C Ëèñòîê 17.11.2012 Êîìïëåêñíûå ÷èñëà è îñíîâíàÿ òåîðåìà àëãåáðû Ðèñ. 1: Ïîïóëÿðíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ øóòêà. Îñíîâíàÿ òåîðåìà àëãåáðû. Êîìïëåêñíûé ìíîãî÷ëåí f (z) = z n + an−1 z n−1 + ... + a2 z 2 + a1 z + a0 , ãäå a0 , a1 , a2 , ..., an−1 ïðîèçâîëüíûå êîìïëåêñíûå ÷èñëà, à n > 0, èìååò n êîìïëåêñíûõ êîðíåé ñ ó÷åòîì êðàòíîñòåé, äðóãèìè ñëîâàìè f (z) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå f (z) = (z − z1 )(z − z2 )...(z − zn ), ãäå z1 , z2 , ..., zn íåêîòîðûå êîìïëåêñíûå ÷èñëà. Îïðåäåëåíèå C.1. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà C âåùåñòâåííûå ÷èñëà, à ñèìâîë 2 òàêîå, ÷òî i = −1. x âåùåñòâåííîé ÷àñòüþ îáîçíà÷àåòñÿ Im(z). íàçûâàåòñÿ ÷èñëà z è ýòî ôîðìàëüíûå ñóììû âèäà x + iy , ãäå x, y i ìíèìàÿ åäèíèöà (êâàäðàòíûé êîðåíü èç −1), ò. å. ÷èñëî ÷èñëà z è îáîçíà÷àåòñÿ Re(z), à y ìíèìîé ÷àñòüþ C 1 (Ñëîæåíèå è óìíîæåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë). Ïîêàæèòå, êàê óñòðîåíî ñëîæåíèå è óìíîæåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, ò. å. åñëè z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 , íàéäèòå, ÷åìó ðàâíî z1 + z2 è z1 z2 . Óêàçàíèå: Ñêëàäûâàÿ êîìïëåêñíûå ÷èñëà, ìû ñêëàäûâàåì ïî÷ëåííî èõ âåùåñòâåííûå è ìíèìûå ÷àñòè, à ÷òîáû ïåðåìíîæèòü äâà êîìïëåêñíûõ ÷èñëà, íåîáõîäèìî ðàñêðûòü 2 ñêîáêè è âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðàâèëîì i = −1. [1 áàëë] C 2 (Ïîëå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë). Äîêàæèòå, ÷òî êîìïëåêñíûå ÷èñëà ÿâëÿþòñÿ ïîëåì, òî åñòü äëÿ íèõ âûïîëÿþòñÿ ñëåäóþùèå ñâîéñòâà: • z1 + z2 = z2 + z1 (êîììóòàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ) • (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ) (àññîöèàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ) • ñóùåñòâóåò òàêîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî 0, ÷òî äëÿ ëþáîãî êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z âûïîëíåíî z + 0 = 0 + z = z (íàëè÷èå íóëÿ) • äëÿ ëþáîãî êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî w, ÷òî z + w = 0 (íàëè÷èå ïðîòèâîïîëîæíîãî ýëåìåíòà) Ëèñòîê C 17.11.2012 • z1 z2 = z2 z1 (êîììóòàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ) • (z1 z2 )z3 = z1 (z2 z3 ) (àññîöèàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ) • ñóùåñòâóåò òàêîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî 1, ÷òî äëÿ ëþáîãî êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z âûïîëíåíî z · 1 = 1 · z = z (íàëè÷èå åäèíèöû) • äëÿ ëþáîãî íåíóëåâîãî êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî w, ÷òî z · w = w · z = 1. Äëÿ êàæäîãî z = x + iy íàéäèòå òàêîé ýëåìåíò w ÿâíî (íàëè÷èå îáðàòíîãî ýëåìåíòà) • w(z1 + z2 ) = wz1 + wz2 (äèñòðèáóòèâíîñòü óìíîæåíèÿ). [1 áàëë] C 3 (Êîìïëåêñíûå êîðíè). Íàéäèòå âñå êîìïëåêñíûå êîðíè ñëåäóþùèõ óðàâíåíèé: 2 à) x = −1 [0.25 áàëëà] 4 á) x = 1 [0.25 áàëëà] 2 â) x − 2x + 2 = 0 [0.25 áàëëà] 3 2 ã) x − x + 2 = 0 [0.25 áàëëà] C 4 (Ïðåäñòàâëåíèÿ ïî ôîðìóëå Ýéëåðà). Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîå íåíóëåâîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî z åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïðåäñòàâèìî â âèäå z = r(cos φ + i sin φ), ãäå r ïîëîæèòåëüíîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî, à φ ∈ [0; 2π). ×èñëî r íàçûâàåòñÿ ìîäóëåì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z è îáîçíà÷àåòñÿ |z|, à φ åãî àðãóìåíòîì è îáîçíà÷àåòñÿ arg(z). [1 áàëë] C 5 (Ïðèìåðû ôîðìóëû Ýéëåðà). Ïðåäñòàâüòå êîìïëåêñíîå ÷èñëî â âèäå Ýéëåðà: •1 • -1 • 8i • 1+i √ • 23 + 12 i √ • 57 − √ 57 3i • −2 2 − 7i [1 áàëë] C 6 (Ïðåäñòàâëåíèå íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè). Êàæäîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî z = x + iy ìîæíî ïðåäñòàâèòü íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè ñ îñÿìè Rez, Imz êàê âåêòîð ñ íà÷àëîì â íóëå è êîíöîì â (x, y). Ãäå íà ýòîé êàðòèíêå ìîäóëü z ? Åãî àðãóìåíò? Íàðèñóòå âåêòîðà, ñîîòâåòñòâóþùèå êîìïëåêñíûì ÷èñëàì èç ïðåäûäóùåãî çàäàíèÿ. [1 áàëëà] C 7 (Êàê íàäî äóìàòü î ïåðåìíîæåíèè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë).  êàêîé âåêòîð ïåðåéäåò âåêòîð, ñîîòâåòñòâóþùèé êîìïëåêñíîìó ÷èñëó z , ïðè äîìíîæåíèè åãî íà êîìïëåêñíîå ÷èñëî w = r(cos φ + i sin φ)? Èçîáðàçèòå ýòè âåêòîðà íà ïëîñêîñòè. Òîò æå âîïðîñ äëÿ âîçâåäåíèÿ âåêòîðà z â ñòåïåíü n. [1 áàëëà] C 8 (Åùå êîìïëåêñíûå êîðíè). Ðåøèòå óðàâíåíèÿ â êîìïëåêñíûõ ÷èñëàõ. 3 à) x = 1 [0.25 áàëëà] 4 á) (x + 3) = 16 [0.25 áàëëà] 2 â) x + 2x + 2 = 0 [0.25 áàëëà] 7 ã) x = 5 [0.25 áàëëà] C 9 (Ôîðìóëà Ìóàâðà). Äîêàæèòå ôîðìóëó Ìóàâðà: (cos φ + i sin φ)n = cos(nφ) + i sin(nφ). [1 áàëë] Îïðåäåëåíèå C.2. Èíäåêñîì ïîâîðîòà âåêòîðà −−→ v(x) ïðè îáõîäå òî÷êè x âäîëü êðèâîé íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà èçìåíåíèé â óãëå âåêòîðà, ãäå ÷àñòíûå ïîâîðîòû ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè ñ÷èòàþòñÿ ñî çíàêîì ïëþñ, à ïî ÷àñîâîé ñî çíàêîì ìèíóñ. Óêàçàíèå: Äëÿ òîãî, ÷òîáû ëó÷øå B Òåîðåìà Áðàóýðà. èç Ëèñòêà îçíàêîìèòüñÿ ñ ïîíÿòèåì èíäåêñà, ñìîòðèòå çàäà÷è Ëèñòîê C 17.11.2012 C 10 (Èíäåêñ ïîâîðîòà âåêòîðà z n ). ×åìó ðàâåí èíäåêñ ïîâîðîòà âåêòîðà z n ïðè îáõîäå òî÷êîé z îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â íóëå è ðàäèóñà R. [1 áàëë]  ñëåäóþùèõ çàäà÷àõ f (z) = z n + an−1 z n−1 + ... + a2 z 2 + a1 z + a0 , ãäå a0 , a1 , a2 , ..., an−1 ïðîèçâîëüíûå êîìïëåêñíûå ÷èñëà, à n > 0. C 11 (Îöåíêà íà f (z)). Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò R, ÷òî äëÿ ëþáîãî z òàêîãî, ÷òî |z| = R, îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé òî÷êè f (z) è z n , íå ïðîõîäèò ÷åðåç 0 (ñì. Ðèñ. 2). [1 áàëë] Ðèñ. 2: Ðèñóíîê ê çàäà÷å 11 Îïðåäåëåíèå C.3. Êðèâûå Γ0 è Γ1 íàçûâàþòñÿ ïðåäúÿâèòü íåïðåðûâíîå ñåìåéñòâî êðèâûõ [0, 1], γt , ãîìîòîïíûìè â ôèãóðå S, åñëè ìîæíî ïîëíîñòüþ ëåæàùèõ â ôèãóðå γ0 = Γ0 è γ1 = Γ1 . Èíà÷å ãîâîðÿ, åñëè êðèâóþ Γ0 êðèâóþ Γ1 , âñå âðåìÿ îñòàâàÿñü âíóòðè ôèãóðû S . à S, ãäå t∈ ìîæíî íåïðåðûâíî ïåðåòÿíóòü â C 12 (Ãîìîòîïíîñòü Γf (z) è Γzn ). Ïóñòü z îáõîäèò îêðóæíîñòü ðàäèóñà R ñ öåíòðîì â n íóëå. Òîãäà z îáõîäèò íåêîòîðóþ êðèâóþ Γz n , à f (z) íåêîòîðóþ êðèâóþ Γf (z) . Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò R òàêîå, ÷òî êðèâûå Γf (z) è Γz n ãîìîòîïíû â ôèãóðå C \ 0, òî åñòü íàéäåòñÿ íåïðåðûâíîå ñåìåéñòâî êðèâûõ, íèêàêàÿ èç êîòîðûõ íå ïðîõîäèò ÷åðåç íîëü, íà÷èíàþùååñÿ ñ Γf (z) è çàêàí÷èâàþùååñÿ Γzn . [1 áàëë] C 13 (On the one hand). Äîêàæèòå, ÷òî íàéäåòñÿ òàêîå R, ÷òî èíäåêñ ïîâîðîòà âåêòîðà f (z) ïðè îáõîäå òî÷êîé z îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â íóëå ðàäèóñà R ðàâåí 2πn. [1 áàëë] C 14 (On the other hand). Äîêàæèòå, ÷òî íàéäåòñÿ òàêîå r, ÷òî èíäåêñ ïîâîðîòà âåêòîðà f (z) ïðè îáõîäå òî÷êîé z îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â íóëå ðàäèóñà r ðàâåí 0. [1 áàëë] C 15 (P rõvocõ : Òåîðåìà Ãàóññà). Äîêàæèòå, ÷òî âñÿêèé êîìïëåêñíûé ìíîãî÷ëåí z n + an−1 z n−1 + ... + a2 z 2 + a1 z + a0 , ãäå a0 , a1 , a2 , ..., an−1 - ïðîèçâîëüíûå êîìïëåêñíûå ÷èñëà, à n > 0 èìååò êîìïëåêñíûé êîðåíü. [3 áàëëà] C 16 (Îñíîâíàÿ òåîðåìà àëãåáðû). Äîêàæèòå îñíîâíóþ òåîðåìó àëãåáðû. [1 áàëë]