(обзор дискретных моделей)

ÀÍÀËÈÒÈÊÀ Â ÁÀÍÊÀÕ: ÌÅÒÎÄÈÊÈ ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ ÀÊÒÈÂÎÂ
Ì.ÊÎÂÀËÅÂ, È.ÁÎËÜØÀÊÎÂÀ
ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÏÎÐÒÔÅËß ÀÊÒÈÂÎÂ ÁÀÍÊÀ
(îáçîð äèñêðåòíûõ ìîäåëåé)
Èäåÿ îïòèìàëüíîãî ïîðòôåëÿ àêòèâîâ âîñõîäèò ê äèññåðòàöèè Ëóè Áàøåëüå «Òåîðèÿ ñïåêóëÿöèé», çàùèùåííîé â 1900 ã. â Ïàðèæå. Ê ñîæàëåíèþ, åãî äèññåðòàöèÿ, ðàâíî êàê è òåîðèÿ îïòèìèçàöèè, âîñõîäÿùàÿ ê ëàóðåàòàì Íîáåëåâñêîé ïðåìèè ïî ýêîíîìèêå Ë.Êàíòîðîâè÷ó è Êóïìàíñó, äî âòîðîé ïîëîâèíû ïðîøëîãî ñòîëåòèÿ íå áûëè èçâåñòíû ñïåöèàëèñòàì ïî óïðàâëåíèþ ôèíàíñîâûìè àêòèâàìè: îíè îáõîäèëèñü ïðîñòåéøèìè
ôîðìóëàìè àêòóàðíîé ìàòåìàòèêè è òðèâèàëüíûìè ïîíÿòèÿìè «ñïðàâåäëèâîé» öåíû àêöèè (fair price), ñîãëàñíî êîòîðîé çàäà÷à èíâåñòîðà ñîñòîÿëà â òîì, ÷òîáû ïðèîáðåñòè íåäîîöåíåííûå àêöèè (ðûíî÷íàÿ öåíà íà
ìîìåíò ïîêóïêè áûëà íèæå ñïðàâåäëèâîé) è èçáàâèòüñÿ îò ïåðåîöåíåííûõ áóìàã è òåì ñàìûì ïîëó÷èòü â ïåðñïåêòèâå ìàêñèìàëüíóþ ïðèáûëü. Òîëüêî ïîñëå ðàáîò Ã.Ìàðêîâèöà (1950 ã.), Äæ.Òîáèíà (1958 ã.), Ó.Øàðïà
(1964 ã.), Ð.Ìåðòîíà (1969 ã.), Ì.Øîóëçà (1973 ã.), óäîñòîåííûõ Íîáåëåâñêîé ïðåìèè ïî ýêîíîìèêå, ñòàëà ñîçäàâàòüñÿ ñîâðåìåííàÿ òåîðèÿ îïòèìèçàöèè ïîðòôåëÿ àêòèâîâ.
1. Êëàññè÷åñêàÿ ìîäåëü Ìàðêîâèöà1
Èíâåñòîðó èíòåðåñíû n ôèíàíñîâûõ àêòèâîâ (àêöèé, îáëèãàöèé, èíâåñòèöèîííûõ ïðîåêòîâ). Íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü èíâåñòèöèîííûé ïîðòôåëü â ôîðìå âåêòîðà x = (x1, x2,...,xn) äîëåé xj êàæäîãî èç àêòèâîâ j. Î÷åâèäíî, ÷òî äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ èíâåñòèöèîííûån îãðàíè÷åíèÿ:
(1)
å x j = 1, x j ³ 0, j = 1, n.
j=1
Êà÷åñòâî ïîðòôåëÿ Ìàðêîâèö ïðåäëîæèë îöåíèâàòü ïî äâóì êðèòåðèÿì: äîõîäíîñòü è ðèñê. Åñòåñòâåííî
ñòðåìëåíèå ìàêñèìèçèðîâàòü äîõîäíîñòü ïîðòôåëÿ:
n
(2)
r( x ) = å x jrj ® max.
j=1
Çäåñü rj– îæèäàåìàÿ (âåðîÿòíîñòíàÿ) äîõîäíîñòü àêòèâà j. Îáû÷íî åå âû÷èñëÿþò êàê ñðåäíåå èìåâøèõ
ìåñòî äîõîäíîñòåé rjt çà âûáðàííûé èñòîðè÷åñêèé ïåðèîä t = 1T , ò.å.
T
r
rj = E ( R j ) = å jt (ñì. ïðèìåð).
T
t =1
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñîñòîÿíèÿ t (èñòîðè÷åñêèå èëè ñöåíàðíûå) â áóäóùåì (íà îòðåçêå îïòèìèçàöèè ïîðòôåëÿ) ðàâíîâåðîÿòíû, èíà÷å â ôîðìóëå äëÿ âû÷èñëåíèÿ îæèäàåìîé äîõîäíîñòè rj àêòèâà j ïîÿâëÿåòñÿ ìíîæèòåëü pt – âåðîÿòíîñòü ñîñòîÿíèÿ t (â íàøåì ñëó÷àå pt = 1 ).
T
Åñòåñòâåííî òàêæå ñòðåìëåíèå èíâåñòîðîâ óìåíüøèòü ðèñê ïîðòôåëÿ s, êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñðåäíåêâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå:
n
n
2
(3)
s( x ) = E[R ( x ) - r( x )] = å å xisijx j ® min
i=1 j=1
èëè åãî êâàäðàò.
Çäåñü sij – êîâàðèàöèÿ äîõîäíîñòåé àêòèâîâ i è j, ò.å.
s ij =
1
T
T
å (r
t =1
it
- ri )( rjt - rj ).
Î÷åâèäíî, ÷òî s( x ) îçíà÷àåò âîëàòèëüíîñòü ïîðòôåëÿ.
Èíîãäà âìåñòî êâàäðàòè÷íîãî îòêëîíåíèÿ áåðóò åãî áîëåå âûñîêóþ k-þ ñòåïåíü:
s ( x ) = k E [ R ( x ) - r ( x )] .
k
 íåêîòîðûõ ðàáîòàõ ðèñê ïîðòôåëÿ x èçìåðÿþò ïîëóâàðèàöèåé s_ ( x ) = E[ R ( x ) - r( x )2] _ , ãäå
a _ = max{0,-a}, ò. å. ó÷èòûâàþò ïðè ñóììèðîâàíèè òîëüêî «íåäîáîð» îæèäàåìîé äîõîäíîñòè (ïðîèãðûøè) è
íå ó÷èòûâàþò «ïåðåáîð» (âûèãðûøè). Ïðè òàêîì ïîäõîäå ðèñê ñâÿçûâàåòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî ñ ôàêòîì ïîòåðü.
Ïðèìåð. Ïîðòôåëüíàÿ çàäà÷à ñ ÷åòûðüìÿ àêòèâàìè
Ñðåäíåãîäîâàÿ ïðîöåíòíàÿ ñòàâêà, rjt
Àêòèâû, õj
«Ãîëóáûå ôèøêè»
Àêöèè âûñîêîòåõíîëîãè÷íûõ êîìïàíèé
Ðûíîê íåäâèæèìîñòè
Êàçíà÷åéñêèå îáëèãàöèè
1
Îæèäàåìàÿ
äîõîäíîñòü, rj
x1
1
18,24
2
12,12
3
15,23
4
5,26
5
2,62
6
10,42
x2
12,24
19,16
35,07
23,46
-10,62
-7,43
11,98
x3
x4
8,23
8,12
8,96
8,26
8,35
8,34
9,16
9,01
8,05
9,11
7,29
8,95
8,34
8,6317
10,6483
Ñì. ïèîíåðñêóþ ðàáîòó H.Markovitz â æóðíàëå Finànce, 1952, v. 7, ¹1 è ëþáîå èç èçäàíèé åãî çíàìåíèòîé ìîíîãðàôèè:
Markovitz H. Portfolio selection: efficient diversification of investments. Blackwell Publishers. Oxford, 1991.
3
ÀÍÀËÈÒÈÊÀ Â ÁÀÍÊÀÕ: ÌÅÒÎÄÈÊÈ ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ ÀÊÒÈÂÎÂ
Ñðåäíåãîäîâàÿ ïðîöåíòíàÿ ñòàâêà rjt îïðåäåëÿåòñÿ, íàïðèìåð, ïðàâèëîì
rjt =
Pj ,t + 1 - Pjt
ãäå Pjt – öåíà àêòèâà j â ìîìåíò âðåìåíè t.
Ìàòðèöà êîâàðèàöèé áóäåò èìåòü ñëåäóþùèé âèä:
29,0552
40,3909
40,3909
267,344
Pjt
,
- 0,2879 - 1,9532
6,8337 - 3,6970
- 0,2879 6,8337
0,3759 - 0,0566
- 1,9532 - 3,6970 - 0,0566 0,1597
 èòîãå ïîëó÷àåì äâóõêðèòåðèàëüíóþ çàäà÷ó Ìàðêîâèöà:
s 2 ( x) = 29,0552õ12 + 80,7818õ1õ2 - 0,5758 õ1õ3 - 3,9064 õ1 õ4 + 267,344 õ22 +
+ 13,6673õ2 õ3 + 7,3940 õ2 õ4 + 0,3759 õ32 - 0,1133 õ3 õ 4 + 0,1597 õ42 ® min ;
r (x ) =10.6483x1 + 11.98 x2 + 8.34 x3 + 8.6317 x4 ® max ;
x1 + x 2 + x3 + x 4 = 1 ;
x j 0 , j = 1,4 .
4
Ìàòåìàòè÷åñêè êëàññè÷åñêàÿ ìîäåëü Ìàðêîâèöà (1)–(3) åñòü äâóõêðèòåðèàëüíàÿ çàäà÷à ñ ëèíåéíûì r(x)
è âûïóêëûì êâàäðàòè÷íûì s(x) êðèòåðèÿìè. Òî÷êè, îïòèìàëüíûå ïî Ïàðåòî (ýôôåêòèâíûå ïîðòôåëè ïî
Ìàðêîâèöó), îáðàçóþò êóñî÷íî-ëèíåéíóþ êðèâóþ íà ïëîñêîñòè (r, xi) (ñì. ðèñ. 2 è 3). Ýòîò ôàêò äîêàçàë åùå
ñàì Ã.Ìàðêîâèö, èìåÿ â âèäó, ÷òî îïòèìàëüíûå ïî Ïàðåòî ïîðòôåëè åñòü òå, äëÿ êîòîðûõ îòñóòñòâóþò ïîðòôåëè ñ ëó÷øèìè çíà÷åíèÿìè õîòÿ áû îäíîãî èç êðèòåðèåâ r(x) è s(x). Ïîýòîìó íåîáõîäèìî íàéòè òîëüêî óçëîâûå ïîðòôåëè x1, x2,...,xm, îñòàëüíûå åñòü âûïóêëàÿ êîìáèíàöèÿ ñìåæíûõ óçëîâûõ ïîðòôåëåé xi, xi+1:
x = lxi + 1(1 - l )i+ 1 ,0 £ l £ 1 , ïðèòîì r( x ) = lr( xi ) + (1 - l )r( xi+ 1 ).
Àëãîðèòìû ïîèñêà ýôôåêòèâíûõ ïîðòôåëåé îñíîâàíû íà äâóõ èäåéíî áëèçêèõ ïîäõîäàõ. Ïåðâûé ïîäõîä
èñïîëüçóåò òåîðåìó Êàðëèíà î ñîâïàäåíèè Ïàðåòî-îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé (ýôôåêòèâíûõ ïîðòôåëåé) èñõîäíîé äâóõêðèòåðèàëüíîé çàäà÷è (1) – (3) (ñâåðòêà êðèòåðèåâ) è îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé â îäíîêðèòåðèàëüíîé çàäà÷å ñ ïàðàìåòðîì l:
(2&3)
lr( x ) - (1 - l )s( x ) ® max
Ïàðàìåòð l ( 0 £ l £ 1) ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ðèñê èíâåñòîðà. ×åì ìåíüøå l, òåì ìåíüøå ñêëîíåí ê
ðèñêó èíâåñòîð. Ïðè l = 0 èíâåñòîð ðàäèêàëüíî êîíñåðâàòèâåí: åãî âîëíóåò òîëüêî ìèíèìèçàöèÿ ðèñêà. Ïðè
l = 1èíâåñòîð, íàîáîðîò, ýêñòðåìàëüíî àãðåññèâåí: åãî íå âîëíóåò ðèñê, îí òîëüêî ìàêñèìèçèðóåò âûèãðûø.
Çàäà÷à (1), (2&3) ðåøàåòñÿ ñòàíäàðòíûìè ìåòîäàìè ïàðàìåòðè÷åñêîé êâàäðàòè÷íîé îïòèìèçàöèè.
Âòîðîé ïîäõîä ñîñòîèò â çàìåíå îäíîãî èç êðèòåðèåâ (2) èëè (3) ñîîòâåòñòâåííî îãðàíè÷åíèÿìè:
n
n
å x r ³ l;
j=1
j j
n
ååxs x
(2’);
i=1 j=1
i
ij j
£ l..
(3’).
Íàïðèìåð, ïðè ãàðàíòèðîâàííîì 10-ïðîöåíòíîì äîõîäå îïòèìàëüíûé ïîðòôåëü áóäåò èìåòü ñëåäóþùèé
âèä:x1 =0,6806; x2=0; x3=0,0148; x4=0,3046 ñ ðèñêîì s( x ) = 5,56%. Âñå ðàñ÷åòíûå ïðèìåðû çäåñü è äàëåå ðåàëèçîâàíû â êîìïüþòåðíîé ñèñòåìå Mathemetica.
Òàáëèöà 1
Ïàðåòî-îïòèìàëüíûå ïîðòôåëè çàäà÷è Ìàðêîâèöà
0£ l £1
1
0,8
…
0,5
…
0,2
0
x 1, %
0
91,14
x 2, %
100
8,86
x3, %
0
0
x 4, %
0
0
6,67
0,47
0
92,86
5,60
5,37
0
0
16,09
17,76
78,31
76,87
x 5, %
11,98
10,77
…
8,78
…
8,70
8,687
x 6, %
16,35
5,72
…
0,15
…
0,09
0,088
Çàâèñèìîñòü ìåæäó äîõîäíîñòüþ è ðèñêîì ïîðòôåëÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü ãðàôè÷åñêè (ðèñ. 1). Èçîáðàçèì òàêæå ãðàôèêè êóñî÷íî-ëèíåéíûõ ôóíêöèé äîëåé ïîðòôåëÿ â çàâèñèìîñòè îò ðîñòà äîõîäíîñòè (â %) –
ðèñ. 2, 3.
ÀÍÀËÈÒÈÊÀ Â ÁÀÍÊÀÕ: ÌÅÒÎÄÈÊÈ ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ ÀÊÒÈÂÎÂ
x1
EFFICIENT FRONTIER
0.8
15
12.5
0.6
10
7.5
0.4
5
2.5
0.2
r,%
9.0
9.5
10.0
10.5
11.0
11.5
k
Ðèñ. 2. Çàâèñèìîñòü äîëè àêöèé «ãîëóáûõ ôèøåê»
îò äîõîäíîñòè
Ðèñ. 1. Ýôôåêòèâíàÿ ãðàíèöà
x4
Îòìåòèì, ÷òî ìîäåëü Ìàðêîâèöà è âñå åå ïîñëåäóþùèå ìîäèôèêàöèè ìîãóò ôîðìóëèðîâàòüñÿ íå òîëüêî â îòíîñèòåëüíûõ äîëÿõ àêòèâîâ, íî è â àáñîëþòíûõ. Ïóñòü Ê –
êàïèòàë èíâåñòîðà. Òîãäà áþäæåòíîå îãðàíè÷åíèå ìîæåò
áûòü çàìåíåíî íà n
(1’)
å x j = K , x j ³ 0, j = 1, n
0.8
0.6
0.4
j=1
0.2
9.0
9.5
10.0
10.5
11.0
k
11.5
Ðèñ. 3. Çàâèñèìîñòü äîëè êàçíà÷åéñêèõ
îáëèãàöèé îò äîõîäíîñòè
2. Ìîäåëü Òîáèíà2 ñ áåçðèñêîâûì àêòèâîì
Áåçðèñêîâûì àêòèâîì (ïóñòü ýòî áóäåò àêòèâ ñ íîìåðîì 0) ãèïîòåòè÷åñêè ÿâëÿþòñÿ êðàòêîñðî÷íûå ãîñóäàðñòâåííûå îáëèãàöèè. Óñëîâíî ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî âàðèàöèÿ äîõîäíîñòè r0 ãîñîáëèãàöèé ðàâíà íóëþ. Ïîëó÷àåì äëÿ ïîðòôåëÿ x = ( x0 , x1..., xn ) ñ áåçðèñêîâûì àêòèâîì x0, óäîâëåòâîðÿþùåãî èíâåñòèöèîííîìó
óñëîâèþ
n
x0 + å x j = 1, x j ³ 0, j=0,..., n,
j=1
âñå òó æå çàäà÷ó:
r ( x0 , x) = r0 x0 + r ( x) = r0 x0 +
n
j =1
r j x j ® max ;
s (x0 , x) = x02s 02 + x 2ps 2p + 2x0 x ps 0 p =
= x02 0 + s 2p x 2p + 2x0 x p 0 = x 2ps 2p = s p ( x) ® min.
Return
CAL = CML(if P = market portfolio)
r
P
r0
Åfficient Frontier
Risk
Âñå ïîðòôåëè ñ áåçðèñêîâûì àêòèâîì x0 ìîæíî èçîáðàçèòü íà ïðÿìîé CÀL (Capital Allocation Line):
E ( rp ) - r0
E ( Rc ) = r0 + sc
,
sP
ãäå rP – äîõîäíîñòü ïîðòôåëÿ Ð, sÐ – âàðèàöèÿ ïîðòôåëÿ P,
sc – âàðèàöèÿ ïîðòôåëÿ Ñ, âêëþ÷àþùåãî áåçðèñêîâûé àêòèâ.
Åñëè ðûíî÷íûé ïîðòôåëü (ïîðòôåëü, ñîñòîÿùèé èç
àêöèé, îïðåäåëÿþùèé èíäåêñ ðûíêà, íàïðèìåð, S&P500)
êîìáèíèðóåòñÿ ñ áåçðèñêîâûì àêòèâîì, òîãäà ëèíèÿ CÀL
íàçûâàåòñÿ êàïèòàë-ðûíî÷íîé ëèíèåé (CML – Capital
Market Line).
3. Ìîäåëü ñ äðîáíî-ëèíåéíûì êðèòåðèåì Øàðïà
Ñóòü ìîäåëè – çàìåíà äâóõðèòåðèàëüíîé ìîäåëè Ìàðêîâèöà îäíîêðèòåðèàëüíîé ñ äðîáíî-ëèíåéíûì
êðèòåðèåì:
n n
n
j=1
2
rj x j
i=1 j =1
xis ij x j ® max,
Ìîäåëü ïðåäëîæåíà â ðàáîòå: Tobin Y. Liquidity preference as behavior towards risk // The Review of Economic Studies, 1958,
V. 25. P. 65-86.
5
ÀÍÀËÈÒÈÊÀ Â ÁÀÍÊÀÕ: ÌÅÒÎÄÈÊÈ ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ ÀÊÒÈÂÎÂ
êîòîðûé ìàêñèìèçèðóåò äîõîäíîñòü ïîðòôåëÿ íà åäèíèöó ðèñêà.
Åäèíñòâåííûé îïòèìàëüíûé ïîðòôåëü â ïðèâåäåííîì âûøå ïðèìåðå áóäåò àíàëîãè÷åí êîíñåðâàòèâíîìó âàðèàíòó ðàññìîòðåííîé âûøå îäíîêðèòåðèàëüíîé ìîäåëè Ìàðêîâèöà ñ ïàðàìåòðîì l â âèäå ìåðû ðèñêà è
ïðèìåò âèä: x1=0,0537; x2=0; x3=0,1776; x4=0,7687 ñ ýôôåêòèâíîñòüþ r(x)=8,68732% è ðèñêîì s(x)=0,08838%.
Ïîïóëÿðåí òàêæå âïåðâûå ïðåäëîæåííûé Øàðïîì 3 êðèòåðèé
n
rj x j
j =1
n
b j x j ® max,
j =1
ãäå b j– êîýôôèöèåíò ðåãðåññèè ìåæäó äîõîäíîñòüþ àêöèé j è ðûíî÷íûì èíäåêñîì (ïîäðîáíåå ñì. ñëåäóþùèé
ðàçäåë).
Ðåøåíèå çàäà÷è ñ ïîñëåäíèì êðèòåðèåì ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ greedy àëãîðèòìîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ïðîñòûõ ëèíåéíûõ çàäà÷ ñ ïàðàìåòðîì l (ñì. ðàáîòó: Faàland B., Yacob N. The linear fractional portfolio selection
problem // Man. Sci., V. 27, ¹ 12, 1981. Ð. 1383-1389).
4. Ôàêòîðíûå ìîäåëè äîõîäíîñòè4
Ïîäîáíûå ìîäåëè îñíîâàíû íà äðóãîé èäåå Øàðïà – ïðåäñòàâèòü îæèäàåìóþ ôóíêöèþ äîõîäíîñòè îò
ðûíî÷íûõ ôàêòîðîâ (èíäåêñ ðûíêà, ÂÂÏ, èíäåêñ èíôëÿöèè è ò.ï.). Íàèáîëåå ÷àñòî ïðèìåíÿåòñÿ îäíîôàêòîðíàÿ ìîäåëü:
rj = a j + b jRm + e j ,
â êîòîðîé äîõîäíîñòü rj êàæäîãî àêòèâà åñòü ñóììà ëèíåéíîé ôóíêöèè b jRm ñ êîýôôèöèåíòîì b j (áåòà-êîýôôèöèåíò) è äîõîäíîñòüþ Rm ðûíêà (èíäåêñ ðûíêà), ïîêàçûâàþùåé ÷óâñòâèòåëüíîñòü àêöèè j ê äâèæåíèþ ðûíêà,
êîíñòàíòû a j (àëüôà-êîýôôèöèåíò), êîòîðàÿ äëÿ àêöèè j íå çàâèñèò îò ðûíêà, è ñëó÷àéíîé ïåðåìåííîé e j ñ
E ( e j ) = 0. Ïðåäïîëàãàåòñÿ òàêæå, ÷òî e jè Rm íåçàâèñèìû, ò.å. èõ êîâàðèàöèÿ ðàâíà íóëþ. Ïðè ñäåëàííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ îæèäàåìàÿ äîõîäíîñòü ïîðòôåëÿ x áóäåò ðàâíà
n
6
à åãî ðèñê
R ( x ) = å x j ( a j + b jE ( Rm ) + e j ),
j=1
n
n
j=1
j=1
s( x ) = å x jb2j s2m + å x2j s2ej + å å xix jbism2 .
Ïðèâåäåì ïðèìåð òàêîé ôóíêöèè äîõîäíîñòè:
rj = 0.045 + 0.06b j, b j =
j¹1 j¹1
s jr jDAX
,
sDAX
ãäå r jDAX – êîððåëÿöèÿ àêöèè j è èíäåêñà DAX (30 àêöèé âåäóùèõ íåìåöêèõ êîìïàíèé) ïî èñòîðè÷åñêèì äàííûì, sDAX – âîëàòèëüíîñòü èíäåêñà DAX ïî èñòîðè÷åñêèì äàííûì.
5. Ìîäåëü îöåíêè ðèñêà â àáñîëþòíîé ìåòðèêå (Ìèíêîâñêîãî)
 ñòàíäàðòíîé ìîäåëè Ìàðêîâèöà ðèñê îöåíèâàåòñÿ ïî ñðåäíåêâàäðàòè÷íîìó îòêëîíåíèþ, ò.å. â åâêëèäîâîé ìåòðèêå. Ïîïóëÿðíû ìîäåëè, â êîòîðûõ ðèñê îöåíèâàåòñÿ â ìåòðèêå Ìèíêîâñêîãî, ò.å. îòêëîíåíèå åñòü
ñóììà àáñîëþòíûõ çíà÷åíèé (ìîäåëü Êîííî è ßìàçàêè5, 1991):
÷òî ïîçâîëÿåò, ââåäÿ âñïîìîãàòåëüíûå ïåðåìåííûå yt (îòêëîíåíèå ïîðòôåëÿ x â ìîìåíò âðåìåíè t), ïîëó÷èòü ìîäåëü6
T
yt ® min
å
t =1
ïðè óñëîâèÿõ (1), (2) è
n
yt + å ( rjt - rj )x j ³ 0, t=1,T ;
j=1
n
yt - å ( rjt - rj )x j ³ 0, t=1,T .
j=1
Îòìåòèì, ÷òî âñïîìîãàòåëüíûå ïåðåìåííûå ót ìîãóò áûòü ëþáîãî çíàêà.
Äëÿ îïèñàííîãî âûøå ÷èñëîâîãî ïðèìåðà ìîäåëü Êîííî-ßìàçàêè ïðèìåò âèä:
y1 + y2 + y3 + y4 + y5 + y6 ® min.
3
4
5
6
Ìîäåëü ïðåäëîæåíà â ðàáîòå: Sharpe W. The Sharpe ratio // Port. Manag, 1994. P. 49-58.
Sharpe W. A simplified model for portfolio analysis. Man. Sci., 1963, V. 9, ¹ 2. P. 277-293.
Konno H., Yamazaki H. Mean-absolute deviation-skewness portfolio optimization model and its application to Tokyo stoic market //
Management Science, V. 37, ¹ 5. Ð. 519-531.
Ìîäåëü íà èñòîðè÷åñêèõ äàííûõ ÿïîíñêîé áèðæè ïîêàçàëà õîðîøèå ðåçóëüòàòû: Wang R., Xia Y. Portfolio Selection and
Asset Pricing. Springer, 2002. 200 p.
ÀÍÀËÈÒÈÊÀ Â ÁÀÍÊÀÕ: ÌÅÒÎÄÈÊÈ ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ ÀÊÒÈÂÎÂ
Ïðè èíâåñòèöèîííîì îãðàíè÷åíèè (1) è 12 ñëåäóþùèõ íåðàâåíñòâàõ:
y1 + 18,24 - 10,65 õ1 + 12,24 - 11,98 õ2 + 8,23 - 8,34 õ3 + 8,12 - 8,63 õ4 0 ;
y 2 + (12,12 - 10,65) õ1 + (19,16 - 11,98) õ 2 + (8,96 - 8,34) õ3 + (8, 26 - 8,63) õ4 0;
………………………………………………………………………………….
y 6 + (10,42 - 10,65 ) õ1+ (- 7,43 - 11,98) õ 2 + (8,29 - 8,34 )õ3 + (8,95 - 8,63)õ4 0 ;
y1 - (18, 24 - 10,65) õ1- (12, 24 - 11,98) õ2 - (8,23 - 8,34 ) õ3 - (8,12 - 8,63) õ4 0 ;
………………………………………………………………………………….
y 6 - (10,42 - 10,65) õ1- (- 7, 43 - 11,98) õ2 - (8,29 - 8,34)õ3 - (8,95 - 8,63) õ4 0
ðåøåíèå çàäà÷è ñ ìèíèìàëüíûì ðèñêîì s( x )=0,092% è ýôôåêòèâíîñòüþ r(x) =8,674% ïðèìåò âèä: x1=0,0525;
x2=0; x3=0,2125; x4=0,7350.
Ôåéíøòåéí è Òàïà (1993) ìîäèôèöèðîâàëè ìîäåëü Ìàðêîâèöà è ïîëó÷èëè ñëåäóþùóþ çàäà÷ó, ýêâèâàëåíòíóþ ìîäåëè Êîííî-ßìàçàêè:
T
( ut + vt ) ® min
å
t =1
ïðè óñëîâèÿõ (1), (2) è
n
ut + vt - å ( rjt - rj )x j ³ 0;
j=1
ut , vt ³ 0, t = 1,T .
Ðàñ÷åò ïî ìîäåëè Ôåéíøòåéíà è Òàïà äàåò ðåçóëüòàò: x1=0,05433; x2=0; x3=0,174769; x4=0,770898.
6. Ìîäåëü îöåíêè ðèñêà â ïîëóàáñîëþòíîé ìåòðèêå
Ñóòü ìîäåëè – âûáðàòü îïòèìàëüíûé ïîðòôåëü òàê, ÷òîáû ìèíèìèçèðîâàòü ñóììó ïîòåðü â íåóäà÷íûå
äëÿ èíâåñòîðà ìîìåíòû âðåìåíè. Ïîýòîìó ðèñê îöåíèâàåòñÿ âåëè÷èíîé
ü
ì n
1 T
s( x ) = å min í 0, å ( rjt - rj )x j ý .
T t =1
þ
î j=1
Èíûìè ñëîâàìè, âûáèðàòü ïîðòôåëü áóäåì â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî åñëè â áóäóùåì ïîâòîðèòñÿ ïðîøëîå,
òî ïîòåðè áóäóò ìèíèìàëüíûìè. Äàííàÿ ìîäåëü åñòü ìîäóëü îñòîðîæíîãî èíâåñòîðà, êîòîðûé ïîìíèò òîëüêî
ðàçìåðû ïîòåðü. Ðàçóìååòñÿ, îíà íåïðèìåíèìà, åñëè áóäóùàÿ òåíäåíöèÿ ïðèíöèïèàëüíî îòëè÷àåòñÿ îò ïðîøëîé.
Ââåäåì ïåðåìåííûå yt, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ïðåäñòàâëÿåò ïîòåðè ïîðòôåëÿ x ïðè ïîâòîðåíèè ñöåíàðèÿ â
ïåðèîä âðåìåíè t. Òîãäà çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ îïòèìàëüíîãî ïîðòôåëÿ ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàíà ñ ïîìîùüþ
ìîäåëè Êîííî:
T
åy
t =1
t
® min,
ïðè èíâåñòèöèîííûõ óñëîâèÿõ (1), (2) è ñëåäóþùèõ îãðàíè÷åíèÿõ:
n
yt + å ( rjt - rj )x j ³ 0, yt³ 0, t = 1,T .
j=1
Äîñòîèíñòâî ìîäåëè ñîñòîèò â òîì, ÷òî îíà íå ñîäåðæèò êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè (3) è ïîòîìó, êàê ïðàâèëî, åå êîìáèíèðóþò ñ äîïîëíèòåëüíûìè ëèíåéíûìè îãðàíè÷åíèÿìè, íàïðèìåð, îòðàæàþùèìè ëèíåéíûå èçäåðæêè ïðèîáðåòåíèÿ àêòèâîâ.
Ìîäåëü Êîííî îòëè÷àåòñÿ îò ìîäåëè Êîííî-ßìàçàêè îòñóòñòâèåì âòîðîé ñåðèè îãðàíè÷åíèé. Íàïðèìåð,
â íàøåì ÷èñëîâîì ïðèìåðå íóæíî âçÿòü èç 12 íåðàâåíñòâ òîëüêî ïåðâûå 6. Îïòèìàëüíûé ïîðòôåëü â ìîäåëè
Êîííî ñëåäóþùèé: x1=0,05433; x2=0; x3=0,17477; x4=0,77090 ñ äîõîäíîñòüþ r(x)=8,69% è ðèñêîì
s(x)=0,08845%.
Îòìåòèì, ÷òî äîëè ïîðòôåëåé äëÿ ìîäåëåé ñ îöåíêîé ðèñêà â ïîëóàáñîëþòíîé è àáñîëþòíîé ìåòðèêàõ
ñîâïàäàþò. Ðåøåíèå çàäà÷è ñ ãàðàíòèðîâàííûì äîõîäîì îò 8% äî 11% è øàãîì 1% ïðåäñòàâëåíî â òàáë. 2.
Òàáëèöà 2
Îïòèìàëüíûå ïîðòôåëè çàäà÷è Ìàðêîâèöà ñ îöåíêîé ðèñêà â ïîëóàáñîëþòíîé è àáñîëþòíîé ìåòðèêàõ
Ãàðàíòèðîâàííûé äîõîä, %
x 4, %
r(x), %
s(x), %
0
0
11,00
7,07
0
32,18
10,00
3,54
x 1, %
x 2, %
x 3, %
11
7,37
26,33
10
67,82
0
9
16,38
1,17
0
82,45
9,00
0,69
8
5,25
0
21,25
73,50
8,674
0,092
7
ÀÍÀËÈÒÈÊÀ Â ÁÀÍÊÀÕ: ÌÅÒÎÄÈÊÈ ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ ÀÊÒÈÂÎÂ
7. Ìèíèìàêñíàÿ ìîäåëü îöåíêè ðèñêà â ìåòðèêå ×åáûøåâà
Ìåðîé ðèñêà s(x) â äàííîé ìîäåëè7 ñëóæèò äîõîä ïîðòôåëÿ â ñàìûé íåóäà÷íûé ïåðèîä âðåìåíè èñòîðè÷åñêîãî ðÿäà:
s( x ) = min
t =1,...,T
n
år x
j=1
jt j
® max.
Ñâåðõîñòîðîæíûé èíâåñòîð, îðèåíòèðîâàííûé íà ñàìóþ ïëîõóþ ñèòóàöèþ â ïðîøëîì, âûáèðàåò ñâîé
ïîðòôåëü â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî åñëè ýòà ñèòóàöèÿ ïîâòîðèòñÿ, åãî äîõîä äîëæåí áûòü ìàêñèìàëüíûì (ïîòåðè
ìèíèìàëüíû, åñëè s( x ) – îòðèöàòåëüíàÿ âåëè÷èíà). Ïðè òàêîì ïîäõîäå ê èçìåðåíèþ ðèñêà êðèòåðèé ìàêñèìèçàöèè ðèñêà s( x ) ìîæåò áûòü çàìåíåí ñèñòåìîé ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ ñ ïàðàìåòðîì Rmin:
n
år
j=1
jt
- Rmin ³ 0, t = 1,T .
2
Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî Rmin =
s jx j ® max, è çàìåíèòü êðèòåðèé ìàêñèìèçàöèè ðèñêà ñèñòåìîé ëèíåép
íûõ íåðàâåíñòâ ñ ïàðàìåòðîì Rmin, òî ðåøåíèå çàäà÷è ïðèìåò âèä: x1=0; x2=0,0382; x3=0,0262; x4=0,9354 ñ ýôôåêòèâíîñòüþ r(x)=8,75% è ðèñêîì s(x)=0,53%.
8. Ìîäåëü ñ îãðàíè÷åííûì ÷èñëîì àêòèâîâ
Æåëàíèå èíâåñòîðà îãðàíè÷èòü ÷èñëî àêòèâîâ k, âêëþ÷àåìûõ â ïîðòôåëü, ïðèâåëî ê ïîñòðîåíèþ ìîäåëè
Ìàðêîâèöà ñ äîïîëíèòåëüíûìè äèñêðåòíûìè (áóëåâûìè) ïåðåìåííûìè d j, êàæäàÿ èç êîòîðûõ îçíà÷àåò:
âêëþ÷àåòñÿ (d j=1) â ïîðòôåëü àêòèâ j èëè íåò (d j=0). Íîâûå îãðàíè÷åíèÿ èìåþò âèä
n
åd
j=1
j
£ m, d j=0 èëè 1,
x j £ d j , j =1, n,
8
è îçíà÷àþò, ÷òî xj>0 òîëüêî òîãäà, êîãäà d j = 1.
Ñ áóëåâûìè ïåðåìåííûìè d j îêàçàëîñü óäîáíî çàïèñûâàòü íîðìàòèâíûå îãðàíè÷åíèÿ. Íàïðèìåð, â íåìåöêîì èíâåñòèöèîííîì ïðàâå ñóùåñòâóåò èçâåñòíîå îãðàíè÷åíèå, çàïðåùàþùåå èìåòü áîëåå 40% îò âñåãî
ïîðòôåëÿ àêöèé âçàèìíûõ ôîíäîâ, áîëåå 10% îäíîãî òèïà àêöèé è îáÿçûâàþùåå 5% ëèáî íå âêëàäûâàòü â àêòèâ, ëèáî âêëàäûâàòü, íî íå ìåíåå 5% êàïèòàëà. Ýòî óñëîâèå ìîäåëèðóåòñÿ ñëåäóþùèìè îãðàíè÷åíèÿìè:
n
åx d
j=1
j j
£ 0.4;
x j - 0.05d j £ 0.05, j = 1, n , d j = 0 èëè 1.
Áóëåâûå ïåðåìåííûå ïîçâîëÿþò ëåãêî ó÷åñòü òàêæå ëèìèòíûå îãðàíè÷åíèÿ: íèæíèå lj è âåðõíèå uj íà äîëþ àêòèâîâ âèäà j, ò.å. åñëè àêòèâ j âêëþ÷àåì â ïîðòôåëü, òî åãî äîëÿ áóäåò íå ìåíåå ÷åì lj è íå áîëåå uj:
l jd j £ x j £ u jd j , j = 1, n.
9. Ìîäåëè ñ òðàíçàêöèîííûìè èçäåðæêàìè
Ïðîïîðöèîíàëüíûå âåëè÷èíå ïðèîáðåòàåìîãî àêòèâà j èçäåðæêè djxj ëåãêî ââåñòè â ôóíêöèþ äîõîäíîñòè – îíà ïðèìåò âèä:
n
å ( r - d )x
j=1
j
j
j
® max.
Êðèòåðèé îñòàåòñÿ ëèíåéíûì, ïîýòîìó ñóòü çàäà÷è íå èçìåíÿåòñÿ, à òîëüêî êîððåêòèðóåòñÿ äîõîäíîñòü.
Íåêîòîðûå àâòîðû ðàññìàòðèâàþò è âîãíóòûå íåóáûâàþùèå ôóíêöèè òðàíçàêöèîííûõ èçäåðæåê d j ( x j ). Â
ýòîì ñëó÷àå êðèòåðèé ñòàíîâèòñÿ âûïóêëûì.
Ñëîæíåå ìîäåëèðóþòñÿ ôèêñèðîâàííûå èçäåðæêè (fixed cost) f j, êîòîðûå íå çàâèñÿò îò âåëè÷èíû ïðèîáðåòàåìîãî àêòèâà, à åñòü ïëàòà çà âûõîä íà ðûíîê j. Ôèêñèðîâàííûå èçäåðæêè ïî ñóòè äèñêðåòíû è òðåáóþò
âêëþ÷åíèÿ â ìîäåëü áóëåâûõ ïåðåìåííûõ d j. Êðèòåðèé â ýòîì ñëó÷àå èìååò âèä
n
å ( rx
j=1
j j
- f jd j ) ® max,
è äîáàâëÿåòñÿ îãðàíè÷åíèå
x j £ d j, j = 1, n.
10. Ìîäåëü ñ öåëî÷èñëåííûìè ïåðåìåííûìè (ëîòû àêòèâîâ)
 ìîäåëè Ìàðêîâèöà êàïèòàë èíâåñòîðà ïðèíèìàåòñÿ çà 1, è ïîðòôåëü x ôàêòè÷åñêè óêàçûâàåò äîëè àêòèâîâ. Ñóùåñòâóþò ñèòóàöèè, êîãäà äîëè ìîãóò ïðèíèìàòü îïðåäåëåííûå çíà÷åíèÿ, ñâÿçàííûå ñ êðàòíîñòüþ
ñòîèìîñòè íåäåëèìûõ àêòèâîâ (àêòèâ ïîêóïàåòñÿ òîëüêî ëîòàìè). Íàïðèìåð, â ìîìåíò ïîêóïêè êàæäàÿ àêöèÿ
7
Ìîäåëü áûëà ïðåäëîæåíà â: Young M. A minimax portfolio selection rule with linear programming solution. Manag. Sci., 1998,
V. 44, ¹ 5. P. 673-683.
ÀÍÀËÈÒÈÊÀ Â ÁÀÍÊÀÕ: ÌÅÒÎÄÈÊÈ ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ ÀÊÒÈÂÎÂ
j èìååò òåêóùóþ öåíó pj.  ýòîì ñëó÷àå ëó÷øå ââåñòè ïåðåìåííóþ yj, êîòîðàÿ óêàçûâàåò êîëè÷åñòâî ïðèîáðåòàåìîãî àêòèâà j. Áþäæåòíîå óðàâíåíèå (1) â ýòîì ñëó÷àå çàìåíÿåòñÿ íà
n
K 0 £ å p j y j £ K 1, y j ³ 0 è öåëûå, î = 1, n ,
j=1
ãäå K0è K1– íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ ãðàíèöà äëÿ êàïèòàëà èíâåñòîðà. Î÷åâèäíî, ÷òî äîëÿ àêòèâà îïðåäåëèòñÿ òàê:
n
x j = p j y j / å p j y j.
j=1
Ìàòåìàòè÷åñêè ïîñëåäíÿÿ çàäà÷à ñòàíîâèòñÿ ñóùåñòâåííî ñëîæíåå è îòíîñèòñÿ ê êëàññó çàäà÷ öåëî÷èñëåííîãî êâàäðàòè÷íîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. (Ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ ñ öåëî÷èñëåííûìè ïåðåìåííûìè ïðèâåäåíû
â ìîíîãðàôèè: Êîâàëåâ Ì.Ì. Ìàòðîèäû â äèñêðåòíîé îïòèìèçàöèè. Ìí., Óíèâåðñèòåòñêîå, 1987. 222 ñ.).
11. Ìîäåëü ñ íå÷åòêîé (fuzzy) äîõîäíîñòüþ
Ïðåäëîæåíû ðàçëè÷íûå ìîäåëè, â êîòîðûõ äîõîäíîñòü îöåíèâàåòñÿ ñ ïîçèöèé íå÷åòêîé ëîãèêè. Íàïðèìåð, â ìîäåëè Ñ.Ðàìàñâàíè (Áàíê ìåæäóíàðîäíûõ ðàñ÷åòîâ, 1998) ïðåäëîæåíî ñòåïåíü óäîâëåòâîðåííîñòè
èíâåñòîðà ìîäåëèðîâàòü ñ íå÷åòêîé ôóíêöèåé ïîëåçíîñòè:
ö
æ n
M t çç å x jt rj ÷÷,
ø
è j=1
êîòîðàÿ íå÷åòêî îöåíèâàåò óäîâëåòâîðåííîñòü èíâåñòîðà ïðè ïîâòîðåíèè êàæäîãî ïðîøëîãî ðûíî÷íîãî ñöåíàðèÿ t. Ïîëó÷àåòñÿ ñëåäóþùàÿ çàäà÷à:
l ® max
ïðè óñëîâèÿõ (1), (3) è
ö
æ n
M t çç å x jt rj ÷÷ ³ l, t = 1,T .
ø
è j=1
 êíèãå Fang Y., Lai K., Wang S. Fuzzy Portfolio Optimization. Lecture Notes in Economy Mathematics
System ñóììèðîâàíû àâòîðñêèå ïîäõîäû ê ìîäåëèðîâàíèþ äîõîäíîñòåé íå÷åòêèìè ÷èñëàìè. Íàèáîëåå ÷àñòûå ìîäåëè – ñ òðàïåöèèäàëüíîé rj=(auj,alj,cj,dj) è òðåóãîëüíîé (al j = auj) ôóíêöèåé.  ýòîì ñëó÷àå êðèòåðèé
n
ïðèíèìàåò âèä:
(auj - alj )+ 1 (c j + d j ) x j ® min ,
3
j=1
n
j=1
(auj + alj )+ 1 (d j - c j
3
x j ® max.
rj
0 alj - c j
alj
auj
auj + d j
Ðèñ. 4. Òðàïåöèèäàëüíàÿ äîõîäíîñòü
 çàêëþ÷åíèå ïåðå÷èñëèì áóäóùèå íàïðàâëåíèÿ èññëåäîâàíèÿ çàäà÷ ïîðòôåëüíîé îïòèìèçàöèè:
1) èññëåäîâàíèå óñòîé÷èâîñòè îïòèìàëüíûõ ïîðòôåëåé;
2) èññëåäîâàíèå áîëåå ÷åì äâóõêðèòåðèàëüíûõ çàäà÷, ò.å. êðèòåðèè «äîõîäíîñòü-ðèñê» äîïîëíÿþòñÿ
êðèòåðèÿìè ëèêâèäíîñòè ïîðòôåëÿ, ðèñêà äîñòàòî÷íîñòè êàïèòàëà è ò.ä.;
3) èññëåäîâàíèå ïîðòôåëåé ñ ôèíàíñîâûìè àêòèâàìè, íîìèíèðîâàííûìè â ðàçíûõ âàëþòàõ (âêëþ÷åíèå
âàëþòíûõ ðèñêîâ).
9