Преддипломный семинар пятого курса МатМеха СПБГУ "О

Ïðåääèïëîìíûé ñåìèíàð ïÿòîãî êóðñà ÌàòÌåõà ÑÏÁÃÓ
Î ðàññòîÿíèè ìåæäó íåêîòîðûìè áàíàõîâûìè ïðîñòðàíñòâàìè
Ê.À.×åðíûø
Ðàññòîÿíèåì ïî Áàíàõó-Ìàçóðó ïðèíÿòî íàçûâàòü
d(X, Y ) = inf{kT k · kT −1 k : T ∈ L(X, Y )}.
Ýòî ðàññòîÿíèå ñàìî ïî ñåáå íå ÿâëÿåòñÿ ìåòðèêîé, ìåòðèêîé áóäåò åå ëîãàðèôì. Êîìïàêò Ìèíêîâñêîãî
Rn ýòî ñîâîêóïíîñòü âñåõ n-ìåðíûõ áà-
íàõîâûõ ïðîñòðàíñòâ, ñíàáæåííàÿ ðàññòîÿíèåì Áàíàõà-Ìàçóðà. Õîðîøî
√
n
n, òî åñòü ìîæíî
èçâåñòíûé ðåçóëüòàò Äæîíà ãîâîðèò, ÷òî d(X, `2 ) ≤
√
n
n-öåíòðîì êîìïàêòà Ìèíêîâãîâîðèòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâî `2 ÿâëÿåòñÿ
√
n
ñêîãî. Âîçíèêàåò âîïðîñ: à íå ÿâëÿåòñÿ ëè ïðîñòðàíñòâî `∞ òîæå
nöåíòðîì êîìïàêòà Ìèíêîâñêîãî? Â ðàáîòå Øàðåêà äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ
òåîðåìà.
Ñóùåñòâóåò òàêàÿ êîíñòàíòà c > 0, ÷òî äëÿ
ëþáîãî íàòóðàëüíîãî n ñóùåñòâóåò n-ìåðíîå√áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî
X , óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó d(X, `n∞ ) ≥ c n log n.
Òåîðåìà 1 (Øàðåê).
 ìîåé äèïëîìíîé ðàáîòå èññëåäóåòñÿ ïðîñòðàíñòâî X , ÷üèì åäèíè÷n
n
íûì øàðîì ÿâëÿåòñÿ conv(B1 , An B1 ), ãäå An íîðìèðîâàííàÿ ìàòðèöà
n
n
Óîëøà, à B1 åäèíè÷íûé øàð â `1 , òî åñòü îêòàýäð.
Ñóùåñòâóåò òàêàÿ êîíñòàíòà c > 0, ÷òî äëÿ ëþáîãî
íàòóðàëüíîãî n ñóùåñòâóåò n-ìåðíîå áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî Y , óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó d(Y, X) ≥ c√n log n.
Ãèïîòåçà 1.
Ìû óìååì äîêàçûâàòü ãèïîòåçó ïî ìîäóëþ ñëåäóþùåé ëåììû:
Ïóñòü Λ ìàòðèöà, çàäàííàÿ ñîîòíîøåíèÿìè Λui = xiui, à
g ãàóññîâñêèé âåêòîð ñ êîìïîíåíòàìè, ðàñïðåäåëåííûìè êàê N (0, 1).
Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ êîíñòàíòà b1, 0 < b1 < 1, ÷òî âåðíî íåðàâåíñòâî
Ëåììà 1.
E (kΛgk1 − kΛgkX ) ≤ b1 E(kΛgk1 ).
Íà äàííûé ìîìåíò ìû óìååì äîêàçûâàòü ëåììó äëÿ íåêîãî êëàññà
ìàòðèö.
1