Конечно определенные минимальные сложные классы графов

Êîíå÷íî
îïðåäåëåííûå
ìèíèìàëüíûå
ñëîæíûå
ñïèñêîâîì ðàíæèðîâàíèè
êëàññû
ãðàôîâ
äëÿ
çàäà÷è
î
ðåáåðíîì
Ïðîáëåìû òåîðåòè÷åñêîé êèáåðíåòèêè
Êîíå÷íî îïðåäåëåííûå ìèíèìàëüíûå ñëîæíûå
êëàññûñïèñêîâîì
ãðàôîâ äëÿ
çàäà÷è î ðåáåðíîì
ðàíæèðîâàíèè
1
Ä. Ñ. Ìàëûøåâ
[email protected]
Ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò âûñøàÿ øêîëà ýêîíîìèêè (Íèæåãîðîäñêèé
Ôèëèàë), Íèæåãîðîäñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Í.È. Ëîáà÷åâñêîãî
 äàííîé ïóáëèêàöèè èññëåäóþòñÿ ýëåìåíòû ãðàíèöû ìåæäó ¾ïðîñòûìè¿
è ¾ñëîæíûìè¿ êëàññàìè ãðàôîâ äëÿ íåêîòîðîé çàäà÷è â ñåìåéñòâå íàñëåäñòâåííûõ êëàññîâ ãðàôîâ, ò.å. êëàññîâ ãðàôîâ, çàìêíóòûõ îòíîñèòåëüíî óäàëåíèÿ âåðøèí.
Ôîðìàëèçóåì ïîíÿòèÿ ¾ïðîñòîãî¿ è ¾ñëîæíîãî¿ êëàññà ãðàôîâ. Ïóñòü êàêàÿ-ëèáî NP-ïîëíàÿ çàäà÷à íà ãðàôàõ. Íàñëåäñòâåííûé êëàññ ãðàôîâ
íàçîâåì -ïðîñòûì, åñëè çàäà÷à äëÿ ãðàôîâ èç ýòîãî êëàññà ïîëèíîìèàëüíî ðàçðåøèìà, è -ñëîæíûì â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Äàëåå âåçäå ïðåäïîëàãàåì
ñïðàâåäëèâîñòü íåðàâåíñòâà P6=NP è íå âêëþ÷àåì åãî ÿâíî â ôîðìóëèðîâêè
ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ.
Åñòåñòâåííîé èäååé ðåøåíèÿ çàäà÷è äåìàðêàöèè ÿâëÿåòñÿ ïîèñê ìàêñèìàëüíûõ -ïðîñòûõ è ìèíèìàëüíûõ -ñëîæíûõ êëàññîâ, ò.å. òóïèêîâûõ
êëàññîâ ãðàôîâ ñîîòâåòñòâóþùåé ñëîæíîñòè èç ðàññìàòðèâàåìîé ðåøåòêè. Ê
ñîæàëåíèþ, èñïîëüçîâàíèå ïîíÿòèÿ ìàêñèìàëüíîãî ïðîñòîãî êëàññà ãðàôîâ
îêàçûâàåòñÿ áåçðåçóëüòàòíûì. Òàê, Â. Å. Àëåêñååâ â ðàáîòå [1] óñòàíîâèë, ÷òî
íè îäèí -ïðîñòîé êëàññ íå ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíûì ïðîñòûì (ïðàâäà, â [1]
ýòî óòâåðæäàåòñÿ òîëüêî ïðî çàäà÷ó î íåçàâèñèìîì ìíîæåñòâå, íî âñå ðàññóæäåíèÿ èç äàííîé ðàáîòû ëåãêî ïåðåíîñÿòñÿ íà îáùèé ñëó÷àé). Âìåñòå ñ
òåì, äî íåäàâíåãî âðåìåíè ïðî ìèíèìàëüíûå ñëîæíûå êëàññû íè÷åãî íå áûëî
èçâåñòíî.
Ïåðâûé ðåçóëüòàò î ïîäîáíîãî ðîäà êëàññàõ áûë ïîëó÷åí àâòîðîì â ðàáîòå
[2]. Òàì ðàññìàòðèâàëàñü çàäà÷à ðàñïîçíàâàíèÿ ïðèíàäëåæíîñòè íàñëåäñòâåííîìó êëàññó ãðàôîâ (çàäà÷à ÐÏ[ ]) è áûëî äîêàçàíî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå äëÿ ëþáîãî íàñëåäñòâåííîãî êëàññà
ìèíèìàëüíûõ ÐÏ[ ]-ñëîæíûõ
êëàññîâ íå ñóùåñòâóåò. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, â ðàáîòàõ [24] áûëî ïîêàçàíî,
÷òî îïðåäåëåííûå êëàññû ãðàôîâ ÿâëÿþòñÿ ìèíèìàëüíûìè ñëîæíûìè äëÿ
íåêîòîðûõ îáîáùåíèé çàäà÷ î ðàñêðàñêå çàäà÷ î ñïèñêîâîì ðàíæèðîâàíèè
(ðåáåðíîãî è âåðøèííîãî âàðèàíòîâ).  ýòîé ïóáëèêàöèè èññëåäóþòñÿ ìèíèìàëüíûå ñëîæíûå êëàññû äëÿ çàäà÷è î ðåáåðíîì ñïèñêîâîì ðàíæèðîâàíèè.
Çàäà÷à î ðåáåðíîì ñïèñêîâîì ðàíæèðîâàíèè (äàëåå, çàäà÷à ÐÑÐ) çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Ïóñòü çàäàíû ãðàô G ñ ìíîæåñòâîì ðåáåð E è ìíîæåñòâî
L = fL(e) : e 2 E g, ãäå êàæäîå L(e) êîíå÷íîå ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ
÷èñåë (öâåòîâ, â êîòîðûå ðàçðåøàåòñÿ ïîêðàñèòü ðåáðî e). L-ðàíæèðîâàíèåì
ðåáåð ãðàôà G íàçûâàåòñÿ òàêàÿ ðàñêðàñêà c åãî âåðøèí, ÷òî:
X
X
X
X
1) c(e) 2 L(e) äëÿ êàæäîãî ðåáðà e;
2) åñëè c(e1 ) = c(e2 ), e1 6= e2 , òî êàæäûé ïóòü, ñîåäèíÿþùèé e1 è e2 , ñîäåðæèò
òàêîå ðåáðî e3 , ÷òî c(e3 ) > c(e1 ).
2
Ïðîáëåìû òåîðåòè÷åñêîé êèáåðíåòèêè
Ä. Ñ. Ìàëûøåâ
Çàäà÷à ÐÑÐ ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïî äàííûì G è L îïðåäåëèòü, ñóùåñòâóåò ëè L-ðàíæèðîâàíèå ðåáåð ãðàôà G. Óòî÷íèì, ÷òî ïîä ÐÑÐ-ïðîñòûì êëàññîì ãðàôîâ äàëåå ïîíèìàåòñÿ òàêîé íàñëåäñòâåííûé êëàññ, ÷òî çàäà÷à ÐÑÐ
ðåøàåòñÿ äëÿ ãðàôîâ èç ýòîãî êëàññà çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ ïðè ëþáîì
ìíîæåñòâå L.  ôîðìóëèðîâêå çàäà÷è î âåðøèííîì ñïèñêîâîì ðàíæèðîâàíèè
ñëîâî ¾ðåáðî¿ çàìåíåíî ñëîâîì ¾âåðøèíà¿.
Ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè ïîëíîå îïèñàíèå ìíîæåñòâà ìèíèìàëüíûõ ÐÑÐñëîæíûõ êëàññîâ íå èçâåñòíî. Âìåñòå ñ òåì, ïî-âèäèìîìó, äâèæåíèå ê ïîëó÷åíèþ ðåçóëüòàòà òàêîãî ðîäà ïðåäïîëàãàåò èçó÷åíèå ìèíèìàëüíûõ ÐÑÐñëîæíûõ êëàññîâ ñ äîïîëíèòåëüíûìè îãðàíè÷åíèÿìè.  êà÷åñòâå òàêîãî îãðàíè÷åíèÿ â íàñòîÿùåé ñòàòüå ïðåäëàãàåòñÿ ðàññìîòðåòü êîëè÷åñòâî çàïðåùåííûõ ïîðîæäåííûõ ïîäãðàôîâ. Íàïîìíèì, ÷òî ëþáîé íàñëåäñòâåííûé êëàññ
ãðàôîâ
ìîæåò áûòü çàäàí ìíîæåñòâîì ñâîèõ çàïðåùåííûõ ïîðîæäåííûõ
ïîäãðàôîâ , ïðè ýòîì ïðèíÿòà çàïèñü = Free( ). Ìèíèìàëüíîå ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâî ñ òàêèì ñâîéñòâîì ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåííî è îáîçíà÷àåòñÿ
÷åðåç Forb( ). Åñëè Forb( ) êîíå÷íî, òî
íàçûâàåòñÿ êîíå÷íî îïðåäåëåííûì, à åñëè jForb( )j = k , òî
íàçûâàåòñÿ k -îïðåäåëåííûì.
Èòàê, öåëüþ äàííîé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ èññëåäîâàíèå ñòðîåíèÿ ìíîæåñòâà
ìèíèìàëüíûõ ÐÑÐ-ñëîæíûõ êëàññîâ, îïðåäåëÿåìûõ íàèìåíüøèì êîëè÷åñòâîì çàïðåùåííûõ ïîðîæäåííûõ ïîäãðàôîâ, çàòåì îïðåäåëÿåìûõ ñëåäóþùèì çà ýòèì íàèìåíüøèì êîëè÷åñòâîì òàêèõ ïîäãðàôîâ è ò.ä. Ïåðâûé ðåçóëüòàò òàêîãî ðîäà áûë ïîëó÷åí â ðàáîòå [5].
X
S
S
X
X
X
X
X
S
X
Êëàññ ïîëíûõ ãðàôîâ Clique ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì 1îïðåäåëåííûì ìèíèìàëüíûì ÐÑÐ-ñëîæíûì êëàññîì.
Òåîðåìà 1.
 òîé æå ðàáîòå [5] áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ìèíèìàëüíûé ÐÑÐ-ñëîæíûé ïîäêëàññ êëàññà âñåõ ïîëíûõ äâóäîëüíûõ ãðàôîâ
. Îáîçíà÷èì ýòîò ïîäêëàññ ÷åðåç
. Õîòÿ îñòàåòñÿ íåèçâåñòíûì,
ñîâïàäàåò ëè
ñ
, ìîæíî ñ óâåðåííîñòüþ óòâåðæäàòü, ÷òî
ëèáî 2-îïðåäåëåííûé, ëèáî 3-îïðåäåëåííûé. Èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå [5].
BComplete
BC BComplete
BC
BC
Ìíîæåñòâî 2-îïðåäåëåííûõ ìèíèìàëüíûõ ÐÑÐ-ñëîæíûõ êëàññîâ ëèáî ïóñòî, ëèáî ñîñòîèò èç îäíîãî êëàññà CBiparite. Ñóùåñòâóåò ìèíèìàëüíûé ÐÑÐ-ñëîæíûé êëàññ, îïðåäåëÿåìûé äâóìÿ èëè òðåìÿ çàïðåùåííûìè
ïîðîæäåííûìè ïîäãðàôàìè.
Òåîðåìà 2.
Èíòåðåñ ê èññëåäîâàíèþ ìèíèìàëüíûõ ñëîæíûõ êëàññîâ èìåííî äëÿ ðåáåðíîãî âàðèàíòà çàäà÷è î ñïèñêîâîì ðàíæèðîâàíèè (à íå äëÿ âåðøèííîãî)
îáóñëîâëåí ñëåäóþùèì ôàêòîðîì. Ïðè íåêîòîðîì ñïåöèàëüíîì ïðåîáðàçîâàíèè (íàçûâàåìûì ïðîäîëæåíèåì), ââåäåííîì â ðàáîòå [6], ñîõðàíÿåòñÿ NPïîëíîòà çàäà÷è ÐÑÐ. Âïîëíå âîçìîæíî, ÷òî ïîëó÷åííûé ïðè òàêîé îïåðàöèè êëàññ áóäåò ëèáî ñàì ìèíèìàëüíûì ÐÑÐ-ñëîæíûì, ëèáî áëèçîê ê ÐÑÐìèíèìàëüíîìó. Êëàññ
íàçûâàåòñÿ ïðîäîëæåíèåì êëàññà , åñëè âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå äâà óñëîâèÿ:
Y
X
X
äëÿ ëþáîãî ãðàôà G 2
ñóùåñòâóåò òàêîé ãðàô
îñòîâíûì ïîäãðàôîì ãðàôà H
H 2 Y, ÷òî G ÿâëÿåòñÿ
Êîíå÷íî
îïðåäåëåííûå
ìèíèìàëüíûå
ñëîæíûå
ñïèñêîâîì ðàíæèðîâàíèè
â ëþáîì ãðàôå èç
ñó
X
êëàññû
ãðàôîâ
äëÿ
çàäà÷è
î
ðåáåðíîì
Ïðîáëåìû òåîðåòè÷åñêîé êèáåðíåòèêè
3
Y ñóùåñòâóåò îñòîâíûé ïîäãðàô, ïðèíàäëåæàùèé êëàñ-
 ñòàòüå [6] äîêàçàíî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Ïóñòü Y ïðîèçâîëüíûé êëàññ ãðàôîâ, ÿâëÿþùèéñÿ ïðîäîëæåíèåì êëàññà X ñ NP-ïîëíîé çàäà÷åé ÐÑÐ. Òîãäà çàäà÷à ÐÑÐ NP-ïîëíà â
êëàññå Y.
Òåîðåìà 3.
Î÷åâèäíî, ÷òî èç òåîðåìû 3 íåçàìåäëèòåëüíî ñëåäóåò NP-ïîëíîòà çàäà÷è
ÐÑÐ â êëàññå
. Âìåñòå ñ òåì, ïðîäîëæåíèå íå ñîõðàíÿåò NP-ïîëíîòó
çàäà÷è î âåðøèííîì ñïèñêîâîì ðàíæèðîâàíèè, ïîñêîëüêó äëÿ ïîëíûõ ãðàôîâ îíà ïîëèíîìèàëüíî ðàçðåøèìà (ìåòîäîì ïîèñêà íàèáîëüøåãî ïàðîñî÷åòàíèÿ â äâóäîëüíîì ãðàôå). Òåîðåìà 3 òàêæå ïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü íîâûå k îïðåäåëåííûå ìèíèìàëüíûå ÐÑÐ-ñëîæíûå êëàññû ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ k .
Íàïðèìåð, â [6] ïîëó÷åí (ïóòåì ïðèìåíåíèÿ òåîðåìû 3 ê êëàññó =
) ìèíèìàëüíûé ÐÑÐ-ñëîæíûé êëàññ Camomile, îïðåäåëåííûé 7 çàïðåùåííûìè
ïîðîæäåííûìè ïîäãðàôàìè. Êëàññ
ñîâîêóïíîñòü ãðàôîâ, ÿâëÿþùèõñÿ
Clique
X Star
Star
ïîðîæäåííûìè ïîäãðàôàìè äëÿ ãðàôîâ èç
S1 fS g (S
=1
i
i
ãðàô, ïîëó÷àåìûé
ïîäðàçáèåíèåì êàæäîãî ðåáðà ãðàôà K1;i ). Êëàññ Ñamomile ñîñòàâëÿþò ãðài
ôû, ÿâëÿþùèåñÿ ïîðîæäåííûìè ïîäãðàôàìè â ãðàôàõ èç
S1 fCamomile(i)g,
=1
ãäå Camomile(i) ïîëó÷àåòñÿ èç Si äîáàâëåíèåì âñåõ ðåáåð, èíöèäåíòíûõ âåðøèíå ñòåïåíè i è âñåì ëèñòüÿì. Áîëåå òîãî, â ýòîé ðàáîòå äîêàçàíî, ÷òî ïðèìåíÿÿ òåîðåìó 3 ê êëàññó ãðàôîâ
=
ìîæíî ïîëó÷èòü òîëüêî ìèíèìàëüíûå ÐÑÐ-ñëîæíûå êëàññû
,
,
.
Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå ÐÔÔÈ, ïðîåêòû  10-01-00357-a è  1101-00107-à, è ÔÖÏ ¾Íàó÷íûå è íàó÷íî-ïåäàãîãè÷åñêèå êàäðû èííîâàöèîííîé
Ðîññèè íà 2009-2012 ãã.¿, íîìåð ÃÊ 16.740.11.0310.
i
X Star
Clique BC Camomile
Ëèòåðàòóðà
[1]
Alekseev
V. E. On easy and hard classes of graphs with respect to the independent
set problem // Discrete Applied Mathematics. 2004. V. 132,  3. P. 1726.
[2]
Ìàëûøåâ Ä. Ñ.
[3]
Ìàëûøåâ Ä. Ñ.
[4]
Ìàëûøåâ Ä. Ñ.
[5]
Ìàëûøåâ Ä. Ñ.
[6]
Ìàëûøåâ Ä. Ñ.
Î ìèíèìàëüíûõ ñëîæíûõ êëàññàõ ãðàôîâ // Äèñêðåòíûé àíàëèç
è èññëåäîâàíèå îïåðàöèé. 2009. Ò. 16,  6. Ñ. 4351.
Î ìèíèìàëüíûõ ñëîæíûõ ýëåìåíòàõ ðåøåòêè íàñëåäñòâåííûõ
êëàññîâ ãðàôîâ // Ìàòåðèàëû VII ìîëîäåæíîé íàó÷íîé øêîëû ïî äèñêðåòíîé
ìàòåìàòèêå è åå ïðèëîæåíèÿì. Ìîñêâà: ÈÏÌ ÐÀÍ, 2009. ÷àñòü II. Ñ. 1216.
Î òóïèêîâûõ ïî âû÷èñëèòåëüíîé ñëîæíîñòè íàñëåäñòâåííûõ
êëàññàõ ãðàôîâ // Ìàòåðèàëû X ìåæäóíàðîäíîãî ñåìèíàðà ¾Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà è åå ïðèëîæåíèÿ¿. Ìîñêâà: Èç-âî ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ô-òà
ÌÃÓ, 2010. Ñ. 314316.
Ïîñëåäîâàòåëüíûå ìèíèìóìû ðåøåòêè íàñëåäñòâåííûõ êëàññîâ
ãðàôîâ äëÿ çàäà÷è î ðåáåðíîì ñïèñêîâîì ðàíæèðîâàíèè // Âåñòíèê Íèæåãîðîäñêîãî óíèâåðñèòåòà èì. Í.È. Ëîáà÷åâñêîãî 2010.  4. Ñ. 7076.
Ìèíèìàëüíûå ñëîæíûå êëàññû ãðàôîâ äëÿ çàäà÷è î ðåáåðíîì ñïèñêîâîì ðàíæèðîâàíèè // Äèñêåòíûé àíàëèç è èññëåäîâàíèå îïåðàöèé
2011. Ò. 17,  1. Ñ. 133136.