ПОЛУНЕПРЕРЫВНАЯ СНИЗУ ЗАВИСИМОСТЬ ОТ

ISSN 1810-0198. Âåñòíèê ÒÃÓ, ò. 14, âûï. 4, 2009
ÓÄÊ 517.911, 517.968
ÏÎËÓÍÅÏÐÅÐÛÂÍÀß ÑÍÈÇÓ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÜ ÎÒ ÏÀÐÀÌÅÒÐÎÂ
ÌÍÎÆÅÑÒÂ ÐÅØÅÍÈÉ ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÜÍÎ-ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ
ÂÊËÞ×ÅÍÈÉ Ñ ÈÌÏÓËÜÑÍÛÌÈ ÂÎÇÄÅÉÑÒÂÈßÌÈ 1
c
°
À. È. Áóëãàêîâ, Å. Â. Êîð÷àãèíà, Î. Â. Ôèëèïïîâà
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ôóíêöèîíàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíîå âêëþ÷åíèå; èìïóëüñíûå âîçäåéñòâèÿ.
Àííîòàöèÿ: Ñôîðìóëèðîâàíà òåîðåìà î ïîëóíåïðåðûâíîé ñíèçó çàâèñèìîñòè ìíîæåñòâ ðåøåíèé çàäà÷è Êîøè îò ïðàâîé ÷àñòè ôóíêöèîíàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ âêëþ÷åíèé, èìïóëüñíûõ âîçäåéñòâèé è
íà÷àëüíûõ óñëîâèé.
Ïóñòü U ∈ [a, b] èçìåðèìîå ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâî. Îáîçíà÷èì
Ln1 (U) ïðîñòðàíñòâî ñóììèðóR
åìûõ ïî Ëåáåãó ôóíêöèé x : U → Rn ñ íîðìîé kxkLn (U ) = |x(s)|ds, hLn (U ) [·, ·] ðàññòîÿíèå ïî
U
Õàóñäîðôó ìåæäó ìíîæåñòâàìè ïðîñòðàíñòâà Ln (U).
Ìíîæåñòâî âñåõ îãðàíè÷åííûõ çàìêíóòûõ âûïóêëûõ ïî ïåðåêëþ÷åíèþ (ðàçëîæèìûõ) ïîäìíîæåñòâ ïðîñòðàíñòâà Ln [a, b] îáîçíà÷èì ÷åðåç S(Ln [a, b]).
e n [a, b] ìíîÏóñòü tk ∈ [a, b] (a < t1 < . . . < tm < b) êîíå÷íûé íàáîð òî÷åê. Îáîçíà÷èì ÷åðåç C
æåñòâî âñåõ íåïðåðûâíûõ íà êàæäîì èç èíòåðâàëîâ [a, t1 ], (t1 , t2 ], . . . , (tm , b] îãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé x : [a, b] → Rn , èìåþùèõ ïðåäåëû ñïðàâà â òî÷êàõ tk , k = 1, 2, . . . , m, ñ íîðìîé kxkC
e n [a,b] =
1 = [0, ∞); L1 [a, b], C
e 1 [a, b] êîíóñû íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé
= sup{|x(t)| : t ∈ [a, b]}; R+
+
+
e 1 [a, b] ñîîòâåòñòâåííî; χ(a, b) õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ èíòåðâàëà
ïðîñòðàíñòâ L1 [a, b] è C
(a, b).
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó
ẋ ∈ Φ0 (x),
(10 )
∆(x(tk )) = I0k (x(tk )), k = 1, 2, . . . , m,
(20 )
x(a) = x0 ,
(30 )
à òàêæå äëÿ ëþáîãî i = 1, 2, ... ðàññìîòðèì çàäà÷è
ẋ ∈ Φi (x),
(1i )
∆(x(tk )) = Iik (x(tk )), k = 1, 2, . . . , m,
(2i )
x(a) = xi ,
(3i )
n
e [a, b] → S(Ln [a, b])
ãäå äëÿ êàæäîãî i = 0, 1, ... âîëüòåððîâ ïî À.Í. Òèõîíîâó îïåðàòîð Φi : C
1
n
e [a, b] îáðàç Φi (U ) îãðàóäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ: äëÿ êàæäîãî îãðàíè÷åííîãî ìíîæåñòâà U ⊂ C
íè÷åí ñóììèðóåìîé ôóíêöèåé. Äëÿ êàæäîãî i = 0, 1, ..., k = 1, 2, ...m îòîáðàæåíèÿ Iik : Rn → Rn
íåïðåðûâíû.
Ïóñòü H(xi , τ ) (i = 0, 1, ...) ìíîæåñòâî ðåøåíèé çàäà÷è (1i )−(3i ) íà îòðåçêå [a, τ ] (τ ∈ (a, τ ]).
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî çàäà÷è (1i ) − (3i ) (i = 0, 1, 2, ...) àïðèîðíî îãðàíè÷åíû â ñîâîêóïíîñòè,
åñëè íàéäåòñÿ òàêîå ÷èñëî l > 0, ÷òî äëÿ ëþáûõ ôèêñèðîâàííûõ i = 0, 1, ..., τ ∈ (a, b], è ëþáîãî
y ∈ H(xi , τ ) âûïîëíÿåòñÿ îöåíêà ||y||C
e n [a,τ ] 6 l.
1
Ðàáîòà ïîääåðæàíà ãðàíòàìè ÐÔÔÈ ( 07-01-00305, 09-01-97503), íàó÷íîé ïðîãðàììîé "Ðàçâèòèå íàó÷íîãî
ïîòåíöèàëà âûñøåé øêîëû"(ÐÍÏ  2.1.1/1131) è âêëþ÷åíà â Òåìïëàí  1.6.07.
671
ISSN 1810-0198. Âåñòíèê ÒÃÓ, ò. 14, âûï. 4, 2009
Î ï ð å ä å ë å í è å 1. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî èìïóëüñíûå âîçäåéñòâèÿ Iik : Rn → Rn , i = 1, 2, ...,
k = 1, 2, ..., m, îáëàäàþò ñâîéñòâîì A, åñëè äëÿ êàæäîãî i = 1, 2, ..., k = 1, 2, ..., m íàéäåòñÿ
íåïðåðûâíàÿ íåóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ Ieik : R1+ → R1+ , óäîâëåòâîðÿþùàÿ ðàâåíñòâó Ieik (0) = 0, ÷òî
äëÿ ëþáûõ x, y ∈ Rn âûïîëíÿåòñÿ îöåíêà
|I0k (x) − Iik (y)| 6 Ieik (|x − y|),
(4)
ïðè÷åì äëÿ ëþáîãî k = 1, 2, ..., m è ëþáîãî z ∈ R1+ èìååì Ieik (z) → 0 ïðè i → ∞.
Î ï ð å ä å ë å í è å 2. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî èìïóëüñíûå âîçäåéñòâèÿ Iik : Rn → Rn , i =
e n [a, b] → S(Ln [a, b]), i = 1, 2, ..., îáëàäàþò ñâîé= 1, 2, ..., k = 1, 2, ..., m, è îòîáðàæåíèÿ Φi : C
1
ñòâîì B, åñëè èìïóëüñíûå âîçäåéñòâèÿ Iik : Rn → Rn , i = 1, 2, ..., k = 1, 2, ..., m, îáëàäàþò ñâîéñòâîì A, è åñëè äëÿ êàæäîãî i = 1, 2, ... íàéäåòñÿ èçîòîííûé íåïðåðûâíûé âîëüòåððîâ îïåðàòîð
e 1 [a, b] → L1 [a, b], óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèÿì: Γi (0) = 0, äëÿ ëþáûõ ôóíêöèé x, y ∈ C
e n [a, b]
Γi : C
+
+
è ëþáîãî èçìåðèìîãî ìíîæåñòâà U ∈ [a, b] âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
hLn (U ) [Φ0 (x); Φi (y)] 6 kΓi (Z(x − y))kL1 (U ) ,
1
e [a, b] Γi (z) → 0 ïðè i → ∞, è çàäà÷è
ïðè÷åì äëÿ ëþáîãî z ∈ C
+
ẏ = Γi (y), ∆y(tk ) = Ieik (y(tk )), k = 1, 2, ..., m, y(a) = |x0 − xi |, i = 1, 2, . . .
e n [a, b] → C
e 1 [a, b] îïðåäåëåíî ðàâåíàïðèîðíî îãðàíè÷åíû â ñîâîêóïíîñòè, ãäå îòîáðàæåíèå Z : C
+
ñòâîì (Zx)(t) = |x(t)|.
Ò å î ð å ì à. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xi → x0 â Rn , ïðè i → ∞. È ïóñòü çàäà÷è (1i ) − (3i ),
i = 0, 1, . . . àïðèîðíî îãðàíè÷åíû â ñîâîêóïíîñòè. Äàëåå ïóñòü èìïóëüñíûå âîçäåéñòâèÿ Iik : Rn →
e n [a, b] → S(Ln [a, b]), i = 1, 2, . . . , îáëàäàþò
Rn , i = 1, 2, . . ., k = 1, 2, . . . , m, è îòîáðàæåíèÿ Φi : C
ñâîéñòâîì B. Òîãäà äëÿ êàæäîãî ðåøåíèÿ y ∈ H(x0 , b), äëÿ ëþáîãî t ∈ [a, b] ïðåäñòàâèìîãî â âèäå
Zt
y(t) = x0 +
q(s)ds +
m
X
χ(tk ,b] ∆(y(tk )),
k=1
a
ãäå q ∈ Φ0 (y) è ∆(y(tk )) (k = 1, 2, ..., m) óäîâëåòâîðÿþò ðàâåíñòâàì (20 ), íàéäåòñÿ òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü yi ∈ H(xi , b), i = 1, 2, . . . , ÷òî äëÿ ëþáîãî t ∈ [a, b] âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
Zt
yi (t) = x0 +
qi (s)ds +
a
m
X
χ(tk ,b] ∆(yi (tk )),
k=1
ãäå qi ∈ Φi (yi ) è ∆(yi (tk )) (k = 1, 2, ..., m) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì (2i ), è yi → y â ïðîñòðàíñòâå
e n [a, b] ïðè i → ∞, ïðè ýòîì qi → q â ïðîñòðàíñòâå Ln [a, b] ïðè i → ∞.
C
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
1. Àçáåëåâ Í. Â., Ìàêñèìîâ Â. Ï., Ðàõìàòóëëèíà Ë. Ô. Ýëåìåíòû òåîðèè ôóíêöèîíàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1987.
2. Çàâàëèùèí C. Ò., Ñåñåêèí À. Í. Èìïóëüñíûå ïðîöåññû. Ìîäåëè è ïðèëîæåíèÿ. Ì.: Íàóêà, 1991.
3. Ñàìîéëåíêî À. Ì., Ïåðåñòþê Í. À. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ èìïóëüñíûìè âîçäåéñòâèÿìè. Ê.: Âèùà
øê., 1987.
4. Ìûøêèñ À.Ä. Îáùàÿ òåîðèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàþùèì àðãóìåíòîì // ÓÌÍ. 1949.
Ò. 4. Âûï. 5. Ñ. 99141.
5. Ôèëèïïîâ À.Ô. Äèôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ ðàçðûâíîé ïðàâîé ÷àñòüþ. Ì.: Íàóêà, 1985.
Abstract: There is derived the theorem on lover semicontinuous dependence of solution-set to the cauchy
problem on the right-hand side of functional-dierential inclusion, on the impulses and on the initial conditions.
672
ISSN 1810-0198. Âåñòíèê ÒÃÓ, ò. 14, âûï. 4, 2009
Keywords: functional-dierential inclusion; impulses.
Áóëãàêîâ Àëåêñàíäð Èâàíîâè÷
ä. ô.-ì. í., ïðîôåññîð
Òàìáîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
èì. Ã.Ð. Äåðæàâèíà
Ðîññèÿ, Òàìáîâ
e-mail: aib@tsu.tmb.ru
Alexandr Bulgakov
doctor of phys.-math. sciences, professor
Tambov State University named after
G.R. Derzhavin
Russia, Tambov
e-mail: aib@tsu.tmb.ru
Êîð÷àãèíà Åëåíà Âàëåðüåâíà
àñïèðàíò
Òàìáîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
èì. Ã.Ð. Äåðæàâèíà
Ðîññèÿ, Òàìáîâ
e-mail: aib@tsu.tmb.ru
Elena Korchagina
post-graduate student
Tambov State University named after
G.R. Derzhavin
Russia, Tambov
e-mail: aib@tsu.tmb.ru
Ôèëèïïîâà Îëüãà Âèêòîðîâíà
àñïèðàíò
Òàìáîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
èì. Ã.Ð. Äåðæàâèíà
Ðîññèÿ, Òàìáîâ
e-mail: philippova.olga@rambler.ru
Olga Filippova
post-graduate student
Tambov State University named after
G.R. Derzhavin
Russia, Tambov
e-mail: philippova.olga@rambler.ru
ÓÄÊ 517.911.5
ÑÂßÇÍÎÑÒÜ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ ÐÅØÅÍÈÉ ÇÀÄÀ×È ÊÎØÈ
ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÜÍÎ-ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎÃÎ ÓÐÀÂÍÅÍÈß Ñ
ÂÎËÜÒÅÐÐÎÂÛÌ ÎÏÅÐÀÒÎÐÎÌ È ÈÌÏÓËÜÑÍÛÌÈ ÂÎÇÄÅÉÑÒÂÈßÌÈ
c
°
1
À. È. Áóëãàêîâ, J. P. Munembe
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñâÿçíîñòü ìíîæåñòâà ðåøåíèé; ôóíêöèîíàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ âîëüòåððîâûì îïåðàòîðîì è èìïóëüñíûìè âîçäåéñòâèÿìè.
Àííîòàöèÿ: Çäåñü ïðèâîäèòñÿ òåîðåìà î ñòðóêòóðå ìíîæåñòâà ðåøåíèé óðàâíåíèÿ â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå, ñ ïîìîùüþ êîòîðîé ôîðìóëèðóåòñÿ òåîðåìà î ñâÿçíîñòè ìíîæåñòâà ðåøåíèé çàäà÷è Êîøè
ôóíêöèîíàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíîãî âêëþ÷åíèÿ ñ èìïóëüñíûìè âîçäåéñòâèÿìè.
Âîïðîñ î ñâÿçíîñòè ìíîæåñòâ ðåøåíèé çàäà÷ ýâîëþöèîííîãî òèïà èìååò áîãàòóþ èñòîðèþ è
âîñõîäèò ê êëàññè÷åñêèì ðàáîòàì À. Êíåçåðà, Ì. Õóêóõàðå, ãäå îí áûë ðåøåí äëÿ îáûêíîâåííûõ
1
Ðàáîòà ïîääåðæàíà ãðàíòàìè ÐÔÔÈ ( 07-01-00305, 09-01-97503), íàó÷íîé ïðîãðàììîé "Ðàçâèòèå íàó÷íîãî
ïîòåíöèàëà âûñøåé øêîëû"(ÐÍÏ  2.1.1/1131), "Ïðîãðàììîé Âñåìèðíîãî èññëåäîâàòåëüñêîãî ñîòðóäíè÷åñòâà â
ìàòåìàòèêå, ñòàòèñòèêå è èíôîðìàòèêå"ïðè ïîääåðæêå SIDA è âêëþ÷åíà â Òåìïëàí  1.6.07.
673