÿì â èãðàõ è ýêîíîìèêàõ, ê ÿäðàì êîîïåðàòèâíûõ èãð.
 ïîñëåäíåé îáñóæäàþòñÿ ðàçëè÷íûå ïîäõîäû ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû Áðàóýðà.
c Ðîññèéñêàÿ ýêîíîìè÷åñêàÿ øêîëà, 2006
c Äàíèëîâ Â.È., 2006
Îãëàâëåíèå
1
Íåïîäâèæíûå òî÷êè è ñæèìàþùèå îòîáðàæåíèÿ
2
Òåîðåìà Áðàóýðà: ôîðìóëèðîâêà è îáñóæäåíèå
11
3
Òåîðåìà Áðàóýðà: ïðèìåíåíèÿ
17
4
Òåîðåìà Áðàóýðà: äîêàçàòåëüñòâà è àëãîðèòìû
25
2
3
Ëåêöèÿ 1
Íåïîäâèæíûå òî÷êè è ñæèìàþùèå
îòîáðàæåíèÿ
Ïîíÿòèå íåïîäâèæíîé òî÷êè
Íåñîìíåííî, ýòî îäíî èç ñàìûõ ïðîñòûõ è ôóíäàìåíòàëüíûõ ïîíÿòèé: îíî òðåáóåò ëèøü
ïðåäñòàâëåíèÿ î ìíîæåñòâå è îòîáðàæåíèè. Ïóñòü äàíî îòîáðàæåíèå f : X → X ìíîæåñòâà
X â ñåáÿ. Íåïîäâèæíîé òî÷êîé f íàçûâàåòñÿ ëþáîé ýëåìåíò x ∈ X , äëÿ êîòîðîãî f (x) = x.
Èíà÷å ãîâîðÿ, íåïîäâèæíàÿ òî÷êà îñòàåòñÿ íà ìåñòå ïðè îòîáðàæåíèè f . ×óòü äîïóñêàÿ
âîëüíîñòü, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî íåïîäâèæíûå òî÷êè f ýòî òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêà f
ñ äèàãîíàëüþ â X × X .
Ïîíÿòèå íåïîäâèæíîé òî÷êè âñòðå÷àåòñÿ âî ìíîãèõ, ÷óòü ëè íå âî âñåõ çàäà÷àõ. Íà
ïðèìåð, ëþáîå óðàâíåíèå F (x) = 0 ìîæíî ñâåñòè ê íåïîäâèæíîé òî÷êå, ïåðåïèñàâ åãî â
âèäå
F (x) + x = x.
Âîò ìåíåå òàâòîëîãè÷åñêèé ïðèìåð. Ïóñòü èìååòñÿ äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå
dy/dt = ϕ(y, t),
ãäå ϕ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, è y(·) åãî ðåøåíèå, ïðîõîäÿùåå ÷åðåç òî÷êó (t0 , y0 ) (ýòî
çíà÷èò ïðîñòî, ÷òî y(t0 ) = y0 ). Òîãäà äëÿ ëþáîãî t èç ñîîòâåòñòâóþùåãî èíòåðâàëà âûïîë
íÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå
Z
t
y(t) = y0 +
ϕ(y(s), s)ds.
t0
Èíà÷å ãîâîðÿ, ôóíêöèÿ
y ÿâëÿåòñÿ íåïîäâèæíîé òî÷êîé îòîáðàæåíèÿ A, çàäàííîãî ôîð
Rt
ìóëîé (Ay)(t) = y0 + t0 ϕ(y(s), s)ds.
ß òóò çàìÿë îäíó âåùü òî ïðîñòðàíñòâî èëè ìíîæåñòâî, íà êîòîðîì çàäàí îïåðàòîð A.
Ýòî íå ñëó÷àéíî. Îáû÷íî èëè ÿñíî, ÷òî ýòî çà ìíîæåñòâî, èëè, íàïðîòèâ, åñòü ìíîãî ðàçíûõ
âîçìîæíîñòåé, êîòîðûìè ìîæíî óäà÷íî ðàñïîðÿäèòüñÿ.  íàøåì ñëó÷àå åñòåñòâåííåå âñåãî
âçÿòü â êà÷åñòâå ìíîæåñòâà ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé (íà ñîîòâåòñòâóþùåì èí
òåðâàëå); òîãäà íàäî åùå óáåäèòüñÿ, ÷òî îïåðàòîð A ïðåîáðàçóåò íåïðåðûâíûå ôóíêöèè â
íåïðåðûâíûå.
×àñòî â ïðèëîæåíèÿõ íåïîäâèæíûå òî÷êè âîçíèêàþò òàì, ãäå èìååòñÿ äèíàìèêà âèäà
xt+1 = A(xt ). Íàïðèìåð, ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî öåíû ïîäíèìàþòñÿ, åñëè ñïðîñ ïðåâûøàåò ïðåä
ëîæåíèå, è ïîäíèìàþòñÿ òåì ñèëüíåå, ÷åì áîëüøå ýòîò ýêñöåññ ñïðîñà. Íàèáîëåå ïðîñòîé
ñïîñîá ôîðìàëèçîâàòü ýòî çàìå÷àíèå (íî íå íàèáîëåå ïðàâèëüíûé, èáî íèêòî íå çíàåò, êàê
3
4
ËÅÊÖÈß 1.
ÍÅÏÎÄÂÈÆÍÛÅ ÒÎ×ÊÈ È ÑÆÈÌÀÞÙÈÅ ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈß
ýòî ñäåëàòü) ñ÷èòàòü çàâèñèìîñòü ëèíåéíîé. Òàê ìû ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ âèäà
pt+1 = pt + DE(pt ),
ãäå E(pt ) ýòî ýêñöåññ, èëè èçáûòîê ñïðîñà (ò. å. ðàçíîñòü ìåæäó ñïðîñîì è ïðåäëîæåíè
åì), à D äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñ íåîòðèöàòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè.  ýòîì ñëó÷àå
íåïîäâèæíàÿ òî÷êà äàåò ñòàöèîíàðíûå, íåèçìåííûå ïî âðåìåíè öåíû. Íà ñàìîì äåëå, íè
êàêîé òî÷íîé äèíàìèêè öåí íåèçâåñòíî, ïîýòîìó òðóäíî ñêàçàòü, ÷òî ïðîèñõîäèò ñ öåíàìè
â îáùåì ñëó÷àå, è èìååò ñìûñë ãîâîðèòü òîëüêî î íåïîäâèæíûõ òî÷êàõ îòîáðàæåíèÿ (èëè
î íóëÿõ E ). Òàêèå öåíû íàçûâàþòñÿ ðàâíîâåñíûìè.
Âîïðîñû ïðî íåïîäâèæíûå òî÷êè
 ñâÿçè ñ ââåäåííûì âûøå ïîíÿòèåì îáû÷íî îáñóæäàþòñÿ ñëåäóþùèå âîïðîñû:
1. Ñóùåñòâóþò ëè íåïîäâèæíûå òî÷êè?
2. Ñêîëüêî èõ? Îäíà, êîíå÷íîå ÷èñëî?
3. Óñòîé÷èâîñòü â êàêîì-íèáóäü ñìûñëå. Âåðíî ëè, íàïðèìåð, ÷òî äëÿ ëþáîé òî÷êè x
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn = f n (x) ñõîäèòñÿ ê íåïîäâèæíîé òî÷êå x∗ ?  ýòîì ñëó÷àå ãî
âîðÿò î ãëîáàëüíîé ñõîäèìîñòè. Âåðíî ëè ýòî äëÿ òî÷åê x, äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ê x?
Áîëåå ïîäðîáíî òàêèå âîïðîñû îáñóæäàþòñÿ â êóðñå î äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíè
ÿõ.
4. Êàê ìîæíî íàéòè (âû÷èñëèòü) íåïîäâèæíûå òî÷êè, òî÷íî èëè ïðèáëèæåííî?
Áëèçêèå ïîíÿòèÿ
1.  äàííîì îïðåäåëåíèè î÷åíü âàæíî, ÷òî f îòîáðàæàåò ìíîæåñòâî X â ñåáÿ. Îäíàêî
åñëè èìåþòñÿ äâà îòîáðàæåíèÿ f è g ìíîæåñòâà X â äðóãîå ìíîæåñòâî Y , ìîæíî
ãîâîðèòü î òî÷êàõ ñîâïàäåíèÿ f è g , ò. å. òàêèõ òî÷êàõ x∗ ∈ X , ÷òî f (x∗ ) = g(x∗ ).
2. Èíîãäà íàðÿäó ñ íåïîäâèæíûìè òî÷êàìè f , à îñîáåííî êîãäà èõ íåò, ïîëåçíî ðàñ
ñìîòðåòü öèêëè÷åñêèå òî÷êè, ò. å. íåïîäâèæíûå òî÷êè èòåðèðîâàííîãî îòîáðàæåíèÿ
f n , ãäå n íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Ýòî öèêëè÷åñêèå òî÷êè n-ãî ïîðÿäêà. ×à
ñòî è òàêèõ òî÷åê íåò, è òîãäà ïðèõîäèòñÿ ïîëüçîâàòüñÿ ÷åì-òî âðîäå ¾ïðåäåëüíûõ¿
öèêëîâ. Áîëåå òî÷íî, ìîæíî ãîâîðèòü îá èíâàðèàíòíûõ ìíîæåñòâàõ, ò. å. î òàêèõ
ïîäìíîæåñòâàõ Y ⊂ X , äëÿ êîòîðûõ f (Y ) = Y . Ïðè ýòîì èíòåðåñíû èíâàðèàíòíûå
ïîäìíîæåñòâà, ìèíèìàëüíûå â òîì èëè èíîì ñìûñëå.
3. ×àñòî ïðèõîäèòñÿ èìåòü äåëî ñ íåïîäâèæíûìè òî÷êàìè ñîîòâåòñòâèé, èëè ìíîãîçíà÷
íûõ îòîáðàæåíèé. ×òî òàêîå ñîîòâåòñòâèå? Íàïîìíèì, ÷òî îòîáðàæåíèå ìåæäó ìíî
æåñòâàìè X è Y ýòî ïîäìíîæåñòâî F = ãðàôèê(f ) â X × Y , îáëàäàþùåå ñâîéñòâîì
ôóíêöèîíàëüíîñòè: äëÿ ëþáîãî x ∈ X ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî y ∈ Y , òàêîå ÷òî
(x, y) ∈ F . Åñëè îòáðîñèòü ýòî òðåáîâàíèå ôóíêöèîíàëüíîñòè, ìû ïîëó÷èì îáùåå
ïîíÿòèå ñîîòâåòñòâèÿ. Èòàê: ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ìíîæåñòâàìè X è Y ýòî ïðîèç
âîëüíîå ïîäìíîæåñòâî F â äåêàðòîâîì ïðîèçâåäåíèè X × Y .
Îáû÷íî ñîîòâåòñòâèå ïîíèìàþò êàê ¾ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå¿ èç X â Y . Îáðàçîì
òî÷êè x ∈ X ïðè ñîîòâåòñòâèè F íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî
F (x) = {y ∈ Y, (x, y) ∈ F }.
5
Îíî ìîæåò ñîñòîÿòü èç íåñêîëüêèõ òî÷åê, à ìîæåò áûòü ïóñòûì. Ïðèäåðæèâàÿñü
òàêîé òî÷êè çðåíèÿ, ìû áóäåì èçîáðàæàòü ñîîòâåòñòâèå êàê F : X ⇒ Y (äâîéíàÿ
ñòðåëêà óêàçûâàåò íà ¾ìíîãîçíà÷íîñòü¿). Íà ñîîòâåòñòâèÿ ïåðåíîñÿòñÿ ìíîãèå ïîíÿ
òèÿ, èçâåñòíûå äëÿ îòîáðàæåíèé; ìû ê ýòîìó åùå âåðíåìñÿ â ñëåäóþùåé ëåêöèè. Â
÷àñòíîñòè, íåïîäâèæíîé òî÷êîé ñîîòâåòñòâèÿ F : X ⇒ X íàçûâàåòñÿ ëþáàÿ òî÷êà
x∗ ∈ X , òàêàÿ ÷òî x∗ ∈ F (x∗ ).
4. Èíôèíèòåçèìàëüíûì àíàëîãîì îòîáðàæåíèÿ ñëóæèò âåêòîðíîå ïîëå. Ïóñòü v âåê
òîðíîå ïîëå íà X , ò. å. äëÿ êàæäîé òî÷êè x ∈ X óêàçàí íåêîòîðûé âåêòîð v(x) èç
êàñàòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâà TX (x). Êîíå÷íî, ýòî ïðåäïîëàãàåò, ÷òî X ãëàäêîå ìíîãî
îáðàçèå. Âåêòîðíîå ïîëå íóæíî ïîíèìàòü êàê áåñêîíå÷íî ìàëûé ñäâèã íà ìíîãîîáðà
çèè X . Ïðè òàêîì âçãëÿäå íåïîäâèæíîé òî÷êîé ïîëÿ v íóæíî ñ÷èòàòü òî÷êó x∗ ∈ X ,
äëÿ êîòîðîé v(x∗ ) = 0. Ïðè àíàëèçå íåïîäâèæíûõ òî÷åê âåêòîðíûõ ïîëåé áîëüøóþ
ðîëü èãðàåò ïîíÿòèå èíäåêñà âåêòîðíîãî ïîëÿ.
Ïðèíöèï ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé
Ãëàâíûé âîïðîñ, êîòîðûì ìû áóäåò çàíèìàòüñÿ â ýòèõ ëåêöèÿõ ýòî âîïðîñ î ñóùåñòâîâà
íèè íåïîäâèæíûõ òî÷åê. Ñóùåñòâîâàíèå (è äðóãèå ñâîéñòâà) íåïîäâèæíûõ òî÷åê îòîáðà
æåíèÿ f : X → X çàâèñÿò êàê îò ñâîéñòâ îòîáðàæåíèÿ f , òàê è îò ñâîéñòâ ïðîñòðàíñòâà X .
Íàïðèìåð, ïðàêòè÷åñêè âñåãäà îòîáðàæåíèå f ïðåäïîëàãàåòñÿ íåïðåðûâíûì. Ìû ðàññìîò
ðèì íåñêîëüêî ðåàëèçàöèé ýòîãî îáùåãî çàìå÷àíèÿ. Íà÷íåì ñ ïðîñòåéøåãî ñëó÷àÿ, êîãäà
òðåáîâàíèÿ ê X ìèíèìàëüíû, íî çàòî ìíîãîå òðåáóåòñÿ îò f .
Ïóñòü X ïðîñòðàíñòâî ñ ìåòðèêîé ρ. Íàïîìíþ, ÷òî ìåòðèêîé íà ìíîæåñòâå X íà
çûâàåòñÿ ôóíêöèÿ ρ : X × X → R+ (ρ(x, y) èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê ¾ðàññòîÿíèå¿ ìåæäó
òî÷êàìè x, y ∈ X ), êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò òðåì àêñèîìàì:
1) ñèììåòðè÷íîñòè: ρ(x, y) = ρ(y, x);
2) ρ(x, y) = 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x = y ;
3) íåðàâåíñòâó òðåóãîëüíèêà: ρ(x, z) ≥ ρ(x, y) + ρ(y, z) äëÿ ëþáûõ x, y è z .
Îòîáðàæåíèå f ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà â ñåáÿ íàçûâàåòñÿ ñæèìàþùèì, åñëè ñóùå
ñòâóåò òàêàÿ êîíñòàíòà K < 1, ÷òî äëÿ ëþáûõ äâóõ òî÷åê x è y âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
ρ(f (x), f (y)) ≤ Kρ(x, y).
Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè ñæèìàþùåì îòîáðàæåíèè ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êàìè ñòðîãî óìåíüøà
þòñÿ, íî ýòîãî ìàëî! Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî êîíñòàíòà K ìåíüøå åäèíèöû è îáñëóæèâàåò
ñðàçó âñå ïàðû òî÷åê. Áîëåå ïðàâèëüíî ñæèìàþùåå îòîáðàæåíèå íàçûâàòü ñòðîãî ñæèìà
þùèì. Ñæèìàþùèå îòîáðàæåíèÿ îáëàäàþò ðÿäîì ñâîéñòâ, ïîëåçíûõ äëÿ íåïîäâèæíûõ
òî÷åê.
Óòâåðæäåíèå. Ïóñòü îòîáðàæåíèå f ñæèìàþùåå. Òîãäà ñóùåñòâóåò íå áîëåå îäíîé
íåïîäâèæíîé òî÷êè.
Äîêàçàòåëüñòâî.  ñàìîì äåëå, åñëè x è y íåïîäâèæíûå òî÷êè f , òî
0 ≤ ρ(x, y) = ρ(f (x), f (y)) ≤ Kρ(x, y),
÷òî ïðè K < 1 ìîæåò áûòü òîëüêî ïðè ρ(x, y) = 0. Íî òîãäà x = y .
6
ËÅÊÖÈß 1.
ÍÅÏÎÄÂÈÆÍÛÅ ÒÎ×ÊÈ È ÑÆÈÌÀÞÙÈÅ ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈß
Äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ íåïîäâèæíûõ òî÷åê íóæíî íàëîæèòü íà ïðîñòðàíñòâî X óñëîâèå
ïîëíîòû. Íàïîìíèì, ÷òî ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ïîëíîå, åñëè ëþáàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
Êîøè èìååò ïðåäåë â X . Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî X íå èìååò ¾ìèêðîäûð¿ èëè ïðîêîëîâ.
Òåîðåìà 1. Ïóñòü f ñæèìàþùåå îòîáðàæåíèå ïîëíîãî ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà
X â ñåáÿ. Òîãäà äëÿ ëþáîé òî÷êè x ∈ X ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
x, f (x), f 2 (x) = f (f (x)), f 3 (x), . . .
ñõîäèòñÿ ê íåïîäâèæíîé òî÷êå.  ÷àñòíîñòè, f èìååò (åäèíñòâåííóþ) íåïîäâèæíóþ
òî÷êó.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü d = ρ(x, f (x)). Òîãäà
ρ(f n x, f n+1 x) ≤ K n d,
è âîîáùå,
K nd
.
1−K
Çíà÷èò íàøà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ Êîøè è ïîýòîìó èìååò
ïðåäåë, êîòîðûé ìû îáîçíà÷èì x∗ . Ìû óòâåðæäàåì, ÷òî òî÷êà x∗ íåïîäâèæíà. Äëÿ ýòîãî
ïîêàæåì, ÷òî f (x∗ ) òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn = f n (x). Â ñàìîì äåëå,
ρ(f k x, f k+l x) ≤ (K n + K n+1 + · · · + K n+l−1 )d ≤
ρ(f (x∗ ), xn+1 ) = ρ(f (x∗ ), f (xn )) < ρ(x∗ , xn ) → 0 ïðè n → ∞.
 ñèëó åäèíñòâåííîñòè ïðåäåëà f (x∗ ) = x∗ .
Òî÷êè x, f (x), f 2 (x), . . . íàçûâàþòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè ïðèáëèæåíèÿìè ê íåïîäâèæ
íîé òî÷êå. Ìû âèäèì, ÷òî â ñëó÷àå ñæèìàþùåãî îòîáðàæåíèÿ ìîæíî íà÷èíàòü ñ ëþáîãî
ýëåìåíòà x, è ïîñëåäîâàòåëüíûå ïðèáëèæåíèÿ ñõîäÿòñÿ ê íåïîäâèæíîé òî÷êå. Ëåãêî îöå
íèòü è òî÷íîñòü ïðèáëèæåíèÿ:
Kkd
ρ(f k x, x∗ ) ≤
.
1−K
Ýòî ïîçâîëÿåò îöåíèòü ÷èñëî øàãîâ, íóæíîå äëÿ íàõîæäåíèÿ x∗ ñ çàäàííîé òî÷íîñòüþ.
Ïðèìåíåíèå ê äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì
Ïðèíöèï ñæàòûõ îòîáðàæåíèé èìååò ìíîãî÷èñëåííûå ïðèìåíåíèÿ ê äîêàçàòåëüñòâàì ñóùå
ñòâîâàíèÿ ðåøåíèé îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ
ïðîèçâîäíûõ, ñóùåñòâîâàíèÿ íåÿâíûõ ôóíêöèé, ìåòîäàì ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâ
íåíèé. Ïðîäåìîíñòðèðóåì åãî íà ïðèìåðå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ïóñòü èìååòñÿ
äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå
dx
= ϕ(x, t),
dt
x(t0 ) = x0 .
(1.1)
Çäåñü x(t) ÷èñëîâàÿ (èëè âåêòîðíàÿ) ôóíêöèÿ îò t, ãäå t ìåíÿåòñÿ â íåêîòîðîì èíòåðâàëå
[a, b] âîêðóã t0 . Ôóíêöèÿ ϕ ïðåäïîëàãàåòñÿ íåïðåðûâíîé.
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèÿ ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâî C íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íà îòðåçêå
[a, b] ñ ðàâíîìåðíîé ìåòðèêîé. Ïîñëåäíåå çíà÷èò, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ ôóíêöèÿìè x
è y (îáå èç [a, b] â R (èëè Rn )) ðàâíî max |x(t)−y(t)|, ãäå t ∈ [a, b]. Èç êóðñà ôóíêöèîíàëüíîãî
àíàëèçà âû çíàåòå, ÷òî ïðîñòðàíñòâî C ñ ýòîé ìåòðèêîé ïîëíîå. Ñâÿæåì ñ ôóíêöèåé ϕ
(íåëèíåéíûé) îïåðàòîð A : C → C , çàäàííûé ôîðìóëîé
Z t
(Ax)(t) = x0 +
ϕ(x(s), t)ds.
t0
7
Îí íàçûâàåòñÿ îïåðàòîðîì Ïèêàðà.
Ìû óæå âèäåëè ðàíüøå, ÷òî íåïîäâèæíàÿ òî÷êà îïåðàòîðà A äàåò ðåøåíèå äèôôåðåí
öèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (1.1). Åñòåñòâåííî èñêàòü íåïîäâèæíóþ òî÷êó êàê ïðåäåë ïîñëåäîâà
òåëüíûõ ïðèáëèæåíèé z, Az, A2 z, . . . , âûáðàâ â êà÷åñòâå íóëåâîãî ïðèáëèæåíèÿ ïîñòîÿí
íóþ ôóíêöèþ z ≡ x0 (ìîæíî, âïðî÷åì, íà÷èíàòü è ñ òîæäåñòâåííîãî íóëÿ).
Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå dx/dt = x, x(0) = 1. Íà÷èíàÿ ñ ôóíêöèè x ≡ 1, áóäåì
ñòðîèòü ïîñëåäîâàòåëüíûå ïðèáëèæåíèÿ:
R
Ax = 1 + Rdt = 1 + t,
A2 x = 1 + (1 + s)ds = 1 + t + t2 /2,
...
tn
t2
An x = 1 + t + + · · · + .
2
n!
 ïðåäåëå ïîëó÷àåì ôóíêöèþ
x∗ = 1 + t +
t2
tn
+ ··· +
+ · · · = et .
2
n!
Îñòàåòñÿ âûÿñíèòü, êîãäà îïåðàòîð Ïèêàðà ñæèìàþùèé. Äëÿ ýòîãî íà ïðàâóþ ÷àñòü
ϕ(·, ·) íóæíî íàëîæèòü òàê íàçûâàåìîå óñëîâèå Ëèïøèöà, áîëåå ñèëüíîå, ÷åì ïðîñòî íåïðå
ðûâíîñòü.
Îïðåäåëåíèå. Îòîáðàæåíèå f : X → Y äâóõ ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ óäîâëåòâîðÿåò
óñëîâèþ Ëèïøèöà ñ ïîñòîÿííîé L, åñëè
ρX (f x, f z) ≤ LρY (x, z)
äëÿ ëþáûõ x, z ∈ X .
Íàïðèìåð, ñæèìàþùåå îòîáðàæåíèå ëèïøèöåâî ñ êîíñòàíòîé, ìåíüøåé 1.
Òàê âîò, ïîòðåáóåì, ÷òîáû ôóíêöèÿ ϕ(·, ·) áûëà ëèïøèöåâîé ïî ïåðâîé ïåðåìåííîé, ò. å.
|ϕ(v, t) − ϕ(w, t)| ≤ L|v − w|
äëÿ ëþáûõ v, w ∈ R (èëè Rn ) è ëþáîãî t ∈ [a, b].  ýòîì ñëó÷àå, åñëè èíòåðâàë [a, b] äîñòà
òî÷íî ìàë, îïåðàòîð Ïèêàðà áóäåò ñæèìàþùèì.  ñàìîì äåëå, âîçüìåì äâå ôóíêöèè x è y
èç ïðîñòðàíñòâà C . Òîãäà
ρ(Ax, Ay) = max |Ax(t) − Ay(t)| =
a≤t≤b
Z
Z
= max [ϕ(x(s), s)) − ϕ(y(s), s))]ds ≤ max
L|x(s) − y(s)|ds.
a≤t≤b
a≤t≤b
Òàê êàê |x(s)−y(s)| ïî îïðåäåëåíèþ íå áîëüøå, ÷åì ρ(x, y), ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ìîæíî
îöåíèòü ñâåðõó ÷èñëîì
Z
L max
a≤t≤b
ρ(x, y)ds ≤ Lρ(x, y)|b − a|.
Òàêèì îáðàçîì ìû äîêàçàëè ñëåäóþùóþ ëåììó:
Ëåììà. Åñëè ôóíêöèÿ ϕ(·, ·) ëèïøèöåâà ïî ïåðâîìó àðãóìåíòó ñ ïîñòîÿííîé L, òî îòîá
ðàæåíèå Ïèêàðà A òîæå ëèïøèöåâî ñ ïîêàçàòåëåì L|b−a|.  ÷àñòíîñòè, åñëè L|b−a| < 1,
òî îïåðàòîð A ñæèìàþùèé.
8
ËÅÊÖÈß 1.
ÍÅÏÎÄÂÈÆÍÛÅ ÒÎ×ÊÈ È ÑÆÈÌÀÞÙÈÅ ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈß
Ñëåäñòâèå. Åñëè ôóíêöèÿ ϕ(·, ·) ëèïøèöåâà ïî ïåðâîìó àðãóìåíòó, òî ñóùåñòâóåò è
åäèíñòâåííî ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (1.1).
Çàìå÷àíèå. Åñëè óñëîâèå Ëèïøèöà íàðóøàåòñÿ, òî ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ
√
ìîæåò íå áûòü åäèíñòâåííûì. Òàê ó äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ dx/dt = 2 x ÷åðåç
òî÷êó (0, 0) ïðîõîäÿò ðåøåíèÿ x ≡ 0 è x = t2 .
Àíàëîãè÷íûì ñïîñîáîì ìîæíî óñòàíîâèòü íåïðåðûâíóþ çàâèñèìîñòü ðåøåíèÿ äèôôå
ðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ îò íà÷àëüíûõ äàííûõ è îò ïðàâîé ÷àñòè (ñì. óïð. 1.7).
Óïðàæíåíèÿ
1.1. Ïóñòü X êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ñ n ýëåìåíòàìè. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âçÿòîå
íàóãàä îòîáðàæåíèå X â ñåáÿ èìååò íåïîäâèæíóþ òî÷êó. Ê ÷åìó ñòðåìèòñÿ ýòà âåðîÿòíîñòü
ïðè áîëüøîì n?
1.2. Ïóñòü f : R → R äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ. Ïðè êàêîì óñëîâèè íà ïðîèçâîäíóþ
îíî áóäåò ñæèìàþùèì?
1.3. Áóäóò ëè ñæèìàþùèìè ôóíêöèè sin x, arctg x, x2 ,
p
ïðÿìîé 1 ≤ x?
|x| íà ïðÿìîé R, x + 1/x íà ïîëó
1.4. Ïóñòü A ëèíåéíûé îïåðàòîð èç Rn â ñåáÿ ñ ìàòðèöåé aij .
à) Ïóñòü ìåòðèêà â Rn çàäàåòñÿ ôîðìóëîé
ρ(x, y) = max |xi − yi |
i
(ò. å. ýòî l1 -ìåòðèêà). Ïîêàæèòå, ÷òî åñëè
max |aij | < 1,
i,j
òî îòîáðàæåíèå A ñæèìàþùåå.
á) Ïóñòü ìåòðèêà â Rn çàäàåòñÿ ôîðìóëîé
ρ(x, y) =
X
(xi − yi )2
1/2
i
(ò. å. ýòî l2 -ìåòðèêà). Ïîêàæèòå, ÷òî åñëè
X
a2ij ≤ 1,
i,j
òî îòîáðàæåíèå A ñæèìàþùåå.
â)* Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñå ñîáñòâåííûå ÷èñëà îïåðàòîðà A ïî ìîäóëþ ñòðîãî ìåíüøå
1. Ïîêàçàòü, ÷òî â Rn ñóùåñòâóåò òàêàÿ ìåòðèêà (è äàæå åâêëèäîâà), ÷òî îòîáðàæåíèå A
ñæèìàþùåå.
1.5. Óäîâëåòâîðÿþò
p ëè óñëîâèþ Ëèïøèöà ñëåäóþùèå ôóíêöèè íà R (ìåòðèêà âñþäó åâêëè
äîâà): 1) x2 ; 2)
|x|; 3) sin x?
1.6. Äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ f ëèïøèöåâà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åå ïðîèçâîäíàÿ
îãðàíè÷åíà. ×òî âçÿòü â êà÷åñòâå ïîñòîÿííîé L?
9
1.7. Ñêàæåì, ÷òî äâà îïåðàòîðà f è g íà ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå (X, ρ) ÿâëÿþòñÿ ε-áëèç-
êèìè, åñëè ρ(f (x), g(x)) ≤ ε äëÿ ëþáîãî x ∈ X . Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè f è g ñæèìàþùèå
îòîáðàæåíèÿ (ñ ïîêàçàòåëåì K ), òî èõ íåïîäâèæíûå òî÷êè íàõîäÿòñÿ äðóã îò äðóãà íà
ðàññòîÿíèè íå áîëüøåì ε/(1 − K).
1.8. Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè íåêîòîðàÿ ñòåïåíü f n îòîáðàæåíèÿ f ñæèìàþùàÿ, òî f èìååò ðîâíî
îäíó íåïîäâèæíóþ òî÷êó.
1.9.* Îòîáðàæåíèå f ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà X â ñåáÿ ñëàáî ñæèìàþùåå, åñëè äëÿ ëþ
áûõ ðàçëè÷íûõ òî÷åê x, y ∈ X âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî ρ(f (x), f (y)) < ρ(x, y). Ïîêàçàòü, ÷òî
ëþáîå ñëàáî ñæèìàþùåå îòîáðàæåíèå êîìïàêòà â ñåáÿ èìååò åäèíñòâåííóþ íåïîäâèæíóþ
òî÷êó.
1.10. Ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè x ôóíêöèÿ Ax (ãäå A îïåðàòîð Ïèêàðà)
òîæå íåïðåðûâíà.
Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1, 3, 9].
10
ËÅÊÖÈß 1.
ÍÅÏÎÄÂÈÆÍÛÅ ÒÎ×ÊÈ È ÑÆÈÌÀÞÙÈÅ ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈß
Ëåêöèÿ 2
Òåîðåìà Áðàóýðà: ôîðìóëèðîâêà è
îáñóæäåíèå
Ïðîäîëæèì èññëåäîâàíèå çàäà÷è ñóùåñòâîâàíèÿ íåïîäâèæíûõ òî÷åê îòîáðàæåíèÿ f : X →
X . Ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðåäûäóùåé ëåêöèåé ìû îñëàáèì òðåáîâàíèÿ ê îòîáðàæåíèþ f çà ñ÷åò
óñèëåíèÿ òðåáîâàíèé íà ïðîñòðàíñòâî X . Åñëè ðàíüøå X áûëî ïî÷òè ïðîèçâîëüíîé ïðèðî
äû, òî òåïåðü ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî X âûïóêëûé êîìïàêò.
Òåîðåìà Áðàóýðà
Ïóñòü V âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî (íàä ïîëåì âåùåñòâåííûõ ÷èñåë R). Íàïîìíèì, ÷òî
ïîäìíîæåñòâî X ⊂ V íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì, åñëè äëÿ ëþáûõ òî÷åê x, y ∈ X è ÷èñëà α,
0 ≤ α ≤ 1, òî÷êà αx + (1 − α)y òàêæå ïðèíàäëåæèò X . Èíà÷å ãîâîðÿ, ñ ëþáûìè äâóìÿ
òî÷êàìè X ñîäåðæèò è ñîåäèíÿþùèé èõ îòðåçîê. Ñâîéñòâî âûïóêëîñòè âëå÷åò, ÷òî X íå
èìååò ¾äûðîê¿, à ýòî äàåò íàäåæäó íà ñóùåñòâîâàíèå íåïîäâèæíûõ òî÷åê äëÿ øèðîêîãî
êëàññà îòîáðàæåíèé.
Áîëåå òî÷íî, ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü íåïðåðûâíûå îòîáðàæåíèÿ. Ýòî ïðåäïîëàãàåò,
÷òî X ñíàáæåíî òîïîëîãèåé. ×òîáû íå óñëîæíÿòü èçëîæåíèå, ìû áóäåì ñ÷èòàòü âñþäó, ÷òî
ïðîñòðàíñòâî V êîíå÷íîìåðíîå (èçîìîðôíî Rn ) è ñíàáæåíî îáû÷íîé åâêëèäîâîé ìåòðèêîé,
è ÷òî X êîìïàêòíîå (ò. å. çàìêíóòîå è îãðàíè÷åííîå) ïîäìíîæåñòâî V . Äëÿ êðàòêîñòè
ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî X âûïóêëûé êîìïàêò.
Çíàìåíèòàÿ òåîðåìà Áðàóýðà óòâåðæäàåò, ÷òî ëþáîå íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå âûïóê
ëîãî êîìïàêòà â ñåáÿ èìååò íåïîäâèæíóþ òî÷êó.
Òåîðåìà (Áðàóýð, 1910). Ïóñòü X âûïóêëîå êîìïàêòíîå ïîäìíîæåñòâî êîíå÷íîìåð
íîãî ïðîñòðàíñòâà, à îòîáðàæåíèå f : X → X íåïðåðûâíî. Òîãäà ñóùåñòâóåò íåïîäâèæ
íàÿ òî÷êà f .
Ýòà òåîðåìà áóäåò ôîêóñîì âñåãî äàëüíåéøåãî.  ýòîé ëåêöèè ìû îáñóäèì åå ÷àñòíûå
ñëó÷àè è ðàçëè÷íûå ïåðåôîðìóëèðîâêè, âàðèàíòû è îáîáùåíèÿ.  ñëåäóþùåé ïîãîâîðèì
î ïðèìåíåíèÿõ ýòèõ ðåçóëüòàòîâ ê ýêîíîìè÷åñêèì çàäà÷àì. È íàêîíåö â ëåêöèè 4 ðàññêàæåì
î åå äîêàçàòåëüñòâå(àõ) è àëãîðèòìå ïðèáëèæåííîãî íàõîæäåíèÿ íåïîäâèæíûõ òî÷åê.
Ïîïðîáóåì ëó÷øå ïîíÿòü ñìûñë òåîðåìû. Ïóñòü X îäíîìåðíî (ò. å. ïîïðîñòó çàìêíó
òûé îòðåçîê [a, b]), è ïóñòü f íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå ýòîãî îòðåçêà â ñåáÿ. Åñëè ìû
ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x) − x, òî îíà ìåíÿåò çíàê íà [a, b]. À èç àíàëèçà õîðîøî èçâåñòíî,
÷òî ãäå-òî âíóòðè îíà îáðàùàåòñÿ â íóëü, ÷òî ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî f (x) = x.
11
12
ËÅÊÖÈß 2.
ÒÅÎÐÅÌÀ ÁÐÀÓÝÐÀ: ÔÎÐÌÓËÈÐÎÂÊÀ È ÎÁÑÓÆÄÅÍÈÅ
Òåîðåìà Áðàóýðà ïðåäñòàâëÿåò ìíîãîìåðíîå îáîáùåíèå ýòîãî ïî÷òè î÷åâèäíîãî óòâåð
æäåíèÿ. Îäíàêî óæå â äâóìåðíîì ñëó÷àå óòâåðæäåíèå Áðàóýðà âûãëÿäèò ñîâñåì íåî÷åâèä
íûì è äàæå ìàëîïðàâäîïîäîáíûì. Ïî÷åìó ýòî ëþáîå íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå, ñêàæåì,
êðóãà â ñåáÿ äîëæíî èìåòü íåïîäâèæíóþ òî÷êó? Ìîæåò áûòü, óòâåðæäåíèå ñòàíåò èíòóè
òèâíî áîëåå ïðàâäîïîäîáíûì ïîñëå ñëåäóþùåé ïîëåçíîé ãåîìåòðè÷åñêîé êîíñòðóêöèè. Äî
ïóñòèì (âîïðåêè óòâåðæäåíèþ), ÷òî îòîáðàæåíèå f : D → D íå èìååò íåïîäâèæíûõ òî÷åê
(çäåñü D äèñê (øàð) ëþáîé ðàçìåðíîñòè). Òîãäà âûïóñòèì èç òî÷êè f (x) ëó÷ â òî÷êó x,
è ïðîäîëæèì åãî äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ ãðàíèöåé D, ò. å. ñî ñôåðîé ∂D = S . Ïîëó÷åííóþ òî÷êó
ïåðåñå÷åíèÿ îáîçíà÷èì g(x).
Òàê ìû ïîëó÷àåì îòîáðàæåíèå g : D → ∂D äèñêà D íà åãî ãðàíèöó. Êàê ëåãêî ïîíÿòü,
îòîáðàæåíèå g áóäåò íåïðåðûâíûì è îñòàâëÿòü òî÷êè ãðàíèöû íà ìåñòå. Òàêèå îòîáðàæåíèÿ
íàçûâàþòñÿ ðåòðàêöèÿìè. Áîëåå òî÷íî, ïóñòü X ìíîæåñòâî, è Y ⊂ X åãî ïîäìíîæå
ñòâî; îòîáðàæåíèå g : X → Y íàçûâàåòñÿ ðåòðàêöèåé íà Y , åñëè f (y) = y äëÿ ëþáîé òî÷êè
y ∈Y.
Èíòóèòèâíî äîñòàòî÷íî ÿñíî, ÷òî íåëüçÿ íåïðåðûâíî ïåðåòÿíóòü äèñê íà åãî ãðàíèöó.
×òîáû ñäåëàòü óòâåðæäåíèå Áðàóýðà åùå áîëåå ïðàâäîïîäîáíûì, ìû îáñóäèì åãî åùå â
îäíîì ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà îòîáðàæåíèå f íå òîëüêî íåïðåðûâíî, íî è àôôèííî. Îòîá
ðàæåíèå f îäíîãî âûïóêëîãî ìíîæåñòâà â äðóãîå àôôèííî, åñëè äëÿ ëþáûõ òî÷åê x, y è
÷èñëà α, 0 ≤ α ≤ 1,
f (αx + (1 − α)y) = αf (x) + (1 − α)f (y).
Èäåÿ äîêàçàòåëüñòâà â àôôèííîì ñëó÷àå ïðîñòà. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó x0 è
îáðàçóåì ïîñëåäîâàòåëüíûå ïðèáëèæåíèÿ xn = f n x0 . Îäíàêî â îòëè÷èè îò ñæèìàþùåãî
îòîáðàæåíèÿ, ñåé÷àñ íåò íèêàêèõ îñíîâàíèé ñ÷èòàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn ñõîäèòñÿ.
Íàïðèìåð, f ìîæåò áûòü ïîâîðîòîì äâóìåðíîãî äèñêà, è åñëè x0 áûëà íà ãðàíèöå, îíà òàê
è áóäåò êðóòèòüñÿ ïî ãðàíè÷íîé îêðóæíîñòè. Îäíàêî åñëè áðàòü öåíòðû òÿæåñòè òî÷åê
x0 , x1 , . . . , xn , ò. å. òî÷êè
zn = (x0 + x1 + · · · + xn−1 )/n,
òî èìåþòñÿ âñå îñíîâàíèÿ ðàññ÷èòûâàòü, ÷òî îíè áóäóò âñå áîëåå è áîëåå ¾íåïîäâèæíûìè¿.
 ñàìîì äåëå,
f (zn ) − zn = (f (x0 ) + f (x1 ) + · · · + f (xn−1 ) − x0 − x1 − · · · − xn−1 )/n =
= (x1 + x2 + · · · + xn − x0 − x1 − · · · − xn−1 )/n = (xn − x0 )/n,
à ïîñëåäíåå ñòàíîâèòñÿ âñå ìåíüøå è ìåíüøå ñ ðîñòîì n.
Òåîðåìà Êàêóòàíè
Òåîðåìà Áðàóýðà èìååò ìàññó ýêâèâàëåíòíûõ ïåðåôîðìóëèðîâîê, ïîëåçíûõ â òåõ èëè èíûõ
ñèòóàöèÿõ. Íåêîòîðûå ïåðåôîðìóëèðîâêè ïðèâåäåíû â óïðàæíåíèÿõ. Çäåñü æå ìû áîëåå
ïîäðîáíî îñòàíîâèìñÿ íà âàæíîì äëÿ ýêîíîìè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé îáîáùåíèè òåîðåìû Áðàó
ýðà, ïðèíàäëåæàùåì Êàêóòàíè. Îáîáùåíèå ñîñòîèò â òîì, ÷òî âìåñòî îäíîçíà÷íûõ íåïðå
ðûâíûõ îòîáðàæåíèé äîïóñêàþòñÿ è ìíîãîçíà÷íûå. Äåëî â òîì, ÷òî ìíîãèå åñòåñòâåííûå
îáúåêòû â ìàòýêîíîìèêå ïîÿâëÿþòñÿ êàê ðåøåíèÿ çàäà÷è ìàêñèìèçàöèè ôóíêöèé (èëè ïðåä
ïî÷òåíèé), à ðåøåíèå òàêèõ çàäà÷ â îáùåì ñëó÷àå ìíîãîçíà÷íîå.
Ìû óæå ãîâîðèëè â ëåêöèè 1, ÷òî ñîîòâåòñòâèåì (èëè ìíîãîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì)
èç X â Y íàçûâàåòñÿ ïîäìíîæåñòâî F â äåêàðòîâîì ïðîèçâåäåíèè X × Y . Èíîãäà F íàçû
âàþò òàêæå ãðàôèêîì ñîîòâåòñòâèÿ. Îáðàçîì òî÷êè x ∈ X ïðè ñîîòâåòñòâèè F ñ÷èòàåòñÿ
ìíîæåñòâî F (x) = {y ∈ Y, (x, y) ∈ F }. Íåïîäâèæíîé òî÷êîé ñîîòâåòñòâèÿ F : X ⇒ X
íàçûâàåòñÿ òàêîé ýëåìåíò x∗ ∈ X , ÷òî x∗ ∈ F (x∗ ).
13
Íà ñîîòâåòñòâèÿ â òåîðåìå Êàêóòàíè íàêëàäûâàþòñÿ äâà óñëîâèÿ. Ïåðâîå: âñå åãî îá
ðàçû F (x) äîëæíû áûòü íåïóñòûìè âûïóêëûìè ïîäìíîæåñòâàìè X . Â íåêîòîðîì ñìûñëå
âûïóêëûå ìíîæåñòâà ïîõîæè íà òî÷êó: â íèõ òîæå íåò ¾äûð¿. Âòîðîå óñëîâèå èìååò òîïî
ëîãè÷åñêèé õàðàêòåð è ïðèçâàíî çàìåíèòü íåïðåðûâíîñòü. Ñêàæåì î íåì ïîäðîáíåå.
Èìååòñÿ ìíîãî ñïîñîáîâ ïåðåíåñòè ïîíÿòèå íåïðåðûâíîñòè îòîáðàæåíèÿ íà ñîîòâåò
ñòâèÿ. Ýòî ïîíÿòèå íåïðåðûâíîñòè, ïîëóíåïðåðûâíîñòè ñíèçó è ñâåðõó, à òàêæå ïîíÿòèå
çàìêíóòîãî ñîîòâåòñòâèÿ. Ïîñëåäíåå äëÿ íàñ îñîáåííî âàæíî.
Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü X è Y òîïîëîãè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà. Ñîîòâåòñòâèå F èç X â Y
íàçûâàåòñÿ çàìêíóòûì, åñëè F çàìêíóòî êàê ïîäìíîæåñòâî â ïðîèçâåäåíèè ïðîñòðàíñòâ
X ×Y.
Èíà÷å ãîâîðÿ, åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê (xn , yn ) èç F ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîé òî÷êå
(x, y) ∈ X × Y , òî ïðåäåëüíàÿ òî÷êà (x, y) òàêæå ïðèíàäëåæèò F .
Ïîíÿòèå çàìêíóòîãî ñîîòâåòñòâèÿ î÷åíü áëèçêî ê ïîíÿòèþ ïîëóíåïðåðûâíîãî ñâåðõó
ñîîòâåòñòâèÿ, õîòÿ è íå ñîâïàäàåò ñ íèì. Ïðèâåäåì îïðåäåëåíèå ïîñëåäíåãî â ñëó÷àå, êîãäà
ïðîñòðàíñòâà X è Y ìåòðè÷åñêèå. Íàïîìíèì, ÷òî ε-îêðåñòíîñòüþ ïîäìíîæåñòâà A ⊂ Y
íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî
Uε (A) = {y ∈ Y, ρ(y, A) < ε}
òî÷åê, óäàëåííûõ îò A ìåíåå ÷åì íà ε. Òàê âîò, ñîîòâåòñòâèå F ìåæäó X è Y íàçûâàåòñÿ
ïîëóíåïðåðûâíûì ñâåðõó â òî÷êå x ∈ X , åñëè ∀ ε > 0 ∃ δ > 0, òàêèå ÷òî F (x0 ) ⊂ Uε (F (x)),
êàê òîëüêî ρ(x, x0 ) < ρ.
Èíòóèòèâíî ýòî òàêèå ñîîòâåòñòâèÿ, ÷òî îáðàçû ìîãóò òîëüêî óâåëè÷èâàòüñÿ.
Òåîðåìà (Êàêóòàíè, 1941). Ïóñòü X âûïóêëûé êîìïàêò, à F çàìêíóòîå ñîîò
âåòñòâèå X â ñåáÿ ñ íåïóñòûìè âûïóêëûìè îáðàçàìè. Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êà
x∗ ∈ X , ÷òî x∗ ∈ F (x∗ ).
Êñòàòè, èç òåîðåìû Êàêóòàíè ëåãêî ïîëó÷èòü è òàêîå îáîáùåíèå òåîðåìû Áðàóýðà íà
ñëó÷àé ïðîèçâîëüíûõ (ðàçðûâíûõ) îòîáðàæåíèé f âûïóêëîãî êîìïàêòà â ñåáÿ. À èìåííî,
ñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êà x∗ , ÷òî f (x∗ ) îòñòîèò îò x∗ íà ðàññòîÿíèå, íå ïðåâûøàþùåå ¾âåëè
÷èíó ðàçðûâíîñòè¿ f â òî÷êå x∗ .
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Êàêóòàíè ñîñòîèò â ñâåäåíèè åå ê òåîðåìå Áðàó
ýðà. Èäåÿ ñâåäåíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òîáû àïïðîêñèìèðîâàòü (ïðèáëèæàòü) ñîîòâåòñòâèå
F íåïðåðûâíûìè îäíîçíà÷íûìè îòîáðàæåíèÿìè. Îäíàêî ðåàëèçàöèÿ ýòîé èäåè òðåáóåò
íåêîòîðîé âîçíè.
Äëÿ êàæäîãî ÷èñëà ε > 0 ìû ïîñòðîèì íåêîòîðîå âñïîìîãàòåëüíîå îäíîçíà÷íîå îòîá
ðàæåíèå f ε : X → X . ×òîáû îïðåäåëèòü f ε , ìû âðåìåííî çàôèêñèðóåì ε, è îáîçíà÷èì
÷åðåç U (x) ε-îêðåñòíîñòü ïðîèçâîëüíîé òî÷êè x ∈ X . Ìíîæåñòâà U (x), x ∈ X , îáðàçóþò
îòêðûòîå ïîêðûòèå X , è â ñèëó êîìïàêòíîñòè ïîñëåäíåãî ñóùåñòâóåò êîíå÷íîå ÷èñëî òî
÷åê x1 , . . . , xm ∈ X , òàêèõ ÷òî øàðû Ui = U (xi ) ïîêðûâàþò X . Äëÿ êàæäîãî i îò 1 äî m
ðàññìîòðèì ôóíêöèþ ui : X → R, çàäàííóþ ôîðìóëîé
ui (x) = max(0, ε − r(x, xi )).
Î÷åâèäíî, ÷òî ui íåïðåðûâíà, ðàâíà íóëþ âíå øàðà Ui è îòëè÷íà îò íóëÿ âíóòðè Ui .
Âûáåðåì ïî òî÷êå yi ∈ F (xi ), i = 1, . . . , m. Íàêîíåö, îáðàçóåì îòîáðàæåíèå f ε : X → X ïî
ôîðìóëå
P
ui (x)yi
ε
f (x) = Pi
.
i ui (x)
14
ËÅÊÖÈß 2.
ÒÅÎÐÅÌÀ ÁÐÀÓÝÐÀ: ÔÎÐÌÓËÈÐÎÂÊÀ È ÎÁÑÓÆÄÅÍÈÅ
P
Çäåñü âàæíî îòìåòèòü, ÷òî çíàìåíàòåëü i ui (x) > 0 ïðè ëþáîì x, òàê êàê êàæäàÿ òî÷êà
x ïîïàäàåò â íåêîòîðûé øàð Ui .
ε
Ñìûñë ýòîé ôîðìóëû
êîìáèíàöèÿ òî÷åê yi èç F (xi )
Pâ òîì, ÷òî òî÷êà f (x) åñòü âûïóêëàÿ
âåñàìè αi (x) = ui (x)/( j uj (x)). Íà ñàìîì äåëå, òî÷êà f ε (x) åñòü âûïóêëàÿ êîìáèíàöèÿ
òàêèõ òî÷åê yi , äëÿ êîòîðûõ ρ(x, xi ) < ε, òàê êàê äëÿ äðóãèõ òî÷åê âåñîâûå êîýôôèöèåíòû
αi (x) îáðàùàþòñÿ â íóëü.
Ôóíêöèÿ f ε íåïðåðûâíà è ïî òåîðåìà Áðàóýðà èìååò íåïîäâèæíóþ òî÷êó xε = f ε (xε ). È
ýòî ïðè êàæäîì ε. Â ñèëó êîìïàêòíîñòè X ìîæíî íàéòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ε → 0, òàêóþ
÷òî òî÷êè xε ñõîäÿòñÿ ê íåêîòîðîé òî÷êå x∗ ∈ X . Ìû óòâåðæäàåì, ÷òî òî÷êà x∗ áóäåò
íåïîäâèæíîé äëÿ F , ò. å. x∗ ∈ F (x∗ ).
Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ò. å. ÷òî x∗ íå ïðèíàäëåæèò F (x∗ ). Â ñèëó çàìêíóòîñòè F (x∗ )
ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðàññòîÿíèå îò x∗ äî F (x∗ ) áîëüøå íóëÿ. Ïîëîæèì δ = ρ(x∗ , F (x∗ ))/2 è
ðàññìîòðèì δ -ðàñøèðåíèå ìíîæåñòâà F (x∗ ), ò. å. ìíîæåñòâî F (x∗ )δ = {y ∈ X, ρ(y, F (x∗ )) <
δ}.  ñèëó ïîëóíåïðåðûâíîñòè F ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî ε > 0 (êîòîðîå ìîæíî ñ÷èòàòü
íå ïðåâûøàþùèì δ ), ÷òî F (x0 ) ⊂ F (x∗ )δ äëÿ ëþáîé òî÷êè x0 , óäàëåííîé îò x∗ ìåíåå ÷åì
íà ε. Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê ïîñòðîåííîé ðàíåå òî÷êå xε/2 , íåïîäâèæíîé òî÷êå îòîáðàæåíèÿ
f ε/2 , êîòîðàÿ óäàëåíà îò x∗ ìåíåå ÷åì íà ε/2. Ìû óæå ãîâîðèëè, ÷òî xε/2 åñòü âûïóêëàÿ
êîìáèíàöèÿ òî÷åê yi ∈ F (xi ), ïðè÷åì òî÷êè xi óäàëåíû îò xε/2 ìåíåå ÷åì íà ε/2.  ñèëó
íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà òî÷êè xi óäàëåíû îò x∗ ìåíåå ÷åì íà ε, ïîýòîìó ñîîòâåòñòâóþùèå
òî÷êè yi ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó F (x∗ )δ . Êàê ëåãêî ïîíÿòü, ëþáàÿ âûïóêëàÿ êîìáèíàöèÿ
òî÷åê yi òàêæå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó F (x∗ )δ (èáî ìíîæåñòâî F (x∗ )δ âûïóêëî, êàê è
F (x∗ )); ïîýòîìó xε/2 ∈ F (x∗ )δ . Çíà÷èò
ρ(x∗ , F (x∗ )) ≤ ρ(x∗ , xε/2 ) + (xε/2 , F (x∗ )) < ε/2 + δ ≤ 2δ = ρ(x∗ , F (x∗ )),
÷òî ÿâëÿåòñÿ ïðîòèâîðå÷èåì.
Òåîðåìà Òàðñêîãî
Ïðèâåäåì åùå îäèí ðåçóëüòàò î íåïîäâèæíûõ òî÷êàõ, êîòîðûé íà ïåðâûé âçãëÿä îòíîñèò
ñÿ ê ñîâåðøåííî äðóãîé ñèòóàöèè, ÷åì ìû ðàññìàòðèâàëè âûøå.  íåì ðå÷ü ïîéäåò íå î
íåïðåðûâíûõ îòîáðàæåíèÿõ òîïîëîãè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ, à î ìîíîòîííûõ îòîáðàæåíèÿõ
óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ. Ñíà÷àëà íåñêîëüêî îïðåäåëåíèé.
Îïðåäåëåíèå. Óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî ýòî ìíîæåñòâî X , ñíàáæåííîå îòíîøåíèåì
(÷àñòè÷íîãî) ïîðÿäêà ≥.
Èíà÷å ãîâîðÿ, äëÿ íåêîòîðûõ (íå îáÿçàòåëüíî âñåõ) ïàð ýëåìåíòîâ (x, y) âûïîëíÿåòñÿ
ñîîòíîøåíèå x ≥ y . Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îòíîøåíèå ≥ ðåôëåêñèâíî (ò. å. x ≥ x
∀x), òðàíçèòèâíî (ò. å. èç x ≥ y è y ≥ z ñëåäóåò, ÷òî x ≥ z ), è àíòèñèììåòðè÷íî (ò. å. èç
x ≥ y è y ≥ x ñëåäóåò x = y ).
Ïðèìåðû óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ: ìíîæåñòâî Z öåëûõ ÷èñåë, ìíîæåñòâî R âåùåñòâåí
íûõ ÷èñåë ñ îáû÷íûìè ïîðÿäêàìè; ìíîæåñòâî ïîäìíîæåñòâ íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà ñ îòíî
øåíèåì âêëþ÷åíèÿ ⊂.
Îòîáðàæåíèå f : X → Y óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà X â óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî Y
ìîíîòîííî (âîçðàñòàþùåå), åñëè èç x ≥ x0 ñëåäóåò, ÷òî f (x) ≥ f (x0 ).
Ïóñòü A ïîäìíîæåñòâî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà X . Òî÷êà x ∈ X íàçûâàåòñÿ òî÷
íîé âåðõíåé ãðàíüþ A è îáîçíà÷àåòñÿ sup(A), åñëè âûïîëíåíû äâà óñëîâèÿ:
1) x ≥ a ∀ a ∈ A, è
2) åñëè y ≥ a ∀ a ∈ A, òî y ≥ x.
15
Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü inf .
Îïðåäåëåíèå. Óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî (X, ≥) íàçûâàåòñÿ ïîëíîé ðåøåòêîé, åñëè äëÿ
ëþáîãî ïîäìíîæåñòâà A ⊂ X ñóùåñòâóåò êàê sup(A), òàê è inf(A).
Íàïðèìåð, ëþáîé îòðåçîê [a, b] â R ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé ðåøåòêîé, èëè ìíîæåñòâî 2Z âñåõ
ïîäìíîæåñòâ ïðîèçâîëüíîãî ìíîæåñòâà Z. Ìíîæåñòâî R âñåõ ÷èñåë ïîëíîé ðåøåòêîé íå
ÿâëÿåòñÿ.
Òåîðåìà (Òàðñêèé). Ïóñòü f : X → X ìîíîòîííîå îòîáðàæåíèå ïîëíîé ðåøåòêè X â
ñåáÿ. Òîãäà îíî èìååò íåïîäâèæíóþ òî÷êó.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñíîâà èäåÿ ïðîñòà: âîñïîëüçîâàòüñÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè ïðèáëèæåíèÿ
ìè, íà÷èíàÿ ñ ìèíèìàëüíîãî ýëåìåíòà 0 = inf(X). Òàê êàê î÷åâèäíî, ÷òî x0 = 0 ≤ f (0) = x1 ,
òî â ñèëó ìîíîòîííîñòè x2 = f (x1 ) ≥ f (x0 ) = x1 , è ò. ä. Ïîëó÷àåòñÿ âîçðàñòàþùàÿ ïîñëåäî
âàòåëüíîñòü òî÷åê
x0 ≤ x1 ≤ · · · ≤ xn ≤ . . .
Ïîëîæèì x∞ = sup(xi , i = 1, . . . , n, . . . ). Ñíîâà èç ìîíîòîííîñòè f (x∞ ) ≥ x∞ .
Ê ñîæàëåíèþ, òóò ìîæåò áûòü ñòðîãîå íåðàâåíñòâî, è ïðîöåññ íóæíî ïðîäîëæèòü, íà÷è
íàÿ ñ x∞ . ×òîáû íå ïðèâëåêàòü òðàíñôèíèòíóþ èíäóêöèþ, íóæíî ïî-äðóãîìó ðåàëèçîâàòü
ýòó èäåþ.
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî A òàêèõ ýëåìåíòîâ x ∈ X , ÷òî x ≤ f (x). Äîâîëüíî ÿñíî, ÷òî
åñëè x ∈ A, òî f (x) ∈ A. Ïóñòü a = sup(A). Òàê êàê a ≥ x ∀x ∈ A, òî ïî ìîíîòîííîñòè
f (a) ≥ f (x) ≥ x, ïîýòîìó f (a) ÿâëÿåòñÿ âåðõíåé ãðàíüþ äëÿ A, è çíà÷èò f (a) ≥ a ïî
îïðåäåëåíèþ òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè. Çíà÷èò a òîæå ïðèíàäëåæèò A, êàê è f (a). Íî òîãäà
a ≥ f (a), è â ñèëó àíòèñèììåòðè÷íîñòè a = f (a).
Êàê óæå ãîâîðèëîñü, íà ïåðâûé âçãëÿä òåîðåìà Òàðñêîãî èìååò ìàëî îáùåãî ñ òåîðå
ìîé Áðàóýðà. Íî ýòî òîëüêî íà ïåðâûé âçãëÿä. Èìååòñÿ áîëåå îáùåå ïîíÿòèå âûïóêëîãî
ïðîñòðàíñòâà, âêëþ÷àþùåå â ñåáÿ êàê ÷àñòíûå ñëó÷àè âûïóêëûå ïîäìíîæåñòâà è ðåøåòêè.
Ïðè òàêîì âçãëÿäå ìîíîòîííîñòü ïðåâðàùàåòñÿ â íåïðåðûâíîñòü, à òðåáîâàíèå ïîëíîòû ðå
øåòêè ñòàíîâèòñÿ àíàëîãîì êîìïàêòíîñòè. Òàê ÷òî îáå ýòè çíàìåíèòûå òåîðåìû ñòàíîâÿòñÿ
÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè áîëåå îáùåãî óòâåðæäåíèÿ.
Óïðàæíåíèÿ
2.1. Ïîêàæèòå ñóùåñòâåííîñòü âñåõ óñëîâèé òåîðåìû Áðàóýðà: âûïóêëîñòü, çàìêíóòîñòü è
îãðàíè÷åííîñòü X , íåïðåðûâíîñòü f .
2.2. Ïîêàçàòü, ÷òî òåîðåìà Áðàóýðà ýêâèâàëåíòíà ñëåäóþùåé òåîðåìå î íåðåòðàãèðóåìîñòè:
íå ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíîé ðåòðàêöèè n-ìåðíîãî äèñêà D íà åãî ãðàíèöó ∂D = S .
2.3. Ïîêàæèòå, ÷òî òåîðåìà Áðàóýðà ýêâèâàëåíòíà ñëåäóþùåé òåîðåìå î ñþðúåêòèâíîñòè:
åñëè f : D → D íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå äèñêà â ñåáÿ, îñòàâëÿþùåå íà ìåñòå ãðàíèöó ∂D,
òî f ñþðúåêòèâíî (ò. å. îòîáðàæåíèå ¾íà¿).
2.4. Ïóñòü D n-ìåðíûé øàð â Rn , è ïóñòü f íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå D â Rn , êî
òîðîå îòîáðàæàåò ãðàíè÷íóþ ñôåðó ∂D â D. Ïîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå íåïîäâèæíîé òî÷êè.
(Óêàçàíèå: èñïîëüçîâàòü ðåòðàêöèþ Rn íà D.)
2.5. Çàâåðøèòå íàìå÷åííîå âûøå äîêàçàòåëüñòâî î íåïîäâèæíîé òî÷êå â ñëó÷àå àôôèííîãî
îòîáðàæåíèÿ âûïóêëîãî êîìïàêòà â ñåáÿ
16
ËÅÊÖÈß 2.
ÒÅÎÐÅÌÀ ÁÐÀÓÝÐÀ: ÔÎÐÌÓËÈÐÎÂÊÀ È ÎÁÑÓÆÄÅÍÈÅ
2.6. Ïðèâåñòè ïðèìåðû çàìêíóòûõ, íî íå ïîëóíåïðåðûâíûõ ñâåðõó ñîîòâåòñòâèé, à òàêæå
ïîëóíåïðåðûâíûõ ñâåðõó, íî íå çàìêíóòûõ ñîîòâåòñòâèé.
2.7. Ïîêàæèòå, ÷òî åñëè Y êîìïàêò, òî ëþáîå çàìêíóòîå ñîîòâåòñòâèå èç X â Y ïîëóíå
ïðåðûâíî ñâåðõó.
2.8. Îáðàòíî, åñëè âñå çíà÷åíèÿ ïîëóíåïðåðûâíîãî ñâåðõó ñîîòâåòñòâèÿ F çàìêíóòû, òî F
ïîëóíåïðåðûâíî ñâåðõó.
2.9. Ïóñòü u : X × T → R íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ. Ðàññìîòðèì ñîîòâåòñòâèå F : T ⇒ X ,
êîòîðîå òî÷êå t ∈ T ñîïîñòàâëÿåò ìíîæåñòâî ìàêñèìóìîâ ôóíêöèè u(·, t) íà X , ò. å.
F (t) = {x ∈ X, u(x, t) ≥ u(x0 , t) ∀ x0 ∈ X}.
Ïîêàçàòü, ÷òî ñîîòâåòñòâèå F çàìêíóòî.
2.10. Äîêàæèòå ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: ïóñòü X âûïóêëûé êîìïàêò, à F : X ⇒ X çàìêíóòîå ñîîòâåòñòâèå ñ íåïóñòûìè îáðàçàìè. Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êà x∗ , êîòîðàÿ
ïðèíàäëåæèò conv(F (x∗ )) âûïóêëîé îáîëî÷êå F (x∗ ).
2.11. Ïóñòü f îòîáðàæåíèå îòðåçêà â ñåáÿ, îáëàäàþùåå ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì, îñëàáëÿ
þùèì êàê íåïðåðûâíîñòü, òàê è ìîíîòîííîñòü: äëÿ ëþáîé òî÷êè x îòðåçêà
lim f (x) ≤ f (x) ≤ lim f (x).
x→x−
x→x+
Ïîêàæèòå, ÷òî f îáëàäàåò íåïîäâèæíîé òî÷êîé.
2.12. Ïîêàæèòå ñóùåñòâåííîñòü óñëîâèé òåîðåìû Êàêóòàíè.
Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [6, 8, 11].
Ëåêöèÿ 3
Òåîðåìà Áðàóýðà: ïðèìåíåíèÿ
Çäåñü ìû ðàññìîòðèì ÷åòûðå ïðèìåíåíèÿ òåîðåìû Áðàóýðà (èëè åå âàðèàíòîâ): ê ñóùåñòâî
âàíèþ ìàêñèìàëüíûõ ýëåìåíòîâ, ê ðàâíîâåñèþ Íýøà â èãðàõ, ê ýêîíîìè÷åñêîìó ðàâíîâå
ñèþ, è ê ÿäðó.
Ìàêñèìàëüíûå ýëåìåíòû
Ïóñòü < íåêîòîðîå áèíàðíîå îòíîøåíèå íà ìíîæåñòâå X , ò. å. ïîäìíîæåñòâî â X × X .
Ñîîòíîøåíèå x < y èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê óòâåðæäåíèå, ÷òî y ¾ëó÷øå¿, èëè ¾ïðåäïî÷òè
òåëüíåå¿ x. Ïî ýòîé ïðè÷èíå < îáîçíà÷àåòñÿ òàêæå êàê P . Îáû÷íî îòíîøåíèå < îáëàäàåò
ðÿäîì äîïîëíèòåëüíûõ ñâîéñòâ, òàêèõ êàê òðàíçèòèâíîñòü, èððåôëåêñèâíîñòü, îòêðûòîñòü
è ò. ï. Ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü äàëåå, ÷òî < èððåôëåêñèâíî: ëþáîé ýëåìåíò x íå ëó÷øå
ñàìîãî ñåáÿ, ò. å. íåâåðíî, ÷òî x < x.
Âîò ñàìûé ïðîñòîé ïðèìåð âîçíèêíîâåíèÿ òàêîãî îòíîøåíèÿ ïðåäïî÷òåíèÿ <. Ïðåäïî
ëîæèì, ÷òî íà ìíîæåñòâå X çàäàíà ôóíêöèÿ ¾ïîëåçíîñòè¿ u : X → R. Òîãäà îïðåäåëèì
îòíîøåíèå <u , ïîëàãàÿ x <u y ⇔ u(x) < u(y).
Òàêîå îòíîøåíèå <u îáëàäàåò ñâîéñòâîì òðàíçèòèâíîñòè è åùå ðÿäîì ñâîéñòâ. Êëàññè
÷åñêîé ÿâëÿåòñÿ îáðàòíàÿ çàäà÷à ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ íà < îíî ïðîèñõîäèò èç íåêîòîðîé
ôóíêöèè u, êîãäà u ìîæíî ñ÷èòàòü íåïðåðûâíîé è ò. ï.
Âîçìîæåí è áîëåå ñëîæíûé ìåõàíèçì îáðàçîâàíèÿ îòíîøåíèÿ. Ïóñòü èìååòñÿ ôóíêöèÿ
I : X × X → R; ÷èñëî I(x, y) èíòåðïðåòèðóåòñÿ îáû÷íî êàê ìåðà ïðåäïî÷òåíèÿ x ïî ñðàâíå
íèþ ñ y . Òîãäà ìîæíî îáðàçîâàòü îòíîøåíèå >, ïîëàãàÿ x > y ⇔ I(x, y) > 0.
Îïðåäåëåíèå. Ýëåìåíò x ìíîæåñòâà X íàçûâàåòñÿ ìàêñèìàëüíûì (îòíîñèòåëüíî <), åñëè
íå ñóùåñòâóåò áîëåå ëó÷øèõ ýëåìåíòîâ, ò. å. åñëè ìíîæåñòâî {y ∈ X, x < y} ïóñòî.
Ñòîèò ïðåäîñòåðå÷ü, ÷òî ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò ìîæåò íå áûòü íàèáîëüøèì (ýëåìåíò
a íàèáîëüøèé, åñëè a > x ∀ x ∈ X \ {a}). Ìàêñèìàëüíûõ ýëåìåíòîâ ìîæåò áûòü ìíîãî,
à ìîæåò íå áûòü íè îäíîãî. Íèæå ìû çàéìåìñÿ óñëîâèÿìè ñóùåñòâîâàíèÿ ìàêñèìàëüíûõ
ýëåìåíòîâ. Èç òåîðåìû Âåéåðøòðàññà èçâåñòíî, ÷òî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ íà êîìïàêòå
äîñòèãàåò ìàêñèìóìà. Îáîáùåíèå ýòîãî óòâåðæäåíèÿ íà òðàíçèòèâíûå ïðåäïî÷òåíèÿ ïðè
âåäåíî â óïðàæíåíèè 3.1.
Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ñâîéñòâî òðàíçèòèâíîñòè (è òåì áîëåå íàëè÷èå ôóíêöèè ¾ïîëåçíîñòè¿)
ìîæíî çàìåíèòü íåêîòîðûì ñâîéñòâîì âûïóêëîñòè. Çäåñü íàì óäîáíåå áóäåò îáîçíà÷àòü
îòíîøåíèå < ñèìâîëîì P , à òàêæå ïîëüçîâàòüñÿ ñëåäóþùèìè äâóìÿ îáîçíà÷åíèÿìè:
P (x) = {y ∈ X, x < y}
è
17
P −1 (x) = {y ∈ X, y < x}.
18
ËÅÊÖÈß 3.
ÒÅÎÐÅÌÀ ÁÐÀÓÝÐÀ: ÏÐÈÌÅÍÅÍÈß
Ïåðâîå ìíîæåñòâî ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ëó÷øå x, à âòîðîå êîòîðûå õóæå x.
Îòíîøåíèå ïðåäïî÷òåíèÿ P íà âûïóêëîì ìíîæåñòâå X íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì, åñëè ìíî
æåñòâà P (x) âûïóêëû ïðè ëþáîì x ∈ X . Îòíîøåíèå P íà òîïîëîãè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå X
íàçûâàåòñÿ îòêðûòûì, åñëè P îòêðûòî êàê ïîäìíîæåñòâî äåêàðòîâà êâàäðàòà X × X .
Òåîðåìà. Ïóñòü X âûïóêëûé êîìïàêò, à P îòêðûòîå âûïóêëîå èððåôëåêñèâíîå
îòíîøåíèå. Òîãäà ñóùåñòâóåò ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò.
Íà ñàìîì äåëå, òðåáîâàíèÿ ê îòíîøåíèþ P ìîæíî ñëåãêà îñëàáèòü, íå óñëîæíÿÿ äîêà
çàòåëüñòâà. À èìåííî, âåðíà ñëåäóþùàÿ
Òåîðåìà (Êè Ôàí, Çîííåíøàéí, Áåðãñòðåì). Ïóñòü X âûïóêëûé êîìïàêò, à P áèíàðíîå îòíîøåíèå íà X , êîòîðîå îáëàäàåò ñëåäóþùèìè äâóìÿ ñâîéñòâàìè:
1) äëÿ êàæäîãî x ∈ X ìíîæåñòâî P −1 (x) îòêðûòî;
2) äëÿ êàæäîãî x ∈ X âûïóêëàÿ îáîëî÷êà P (x) íå ñîäåðæèò x.
Òîãäà P îáëàäàåò ìàêñèìàëüíûìè ýëåìåíòàìè.
Âèäíî, ÷òî óñëîâèå 1) îáîáùàåò îòêðûòîñòü, à óñëîâèå 2) îäíîâðåìåííî âûïóêëîñòü
è èððåôëåêñèâíîñòü.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ñíîâà ñîñòîèò â ñâåäåíèè ê òåîðåìå Áðàóýðà (êîòîðóþ,
â ñâîþ î÷åðåäü, ëåãêî âûâåñòè èç ýòîé òåîðåìû), è ÷àñòè÷íî ïîâòîðÿåò äîêàçàòåëüñòâî
òåîðåìû Êàêóòàíè. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ò. å. ÷òî äëÿ êàæäîãî y ∈ X ñóùåñòâóåò x,
òàêîé ÷òî yP x, èëè y ∈ P −1 (x). Èíà÷å ãîâîðÿ, ñåìåéñòâî ìíîæåñòâ (P −1 (x), x ∈ X ) îáðàçóåò
ïîêðûòèå X . À òàê êàê ïî óñëîâèþ 1) ýòî îòêðûòîå ïîêðûòèå, òî â ñèëó êîìïàêòíîñòè X
ñóùåñòâóåò êîíå÷íîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ x1 , . . . , xn èç X , òàêèõ ÷òî ìíîæåñòâà Ui = P −1 (xi )
ïîêðûâàþò X .
Âîçüìåì òåïåðü íåïðåðûâíûå ôóíêöèè ui íà X , êîòîðûå ðàâíû 0 âíå Ui è ñòðîãî ïîëî
æèòåëüíû íà Ui (â êà÷åñòâå ui ìîæíî âçÿòü ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî äîïîëíåíèÿ ê Ui â X ).
Ïîñëå ýòîãî îáðàçóåì íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå f : X → X ïî ôîðìóëå:
P
ui (x)xi
f (x) = Pi
.
i ui (x)
P
Èíà÷å ãîâîðÿ, f (x) åñòü âûïóêëàÿ êîìáèíàöèÿ òî÷åê xi ñ âåñàìè ui (x)/( j uj (x)). Ïî òåî
ðåìå Áðàóýðà ñóùåñòâóåò íåïîäâèæíàÿ òî÷êà x∗ äëÿ f . Ýòî çíà÷èò, ÷òî x∗ åñòü âûïóêëàÿ
êîìáèíàöèÿ òåõ òî÷åê xi , äëÿ êîòîðûõ ui (x∗ ) > 0, ò. å. äëÿ êîòîðûõ x∗ ∈ P −1 (xi ), ò. å.
äëÿ êîòîðûõ xi ∈ P (x∗ ). Ïîëó÷àåì îêîí÷àòåëüíî, ÷òî x∗ ïðèíàäëåæèò âûïóêëîé îáîëî÷êå
P (x∗ ), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ 2).
Ðàâíîâåñèÿ Íýøà
Èãðîé n ëèö (â ñòðàòåãè÷åñêîé ôîðìå) íàçûâàåòñÿ íàáîð ìíîæåñòâ S1 , . . . , Sn è íàáîð ôóíê
öèé u1 , . . . , un íà ïðîèçâåäåíèè X = S1 × · · · × Sn . Ìíîæåñòâî Si íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì
ñòðàòåãèé èãðîêà i, à ui íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé âûèãðûøà èãðîêà i. Êàæäûé èãðîê ñòðåìèò
ñÿ âûáðàòü òàêóþ ñòðàòåãèþ si ∈ Si , êîòîðàÿ äàâàëà áû åìó íàèáîëüøèé âûèãðûø. Îäíàêî
ýòîò âûèãðûø çàâèñèò òàêæå îò âûáîðà ñòðàòåãèé îñòàëüíûìè èãðîêàìè, ïîýòîìó â îáùåì
ñëó÷àå íåò åñòåñòâåííîãî è áåññïîðíîãî ïðàâèëà äëÿ âûáîðà êàæäûì ó÷àñòíèêîì íàèáîëåå
îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè.
19
Íýø (1950) ïðåäëîæèë ïîíÿòèå ðàâíîâåñèÿ â òàêîé èãðå, êîòîðîå ñ òåõ ïîð íîñèò åãî
èìÿ. À èìåííî, ðàâíîâåñèåì Íýøà íàçûâàåòñÿ òàêîé íàáîð ñòðàòåãèé s∗ = (s∗1 , . . . , s∗n ) ∈ S1 ×
· · · × Sn , ÷òî äëÿ ëþáîãî èãðîêà i åãî ñòðàòåãèÿ s∗i äîñòàâëÿåò ìàêñèìóì ôóíêöèè ui (·, s∗−i ).
Òî åñòü ñòðàòåãèè s∗−i îñòàëüíûõ èãðîêîâ ñ÷èòàþòñÿ ôèêñèðîâàííûìè, à ìåíÿåòñÿ òîëüêî
i-àÿ ïåðåìåííàÿ, êîòîðàÿ íàõîäèòñÿ â ðàñïîðÿæåíèè èãðîêà i. Èíà÷å ãîâîðÿ, ñòðàòåãèÿ s∗i
èãðîêà i îïòèìàëüíà ïðè óñëîâèè, ÷òî îñòàëüíûå ñîõðàíÿþò ñâîè ñòðàòåãèè s∗j , j 6= i.
Ðàâíîâåñèÿ Íýøà ñóùåñòâóþò äàëåêî íå âñåãäà. Îäíàêî øàíñû íà ñóùåñòâîâàíèå ñèëüíî
óâåëè÷èâàþòñÿ, åñëè îò èñõîäíûõ (÷èñòûõ) ñòðàòåãèé ïåðåéòè ê ñìåøàííûì (ðàíäîìèçèðî
âàííûì) ñòðàòåãèÿì. Íå âäàâàÿñü â ïîäðîáíûå îáúÿñíåíèÿ (çà êîòîðûìè ìû îòñûëàåì ê
òåîðèè èãð), ñêàæåì òîëüêî, ÷òî ýòî ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ñòðàòåãè÷åñêèå ìíîæåñòâà Si ñòà
íîâÿòñÿ âûïóêëûìè ìíîæåñòâàìè, à ôóíêöèè âûèãðûøà àôôèííûìè ïî ïåðåìåííîé si .
Íà ñàìîì äåëå, âìåñòî àôôèííîñòè äîñòàòî÷íî òðåáîâàòü âîãíóòîñòü. Ôóíêöèÿ u : X → R
íà âûïóêëîì ìíîæåñòâå X íàçûâàåòñÿ âîãíóòîé (èëè âûïóêëîé ââåðõ), åñëè
u(αx + (1 − α)y) ≥ αu(x) + (1 − α)u(y)
äëÿ ëþáûõ x, y ∈ X è 0 ≤ α ≤ 1.
Òåîðåìà (Íýø, 1950). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êàæäîå ìíîæåñòâî Si âûïóêëûé êîìïàêò,
à ôóíêöèè âûèãðûøà ui íåïðåðûâíû ïî âñåì ïåðåìåííûì è âîãíóòû ïî si . Òîãäà ñóùåñòâó
åò ðàâíîâåñèå Íýøà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ êàæäîãî èãðîêà i è íàáîðà s−i = (sj , j 6= i) ñòðàòåãèé îñòàëüíûõ
îáîçíà÷èì ÷åðåç Hi (s−i ) ìíîæåñòâî íàèëó÷øèõ îòâåòîâ i, ò. å.
Hi (s−i ) = Argmax(ui (·, s−i )).
Ïðè ïåðåìåííîì s−i ìû ïîëó÷àåì ñîîòâåòñòâèå Hi : ×j6=i Sj ⇒ Si , ò. å. ïîäìíîæåñòâî â X .
 ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè ui ïî âñåì ïåðåìåííûì ýòî çàìêíóòîå ïîäìíîæåñòâî â X
(ñì. óïð. 2.9); â ñèëó âîãíóòîñòè ui ïî ïåðåìåííîé si îáðàçû Hi (s−i ) íåïóñòûå âûïóêëûå
ïîäìíîæåñòâà Si .
Íàáîð ñòðàòåãèé s = (si ) ∈ X ÿâëÿåòñÿ ðàâíîâåñèåì Íýøà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êî
ãäà si ïðèíàäëåæèò Hi (s−i ) äëÿ ëþáîãî i. Îáðàçóåì ñëåäóþùåå ñîîòâåòñòâèå F : X ⇒ X ,
êîòîðîå òî÷êå s ∈ X ñîïîñòàâëÿåò ìíîæåñòâî F (s) = ×i Hi (s−i ). Êàê ëåãêî ïîíÿòü, ñîîòâåò
ñòâèå F çàìêíóòî, à åãî îáðàçû íåïóñòûå âûïóêëûå êàê ïðîèçâåäåíèÿ íåïóñòûõ âûïóêëûõ
ìíîæåñòâ Hi (s−i ). Ïîýòîìó ê ñîîòâåòñòâèþ F ïðèìåíèìà òåîðåìà Êàêóòàíè, êîòîðàÿ äàåò
ñóùåñòâîâàíèå òî÷êè s∗ ∈ F (s∗ ). Ïîñëåäíåå êàê ðàç è îçíà÷àåò, ÷òî s∗i ∈ Hi (s∗−i ) äëÿ ëþáîãî
i, ò. å. ÷òî s∗ ðàâíîâåñèå Íýøà.
Êîíêóðåíòíûå ðàâíîâåñèÿ
Òàê êàê â íàøó çàäà÷ó íå âõîäèò äåòàëüíîå èçëîæåíèå òåîðèè ýêîíîìè÷åñêîãî ðàâíîâå
ñèÿ, íî òîëüêî äåìîíñòðàöèÿ ïðèìåíåíèÿ òåîðåì î íåïîäâèæíûõ òî÷êàõ, ìû ëèøü áåãëî
îáðèñóåì ýêîíîìè÷åñêóþ ÷àñòü, íå ãîíÿñü çà îáùíîñòüþ. Ïóñòü Rl ïðîñòðàíñòâî òîâàðîâ.
Èìååòñÿ n ïîòðåáèòåëåé, êàæäûé ïîòðåáèòåëü çàäàåòñÿ ôóíêöèé ïîëåçíîñòè ui íà ñâîåì ïî
òðåáèòåëüñêîì ìíîæåñòâå Xi , êîòîðîå ìû äëÿ ïðîñòîòû ñ÷èòàåì ðàâíûì ïîëîæèòåëüíîìó
îðòàíòó Rl+ . Äàëåå, èìååòñÿ òåõíîëîãè÷åñêîå ìíîæåñòâî Y ⊂ Rl . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ýêî
íîìèêå äåéñòâóþò öåíû p, êîòîðûå ïîçâîëÿåò ñ êàæäûì òîâàðíûì âåêòîðîì x ∈ Rl ñâÿçàòü
åãî ñòîèìîñòü px. Ôóíêöèîíèðîâàíèå ýêîíîìèêè ïðîèñõîäèò òàê. Ïðîèçâîäèòåëü ïðè äåé
ñòâóþùèõ öåíàõ p âûáèðàåò òîò òåõíîëîãè÷åñêèé ñïîñîá, êîòîðûé äàåò åìó ìàêñèìàëüíóþ
ïðèáûëü maxy∈Y py . Ïîëó÷åííàÿ ïðèáûëü êàê-òî ðàñïðåäåëÿåòñÿ ìåæäó ïîòðåáèòåëÿìè,
20
ËÅÊÖÈß 3.
ÒÅÎÐÅÌÀ ÁÐÀÓÝÐÀ: ÏÐÈÌÅÍÅÍÈß
â ðåçóëüòàòå ÷åãî êàæäûé ïîòðåáèòåëü i ïîëó÷àåò äîõîä βi (p). Ýòîò äîõîä îí òðàòèò íà
ïðèîáðåòåíèå ïîòðåáèòåëüñêîãîPíàáîðà xi , òàê ÷òî pxi ≤ βi (p). Êîíå÷íî,P
åñëè íå âûïîëíåí
íàòóðàëüíûé áàëàíñ â ôîðìå i xi = y (èëè õîòÿ áû êàê íåðàâåíñòâî i xi ≤ y ), öåíà p
èìååò ìàëî ñìûñëà. Íàïðîòèâ, åñëè íàòóðàëüíûé áàëàíñ âûïîëíåí, ãîâîðÿò, ÷òî íàáîð (p,
y , (xi )) ÿâëÿåòñÿ êîíêóðåíòíûì ðàâíîâåñèåì.
Ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü äàëåå, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ çàêîí Âàëüðàñà, ò. å. ÷òî ïðè ëþáîé
öåíå âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå
X
βi (p) = max py.
y∈Y
i
Êðîìå òîãî, ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âûïîëíåíû ñëåäóþùèå ïðåäïîëîæåíèÿ:
1) ôóíêöèè ïîëåçíîñòè ui íåïðåðûâíû è êâàçèâîãíóòû;
2) òåõíîëîãè÷åñêîå ìíîæåñòâî Y âûïóêëûé êîìïàêò;
3) ôóíêöèè äîõîäà βi íåïðåðûâíû è ïîëîæèòåëüíû ïðè p > 0.
Ïðè ýòèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ ñóùåñòâóåò ðàâíîâåñèå. Áîëåå òîãî, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ðàâ
íîâåñíàÿ öåíà p ïðèíàäëåæèò åäèíè÷íîìó ñèìïëåêñó ∆l , ò. å. p1l = 1l .
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ââåäåì íåñêîëüêî ñîîòâåòñòâèé. Ïåðâîå ïðîèçâîäñòâåííîå. Äëÿ
êàæäîé öåíû p èç ñèìïëåêñà ∆l ÷åðåç Y (p) îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî y ∈ Y , äàþùèõ ìàêñè
ìàëüíóþ ïðèáûëü ïðè öåíå p. Àíàëîãè÷íî, äëÿ êàæäîãî ïîòðåáèòåëÿ i ââåäåì ìíîæåñòâî
Xi (p) åãî îïòèìàëüíûõ ïîòðåáëåíèé, ò. å. Xi (p) ñîñòîèò èç ðåøåíèé çàäà÷è ui (x) → max ïðè
îãðàíè÷åíèè x ∈ Xi è px ≤ βi (p). Òî÷íåå, â ýòîì ìåñòå ïîëîæèòåëüíûé îðòàíò Xi íóæíî
çàìåíèòü äîñòàòî÷íî áîëüøèì êóáîì K , íî ýòî óæå òåõíè÷åñêîå ìåñòî, íà êîòîðîì ìû íå
õîòåëè áû ñåé÷àñ îñòàíàâëèâàòüñÿ. Òî÷íî òàê æå ìû îñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ ïðîâåðêó òîãî, ÷òî
ñîîòâåòñòâèÿ Y è Xi èç ∆l â Rl çàìêíóòû (ñì. óïð. 2.9). Îòìåòèì òîëüêî, ÷òî èìåííî çäåñü
íóæíî ïðåäïîëîæåíèå î ñòðîãîé ïîëîæèòåëüíîñòè äîõîäîâ βi (ò. í. óñëîâèå Ñëåéòåðà ); ïðè
åãî íàðóøåíèè ðàâíîâåñèÿ ìîæåò è íå áûòü. Êðîìå òîãî, ìíîæåñòâà Y (p) è Xi (p) íåïóñòû
è âûïóêëû. Ïîýòîìó åñëè ìû îáðàçóåì ñîîòâåòñòâèå èçáûòî÷íîãî ñïðîñà E : ∆l ⇒ Rl ïî
ôîðìóëå:
nX
o
X
E(p) =
Xi (p) − Y (p) =
xi − y, xi ∈ Xi (p), y ∈ Y (p) ,
i
i
òî ýòî òàêæå çàìêíóòîå ñîîòâåòñòâèå ñ íåïóñòûìè âûïóêëûìè îáðàçàìè. Îòìåòèì åùå îäíî
âàæíîå ñâîéñòâî ñîîòâåòñòâèÿ E . Òàê êàê pxi ≤ βi (p) äëÿ ëþáîãî i, òî
X
X
p
xi − y <
βi (p) − py = 0
i
i
ïî çàêîíó Âàëüðàñà. Ïîýòîìó äëÿ ëþáîãî p ∈ ∆l è ëþáîãî z ∈ E(p) âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå
pz ≤ 0. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ýòèõ ñâîéñòâ óæå äîñòàòî÷íî äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ âåêòîðà öåí p∗ è
âåêòîðà z ∗ ∈ E(p∗ ), òàêèõ ÷òî z ∗ ≤ 0, ÷òî è äàåò ðàâíîâåñèå. Â ñàìîì äåëå, âåðíà ñëåäóþùàÿ
òåîðåìà (òîæå ýêâèâàëåíòíàÿ òåîðåìå Áðàóýðà):
Ëåììà (Ãåéë, 1955; Íèêàéäî, 1956). Ïóñòü ∆l åäèíè÷íûé ñèìïëåêñ, è E çàìêíó
òîå ñîîòâåòñòâèå èç ∆l â êîìïàêòíîå âûïóêëîå ïîäìíîæåñòâî K ⊂ Rl ñ âûïóêëûìè
íåïóñòûìè îáðàçàìè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî pz ≤ 0 äëÿ ëþáûõ p ∈ ∆l è z ∈ E(p). Òîãäà
ñóùåñòâóþò p∗ ∈ ∆l è z ∗ ∈ E(p∗ ), òàêèå ÷òî z ∗ ≤ 0.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ êàæäîãî âåêòîðà z ∈ K îïðåäåëèì ñëåäóþùåå ïîäìíîæåñòâî â ∆l :
G(z) = Argmax(z) = {p ∈ ∆l , pz = max(qz)}.
q∈∆l
21
Î÷åâèäíî (èëè ëåãêî ïðîâåðèòü â äóõå óïð. 2.9), ÷òî ýòî çàìêíóòîå ñîîòâåòñòâèå; îáðàçû
åãî íåêîòîðûå ãðàíè ñèìïëåêñà (òî÷êè ìàêñèìóìà ëèíåéíîé ôóíêöèè z ), òàê ÷òî îíè
íåïóñòûå è âûïóêëûå.
Ïîýòîìó åñëè ìû îáðàçóåì ñîîòâåòñòâèå F èç ∆l × K â ñåáÿ ïî ôîðìóëå:
F (p, z) = G(z) × E(p),
òî ê íåìó ïðèìåíèìà òåîðåìà Êàêóòàíè è ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïàðà (p∗ , z ∗ ) ∈ ∆l × K , ÷òî
p∗ ∈ G(z ∗ ) è z ∗ ∈ E(p∗ ).
Ìû óòâåðæäàåì, ÷òî z ∗ ≤ 0. Äåéñòâèòåëüíî, äîïóñòèì, ÷òî íåêîòîðàÿ êîîðäèíàòà zj∗ âåêòîðà
z ∗ ñòðîãî ïîëîæèòåëüíà. Òîãäà max(z ∗ |∆l ) > 0 (âçÿòü çíà÷åíèå z ∗ íà j -ì áàçèñíîì âåêòîðå
ej = (0, . . . , 1, . . . , 0) ∈ ∆l ), çíà÷èò è p∗ z ∗ = max(z ∗ |∆l ) > 0 (ñì. îïðåäåëåíèå G), ÷òî
ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ p∗ z ∗ < 0.
Çàìå÷àíèå 1. Êîíå÷íî, ìîäåëü ðàâíîâåñèÿ è óñëîâèÿ ìîãóò ìåíÿòüñÿ, íî îáùèé ìåòîä äî
êàçàòåëüñòâà îñòàåòñÿ. Íàïðèìåð, ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî Y âûïóêëûé êîìïàêò, ÷àñòî çàìå
íÿåòñÿ ïðåäïîëîæåíèåì, ÷òî Y âûïóêëûé êîíóñ; íî â ýòîì ñëó÷àå ïðèõîäèòñÿ äîïîëíè
òåëüíî ïîçàáîòèòüñÿ îá îãðàíè÷åííîñòè ìíîæåñòâà äîïóñòèìûõ ðàñïðåäåëåíèé.
Çàìå÷àíèå 2. Èñïîëüçîâàííûé â äîêàçàòåëüñòâå ëåììû Ãåéëà-Íèêàéäî ñïîñîá íàçíà÷åíèÿ
íîâûõ öåí íàâîäèò íà ìûñëü ââåñòè åùå îäíîãî ó÷àñòíèêà, êîòîðûé îòâå÷àåò çà öåíû. Òî÷
íåå, îí ñìîòðèò íà ýêñöåññ ñïðîñà z è íàçíà÷àåò öåíó p òàê, ÷òîáû ìàêñèìèçèðîâàòü pz íà
ñèìïëåêñå. Ïðè òàêîì âçãëÿäå êîíêóðåíòíîå ðàâíîâåñèå ïðåâðàùàåòñÿ â ðàâíîâåñèå Íýøà â
ïîñòðîåííîé èãðå. È äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ìîæíî ïðèâëåêàòü äîâîëüíî ìîùíûå òåîðåìû ñó
ùåñòâîâàíèÿ.  ÷àñòíîñòè, âìåñòî ôóíêöèé ïîëåçíîñòè ïîòðåáèòåëåé ìîæíî ðàññìàòðèâàòü
îòíîøåíèÿ ïðåäïî÷òåíèÿ P òèïà ðàññìîòðåííûõ âûøå.
ßäðî
Êîíêóðåíòíûå ðàâíîâåñèÿ îáëàäàþò îäíèì çàìå÷àòåëüíûì ñâîéñòâîì, êîòîðîå ìû òîëüêî
îòìåòèì, íî íå áóäåì ïîäðîáíî îáñóæäàòü. Ñâîéñòâî ýòî ñîñòîèò â òîì, ÷òî íèêàêàÿ êîàëè
öèÿ (ò. å. ïîäìíîæåñòâî) ïîòðåáèòåëåé íå ìîæåò óëó÷øèòü áëàãîñîñòîÿíèå ñâîèõ ÷ëåíîâ ïî
ñðàâíåíèþ ñ ðàâíîâåñíûì ðàñïðåäåëåíèåì, ïîëüçóÿñü òîëüêî ñâîèìè ðåñóðñàìè.  ÷àñòíî
ñòè, ðàâíîâåñíîå ðàñïðåäåëåíèå îïòèìàëüíî ïî Ïàðåòî è èíäèâèäóàëüíî ðàöèîíàëüíî.
Ýòî ñâîéñòâî êîàëèöèîííîé íåóëó÷øàåìîñòè ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü àáñòðàêòíî. Ïóñòü
èìåþòñÿ íåêîòîðîå ìíîæåñòâî àëüòåðíàòèâ X è íåêîòîðàÿ êîíå÷íàÿ ãðóïïà ó÷àñòíèêîâ I .
Êîàëèöèåé íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîëüíîå íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî â I . Äëÿ êàæäîé àëüòåðíàòèâû
x ∈ X îáîçíà÷èì ÷åðåç H(x) ìíîæåñòâî òåõ êîàëèöèé, êîòîðûå ìîãóò óëó÷øèòü èñõîä x.
Ïðè íàøåì ïîäõîäå ¾óëó÷øèòü¿ ýòî ïåðâè÷íîå, íåîïðåäåëÿåìîå ïîíÿòèå, êîòîðîå äîëæíî
óòî÷íÿòüñÿ â áîëåå êîíêðåòíûõ ñèòóàöèÿõ. Ãîâîðÿò, ÷òî ñîñòîÿíèå x∗ ïðèíàäëåæèò ÿäðó,
åñëè H(x∗ ) ïóñòî. Ïðèâåäåì îñíîâíóþ ìîäåëü (èëè ñòðóêòóðó), ãäå ïîÿâëÿåòñÿ ÿäðî, è
óñëîâèÿ, ãàðàíòèðóþùèå íåïóñòîòó ÿäðà. Ýòà ìîäåëü íàçûâàåòñÿ êîàëèöèîííîé èãðîé áåç
ïîáî÷íûõ ïëàòåæåé.
Ïóñòü I ìíîæåñòâî èãðîêîâ (ó÷àñòíèêîâ). Èñõîä èãðû îïèñûâàåòñÿ âåêòîðîì u =
(ui , i ∈ I) ∈ RI , êîíêðåòèçèðóþùèì, êàêóþ ïîëåçíîñòü ïîëó÷àåò òîò èëè èíîé èãðîê.
Âîçìîæíîñòè êàæäîé êîàëèöèè K ⊂ I çàäàþòñÿ ìíîæåñòâîì V (K) ⊂ RK ; åñëè âåêòîð
xK = (xi , i ∈ K) ïðèíàäëåæèò V (K), êîàëèöèÿ K ìîæåò îáåñïå÷èòü êàæäîìó ñâîåìó
ó÷àñòíèêó i ∈ K ïîëåçíîñòü íå ìåíüøå, ÷åì xi . Òàêèì îáðàçîì, èãðà áåç ïîáî÷íûõ ïëà
òåæåé çàäàåòñÿ ñåìåéñòâîì ìíîæåñòâ V = (V (K), K ⊂ I). Êîàëèöèÿ K ìîæåò óëó÷øèòü
22
ËÅÊÖÈß 3.
ÒÅÎÐÅÌÀ ÁÐÀÓÝÐÀ: ÏÐÈÌÅÍÅÍÈß
èñõîä u ∈ RI , åñëè ñóùåñòâóåò òàêîé âåêòîð xK = (xi , i ∈ K) èç V (K), ÷òî xi > ui äëÿ âñåõ
i ∈ K . Â ýòèõ òåðìèíàõ ÿäðî ñîñòîèò èç òàêèõ íàáîðîâ u ∈ RI , êîòîðûå ñ îäíîé ñòîðîíû
äîñòèæèìû, ò. å. ïðèíàäëåæàò V (I), à ñ äðóãîé íåóëó÷øàåìû íèêàêîé êîàëèöèåé.
Îáû÷íî ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ìíîæåñòâà V (K) çàìêíóòû, îãðàíè÷åíû ñâåðõó è íîðìàëü
íû (ò. å. ñ êàæäûì ýëåìåíòîì ñîäåðæàò è ìåíüøèå). Ïîýòîìó óñëîâèå íåóëó÷øàåìîñòè
ìîæíî ïåðåôîðìóëèðîâàòü òàê: ïðîåêöèÿ uK âåêòîðà u íà ëþáîå ïîäïðîñòðàíñòâî RK íå
ïîïàäàåò ñòðîãî âíóòðü V (K).
Èíòóèòèâíî ÿñíî, ÷òî åñëè ¾çàïðîñû¿ êîàëèöèé (ò. å. ìíîæåñòâà V (K)) âåëèêè ïî ñðàâ
íåíèþ ñ âîçìîæíîñòÿìè âñåãî îáùåñòâà (ò. å. ñ V (I)), òî ÿäðî ïóñòî.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå
ìîæíî ðàññ÷èòûâàòü íà ñóùåñòâîâàíèå ÿäåðíûõ èñõîäîâ. Íî êàê ýòî òî÷íî ñôîðìóëèðî
âàòü? Îäíà èç âîçìîæíîñòåé ñîñòîèò â ïðèâëå÷åíèè ïîíÿòèÿ ñáàëàíñèðîâàííîñòè.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êàæäîé êîàëèöèè K ïðåäïèñàíî íåêîòîðîå íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî
λK . Íàáîð λ = (λK , K ⊂ I) òàêèõ ÷èñåë íàçûâàåòñÿ ñáàëàíñèðîâàííûì, åñëè
X
λK = 1 äëÿ ëþáîãî i ∈ I.
(3.1)
i∈K
Òàê âîò, èãðà V íàçûâàåòñÿ ñáàëàíñèðîâàííîé, åñëè ìíîæåñòâî V (I) ¾äîñòàòî÷íî âåëèêî¿
â ñëåäóþùåì ñìûñëå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âåêòîð ïîëåçíîñòåé u ∈ RI òàêîâ, ÷òî íàéäåòñÿ
ñáàëàíñèðîâàííûé íàáîð êîýôôèöèåíòîâ λ = (λK ), òàêîé ÷òî åñëè λK 6= 0, òî ïðîåêöèÿ
uK ∈ V (K); òîãäà âåêòîð u ∈ V (I).
Òåîðåìà (Ñêàðô, 1967). Åñëè èãðà V ñáàëàíñèðîâàíà, òî åå ÿäðî íåïóñòî.
Ñòàíäàðòíûå äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Ñêàðôà àïåëëèðóþò îáû÷íî ê òîìó èëè èíîìó
âàðèàíòó ëåììû ÊóðàòîâñêîãîÊíàñòåðàÌàçóðêåâè÷àØåïëè (ñì. íàïðèìåð, êíèãó Ýê
ëàíäà [10]). ß ïðèâåäó çäåñü äðóãîå, áîëåå ïðÿìîå è êîðîòêîå äîêàçàòåëüñòâî. Îíî îñíîâàíî
íà èíòåðïðåòàöèè èãðû áåç ïîáî÷íûõ ïëàòåæåé êàê íåêîòîðîé ýêîíîìèêè, â êîòîðîé êî
àëèöèè èãðàþò ðîëü ôèðì, à âûïëàòû ó÷àñòíèêàì ïîíèìàþòñÿ êàê çàðïëàòû. ßäåðíîå
ðàñïðåäåëåíèå òîãäà ñòàíîâèòñÿ ïðîñòî ðàâíîâåñíûì ðàñïðåäåëåíèåì â ñîîòâåòñòâóþùåé
ýêîíîìèêå.
Îäíî íàâîäÿùåå ñîîáðàæåíèå. Ðåçóëüòàòîì êîàëèöèîííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ åñòåñòâåííî
ñ÷èòàòü ïàðó (u, λ), ãäå u = (ui , i ∈ I) ðàñïðåäåëåíèå âûèãðûøà, à λ = (λK , K ⊂ I)
îòðàæàåò èíòåíñèâíîñòè ôóíêöèîíèðîâàíèÿ êîàëèöèé. Ïðîùå âñåãî ñ÷èòàòü, ÷òî λK ïðè
íèìàþò çíà÷åíèÿ 1 èëè 0 â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ðåàëüíî ëè îáðàçîâàëàñü êîàëèöèÿ K èëè
íåò. Îäíàêî áîëåå ãèáêèé ïîäõîä ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû äîïóñòèòü è ïðîìåæóòî÷íûå çíà÷å
íèÿ äëÿ λK . Îäíàêî íóæíî â ëþáîì ñëó÷àå ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû èìåþùèõñÿ ó÷àñòíèêîâ â
òî÷íîñòè õâàòèëî äëÿ òàêîãî ôîðìèðîâàíèÿ, ò. å. âûïîëíåíèå óñëîâèÿ ñáàëàíñèðîâàííîñòè
(3.1). Â íåêîòîðîì ñìûñëå ýòî ïðîñòî áàëàíñ ïî òðóäó.
Âòîðîå åñòåñòâåííîå òðåáîâàíèå íà ðåçóëüòèðóþùóþ ïàðó (u, λ) ñîñòîèò â òîì, ÷òî âåê
òîð u äîëæåí áûòü äîñòèæèì óñèëèÿìè ñôîðìèðîâàííûõ ñîãëàñíî λ êîàëèöèé. Ïîä ýòèì
ÿ ïîíèìàþ, ÷òî åñëè λK > 0 äëÿ íåêîòîðîé êîàëèöèè K , òî uK ∈ V (K). Åñëè îáîçíà÷èòü
÷åðåç V (λ) òàêîé íàáîð âåêòîðîâ u, òî ýòî âòîðîå óñëîâèå ìîæíî ïåðåïèñàòü êàê u ∈ V (λ).
Íàêîíåö, åñëè äåëåæ u ìîæåò áûòü óëó÷øåí íåêîòîðîé êîàëèöèåé K (ò. å. åñëè uK ∈
Int(V (K))), òî ñëîæèâøàÿñÿ ñòðóêòóðà êîàëèöèé áóäåò ðàçðóøåíà. ×òîáû ýòî èñêëþ÷èòü,
ïîòðåáóåì, ÷òîáû äëÿ ëþáîé êîàëèöèè K âåêòîð uK íå ïîïàäàë âî âíóòðåííîñòü V (K).
Ïàðó (u, λ), óäîâëåòâîðÿþùóþ ýòèì òðåì òðåáîâàíèÿì (ñáàëàíñèðîâàííîñòè, äîñòèæè
ìîñòè è íåäîìèíèðóåìîñòè), íàçîâåì B -ÿäåðíîé.
Òåîðåìà. Â ëþáîé èãðå V ñóùåñòâóþò B -ÿäåðíûå èñõîäû.
23
Òàê êàê ñáàëàíñèðîâàííîñòü èãðû îçíà÷àåò, ÷òî V (λ) ⊂ V (I) äëÿ ëþáîãî ñáàëàíñè
ðîâàííîãî íàáîðà λ, òî ëþáîé B -ÿäåðíûé èñõîä ïðèíàäëåæèò ÿäðó. Ïîýòîìó î÷åâèäíûì
ñëåäñòâèåì íàøåé òåîðåìû ÿâëÿåòñÿ óæå óïîìÿíóòàÿ òåîðåìà Ñêàðôà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Êàê óæå ãîâîðèëîñü, ìû ñìîòðèì íà êîàëèöèîííóþ èãðó êàê íà ýêîíî
ìèêó, â êîòîðîé ôèðìû äëÿ ñâîåé ðàáîòû ïðèãëàøàþò ó÷àñòíèêîâ ýòîé êîàëèöèè. Ðîëü
öåí (çàðïëàò) âûïîëíÿåò âåêòîð u.  çàâèñèìîñòè îò âåëè÷èíû u ôèðìà-êîàëèöèÿ K ëèáî
áåçäåéñòâóåò (åñëè çàïðîñû ó÷àñòíèêîâ âåëèêè è uK íå ïîïàäàåò â V (K)), ëèáî ðàçâèâàåò
áåøåíóþ àêòèâíîñòü (åñëè çàïðîñû ó÷àñòíèêîâ ìàëû è uK ïîïàäàåò âî âíóòðåííîñòü V (K)),
ëèáî (â ïðîìåæóòî÷íîì ñëó÷àå, êîãäà uK ëåæèò íà ãðàíèöå ìíîæåñòâà V (K)) áåçðàçëè÷íû
ê óðîâíþ èíòåíñèâíîñòè.  êîíå÷íîì èòîãå ôèðìû-êîàëèöèè ïðåäúÿâëÿþò ñïðîñ íà ó÷àñò
íèêîâ. Åñëè ñïðîñ íà íåêîòîðîãî ó÷àñòíèêà i ïðåâûøàåò 1, òî ui óâåëè÷èâàåòñÿ, åñëè íåò óìåíüøàåòñÿ. Íåïîäâèæíàÿ òî÷êà äàåò ÿäåðíûé èñõîä.
Áîëåå òî÷íî, îáîçíà÷èì ÷åðåç Λ ìíîæåñòâî {λ = (λK ), 0 ≤ λK ≤ 2 ∀ K }, X øàð
áîëüøîãî ðàäèóñà âîêðóã 0 â ïðîñòðàíñòâå RI . Ìû îïðåäåëèì ñåé÷àñ (ìíîãîçíà÷íîå) îòîá
ðàæåíèå F ìíîæåñòâà X × Λ â ñåáÿ, ò. å. ïî ïàðå (u, λ) îïðåäåëèì íîâóþ ïàðó (u0 , λ0 ).
P
Îïðåäåëåíèå u0 . Çàäàäèì u0 êàê Argmax íà X ëèíåéíîé ôóíêöèè K λK 1K − 1I . Ýòî
åäèíñòâåííàÿ òî÷êà íà ãðàíèöå øàðà X êðîìå òîãî ñëó÷àÿ, êîãäà λ ñáàëàíñèðîâàíî.  ýòîì
ñëó÷àå â êà÷åñòâå u0 ìîæíî áðàòü ëþáóþ òî÷êó èç øàðà X .
Îïðåäåëåíèå λ0 . Çàäàäèì λ0 ñëåäóþùèì îáðàçîì. Äëÿ êîàëèöèè K ïîëîæèì
λ0K = 0, åñëè uK íå ïðèíàäëåæèò V (K);
λ0K ëþáîå ÷èñëî ìåæäó 0 è 2, åñëè uK ëåæèò íà ãðàíèöå V (K);
λ0K = 2, åñëè uK ïîïàäàåò âî âíóòðåííîñòü V (K).
ßñíî, ÷òî ïîñòðîåííîå îòîáðàæåíèå (ñîîòâåòñòâèå) F çàìêíóòî è èìååò íåïóñòûå âû
ïóêëûå îáðàçû. Ïîýòîìó ïî òåîðåìå Êàêóòàíè ñóùåñòâóåò íåïîäâèæíàÿ ïàðà (u∗ , λ∗ ). ß
óòâåðæäàþ, ÷òî îíà B -ÿäåðíàÿ.
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè u∗ ëåæèò íà ãðàíèöå øàðà X , òî íåêîòîðàÿ êîîðäèíàòà u∗i ¾áîëü
øàÿ¿. Íî òîãäà íèêàêàÿ êîàëèöèÿ K , ñîäåðæàùàÿ i, íå ìîæåò îáåñïå÷èòü i òàêîé áîëüøîé
äîõîä, è çíà÷èò λ∗K = 0, ñïðîñ íà ýòîãî ó÷àñòíèêà i ðàâåí 0, è u∗i äîëæíî óïàñòü. Àíàëîãè÷íî
åñëè u∗i ¾ñèëüíî îòðèöàòåëüíî¿.
Òàêèì îáðàçîì, òî÷êà u∗ ëåæèò ñòðîãî âíóòðè X , îòêóäà λ ñáàëàíñèðîâàíî.
Åñëè λ∗K > 0, òî èç îïðåäåëåíèÿ λ0 âèäíî, ÷òî u∗K ∈ V (K), ò. å. âûïîëíÿåòñÿ ñâîéñòâî
äîñòèæèìîñòè. Íàêîíåö, â ñèëó òîé æå ñáàëàíñèðîâàííîñòè λ∗K ≤ 1, ò. å. uK íå ïîïàäàåò
ñòðîãî âíóòðü V (K) íè äëÿ êàêîé êîàëèöèè K , è ìû èìååì íåäîìèíèðóåìîñòü.
Óïðàæíåíèÿ
3.1. Äîêàæèòå ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: ïóñòü X êîìïàêòíîå òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàí
ñòâî, à < èððåôëåêñèâíîå áèíàðíîå îòíîøåíèå íà íåì, êîòîðîå îáëàäàåò ñëåäóþùèìè
äâóìÿ ñâîéñòâàìè: 1) îíî îòêðûòî (êàê ïîäìíîæåñòâî X × X ), è 2) îíî òðàíçèòèâíî (ò. å.
x < y < z âëå÷åò x < z ). Òîãäà ñóùåñòâóåò ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò.
3.2. Ôóíêöèÿ u íàçûâàåòñÿ êâàçèâîãíóòîé, åñëè äëÿ ëþáîãî ÷èñëà r âûïóêëî ìíîæåñòâî
{x ∈ X, u(x) ≥ r}. Ïîêàæèòå, ÷òî ëþáàÿ âîãíóòàÿ ôóíêöèÿ êâàçèâîãíóòà. Ïîêàæèòå, ÷òî
òåîðåìà Íýøà îñòàåòñÿ âåðíîé, åñëè âîãíóòîñòü ôóíêöèé ui çàìåíÿåòñÿ êâàçèâîãíóòîñòüþ.
3.3. Ïóñòü â èãðå ó÷àñòâóþò 3 èãðîêà. Èãðîê â îäèíî÷êó íå ìîæåò âûèãðàòü íè÷åãî (ò. å.
≤ 0), ëþáûå äðóãèå êîàëèöèè (ñîäåðæàùèå äâóõ èëè òðåõ ÷ëåíîâ) ìîãóò ïîëó÷èòü 1 ðóá. è
êàê óãîäíî ïåðåðàñïðåäåëèòü ìåæäó ñâîèìè ÷ëåíàìè. Ïîêàçàòü, ÷òî ÿäðî ïóñòî. Íàñêîëüêî
íóæíî óâåëè÷èòü öåííîñòü êîàëèöèè âñåõ èãðîêîâ, ÷òîáû ïîÿâèëîñü ÿäðî?
24
ËÅÊÖÈß 3.
ÒÅÎÐÅÌÀ ÁÐÀÓÝÐÀ: ÏÐÈÌÅÍÅÍÈß
Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [2, 4, 6, 7, 8, 10, 11].
Ëåêöèÿ 4
Òåîðåìà Áðàóýðà: äîêàçàòåëüñòâà è
àëãîðèòìû
Ýòà ëåêöèÿ ïîñâÿùåíà äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû Áðàóýðà. Íàïîìíèì åå ôîðìóëèðîâêó: åñëè
f : X → X íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå âûïóêëîãî êîìïàêòà X â ñåáÿ, òî ñóùåñòâóåò íåïî
äâèæíàÿ òî÷êà. Ìû ïðèâåäåì (ñ íåáîëüøèìè ïðîïóñêàìè) êîìáèíàòîðíîå äîêàçàòåëüñòâî,
à çàòåì áåãëî îáñóäèì íåêîòîðûå àëüòåðíàòèâíûå äîêàçàòåëüñòâà.
Ðåäóêöèÿ ê ñèìïëåêñàì
Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî ýòà òåîðåìà èìååò òîïîëîãè÷åñêóþ ïðèðîäó: åñëè îíà âåðíà äëÿ
X , òî âåðíà è äëÿ ëþáîãî òîïîëîãè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà, ãîìåîìîðôíîãî X .
Ìû óòâåðæäàåì, ÷òî ëþáîé âûïóêëûé êîìïàêò ðàçìåðíîñòè n ãîìåîìîðôåí åäèíè÷íîìó
øàðó Dn â Rn , ãäå
Dn = {x ∈ Rn , |x| ≤ 1},
à | · | åâêëèäîâà íîðìà â Rn , ò. å. |(x1 , . . . , xn )| = (x21 + · · · + x2n )1/2 . Â ñàìîì äåëå, ïóñòü
X n-ìåðíûé âûïóêëûé êîìïàêò. Òîãäà ó íåãî èìåþòñÿ âíóòðåííèå òî÷êè; áåç îãðàíè÷åíèÿ
îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü ýòó âíóòðåííþþ òî÷êó ðàâíîé 0. Äëÿ êàæäîãî åäèíè÷íîãî âåêòîðà
v ïîëîæèì k(v) = max(r ∈ R, rv ∈ X). Äîâîëüíî ÿñíî, ÷òî 0 < k(v) è k(v) íåïðåðûâíî
çàâèñèò îò âåêòîðà v .
Òåïåðü èñêîìûé ãîìåîìîðôèçì g : Dn → X ñòðîèòñÿ áåç òðóäà. Îí ïåðåâîäèò 0 â 0,
à äëÿ íåíóëåâîãî âåêòîðà y ∈ Dn ìû ïîëàãàåì g(y) = k(y/|y|)y . Èíà÷å ãîâîðÿ, âåêòîð y
óäëèíÿåòñÿ â k(y/|y|) ðàç. ßñíî, ÷òî g îáðàòèì: îáðàòíîå îòîáðàæåíèå g −1 çàäàåòñÿ òàêæå
ÿâíî: äëÿ x ∈ X g −1 (x) = x/k(x/|x|). Ìû îñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ ïðîâåðêó íåïðåðûâíîñòè g
è g −1 .
Òàêèì îáðàçîì, äîñòàòî÷íî äîêàçàòü òåîðåìó Áðàóýðà äëÿ ëþáîãî øàðà Dn èëè ëþáîãî
(ñòàíäàðòíîãî) ñèìïëåêñà ∆n . Ñòîèò, îäíàêî, íàïîìíèòü, ÷òî òàêîå ñèìïëåêñ.
Ïóñòü S êîíå÷íîå ìíîæåñòâî. Ñòàíäàðòíûì ñèìïëåêñîì ñ âåðøèíàìè â S íàçûâàåòñÿ
P
ìíîæåñòâî òàêèõ òî÷åê x = (xs ) â RS , ÷òî âñå êîîðäèíàòû xs ≥ 0 è èõ ñóììà s xs = 1.
Òàêîé ñèìïëåêñ îáîçíà÷àåòñÿ êàê ∆S (îáû÷íî S = {1, . . . , n}, è òîãäà ìû îáîçíà÷àåì åãî
êàê ∆n ). Íàïðèìåð, ∆1 ñîñòîèò èç îäíîé òî÷êè, ∆2 îòðåçîê, ∆3 òðåóãîëüíèê, ∆4 òåòðàýäð, è ò. ä.
Êàæäûé ýëåìåíò s ∈ S ðåàëèçóåòñÿ êàê âåðøèíà ñèìïëåêñà ∆S , à èìåííî êàê òàêàÿ
òî÷êà, ÷òî åãî s-ÿ êîîðäèíàòà ðàâíà 1, à îñòàëüíûå ðàâíû 0. È âîîáùå, åñëè T ïîäìíî
æåñòâî S , òî ñèìïëåêñ ∆T åñòåñòâåííî ðåàëèçóåòñÿ êàê ãðàíü ñèìïëåêñà ∆S . Ïðè ýòîì
25
26
ËÅÊÖÈß 4.
ÒÅÎÐÅÌÀ ÁÐÀÓÝÐÀ: ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÀ È ÀËÃÎÐÈÒÌÛ
T
∆T ∆U = ∆T T U äëÿ T, U ⊂ S . Ãðàíè âèäà ∆S−{s} , ãäå s ∈ S , íàçûâàþòñÿ ñòåíêàìè ∆S ,
ïðîòèâîïîëîæíûìè âåðøèíå s; îíè çàäàþòñÿ óðàâíåíèåì xs = 0.
Î÷åâèäíî, ÷òî ñèìïëåêñ ∆S ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì ìíîæåñòâîì (ðàçìåðíîñòè n − 1), è
áîëåå òîãî, âûïóêëîé îáîëî÷êîé ñâîèõ âåðøèí s ∈ S . Ýòè âåðøèíû àôôèííî íåçàâèñèìû
â òîì ñìûñëå, ÷òî äëÿ ëþáîãî âûïóêëîãî ìíîæåñòâà Y è ëþáîãî îòîáðàæåíèÿ f : S → Y
ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå àôôèííîå îòîáðàæåíèå fˆ : ∆S → Y , ïðîäîëæàþùåå f (èíòåãðàë,
èëè ñðåäíåå). ×àñòî ïîýòîìó ñèìïëåêñîì íàçûâàþò ëþáîå ïîäìíîæåñòâî â âåêòîðíîì ïðî
ñòðàíñòâå V , ÿâëÿþùååñÿ âûïóêëîé îáîëî÷êîé àôôèííî íåçàâèñèìîãî íàáîðà òî÷åê. Òàêèå
ñèìïëåêñû àôôèííî èçîìîðôíû ñòàíäàðòíûì.
Ëåììà Øïåðíåðà
Öåíòðàëüíóþ ðîëü â ïðèâîäèìîì íèæå äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû Áðàóýðà áóäåò èãðàòü âñïî
ìîãàòåëüíàÿ êîìáèíàòîðíàÿ ëåììà, ïîëó÷åííàÿ Øïåðíåðîì â 1928 ã. ×òîáû îíà íå âû
ñêàêèâàëà, êàê ÷åðò èç òàáàêåðêè, ñäåëàåì íåêîòîðûå ïîÿñíåíèÿ. Ïóñòü f : ∆S → ∆S íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå ñòàíäàðòíîãî ñèìïëåêñà â ñåáÿ. Äëÿ êàæäîãî s ∈ S ðàññìîòðèì
ìíîæåñòâî
Fs = {x = (xt ) ∈ ∆S , f (x)s ≤ xs }.
Òî åñòü ýòî ìíîæåñòâî òàêèõ òî÷åê, îáðàç êîòîðûõ íå ïðèáëèæàåòñÿ ê âåðøèíå s. Íàøà
çàäà÷à ïîêàçàòü, ÷òî âñå ýòè ìíîæåñòâà Fs èìåþò îáùóþ òî÷êó.  ñàìîì äåëå, åñëè òî÷êà
ñèìïëåêñà x∗ ïðèíàäëåæèò âñåì Fs , îíà (ïîä äåéñòâèåì f ) íå ïðèáëèæàåòñÿ íè ê êàêîé
âåðøèíå, à çíà÷èò, îñòàåòñÿ íà ìåñòå.
À ÷òî ìû çíàåì î ìíîæåñòâàõ Fs ? ßñíî, ÷òî âñå îíè çàìêíóòû. Äàëåå, â ñîâîêóïíîñòè
îíè ïîêðûâàþò ñèìïëåêñ ∆S ; äåéñòâèòåëüíî, íå ìîæåò æå òî÷êà ñèìïëåêñà ïðèáëèæàòüñÿ
êî âñåì ñâîèì âåðøèíàì! Íà ñàìîì äåëå, ýòî ñîîáðàæåíèå ãîäèòñÿ äëÿ ëþáîé ãðàíè, è ìû
èìååì ñëåäóþùåå ñâîéñòâî: äëÿ ëþáîãî T ⊂ S ãðàíü ∆T ïîêðûâàåòñÿ ìíîæåñòâàìè Ft , ãäå
t ∈ T.
Çàìå÷àòåëüíî, ÷òîSòîëüêî ýòèõ äâóõ ñâîéñòâ ñåìåéñòâà ìíîæåñòâ (Fs , s ∈ S ) (çàìêíóòî
ñòè è òîãî, ÷òî ∆T ⊂ t∈T Ft äëÿ ëþáîãî T ⊂ S ) äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ãàðàíòèðîâàòü íàëè÷èå
îáùåé òî÷êè ó Fs . Ýòî ñîñòàâëÿåò ñîäåðæàíèå òåîðåìû ÊíàñòåðàÊóðàòîâñêîãîÌàçóðêå
âè÷à (1929), òàêæå ýêâèâàëåíòíîé òåîðåìå Áðàóýðà. Ìû, îäíàêî, íå áóäåì îñòàíàâëèâàòüñÿ
íà ÊÊÌ, à äâèíåìñÿ ê Øïåðíåðó. Òóò ïîëåçíî ÷óòü èçìåíèòü òåðìèíîëîãèþ. Âìåñòî òîãî,
÷òîáû ãîâîðèòü, ÷òî òî÷êà ñèìïëåêñà x ïðèíàäëåæèò Fs , ñêàæåì, ÷òî òî÷êà x èìååò ìåòêó
s. ÊÊÌ óòâåðæäàåò, ÷òî ñóùåñòâóåò òî÷êà x∗ , èìåþùàÿ âñå ìåòêè.
Òàê âîò, ëåììà Øïåðíåðà ïðåäñòàâëÿåò êîíå÷íóþ àïïðîêñèìàöèþ ÊÊÌ. Ïóñòü V êîíå÷íîå, íî äîñòàòî÷íî ïëîòíîå ïîäìíîæåñòâî â ñèìïëåêñå ∆S , è êàæäîé òî÷êå v ∈ V ïðè
ïèñàíà íåêîòîðàÿ ìåòêà èç S . Òîãäà (ïðè äîïîëíèòåëüíîì ãðàíè÷íîì óñëîâèè) ñóùåñòâóåò
ãðóïïà áëèçêîðàñïîëîæåííûõ òî÷åê, èìåþùèõ â ñîâîêóïíîñòè âñå ìåòêè.
Áîëåå òî÷íî, â ëåììå Øïåðíåðà ïðåäïîëàãàåòñÿ çàäàííîé íåêîòîðàÿ òðèàíãóëÿöèÿ Σ
ñèìïëåêñà ∆S ; âåðøèíû ýòîé òðèàíãóëÿöèè è îáðàçóþò ìíîæåñòâî V . Âåðøèíû ñ÷èòàþòñÿ
áëèçêèìè, åñëè îíè ïðèíàäëåæàò íåêîòîðîìó ñèìïëåêñó èç òðèàíãóëÿöèè Σ. Ìû íå ïðèâî
äèì ôîðìàëüíîãî îïðåäåëåíèÿ òðèàíãóëÿöèè; ýòî íåêîòîðîå êîíå÷íîå ïîêðûòèå ∆S áîëåå
ìåëêèìè ñèìïëåêñàìè (îíè îáîçíà÷àþòñÿ σ , τ è ò. ï.), êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåìó
ãëàâíîìó òðåáîâàíèþ: äëÿ ëþáûõ ñèìïëåêñîâ σ è τ èõ ïåðåñå÷åíèå σ ∩ τ ÿâëÿåòñÿ ãðàíüþ
êàê â σ , òàê è â τ (áûòü ìîæåò, ïóñòîé). Êàæäàÿ âåðøèíà v íàøåé òðèàíãóëÿöèè èìååò
ìåòêó l(v) ∈ S . Ãðàíè÷íîå óñëîâèå ÊÊÌ ïðèîáðåòàåò òàêîé âèä: åñëè âåðøèíà v ∈ V ëå
æèò íà ãðàíè ∆T , T ⊂ S , òî åå ìåòêà òàêæå ïðèíàäëåæèò T . Ïîñëå ýòèõ ïðåäâàðèòåëüíûõ
ïîÿñíåíèé ìîæíî äàòü îêîí÷àòåëüíóþ ôîðìóëèðîâêó ëåììû.
27
Ëåììà (Øïåðíåð, 1928). Ïóñòü äàíà òðèàíãóëÿöèÿ Σ ñèìïëåêñà ∆S ñ ìíîæåñòâîì
âåðøèí V . Ïóñòü êàæäàÿ âåðøèíà v ∈ V ïîìå÷åíà íåêîòîðûì ýëåìåíòîì èç S , ò. å. äàíî
îòîáðàæåíèå l : V → S , ïðè÷åì âåðøèíû, ëåæàùèå íà ãðàíè ∆T , T ⊂ S , èìåþò ìåòêè
èç T . Òîãäà ñóùåñòâóåò ñèìïëåêñ σ íàøåé òðèàíãóëÿöèè, âåðøèíû êîòîðîãî íåñóò âñå
ìåòêè èç S .
Òàêîé ñèìïëåêñ íàçûâàåòñÿ äàëåå ïåñòðûì. Âûáèðàÿ ïðåäåëüíóþ òî÷êó âñå áîëåå ìåë
êèõ ïåñòðûõ ñèìïëåêñîâ, ìû âèäèì, ÷òî òåîðåìà Áðàóýðà (èëè ÊÊÌ) ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì
ëåììû Øïåðíåðà è ñóùåñòâîâàíèÿ ñêîëü óãîäíî ìåëêîé òðèàíãóëÿöèè.
Òðèàíãóëÿöèè
Ñêàæåì êðàòêî î ñóùåñòâîâàíèè ìåëêèõ òðèàíãóëÿöèé ñèìïëåêñà ∆S . Îäèí èç ñïîñîáîâ
ïîñòðîåíèÿ èñïîëüçóåò áàðèöåíòðè÷åñêèå ðàçáèåíèÿ. Îäíàêî áîëåå ïîëåçíûì ÷àñòî áûâà
åò äðóãîé ðåãóëÿðíûé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ ñêîëü óãîäíî ìåëêîé òðèàíãóëÿöèè. Ïóòü m (áîëüøîå) öåëîå ÷èñëî. Ìû ïîñòðîèì ñåé÷àñ òðèàíãóëÿöèþ ñèìïëåêñà ∆n , âåðøèíàìè êî
òîðîé áóäóò òî÷êè èç ∆n , êîîðäèíàòû êîòîðûõ ïðèíàäëåæàò (1/m)Z. Äëÿ ýòîãî óäîáíåå
òðèàíãóëèðîâàòü äðóãîé ñèìïëåêñ, çàäàííûé óðàâíåíèÿìè
∆ = {x = (xi ) ∈ Rn , m ≥ x1 ≥ · · · ≥ xn ≥ 0},
òàê ÷òî âåðøèíû òðèàíãóëÿöèè áóäóò íàõîäèòüñÿ â öåëî÷èñëåííûõ òî÷êàõ. Ñèìïëåêñû ýòîé
òðèàíãóëÿöèè óñòðîåíû òàê. Çàôèêñèðóåì íåêîòîðóþ ïåðåñòàíîâêó π ìíîæåñòâà {1, . . . , n}
è öåëî÷èñëåííóþ òî÷êó y ∈ Zn .
Òîãäà ñèìïëåêñ σy,π íàòÿãèâàåòñÿ íà òî÷êè
x0 = y,
x1 = x0 + eπ(1) ,
...,
xn = xn−1 + eπ(n) .
Çäåñü ei i-é áàçèñíûé âåêòîð.
Íóæíî ïðîâåðèòü, ÷òî ëþáàÿ òî÷êà ñèìïëåêñà ∆ = {x = (xi ) ∈ Rn , m ≥ x1 ≥ · · · ≥ xn ≥
0}, ïîïàäàåò â íåêîòîðûé ñèìïëåêñ òðèàíãóëÿöèè. Îáîçíà÷èì ÷åðåç [a] öåëóþ ÷àñòü ÷èñëà
a. Òîãäà â êà÷åñòâå y äëÿ òî÷êè x âîçüìåì òî÷êó [x] ñ êîîðäèíàòàìè [xi ], à ïåðåñòàíîâêó π
âîçüìåì â ñîîòâåòñòâèè ñ óáûâàíèåì ÷èñåë xi − [xi ]. Êîíå÷íî, ïðè ýòîì íóæíî óáåäèòüñÿ,
÷òî âåðøèíû ñèìïëåêñà σy,π òàêæå ïðèíàäëåæàò ∆, åñëè òî÷êà x áûëà èç ∆. Îñòàâèì ýòî
â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû Øïåðíåðà
Ñèìïëåêñ òðèàíãóëÿöèè, âåðøèíû êîòîðîãî èìåþò âñå ìåòêè, íàçûâàåòñÿ ïåñòðûì. Òàêèì
îáðàçîì, ëåììà Øïåðíåðà óòâåðæäàåò ñóùåñòâîâàíèå ïåñòðîãî ñèìïëåêñà. Êàê ýòî èíîãäà
áûâàåò, ëåã÷å äîêàçàòü áîëåå ñèëüíîå óòâåðæäåíèå. À èìåííî, ìû ïîêàæåì, ÷òî ïåñòðûõ
ñèìïëåêñîâ íå÷åòíîå ÷èñëî. Ïî÷åìó æå ëåã÷å äîêàçûâàòü áîëåå ñèëüíîå óòâåðæäåíèå? Äå
ëî â òîì, ÷òî ïðè èíäóêòèâíîì ðàññóæäåíèè ìû îïèðàåìñÿ íà áîëåå ñèëüíóþ ïîñûëêó, è
ýòî îáëåã÷àåò è ïîìîãàåò ïîëó÷èòü è áîëåå ñèëüíîå çàêëþ÷åíèå. Ìû óáåäèìñÿ â ýòîì ïðè
äîêàçàòåëüñòâå ëåììû Øïåðíåðà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Îíî ïðîâîäèòñÿ ïî èíäóêöèè è î÷åâèäíî âåðíî äëÿ 0-ìåðíîãî ñèìïëåêñà
∆1 .  îáùåì ñëó÷àå îòîæäåñòâèì S ñ ìíîæåñòâîì {1, . . . , n}. Êðîìå ïåñòðûõ ñèìïëåêñîâ,
êîòîðûå èìåþò âñå ìåòêè îò 1 äî n, â ðàññóæäåíèè âàæíóþ ðîëü áóäóò èãðàòü ò. í. ïîëóïå
ñòðûå ñèìïëåêñû, ïîìå÷åííûå ìåòêàìè îò 1 äî n − 1. ßñíî, ÷òî ïîëóïåñòðûì ìîæåò áûòü
òîëüêî ñèìïëåêñ ðàçìåðíîñòè n − 1 èëè n − 2. Ðàññìîòðèì òðè ìíîæåñòâà:
1) A ìíîæåñòâî ïåñòðûõ ñèìïëåêñîâ,
28
ËÅÊÖÈß 4.
ÒÅÎÐÅÌÀ ÁÐÀÓÝÐÀ: ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÀ È ÀËÃÎÐÈÒÌÛ
2) B ìíîæåñòâî ïîëóïåñòðûõ ñèìïëåêñîâ òðèàíãóëÿöèè, ëåæàùèõ íà ãðàíè ∆{1,...,n−1} ,
3) I ìíîæåñòâî ïàð (σ, τ ), ãäå σ (n − 1)-ìåðíûé ñèìïëåêñ, à τ åãî ïîëóïåñòðàÿ
ãðàíü.
Ïîñ÷èòàåì ÷èñëî ýëåìåíòîâ |I| ìíîæåñòâà I äâóìÿ ñïîñîáàìè.
Ïåðâûé ñïîñîá. Åñëè (σ, τ ) ïàðà èç I , òî ñèìïëåêñ σ ëèáî ïåñòðûé (ò. å. ïðèíàäëåæèò
A), ëèáî ïîëóïåñòðûé.  ïåðâîì ñëó÷àå äëÿ òàêîãî σ èìååòñÿ ðîâíî îäíà ïàðà (σ, ·) èç I (à
èìåííî, (σ, τ )), âî âòîðîì ðîâíî äâå òàêèõ ïàðû. Ïîýòîìó |I| = |A| + ÷åòíîå ÷èñëî.
Âòîðîé ñïîñîá. Åñëè (σ, τ ) ïàðà èç I , òî ëèáî σ ëåæèò ¾âíóòðè¿ ∆n , ëèáî ëåæèò íà
ãðàíèöå. Åñëè τ ëåæèò âíóòðè ∆n , òî îí ÿâëÿåòñÿ ãðàíüþ äâóõ (n − 1)-ìåðíûõ ñèìïëåêñîâ
òðèàíãóëÿöèè Σ, è èìååòñÿ ðîâíî äâå ïàðû (·, τ ) ∈ I . Åñëè τ ëåæèò íà ãðàíèöå, òî ðîâíî îäíà
òàêàÿ ïàðà. Ïðè ýòîì â ñèëó óñëîâèÿ ëåììû τ ëåæèò íà ãðàíè ∆{1,...,n−1} , ò. å. ïðèíàäëåæèò
ìíîæåñòâó B . Ïîýòîìó |I| = ÷åòíîå ÷èñëî + |B|.
Çàêëþ÷àåì, ÷òî èíòåðåñóþùåå íàñ ÷èñëî |A| îòëè÷àåòñÿ îò ÷èñëà |B| íà ÷åòíîå ÷èñëî.
Íî |B| ýòî â òî÷íîñòè ÷èñëî ïåñòðûõ ñèìïëåêñîâ òðèàíãóëÿöèè ãðàíè ∆{1,...,n−1} , è ïî
èíäóêöèè ýòî ÷èñëî íå÷åòíîå. Ïîýòîìó íå÷åòíî è |A|.
Îáñóæäåíèå äîêàçàòåëüñòâà
Íà ðèñ. ?? èçîáðàæåíà òðèàíãóëÿöèÿ ∆3 . Åñëè ìû ïîìåòèì ïåñòðûå è ïîëóïåñòðûå ñèì
ïëåêñû, òî óâèäèì, ÷òî îíè îáðàçóþò ïóòè. È ýòè ïóòè áûâàþò ÷åòûðåõ òèïîâ:
Ðèñ. 1
1) íà÷èíàþòñÿ íà ãðàíè è çàêàí÷èâàþòñÿ íà ãðàíè;
2) öèêëû;
3) íà÷èíàþòñÿ íà ãðàíè è çàêàí÷èâàþòñÿ â ïåñòðîì ñèìïëåêñå;
4) íà÷èíàþòñÿ è çàêàí÷èâàþòñÿ â ïåñòðîì ñèìïëåêñå.
Ýòî íàâîäèò íà ìûñëü îá àëãîðèòìå ïîèñêà ïåñòðîãî ñèìïëåêñà. Íàäî íà÷àòü ñ ïîëó
ïåñòðîãî ñèìïëåêñà íà ãðàíè, è äâèãàòüñÿ ïî ïîëóïåñòðûì ñèìïëåêñàì, ïîêà íå ïðèäåì â
ïåñòðûé ñèìïëåêñ. Áîëåå òî÷íî, ìû íà÷èíàåì ñ ïîëóïåñòðîãî ñèìïëåêñà ðàçìåðíîñòè n − 2,
ëåæàùåãî íà ãðàíè-îñíîâàíèè. Îí ÿâëÿåòñÿ ãðàíüþ åäèíñòâåííîãî ñèìïëåêñà ðàçìåðíîñòè
n − 1. Åñëè îí íå ïåñòðûé, òî ïîëóïåñòðûé, è ó íåãî åñòü âòîðàÿ ïîëóïåñòðàÿ ãðàíü, ïðè÷åì
åäèíñòâåííàÿ. Ê ýòîé ãðàíè îïÿòü ïðèìûêàåò åäèíñòâåííûé íîâûé ñèìïëåêñ ðàçìåðíîñòè
n − 1, è ò. ä.
29
Íåêîòîðîå ÿâíîå íåóäîáñòâî ñîñòîèò â òîì, ÷òî ìû ìîæåì ïðèéòè íå â ïåñòðûé ñèìïëåêñ,
à âåðíóòüñÿ íà òó æå ãðàíü. Çàìåòèì, îäíàêî, ÷òî ïîñëåäíåãî íå ñëó÷èòñÿ, åñëè íà îñíîâàíèè
èìååòñÿ òîëüêî îäèí ïîëóïåñòðûé ñèìïëåêñ. Ïîýòîìó ïðåäâàðèòåëüíî äîáàâëÿåòñÿ åùå îäèí
ñëîé ñèìïëåêñîâ (ïîä îñíîâàíèåì), êîòîðûé ðàçìå÷àåòñÿ òàê, ÷òîáû íà íåì èìåëñÿ ðîâíî
îäèí ïîëóïåñòðûé ñèìïëåêñ. Ñòàðòóÿ ñ íåãî, ïóòü óæå îáÿçàòåëüíî ïðèâåäåò ê ïåñòðîìó
ñèìïëåêñó (ñì. ðèñ. ??).
Ðèñ. 2
Ýòà èäåÿ ìîæåò îôîðìëÿòüñÿ ìíîãèìè ðàçíûìè ñïîñîáàìè è ïðèâîäèò ê ðàçëè÷íûì àë
ãîðèòìàì ïðèáëèæåííîãî íàõîæäåíèÿ íåïîäâèæíîé òî÷êè. Çäåñü íåò âîçìîæíîñòè âõîäèòü
â äåòàëè è ðàçëè÷íûå óõèùðåíèÿ; ïîäðîáíåå ñì. êíèãó Òîääà [8].
Äðóãèå äîêàçàòåëüñòâà
Òåîðåìà Áðàóýðà, áóäó÷è âåñüìà íåòðèâèàëüíîé, èìååò ìíîãî ðàçëè÷íûõ äîêàçàòåëüñòâ,
èñïîëüçóþùèõ ðàçíûå ìåòîäû è ïîäõîäû. Áåç ïðåóâåëè÷åíèÿ ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ýòè äî
êàçàòåëüñòâà ñëóæàò õîðîøèì ââåäåíèåì âî ìíîãèå îáëàñòè ìàòåìàòèêè. Îðèãèíàëüíîå
äîêàçàòåëüñòâî Áðàóýðà èñïîëüçîâàëî òåîðèþ èíäåêñîâ âåêòîðíûõ ïîëåé. Ïðèâåäåííîå âû
øå äîêàçàòåëüñòâî îïèðàëîñü íà êîìáèíàòîðíóþ ëåììó Øïåðíåðà. Íèæå ìû íàìåòèì òðè
äðóãèõ äîêàçàòåëüñòâà. Áîëåå òî÷íî, ìû áóäåì îáñóæäàòü äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû î íåðå
òðàãèðóåìîñòè äèñêà Dn íà åãî ãðàíèöó ∂Dn = Sn−1 , ýêâèâàëåíòíîé (ñì. ëåêöèþ 2) òåîðåìå
Áðàóýðà.
Àëãåáðàè÷åñêàÿ òîïîëîãèÿ. Ìåòîä àëãåáðàè÷åñêîé òîïîëîãèè ñîñòîèò â ïîñòðîåíèè ïîä
õîäÿùåãî ôóíêòîðà èç òîïîëîãèè â àëãåáðó. Ñ êàæäûì òîïîëîãè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì X
ñâÿçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèé îáúåêò H(X) (â íàøåì ñëó÷àå ýòî áóäåò âåêòîðíîå ïðîñòðàí
ñòâî), à ñ êàæäûì (íåïðåðûâíûì) îòîáðàæåíèåì f : X → Y ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå
H(f ) : H(X) → H(Y ) ýòèõ âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ. Ïðè ýòîì êîìïîçèöèÿ îòîáðàæåíèé
äàåò êîìïîçèöèþ, à òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå òîæäåñòâåííîå. Äåòàëè ýòèõ êîíñòðóê
öèé âûõîäÿò çà ðàìêè íàñòîÿùåãî èçëîæåíèÿ. Ïðèìåíèì ýòî ê íàøåé ñèòóàöèè, òî÷íåå, ê
ïðåäïîëîæåíèþ î ñóùåñòâîâàíèè ðåòðàêöèè f : D → S øàðà íà åãî ãðàíèöó.  êà÷åñòâå
H âîçüìåì òåîðèþ ãîìîëîãèé (ðàçìåðíîñòè n − 1 ñ êîýôôèöèåíòàìè â R). Âû÷èñëåíèÿ äà
þò, ÷òî H(D) = {0}, òîãäà êàê H(S) = R. Ñóùåñòâîâàíèå ðåòðàêöèè äàåò ãîìîìîðôèçìû
R = H(S) → H(D) → H(S) = R, êîìïîçèöèÿ êîòîðûõ òîæäåñòâåííà, èáî òàêîâà êîìïîçè
öèÿ îòîáðàæåíèé S → D → S (ñì. îïðåäåëåíèå ðåòðàêöèè èç ëåêöèè 2). Íî ñ äðóãîé ñòî
ðîíû, ýòîò ãîìîìîðôèçì íóëåâîé, èáî îí ïðîïóñêàåòñÿ ÷åðåç íóëåâîå ïðîñòðàíñòâî H(D).
Ýòî ïðîòèâîðå÷èå è äîêàçûâàåò íåâîçìîæíîñòü ðåòðàêöèè D íà ãðàíèöó.
Íåäîñòàòîê ýòîãî ïîäõîäà â íåîáõîäèìîñòè ðàçâèòèÿ ãîìîëîãè÷åñêîãî ôîðìàëèçìà,
30
ËÅÊÖÈß 4.
ÒÅÎÐÅÌÀ ÁÐÀÓÝÐÀ: ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÀ È ÀËÃÎÐÈÒÌÛ
íåñîìíåííî, ïîëåçíîãî äëÿ ìíîãèõ äðóãèõ çàäà÷, íî ÿâíî ÷ðåçìåðíîãî ïðèìåíèòåëüíî ê
òåîðåìå Áðàóýðà. Îòìåòèì, ÷òî ïîñòðîåíèå ãðóïï ãîìîëîãèé èñïîëüçóåò òðèàíãóëÿöèè, ïî
ÿâëÿþùèåñÿ â ëåììå Øïåðíåðà.
Äèôôåðåíöèàëüíàÿ òîïîëîãèÿ. Ñíîâà ïóñòü f : D → S ðåòðàêöèÿ øàðà íà åãî ãðà
íèöó. Äëÿ òî÷êè y ∈ S ðàññìîòðèì åå ïðîîáðàç f −1 (y). Èíòóèòèâíî ñëåäóåò îæèäàòü, ÷òî
f −1 (y) ÿâëÿåòñÿ îäíîìåðíîé êðèâîé, êîòîðàÿ íà÷èíàåòñÿ â òî÷êå y . Ïî èäåå, ó íåå äîëæåí
áûòü è äðóãîé êîíåö (ïî÷åìó?). Íà ãðàíèöå ∂D îí íå ìîæåò ëåæàòü, âñå òî÷êè ãðàíèöû
çàíÿòû äðóãèìè êðèâûìè. Âíóòðè ýòà êðèâàÿ òîæå íå ìîæåò îñòàíîâèòüñÿ (ïî÷åìó?). Âîò
è ïðîòèâîðå÷èå.
Êîíå÷íî, ýòî òîëüêî ãðóáàÿ èäåÿ, íî îíà îêàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé, õîòÿ åå ðåàëèçàöèÿ
òàêæå òðåáóåò çíà÷èòåëüíîé âîçíè. Âî ïåðâûõ, áåç îñîáûõ òðóäíîñòåé ìîæíî ïðåäïîëàãàòü,
÷òî ðåòðàêöèÿ f ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì îòîáðàæåíèåì. Âî âòîðûõ, òåîðåìà Ñàðäà (è ýòî ñàìîå
òðóäíîå è òåõíè÷åñêîå ìåñòî) ãàðàíòèðóåò ñóùåñòâîâàíèå òàêîé òî÷êè y ∈ S , ÷òî äèôôå
ðåíöèàë df íåâûðîæäåí âî âñåõ òî÷êàõ ¾êðèâîé¿ f −1 (y). À òîãäà f −1 (y) äåéñòâèòåëüíî
¾õîðîøàÿ êðèâàÿ¿ è íå ìîæåò êîí÷àòüñÿ âíóòðè D. Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ó íåå òîëüêî îäèí
êîíåö òî÷êà y , ÷åãî òîæå áûòü íå ìîæåò.
Îòìåòèì, ÷òî ýòî æå ðàññóæäåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî íå ñóùåñòâóåò ðåòðàêöèè ìíîãîîá
ðàçèÿ ñ êðàåì X íà åãî êðàé ∂X . Êñòàòè, ïóòü ïî ïîëóïåñòðûì ñèìïëåêñàì ýòî è åñòü
ãðóáûé àíàëîã äâèæåíèÿ ïî êðèâîé f −1 (y) èç òî÷êè y â ïîèñêàõ ¾äðóãîãî êîíöà¿.
Ôîðìóëà Ñòîêñà. Ïðèâåäåì åùå îäíî ¾ïî÷òè ýëåìåíòàðíîå¿ è íåñîìíåííî ñàìîå èçÿù
íîå äîêàçàòåëüñòâî, ïðèäóìàííîå ñðàâíèòåëüíî íåäàâíî (â 1981 ã.) Êàííàè. Ñíîâà ìû áóäåì
óñòàíàâëèâàòü íåñóùåñòâîâàíèå ãëàäêîé ðåòðàêöèè f : Dn → S øàðà D íà åãî ãðàíèöó. ×òî
áû ëó÷øå ïîíÿòü èäåþ, ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ¾î÷åâèäíûé¿ ñëó÷àé n = 1.
Èòàê, ïóñòü f ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ, îòîáðàæàþùàÿ îòðåçîê [0, 1] â ìíîæåñòâî {0, 1},
ïðè÷åì f (0) = 0 è f (1) = 1. Ïî ôîðìóëå ÍüþòîíàËåéáíèöà
Z
1
f 0 (x)dx = f (1) − f (0) = 1 − 0 = 1.
0
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, f 0 (x) = 0 äëÿ âñåõ x, òàê êàê îáðàç f äèñêðåòåí. Ïîýòîìó ëåâàÿ
ñòîðîíà ðàâíà 0. Ïðîòèâîðå÷èå!
Êàê ýòî ïðîçðà÷íîå ðàññóæäåíèå ïåðåíåñòè íà ñëó÷àé ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà n? Ðîëü
ôîðìóëû ÍüþòîíàËåéáíèöà áóäåò èãðàòü ôîðìóëà Ñòîêñà, êîòîðàÿ óòâåðæäàåò, ÷òî äëÿ
ìíîãîîáðàçèÿ ñ êðàåì X è äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìû ω íà íåì
Z
Z
dω =
ω.
X
∂X
Ïóñòü òåïåðü f ãëàäêîå îòîáðàæåíèå äèñêà D â ñåáÿ, îñòàâëÿþùåå íà ìåñòå òî÷êè
ãðàíèöû ∂D (ïîêà íàì íåâàæíî, ÷òî f ðåòðàãèðóåò D íà ãðàíèöó). Ïóñòü x1 , . . . , xn êîîðäèíàòû â Rn ; â ýòèõ êîîðäèíàòàõ f çàäàåòñÿ n ôóíêöèÿìè f1 (x), . . . , fn (x). Ðàññìîòðèì
äâå äèôôåðåíöèàëüíûå (n − 1)-ôîðìû íà D:
ω = x1 dx2 ∧ · · · ∧ dxn
è ω̃ = f1 df2 ∧ · · · ∧ dfn .
Òàê êàê fi = xi íà ãðàíèöå ∂D, òî îãðàíè÷åíèÿ ω è ω̃ íà ∂D ñîâïàäàþò. Ïîýòîìó èç ôîðìóëû
Ñòîêñà ìû èìååì:
Z
Z
Z
Z
dω =
ω=
ω̃ =
dω̃.
D
∂D
∂D
D
Ñëåâà ñòîèò èíòåãðàë ôîðìû îáúåìà dx1 ∧ dx2 ∧ · · · ∧ dxn , ò. å. îáúåì øàðà Dn ÷èñëî
ÿâíî íåíóëåâîå. Ñïðàâà ñòîèò èíòåãðàë ôîðìû dω̃ = df1 ∧ df2 ∧ · · · ∧ dfn . Åñëè òåïåðü ìû
31
ïîäêëþ÷èì ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî f ðåòðàêöèÿ íà êðàé, òî â ñèëó òîãî, ÷òî îáðàç
f èìååò ðàçìåðíîñòü ìåíüøå n, äèôôåðåíöèàëû df1 , . . . , dfn ëèíåéíî çàâèñèìû. Ïîýòîìó
dω̃ ≡ 0 è ïðàâûé èíòåãðàë ðàâåí 0. Ïðîòèâîðå÷èå!
Ýòî æå ðàññóæäåíèå äîêàçûâàåò îòñóòñòâèå ãëàäêîé ðåòðàêöèè îãðàíè÷åííîé îáëàñòè
B ⊂ Rn íà åå ãðàíèöó ∂B .
Èòàê, ìû îçíàêîìèëèñü ïî÷òè ñî âñåìè èçâåñòíûìè äîêàçàòåëüñòâàìè òåîðåìû Áðàóýðà
è âèäèì, ÷òî ñðåäè íèõ íåò âïîëíå óäîâëåòâîðèòåëüíîãî. Êîìáèíàòîðíîå äîêàçàòåëüñòâî
ýëåìåíòàðíî (åñëè îñòàâèòü â ñòîðîíå òðèàíãóëÿöèè), îäíàêî ÿâíî êàêîå-òî ¾óãëîâàòîå¿ è
ïðèâëåêàåò âñïîìîãàòåëüíóþ ïîñòîðîííþþ ñòðóêòóðó òðèàíãóëÿöèþ. Îñòàëüíûå òðåáóþò
èñïîëüçîâàíèÿ òîãî èëè èíîãî äîñòàòî÷íî ðàçâèòîãî ôîðìàëèçìà.
Óïðàæíåíèÿ
4.1. Äîêàæèòå íåïðåðûâíîñòü îòîáðàæåíèé k , g è g −1 èç íà÷àëà ëåêöèè.
4.2.* Âûâåñòè ëåììó ÊÊÌ èç òåîðåìû Áðàóýðà. (Óêàçàíèå. Ïóñòü Us = ∆\Fs äîïîëíåíèÿ
ê Fs . Åñëè ïåðåñå÷åíèå Fs ïóñòî, òî Us îáðàçóþò îòêðûòîå ïîêðûòèå ∆S . Ïóñòü (us , s ∈ S ) íåïðåðûâíîå ðàçáèåíèå åäèíèöû, ïîä÷èíåííîå îòêðûòîìó ïîêðûòèþ (Us ). Ýòî ñåìåéñòâî
ôóíêöèé (us ) çàäàåò íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå u : ∆S → ∆S ïî ôîðìóëå: u(x) = (us (x)).
Ïðèìåíèòü òåîðåìó Áðàóýðà ê u.)
4.3. Äîêàæèòå ñ ïîìîùüþ ëåììû ÊÊÌ ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò (Êè Ôàí). Ïóñòü V òîïî
ëîãè÷åñêîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî, S ⊂ V . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ êàæäîãî s ∈ S çàäàíî
êîìïàêòíîå ïîäìíîæåñòâî F (s) â V , óäîâëåòâîðÿþùåå ñëåäóþùåìó óñëîâèþ: äëÿ ëþáîãî
êîíå÷íîãî íàáîðà òî÷åê s1 , . . . , sn ∈ S âûïóêëàÿ îáîëî÷êà conv(s1 , . . . , sn ) ëåæèò â îáúåäèíå
íèè F (s1 ), . . . , F (sn ). Ïîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò òî÷êà x, îáùàÿ âñåì F (s)T, s ∈ S . (Óêàçàíèå:
ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî êîíå÷íîãî ïîäìíîæåñòâà T ⊂ S ïåðåñå÷åíèå t∈T F (t) íåïóñòî.)
4.4. Ïóñòü Y òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, ïîõîæåå íà áóêâó ¾Y¿. Ïîêàæèòå, ÷òî ëþáîå
íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå Y â ñåáÿ èìååò íåïîäâèæíóþ òî÷êó.
4.5.* Ïîäìíîæåñòâî X â Rn íàçûâàåòñÿ çâåçäíûì, åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êà x∗ ∈ X ,
÷òî äëÿ ëþáîãî x ∈ X îòðåçîê [x, x∗ ] öåëèêîì ëåæèò â X . Äëÿ çâåçäíûõ êîìïàêòîâ âåðåí
àíàëîã òåîðåìû Áðàóýðà. Êàêóþ èäåþ âû ìîãëè áû ïðåäëîæèòü äëÿ äîêàçàòåëüñòâà?
Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [5, 6, 8, 12].
32
ËÅÊÖÈß 4.
ÒÅÎÐÅÌÀ ÁÐÀÓÝÐÀ: ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÀ È ÀËÃÎÐÈÒÌÛ
Ëèòåðàòóðà
[1] Àðíîëüä Â.È., Îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. Ì., 1974
[2] Êèðóòà À.ß., Ðóáèíîâ À.Ì., ßíîâñêàÿ Å.Á., Îïòèìàëüíûé âûáîð ðàñïðåäåëåíèé â ñëîæ
íûõ ñîöèàëüíî-ýêîíîìè÷åñêèõ çàäà÷àõ, Ë., 1980
[3] Ëþñòåðíèê Ë.À., Ñîáîëåâ Â.È. Ýëåìåíòû ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà. Ì. 1965
[4] Ìàêàðîâ Â.Ë., Ðóáèíîâ À.Ì., Ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ ýêîíîìè÷åñêîé äèíàìèêè è ðàâ
íîâåñèÿ, Ì., 1973
[5] Ìèëíîð Äæ., Óîëëåñ À., Äèôôåðåíöèàëüíàÿ òîïîëîãèÿ, Ì., 1972
[6] Íèêàéäî Õ. Âûïóêëûå ñòðóêòóðû è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ýêîíîìèêà. Ì. 1972
[7] Ïîëòåðîâè÷ Â.Ì., Ýêîíîìè÷åñêîå ðàâíîâåñèå è õîçÿéñòâåííûé ìåõàíèçì, Ì., 1990
[8] Òîää Ì.Äæ. Âû÷èñëåíèå íåïîäâèæíûõ òî÷åê è ïðèëîæåíèÿ ê ýêîíîìèêå. Ì. 1983
[9] Øèëîâ Ã.Å., Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. Ñïåöèàëüíûé êóðñ. Ì., 1961
[10] Ýêëàíä È., Ýëåìåíòû ìàòåìàòè÷åñêîé ýêîíîìèêè, Ì., 1983
[11] Border K.C., Fixed point theorems with applications to economics and game theory. Cambridge, 1985
[12] Kannai Y., An elementary proof of the no-retraction theorem. Amer. Math. Monthly, 88
(1981) 264-268
Ñâåäåíèÿ îá àâòîðå: Äàíèëîâ Âëàäèìèð Èâàíîâè÷, ä. ô.-ì. í., ãëàâíûé íàó÷íûé ñîòðóä
íèê ÖÝÌÈ ÐÀÍ, ïðîôåññîð Ðîññèéñêîé ýêîíîìè÷åñêîé øêîëû.
33