ÓÄÊ 517.911, 517.968 ÀÏÐÈÎÐÍÀß ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÎÑÒÜ È ÍÅÏÐÅÐÛÂÍÀß ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÜ

ISSN 1810-0198. Âåñòíèê ÒÃÓ, ò. 16, âûï. 4, 2011
ÓÄÊ 517.911, 517.968
ÀÏÐÈÎÐÍÀß ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÎÑÒÜ È ÍÅÏÐÅÐÛÂÍÀß ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÜ
ÎÒ ÏÀÐÀÌÅÒÐÎÂ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ ÔÀÇÎÂÛÕ ÒÐÀÅÊÒÎÐÈÉ
ÓÏÐÀÂËßÅÌÎÉ ÈÌÏÓËÜÑÍÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ Ñ ÔÀÇÎÂÛÌÈ
ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÈßÌÈ ÏÎ ÓÏÐÀÂËÅÍÈÞ
c À.È. Áóëãàêîâ, Å.Â. Ìàëþòèíà, Î.Â. Ôèëèïïîâà
Êëþ÷åâûå ñëîâà
: óïðàâëÿåìàÿ èìïóëüñíàÿ ñèñòåìà; çàâèñèìîñòü îò ïàðàìåòðîâ; ôàçî-
âûå îãðàíè÷åíèÿ ïî óïðàâëåíèþ; àïðèîðíàÿ îãðàíè÷åííîñòü; äèôôåðåíöèàëüíîå âêëþ÷åíèå ñ èìïóëüñíûìè âîçäåéñòâèÿìè.
Äëÿ ìíîæåñòâà ôàçîâûõ òðàåêòîðèé óïðàâëÿåìîé èìïóëüñíîé ñèñòåìû ñ ôàçîâûìè
îãðàíè÷åíèÿìè ïî óïðàâëåíèþ è çàïàçäûâàíèåì ñôîðìóëèðîâàíî ñâîéñòâî íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè îò ïàðàìåòðîâ.
Ïóñòü Rn n -ìåðíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî ñ íîðìîé | |, comp[Rn ] ìíîæåñòâî
âñåõ íåïóñòûõ êîìïàêòîâ ïðîñòðàíñòâà Rn ; VR (x0 , ε) çàìêíóòûé øàð ïðîñòðàíñòâà Rn
ñ öåíòðîì â òî÷êå x0 ∈ Rn ðàäèóñîì ε > 0; K ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî; VK (ξ0 , ε) çàìêíóòûé øàð ïðîñòðàíñòâà K ñ öåíòðîì â òî÷êå ξ0 ∈ K ðàäèóñîì ε > 0.
Ïóñòü X íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî ñ íîðìîé : . Òîãäà h+: [U1 ; U ] = sup ρ: [x, U ]
x∈U
ïîëóîòêëîíåíèå ïî Õàóñäîðôó ìíîæåñòâà U1 ⊂ X îò ìíîæåñòâà U â ïðîñòðàíñòâå X;
h: [U1 ; U ] = max{h+ [U1 ; U ]; h+ [U ; U1 ]} ðàññòîÿíèå ïî Õàóñäîðôó ìåæäó ìíîæåñòâàìè U1
è U â ïðîñòðàíñòâå X.
Ïóñòü
tk ∈ [a, b] (a < t1 < . . . < tp < b) êîíå÷íûé íàáîð òî÷åê. Îáîçíà÷èì ÷ån
ðåç C [a, b] ìíîæåñòâî âñåõ íåïðåðûâíûõ íà êàæäîì èç èíòåðâàëîâ [a, t1 ], (t1 , t2 ], . . . ,
(tp , b] îãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé x : [a, b] → Rn , èìåþùèõ ïðåäåëû ñïðàâà â òî÷êàõ tk , k =
= 1, 2, . . . , p, ñ íîðìîé x+
[a,b] = sup{|x(t)| : t ∈ [a, b]}.
Ïóñòü çàäàíû íåïðåðûâíàÿ, ëîêàëüíî îãðàíè÷åííàÿ ôóíêöèÿ f : [a, b] × Rn × Rm ×
×K → Rn è íåïðåðûâíîå ïî Õàóñäîðôó, ëîêàëüíî îãðàíè÷åííîå ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
U : [a, b] × Rn × K → comp[Rm ]. Ðàññìîòðèì óïðàâëÿåìóþ ñèñòåìó ñ çàïàçäûâàíèåì è
èìïóëüñíûìè âîçäåéñòâèÿìè
n
1
n
ãäå îòîáðàæåíèÿ
k = 1, 2, ..., p.
Ik :
ẋ(t) = f (t, x(t), u(t), ξ), t ∈ [a, b], ξ ∈ K
u(t) ∈ U (t, x(t), ξ),
(1)
Δ(x(tk )) = Ik (x(tk ), ξ), k = 1, . . . , p,
(2)
x(a) = x0 (x0 ∈ Rn ),
(3)
Rn × K
→
Rn ,
k = 1, 2, ..., p,
íåïðåðûâíû,
Δ(x(tk )) = x(tk + 0) − x(tk ),
Ïîä
äîïóñòèìûì óïðàâëåíèåì íà îòðåçêå [a, τ ] (τ ∈ (a, b]) ñèñòåìû (1)(3) ïðè
áóäåì ïîíèìàòü òàêóþ èçìåðèìóþ ïî Ëåáåãó ôóíêöèþ u : [a, τ ] → Rm , äëÿ êîòîðîé ñóùåñòâóåò êóñî÷íî-íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ x : [a, τ ] → Rn óäîâëåòâîðÿþùàÿ ïðè âñåõ
t ∈ [a, τ ] ïðåäñòàâëåíèþ
ξ ∈K
t
x(t) = x0 +
f (s, x(s), u(s), ξ)ds +
a
1036
k:tk ∈[a,τ ]
χ(tk ,τ ] (t)Δ(x(tk )),
(4)
ISSN 1810-0198. Âåñòíèê ÒÃÓ, ò. 16, âûï. 4, 2011
ãäå Δ(x(tk )), k = 1, ..., p, óäîâëåòâîðÿþò ðàâåíñòâàì (2), ÷òî ïðè ïî÷òè âñåõ t ∈ [a, τ ]
âûïîëíÿåòñÿ âêëþ÷åíèå
u(t) ∈ U (t, x(t), ξ).
(5)
Ïàðó (u, x) áóäåì íàçûâàòü äîïóñòèìîé íà îòðåçêå [a, τ ] . Ñèñòåìó (1)(3) áóäåì íàçûâàòü
óïðàâëÿåìîé èìïóëüñíîé ñèñòåìîé ñ ôàçîâûìè îãðàíè÷åíèÿìè ïî óïðàâëåíèþ, ïîñêîëüêó
óïðàâëåíèå u : [a, τ ] → Rm çàâèñèò îò ôàçîâîé òðàåêòîðèè x : [a, τ ] → Rn .
Îòìåòèì, ÷òî â ñèëó òåîðåìû îá èçìåðèìîì âûáîðå [13] óïðàâëÿåìàÿ ñèñòåìà (1)(2) ñ
íà÷àëüíûì ñîñòîÿíèåì (3) ýêâèâàëåíòíà ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì ξ ∈ K çàäà÷å Êîøè
äëÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî âêëþ÷åíèÿ
ẋ ∈ f (t, x(t), U (t, x(t), ξ), ξ), t ∈ [a, τ ]
(6)
ñ èìïóëüñíûìè âîçäåéñòâèÿìè (2) è íà÷àëüíûì óñëîâèåì (3).
Âêëþ÷åíèå (6) ñ èìïóëüñíûìè âîçäåéñòâèÿìè (2) è íà÷àëüíûì óñëîâèåì (3) áóäåì íàçûâàòü äèôôåðåíöèàëüíûì âêëþ÷åíèåì, ïîðîæäåííûì óïðàâëÿåìîé èìïóëüñíîé ñèñòåìîé
(1)(2) ñ íà÷àëüíûì ñîñòîÿíèåì (3). Çàäà÷à (6), (2), (3) îïèñûâàåò âñå ìíîæåñòâî ôàçîâûõ
òðàåêòîðèé óïðàâëÿåìîé èìïóëüñíîé ñèñòåìû (1)(2).
Ïóñòü H(x0 , τ, ξ) ìíîæåñòâî âñåõ äîïóñòèìûõ ïàð óïðàâëÿåìîé èìïóëüñíîé ñèñòåìû
0 , τ, ξ) (1)(2) ñ íà÷àëüíûì ñîñòîÿíèåì (3) íà îòðåçêå [a, τ ](τ ∈ (a, b]). Îáîçíà÷èì H(x
ìíîæåñòâî âñåõ ôàçîâûõ òðàåêòîðèé óïðàâëÿåìîé èìïóëüñíîé ñèñòåìû (1)(2) ñ íà÷àëüíûì
ñîñòîÿíèåì (3) íà îòðåçêå [a, τ ].
Ïóñòü A ∈ Rn , B ∈ K. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ìíîæåñòâî ôàçîâûõ òðàåêòîðèé óïðàâëÿåìîé èìïóëüñíîé ñèñòåìû (1)(2) ñ íà÷àëüíûì ñîñòîÿíèåì (3) àïðèîðíî îãðàíè÷åíî â
ñîâîêóïíîñòè íà ìíîæåñòâå A × B, åñëè íàéäåòñÿ òàêîå ÷èñëî r > 0, ÷òî äëÿ âñÿêîãî
0 , τ, ξ), äëÿ êîòîðîãî âûïîëíÿåòñÿ
τ ∈ (a, b] è ëþáûõ (x0 , ξ) ∈ A × B íå ñóùåñòâóåò x ∈ H(x
íåðàâåíñòâî x+
n [a,τ ] > r.
Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû ðàáîò [410] ìîæíî äîêàçàòü ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
Ò å î ð å ì à 1. Ïóñòü ìíîæåñòâî âñåõ ôàçîâûõ òðàåêòîðèé óïðàâëÿåìîé èìïóëüñ-
íîé ñèñòåìû (1)−(2) àïðèîðíî îãðàíè÷åíî â òî÷êå (x0 , ξ0 ) ∈ Rn × K. Òîãäà äëÿ ëþáîãî
τ ∈ (a, b] ìíîæåñòâî H(x0 , τ, ξ) = ∅ è ñóùåñòâóåò òàêîå ε > 0, ÷òî ìíîæåñòâî ôàçîâûõ òðàåêòîðèé óïðàâëÿåìîé èìïóëüñíîé ñèñòåìû (1)−(2) ñ íà÷àëüíûì ñîñòîÿíèåì
x(a) = x0 àïðèîðíî îãðàíè÷åíî â ñîâîêóïíîñòè íà ìíîæåñòâå VRn (x0 , ε) × VK (ξ0 , ε).
Î ï ð å ä å ë å í è å 1. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî îòîáðàæåíèÿ f : [a, b] × Rn × Rm ×
× K → Rn , U : [a, b] × Rn × K → comp[Rm ] îáëàäàþò ñâîéñòâîì Ω , åñëè íàéäóòñÿ
íåïðåðûâíûå îòîáðàæåíèÿ ω1 : [a, b] × [0, ∞) × [0, ∞) × K → [0, ∞), ω2 : [a, b] × [0, ∞) ×
× K → [0, ∞), íåóáûâàþùèå ïðè ëþáûõ t ∈ [a, b], ξ ∈ K òàêèå, ÷òî äëÿ ëþáûõ t ∈ [a, b],
ξ ∈ K, x1 , x2 ∈ Rn , u1 , u2 ∈ Rm âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà
|f (t, x1 , u1 , ξ) − f (t, x2 , u2 , ξ)| ω1 (t, |x1 − x2 |, |u1 − u2 |, ξ),
(7)
h[U (t, x1 , ξ), U (t, x2 , ξ)] ω2 (t, |x1 − x2 |, ξ).
(8)
[a, b] × Rn × Rm × K
→ Rn ,
Î ï ð å ä å ë å í è å 2. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî îòîáðàæåíèÿ f :
U : [a, b] × Rn × K → comp[Rm ] è èìïóëüñíûå âîçäåéñòâèÿ Ik : Rn × K → Rn , k = 1, 2, ..., p,
îáëàäàþò ñâîéñòâîì A â òî÷êå ξ ∈ K , åñëè
1) îòîáðàæåíèÿ f, U îáëàäàþò ñâîéñòâîì Ω;
2) äëÿ êàæäîãî k = 1, 2, ..., p íàéäåòñÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ Ik : R1+ × K → R1+ ,
íåóáûâàþùàÿ ïî ïåðâîìó àðãóìåíòó ïðè ξ ∈ K è óäîâëåòâîðÿþùàÿ ðàâåíñòâó Ik (0, ξ) = 0,
÷òî äëÿ ëþáûõ x, y ∈ Rn âûïîëíÿåòñÿ îöåíêà
|Ik (x, ξ) − Ik (y, ξ)| Ik (|x − y|, ξ);
1037
ISSN 1810-0198. Âåñòíèê ÒÃÓ, ò. 16, âûï. 4, 2011
3) çàäà÷à ẏ(t) = ϕ(t, y(t), ξ), Δ(y(tk )) = Ik (y(tk ), ξ), k = 1, ...p, y(a) = 0 èìååò òîëüêî
íóëåâûå ëîêàëüíûå ðåøåíèÿ
çäåñü ôóíêöèÿ ϕ : [a, b] × [0, ∞) × K → [0, ∞) îïðåäåëåíà ðàâåíñòâîì
ϕ(t, y, ξ) = ω1 (t, y, ω2 (t, y, ξ), ξ),
ãäå ôóíêöèè ω1 : [a, b] × [0, ∞) × [0, ∞) × K → [0, ∞), ω2 : [a, b] × [0, ∞) × K → [0, ∞)
óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì (7), (8) ñîîòâåòñòâåííî.
Ò å î ð å ì à 2.
f : [a, b] × Rn × Rm × K → Rn ,
Ïóñòü îòîáðàæåíèÿ
U : [a, b] × Rn × K → comp[Rm ] è èìïóëüñíûå âîçäåéñòâèÿ Ik : Rn → Rn , k = 1, 2, ..., m,
îáëàäàþò ñâîéñòâîì A â òî÷êå ξ0 ∈ K è ïóñòü ìíîæåñòâî âñåõ ôàçîâûõ òðàåêòîðèé
óïðàâëÿåìîé èìïóëüñíîé ñèñòåìû (1)−(3) àïðèîðíî îãðàíè÷åíî â òî÷êå (x0, ξ0) ∈ Rn × K.
Òîãäà
äëÿ ëþáîãî
0 , b, ξ0 ) è ëþáûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé xi ∈ VRn (x0 , ε),
y ∈ H(x
ξi ∈ VK (ξ0 , ε) i = 1, 2, . . . , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì xi → x0 â Rn , ξi → ξ0 â K ïðè
i , b, ξi ), i = 1, 2, . . . , ÷òî yi → y â
i → ∞, íàéäåòñÿ òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü yi ∈ H(x
n
ïðîñòðàíñòâå [a, b] ïðè i → ∞, ãäå ÷èñëî ε > 0 óäîâëåòâîðÿåò òåîðåìå 1;
i , b, ξi ), i = 1, 2, . . . , èìåþùåé ïðåäåë y â
2) äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè yi ∈ H(x
n
0 , b, ξ0 ),
ïðîñòðàíñòâå [a, b] ïðè i → ∞, íàéäåòñÿ
òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü zi ∈ H(x
n
i = 1, 2, . . . , ÷òî zi → y â ïðîñòðàíñòâå
[a, b] ïðè i → ∞.
1)
+
+
+
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
Ôèëèïïîâ À.Ô. Î íåêîòîðûõ âîïðîñàõ òåîðèè îïòèìàëüíîãî ðåãóëèðîâàíèÿ // Âåñòíèê Ìîñê. óí-òà.
2. Èîôôå À.Ä., Òèõîìèðîâ Â.Ì. Òåîðèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷. Ì.: Íàóêà, 1974.
3. ×åíöîâ À.Ã. Ýëåìåíòû êîíå÷íî-àääèòèâíîé òåîðèè ìåðû, II. // Åêàòåðèíáóðã ÓÃÒÓ-ÓÏÈ. 2010.
4. Áóëãàêîâ À.È., Ïàíàñåíêî Å.À., Ñåðãååâà À.Î. Ïðîäîëæàåìîñòü äîïóñòèìûõ ïàð óïðàâëÿåìîé ñè1.
Ñåð. 1. Ìàòåì. è ìåõ. 1959.  2. Ñ. 2532.
ñòåìû ñ ôàçîâûìè îãðàíè÷åíèÿìè ïî óïðàâëåíèþ è çàïàçäûâàíèåì // Âåñòíèê ÒÃÓ. 2010. Ò. 15. Âûï. 6.
Ñ. 16451647.
Ôèëèïïîâ À.Ô. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ ðàçðûâíîé ïðàâîé ÷àñòüþ. Ì.: Íàóêà. 1985.
Áóëãàêîâ À.È., Êîð÷àãèíà Å.Â., Ôèëèïïîâà Î.Â. Ôóíêöèîíàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíûå âêëþ÷åíèÿ ñ
èìïóëüñíûìè âîçäåéñòâèÿìè. ×. IVI // Âåñòíèê Òàìá. óí-òà. 2009. Ò. 14. Âûï. 6. Ñ. 12751313.
7. Áëàãîäàòñêèõ Â.È., Ôèëèïïîâ À.Ô. Äèôôåðåíöèàëüíûå âêëþ÷åíèÿ è îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå //
Òð. ÌÈÀÍ ÑÑÑÐ. 1985. Ò. 169. Ñ. 194252.
8. Çàâàëèùèí C. Ò., Ñåñåêèí À. Í. Èìïóëüñíûå ïðîöåññû. Ìîäåëè è ïðèëîæåíèÿ. Ì.: Íàóêà, 1991.
9. Êðàñîâñêèé Í.Í. Óïðàâëåíèå äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìîé // Ì.: Íàóêà, 1985.
10. Ñàìîéëåíêî À. Ì., Ïåðåñòþê Í. À. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ èìïóëüñíûìè âîçäåéñòâèÿìè.
5.
6.
Ê.: Âèùà øê., 1987.
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 10 àïðåëÿ 2011 ã.
ÁËÀÃÎÄÀÐÍÎÑÒÈ: Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå Ðîññèéñêîãî ôîíäà
ôóíäàìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé (ïðîåêòû  090197503,  110100645,  110100626),
ÔÖÏ ¾Íàó÷íûå è íàó÷íî-ïåäàãîãè÷åñêèå êàäðû èííîâàöèîííîé Ðîññèè íà 20092013 ãîäû¿.
Bulgakov A.I., Malyutina E.V., Filippova O.V. A priori boundedness and continuous dependence on parameters of a set of phase trajectories of a controllable pulse system with constraints
by control. We nd conditions of continuous dependence on parameters for the set of the phase
trajectories of the controllable impulse delay system with constraints by control.
: controllable impulse system; dependence on parameters; constraints by control;
a priori boundedness, dierential inclusion with impulses.
Key words
1038
ISSN 1810-0198. Âåñòíèê ÒÃÓ, ò. 16, âûï. 4, 2011
Áóëãàêîâ Àëåêñàíäð Èâàíîâè÷, Òàìáîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì.
Ã.Ð. Äåðæàâèíà, ã. Òàìáîâ, Ðîññèéñêàÿ Ôåäåðàöèÿ, äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,
ïðîôåññîð, çàâåäóþùèé êàôåäðîé àëãåáðû è ãåîìåòðèè, e-mail: [email protected].
Ìàëþòèíà Åëåíà Âàëåðüåâíà, Òàìáîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Ã.Ð. Äåðæàâèíà, ã. Òàìáîâ, Ðîññèéñêàÿ Ôåäåðàöèÿ, àñïèðàíò êàôåäðû àëãåáðû è ãåîìåòðèè, e-mail:
[email protected].
Ôèëèïïîâà Îëüãà Âèêòîðîâíà, Òàìáîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì.
Ã.Ð. Äåðæàâèíà, ã. Òàìáîâ, Ðîññèéñêàÿ Ôåäåðàöèÿ, àññèñòåíò êàôåäðû àëãåáðû è ãåîìåòðèè,
e-mail: [email protected].
ÓÄÊ 517.93
ÀÑÈÌÏÒÎÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ δ -ÐÅØÅÍÈÉ
ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎÃÎ ÂÊËÞ×ÅÍÈß Ñ ÈÌÏÓËÜÑÍÛÌÈ
ÂÎÇÄÅÉÑÒÂÈßÌÈ
c À. È. Áóëãàêîâ, Â. Â. Ñêîìîðîõîâ, Î. Â. Ôèëèïïîâà
Êëþ÷åâûå ñëîâà
: äèôôåðåíöèàëüíûå âêëþ÷åíèÿ ñ èìïóëüñíûìè âîçäåéñòâèÿìè; àï-
ïðîêñèìèðóþùåå îòîáðàæåíèå; ðàäèóñ âíåøíèõ âîçìóùåíèé; ìîäóëü íåïðåðûâíîñòè
îòîáðàæåíèÿ;
δ -ðåøåíèå.
 ðàáîòå äàíî îïðåäåëåíèå ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ (
δ -ðåøåíèÿ)
äèôôåðåíöèàëüíî-
ãî âêëþ÷åíèÿ ñ èìïóëüñíûìè âîçäåéñòâèÿìè, óñòàíîâëåíû àññèìïòîòè÷åñêèå ñâîéñòâà
ìíîæåñòâ ðåøåíèé àïïðîêñèìèðóþùèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ âêëþ÷åíèé ñ âíåøíèìè
âîçìóùåíèÿìè. Íàéäåíî íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè àïïðîêñèìàöèè äèôôåðåíöèàëüíûõ âêëþ÷åíèé îòíîñèòåëüíî âíåøíèõ âîçìóùåíèé.
Ïóñòü Rn n -ìåðíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî ñ íîðìîé | |, comp[Rn ] ìíîæåñòâî
âñåõ íåïóñòûõ êîìïàêòîâ ïðîñòðàíñòâà Rn .
Ïóñòü X íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî ñ íîðìîé : . Îáîçíà÷èì BX [x, ε] îòêðûòûé øàð ïðîñòðàíñòâà X ñ öåíòðîì â òî÷êå x ∈ X è ðàäèóñîì ε > 0. Ïóñòü
U ⊂ X. Òîãäà U çàìûêàíèå ìíîæåñòâà U ; co U âûïóêëàÿ îáîëî÷êà ìíîæåñòâà U ;
sup ρ: [x, U ] ïîëóîòêëîíåíèå ïî Õàóñäîðôó ìíîæåñòâà U1 ⊂ X îò ìíîæåh+
: [U1 ; U ] ≡ x∈U
ñòâà U â ïðîñòðàíñòâå X; h: [U1 ; U ] = max{h+ [U1 ; U ]; h+ [U ; U1 ]} ðàññòîÿíèå ïî Õàóñäîðôó ìåæäó ìíîæåñòâàìè U1 è U â ïðîñòðàíñòâå X.
Ïóñòü U ∈ [a, b] èçìåðèìîå ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâî. Îáîçíà÷èì Ln (U) ïðîñòðàíñòâî
ñóììèðóåìûõ ïî Ëåáåãó ôóíêöèé x : U → Rn ñ íîðìîé xL (U) = |x(s)|ds.
U
Ïóñòü
tk ∈ [a, b] (a < t1 < . . . < tm < b) êîíå÷íûé íàáîð òî÷åê. Îáîçíà÷èì ÷åðåç C n [a, b] ìíîæåñòâî âñåõ íåïðåðûâíûõ íà êàæäîì èç èíòåðâàëîâ [a, t1 ], (t1 , t2 ], . . . ,
(tm , b] îãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé x : [a, b] → Rn , èìåþùèõ ïðåäåëû ñïðàâà â òî÷êàõ tk ,
k = 1, 2, . . . , m, ñ íîðìîé x+
[a,b] = sup{|x(t)| : t ∈ [a, b]}.
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó
1
n
n
ẋ(t) ∈ F (t, x(t)),
t ∈ [a, b],
Δ(x(tk )) = Ik (x(tk )), k = 1, . . . , m,
(1)
(2)
1039