Вопросы по курсу "Теория вероятностей"

Âîïðîñû ïî êóðñó "Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé"
äëÿ ñòóäåíòîâ IV êóðñà ÔÀÊÈ
1. Ïîíÿòèå àëãåáðû è σ -àëãåáðû ìíîæåñòâ. Ñóùåñòâîâàíèå ìèíèìàëüíîé
σ -àëãåáðû, ñîäåðæàùåé äàííûé íàáîð ìíîæåñòâ (ñ äîêàçàòåëüñòâîì äëÿ
îòëè÷íèêîâ). Ïðèìåðû.
2. σ -àëãåáðà áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ â Rn . Äîêàçàòåëüñòâî áîðåëåâîñòè
íåêîòîðûõ ìíîæåñòâ â Rn . Èçìåðèìîñòü áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ.
3. Îáùåå ïîíÿòèå âåðîÿòíîñòíîãî ïðîñòðàíñòâà. Ñðàâíåíèå äèñêðåòíîãî
è ïðîèçâîëüíîãî âåðîÿòíîñòíûõ ïðîñòðàíñòâ. Ïðèìåðû.
4. Îáùåå ïîíÿòèå âåðîÿòíîñòíîé ìåðû. Ïîñòðîåíèå ìåðû Ëåáåãà íà [0, 1]n
(êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé ñòàíäàðòíîãî ìåòîäà ïîñòðîåíèÿ âåðîÿòíîñòíîé ìåðû). Ïðèìåðû ìíîæåñòâ, èçìåðèìûõ ïî Ëåáåãó, íî íåèçìåðèìûõ ïî Æîðäàíó.
5. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà êàê èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ íà ìíîæåñòâå ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ (äâà ðàâíîñèëüíûõ îïðåäåëåíèÿ). Äîêàçàòåëüñòâî ðàâíîñèëüíîñòè ýòèõ îïðåäåëåíèé (äëÿ îòëè÷íèêîâ). Ñâîéñòâà èçìåðèìûõ ôóíêöèé. Ïðèìåðû.
6. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû êàê èíòåãðàë Ëåáåãà.
Îñíîâíûå ñâîéñòâà èíòåãðàëà Ëåáåãà. Äâå òåîðåìû î ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå
ïîä çíàêîì èíòåãðàëà Ëåáåãà (áåç äîêàçàòåëüñòâà). Êà÷åñòâåííîå ñðàâíåíèå
èíòåãðàëà Ëåáåãà è èíòåãðàëà Ðèìàíà äëÿ ôóíêöèé íà R. Ïðèìåðû ôóíêöèé, èíòåãðèðóåìûõ ïî Ëåáåãó íà [0,1], íî íåèíòåãðèðóåìûõ ïî Ðèìàíó.
7. Ïîíÿòèå óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè è ïðèìåðû åå âû÷èñëåíèÿ (íà ëþáîì
íåòðèâèàëüíîì ïðèìåðå).
8. Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè è åå ïðèìåíåíèå (íà ëþáîì íåòðèâèàëüíîì ïðèìåðå).
9. Ôîðìóëà Áàéåñà è åå ïðèìåíåíèå (íà ïðèìåðå îöåíêè àïîñòàðèîðíûõ
âåðîÿòíîñòåé äëÿ áèíàðíîãî êàíàëà ñ øóìîì).
10. Íåçàâèñèìîñòü äâóõ è ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ñîáûòèé. Ïðèìåðû.
Òåòðàýäð Áåðøòåéíà.
11. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èñïûòàíèé Áåðíóëëè.
12. Íåçàâèñèìîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïðîèçâåäåíèÿ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (äîêàçàòåëüñòâî äëÿ äèñêðåòíîãî ñëó÷àÿ, îáùèé ñëó÷àé äëÿ îòëè÷íèêîâ).
13. Äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû è ïðèìåðû åå âû÷èñëåíèÿ äëÿ äèñêðåòíûõ è íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Åå ôèçè÷åñêèé ñìûñë.
14. Êîâàðèàöèÿ äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è åå ñâÿçü ñ íåçàâèñèìîñòüþ.
Ñïîñîáû åå âû÷èñëåíèÿ äëÿ äèñêðåòíûõ è íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.
1
15. Íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà (áàçîâîå è äëÿ îòêëîíåíèé). Åãî íåóëó÷øàåìîñòü. Èñïîëüçîâàíèå íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà ïðè äîêàçàòåëüñòâå çàêîíà
áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ ñóììû îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
ñ êîíå÷íûìè ìàò. îæèäàíèåì è äèñïåðñèåé.
16. Çàäà÷à îá îïòèìàëüíîì ëèíåéíîì ïðîãíîçå îäíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïî íàáëþäåíèþ äðóãîé (âûâîä è èíòåðïðåòàöèÿ).
17. Ïîíÿòèå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòíîé ìåðû íà R. Åå õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ñâîéñòâà. Âîññòàíîâëåíèå ìåðû ïî åå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ (èäåÿ). Ïðèìåðû.
18. Ïîíÿòèå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Åå ñâîéñòâà.
Ïðèìåðû. Èñïîëüçîâàíèå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â çàäàííîå ìíîæåñòâî.
19. Ïîíÿòèå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Åå ñâîéñòâà.
Ïðèìåðû. Èñïîëüçîâàíèå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â çàäàííîå ìíîæåñòâî è äëÿ íàõîæäåíèÿ ìàò. îæèäàíèÿ ëþáîé ôóíêöèè îò ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
20. Ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (äèñêðåòíûé
ñëó÷àé). Ïðèìåðû. Âûâîä ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîâàðèàöèè äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ïî èõ ñîâìåñòíîìó ðàñïðåäåëåíèþ.
21. Ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (îáùèé ñëó÷àé).
Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ è ïëîòíîñòü ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïðèìåðû
èñïîëüçîâàíèÿ. Ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìàò. îæèäàíèÿ ëþáîé ôóíêöèè
îò ýòèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (áåç äîêàçàòåëüñòâà). Âû÷èñëåíèå êîâàðèàöèè.
22. Ïîíÿòèå íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîãî íàáîðà (âåêòîðà) ñëó÷àéíûõ
âåëè÷èí. Ñâîéñòâà íîðìàëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è âåêòîðîâ.
23. Êðèòåðèè íåçàâèñèìîñòè äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí â òåðìèíàõ èõ
ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (äèñêðåòíûé è îáùèé ñëó÷àé îòäåëüíî). Äîêàçàòåëüñòâà ïðîñòûõ èìïëèêàöèé.
24. Ïîíÿòèå õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû è åå ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà. Ïðèìåðû. Çàäà÷è, ðåøàåìûå ñ ïîìîùüþ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé.
25. Òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè äëÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé (ñ äîêàçàòåëüñòâîì äëÿ îòëè÷íèêîâ). Êðèòåðèé íåçàâèñèìîñòè äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí â òåðìèíàõ èõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé (ñ äîêàçàòåëüñòâîì â
îäíó ñòîðîíó).
26. Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ ñóììû îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ êîíå÷íûì ìàò. îæèäàíèåì.
27. Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà äëÿ ñóììû îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ êîíå÷íîé äèñïåðñèåé. Åå ìíîãîìåðíûé âàðèàíò
(áåç äîêàçàòåëüñòâà).
28. Òåîðåìà Ïóàññîíà. Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà è åãî èíòåðïðåòàöèÿ.
Ïðåäëàãàþ îáäóìàòü öåëåñîîáðàçíîñòü ïðîâåäåíèÿ êîíñóëüòàöèè, íà êîòîðîé ÿ ìîã áû äàòü êðàòêèé ïëàí îïòèìàëüíîãî îòâåòà
íà êàæäûé èç ýòèõ âîïðîñîâ, â ëþáîé äåíü, êðîìå ïîíåäåëüíèêà
âñå âîïðîñû ïî òåë. 916-323-76-33
2