Введение в эконометрический анализ панельных дан

492
ÝÊÎÍÎÌÈ×ÅÑÊÈÉ ÆÓÐÍÀË ÂØÝ
¹3
ËÅÊÖÈÎÍÍÛÅ È ÌÅÒÎÄÈ×ÅÑÊÈÅ ÌÀÒÅÐÈÀËÛ
Ââåäåíèå
â ýêîíîìåòðè÷åñêèé àíàëèç ïàíåëüíûõ äàííûõ1
Ðàòíèêîâà Ò.À.
 ïðåäûäóùåì íîìåðå æóðíàëà áûëè îïóáëèêîâàíû ÷åòûðå ëåêöèè èç êóðñà «Ââåäåíèå â ýêîíîìåòðè÷åñêèé àíàëèç ïàíåëüíûõ äàííûõ», ãäå áûëà èçëîæåíà èíôîðìàöèÿ îáùåãî ïîðÿäêà î ïàíåëüíûõ
äàííûõ, ðàññìîòðåíû ìåòîäû îöåíèâàíèÿ îñíîâíûõ ìîäåëåé, ñâîéñòâà
ïîëó÷åííûõ îöåíîê è òåñòû íà ñïåöèôèêàöèþ.  ýòîì âûïóñêå âàøåìó âíèìàíèþ ïðåäëàãàþòñÿ ÷åòûðå ñëåäóþùèå ëåêöèè, â ïåðâîé èç
êîòîðûõ ðå÷ü ïîéäåò îá îöåíèâàíèè ðåãðåññèîííûõ ìîäåëåé ïàíåëüíûõ äàííûõ â óñëîâèÿõ ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñòè è àâòîêîððåëèðîâàííîñòè ñëó÷àéíûõ îøèáîê.  îñòàëüíûõ ëåêöèÿõ áóäåò îáñóæäàòüñÿ ïðîáëåìà îöåíèâàíèÿ â óñëîâèÿõ ýíäîãåííîñòè, êîòîðàÿ èìååò ìåñòî ïðè
êîððåëèðîâàííîñòè ðåãðåññîðîâ ñ èíäèâèäóàëüíûìè ýôôåêòàìè, ïðè
íàëè÷èè îøèáîê èçìåðåíèÿ îáúÿñíÿþùèõ ïåðåìåííûõ è ïðè ïîñòðîåíèè äèíàìè÷åñêèõ ìîäåëåé.
Ëåêöèÿ 5.
7. Îñîáåííîñòè îöåíèâàíèÿ ìîäåëåé ñ ïàíåëüíûìè äàííûìè â óñëîâèÿõ
ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñòè è àâòîêîððåëÿöèè ñëó÷àéíûõ âîçìóùåíèé
7.1. Îöåíèâàíèå êîâàðèàöèîííûõ ìàòðèö îøèáîê
â óñëîâèÿõ ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñòè è àâòîêîððåëÿöèè
Êàê ìîäåëü ñî ñëó÷àéíûì, òàê è ìîäåëü ñ äåòåðìèíèðîâàííûì ýôôåêòàìè
ïðåäïîëàãàåò, ÷òî ïðèñóòñòâèå â óðàâíåíèè ñëàãàåìîãî a i îáåñïå÷èâàåò ó÷åò
âñåé êîððåëÿöèè ìåæäó íåíàáëþäàåìûìè ïåðåìåííûìè â ðàçëè÷íûå ïåðèîäû
âðåìåíè. È ýòî äåéñòâèòåëüíî òàê, åñëè îøèáêà e it ïðåäïîëàãàåòñÿ íåêîððåëèðîâàííîé êàê ïî i, òàê è ïî t. Åñëè ðåãðåññîðû ñòðîãî ýêçîãåííû, àâòîêîððåëèðîâàííîñòü e it íå ïðèâîäèò ê íåñîñòîÿòåëüíîñòè ñòàíäàðòíûõ ìåòîäîâ îöåíèâàíèÿ, íî
âñå æå ïðîèñõîäèò èñêàæåíèå ñòàíäàðòíûõ îøèáîê è ðåçóëüòàòîâ òåñòîâ. Ñàìè
îöåíêè êîýôôèöèåíòîâ, îñòàâàÿñü ñîñòîÿòåëüíûìè, ïåðåñòàþò áûòü ýôôåêòèâíûìè. Åñëè ñòðóêòóðà êîâàðèàöèîííîé ìàòðèöû îøèáîê íå ñîîòâåòñòâóåò, íàÐàòíèêîâà Ò.À. – ê.ô.-ì.í., äîöåíò êàôåäðû ìàòåìàòè÷åñêîé ýêîíîìèêè è ýêîíîìåòðèêè ÃÓ
ÂØÝ.
2006
493
ËÅÊÖÈÎÍÍÛÅ È ÌÅÒÎÄÈ×ÅÑÊÈÅ ÌÀÒÅÐÈÀËÛ
)
ïðèìåð, ïðåäïîëîæåíèÿì ìîäåëè ñî ñëó÷àéíûì ýôôåêòîì, òî îöåíêè b РОМНК óòðà÷èâàþò àäåêâàòíîñòü. Ïðèñóòñòâèå ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñòè êàê èç-çà e it , òàê è
èç-çà a i â ìîäåëè ñî ñëó÷àéíûì ýôôåêòîì ïðèâîäèò ê ñõîäíûì ïîñëåäñòâèÿì.
Ñàìûé ïðîñòîé ïóòü ïðåîäîëåíèÿ ýòèõ òðóäíîñòåé áåç íàëîæåíèÿ äîïîëíèòåëüíûõ îãðàíè÷åíèé îòíîñèòåëüíî ñòðóêòóðû êîâàðèàöèîííîé ìàòðèöû – ýòî
èñïîëüçîâàòü îöåíêè ÌÍÊ ñî ñòàíäàðòíûìè îøèáêàìè, ó÷èòûâàþùèìè íåñôåðè÷íîñòü ñëó÷àéíûõ âîçìóùåíèé.
Ðàññìîòðèì äëÿ íà÷àëà ïðîñòóþ ìîäåëü áåç êàêèõ-ëèáî ïðåäïîëîæåíèé î
ñòðóêòóðå îøèáîê:
Yit = X it¢ в + uit .
Ñîñòîÿòåëüíîñòü ÌÍÊ-îöåíêè
-1
)
æN T
ö N T
-1
в = ( X ¢X ) X ¢ Y = ç å å X it X it¢ ÷ å å X it Yit
è i =1 t =1
ø i =1 t =1
òðåáóåò, ÷òîáû E{X it¢ uit } = 0 .
 ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ðàçëè÷íûå èíäèâèäóóìû íåêîððåëèðîâàíû ( E{uit u js } = 0
äëÿ âñåõ i ¹ j ) îöåíêà êîâàðèàöèîííîé ìàòðèöû ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà ñ ïîìîùüþ
ôîðìóëû Íàâüå – Âåñòà:
-1
-1
) ) æN T
))
ö N T T ) )
æ N T
ö
-1
-1
V в = ç å å X it X it¢ ÷ å å å uit uis X it X is¢ ç å å X it X it¢ ÷ = ( X ¢X ) X ¢ u u ¢ X ( X ¢X ) ,
è i =1 t =1
ø i =1 t =1 s =1
è i =1 t =1
ø
()
)
ãäå u it îçíà÷àþò ÌÍÊ-îñòàòêè. Ýòà îöåíêà ó÷èòûâàåò ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñòü è àâòîêîððåëÿöèþ îáùåãî âèäà (â ïðåäåëàõ âðåìåííîãî ðÿäà äëÿ îäíîãî èíäèâèäóóìà).
Åñëè ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñòü èñêëþ÷åíà àïðèîðè, îöåíêà ïðèîáðåòàåò âèä
-1
) ) æ N T
ö N T T æ1
¢
V в = ç åå X it X it ÷ åå å ç
è i =1 t =1
ø i =1 t =1 s =1 è N
()
ãäå
1
N
N
) )
u it u is
å
i =1
-1
) ) ö
æN T
ö
u it u is ÷X it X is¢ ç åå X it X it¢ ÷ ,
å
i =1
ø
è i =1 t =1
ø
N
– ñîñòîÿòåëüíàÿ îöåíêà äëÿ Wis = E{uit uis } .
Åñëè îøèáêà uit èìååò èíâàðèàíòíóþ ïî âðåìåíè ñîñòàâëÿþùóþ a i , êîòîðàÿ ìîæåò êîððåëèðîâàòü ñ îáúÿñíÿþùèìè ïåðåìåííûìè, îöåíêà ìîäåëè ñ äåòåðìèíèðîâàííûì èíäèâèäóàëüíûì ýôôåêòîì ìîæåò áûòü áîëåå ïðåäïî÷òèòåëüíà, ÷åì îöåíêà ÌÍÊ. Ñêîððåêòèðîâàííàÿ íà ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñòü è àâòîêîððåëÿöèþ îöåíêà êîâàðèàöèîííîé ìàòðèöû â ýòîì ñëó÷àå áóäåò èìåòü âèä:
) )
) )
-1
-1
V в = ( X ¢ WX ) X ¢ W uW uW¢ WX ( X ¢ WX ) ,
()
)
ãäå uW – îñòàòêè ðåãðåññèè «within».
494
ÝÊÎÍÎÌÈ×ÅÑÊÈÉ ÆÓÐÍÀË ÂØÝ
¹3
Êàê ïðàâèëî, â ñòàíäàðòíûõ ñëó÷àÿõ òàêîé êîððåêòèðîâêè áûâàåò äîñòàòî÷íî. Îäíàêî, êîãäà ñóùåñòâóåò ïîòðåáíîñòü ó÷èòûâàòü ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñòü è
àâòîêîððåëÿöèþ êîíêðåòíîãî âèäà, òî ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ èëè ðåàëèçóåìîãî îáîáùåííîãî ÌÍÊ ìîæíî ïîëó÷èòü áîëåå ýôôåêòèâíûå îöåíêè êîâàðèàöèîííîé ìàòðèöû, ÷åì ñ ïîìîùüþ îáûêíîâåííîãî ÌÍÊ èëè
ìîäåëè ñ äåòåðìèíèðîâàííûì ýôôåêòîì. Ïîäðîáíûé îáçîð òàêèõ ìåòîäîâ èçëîæåí â ìîíîãðàôèè Áàëòàäæè [11].
7.2. Òåñòèðîâàíèå ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñòè è àâòîêîððåëÿöèè
Áîëüøàÿ ÷àñòü òåñòîâ íà ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñòü è àâòîêîððåëÿöèþ, ïðîâîäèìûõ â ðàìêàõ ìîäåëè ñî ñëó÷àéíûì ýôôåêòîì (â äàëüíåéøåì äëÿ êðàòêîñòè
èìåíóåìîé RE-ìîäåëü), ïåðåãðóæåíû òåõíè÷åñêèìè äåòàëÿìè (ñì. ìîíîãðàôèþ
Áàëòàäæè [11]), à â ðàìêàõ ìîäåëè ñ äåòåðìèíèðîâàííûì ýôôåêòîì (FE-ìîäåëè)
îíè âûãëÿäÿò çíà÷èòåëüíî ïðîùå. Ïîñêîëüêó RE-ìîäåëü ìîæíî ðàññìàòðèâàòü
êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé FE-ìîäåëè, â êîòîðîì èíäèâèäóàëüíûé ýôôåêò íåêîððåëèðîâàí ñ ðåãðåññîðàìè, òåñòû, ñïðàâåäëèâûå äëÿ FE-ìîäåëè, ìîæíî ðàñïðîñòðàíèòü è íà RE-ìîäåëü.
Ðàññìîòðèì ñàìûé ðàñïðîñòðàíåííûé òåñò Äàðáèíà – Óîòñîíà íà àâòîêîððåëÿöèþ ïåðâîãî ïîðÿäêà äëÿ íàøåãî ñëó÷àÿ. Ïðîòèâ îñíîâíîé ãèïîòåçû îá îòñóòñòâèè àâòîêîððåëÿöèè
H0 : r = 0
ïðîâåðÿåòñÿ àëüòåðíàòèâíàÿ ãèïîòåçà âèäà
e it = re it -1 + vit , r > 0 èëè r < 0,
ãäå vit íåçàâèñèìû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû ïî âðåìåíè è èíäèâèäóóìàì. Òàêèì îáðàçîì, ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âñå èíäèâèäóóìû èìåþò îäèí è òîò æå êîýô)
ôèöèåíò êîððåëÿöèè r . Ïóñòü e it îáîçíà÷àþò îñòàòêè «within»-ðåãðåññèè. Òîãäà
ìîæíî âû÷èñëèòü ïàíåëüíûé àíàëîã ñòàòèñòèêè Äàðáèíà – Óîòñîíà:
)
)
åi=1 åt =2 (e it - e it -1 ) .
N
T ) 2
åi=1 åt =1e it
N
dw p =
T
2
Äëÿ ýòîé ñòàòèñòèêè, òàê æå, êàê è äëÿ îáû÷íîé ñòàòèñòèêè Äàðáèíà – Óîòñîíà, ñóùåñòâóþò òàáëèöû êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé, çàâèñÿùèõ òîëüêî îò N, T è Ê.
 îòëè÷èå îò ñëó÷àÿ îáû÷íûõ âðåìåííûõ ðÿäîâ îáëàñòü íåîïðåäåëåííîñòè çäåñü
áóäåò î÷åíü óçêîé, îñîáåííî äëÿ ïàíåëåé ñ áîëüøèì ÷èñëîì èíäèâèäóóìîâ.  ýòîì
ìîæíî óáåäèòüñÿ íà ïðèìåðå òàáë. 1, â êîòîðîé ïðåäñòàâëåíû âûáîðî÷íûå íèæíèå è âåðõíèå ãðàíèöû ïÿòèïðîöåíòíîé êðèòè÷åñêîé îáëàñòè.
Èç òàáë. 1 òàêæå âèäíî, ÷òî ðàçáðîñ çíà÷åíèé ñòàòèñòèêè ïî N, T è Ê îãðàíè÷åí.  ìîäåëè ñ òðåìÿ îáúÿñíÿþùèìè ïåðåìåííûìè, îöåíåííîé ïî òðåì ïåðèîäàì, ìû îòâåðãàåì H 0 : r = 0 â ïîëüçó H A : r > 0 ïðè ïÿòèïðîöåíòíîì óðîâíå
çíà÷èìîñòè, åñëè dw p ìåíüøå, ÷åì 1,859 äëÿ N=100 è 1,957 äëÿ N=1000. Äëÿ ïà-
2006
495
ËÅÊÖÈÎÍÍÛÅ È ÌÅÒÎÄÈ×ÅÑÊÈÅ ÌÀÒÅÐÈÀËÛ
íåëåé ñ î÷åíü áîëüøèì N äîñòàòî÷íî ñðàâíèâàòü dw p ñ äâîéêîé. Òàê êàê îöåíêà
)
)
b FE = bW ÿâëÿåòñÿ ñîñòîÿòåëüíîé è â ñëó÷àå ñïðàâåäëèâîñòè ìîäåëè ñî ñëó÷àéíûì ýôôåêòîì, òî ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñòàòèñòèêó dw p â îáîèõ ñëó÷àÿõ.
Òàáëèöà 1.
N = 100
T=3
T = 10
K
K
K
K
=
=
=
=
3
9
3
9
N = 500
N = 1000
dL
dU
dL
dU
dL
dU
1,859
1,839
1,891
1,878
1,880
1,902
1,904
1,916
1,939
1,935
1,952
1,949
1,943
1,947
1,954
1,957
1,957
1,954
1,967
1,965
1,959
1,961
1,968
1,970
Äëÿ òåñòèðîâàíèÿ íà ïðåäìåò íàëè÷èÿ ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñòè òîæå ìîæíî
èñïîëüçîâàòü îñòàòêè «within»-ðåãðåññèè. Â òåñòîâîé ðåãðåññèè îöåíèâàåòñÿ çàâèñèìîñòü êâàäðàòîâ îñòàòêîâ ðåãðåññèè «within» íà êîíñòàíòó è J íåçàâèñèìûõ
ïåðåìåííûõ z it – ïðåäïîëàãàåìûõ âèíîâíèêîâ ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñòè. Ýòî – îäèí
èç âàðèàíòîâ èçâåñòíîãî òåñòà Áðîéøà – Ïàãàíà. Ïðîòèâ îñíîâíîé ãèïîòåçû î
ãîìîñêåäàñòè÷íîñòè ïðîâåðÿåòñÿ àëüòåðíàòèâíàÿ ãèïîòåçà
V {e it } = s 2 h(zit¢ a ) ,
ãäå h – íåêîòîðàÿ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ ñ h(0) = 1, òàê ÷òî
îñíîâíàÿ ãèïîòåçà ôîðìóëèðóåòñÿ â âèäå H 0 : a = 0 . Òåñòîâàÿ ñòàòèñòèêà, âû÷èñëÿåìàÿ êàê N (T - 1) R 2 , ãäå R 2 – êîýôôèöèåíò äåòåðìèíàöèè òåñòîâîé ðåãðåññèè,
àñèìïòîòè÷åñêè ïîä÷èíÿåòñÿ c 2 -ðàñïðåäåëåíèþ ñ J ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, åñëè
ñïðàâåäëèâà îñíîâíàÿ ãèïîòåçà.
Ìîæíî ïðîäåëûâàòü àíàëîãè÷íûé òåñò è ñ îñòàòêàìè ðåãðåññèè «between».
Ëåêöèÿ 6.
8. Îöåíèâàíèå êîýôôèöèåíòîâ ïàíåëüíûõ ðåãðåññèé
â óñëîâèÿõ êîððåëèðîâàííîñòè ðåãðåññîðîâ è ñëó÷àéíîé îøèáêè
8.1. Ìåòîä Õàóñìàíà – Òåéëîðà
8.1.1. Èäåÿ è ïðåèìóùåñòâà ìåòîäà
Êàê óæå óïîìèíàëîñü âûøå, â ãëàâå, ïîñâÿùåííîé àíàëèçó ìîäåëè ñî ñïåöèôè÷åñêèì èíäèâèäóàëüíûì ýôôåêòîì, ñóùåñòâóåò ïîòåíöèàëüíàÿ âîçìîæíîñòü
êîððåëèðîâàííîñòè íåíàáëþäàåìîãî èíäèâèäóàëüíîãî ýôôåêòà a i è îáúÿñíÿþùèõ ïåðåìåííûõ (X, Z) ðåãðåññèîííîé ìîäåëè
Yit = X it¢ b + Z i¢g + a i + e it ,
i = 1, N ,
t = 1, T .
496
¹3
ÝÊÎÍÎÌÈ×ÅÑÊÈÉ ÆÓÐÍÀË ÂØÝ
 ïðèñóòñòâèè òàêîé êîððåëÿöèè îöåíêè ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ
(ÌÍÊ) è îáîáùåííîãî ÌÍÊ (ÎÌÍÊ) ïàðàìåòðîâ ìîäåëè b , g , s e2 , s a2 áóäóò ñìåùåíû è íåñîñòîÿòåëüíû. Òðàäèöèîííàÿ òåõíèêà ïðåîäîëåíèÿ ýòîé ïðîáëåìû –
èñêëþ÷åíèå èíäèâèäóàëüíûõ ýôôåêòîâ ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåìåííûõ
«within», ò.å. ïåðåõîä îò ìîäåëè â óðîâíåâûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ ê ìîäåëè â
îòêëîíåíèÿõ îò ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ïî âðåìåíè äëÿ êàæäîãî èíäèâèäóóìà. Íî, ê
ñîæàëåíèþ, îöåíêè ÌÍÊ ïðåîáðàçîâàííîé ìîäåëè áóäóò îáëàäàòü äâóìÿ ñóùåñòâåííûìè íåäîñòàòêàìè:
1) âñå ïåðåìåííûå Z, íå ìåíÿþùèåñÿ ñî âðåìåíåì, áóäóò òàêæå èñêëþ÷åíû èç ìîäåëè, à ñëåäîâàòåëüíî, îöåíèòü èõ âëèÿíèå (ò.å. íàéòè îöåíêè γ) îêàæåòñÿ íåâîçìîæíûì;
2) îáñòîÿòåëüñòâî (1) ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî îöåíêè «within» äëÿ êîýôôèöèåíòîâ β áóäóò íå ïîëíîñòüþ ýôôåêòèâíû, òàê êàê áóäóò èãíîðèðîâàòü íåîäíîðîäíîñòü èíäèâèäóóìîâ â âûáîðêå, êîòîðàÿ îòðàæàëàñü èñêëþ÷åííûìè ïåðåìåííûìè.
Ïðîáëåìà (1) îñîáåííî ñóùåñòâåííà â ïðèëîæåíèÿõ, â êîòîðûõ íàñ èíòåðåñóþò ïðåèìóùåñòâåííî êîýôôèöèåíòû ïðè èíâàðèàíòíûõ ïî âðåìåíè ðåãðåññîðàõ.
Íàïðèìåð, ïðè îöåíèâàíèè óðàâíåíèÿ Ìèíöåðà (óðàâíåíèÿ çàðàáîòíîé ïëàòû) èññëåäîâàòåëè îáû÷íî îñîáåííî èíòåðåñóþòñÿ îòäà÷åé îò îáðàçîâàíèÿ. Íî îáðàçîâàíèå, êàê ïðàâèëî, ìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì ó íåçíà÷èòåëüíîé ÷àñòè âûáîðêè, ñîîòâåòñòâóþùåé ìîëîäûì âîçðàñòàì, à äëÿ ïîäàâëÿþùåãî ÷èñëà ðåñïîíäåíòîâ îáðàçîâàíèå ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíîé ïî âðåìåíè ïåðåìåííîé.
Ñóùåñòâóåò ïîäõîä, çàêëþ÷àþùèéñÿ â èñïîëüçîâàíèè èíñòðóìåíòàëüíûõ
ïåðåìåííûõ, êîòîðûå íå êîððåëèðóþò ñî ñïåöèôè÷åñêèì èíäèâèäóàëüíûì ýôôåêòîì è íå âêëþ÷åíû â ìîäåëü, õîòÿ òåñíî ñâÿçàíû ñ èñïîëüçóåìûìè â ìîäåëè
îáúÿñíÿþùèìè ïåðåìåííûìè. Íî, âî-ïåðâûõ, òàêèå èíñòðóìåíòû áûâàåò ñëîæíî
ïîäîáðàòü, à, âî-âòîðûõ, ïðîöåäóðà èõ èñïîëüçîâàíèÿ èãíîðèðóåò íå ìåíÿþùèåñÿ
âî âðåìåíè õàðàêòåðèñòèêè ñêðûòûõ ïåðåìåííûõ.  ðàìêàõ ýòîãî ïîäõîäà, â ÷àñòíîñòè â îäíîé èç ðàáîò Ö. Ãðèëèõèñà [23], ïðåäëàãàëñÿ ìåòîä îöåíèâàíèÿ îòäà÷è
îò îáðàçîâàíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì â êà÷åñòâå èíñòðóìåíòîâ ïåðåìåííûõ, õàðàêòåðèçóþùèõ óðîâåíü îáðàçîâàíèÿ â ñåìüå ðåñïîíäåíòà è íå âêëþ÷åííûõ â ìîäåëü.
Äðóãîé ïîäõîä ðàçâèë ×åìáåðëåí [13], ïðåäëîæèâ íàêëàäûâàòü òðåáîâàíèå
íåêîððåëèðîâàííîñòè ñïåöèôè÷åñêîãî èíäèâèäóàëüíîãî ýôôåêòà a i è èíâàðèàíòíûõ âî âðåìåíè ðåãðåññîðîâ Z.
Íî âñå ýòè ìåòîäû îáëàäàþò âûñîêîé ÷óâñòâèòåëüíîñòüþ ê àïðèîðíîé èíôîðìàöèè î ïðèðîäå íåíàáëþäàåìûõ ñïåöèôè÷åñêèõ ýôôåêòîâ.
 ïîäõîäå, êîòîðûé ïðåäëàãàþò Õàóñìàí è Òåéëîð [19], ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî
õîòÿ X è Z êîððåëèðóþò ñ a i â öåëîì, îäíàêî ñðåäè íèõ èìåþòñÿ ïåðåìåííûå,
êîòîðûå âñå æå íåêîððåëèðîâàííû ñ a i . Òîãäà èíòóèòèâíî ÿñíî, ÷òî ñòîëáöû X,
íåêîððåëèðîâàííûå ñ a i , ìîãóò ñëóæèòü äâóì öåëÿì:
1) ïðè «within»-îöåíèâàíèè îíè ïîçâîëÿò ïîëó÷èòü íåñìåùåííûå îöåíêè
äëÿ β;
2) ïðè «between»-îöåíèâàíèè îíè ìîãóò áûòü õîðîøèìè èíñòðóìåíòàìè äëÿ
ñòîëáöîâ Z, êîððåëèðîâàííûõ ñ a i .
 ïðèìåðå ñ îòäà÷åé îò îáðàçîâàíèÿ ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî íåíàáëþäàåìûå ñïîñîáíîñòè èíäèâèäóóìà íå êîððåëèðóþò ñ åãî çäîðîâüåì è âîçðàñòîì, â
ìåíüøåé ñòåïåíè ýòî ìîæíî îòíåñòè ê íåçàíÿòîñòè.
(
)
2006
ËÅÊÖÈÎÍÍÛÅ È ÌÅÒÎÄÈ×ÅÑÊÈÅ ÌÀÒÅÐÈÀËÛ
497
Âàæíîå ïðåèìóùåñòâî ïîäõîäà Õàóñìàíà è Òåéëîðà ñîñòîèò â òîì, ÷òî ýòîò
ïîäõîä íå îïèðàåòñÿ íà ñòðîãèå àïðèîðíûå ïðåäïîëîæåíèÿ è ïðè îïðåäåëåííûõ
óñëîâèÿõ ïîçâîëÿåò òåñòèðîâàòü íàëè÷èå êîððåëÿöèè ìåæäó a i è ðåãðåññîðàìè.
8.1.2. Îñíîâíûå äîïóùåíèÿ
Èòàê, ðàññìàòðèâàåòñÿ ðåãðåññèîííàÿ ìîäåëü âèäà
E (a i | X it , Z it ) ¹ 0 ;
Yit = X it¢ b + Z i¢g + a i + e it ,
X – ìàòðèöà ðàçìåðà (NT, k), Z – ìàòðèöà ðàçìåðà (NT, q).
Íåîáõîäèìàÿ àïðèîðíàÿ èíôîðìàöèÿ – âîçìîæíîñòü ðàçëè÷èòü ñòîëáöû X
è Z, àñèìïòîòè÷åñêè íåêîððåëèðîâàííûå ñ a i , ò.å. òàêèå, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííûõ
çíà÷åíèÿõ T
X 1¢ita i
= 0;
N
N ®¥
X¢ a
p lim 2 it i = hx ;
N
N ®¥
Z1¢ia i
=0;
N
N ®¥
Z¢ a
p lim 2 i i = hz ,
N
N ®¥
p lim
ãäå
p lim
X= [X 1 , X 2 ] , X 1 (NT , k1 ) , X 2 (NT , k 2 ) ;
Z= [Z1 , Z 2 ] , Z1 (NT , q1 ) , Z 2 (NT , q2 ) ;
hx ¹ 0, hZ ¹ 0 .
Ïðèìåíèâ ïðåîáðàçîâàíèå «within» ê ìîäåëè
WYit = WX it¢ b + WZ i¢g + Wa i + We it ,
ìû ïîëó÷èì óðàâíåíèå
~
~
Yit = X it¢ b + e~it (ïîñêîëüêó WZ i = 0, Wa i = 0 ),
îòêóäà èçâëå÷åì îöåíêó
)
bW = ( X it¢WX it ) X it¢WYit ,
-1
êîòîðàÿ áóäåò ÿâëÿòüñÿ íåñìåùåííîé è ñîñòîÿòåëüíîé, íå âçèðàÿ íà íàëè÷èå
êîððåëÿöèè ìåæäó a i è (X, Z). Ñóììà êâàäðàòîâ îñòàòêîâ ýòîé ìîäåëè ìîæåò
ñëóæèòü äëÿ ïîëó÷åíèÿ íåñìåùåííîé è ñîñòîÿòåëüíîé îöåíêè äëÿ s e2 .
Ïðèìåíèâ ïðåîáðàçîâàíèå «between» ê ìîäåëè
BYit = BX it¢ b + BZ i¢g + Ba i + Be it ,
ìû ïîëó÷èì óðàâíåíèå
Yi· = X i¢· b + Z i¢g + a i + e i· ,
498
¹3
ÝÊÎÍÎÌÈ×ÅÑÊÈÉ ÆÓÐÍÀË ÂØÝ
)
æ bB ö
ç
îòêóäà èçâëå÷åì îöåíêó ç ) ÷÷ , êîòîðàÿ èç-çà ïðèñóòñòâèÿ íåíàáëþäàåìîé a i áóègB ø
äåò ñìåùåííîé è íåñîñòîÿòåëüíîé. Ñóììà êâàäðàòîâ îñòàòêîâ ýòîé ìîäåëè áóäåò
ñìåùåííîé è íåñîñòîÿòåëüíîé îöåíêîé äëÿ V (a i + e i· ) = s a2 +
s e2
.
T
Îäíàêî, èñïîëüçóÿ îáîáùåííóþ êîâàðèàöèîííóþ ìàòðèöó
1 ö
æ
W = s e2 I + Ts a2 B = s e2 çW + 2 B ÷ ,
q ø
è
ìû ñìîæåì ïîëó÷èòü áîëåå ýôôåêòèâíûå îöåíêè êîýôôèöèåíòîâ β è γ:
)
)
)
æ b ОМНК ö
æb ö
æ ö
ç)
÷ = m ç ) B ÷ + ( I - m )ç bW ÷ ,
çg ÷
ç 0 ÷
çg
÷
è ø
è ОМНК ø
è Bø
-1
ãäå m = (VB + VW ) VW , VW = X ¢WX , VB = q 2 X ¢BX .
Ýòó îöåíêó â ëèòåðàòóðå åùå íàçûâàþò îöåíêîé Áàëåñòðà – Íåðëîâà. Äëÿ
åå âû÷èñëåíèÿ íåîáõîäèìî çíàòü çíà÷åíèå ïàðàìåòðà q 2 =
s e2
s e + Ts a2
2
, íî ìîæíî
)
)
çàìåíèòü åå íà q 2 , åñëè ïîñëåäíÿÿ ñîñòîÿòåëüíà. Íî åñëè hX ¹ 0, hZ ¹ 0 , òîãäà q 2 ,
)
)
s e2 è s a2 íå áóäóò ñîñòîÿòåëüíûìè.
Íàïîìíèì, ÷òî ÎÌÍÊ – ýòî ÌÍÊ, ïðèìåíåííûé ê èñõîäíûì äàííûì, ïðå~
îáðàçîâàííûì ñëåäóþùèì îáðàçîì: Yit = Yit - (1 - q )Yi · .
8.1.3. Ñîñòîÿòåëüíîå, íî íåýôôåêòèâíîå îöåíèâàíèå
Åñëè òåñò Õàóñìàíà îòâåðãàåò ãèïîòåçó î íåêîððåëèðîâàííîñòè a i è (X, Z),
òîãäà ìîäåëü ñî ñëó÷àéíûì èíäèâèäóàëüíûì ýôôåêòîì íåâåðíà, à âåðíà ìîäåëü
ñ äåòåðìèíèðîâàííûì èíäèâèäóàëüíûì ýôôåêòîì, è ñîñòîÿòåëüíûìè áóäóò ÿâëÿòüñÿ ëèøü îöåíêè «within» äëÿ β è s e2 . Íà îñíîâàíèè ýòèõ îöåíîê ìîæíî ïîñòðîèòü ýôôåêòèâíóþ ïðîöåäóðó îöåíèâàíèÿ ïàðàìåòðîâ γ è s a2 , èñïîëüçóþùóþ
èíñòðóìåíòàëüíûå ïåðåìåííûå.
Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå âåêòîð óñðåäíåííûõ ïî âðåìåíè îñòàòêîâ ðåãðåññèè
«within»:
)
)
-1
d i = Yi· - X i¢· bW = B - X i· ( X it¢WX it ) X it¢W Yit .
(
)
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî Yit ãåíåðèðóåòñÿ ïðîöåññîì Yit = X it¢ b + Z ig + a i + e it , ïîëó÷èì,
÷òî
)
-1
d i = Z i¢g + a i + B - X i· ( X it¢WX it ) X it¢W e it .
(
)
2006
ËÅÊÖÈÎÍÍÛÅ È ÌÅÒÎÄÈ×ÅÑÊÈÅ ÌÀÒÅÐÈÀËÛ
499
Èíòåðïðåòèðóÿ ïîñëåäíèå äâà ñëàãàåìûõ ïîëó÷åííîãî âûðàæåíèÿ êàê íåíàáëþäàåìîå ñëó÷àéíîå âîçìóùåíèå ñ íóëåâûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì,
ìîæíî ïîïðîáîâàòü íàéòè èç ýòîãî ðåãðåññèîííîãî ñîîòíîøåíèÿ îöåíêó ïàðàìåò)
)
ðà γ. Èç-çà êîððåëÿöèè a i è Z 2 i îöåíêè g МНК è g ОМНК áóäóò íåñîñòîÿòåëüíû.
Ñîñòîÿòåëüíóþ îöåíêó äëÿ γ ìîæíî ïîëó÷èòü, åñëè èñïîëüçîâàòü ñòîëáöû
X 1 , íåêîððåëèðîâàííûå ñ α ïî îïðåäåëåíèþ, êàê èíñòðóìåíòû äëÿ ñòîëáöîâ Z 2 .
Íåîáõîäèìîå óñëîâèå ðåàëèçóåìîñòè ýòîé ïðîöåäóðû: k1 ³ q2 , ò.å. ýêçîãåííûõ, ìåíÿþùèõñÿ âî âðåìåíè ïåðåìåííûõ, äîëæíî áûòü ïî êðàéíåé ìåðå ñòîëüêî æå,
ñêîëüêî ýíäîãåííûõ ïåðåìåííûõ, èíâàðèàíòíûõ ïî âðåìåíè. Ýòî óñëîâèå èäåíòèôèöèðóåìîñòè γ .
)
Îöåíêà äâóõøàãîâîãî ÌÍÊ ïàðàìåòðà γ, êîòîðóþ ìû íàçîâåì g W (ïîñêîëü)
êó îíà ïîñòðîåíà íà îñíîâàíèè bW ), áóäåò èìåòü âèä
)
)
g W = (Z i¢PA Z i ) Z i¢PAdi ,
-1
-1
ãäå PA = A( A¢A) A¢ – îðòîãîíàëüíûé ïðîåêòîð íà ïðîñòðàíñòâî, îáðàçîâàííîå
ñòîëáöàìè ìàòðèöû A = [X 1 Z1 ] .
Îøèáêà ýòîé âûáîðî÷íîé îöåíêè áóäåò èìåòü âèä
)
[ (
) ]
g W - g = (Z i¢PA Z i ) Z i¢PA a i + B - X i· ( X it¢WX it ) X it¢W e it
-1
-1
è ïðè óñëîâèÿõ
p lim
N ®¥
Ait¢ a i
= 0,
N
p lim
N ®¥
X it¢ e it
=0
N
è ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ T ïîëó÷åííàÿ îöåíêà ÿâëÿåòñÿ ñîñòîÿòåëüíîé. Íî
)
ïîñêîëüêó çíà÷åíèÿ d i ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îñòàòêè ðåãðåññèè «within» â ïðåäïî)
)
ëîæåíèè, ÷òî îöåíêà bW íå ÿâëÿåòñÿ ñàìîé ýôôåêòèâíîé, òî è îöåíêà g W òîæå íå
áóäåò ñàìîé ýôôåêòèâíîé. Çàòî òåïåðü ìîæíî ñêîíñòðóèðîâàòü ñîñòîÿòåëüíóþ
îöåíêó äëÿ äèñïåðñèé.
Ñóììà êâàäðàòîâ îñòàòêîâ ðåãðåññèè «within» ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â
âèäå
{
}
) )
-1
-1
uW¢ uW = Yit¢W I NT - WX it ( X it¢ WX it ) X it¢W WYit = e it¢ We it - e it¢ WX ( X ¢ WX ) X ¢We it ,
òîãäà äëÿ s e2 ìîæíî ïîñòðîèòü îöåíêó S e2 =
) )
uW¢ uW
, êîòîðàÿ áóäåò ÿâëÿòüñÿ ñîN (T - 1)
ñòîÿòåëüíîé:
p lim S e2 = p lim
N ®¥
N ®¥
e it¢ We it
N (T - 1)
- 0 = s e2 .
500
¹3
ÝÊÎÍÎÌÈ×ÅÑÊÈÉ ÆÓÐÍÀË ÂØÝ
Можно также построить оценку S
что p lim S 2 = p lim
N ®¥
N ®¥
2
(Y
=
i·
)
)
) ¢
)
- X i¢· bW - Z i¢g W Yi· - X i¢· bW - Z i¢g W
N
)(
(a i + e i· )¢ (a i + e i· ) = s 2 + s e2 , è
N
a
T
)
такую,
èç íåå ñ ïîìîùüþ Se2 âûðàçèòü ñî-
ñòîÿòåëüíóþ îöåíêó äëÿ s a2 :
Sa2 = S 2 -
1 2
Se .
T
8.1.4. Ñîñòîÿòåëüíîå è ýôôåêòèâíîå îöåíèâàíèå
Ñîñòîÿòåëüíûå è ýôôåêòèâíûå îöåíêè âñåõ èíòåðåñóþùèõ íàñ ïàðàìåòðîâ
ìîæíî ïîëó÷èòü, èñïîëüçóÿ äðóãîé ìåòîä, òîæå îñíîâàííûé íà èíñòðóìåíòàëüíûõ ïåðåìåííûõ.
Ïîñêîëüêó åäèíñòâåííàÿ êîìïîíåíòà ñëó÷àéíîãî âîçìóùåíèÿ, à èìåííî a i ,
êîððåëèðóþùàÿ ñ ðåãðåññîðàìè, ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíîé ïî âðåìåíè, òî ëþáîé
âåêòîð, îðòîãîíàëüíûé èíâàðèàíòíîìó ïî âðåìåíè âåêòîðó, ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí êàê èíñòðóìåíò.  ÷àñòíîñòè, «within»-ïðåîáðàçîâàííûå èçìåíÿþùèåñÿ âî
âðåìåíè ðåãðåññîðû íåêîððåëèðîâàíû ñ a i ïî ïîñòðîåíèþ X it¢Wa i = 0 , òàê ÷òî èç
íèõ ìîæíî ïîñòðîèòü NT–N ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ èíñòðóìåíòîâ, êîòîðûå ïîðîæäàþò áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå îáðàçà îïåðàòîðà W. Íî, ê íåñ÷àñòüþ, âñå ýëåìåíòû
ýòîãî ïðîñòðàíñòâà îðòîãîíàëüíû èíâàðèàíòíûì ïî âðåìåíè ðåãðåññîðàì Z i , ÷òî
ïðîòèâîðå÷èò òðåáîâàíèþ òåñíîé ñâÿçè ìåæäó èíñòðóìåíòàìè è òåìè ïåðåìåííûìè, êîòîðûå èíñòðóìåíòèðóþòñÿ. Íåîáõîäèìî ðàçâèâàòü êàêîé-òî èíîé ïîäõîä.
Íà àíàëèç ïàíåëüíûõ äàííûõ ëåãêî ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ òåîðèÿ îá èäåíòèôèöèðóåìîñòè â ñèñòåìàõ îäíîâðåìåííûõ ëèíåéíûõ ðåãðåññèîííûõ óðàâíåíèé. Íàïîìíèì, ÷òî ïîä èäåíòèôèöèðóåìîñòüþ ïîíèìàåòñÿ âîçìîæíîñòü îïðåäåëåíèÿ
ñòðóêòóðíûõ ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû.
À èìåííî, ïóñòü èìåþòñÿ ñèñòåìà îäíîâðåìåííûõ óðàâíåíèé (ÑÎÓ)
(1)
Y = Xb + e ,
Z ¢e
=0.
T
T ®¥
Ñïðîåöèðóåì íàøó ÑÎÓ â ïðîñòðàíñòâî, îáðàçîâàííîå ñòîëáöàìè Z:
ãäå k ñòîëáöîâ ìàòðèöû X ýíäîãåííû, è ìàòðèöà Z òàêàÿ, ÷òî p lim
(2)
PZ Y = PZ Xb + PZ e ,
ãäå PZ = Z ( Z ¢Z ) -1 Z ¢ .
Ïóñòü l åñòü k-ìåðíûé âåêòîð êîíñòàíò. Òîãäà âåðíà ñëåäóþùàÿ ëåììà.
Ëåììà. Íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì èäåíòèôèöèðóåìîñòè
ôóíêöèé l ¢b â (1) ÿâëÿåòñÿ îöåíèâàåìîñòü l ¢b â (2).
2006
501
ËÅÊÖÈÎÍÍÛÅ È ÌÅÒÎÄÈ×ÅÑÊÈÅ ÌÀÒÅÐÈÀËÛ
Îïèðàÿñü íà ýòîò ðåçóëüòàò, ëåãêî óâèäåòü, ÷òî áåçî âñÿêîé àïðèîðíîé èíôîðìàöèè âñå ýëåìåíòû âåêòîðà β èäåíòèôèöèðóåìû èç íàøåé èñõîäíîé ìîäåëè.
Äëÿ ýòîãî íàäî ïðîñòî îñóùåñòâèòü ïðåîáðàçîâàíèå «within».
Ñîâñåì èíàÿ ñèòóàöèÿ ñ âåêòîðîì γ, êîòîðûé íå îöåíèâàåì èç óðàâíåíèÿ
«within» ñîâñåì. Íóæíà íåêàÿ àïðèîðíàÿ èíôîðìàöèÿ.
Ýòîé àïðèîðíîé èíôîðìàöèåé ÿâëÿåòñÿ çíàíèå X 1 è Z1 . Òîãäà X 1 è Z1 ìîãóò áûòü äîáàâëåíû â ìàòðèöó èíñòðóìåíòàëüíûõ ïåðåìåííûõ ê WX.
-1
Îáîçíà÷èì A = [WX X 1 Z1 ] , à PA = A( A¢A) A¢ . Òîãäà óñëîâèå ðàíãà ôîðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Óòâåðæäåíèå 1. Íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì èäåíòèôèöèðóåìîñòè âåêòîðà (b , g ) ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííîñòü ìàòðèöû
æ X it¢ ö
çç ÷÷ PA ( X it
è Z i¢ ø
Zi ) .
Ñîîòâåòñòâóþùåå óñëîâèå ïîðÿäêà ïðèìåò âèä.
Óòâåðæäåíèå 2. Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå èäåíòèôèöèðóåìîñòè âåêòîðà (b , g ) åñòü k1 ³ q2 .
Èòàê, äëÿ íàøåé ìîäåëè àíàëèçà ïàíåëüíûõ äàííûõ ïàðàìåòðû
èäåíòèôèöèðóåìû, à ïàðàìåòðû
(g , s )
2
a
(
öèè g , s a
)
2
e
íåèäåíòèôèöèðóåìû, åñëè ñóùåñòâóåò
íåíóëåâàÿ êîððåëÿöèÿ a i è îáúÿñíÿþùèõ ïåðåìåííûõ
2
(b , s )
(X , Z ) .
Äëÿ èäåíòèôèêà-
íóæíà àïðèîðíàÿ èíôîðìàöèÿ î âîçìîæíûõ èíñòðóìåíòàõ, ïî êðàé-
íåé ìåðå äëÿ âñåõ ýíäîãåííûõ ñòîëáöîâ Z (Z 2 ) . È â îòëè÷èå îò ñèòóàöèè ñ ñèñòåìàìè îäíîâðåìåííûõ óðàâíåíèé, ãäå èíñòðóìåíòû íàäî èñêàòü èçâíå (ïðèìåð ñ
îáðàçîâàíèåì ðîäèòåëåé, íå âêëþ÷åííûì â ìîäåëü), â àíàëèçå ïàíåëüíûõ äàííûõ
èíñòðóìåíòàìè ÿâëÿþòñÿ k1 ýêçîãåííûõ ñòîëáöîâ X ( X 1 ) , ò.å. èíñòðóìåíòû ñîäåðæàòñÿ â ñàìîé ìîäåëè. Òàê êàê òîëüêî a i êîððåëèðóåò ñ ( X 2 , Z 2 ) , WX 1 ìîæåò
áûòü èíñòðóìåíòîì äëÿ X 1 = WX 1 + X 1· , à X 1· ìîæåò áûòü èíñòðóìåíòîì äëÿ Z 2 .
Êîãäà àïðèîðíàÿ èíôîðìàöèÿ î ðàçáèåíèè X íà X 1 è X 2 è Z íà Z1 è Z 2
èìååòñÿ, òî ìîæíî ïîñòðîèòü ñîñòîÿòåëüíóþ è àñèìïòîòè÷åñêè ýôôåêòèâíóþ
îöåíêó äëÿ âåêòîðà (b , g ) .
Åñëè êîâàðèàöèîííàÿ ìàòðèöà W èçâåñòíà, òî ïðîöåäóðà îöåíèâàíèÿ äâóõøàãîâûì ÌÍÊ (2SLS) âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:
(1)
ãäå W
-1
Yit = Yit - (1 - q )Yi· ,
2
W
-1
Yit = W
2
-1
2
X it¢ b + W
-1
2
Z ig + W
-1
2
uit ,
502
¹3
ÝÊÎÍÎÌÈ×ÅÑÊÈÉ ÆÓÐÍÀË ÂØÝ
PAW
(2)
-1
2
Yit = PAW
-1
2
X it¢ b + PAW
-1
2
Z ig + PAW
-1
2
uit ,
-1
ãäå PA = A( A¢A) A¢ , à A = [WX X 1 Z1 ] , ïðè÷åì ïðîåöèðîâàíèå ýêçîãåííûõ ïåðåìåííûõ íà ñòîëáöû ìàòðèöû A äàñò èõ æå ñàìèõ, à ïðîåöèðîâàíèå ýíäîãåííûõ ïåðåìåííûõ ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåíî ñ èñïîëüçîâàíèåì òîëüêî ñðåäíèõ ïî âðåìåíè.
Åñëè ìàòðèöà W íåèçâåñòíà, ÷òî áîëåå åñòåñòâåííî, òî â (2) âìåñòî W ñëåäó)
åò èñïîëüçîâàòü åå ñîñòîÿòåëüíóþ îöåíêó W , òàê êàê íà ýòîò ñ÷åò èìååòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
) )
)
Óòâåðæäåíèå 3. Äëÿ ëþáîé ñîñòîÿòåëüíîé îöåíêè W îöåíêà ÌÍÊ b , g
)
èç óðàâíåíèÿ (2) ñ W èìååò òî æå àñèìïòîòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå, ÷òî è
)* )*
îöåíêà b , g èç (2) ñ W.
)
)
)
Åñëè ìîäåëü íåäîèäåíòèôèöèðîâàíà (k1 < q2 ) , òî b * = b W , à g * íå ñóùåñò)
âóåò, ñëåäîâàòåëüíî, ìû ìîæåì íàéòè òîëüêî b W , ïðèìåíèâ FE-ìîäåëü.
)
)
)
)
Åñëè ìîäåëü òî÷íî èäåíòèôèöèðîâàíà (k1 = q2 ) , òî b * = b W , g * = g W , à ñëå)
)
äîâàòåëüíî, ìû íàõîäèì b W ñ ïîìîùüþ FE-ìîäåëè è g W ñ ïîìîùüþ ìåòîäà èíñòðóìåíòàëüíûõ ïåðåìåííûõ.
) )
Åñëè ìîäåëü ñâåðõèäåíòèôèöèðîâàíà (k1 > q2 ) , òî îöåíêè b * , g * îòëè÷àþò) )
ñÿ îò îöåíîê bW , g W è ÿâëÿþòñÿ áîëåå ýôôåêòèâíûìè.
(
(
)
)
(
(
)
)
8.1.5. Òåñòèðîâàíèå àïðèîðíûõ îãðàíè÷åíèé
Âñå àïðèîðíûå îãðàíè÷åíèÿ ìîãóò áûòü ïðîòåñòèðîâàíû, êîãäà ïàðàìåòðû
ñâåðõèäåíòèôèöèðîâàíû.
Ìû áóäåì ïðîâåðÿòü ñëåäóþùóþ îñíîâíóþ ãèïîòåçó:
H0 :
p lim
N ®¥
X 1¢ita i
= 0;
N
p lim
N ®¥
Z1¢ia i
=0.
N
Èíà÷å îñíîâíóþ ãèïîòåçó ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê: âñå èíñòðóìåíòû
âåðíû.
) )
) )
Åñëè âûïîëíåíà ãèïîòåçà H 0 , îáå îöåíêè bW , g W è b * , g * ñîñòîÿòåëüíû.
(
) (
)
Àëüòåðíàòèâíàÿ ãèïîòåçà H A ïðåäïîëàãàåò, ÷òî íå âñå èíñòðóìåíòû âåðíû,
èëè íå âñå ìîìåíòíûå òîæäåñòâà ñïðàâåäëèâû.
)
)
Ïðè H A p lim b * ¹ p lim bW = b .
N ®¥
N ®¥
)
) )
Ñëåäîâàòåëüíî, íàäî òåñòèðîâàòü îòëè÷èå îò íóëÿ q = b * - bW .
Ââåäÿ îáîçíà÷åíèÿ
WZ = I NT - Z i (Z i¢Z i ) Z i¢ è X * = WZ W
-1
-1
2
X,
2006
503
ËÅÊÖÈÎÍÍÛÅ È ÌÅÒÎÄÈ×ÅÑÊÈÅ ÌÀÒÅÐÈÀËÛ
ïîëó÷èì
-1
-1
¢
¢
¢
¢ ù
) é
-1
q = êæç X * PA X * ö÷ X * PA - æç X * WX * ö÷ X * W ú WZ W 2Yit = DYit* ,
ø
è
ø
ëêè
ûú
-1
-1
¢
¢
¢
¢
-1
ãäå D = æç X * PA X * ö÷ X * PA - æç X * WX * ö÷ X * W , à Yit* = WZ W 2 Yit .
è
ø
è
ø
Òîãäà òåñòîâàÿ ñòàòèñòèêà ïðèìåò âèä
)
)
) )
m = q ¢ V bW - V b *
[ ( ) ( )] q) = q) ¢ [s
+
2
e
+ )
DD ¢ q ,
]
ãäå ñèìâîë «+» îçíà÷àåò îáîáùåííîå îáðàùåíèå.
Çàìå÷àíèå. Îáîáùåííîé îáðàòíîé ìàòðèöåé äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöû A
íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà A+ , óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì:
AA+ A = A ,
A+ AA+ = A+ ,
(AA )¢ = AA
+
+
,
(A A)¢ = A A .
+
+
Õàóñìàí è Òåéëîð ñôîðìóëèðîâàëè è äîêàçàëè ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
) )
)
Óòâåðæäåíèå 4. Åñëè âåðíà îñíîâíàÿ ãèïîòåçà, òî âåëè÷èíà s e2 m , ãäå s e2 –
ñîñòîÿòåëüíàÿ îöåíêà äëÿ s e2 , ñõîäèòñÿ ïî ðàñïðåäåëåíèþ ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå c d2 , ãäå d = rankD = min [k1 - q2 , NT - k ] .
)
Åñëè ìû íàõîäèìñÿ â óñëîâèÿõ òî÷íîé èäåíòèôèêàöèè, q º 0 è d = 0.
Ýòîò òåñò íàçûâàþò òåñòîì Ñàðæàí íà ñâåðõèäåíòèôèöèðîâàííûå îãðàíè÷åíèÿ. Òåñò íå òðåáóåò íîðìàëüíîñòè îøèáîê.
8.1.6. Ïðèëîæåíèå ìåòîäà Õàóñìàíà – Òåéëîðà
äëÿ îöåíèâàíèÿ ýôôåêòà îò îáðàçîâàíèÿ
 íåäàâíåì ïðîøëîì îöåíèâàíèå ýôôåêòà îáðàçîâàíèÿ íà çàðàáîòíóþ ïëàòó áûëî òåìîé àêòèâíûõ èññëåäîâàíèé è áîëüøàÿ ÷àñòü äèñêóññèé ôîêóñèðîâàëàñü íà ïîòåíöèàëüíîé êîððåëÿöèè ìåæäó íåíàáëþäàåìûìè ñïîñîáíîñòÿìè èíäèâèäà è åãî îáðàçîâàíèåì. Åùå Ãðèëèõåñ îòìå÷àë, ÷òî íåÿñíî, â êàêîì íàïðàâë åíèè îêàçûâàåòñÿ ñìåùåííûì êîýôôèöèåíò ïðè îáðàçîâàíèè.  òî âðåìÿ, êàê â
ïðîñòûõ ìîäåëÿõ ïîëîæèòåëüíàÿ êîððåëÿöèÿ ìåæäó íåíàáëþäàåìûìè ñïîñîáíîñòÿìè èíäèâèäà è êîëè÷åñòâîì ëåò, çàòðà÷åííûõ íà ïîëó÷åíèå îáðàçîâàíèÿ,
ñìåùàëà îöåíêó ÌÍÊ âíèç, â áîëåå ñëîæíûõ ìîäåëÿõ, ãäå ðåøåíèå î ïðîäîëæèòåëüíîñòè ïðîöåññà îáðàçîâàíèÿ ôîðìèðîâàëîñü ýíäîãåííî, âûÿâëÿëàñü îòðèöàòåëüíàÿ êîððåëÿöèÿ ìåæäó ñïîñîáíîñòÿìè è îáðàçîâàíèåì. Íàïðèìåð, êîãäà Ãðèëèõåñ, Õîëë è Õàóñìàí ðàññìàòðèâàëè îáðàçîâàíèå êàê ýíäîãåííóþ ïåðåìåííóþ
è èñïîëüçîâàëè óðîâåíü îáðàçîâàíèÿ â ñåìüå êàê èíñòðóìåíò, êîýôôèöèåíò ïðè
îáðàçîâàíèè âîçðàñòàë íà 50%. Èíòåðåñíî, äàñò ëè ìåòîä Õàóñìàíà – Òåéëîðà
óâåëè÷åíèå ýòîãî êîýôôèöèåíòà ïî ñðàâíåíèþ ñ ÌÍÊ?
504
¹3
ÝÊÎÍÎÌÈ×ÅÑÊÈÉ ÆÓÐÍÀË ÂØÝ
Äëÿ îòâåòà íà ýòîò âîïðîñ ïîïûòàåìñÿ èñïîëüçîâàòü ïàíåëü, îïèñàííóþ â
ïàðàãðàôå 6 ÷åòâåðòîé ëåêöèè. Íàïîìíèì, ÷òî ýòà ïàíåëü ñôîðìèðîâàíà íà îñí îâàíèè äàííûõ ÐÌÝÇ çà 1994, 1996, 1998 è 2000 ãîäû.
Ìû íåñêîëüêî ìîäèôèöèðóåì èñïîëüçóåìóþ âûáîðêó òàê, ÷òîáû îáðàçîâàíèå áûëî èíâàðèàíòíîé ïî âðåìåíè ïåðåìåííîé. Â ñóùíîñòè, â èñõîäíîé âûáîðêå
îáðàçîâàíèå ìåíÿëîñü ñî âðåìåíåì ëèøü ó íåçíà÷èòåëüíîé ÷àñòè ðåñïîíäåíòîâ
ìîëîäûõ âîçðàñòîâ, ïîýòîìó âêëþ÷åíèå â ìîäèôèöèðîâàííóþ âûáîðêó èíäèâèäîâ
â âîçðàñòå îò 35 äî 65 ëåò ïîçâîëèò ñ÷èòàòü îáðàçîâàíèå íå ìåíÿþùåéñÿ ñî âðåìåíåì ïåðåìåííîé.
Íàïîìíèì, ÷òî îöåíèâàåìîå óðàâíåíèå èìåëî ñëåäóþùèé âèä:
lwageit = b0 + b1educit + b2ageit + b3age2it + b4stagnait + b5geni + b6marstit +
+ b7cityit + b8isco_1it + b9isco_2it + ... + b14isco_7it + b15isco_8it + b16d96 +
+ b17d98 + b18d00 + eit,
ãäå lwageit – ëîãàðèôì ìåñÿ÷íîé çàðàáîòíîé ïëàòû;
educit – ïðîäîëæèòåëüíîñòü îáðàçîâàíèÿ (â ãîäàõ);
ageit – âîçðàñò;
age2it – êâàäðàò âîçðàñòà;
stagnait – ñòàæ íà äàííîì ìåñòå ðàáîòû;
geni – ïîë;
marstit – ñåìåéíûé ñòàòóñ;
cityit – òèï ìåñòà ïðîæèâàíèÿ (ãîðîä = 1 èëè ñåëî = 0);
isco_1it – isco_8it – äàììè-ïåðåìåííûå äëÿ ïðîôåññèîíàëüíûõ ãðóïï ïî
êëàññèôèêàöèè ISCO-88;
isco_9 (íåêâàëèôèöèðîâàííûå ðàáî÷èå) – ðåôåðåíòíàÿ ãðóïïà äëÿ ñðàâíåíèé;
d96, d98, d00 – äàììè-ïåðåìåííûå äëÿ îòðàæåíèÿ âðåìåííîãî ýôôåêòà, 1994 ã.
ïðèíÿò çà áàçîâûé.
Ñêâîçíîå îöåíèâàíèå óðàâíåíèÿ íàøåé ìîäåëè (ÌÍÊ), èãíîðèðóþùåå ïàíåëüíóþ ïðèðîäó äàííûõ, ïðèâîäèò ê ñëåäóþùèì ðåçóëüòàòàì:
Number of obs
F( 18, 4640)
Prob > F
R-squared
Adj R-squared
lwage
educ
age
age2
stagna
gen
marst
city
isco_1
isco_2
isco_3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=
4659
= 2991.87
= 0.0000
= 0.9207
= 0.9204
Coef.
.0434751
.0653114
-.0007599
-.0009205
-.3553418
.0109592
.4935197
.6642551
.4405935
.4282444
Std. Err.
.0053231
.0202214
.0002101
.0079549
.0308112
.0154633
.0287722
.0770394
.052957
.0506021
t
8.17
3.23
-3.62
-0.12
-11.53
0.71
17.15
8.62
8.32
8.46
P>|t|
0.000
0.001
0.000
0.908
0.000
0.479
0.000
0.000
0.000
0.000
2006
505
ËÅÊÖÈÎÍÍÛÅ È ÌÅÒÎÄÈ×ÅÑÊÈÅ ÌÀÒÅÐÈÀËÛ
lwage
isco_4
isco_5
isco_6
isco_7
isco_8
d96
d98
d00
_cons
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Coef.
.2982684
.3087274
.3378075
.3398478
.4641957
1.022029
-5.6942
-4.934061
9.568922
Std. Err.
t
.0591398
5.04
.0613108
5.04
.1758152
1.92
.0510442
6.66
.04947
9.38
.0360932
28.32
.0359527 -158.38
.0340505 -144.90
.4775385
20.04
P>|t|
0.000
0.000
0.055
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
Èç ïðèâåäåííîé òàáëèöû âèäíî, ÷òî êîýôôèöèåíò ïðè îáðàçîâàíèè ÿâëÿåòñÿ çíà÷èìûì è ïîëîæèòåëüíûì, íî ýòà ìîäåëü èãíîðèðóåò èíäèâèäóàëüíóþ ãåòåðîãåííîñòü è âîçìîæíóþ ýíäîãåííîñòü îáðàçîâàíèÿ.
Äëÿ ñðàâíåíèÿ ïðèâåäåì ðåçóëüòàòû îöåíèâàíèÿ êîýôôèöèåíòà ïðè îáðàçîâàíèè â ðåãðåññèÿõ ñî ñëó÷àéíûìè ýôôåêòàìè, îïóñòèâ äëÿ êðàòêîñòè îöåíêè
êîýôôèöèåíòîâ ïðè îñòàëüíûõ ïåðåìåííûõ:
Random-effects
Group variable
R-sq: within
between
overall
Random effects
corr(u_i, X)
GLS regression
(i): aid_i
= 0.9645
= 0.8656
= 0.9206
u_i ~ Gaussian
= 0 (assumed)
lwage |
educ |
Coef.
.0379163
Number of obs
Number of groups
Obs per group: min
avg
max
Wald chi2(18)
Prob > chi2
Std. Err.
.0060711
z
6.25
=
=
=
=
=
=
=
4659
2011
1
2.3
4
83682.53
0.0000
P>|z|
0.000
Ìîäåëü ñî ñëó÷àéíûìè ýôôåêòàìè äàåò îöåíêó, ïîõîæóþ íà îöåíêó ÌÍÊ,
à ìîäåëü ñ äåòåðìèíèðîâàííûìè ýôôåêòàìè âîîáùå íå ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü
îöåíêó èíòåðåñóþùåãî íàñ êîýôôèöèåíòà, ïîñêîëüêó îáðàçîâàíèå â íàøåé âûáîðêå – èíâàðèàíòíàÿ ïî âðåìåíè ïåðåìåííàÿ. Ïðè ýòîì, ñóäÿ ïî ðåçóëüòàòàì
òåñòà Õàóñìàíà,
Test:
Ho:
difference in coefficients not systematic
chi2( 17) = (b-B)'[S^(-1)](b-B), S = (S_fe - S_re)= 40.04
Prob>chi2 =
0.0013
äîâåðÿòü ñëåäóåò êàê ðàç ìîäåëè ñ äåòåðìèíèðîâàííûìè ýôôåêòàìè.
Ïîëó÷èòü àäåêâàòíóþ îöåíêó êîýôôèöèåíòà ïðè îáðàçîâàíèè â òàêîé ñèòóàöèè ïîçâîëÿåò ìåòîä Õàóñìàíà – Òåéëîðà:
Hausman-Taylor estimation
Group variable (i): aid_i
Random effects u_i ~ i.i.d.
Number of obs
Number of groups
Obs per group: min
avg
max
Wald chi2(18)
Prob > chi2
=
=
=
=
=
=
=
4659
2010
1
2.3
4
91055.30
0.0000
506
¹3
ÝÊÎÍÎÌÈ×ÅÑÊÈÉ ÆÓÐÍÀË ÂØÝ
lwage |
TVexogenous |
age |
age2 |
marst |
isco_1 |
isco_2 |
isco_3 |
isco_4 |
isco_5 |
isco_6 |
isco_7 |
isco_8 |
d96
|
d98
|
d00
|
TVendogenous |
stagna |
TIexogenous |
gen |
city |
TIendogenous |
educ |
Coef.
Std. Err.
z
P>|z|
.1082985
-.0011794
.0186788
.4475797
.2179303
.2677107
.2206012
.2345142
.3714492
.3173181
.394937
.9857857
-5.720279
-4.959665
.0278551
.0002881
.0162352
.0844171
.0789794
.0609747
.0668783
.0697221
.1813608
.0565847
.055502
.0271921
.0286043
.0286614
3.89
-4.09
1.15
5.30
2.76
4.39
3.30
3.36
2.05
5.61
7.12
36.25
-199.98
-173.04
0.000
0.000
0.250
0.000
0.006
0.000
0.001
0.001
0.041
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
.0019522
.0100927
0.19
0.847
-.331364
.4858962
.0436492
.0439518
-7.59
11.06
0.000
0.000
.0894979
.016713
5.35
0.000
|
_cons |
7.993123
.6918442
11.55
0.000
sigma_u |
.7551597
sigma_e | .62321409
rho | .59485636
(fraction of variance due to u_i)
note: TV refers to time-varying; TI refers to time-invariant.
Çäåñü ïåðåìåííóþ stagna, îòâå÷àþùóþ çà ñòàæ ðàáîòû íà äàííîì ìåñòå,
ìû ïîëàãàåì ìåíÿþùåéñÿ ñî âðåìåíåì ýíäîãåííîé ïåðåìåííîé, ïîñêîëüêó îíà
ìîæåò áûòü êîððåëèðîâàíà ñ èíäèâèäóàëüíûìè îáñòîÿòåëüñòâàìè ðåñïîíäåíòîâ,
ïîë è ìåñòî ïðîæèâàíèÿ (êîòîðîå äåéñòâèòåëüíî ïðàêòè÷åñêè íå ìåíÿåòñÿ ñî
âðåìåíåì äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ïîäâûáîðêè) ïîëàãàþòñÿ íåèçìåííûìè âî âðåìåíè ýêçîãåííûìè ïåðåìåííûìè. Îáðàçîâàíèå ïîëàãàåì íåèçìåííîé âî âðåìåíè ýíäîãåííîé ïåðåìåííîé.
Êàê âèäíî èç òàáëèöû, íàáëþäàåòñÿ ýôôåêò, ïîõîæèé íà òîò, ÷òî çàìåòèëè
Ãðèëèõåñ è åãî êîëëåãè: êîýôôèöèåíò ïðè îáðàçîâàíèè ñòàòèñòè÷åñêè çíà÷èì è
äåéñòâèòåëüíî óâåëè÷èâàåòñÿ, òîëüêî â íàøåì ñëó÷àå íå íà 50%, à íà 100% ïî
ñðàâíåíèþ ñ ðåçóëüòàòîì ðåãðåññèè, îöåíåííîé îáû÷íûì ÌÍÊ.
Ëåêöèÿ 7.
8.2. Îøèáêè èçìåðåíèÿ â ïàíåëüíûõ äàííûõ
8.2.1. Îñíîâíûå èñòî÷íèêè îøèáîê èçìåðåíèé
Ìèêðîïàíåëüíûå äàííûå ïî äîìîõîçÿéñòâàì, èíäèâèäóóìàì è ôèðìàì ÷àñòî ñîäåðæàò îøèáêè èçìåðåíèÿ.  ÷àñòíîñòè, ñåðüåçíûå îøèáêè ñîäåðæàòñÿ â
2006
ËÅÊÖÈÎÍÍÛÅ È ÌÅÒÎÄÈ×ÅÑÊÈÅ ÌÀÒÅÐÈÀËÛ
507
ñðåäíåé ïî÷àñîâîé çàðàáîòíîé ïëàòå â àìåðèêàíñêîé áàçå PSID (ïàíåëüíûé îáçîð
äèíàìèêè äîõîäîâ íàñåëåíèÿ), ïðè÷åì ïîëîæåíèå óñóãóáëÿåòñÿ â ñèòóàöèè, êîãäà
îïðîñ ïðîâîäèòñÿ ñ äâóõãîäè÷íûì èíòåðâàëîì ïî ñðàâíåíèþ ñ ñèòóàöèåé åæåãîäíîãî îïðîñà.  1990 ã. àìåðèêàíñêèé èññëåäîâàòåëü Áîíä, èñïîëüçóÿ äâà ðàçëè÷íûõ ïàíåëüíûõ îïðîñà, â êîòîðûõ ïðèíèìàëè ó÷àñòèå îäíè è òå æå èíäèâèäóóìû, èññëåäîâàë ìàñøòàáû îøèáîê èçìåðåíèÿ è ïûòàëñÿ âûÿâèòü ïåðåìåííûå,
äëÿ êîòîðûõ òàêèå îøèáêè íàèáîëåå òèïè÷íû. Îí îáíàðóæèë, ÷òî íàèáîëåå ñåðüåçíûå îøèáêè ñîäåðæàò äàííûå î ïî÷àñîâîé çàðàáîòíîé ïëàòå è äëèòåëüíîñòè
ïåðèîäà áåçðàáîòèöû, ìåíåå ñèëüíî ñìåùåíû äàííûå ïî ãîäîâîé îïëàòå òðóäà.
 äàííûõ áþäæåòíûõ îáçîðîâ äîìîõîçÿéñòâ îáùèå ðàñõîäû è äîõîäû ñîäåðæàò îøèáêè èçìåðåíèÿ. Èãíîðèðîâàíèå ýòèõ îøèáîê ïðè ïîñòðîåíèè ôóíêöèè
Ýíãåëÿ ïî äàííûì íîðâåæñêîé ïàíåëè äîìîõîçÿéñòâ ïðèâåëî ê çíà÷èòåëüíûì
ñìåùåíèÿì îöåíîê ýëàñòè÷íîñòåé.
Áûëî âûÿâëåíî, ÷òî íàëè÷èå îøèáîê èçìåðåíèÿ ñóùåñòâåííî âëèÿåò íà âèä
âçàèìîñâÿçè ìåæäó äîõîäîì è ïîòðåáëåíèåì. Ïðè èãíîðèðîâàíèè îøèáîê èçìåðåíèÿ äîõîäà â èññëåäîâàíèÿõ ïîòðåáëåíèÿ äîìîõîçÿéñòâ íà îñíîâàíèè áàçû
PSID îêàçûâàëîñü, ÷òî íåò îñíîâàíèÿ îòâåðãàòü êåéíñèàíñêóþ ìîäåëü ïîòðåáëåíèÿ, îäíàêî ïðè ó÷åòå îøèáîê èçìåðåíèÿ äîõîäà êåéíñèàíñêàÿ ìîäåëü îòâåðãàëàñü â ïîëüçó ìîäåëè ðàöèîíàëüíûõ îæèäàíèé.
Ñèòóàöèþ ñ ðîññèéñêèìè ïàíåëüíûìè äàííûìè ÐÌÝÇ, íàâåðíîå, ìîæíî íàçâàòü åùå áîëåå ñëîæíîé ïî ìíîãèì ïðè÷èíàì, â òîì ÷èñëå ñâÿçàííûì ñî çíà÷èòåëüíîé è íåîäíîðîäíîé ïî ðàçëè÷íûì ðåãèîíàì èíôëÿöèåé â íàáëþäàåìûé ïåðèîä.
8.2.2. Ìåòîäû îöåíèâàíèÿ ðåãðåññèé ïî ïàíåëüíûì äàííûì
ïðè íàëè÷èè îøèáîê èçìåðåíèé
Ýêîíîìåòðè÷åñêèå ó÷åáíèêè ïîä÷åðêèâàþò, ÷òî îøèáêè èçìåðåíèé îáúÿñíÿþùèõ ïåðåìåííûõ ïðèâîäÿò ê ñìåùåííîñòè è íåñîñòîÿòåëüíîñòè îöåíîê ÌÍÊ.
Âûõîä èç ïîëîæåíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â èñïîëüçîâàíèè âíåøíèõ ïî îòíîøåíèþ ê ìîäåëè èíñòðóìåíòàëüíûõ ïåðåìåííûõ èëè äîïîëíèòåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèé îòíîñèòåëüíî èäåíòèôèêàöèè ìîäåëüíûõ ïàðàìåòðîâ. Èñïîëüçóÿ ïàíåëüíûå äàííûå,
Ãðèëèõåñ è Õàóñìàí [24] ïîêàçàëè, ÷òî âîçìîæíû èäåíòèôèêàöèÿ è îöåíèâàíèå
îøèáîê èçìåðåíèÿ ðàçëè÷íûõ ïåðåìåííûõ â ðåãðåññèîííûõ ìîäåëÿõ áåç èñïîëüçîâàíèÿ âíåøíèõ èíñòðóìåíòîâ. Ìîæíî ïðîäåìîíñòðèðîâàòü èõ ïîäõîä íà ïðèìåðå ïðîñòîé ðåãðåññèè ñî ñëó÷àéíûì èíäèâèäóàëüíûì ýôôåêòîì:
Yit = a + bX it* + uit
i = 1,..., N
t = 1,..., T ,
ãäå ñëó÷àéíûé ÷ëåí ïîä÷èíÿåòñÿ ìîäåëè ñî ñëó÷àéíîé îøèáêîé uit = mi + e it è
îáúÿñíÿþùàÿ ïåðåìåííàÿ X it* èçìåðåíà ñ îøèáêîé X it = X it* + hit .
(
)
(
Ïóñòü mi ~ iid 0, s m2 , e it ~ iid 0, s e2
)
(
è hit ~ iid 0, s h2
)
è âñå îíè íåçàâèñèìû.
Êðîìå òîãî, X íå çàâèñèò îò uit è hit .
Ïîêîìïîíåíòíàÿ çàïèñü ìîäåëè áóäåò âûãëÿäåòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
*
it
Yit = a + bX it + vit ,
ãäå vit = mi + e it - bhit .
508
ÝÊÎÍÎÌÈ×ÅÑÊÈÉ ÆÓÐÍÀË ÂØÝ
¹3
Î÷åâèäíî, ÷òî ÌÍÊ-îöåíêè îêàæóòñÿ íåñîñòîÿòåëüíûìè, ïîñêîëüêó X it
êîððåëèðîâàííà ñ hit è vit . Â âåêòîðíîé ôîðìå óðàâíåíèå ìîäåëè ïðèìåò âèä
Y = a I NT + Xb + v ,
ãäå v = (IT Ä m ) + e - bh , m ¢ = (m1 ,..., m N ) ,
e ¢ = (e11 ,...., e N 1 ,...., e 1T ,...., e NT ) è h ¢ = (h11 ,....,h N 1 ,....,h1T ,....,h NT ) .
Òåïåðü ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ìàòðèöó P, êîòîðàÿ ìîæåò èñêëþ÷èòü
èíäèâèäóàëüíûå ýôôåêòû. Ýòî ìîæåò áûòü è ìàòðèöà ïåðåõîäà ê ïåðâûì ðàçíîñòÿì, è ìàòðèöà ïðåîáðàçîâàíèÿ «within», ãëàâíîå, ÷òîáû îíà óäîâëåòâîðÿëà óñëîâèþ PI T = 0 .
Ïóñòü ìàòðèöà Q = P¢P . Òîãäà äëÿ ëþáîé òàêèì îáðàçîì ïîñòðîåííîé ìàòðèöû Q îöåíêà êîýôôèöèåíòà b ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà ñëåäóþùèì îáðàçîì:
)
b = X ¢(Q Ä I N )Y / X ¢(Q Ä I N )X = b + X ¢(Q Ä I N )(e - bh ) / X ¢(Q Ä I N )X .
Äëÿ ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèé T, áåðÿ ïðåäåë ïî âåðîÿòíîñòè ïðè N ® ¥ ,
ìû ïîëó÷àåì
1
1
E [X ¢(Q Ä I N )(e - bh )] = - b tr [(Q Ä I N ) E (hh ¢)] = - bs h2 trQ ,
N
N
1
1
E [X ¢(Q Ä I N )X ] = tr [(Q Ä I N )(S X Ä I N )] = trQS X ,
N
N
ãäå S X – êîâàðèàöèîííàÿ ìàòðèöà âåêòîðà X, è
)
p lim b = b - bs h2 (trQ / trS X ) = b 1 - s h2f , ãäå f º (trQ / trS X ) > 0 .
(
)
Ãðèëèõåñ è Õàóñìàí èñïîëüçîâàëè ìàòðèöû Q = P¢P ðàçëè÷íîãî âèäà è ïîêàçàëè, ÷òî õîòÿ ýòè ïðåîáðàçîâàíèÿ è óáèðàþò èíäèâèäóàëüíûé ýôôåêò, îíè
ìîãóò óñóãóáèòü ñìåùåíèå îøèáîê èçìåðåíèÿ. Îäíàêî ñîñòîÿòåëüíûå îöåíêè äëÿ
b è s h2 ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû êîìáèíèðîâàíèåì ýòèõ íåñîñòîÿòåëüíûõ îöåíîê.
Ñóùåñòâóåò T (T - 1) / 2 - 1 ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ Q-ïðåîáðàçîâàíèé. Ïóñòü
è Q2 – äâà ðàçëè÷íûõ Q-ïðåîáðàçîâàíèÿ è fi º (trQi / trS X ), i = 1, 2 . Òîãäà
)
)
)
p lim b i = b 1 - s h2fi è, çàìåíÿÿ p lim b i íà ñàìè b i , ìîæíî ðåøèòü ñèñòåìó èç äâóõ
óðàâíåíèé ñ äâóìÿ íåèçâåñòíûìè è íàéòè
)
)
)
)
) f1b 2 - f2 b1
b 2 - b1
)2
) .
b=
è sh = )
f1 - f2
f1b 2 - f2 b1
Q1
(
)
òîãî ÷òîáû âû÷èñëèòü ýòè îöåíêè, âìåñòî
fi ïîäñòàâëÿåòñÿ
)
f i º trQ i / tr S X , i = 1, 2 .  êà÷åñòâå Q1 è Q2 , íàïðèìåð, ìîãóò âûñòóïàòü ìàòðèöû
)
(
Äëÿ
)
2006
509
ËÅÊÖÈÎÍÍÛÅ È ÌÅÒÎÄÈ×ÅÑÊÈÅ ÌÀÒÅÐÈÀËÛ
rr
iT iT¢
, à P2 = L¢ , ãäå L¢ – ìàòðèöà îïåðàòîðà âûT
÷èñëåíèÿ ïåðâûõ ðàçíîñòåé ïîðÿäêà (T - 1) ´ T . Äðóãèå Q-ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïðåäëîæåííûå Ãðèëèõèñîì è Õàóñìàíîì, ïîëó÷åíû èç ðàçíîñòíûõ îïåðàòîðîâ áîëåå
âûñîêèõ ïîðÿäêîâ.
Îñòàåòñÿ òîëüêî îòâåòèòü íà âîïðîñ, êàê êîìáèíèðîâàòü ýòè ñîñòîÿòåëüíûå
îöåíêè äëÿ b â ýôôåêòèâíûå.
Çäåñü ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí îáîáùåííûé ìåòîä ìîìåíòîâ, îñíîâàííûé íà
ýìïèðè÷åñêèõ ìîìåíòàõ ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà. Èëè, åñëè åñòü íîðìàëüíîñòü, ìîæíî
)
ïîëó÷èòü àñèìïòîòè÷åñêóþ êîâàðèàöèîííóþ ìàòðèöó äëÿ b i , êîòîðàÿ ìîæåò
áûòü ñîñòîÿòåëüíî îöåíåíà ñ ïîìîùüþ ýìïèðè÷åñêèõ ìîìåíòîâ âòîðîãî ïîðÿäêà.
Èñïîëüçóÿ ïîñëåäíèé ðåçóëüòàò, Âàíñáèê è Êîíèíã [35] ïîêàçàëè, ÷òî äëÿ m ðàç)
) ¢
ëè÷íûõ ñîñòîÿòåëüíûõ îöåíîê b , çàäàâàåìûõ âåêòîðîì b = b1 ,..., b m , îñíîâàííûõ
Q1 = P1¢P1 è Q2 = P2¢P2 , ãäå P1 = IT -
(
íà m ðàçëè÷íûõ ìàòðèöàõ Qi
r
N b - b im - s h2f ~ N (0,V ) ,
[
¢
ãäå f = (f1 ,..., fm ) ,
(
)
)]
(
(
)
)
V = F ¢ s e2 S X Ä I T + b 2s h2 S X + s h2 I N Ä I T F
(
)
è F – T ´ m -ìåðíàÿ ìàòðèöà ñ i-ûì ñòîëáöîì f i = vecQi / (trQi S X ) .
r
r
¢
Ìèíèìèçèðóÿ êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó b - b im - s h2f V -1 b - b im - s h2f
2
[
)]
(
[
(
)]
ïî
ïàðàìåòðàì b è s h ìîæíî ïîëó÷èòü àñèìïòîòè÷åñêè ýôôåêòèâíûå (ïîñêîëüêó
2
îíè îñíîâàíû íà b) îöåíêè äëÿ b è s e2 :
)
)
ì f ¢V -1b I ¢V -1b ü
b = í ) -1 - ) -1 ý
î f ¢V f I ¢V f þ
)
)
) 2 ìf ¢V -1 I I ¢V -1 I ü
s e = í ) -1 - ) -1 ý
î f ¢V b I ¢V b þ
)
ñ âåêòîðîì
ãäå
)
)
ì f ¢V -1 I I ¢V -1 I ü
í ) -1 - ) -1 ý è
î f ¢V f I ¢V f þ
)
)
ìf ¢V -1f I ¢V -1f ü
í ) -1 - ) -1 ý ,
î f ¢V b I ¢V b þ
)
)
N b - b , s e2 - s e2 , àñèìïòîòè÷åñêè ðàñïðåäåëåííûì ïî çàêîíó N (0, Y ) ,
(
)
Y=
é 2
-1
1 ê b f ¢V f
Dê
ë
¢
(I
b (I m - s h2f ) V -1f
m
[
¢
- s h2f V -1
)
ù
ú,
I m - s h2f úû
(
)]
)
¢
2
à D = b 2 I m - s h2f V -1 I m - s h2f f ¢V -1f - b 2 f ¢V -1 I m - s h2f .
Ïðèâåäåííûå âûøå ðåçóëüòàòû, êàê ïîêàçàëè Ãðèëèõèñ è Õàóñìàí, ìîãóò
áûòü ðàñïðîñòðàíåíû íà ñëó÷àé íåñêîëüêèõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ ïðè óñëî-
(
)
(
)(
)
(
510
ÝÊÎÍÎÌÈ×ÅÑÊÈÉ ÆÓÐÍÀË ÂØÝ
¹3
âèè, ÷òî îøèáêè èçìåðåíèÿ â îáúÿñíÿþùèõ ïåðåìåííûõ ëèáî ñîâñåì íåêîððåëèðîâàííû, ëèáî èõ êîððåëÿöèÿ èìååò èçâåñòíóþ ñòðóêòóðó. Ýòè ðåçóëüòàòû, âûâåäåííûå â îòñóòñòâèè ñåðèéíîé êîððåëÿöèè îøèáîê èçìåðåíèÿ, ìîãóò áûòü ïðè
íåêîòîðûõ ñèëüíûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ îáîáùåíû íà ñëó÷àé ñåðèéíî êîððåëèðîâàííûõ hit .
Ïðåäëîæåííûé ìåòîä áûë îïðîáîâàí ñàìèìè àâòîðàìè ïðè îöåíèâàíèè
óðàâíåíèÿ ñïðîñà íà òðóä ïî äàííûì äëÿ N = 1242 àìåðèêàíñêèõ ïðîìûøëåííûõ
ïðåäïðèÿòèé çà ïåðèîä 1972–1977 ãã. Ìåòîä ïðèìåíÿëñÿ òàêæå ðÿäîì äðóãèõ àâòîðîâ ïðè îöåíèâàíèè óðàâíåíèé çàðàáîòíîé ïëàòû.
Ëåêöèÿ 8.
8.3. Îöåíèâàíèå äèíàìè÷åñêèõ ìîäåëåé
Âîçìîæíîñòü ìîäåëèðîâàíèÿ èíäèâèäóàëüíîé äèíàìèêè – îäíî èç ñóùåñòâåííûõ è óíèêàëüíûõ ïðåèìóùåñòâ ïàíåëüíûõ äàííûõ. Âî ìíîãèõ ýêîíîìè÷åñêèõ
ìîäåëÿõ ïðåäïîëàãàåòñÿ çàâèñèìîñòü òåêóùåãî ïîâåäåíèÿ îò ïðîøëîãî (ôîðìèðîâàíèå ïðèâû÷åê, ÷àñòè÷íîå ïðèñïîñîáëåíèå è ò.ä.), òàê ÷òî âñòàåò íåîáõîäèìîñòü îöåíèâàòü äèíàìè÷åñêóþ ìîäåëü íà èíäèâèäóàëüíîì óðîâíå.
8.3.1. Àâòîðåãðåññèîííûå ìîäåëè ñ ïàíåëüíûìè äàííûìè
Ðàññìîòðèì ëèíåéíóþ äèíàìè÷åñêóþ ìîäåëü ñ ýêçîãåííûìè ïåðåìåííûìè è
ëàãèðîâàííîé çàâèñèìîé ïåðåìåííîé âèäà
Yit = X it¢ b + gYit -1 + a i + e it ,
(
)
ãäå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî e it ~ iid 0, s e2 .
Äîáàâëåíèå äèíàìèêè â ìîäåëü ââåäåíèåì ïåðåìåííîé Yit -1 ïðèâîäèò ê ñóùåñòâåííûì èçìåíåíèÿì â èíòåðïðåòàöèè óðàâíåíèÿ. Áåç ëàãèðîâàííîé ïåðåìåííîé ðåãðåññîðû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïîëíûé íàáîð èíôîðìàöèè, ïîðîæäàþùåé íàáëþäàåìûå çíà÷åíèÿ çàâèñèìîé ïåðåìåííîé Yit . Ñ äîáàâëåíèåì ëàãèðîâàííîé çàâèñèìîé ïåðåìåííîé â óðàâíåíèå ââîäèòñÿ ïîëíàÿ ïðåäûñòîðèÿ ñàìèõ ðåãðåññîðîâ, òàê ÷òî ëþáîå âîçäåéñòâèå íà ïðîöåññ èçìåðåíèÿ îáóñëîâëåíî ýòîé èñòîðèåé.
Ýòî ïðèâîäèò ê ñóùåñòâåííîìó óñëîæíåíèþ ìåòîäîâ îöåíèâàíèÿ òàêèõ ìîäåëåé.
Êàê â ñëó÷àå ìîäåëåé ñ äåòåðìèíèðîâàííûì, òàê è ñî ñëó÷àéíûì ýôôåêòîì
òðóäíîñòü ñîñòîèò â òîì, ÷òî ëàãèðîâàííàÿ ïåðåìåííàÿ êîððåëèðóåò ñî ñëó÷àéíûì ÷ëåíîì, äàæå â îòñóòñòâèè àâòîêîððåëèðîâàííîñòè ïîñëåäíåãî.
Ïîëàãàÿ a i äåòåðìèíèðîâàííûìè ýôôåêòàìè, ðàññìîòðèì «within»-ïðåîáðàçîâàíèå èñõîäíîé ìîäåëè, ýëèìèíèðóþùåå âëèÿíèå a i :
¢
Yit - Yi· = ( X it¢ - X i· ) b + g (Yit -1 - Yi· ) + e it - e i· .
Çäåñü Yit -1 - Yi· è e it - e i· ÿâëÿþòñÿ êîððåëèðîâàííûìè èç-çà íàëè÷èÿ óñðåäíåííûõ ïî âðåìåíè çíà÷åíèé, à ñëåäîâàòåëüíî, îöåíêè êîýôôèöèåíòîâ ýòîãî
2006
ËÅÊÖÈÎÍÍÛÅ È ÌÅÒÎÄÈ×ÅÑÊÈÅ ÌÀÒÅÐÈÀËÛ
511
óðàâíåíèÿ áóäóò íåñîñòîÿòåëüíû â ñëó÷àå êîíå÷íûõ çíà÷åíèé T. Åñëè áû T ® ¥ ,
òàêîé ïðîáëåìû áû íå âîçíèêàëî äëÿ «within»-ðåãðåññèè, íî äëÿ ÌÍÊ-îöåíîê
èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ îíà âñå ðàâíî áû ñóùåñòâîâàëà èç-çà êîððåëÿöèè Yit -1 è a i .
Ïðîäåìîíñòðèðóåì ýòî íà ïðèìåðå óïðîùåííîé ìîäåëè ñ îäíèì ñòîõàñòè÷åñêèì ðåãðåññîðîì:
Yit = gYit -1 + a i + e it ,
| g |<1.
Îïÿòü ïîëàãàÿ a i äåòåðìèíèðîâàííûìè ýôôåêòàìè, ðàññìîòðèì «within»ïðåîáðàçîâàíèå èñõîäíîé ìîäåëè, ýëèìèíèðóþùåå âëèÿíèå a i :
Yit - Yi· = g (Yit -1 - Yi· ) + e it - e i· .
~
~
Ïåðåïèñàâ ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå â âèäå Yit = gYit -1 + e~it , íàéäåì îöåíêó êîýôôèöèåíòà:
~
~~
e~itYit -1
YitYit -1
å
å
)
g W = i , t ~ 2 = g + i ,t ~ 2 .
å Yit -1
å Yit -1
Ýòà îöåíêà ñìåùåíà è íåñîñòîÿòåëüíà ïðè N ® ¥ è êîíå÷íûõ çíà÷åíèÿõ T,
ïîñêîëüêó ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå âòîðîãî ñëàãàåìîãî â ïðàâîé ÷àñòè ïðèâåäåííîãî âûøå âûðàæåíèÿ íå ðàâíî íóëþ è íå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, äàæå êîãäà N
î÷åíü âåëèêî.  ÷àñòíîñòè, áûëî ïîêàçàíî, ÷òî
p lim
N ®¥
1
NT
~
e~itYit -1 =
å
i ,t
-
s e2
T2
×
(T - 1) - Tg + g T
(1 - g )2
¹0.
Òàêèì îáðàçîì, ñòàíîâèòñÿ î÷åâèäíîé íåñîñòîÿòåëüíîñòü îöåíêè äëÿ êîíå÷íûõ Т. Ïðè÷åì ýòà íåñîñòîÿòåëüíîñòü íå ñâÿçàíà ñî ñâîéñòâàìè a i .
Ñìåùåíèå ìîæåò áûòü î÷åíü ñóùåñòâåííûì íà êîíå÷íûõ ïî Т âûáîðêàõ,
êàê ýòî ÿâñòâóåò èç ñëåäóþùåãî ìîäåëüíîãî ïðèìåðà, â êîòîðîì èñòèííîå çíà÷åíèå g ïðåäïîëàãàëîñü ðàâíûì 0,5:
)
p lim g W = -0,25
ïðè Т = 2,
)
p lim g W = -0,04
ïðè Т = 3,
)
p lim g W = 0,33
ïðè Т=10.
Äëÿ ðàçðåøåíèÿ ïðîáëåìû ïðåîáðàçóåì ðàññìàòðèâàåìîå óðàâíåíèå, ïåðåéäÿ ê ïåðâûì ðàçíîñòÿì äëÿ ýëèìèíèðîâàíèÿ èíäèâèäóàëüíûõ ýôôåêòîâ:
¢
Yit - Yit -1 = ( X it¢ - X it -1 ) b + g (Yit -1 - Yit -2 ) + e it - e it -1 , t = 2, …, T.
Ïîïûòêè ïðèìåíèòü ê ýòîìó óðàâíåíèþ ÌÍÊ ïðèâåäóò ê íåñîñòîÿòåëüíûì
îöåíêàì g , ïîñêîëüêó Yit -1 è e it -1 êîððåëèðîâàííû äàæå ïðè T ® ¥ . Íî ñóùåñò-
512
ÝÊÎÍÎÌÈ×ÅÑÊÈÉ ÆÓÐÍÀË ÂØÝ
¹3
âóåò åùå ìåòîä èíñòðóìåíòàëüíûõ ïåðåìåííûõ, êîòîðûé çäåñü âïîëíå óìåñòåí.
Íàïðèìåð, Yit -2 ìîæåò ñëóæèòü â êà÷åñòâå èíñòðóìåíòà äëÿ ðàçíîñòè Yit -1 - Yit -2 ,
òàê êàê òåñíî êîððåëèðóåò ñ íåé è â òî æå âðåìÿ íå êîððåëèðóåò íè ñ e it , íè ñ
e it -1 . Íàïîìíèì, ÷òî ïðåäïîëàãàåòñÿ îòñóòñòâèå àâòîêîððåëÿöèè ñëó÷àéíîãî âîçìóùåíèÿ. Òîãäà îöåíêà ìåòîäà èíñòðóìåíòàëüíûõ ïåðåìåííûõ äëÿ g , ïðåäëîæåííàÿ Àíäåðñåíîì è Õñÿî â 1981 ã., áóäåò èìåòü âèä
)
g IV =
Yit -2 (Yit - Yit -1 )
åå
i =1 t =2
Yit -2 (Yit -1 - Yit -2 )
åå
i =1 t =2
.
Íåîáõîäèìîå óñëîâèå äëÿ ñîñòîÿòåëüíîñòè ýòîé îöåíêè
p lim
N ®¥
T ®¥
1
åå (e it - e it -1 )Yit -2 = 0 .
N (T - 1) i =1 t =2
Ñóùåñòâóåò àëüòåðíàòèâíûé âàðèàíò îöåíêè ìåòîäà èíñòðóìåíòàëüíûõ ïåðåìåííûõ òåõ æå àâòîðîâ:
)
g IV
( 2)
=
(Yit -2 - Yit -3 )(Yit - Yit -1 )
åå
i =1 t =3
(Yit -2 - Yit -3 )(Yit -1 - Yit -2 )
åå
i =1 t =3
ñ óñëîâèåì ñîñòîÿòåëüíîñòè
p lim
N ®¥
T ®¥
1
åå (e it - e it -1 )(Yit -2 - Yit -3 ) = 0 .
N (T - 2 ) i =1 t =3
Ñîñòîÿòåëüíîñòü îáåèõ ïðèâåäåííûõ îöåíîê ãàðàíòèðîâàíà îòñóòñòâèåì àâòîêîððåëèðîâàííîñòè e .
Âòîðàÿ îöåíêà òðåáóåò äîïîëíèòåëüíîãî ëàãà äëÿ êîíñòðóèðîâàíèÿ èíñòðóìåíòà, ïîýòîìó ïðîèñõîäèò ïîòåðÿ îäíîãî íàáëþäåíèÿ, à ñëåäîâàòåëüíî, íåñêîëüêî
ñíèæàåòñÿ ýôôåêòèâíîñòü âòîðîé îöåíêè ïî ñðàâíåíèþ ñ ïåðâîé. Ïîäõîä îáîáùåííîãî ìåòîäà ìîìåíòîâ (GMM) ïîçâîëÿåò óíèôèöèðîâàòü îöåíêè è êîìïåíñèðîâàòü ïîòåðþ íàáëþäåíèé.
Ïåðâûé øàã îáîáùåííîãî ìåòîäà ìîìåíòîâ ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû çàìåòèòü,
÷òî îáà óñëîâèÿ ñîñòîÿòåëüíîñòè, ñôîðìóëèðîâàííûå âûøå, ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé
ìîìåíòíûå òîæäåñòâà. Èíà÷å ãîâîðÿ,
p lim
N ®¥
T ®¥
p lim
N ®¥
T ®¥
1
åå (e it - e it -1 )Yit -2 =E{ (e it - e it -1 )Yit -2 } = 0 ,
N (T - 1) i =1 t =2
1
åå (e it - e it -1 )(Yit -2 - Yit -3 ) = E{(e it - e it -1 )(Yit -2 - Yit -3 )} = 0 .
N (T - 2 ) i =1 t =3
Èçâåñòíî, ÷òî óâåëè÷åíèå ÷èñëà èñïîëüçóåìûõ ìîìåíòíûõ òîæäåñòâ ïîâûøàåò ýôôåêòèâíîñòü îöåíîê (åñëè êîíå÷íî òîæäåñòâà ñïðàâåäëèâû). Àðåëëàíî è
2006
ËÅÊÖÈÎÍÍÛÅ È ÌÅÒÎÄÈ×ÅÑÊÈÅ ÌÀÒÅÐÈÀËÛ
513
Áîíä [10] ïðåäïîëîæèëè, ÷òî ñïèñîê èíñòðóìåíòîâ ìîæåò áûòü ðàñøèðåí ââåäåíèåì äîïîëíèòåëüíûõ ìîìåíòíûõ óñëîâèé è ðàçðåøåíèåì êîëè÷åñòâó ýòèõ óñëîâèé âàðüèðîâàòüñÿ ñ t. Äîïóñòèì, Т = 4, òîãäà
äëÿ
äëÿ
äëÿ
t = 2 E{(e i 2 - e i1 )Yi 0 } = 0 ;
t = 3 E{(e i 3 - e i 2 )Yi1} = 0 ,
E{(e i 3 - e i 2 )Yi 0 } = 0 ;
t=4
E{(e i 4 - e i 3 )Yi 2 } = 0 ,
E{(e i 4 - e i 3 )Yi1} = 0 ,
E{(e i 4 - e i 3 )Yi 0 } = 0 .
Âñå ýòè ìîìåíòíûå òîæäåñòâà ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû îäíîâðåìåííî â
ðàìêàõ îáîáùåííîãî ìåòîäà ìîìåíòîâ.
Ïîÿñíèì ýòî, ââåäÿ íåêîòîðûå îáîçíà÷åíèÿ:
æ e i 2 - e i1 ö
ç
÷
De i = ç L ÷ – âåêòîð ïðåîáðàçîâàííûõ ê ïåðâûì ðàçíîñòÿì çíà÷åíèé
çe - e ÷
iT -1 ø
è iT
îøèáêè è
æ [Yi 0 ]
ç
ç 0
Zi = ç
M
ç
ç 0
è
0
[Yi 0 , Yi1 ]
K
K
ö
÷
÷
÷ – ìàòðèöà èíñòðóìåíòîâ.
O
0
÷
0 [Yi 0 ,K, YiT -2 ]÷ø
0
0
Êàæäàÿ ñòðîêà ìàòðèöû Z i ñîäåðæèò èíñòðóìåíòû, ïîäõîäÿùèå äëÿ äàííîãî ïåðèîäà. Òîãäà íàáîð âñåõ ìîìåíòíûõ òîæäåñòâ ìîæåò áûòü çàïèñàí â ìàòðè÷íîé ôîðìå êàê
E{Z i¢De i } = 0 .
Çàìåòèì, ÷òî çäåñü ñîäåðæèòñÿ 1 + 2 + 3 + … + Т – 1 óñëîâèå.
Òåïåðü âûðàçèì De i èç èñõîäíîé ðåãðåññèîííîé çàâèñèìîñòè, çàïèñàííîé â
ïåðâûõ ðàçíîñòÿõ
E {Z i¢(DYi - g DYi , -1 } = 0 .
Òàê êàê ÷èñëî ìîìåíòíûõ òîæäåñòâ îáû÷íî ïðåâûøàåò ÷èñëî íåèçâåñòíûõ
êîýôôèöèåíòîâ, îöåíêà g áóäåò îòûñêèâàòüñÿ ìèíèìèçàöèåé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû, çàïèñàííîé ÷åðåç ñîîòâåòñòâóþùèå âûáîðî÷íûå ìîìåíòû
é1
min ê
g
ëN
¢
ù
é1
¢
(
)
Z
D
Y
g
D
Y
å i i
i , -1 ú WN ê
i =1
û
ëN
N
å Z i¢(DYi - g
N
i =1
ù
DYi , -1 )ú ,
û
514
ÝÊÎÍÎÌÈ×ÅÑÊÈÉ ÆÓÐÍÀË ÂØÝ
¹3
ãäå WN – ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà. Äèôôåðåíöèðîâàíèå ýòîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ïî g è ðåøåíèå ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ äàåò ñëåäóþùóþ îöåíêó
)
g GMM
-1
¢
¢
ö
æ N
ö
æN
ö
æ
ö
æN ¢
ö÷ æ N
ç
¢
¢
= ç ç å DYi , -1Z i ÷ WN ç å Z i DYi , -1 ÷ ÷ ç å DYi , -1Z i ÷ WN ç å Z i¢DYi ÷ .
ç è i =1
ø
è i =1
ø
ø
è i =1
ø ÷ è i=1
ø
è
Ñâîéñòâà ýòîé îöåíêè áóäóò çàâèñåòü îò âûáîðà ìàòðèöû WN , íî ñîñòîÿòåëüíîñòü èõ îáåñïå÷èâàåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòüþ ýòîé ìàòðèöû.
Êàêèì æå îáðàçîì âûáèðàåòñÿ âåñîâàÿ ìàòðèöà WN ? Îïòèìàëüíûì, î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ âûáîð, îáóñëàâëèâàþùèé íàèáîëåå ýôôåêòèâíóþ îöåíêó ïàðà)
ìåòðà g , ò.å. ìèíèìàëüíóþ àñèìïòîòè÷åñêóþ êîâàðèàöèîííóþ ìàòðèöó äëÿ g GMM .
Èç îáùåé òåîðèè îáîáùåííîãî ìåòîäà ìîìåíòîâ èçâåñòíî, ÷òî îïòèìàëüíàÿ âåñîâàÿ ìàòðèöà àñèìïòîòè÷åñêè ïðîïîðöèîíàëüíà îáðàòíîé êîâàðèàöèîííîé ìàòðèöå
âûáîðî÷íûõ ìîìåíòîâ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îïòèìàëüíàÿ âåñîâàÿ ìàòðèöà äîëæíà
óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ:
p lim WN = V {Z i¢De i } = E{Z i¢De i De i¢Z i } .
-1
-1
N ®¥
 ñòàíäàðòíîì ñëó÷àå, êîãäà íåò ñïåöèàëüíûõ îãðàíè÷åíèé íà êîâàðèàöèîííóþ ìàòðèöó V (e ) , îïòèìàëüíàÿ âåñîâàÿ ìàòðèöà îöåíèâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
)
æ1
WNopt = ç
èN
-1
) ) ö
å Z i¢De i De i¢Z i ÷ ,
i =1
ø
N
)
ãäå e – îñòàòêè ðåãðåññèè, ïîëó÷åííûå ïîñëå ïåðâîãî øàãà ïðèìåíåíèÿ GMM, â
êîòîðîì â êà÷åñòâå WN èñïîëüçóåòñÿ åäèíè÷íàÿ äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà.
Âîîáùå ãîâîðÿ, â îáîáùåííîì ìåòîäå ìîìåíòîâ íå òðåáóåòñÿ, ÷òîáû îøèáêè
e áûëè îäèíàêîâî è íåçàâèñèìî ðàñïðåäåëåíû ïî i è ïî t, è îïòèìàëüíàÿ âåñîâàÿ
ìàòðèöà îöåíèâàåòñÿ áåç ýòèõ îãðàíè÷åíèé. Íî, îäíàêî, îòñóòñòâèå àâòîêîððåëÿöèè ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìîé ãàðàíòèåé ñïðàâåäëèâîñòè ìîìåíòíûõ òîæäåñòâ. Äëÿ
ìàëåíüêèõ âûáîðîê öåëåñîîáðàçíî íàêëàäûâàòü òðåáîâàíèÿ îòñóòñòâèÿ àâòîêîððåëÿöèè è ãîìîñêåäàñòè÷íîñòè. Ïðè ýòèõ îãðàíè÷åíèÿõ
æ 2 -1 0 Lö
ç
÷
2 O 0÷
2
2ç -1
E{De i De i¢} = s e G = s e ç
,
0 O O - 1÷
ç
÷
ç M
0 - 1 2 ÷ø
è
òîãäà îïòèìàëüíàÿ âåñîâàÿ ìàòðèöà ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà êàê
opt
N
W
æ1
=ç
èN
-1
ö
Z i¢GZ i ÷ .
å
i =1
ø
N
2006
ËÅÊÖÈÎÍÍÛÅ È ÌÅÒÎÄÈ×ÅÑÊÈÅ ÌÀÒÅÐÈÀËÛ
515
Î÷åâèäíî, ÷òî ýòà ìàòðèöà íå âêëþ÷àåò íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ, òàê ÷òî
îïòèìàëüíàÿ GMM-îöåíêà ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà íà ïåðâîì æå øàãå, åñëè
îøèáêè e èñõîäíîé ìîäåëè ïðåäïîëàãàþòñÿ ãîìîñêåäàñòè÷íûìè è íå àâòîêîððåëèðîâàííûìè.
 îáùåì æå ñëó÷àå GMM-îöåíêè äëÿ ïàðàìåòðà g àñèìïòîòè÷åñêè íîðìàëüíû ñ êîâàðèàöèîííîé ìàòðèöåé
ææ N
öæ 1
p limç ç å DYi¢, -1Z i ÷ç
ç è i =1
øè N
è
-1
-1
ö æN
öö
Z i¢De i De i¢Z i ÷ ç å Z i¢DYi , -1 ÷ ÷ .
å
i =1
ø è i =1
ø ÷ø
N
8.3.2. Äèíàìè÷åñêèå ìîäåëè ñ ýêçîãåííûìè ïåðåìåííûìè
Âåðíåìñÿ îïÿòü ê ðàññìîòðåíèþ áîëåå îáùåé äèíàìè÷åñêîé ìîäåëè, ñîäåðæàùåé ýêçîãåííûå ïåðåìåííûå
Yit = X it¢ b + gYit -1 + a i + e it .
Îíà òàêæå ìîæåò áûòü îöåíåíà îáîáùåííûì ìåòîäîì ìîìåíòîâ. Â çàâèñèìîñòè îò ïðåäïîëîæåíèé, ñäåëàííûõ îòíîñèòåëüíî Х, ìîæíî ñêîíñòðóèðîâàòü
ðàçëè÷íûå íàáîðû äîïîëíèòåëüíûõ èíñòðóìåíòîâ. Åñëè Х ÿâëÿþòñÿ ñòðîãî ýêçîãåííûìè â òîì ñìûñëå, ÷òî îíè íå êîððåëèðóþò íè ñ êàêèìè e , òî ñïðàâåäëèâû
ñëåäóþùèå ìîìåíòíûå òîæäåñòâà:
E{X is De it } = 0 äëÿ ëþáûõ s è t,
òàê ÷òî X i1 ,..., X iT ìîãóò áûòü äîáàâëåíû â ñïèñîê èíñòðóìåíòîâ äëÿ óðàâíåíèé â
ïåðâûõ ðàçíîñòÿõ â ëþáîì ïåðèîäå. Íî òîãäà â ìàòðèöå èíñòðóìåíòîâ áóäåò
ñëèøêîì ìíîãî ñòðîê. ×òîáû èçáåæàòü ýòîãî, ñîõðàíèâ âñþ ïîëåçíóþ èíôîðìàöèþ, ìîæíî èñïîëüçîâàòü íå ñàìè X i1 ,..., X iT , à èõ ïåðâûå ðàçíîñòè â êà÷åñòâå
èíñòðóìåíòîâ.  òàêîì ñëó÷àå ìîìåíòíûå òîæäåñòâà áóäóò ñôîðìóëèðîâàíû ñëåäóþùèì îáðàçîì:
E{DX it De it } = 0 äëÿ ëþáîãî t,
è ìàòðèöà èíñòðóìåíòîâ çàïèøåòñÿ òàê:
æ [Yi 0 , DX i¢2 ]
ç
0
ç
Zi = ç
M
ç
ç
0
è
0
[Yi 0 , Yi1 , DX i¢3 ]
K
K
ö
÷
0
÷
÷.
O
0
÷
0 [Yi 0 ,K, YiT -2 , DX iT¢ ]÷ø
0
Åñëè æå Х íå ñòðîãî ýêçîãåííû, à ïðåäîïðåäåëåíû («predetermined»), â ýòîì
ñëó÷àå òåêóùèå è ëàãèðîâàííûå çíà÷åíèÿ Х íåêîððåëèðîâàííû ñ òåêóùèìè çíà÷åíèÿìè ñëó÷àéíîãî ÷ëåíà. Òîãäà áóäóò ñïðàâåäëèâû òîæäåñòâà
E{X it De is } = 0 äëÿ s
³ t.
516
ÝÊÎÍÎÌÈ×ÅÑÊÈÉ ÆÓÐÍÀË ÂØÝ
¹3
 ýòîì ñëó÷àå òîëüêî X it -1 ,..., X i1 áóäóò õîðîøèìè èíñòðóìåíòàìè äëÿ óðàâíåíèé â ïåðâûõ ðàçíîñòÿõ â ìîìåíò t. Òàêèì îáðàçîì, ïîäõîäÿùèå ìîìåíòíûå
òîæäåñòâà ìîæíî ïåðåïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå
E {X it - j De it } = 0 äëÿ j = 1, …, t – 1.
Íà ïðàêòèêå ÷àùå âñòðå÷àåòñÿ êîìáèíèðîâàííûé ñëó÷àé, êîãäà ÷àñòü Х
ñòðîãî ýêçîãåííà, à äðóãàÿ ÷àñòü – ïðåäîïðåäåëåíà. Î÷åâèäíî, ÷òî ìàòðèöà èíñòðóìåíòîâ äîëæíà âñå ýòî ó÷èòûâàòü.
Î êà÷åñòâå îöåíåííîé ìîäåëè ìîæíî ñóäèòü ïî ðåçóëüòàòàì òåñòà Ñàðæàíà, êîòîðûé áûë îïèñàí âûøå, â ðàçäåëå, ïîñâÿùåííîì ìåòîäó èíñòðóìåíòàëüíûõ ïåðåìåííûõ Õàóñìàíà – Òåéëîðà.
 çàâåðøåíèè äîáàâèì, ÷òî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ìîìåíòíûå òîæäåñòâà íå
òîëüêî äëÿ ïåðâûõ ðàçíîñòåé, íî è äëÿ óðîâíåé èëè äëÿ ñðåäíèõ ïî âðåìåíè, ïîäîáðàâ ïîäõîäÿùèå èíñòðóìåíòû. Ýòî áûâàåò óäîáíåå â ñëó÷àå, êîãäà ïàðàìåòð
g áëèçîê ê åäèíèöå.
8.3.3. Ïðîáëåìà ñòàöèîíàðíîñòè è êîèíòåãðàöèÿ
Ìíîæåñòâî ñîâðåìåííûõ ñòàòåé ïîñâÿùåíî îáñóæäåíèþ ïðîáëåì åäèíè÷íûõ êîðíåé, êàæóùèõñÿ ðåãðåññèé è êîèíòåãðàöèè â ïàíåëüíûõ äàííûõ.  îñíîâíîì îíè ñîäåðæàò êîíöåïöèè äîëãîñðî÷íîãî õàðàêòåðà è ðàññìàòðèâàþò ïðîáëåìû òåñòèðîâàíèÿ ìîäåëåé äëÿ ñëó÷àÿ T ® ¥ . Âî ìíîãèõ ñèòóàöèÿõ îáðàùåíèå ê
ìîäåëÿì ñ ôèêñèðîâàííûì Т è N ® ¥ ïîçâîëÿåò îáîéòè ïîäîáíûå ïðîáëåìû, ïî
êðàéíåé ìåðå òåîðåòè÷åñêè.
Ïðèíöèïèàëüíûé ìîìåíò â àíàëèçå âðåìåííûõ ðÿäîâ íà âûáîðêå èç ìíîæåñòâà èíäèâèäóàëüíûõ îáúåêòîâ – ó÷åò ãåòåðîãåííîñòè. Ïîêà ìû ðàññìàòðèâàåì
êàæäûé âðåìåííîé ðÿä îòäåëüíî, è åãî äëèíà äîñòàòî÷íî âåëèêà, åñòåñòâåííî
ïðèìåíÿòü ñòàíäàðòíóþ òåõíèêó àíàëèçà âðåìåííûõ ðÿäîâ. Îäíàêî, åñëè ìû ñëèâàåì èíäèâèäóàëüíûå âðåìåííûå ðÿäû, òî äîëæíû áûòü ãîòîâû ê òîìó, ÷òî îíè
ìîãóò îïèñûâàòüñÿ ðàçëè÷íûìè ñëó÷àéíûìè ïðîöåññàìè èëè ïðîöåññàìè îäíîãî
õàðàêòåðà, íî ñ ðàçíûìè ïàðàìåòðàìè. Íàïðèìåð, äîïóñòèì, çàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ Yit ñòàöèîíàðíà äëÿ ñòðàíû 1 è ïîä÷èíÿåòñÿ ïðîöåññó I(1) äëÿ ñòðàíû 2.
Èëè ïóñòü âñå ïåðåìåííûå ìîäåëè ïîä÷èíÿþòñÿ ïðîöåññó I(1), íî äëÿ êàæäîé
ñòðàíû êîèíòåãðàöèîííîå ñîîòíîøåíèå èìååò âèä Yit - b i X it , êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé ïðîöåññ I(0) äëÿ êàæäîãî ðÿäà, íî íå ñóùåñòâóåò îáùåãî äëÿ âñåõ ñòðàí
êîèíòåãðàöèîíîãî ñîîòíîøåíèÿ Yit - bX it . Òàê æå òî÷íî êîèíòåãðèðîâàííîñòü èíäèâèäóàëüíûõ âðåìåííûõ ðÿäîâ íå ãàðàíòèðóåò íàëè÷èå êîèíòåãðàöèè ìåæäó Y·t
è X ·t .
Äëÿ èëëþñòðàöèè ðàññìîòðèì ïðîñòåéøóþ àâòîðåãðåññèîííóþ ìîäåëü
Yit = a i + g iYit -1 + e it ,
êîòîðóþ äëÿ íàøèõ öåëåé óäîáíåå ïåðåïèñàòü â âèäå
DYit = a i + p iYit -1 + e it , ãäå p i = g i - 1 .
2006
ËÅÊÖÈÎÍÍÛÅ È ÌÅÒÎÄÈ×ÅÑÊÈÅ ÌÀÒÅÐÈÀËÛ
517
Íóëåâàÿ ãèïîòåçà ñîñòîèò â òîì, ÷òî âñå ðÿäû èìåþò åäèíè÷íûé êîðåíü:
H 0 : p i = 0 äëÿ ëþáûõ i.
Àëüòåðíàòèâíàÿ ãèïîòåçà ñîñòîèò â òîì, ÷òî âñå ðÿäû ñòàöèîíàðíû ñ îäèíàêîâûìè ïàðàìåòðàìè, ò.å.
H1 : p i = p < 0 äëÿ âñåõ i.
Ìåíåå îãðàíè÷èòåëüíûé âàðèàíò àëüòåðíàòèâíîé ãèïîòåçû
H1 : p i < 0 äëÿ âñåõ i.
Î÷åâèäíî, ÷òî íè îñíîâíàÿ, íè êàæäàÿ èç àëüòåðíàòèâíûõ ãèïîòåç íå ó÷èòûâàþò òàêîé âîçìîæíîñòè, ÷òî ÷àñòü ðÿäîâ ìîæåò áûòü ñòàöèîíàðíà, à ÷àñòü
íåò.  òàêèõ ñëó÷àÿõ, à îíè äîñòàòî÷íî ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ íà ïðàêòèêå, çàòðóäíèòåëüíî ïîíÿòü, êàêóþ ãèïîòåçó ñëåäóåò îòâåðãíóòü. Äðóãàÿ òåõíè÷åñêàÿ ïðîáëåìà – âîçìîæíîñòü êîððåëèðîâàííîñòè e it , îòíîñÿùèõñÿ ê ðàçëè÷íûì ñòðàíàì,
êîòîðàÿ çàòðóäíÿåò ïðîâåäåíèå òåñòîâ íà ñòàöèîíàðíîñòü.
Îäíî èç íàïðàâëåíèé ñîâðåìåííûõ èññëåäîâàíèé â äèíàìè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè ïàíåëåé – ïîñòðîåíèå ìîäåëåé ñ ãåòåðîãåííûìè ïàðàìåòðàìè. Äðóãîå
íàïðàâëåíèå – èññëåäîâàíèå âåëè÷èí è íàïðàâëåíèÿ ñìåùåíèÿ îöåíîê, âûçâàííîãî èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäîâ îöåíèâàíèÿ, íåàäåêâàòíûõ äàííûì.
 êà÷åñòâå ïðèìåðà èññëåäîâàíèÿ âåëè÷èí òàêîãî ñìåùåíèÿ ðàññìîòðèì
íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû ðàáîòû Ñåâåñòðà è Òðîíüîíà [30].
Èìè ðàññìàòðèâàëàñü ñëåäóþùàÿ äèíàìè÷åñêàÿ ìîäåëü:
Yit = bX it + aYit -1 + uit ,
ãäå
uit = a i + e it ,
E (uit ) = 0 ,
E (uit ui¢t¢ ) = d ii¢s a2 + d tt¢s e2 .
Ïðîöåññ ãåíåðèðîâàíèÿ ýêçîãåííîé ïåðåìåííîé ïîä÷èíÿëñÿ óñëîâèÿì:
X it = hX it -1 + x it ,
ãäå
E (xit ) = 0 ,
E (x itx i¢t¢ ) = d ii¢d tt¢s x2 , E (x ita i¢ ) = E (x it e i¢t¢ ) = 0 "i, i¢, t , t ¢ .
Äàííûå ìîäåëèðîâàëèñü ìåòîäîì Ìîíòå – Êàðëî.
Ïðè N ® ¥ è êîíå÷íûõ çíà÷åíèÿõ T ñîîòíîøåíèÿ âåëè÷èí îöåíîê, ïîëó÷åííûõ ðàçëè÷íûìè ìåòîäàìè, è èñòèííûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ îêàçàëèñü ñëåäóþùèìè:
)
)
)
)
)
aW < a < a РОМНК < aОМНК < aМНК < aB ,
)
)
)
)
)
bB < bМНК < bОМНК < bРОМНК < b < bW ïðè h > 0 è b > 0 .
518
ÝÊÎÍÎÌÈ×ÅÑÊÈÉ ÆÓÐÍÀË ÂØÝ
¹3
Ïðè N ® ¥ è T ® ¥ ðåçóëüòàòû âûãëÿäÿò òàê:
)
)
)
)
)
a = aW = a РОМНК = aОМНК < aМНК < aB = 1 ,
)
)
)
)
)
0 = bB < bМНК < bОМНК = bРОМНК = bW = b ïðè h > 0 è b > 0 .
* *
*
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Àíàòîëüåâ Ñ. Êóðñ ëåêöèé ïî ýêîíîìåòðèêå äëÿ ïðîäîëæàþùèõ. Ðîññèéñêàÿ ýêîíîìè÷åñêàÿ øêîëà. 2002. (http://www.nes.ru/Acad-year-2003/5th-module/econometrics-3rus.htm).
2. Âàñüêîâè÷ Í., Ãóðîâà Å., Ïîëÿêîâ Ê. Ðåãðåññèîííàÿ ìîäåëü ïàíåëüíûõ äàííûõ ñ
îäíîôàêòîðíîé ñëó÷àéíîé ñîñòàâëÿþùåé // Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ýêîíîìèêè: Ñáîðíèê
íàó÷íûõ òðóäîâ. Ì.: ÌÈÝÌ, 2002.
3. Ãèìïåëüñîí Â., Êàïåëþøíèêîâ Ð., Ðàòíèêîâà Ò. Ñòðàõ áåçðàáîòèöû è ãèáêîñòü
çàðàáîòíîé ïëàòû â Ðîññèè // Ýêîíîìè÷åñêèé æóðíàë ÂØÝ. Ò. 7. ¹ 3. 2003.
4. Êîëåíèêîâ Ñ. Ïðèêëàäíîé ýêîíîìåòðè÷åñêèé àíàëèç â ñòàòèñòè÷åñêîì ïàêåòå
STATA. Ì.: Ðîññèéñêàÿ ýêîíîìè÷åñêàÿ øêîëà, 2001.
5. Ìàãíóñ ß.Ð., Êàòûøåâ Ï.Ê., Ïåðåñåöêèé À.À. Ýêîíîìåòðèêà. Íà÷àëüíûé êóðñ:
Ó÷åáíèê. 5-å èçä., èñïð. Ì.: Äåëî, 2004.
6. Íåñòåðîâà Ä., Ñàáèðüÿíîâà Ê. Èíâåñòèöèè â ÷åëîâå÷åñêèé êàïèòàë â ïåðåõîäíûé ïåðèîä â Ðîññèè. Äîêëàä íà êîíôåðåíöèè EERC. 1999.
7. Ðàòíèêîâà Ò.À. Àíàëèç ïàíåëüíûõ äàííûõ â ïàêåòå STATA. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê êîìïüþòåðíîìó ïðàêòèêóìó ïî êóðñó «Ýêîíîìåòðè÷åñêèé àíàëèç ïàíåëüíûõ äàííûõ». Ì.: ÃÓ ÂØÝ, 2005.
8. Ðîùèí Ñ.Þ. Ïðåäëîæåíèå òðóäà â Ðîññèè: ìèêðîýêîíîìè÷åñêèé àíàëèç ýêîíîìè÷åñêîé àêòèâíîñòè íàñåëåíèÿ: Ïðåïðèíò WP3/2003/02. Ñåðèÿ «Ïðîáëåìû ðûíêà òðóäà».
Ì.: ÃÓ ÂØÝ, 2003.
9. Ñïèñîê ïóáëèêàöèé íà îñíîâå äàííûõ Ðîññèéñêîãî ìîíèòîðèíãà ýêîíîìè÷åñêîãî
ïîëîæåíèÿ è çäîðîâüÿ íàñåëåíèÿ (ÐÌÝÇ). Ìàòåðèàëû êîíôåðåíöèè «Ðîññèéñêèé ìîíèòîðèíã ýêîíîìè÷åñêîãî ïîëîæåíèÿ è çäîðîâüÿ íàñåëåíèÿ», 17 èþíÿ 2003 ã.
10. Arellano M., Bond S.R. Some Tests of Specification for Panel Data: Monte Carlo
Evidence and an Application to Employment Equations // Review of Economic Studies. 1991.
Vol. 58.
11. Baltagi B. Economertic Analysis of Panel Data. John Wiley & Sons, 1995.
12. Baltagi B.H., Raj B. A Survey of Recent Theoretical Developments in the Econometrcs of Panel Data // Empirical Economics. 1992. Vol. 17.
13. Chamberlain G. Omitted Variable Bias in Panel Data. Estimating the Return to
Schooling // Annales de l’INSEE. 1978. ¹ 30/31.
14. Chamberlain G. Panel Data. Handbook of Econometrics / Ed. by Z. Griliches,
M.D. Intriligator. 1984. Vol. II.
15. Cheng H. Analysis of Panel Data: 1st ed. Cambridge University Press, 1986.
16. Cornwell C., Trumbull W.N. Estimating the Economic Model of Crime with Panel
Data // The Review of Economics and Statistics. 1994. Vol. 76. ¹ 2.
2006
ËÅÊÖÈÎÍÍÛÅ È ÌÅÒÎÄÈ×ÅÑÊÈÅ ÌÀÒÅÐÈÀËÛ
519
17. Dormont B. Introduction à l’Econométrie des données de panel. Paris, 1989.
18. Frisch R., Waugh F.V. Partial Time Regressions as Compared with Individual
Trends // Econometrica. 1933. Vol. 1.
19. Hausman J.A., Taylor W.E. Panel Data and Unobservable Individual Effects //
Econometrica. Vol. 49.
20. Heckman J.J. Micro Data, Heterogeneity and Evaluation of Public Policy. Nobel
Lecture // Journal of Political Economy. 2001. Vol. 109. ¹ 4.
21. Heckman J.J., Macurdy T.E. Ihe Review of Economic Studies // Econometrics Issue. 1980. Vol. 47. ¹ 1.
22. Greene W.H. Economertic Analysis. 3rd ed. Prentice Hall, 1997. (Chapter 14.)
23. Griliches Z. Estimating the Return to Schooling: Some Econometric Problems //
Econometrica. 1977. Vol. 45.
24. Griliches Z., Hausman J.A. Errors in Variables in Panel Data // Econometrica.
1986. Vol. 31.
25. Kiefer N.M. Population Heterogeneity and Inference from Panel Data on the Effects of Vocational Education // Journal of Political Economy. 1979. Vol. 87. ¹ 5.
26. Kim B.S., Maddala G.S. Estimation and Specification Analysis of Models of Devidend Behavior Based on Censored Panel Data // Empirical Economics. 1992. Vol. 17.
27. Lovell M.C. Seasonal Adjustment of Economic Time Series // Journal of the
American Statistical Association. 1963. ¹ 58.
28. Mundlak Y. On the Pooling of Time Series and Cross-Section Data // Econometrica. 1978. Vol. 46.
29. Sabirianova K.Z. The Great Human Capital Reallocation: A Study of Occupational
Mobility in Transitional Russia // Journal of Comparative Economics. 2002. ¹ 30.
30. Sevestre P., Trognon A. A Note on Autoregressive Error Component Models //
Journal of Econometrics. 1985. Vol. 28.
31. Tekin E. Employment, Wages and Alcohol Consumption in Russia: Evidence from
Panel Data // IZA Discussion Paper. 2002. ¹ 432.
32. Trognon A. Donnees individuelles temporelles. Polycopie de l’ENSAE. Couurs
d’Eonometrie II. 1987. Tomes 2 et 3.
33. Verbeek M. A Guide to Modern Econometrics. John Wiley & Sons, 2003.
34. Verbeek M., Nijman Th. Can Cohot Data Be Treated as Genuine Panel Data? //
Empirical Economics. 1992. Vol. 17.
35. Wansbeek T.J., Koning R.H. Measurement Error and Panel Data // Statistica Neerlandica. 1989. Vol. 45.