Теорема Хелли и вокруг нее

&
ÊÂÀÍT 2009/¹3
Òåîðåìà Õåëëè è âîêðóã íåå
Â.ÏÐÎÒÀÑÎÂ
Òðóäíî ñ òðåìÿ... Ïîòîì ÷èñëî óæå íå èìååò çíà÷åíèÿ.
Â.×åðíûõ. Ìîñêâà ñëåçàì íå âåðèò
Í
ÅÊÎÒÎÐÛÅ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÎÁÚÅÊÒÛ ÈÌÅ-
þò ñîáñòâåííûå èìåíà. Òåîðåìà Âèåòà, ïðÿìàÿ
Ýéëåðà... Ëþáîé ñòóäåíò-ìàòåìàòèê ê ìîìåíòó
îêîí÷àíèÿ óíèâåðñèòåòà çíàåò èõ ñòîëüêî, ÷òî âïîëíå
ìîã áû ñäàâàòü ñïåöèàëüíûé ýêçàìåí: êàêîå èìÿ ÷òî
îçíà÷àåò. Åñëè Éåíñåí – òî íåðàâåíñòâî, åñëè Ôðåäãîëüì – òî àëüòåðíàòèâà, à åñëè Ãð¸áíåð – òî áàçèñ.
Àâñòðèéñêèé ìàòåìàòèê Õåëëè îñòàâèë ïîñëå ñåáÿ òðè
âåëèêèå òåîðåìû. Îäíà èç íèõ ÿâëÿåòñÿ òåïåðü íåîòúåìëåìîé ÷àñòüþ âûïóêëîé ãåîìåòðèè, äâå äðóãèå ïðî÷íî
ëåãëè â ôóíäàìåíò òåîðèè ôóíêöèé. Âñå òðè îäèíàêîâî
âàæíû è ïîëåçíû. Ïîýòîìó ìàòåìàòèêè, íå âäàâàÿñü â
ïîäðîáíîñòè, òàê è íàçûâàþò èõ ïî íîìåðàì: ïåðâàÿ,
âòîðàÿ è òðåòüÿ òåîðåìû Õåëëè. Ñëó÷àé, íàñêîëüêî
íàì èçâåñòíî, óíèêàëüíûé. Îá óäèâèòåëüíîé ñóäüáå
àâòîðà òðåõ òåîðåì ìû åùå ïîãîâîðèì, à ïîêà – î
ìàòåìàòè÷åñêîì ñîäåðæàíèè. Ñòàòüÿ ïîñâÿùåíà ïåðâîé òåîðåìå Õåëëè. Ýòà òåîðåìà îòíîñèòñÿ ê êðàñèâåéøåé îáëàñòè ìàòåìàòèêè – âûïóêëîé ãåîìåòðèè.
Íåóæåëè âûïóêëûå ìíîæåñòâà òàê èíòåðåñíû, ÷òî
äëÿ íèõ ñîçäàíî îòäåëüíîå íàïðàâëåíèå ìàòåìàòèêè?
Äà, õîòÿ ïîíÿëè ýòî ëþäè íå ñðàçó. Îäèí èç ïåðâûõ
ðåçóëüòàòîâ âûïóêëîé ãåîìåòðèè – òåîðåìà Êîøè î
æåñòêîñòè âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêîâ, îòêðûòàÿ â
1813 ãîäó (î íåé ìîæíî ïðî÷èòàòü, íàïðèìåð, â ñòàòüå
Í.Äîëáèëèíà â «Êâàíòå» ¹ 5–6 çà 2001 ã.). Ê ñåðåäèíå
XX âåêà áûëî óñòàíîâëåíî ìíîæåñòâî èíòåðåñíûõ
ãåîìåòðè÷åñêèõ ñâîéñòâ, ïðèñóùèõ òîëüêî âûïóêëûì
ôèãóðàì. Ñâîéñòâà ýòè êàñàþòñÿ îáúåìîâ, ñå÷åíèé,
îñîáûõ òî÷åê, îáùåé ñòðóêòóðû âûïóêëûõ òåë. Òàê
óñèëèÿìè Ìèíêîâñêîãî, Ðàäîíà, Ôåíõåëÿ, Àëåêñàíäðîâà, Êðåéíà, Øíèðåëüìàíà, Áîëòÿíñêîãî, Ðîêàôåëëàðà, Ãðþíáàóìà è ìíîãèõ äðóãèõ ìàòåìàòèêîâ âûïóêëàÿ ãåîìåòðèÿ îôîðìèëàñü â îòäåëüíóþ äèñöèïëèíó
(ñì. îá ýòîì ñòàòüþ Â.Òèõîìèðîâà â «Êâàíòå» ¹ 4 çà
2003 ã.). È ïåðâàÿ òåîðåìà
Õåëëè çàíÿëà â íåé äîñòîéíîå ìåñòî.
Ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ
âûïóêëûì, åñëè äëÿ ëþáîé
ïàðû åãî òî÷åê îíî öåëèêîì ñîäåðæèò îòðåçîê ìåæäó ýòèìè òî÷êàìè (ðèñ.1).
Ðèñ. 1
Âûïóêëûå ìíîæåñòâà ìû
òàêæå áóäåì íàçûâàòü âûïóêëûìè ôèãóðàìè èëè âûïóêëûìè òåëàìè. Îäíà òî÷êà, êðóã, òðåóãîëüíèê, ïîëóÌîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò, ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåò,e-mail: v-protassov@yandex.ru
01-24.p65
8
ïëîñêîñòü, âñÿ ïëîñêîñòü – âûïóêëûå ôèãóðû. ×åòûðåõóãîëüíèê – âûïóêëûé, åñëè âñå åãî âíóòðåííèå óãëû
ìåíüøå 180° (ýòî, âïðî÷åì, âåðíî è äëÿ ëþáîãî ìíîãîóãîëüíèêà; ðèñ.2). Äîêàæèòå (ýòî ñîâñåì ëåãêîå óïðàæíåíèå), ÷òî ïåðåñå÷åíèå ëþáîãî, äàæå áåñêîíå÷íîãî, ÷èñëà âûïóêëûõ ìíîæåñò⠖ âûïóêëî. Äëÿ
ìíîæåñòâ â ïðîñòðàíñòâå îïðåäåëåíèå âûïóêëîñòè îñòàåòñÿ òàêèì æå.
Øàð, òåòðàýäð, ïîëóïðîñòðàíñòâî – âûïóêëû. Íàäååìñÿ, ýòî íå
î÷åíü óñëîæíèò âîñïðè- Ðèñ. 2
ÿòèå ñòàòüè, åñëè ìû
áóäåì ôîðìóëèðîâàòü âñå ðåçóëüòàòû â îáùåì ñëó÷àå,
äëÿ ïðîñòðàíñòâà ¡ d , ãäå d = 1, 2 èëè 3 – åãî
ðàçìåðíîñòü. Òàê, ¡1 – ïðÿìàÿ, ¡ 2 – ïëîñêîñòü, à ¡ 3
– ïðîñòðàíñòâî. Ìû îãðàíè÷èìñÿ òîëüêî ýòèìè ñëó÷àÿìè, õîòÿ ÷èòàòåëü, çíàêîìûé ñ ïîíÿòèåì d-ìåðíîãî
åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà (ýòî – ìàòåðèàë ïåðâîãî êóðñà
èíñòèòóòà), ëåãêî ïåðåíåñåò âñå äîêàçàòåëüñòâà è íà
îáùèé ñëó÷àé.
Ïåðâàÿ òåîðåìà Õåëëè
Òåîðåìà 1 (Õåëëè, 1913). Â ïðîñòðàíñòâå ¡ d äàíî
êîíå÷íîå ñåìåéñòâî âûïóêëûõ ìíîæåñòâ. Èçâåñòíî,
÷òî ëþáûå d + 1 ìíîæåñòâ ïåðåñåêàþòñÿ. Òîãäà âñå
îíè ïåðåñåêàþòñÿ.
Èòàê, åñëè ëþáûå, êàêèå íè âçÿòü, d + 1 ìíîæåñòâ
íàøåãî ñåìåéñòâà èìåþò îáùóþ òî÷êó, òî è âñå ìíîæåñòâà èìåþò îáùóþ òî÷êó. Åñëè d = 1, òî ¡1 – ïðÿìàÿ
ëèíèÿ. Ëþáîå âûïóêëîå ìíîæåñòâî íà ïðÿìîé – ýòî
÷èñëîâîé ïðîìåæóòîê, ëèáî êîíå÷íûé (îòðåçîê [a;b],
èíòåðâàë (a;b) èëè ïîëóèíòåðâàë: [a;b) èëè (a;b]),
ëèáî áåñêîíå÷íûé: ëó÷ èëè âñÿ ïðÿìàÿ. Òåîðåìà Õåëëè
â ýòîì ñëó÷àå óòâåðæäàåò, ÷òî åñëè íà ïðÿìîé äàíî
êîíå÷íîå ñåìåéñòâî ïðîìåæóòêîâ, ïðè÷åì ëþáûå äâà
ïåðåñåêàþòñÿ, òî è âñå îíè ïåðåñåêàþòñÿ. Äîêàçàòü ýòî
íåñëîæíî. Ïóñòü, äëÿ ïðîñòîòû, âñå íàøè ïðîìåæóòêè
– îòðåçêè [ai; bi ] , i = 1, …, n. Ñðåäè âñåõ ëåâûõ êîíöîâ
ai ýòèõ îòðåçêîâ âîçüìåì íàèáîëüøèé, ïóñòü ýòî áóäåò
ak . Ñðåäè âñåõ ïðàâûõ êîíöîâ âîçüìåì íàèìåíüøèé,
ïóñòü ýòî áóäåò bm . Åñëè ak £ bm , òî êàæäûé èç
äàííûõ îòðåçêîâ [ai ; bi ] ñîäåðæèò îòðåçîê [ ak; bm ] , è
âñå äîêàçàíî. Íó à ñëó÷àé ak > bm íåâîçìîæåí: òîãäà
îòðåçêè [ ak ; bk ] è [ am ; bm ] íå ïåðåñåêàþòñÿ.
29.05.09, 14:01
ÒÅÎÐÅÌÀ
ÕÅËËÈ
Óïðàæíåíèå 1. Äîêàæèòå òåîðåìó Õåëëè â ñëó÷àå d = 1
äëÿ ëþáûõ ïðîìåæóòêîâ.
Ñëîæíîñòè íà÷èíàþòñÿ ñ ðàçìåðíîñòè d = 2.  ýòîì
ñëó÷àå òåîðåìà Õåëëè óòâåðæäàåò, ÷òî åñëè íà ïëîñêîñòè äàíî êîíå÷íîå ñåìåéñòâî âûïóêëûõ ìíîæåñòâ,
ïðè÷åì ëþáûå òðè ïåðåñåêàþòñÿ, òîãäà è âñå îíè
ïåðåñåêàþòñÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Õåëëè ìû ïðîâåäåì äëÿ
ñëó÷àÿ d = 2, à ñëó÷àé d = 3 îñòàâèì â êà÷åñòâå
óïðàæíåíèÿ. Èòàê, íà ïëîñêîñòè äàíû âûïóêëûå ìíîæåñòâà A1,K , A n , ëþáûå òðè èç íèõ ïåðåñåêàþòñÿ.
Íàäî äîêàçàòü, ÷òî âñå îíè ïåðåñåêàþòñÿ. Ïðèìåíèì
ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè ïî ÷èñëó ìíîæåñòâ n.
Åñëè n = 3, òî äîêàçûâàòü íå÷åãî. Ïóñòü n ³ 4 , è äàíî,
÷òî ëþáûå n – 1 ìíîæåñòâ ïåðåñåêàþòñÿ (ýòî – ïðåäïîëîæåíèå èíäóêöèè, ïðèìåíåííîå ê ëþáûì n – 1 ìíîæåñòâàì íàøåãî ñåìåéñòâà). Äîêàæåì, ÷òî ïåðåñåêàþòñÿ
âñå n. Ïðåäïîëîæèì îáðàòíîå: îíè íå ïåðåñåêàþòñÿ.
Òîãäà äëÿ ëþáîãî i íàéäåòñÿ òî÷êà Mi , ïðèíàäëåæàùàÿ âñåì ìíîæåñòâàì A1,K , A n , êðîìå A i . Íàì ïîíàäîáÿòñÿ òîëüêî ïåðâûå ÷åòûðå èç ýòèõ òî÷åê: M1, M2,
M3 è M4 . Åñëè ýòè òî÷êè ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìè
âûïóêëîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà M1M2 M3 M4 , òî âîçüìåì
òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ åãî äèàãîíàëåé M1M3 è M2 M4 è
îáîçíà÷èì åå ÷åðåç M (ðèñ.3). Äëÿ êàæäîãî k, îòëè÷íîãî îò 1 è 3, òî÷êè M1 è M3 ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó
A k , çíà÷èò (â ñèëó âûïóêëîñòè!), è âåñü îòðåçîê
M1M3 ëåæèò â A k , ïîýòîìó
M Î A k . Èòàê, M Î A k äëÿ
âñåõ k, îòëè÷íûõ îò 1 è 3. Òàê
æå ðàññìàòðèâàåì è âòîðóþ
äèàãîíàëü M2 M4 , è ïîëó÷àåì,
÷òî M Î A k äëÿ âñåõ k, îòëè÷íûõ îò 2 è 4. Èòàê, òî÷êà M
ïðèíàäëåæèò âñåì A k . Åñëè
æå òî÷êè íå ÿâëÿþòñÿ âåðøèÐèñ. 3
íàìè âûïóêëîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà, òî îäíà èç íèõ ëåæèò âíóòðè òðåóãîëüíèêà ñ
âåðøèíàìè â òðåõ äðóãèõ (ïî÷åìó?). Ïóñòü òî÷êà M4
ïðèíàäëåæèò òðåóãîëüíèêó M1M2 M3 (ðèñ.4). Ìíîæåñòâî A 4 ñîäåðæèò âñå òðè âåðøèíû M1M2 M3 , à
çíà÷èò, ñîäåðæèò âåñü òðåóãîëüíèê (âíîâü ïîëüçóåìñÿ âûïóêëîñòüþ). Ñëåäîâàòåëüíî, M4 Î A 4 . Íî, ñ
äðóãîé ñòîðîíû, ïî îïðåäåëåíèþ M4 Î A k ïðè âñåõ
k ¹ 4 . Ïîòîìó M4 – îáùàÿ
òî÷êà âñåõ ìíîæåñòâ
Ðèñ. 4
A1,K , A n . Ýòî çàâåðøàåò
äîêàçàòåëüñòâî èíäóêòèâíîãî ïåðåõîäà îò n – 1 ê n, à
çíà÷èò, è âñåé òåîðåìû ïðè d = 2.
Óïðàæíåíèÿ
2. Ïðèìåíèòå òî æå ðàññóæäåíèå äëÿ äîêàçàòåëüñòâà
òåîðåìû Õåëëè â ¡3 .
3. Ïðèâåäèòå ïðèìåð, ïîêàçûâàþùèé, ÷òî òåîðåìà Õåëëè
íå âûïîëíÿåòñÿ äëÿ íåâûïóêëûõ ìíîæåñòâ.
Ýòà òåîðåìà âåðíà è äëÿ áåñêîíå÷íîãî ñåìåéñòâà
âûïóêëûõ ìíîæåñòâ. Ïðàâäà, ñ îäíèì äîïîëíèòåëü-
01-24.p65
9
È
ÂÎÊÐÓÃ
ÍÅÅ
'
íûì óñëîâèåì: âñå ìíîæåñòâà äîëæíû áûòü íå òîëüêî
âûïóêëû, íî åùå è îãðàíè÷åíû è çàìêíóòû. Ñ îãðàíè÷åííîñòüþ âñå ïîíÿòíî: ìíîæåñòâî îãðàíè÷åíî, åñëè
îíî ñîäåðæèòñÿ â íåêîòîðîì øàðå. À ÷òî çíà÷èò
çàìêíóòîñòü? Ìíîæåñòâî A íàçûâàåòñÿ çàìêíóòûì,
åñëè îíî ñîäåðæèò âñå ñâîè ïðåäåëüíûå òî÷êè. Ýòî
îçíà÷àåò, ÷òî åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê xk , k Î ¥ ,
êàæäàÿ èç êîòîðûõ ïðèíàäëåæèò A, ñòðåìèòñÿ (ò.å.
íåîãðàíè÷åííî ïðèáëèæàåòñÿ) ê íåêîòîðîé òî÷êå x, òî
ïðåäåëüíàÿ òî÷êà x òàêæå ïðèíàäëåæèò A. Íàïðèìåð,
îäíà òî÷êà – çàìêíóòîå ìíîæåñòâî. Êðóã áåç ãðàíèöû
(îòêðûòûé êðóã) íå çàìêíóò, à ñ ãðàíèöåé – çàìêíóò.
Íî åñëè âûêîëîòü èç êðóãà ëþáóþ òî÷êó, îí ïåðåñòàåò
áûòü çàìêíóòûì. Äëÿ âûïóêëûõ ìíîæåñòâ ìîæíî
ñêàçàòü ïðîùå: çàìêíóòûå – ýòî ìíîæåñòâà, âçÿòûå ñî
ñâîåé ãðàíèöåé. Èòàê,
Òåîðåìà Õåëëè âåðíà è äëÿ áåñêîíå÷íûõ ñåìåéñòâ
âûïóêëûõ ìíîæåñòâ, åñëè âñå ìíîæåñòâà îãðàíè÷åíû
è çàìêíóòû.
Äîêàçûâàòü ìû ýòîãî íå áóäåì, îòìåòèì òîëüêî, ÷òî
è îãðàíè÷åííîñòü è çàìêíóòîñòü ñóùåñòâåííû. Íàïðèìåð, â ñåìåéñòâå ëó÷åé A k = [k; + ¥ ) , k Î ¥ , íà ïðÿìîé
¡1 âñå ìíîæåñòâà âûïóêëû è çàìêíóòû, è ëþáûå äâà
ïåðåñåêàþòñÿ, íî âñå îíè íå èìåþò îáùåé òî÷êè. Çäåñü
íå âûïîëíåíî óñëîâèå îãðàíè÷åííîñòè. À åñëè íå
âûïîëíåíî óñëîâèå çàìêíóòîñòè, êîíòðïðèìåð äàåò
æ 1ö
ñåìåéñòâî èíòåðâàëîâ A k = ç 0; ÷ , k Î ¥ .
è kø
Êòî âû, ìèñòåð Õåëëè?
Æèçíü Ýäâàðäà Õåëëè – ñòîëü æå ÿðêàÿ è íåîáû÷íàÿ, êàê è åãî òåîðåìû. Êàçàëîñü áû, çëàÿ ñóäüáà
äåëàëà âñå, ÷òîáû íå äàòü åìó çàíèìàòüñÿ íàóêîé. Õîòÿ
íà÷àëî æèçíè îáåùàëî áëèñòàòåëüíóþ êàðüåðó. Çàùèòèâ â 1907 ãîäó äèññåðòàöèþ â Âåíñêîì óíèâåðñèòåòå,
23-ëåòíèé ó÷åíûé áûë íàïðàâëåí íà ãîäîâóþ ñòàæèðîâêó â Ãåðìàíèþ, â Ãåòòèíãåíñêèé óíèâåðñèòåò –
öåíòð ìèðîâîé ìàòåìàòèêè òîãî âðåìåíè. Åãî ó÷èòåëÿìè ñòàëè Ãèëüáåðò, Ìèíêîâñêèé, Êëåéí. Âåðíóâøèñü
â Âåíó, îí çàíÿëñÿ íîâûì ïåðåäîâûì íàïðàâëåíèåì –
òåîðèåé ôóíêöèé. Â 1912 ãîäó Õåëëè ïóáëèêóåò ðàáîòó
«Über lineare Funktionaloperationen» (Î ëèíåéíûõ
ôóíêöèîíàëüíûõ îïåðàòîðàõ), ãäå äîêàçûâàåò äâå
ôóíäàìåíòàëüíûå òåîðåìû, êîòîðûå ñòàëè ïîòîì íàçûâàòüñÿ âòîðîé è òðåòüåé òåîðåìàìè Õåëëè, à êðîìå
òîãî, äîêàçûâàåò îäèí èç îñíîâîïîëàãàþùèõ ðåçóëüòàòîâ òåîðèè ôóíêöèé – òåîðåìó Õàíà–Áàíàõà (çà 15 ëåò
äî Õàíà è çà 20 – äî Áàíàõà!). Õåëëè îñîçíàåò
èñêëþ÷èòåëüíóþ âàæíîñòü âûïóêëîé ãåîìåòðèè è ÷åðåç ãîä äîêàçûâàåò «ïåðâóþ òåîðåìó Õåëëè». Äà, äà,
ïåðâàÿ òåîðåìà Õåëëè ïîÿâèëàñü íà ãîä ïîçæå âòîðîé
è òðåòüåé! Íî îïóáëèêîâàòü îí åå íå óñïåë. Â 1914 ãîäó
ãðÿíóëà ïåðâàÿ ìèðîâàÿ âîéíà, è ïîääàííûé ÀâñòðîÂåíãåðñêîé èìïåðèè Ýäâàðä Õåëëè áûë ïðèçâàí íà
âîñòî÷íûé ôðîíò – âîåâàòü ñ Ðîññèåé. Ïîñëå ãîäà
òÿæåëûõ áîåâ ëåéòåíàíò Õåëëè ïîëó÷èë ñìåðòåëüíîå
ðàíåíèå: ïóëÿ ïðîøëà ÷åðåç ëåãêîå. Îí ÷óäîì âûæèë,
ïîïàë â ðóññêèé ïëåí, íåñêîëüêî ëåò ïðîâåë â ðóññêèõ
ãîñïèòàëÿõ, à çàòåì â ëàãåðÿõ äëÿ âîåííîïëåííûõ â
Ñèáèðè.  1918 ãîäó âîéíà çàêîí÷èëàñü. Äëÿ âñåõ, íî
29.05.09, 14:01
ÊÂÀÍT 2009/¹3
íå äëÿ ïëåííûõ íà òåððèòîðèè Ðîññèè. Ïîñêîëüêó, êàê
ïèñàëè çàïàäíûå èñòîðèêè, «ðóññêèå àðìèè, âìåñòî
òîãî ÷òîáû ñëîæèòü îðóæèå, íà÷àëè âîåâàòü äðóã ñ
äðóãîì».  Ðîññèè íà÷àëàñü ãðàæäàíñêàÿ âîéíà, ãîëîä,
íåðàçáåðèõà. Õåëëè äîáðàëñÿ äî Âëàäèâîñòîêà, îòòóäà
– â ßïîíèþ, ÷åðåç âñþ Àçèþ – äîìîé. Ëèøü â 1920 ãîäó
åìó óäàëîñü âåðíóòüñÿ â Âåíó, ãäå îí (ïîñëå øåñòèëåòíåãî ïåðåðûâà!) âîçâðàùàåòñÿ ê íàó÷íûì çàíÿòèÿì è
ïîëó÷àåò ðÿä ñèëüíûõ ðåçóëüòàòîâ. Íåñìîòðÿ íà ýòî,
óñòðîèòüñÿ íà ïðåïîäàâàòåëüñêóþ ðàáîòó îí íå ñìîã:
âñå ìåñòà â óíèâåðñèòåòàõ áûëè çàíÿòû ìîëîäûìè, è
òðèäöàòèñåìèëåòíèé èíâàëèä âîéíû îêàçàëñÿ íèêîìó
íå íóæíûì. Íî Õåëëè íå ñäàåòñÿ: çàðàáàòûâàåò ðåïåòèòîðñòâîì, ïèøåò «ðåøåáíèêè», äàæå ðàáîòàåò â
áàíêå, à ïîñëå – â ñòðàõîâîé êîìïàíèè. Ïîñòåïåííî åãî
æèçíü óñòðàèâàåòñÿ, ñëóæáà â ñòðàõîâîé êîìïàíèè
ïðèíîñèò õîðîøèé äîõîä, îñòàâëÿÿ âðåìÿ äëÿ íàó÷íûõ
èññëåäîâàíèé, êîòîðûå îí íå ïðåêðàùàåò íè íà äåíü.
Êàçàëîñü áû – ÷åðíàÿ ïîëîñà â æèçíè ïðîøëà. Íî â
1938 ãîäó â Âåíó âõîäÿò íàöèñòû (ïå÷àëüíî èçâåñòíûé
«àíøëþñ Àâñòðèè»), è åâðåÿ Õåëëè óâîëüíÿþò, ïîäâåðãàþò ïðåñëåäîâàíèÿì. Îí ïðèíèìàåò ðåøåíèå ýìèãðèðîâàòü ñ ñåìüåé â ÑØÀ. Åñëè áû îí ýòîãî íå ñäåëàë,
òî, âåðîÿòíî, îêàçàëñÿ áû â ãàçîâîé êàìåðå. Æèçíü â
Àìåðèêå ïîíà÷àëó áûëà íåëåãêîé: ñòðàíà ïåðåïîëíåíà
ó÷åíûìè èç Åâðîïû, áåæàâøèìè îò ôàøèçìà. Ëèøü
ïîääåðæêà è ïîìîùü Àëüáåðòà Ýéíøòåéíà ïîçâîëèëè
Õåëëè ïîëó÷èòü ðàáîòó â óíèâåðñèòåòå, ãäå îí íàêîíåöòî ñìîã ïîëíîñòüþ ñêîíöåíòðèðîâàòüñÿ íà íàó÷íîé
ðàáîòå.
Ïðèëîæåíèÿ òåîðåìû Õåëëè
Ìû íà÷íåì ñ ïðèìåíåíèé òåîðåìû Õåëëè ê çàäà÷àì
ýëåìåíòàðíîé ãåîìåòðèè.
Çàäà÷à 1. Íà ïëîñêîñòè äàíî ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî òî÷åê. Ëþáûå òðè èç íèõ ìîæíî íàêðûòü êðóãîì
ðàäèóñà 1. Òîãäà 1 è âñå ìíîæåñòâî ìîæíî íàêðûòü
êðóãîì ðàäèóñà 1.
Ðåøåíèå. Ïðèìåíèì òåîðåìó Õåëëè ê ñåìåéñòâó
çàìêíóòûõ êðóãîâ åäèíè÷íîãî ðàäèóñà ñ öåíòðàìè â
òî÷êàõ äàííîãî ìíîæåñòâà. Ëþáûå òðè êðóãà ïåðåñåêàþòñÿ (èõ îáùàÿ òî÷êà – öåíòð åäèíè÷íîãî êðóãà,
êîòîðûé ïîêðûâàåò òðè ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êè). Çíà÷èò, âñå êðóãè èìåþò íåêîòîðóþ îáùóþ òî÷êó O. Òîãäà
åäèíè÷íûé êðóã ñ öåíòðîì O ñîäåðæèò âñå òî÷êè
íàøåãî ìíîæåñòâà.
Ðåøåíèå çàäà÷è 1 ñ ïðèìåíåíèåì òåîðåìû Õåëëè
ïîÿâèëîñü âïåðâûå â 1941 ãîäó â ðàáîòå Áëþìåíòàëÿ è
Âàëèíà. Îäíàêî â òîì æå ãîäó åãî íåçàâèñèìî ïîëó÷èë
ó÷åíèê 182 ìîñêîâñêîé øêîëû Ìèøà Áîíãàðä. Ñëó÷èëîñü ýòî òàê. Çàäà÷à 1 áûëà ïðåäëîæåíà íà ñåäüìîé
Ìîñêîâñêîé ìàòåìàòè÷åñêîé îëèìïèàäå øêîëüíèêîâ
âåñíîé 1941 ãîäà. Åå àâòîðû ïðåäïîëàãàëè äðóãîå
ðåøåíèå. Îäíàêî Ì.Áîíãàðä ñâåë çàäà÷ó ê òåîðåìå
Õåëëè, êîòîðóþ, êîíå÷íî æå, íå çíàë, íî äîñòàòî÷íî
áûñòðî äîêàçàë äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà âñå âûïóêëûå ôèãóðû – îäèíàêîâûå êðóãè.  òîì æå ãîäó òàëàíòëèâûé
1 Â ôîðìóëèðîâêàõ çàäà÷ è óïðàæíåíèé ìû áóäåì îïóñêàòü
ñëîâà «Äîêàæèòå, ÷òî...»
01-24.p65
10
øêîëüíèê ïîñòóïèë â óíèâåðñèòåò, íî íà÷àâøàÿñÿ
âîéíà ïðåðâàëà âñå æèçíåííûå ïëàíû. Îí óøåë íà
ôðîíò, áûë ðàíåí. Ïîñëå âîéíû Ìèõàèë Ìîèñååâè÷
Áîíãàðä ñòàë êðóïíåéøèì ìàòåìàòèêîì, îäíèì èç
îñíîâîïîëîæíèêîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ è
òåîðèè ðàñïîçíàâàíèÿ îáðàçîâ.
Âîò åùå îäíî ïðèìåíåíèå òåîðåìû Õåëëè ê ãåîìåòðè÷åñêîé çàäà÷å. Äàí ïðîèçâîëüíûé âûïóêëûé ñåìèóãîëüíèê. Ðàññìîòðèì âñåâîçìîæíûå âûïóêëûå ïÿòèóãîëüíèêè ñ âåðøèíàìè â âåðøèíàõ ñåìèóãîëüíèêà.
Ñêîëüêî âñåãî òàêèõ ïÿòèóãîëüíèêîâ? Ðîâíî 21. Â
ñàìîì äåëå, êàæäîìó ïÿòèóãîëüíèêó ñîîòâåòñòâóåò
ïàðà âåðøèí (ñåìèóãîëüíèêà), êîòîðûå îí íå ñîäåðæèò. Ïîýòîìó ïÿòèóãîëüíèêîâ ñòîëüêî, ñêîëüêî ïàð
âåðøèí ó ñåìèóãîëüíèêà, ÷òî ðàâíî ÷èñëó ñî÷åòàíèé èç
7×6
7 ïî 2, à ýòî
= 21 . Îêàçûâàåòñÿ, âñå ýòè ïÿòèóãîëü2
íèêè èìåþò îáùóþ òî÷êó!
Çàäà÷à 2. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî âûïóêëîãî ñåìèóãîëüíèêà âñå âûïóêëûå ïÿòèóãîëüíèêè ñ âåðøèíàìè â
âåðøèíàõ ñåìèóãîëüíèêà èìåþò îáùóþ òî÷êó.
Ðåøåíèå. Êàæäûé ïÿòèóãîëüíèê íå ñîäåðæèò ðîâíî
äâå âåðøèíû ñåìèóãîëüíèêà, ïîýòîìó ëþáûå òðè ïÿòèóãîëüíèêà èìåþò îáùóþ âåðøèíó, à çíà÷èò – ïåðåñåêàþòñÿ. Îñòàåòñÿ ïðèìåíèòü òåîðåìó Õåëëè.
Ñëåäóþùèé ïðèìåð – èç àëãåáðû. Íàïîìíèì, ÷òî
ëèíåéíûì íåðàâåíñòâîì ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè íàçûâàåòñÿ íåðàâåíñòâî âèäà ax + by + c < 0 (ñòðîãîå
íåðàâåíñòâî) èëè ax + by + c £ 0 (íåñòðîãîå).
Çàäà÷à 3. Äàíà ñèñòåìà èç 100 ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ. Åñëè ëþáûå òðè èç íèõ èìåþò îáùåå ðåøåíèå, òî è âñÿ ñèñòåìà èìååò ðåøåíèå.
Ðåøåíèå. Ìíîæåñòâî òî÷åê (x; y), óäîâëåòâîðÿþùèõ ëèíåéíîìó íåðàâåíñòâó, ÿâëÿåòñÿ ïîëóïëîñêîñòüþ, ëèáî, â èñêëþ÷èòåëüíîì ñëó÷àå, êîãäà a = b =
= 0, c < 0 (èëè c £ 0 ), ïëîñêîñòüþ.  ëþáîì ñëó÷àå
ýòî ìíîæåñòâî âûïóêëî. Òåïåðü ïðèìåíÿåì òåîðåìó
Õåëëè.
Çàäà÷à 4. Íà ïëîñêîñòè äàíû íåñêîëüêî ïàðàëëåëüíûõ îòðåçêîâ. Èçâåñòíî, ÷òî äëÿ ëþáûõ òðåõ îòðåçêîâ íàéäåòñÿ ïðÿìàÿ, èõ ïåðåñåêàþùàÿ. Òîãäà ñóùåñòâóåò ïðÿìàÿ, ïåðåñåêàþùàÿ âñå ýòè îòðåçêè.
Ôîðìóëèðîâêà ýòîé çàäà÷è âïîëíå ýëåìåíòàðíà, à
âîò ðåøåíèå – íåò. Íóæíî áóäåò ðàññìîòðåòü âûïóêëûå
ìíîæåñòâà, ñîñòîÿùèå íå èç òî÷åê, à èç ïðÿìûõ. Ñ ýòèì
ïðèåìîì ìû âñòðåòèìñÿ è â äàëüíåéøåì.
Ðåøåíèå. Ââåäåì ñèñòåìó êîîðäèíàò òàê, ÷òî îñü
Oy ïàðàëëåëüíà äàííûì îòðåçêàì. Ëþáîé èç îòðåçêîâ
ñîñòîèò èç òî÷åê (x;y), äëÿ êîòîðûõ x = x0 , y1 £
£ y £ y2 , ãäå x0 , y1, y2 – íåêîòîðûå ÷èñëà. Ïðÿìàÿ
y = kx + b ïåðåñåêàåò ýòîò îòðåçîê, åñëè y1 £ kx0 +
+ b £ y2 . Ïîñòàâèì ýòîé ïðÿìîé â ñîîòâåòñòâèå òî÷êó
(k;b) Î ¡2 . Ìíîæåñòâî òî÷åê-ïðÿìûõ (k;b), ïåðåñåêàþùèõ äàííûé îòðåçîê, óäîâëåòâîðÿåò äâóì ëèíåéíûì
íåðàâåíñòâàì, à çíà÷èò – âûïóêëî. Ëþáûå òðè òàêèõ
ìíîæåñòâà ïåðåñåêàþòñÿ, ïîñêîëüêó ñóùåñòâóåò ïðÿìàÿ, ïåðåñåêàþùàÿ òðè îòðåçêà. Ïîýòîìó âñå ìíîæåñòâà èìåþò îáùóþ òî÷êó, ò.å. ñóùåñòâóåò ïðÿìàÿ,
ïåðåñåêàþùàÿ âñå îòðåçêè.
29.05.09, 14:01
ÒÅÎÐÅÌÀ
ÕÅËËÈ
È
ÂÎÊÐÓÃ
ÍÅÅ
Óïðàæíåíèÿ
4. Ñôîðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîã çàäà÷è 1 â ïðîñòðàíñòâå ¡3 .
5. Íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè äàíî íåñêîëüêî âåðòèêàëüíûõ îòðåçêîâ. Åñëè äëÿ ëþáûõ òðåõ îòðåçêîâ ñóùåñòâóåò
ïàðàáîëà y = x2 + px + q , êîòîðàÿ èõ ïåðåñåêàåò, òî íàéäåòñÿ òàêàÿ ïàðàáîëà, ïåðåñåêàþùàÿ ñðàçó âñå îòðåçêè.
Òåîðåìà Ìèíêîâñêîãî–Ðàäîíà
Òåïåðü ïåðåéäåì ê áîëåå çíà÷èìûì ïðèëîæåíèÿì
òåîðåìû Õåëëè, ñîñòàâëÿþùèì âïîëíå ñàìîñòîÿòåëüíûå è âàæíûå òåîðåìû. Ïåðâàÿ èç íèõ áûëà äîêàçàíà
â 1911 ãîäó âåëèêèì íåìåöêèì ìàòåìàòèêîì Ãåðìàíîì
Ìèíêîâñêèì (1864–1909), îäíèì èç îñíîâàòåëåé âûïóêëîé ãåîìåòðèè è âûïóêëîãî àíàëèçà, à çàòåì óñèëåíà åãî ó÷åíèêîì Èîãàíåñîì Ðàäîíîì (1887–1956). Ýòà
òåîðåìà óñòàíàâëèâàåò îäíî îáùåå ãåîìåòðè÷åñêîå ñâîéñòâî âñåõ âûïóêëûõ ìíîæåñòâ.
Òåîðåìà 2 (Ìèíêîâñêèé, 1911; Ðàäîí,1916). Âíóòðè ïðîèçâîëüíîãî îãðàíè÷åííîãî âûïóêëîãî ìíîæåñòâà â ïðîñòðàíñòâå ¡ d íàéäåòñÿ òî÷êà M, îáëàäàþùàÿ ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: äëÿ ëþáîé õîðäû AB,
AM
£d.
ïðîõîäÿùåé ÷åðåç M, èìååì
BM
Äëÿ äàííîãî îãðàíè÷åííîãî âûïóêëîãî ìíîæåñòâà G
íàèìåíüøåå ÷èñëî γ , äëÿ êîòîðîãî íàéäåòñÿ òî÷êà M
AM
£ γ äëÿ ëþáîé õîðäû AB, ïðîõîäÿùåé
òàêàÿ, ÷òî
BM
÷åðåç M, íàçûâàåòñÿ êîíñòàíòîé Ìèíêîâñêîãî–Ðàäîíà. Ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ýòó êîíñòàíòó γ (G ) . ßñíî,
÷òî âñåãäà γ (G ) ³ 1 . Â ñàìîì äåëå, äëÿ ïðîèçâîëüíîé
AM
³ 1 , èíà÷å ïîìåíÿåì
õîðäû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî
BM
ìåñòàìè òî÷êè A è B. C äðóãîé ñòîðîíû, íàïðèìåð, äëÿ
êðóãà íà ïëîñêîñòè γ (G ) = 1 , òî æå – äëÿ øàðà â
ïðîñòðàíñòâå ¡ 3 . Ýòî æå âåðíî äëÿ ëþáîé öåíòðàëüíîñèììåòðè÷íîé âûïóêëîé ôèãóðû, ïîñêîëüêó, ïîìåñòèâ
AM
= 1 äëÿ
òî÷êó M â öåíòð ñèììåòðèè, ïîëó÷èì
BM
ëþáîé õîðäû. Ïîýòîìó äëÿ ïðÿìîóãîëüíèêà èëè äëÿ
êóáà êîíñòàíòà Ìèíêîâñêîãî–Ðàäîíà ðàâíà 1. Âåðíî è
îáðàòíîå: åñëè γ (G ) = 1 , òî ôèãóðà G èìååò öåíòð
ñèììåòðèè (óïðàæíåíèå 6). Òàêèì îáðàçîì, êîíñòàíòà
Ìèíêîâñêîãî–Ðàäîíà – ýòî ñâîåãî ðîäà ìåðà íåñèììåòðè÷íîñòè ôèãóðû. Òåîðåìà 2 óòâåðæäàåò, ÷òî «ñëèøêîì íåñèììåòðè÷íûõ» âûïóêëûõ ôèãóð íå áûâàåò, äëÿ
êàæäîé èç íèõ γ £ d . Òàê, ó ëþáîé ïëîñêîé ôèãóðû
γ £ 2 , à ó ëþáîé ïðîñòðàíñòâåííîé γ £ 3 .
Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì äëÿ ïëîñêîñòè (d = 2).
Äëÿ êàæäîé òî÷êè A Î G îáîçíà÷èì ÷åðåç G A ôèãó2
ðó, ãîìîòåòè÷íóþ G ñ êîýôôèöèåíòîì îòíîñèòåëüíî
3
òî÷êè A. Èíûìè ñëîâàìè, G A ïîëó÷àåòñÿ èç ôèãóðû
2
G ñæàòèåì îòíîñèòåëüíî òî÷êè A ñ êîýôôèöèåíòîì .
3
Äëÿ ëþáûõ òðåõ òî÷åê A1, A2, A3 Î G ôèãóðû G A1 , G A2
è G A3 èìåþò îáùóþ òî÷êó K – òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ
ìåäèàí òðåóãîëüíèêà A1 A2 A3 (ðèñ.5). Â ñàìîì äåëå,
åñëè P – ñåðåäèíà îòðåçêà A2 A3 , òî ïî ñâîéñòâó ìåäèàí
A1K 2
= , à òàê êàê P Î G (âûïóêëîñòü!), òî K Î G A1 .
A1P 3
01-24.p65
11
Ðèñ. 5
Ðèñ. 6
Àíàëîãè÷íî, K Î G A2 è K Î G A3 . Ïðèìåíèâ òåîðåìó
Õåëëè, ïîëó÷àåì, ÷òî âñå ôèãóðû G A , A Î G , ïåðåñåêàþòñÿ â íåêîòîðîé òî÷êå M (ðèñ.6). Åñëè ïðîâåñòè
AM 2
£ , ïî÷åðåç M ïðîèçâîëüíóþ õîðäó AB, òî
AB
3
AM
£ 2.
ñêîëüêó M Î G A , à çíà÷èò,
BM
Êàêàÿ æå ôèãóðà ÿâëÿåòñÿ ñàìîé íåñèììåòðè÷íîé,
ò.å. ó êàêîé ôèãóðû γ = d ? Îòâåò âïîëíå îæèäàåì: íà
ïëîñêîñòè – ýòî òðåóãîëüíèê, ïðè÷åì ëþáîé, à â
ïðîñòðàíñòâå – òåòðàýäð (óïðàæíåíèå 8). Óäèâèòåëüíî
äðóãîå. Îêàçûâàåòñÿ, ýòî – åäèíñòâåííûå ôèãóðû (â
ðàçìåðíîñòÿõ 2 è 3), äëÿ êîòîðûõ êîíñòàíòà Ìèíêîâñêîãî–Ðàäîíà ðàâíà d, ó âñåõ îñòàëüíûõ ôèãóð îíà
ìåíüøå!
Óïðàæíåíèÿ
6. Åñëè êîíñòàíòà Ìèíêîâñêîãî–Ðàäîíà çàìêíóòîãî âûïóêëîãî ìíîæåñòâà ðàâíà 1, òî ìíîæåñòâî èìååò öåíòð
ñèììåòðèè.
7. Äîêàæèòå òåîðåìó Ìèíêîâñêîãî–Ðàäîíà â ¡3 .
8. Äëÿ ëþáîãî òðåóãîëüíèêà γ = 2 , à äëÿ ëþáîãî òåòðàýäðà
γ = 3.
9. Âû÷èñëèòå êîíñòàíòó Ìèíêîâñêîãî–Ðàäîíà
a) äëÿ òðàïåöèè ñî ñòîðîíàìè 1,1,1 è 2;
á) äëÿ ïðÿìîãî êðóãîâîãî êîíóñà;
â) äëÿ ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé ïðèçìû.
3
10. Ïðèâåäèòå ïðèìåð ïëîñêîé ôèãóðû, ó êîòîðîé γ = .
2
11*. Åñëè äëÿ ïëîñêîé ôèãóðû γ = 2 , òî ýòî òðåóãîëüíèê.
Åñëè äëÿ âûïóêëîãî òåëà â ¡3 γ = 3 , òî ýòî òåòðàýäð.
(Ôèãóðó è òåëî ñ÷èòàåì çàìêíóòûìè.)
Íåðàâåíñòâî Þíãà
Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî íà ïëîñêîñòè, êîíå÷íîå èëè áåñêîíå÷íîå, âûïóêëîå èëè íåò. Èçâåñòíî,
÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ åãî òî÷êàìè íå
ïðåâîñõîäèò 1. Èíòåðåñíî, êðóãîì êàêîãî ðàäèóñà
ìîæíî íàêðûòü ýòî ìíîæåñòâî? ×òîáû ñòðîãî ïîñòàâèòü çàäà÷ó, ìû îãðàíè÷èìñÿ çàìêíóòûìè ìíîæåñòâàìè (ýòî ñäåëàíî äëÿ óäîáñòâà è, âîîáùå ãîâîðÿ, íåñóùåñòâåííî) è ââåäåì äâà îáîçíà÷åíèÿ.
Äèàìåòðîì îãðàíè÷åííîãî çàìêíóòîãî ìíîæåñòâà
íàçûâàåòñÿ íàèáîëüøåå ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ åãî
òî÷êàìè. Äèàìåòð ìíîæåñòâà ìû áóäåì îáîçíà÷àòü
áóêâîé D, à íàèìåíüøèé ðàäèóñ êðóãà (â ¡ 3 – øàðà),
â êîòîðîì ïîìåùàåòñÿ ýòî ìíîæåñòâî, – ÷åðåç R. ßñíî,
÷òî âñåãäà R £ D . Â ñàìîì äåëå, êðóã (øàð) ðàäèóñà
29.05.09, 14:01
ÊÂÀÍT 2009/¹3
D ñ öåíòðîì â ëþáîé èç òî÷åê äàííîãî ìíîæåñòâà
ñîäåðæèò âñå ìíîæåñòâî. Ìîæíî ëè îáîéòèñü ìåíüøèì
ðàäèóñîì – âîò âîïðîñ. Äëÿ íåêîòîðûõ ìíîæåñò⠖ äà.
Íàïðèìåð, ïðÿìîóãîëüíèê äèàìåòðà D ìîæíî íàêðûòü
êðóãîì ðàäèóñà D/2. Äåéñòâèòåëüíî, äèàìåòð ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâåí åãî äèàãîíàëè, à ðàäèóñ îïèñàííîãî
êðóãà ðàâåí åå ïîëîâèíå. Òàê ÷òî äëÿ ïðÿìîóãîëüíèêà
R = D/2. Íà ñàìîì äåëå ýòî âåðíî äëÿ ëþáîãî
ìíîæåñòâà, èìåþùåãî öåíòð ñèììåòðèè (óïðàæíåíèå
12). À âîò äëÿ ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà ðàäèóñ
3
D . Îêàçûíàêðûâàþùåãî êðóãà ÷óòü áîëüøå: R =
3
âàåòñÿ, ÷òî òàêîãî ðàäèóñà õâàòèò íå òîëüêî äëÿ
òðåóãîëüíèêà, íî è äëÿ ëþáîãî ïëîñêîãî ìíîæåñòâà.
Ýòà òåîðåìà áûëà äîêàçàíà â 1901 ã. íåìåöêèì ìàòåìàòèêîì Ãåíðèõîì Þíãîì.
Òåîðåìà 3 (Þíã, 1901). Ëþáîå îãðàíè÷åííîå çàìêíóòîå ìíîæåñòâî A Ì ¡ d äèàìåòðà D ìîæíî ïîìåñòèòü â øàð ðàäèóñà
d
D.
2 ( d + 1)
d
D . Ýòî – íåðàâåíñòâî Þíãà
2 ( d + 1)
ìåæäó äèàìåòðîì ìíîæåñòâà è ðàäèóñîì íàêðûâàþùåãî øàðà. Òàê, äëÿ ëþáîãî ïëîñêîãî ìíîæåñòâà
2
3
R£D
D . Êàê ìû âèäåëè, ðàâåíñòâî
=
2 (2 + 1)
3
äîñòèãàåòñÿ äëÿ ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà. À äëÿ
Èòàê, R £
ëþáîãî ìíîæåñòâà â ¡ 3 ïîëó÷àåì R £ D
3
=
2 ( 3 + 1)
3
D , ÷òî â òî÷íîñòè ñîîòâåòñòâóåò ïðàâèëüíîìó
8
òåòðàýäðó.
Íåðàâåíñòâî Þíãà äîêàçàíî çà 12 ëåò äî ïîÿâëåíèÿ
òåîðåìû Õåëëè. Íî ìàòåìàòèêà íå âñåãäà ïîä÷èíÿåòñÿ
õðîíîëîãèè. È íåðàâåíñòâî Þíãà – åñòåñòâåííîå ñëåäñòâèå òåîðåìû Õåëëè. À óâèäåòü ýòî íàì ïîìîæåò
çàäà÷à 1 (ñì. âûøå). Ìû äîêàæåì òåîðåìó 3 ïîêà
òîëüêî äëÿ ïëîñêèõ ìíîæåñòâ, ò.å. ïðè d = 2.
3
D
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3. Îáîçíà÷èì R2 =
3
è äîêàæåì, ÷òî ëþáûå òðè òî÷êè ìíîæåñòâà A ìîæíî
íàêðûòü êðóãîì ðàäèóñà R2 . Âîñïîëüçîâàâøèñü çàäà÷åé 1, ïîëó÷èì, ÷òî ìíîæåñòâî A öåëèêîì íàêðûâàåòñÿ
êðóãîì ðàäèóñà R2 , ÷òî è íóæíî. Âîçüìåì ëþáûå òðè
òî÷êè ìíîæåñòâà A. Îíè ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìè òðåóãîëüíèêà , , âñå ñòîðîíû êîòîðîãî íå ïðåâîñõîäÿò D.
Åñëè , – ïðÿìîóãîëüíûé èëè òóïîóãîëüíûé (âêëþ÷àÿ
âûðîæäåííûé ñëó÷àé, êîãäà âåðøèíû ëåæàò íà îäíîé
ïðÿìîé), òî êðóã, ïîñòðîåííûé íà åãî íàèáîëüøåé
ñòîðîíå êàê íà äèàìåòðå, ñîäåðæèò , . Ðàäèóñ ýòîãî
êðóãà íå ïðåâîñõîäèò D/2, ÷òî äàæå ìåíüøå, ÷åì
íóæíî. Åñëè æå , – îñòðîóãîëüíûé, òî íàèáîëüøèé èç
åãî óãëîâ ³ 60° , è ïî òåîðåìå ñèíóñîâ ðàäèóñ åãî
=
3
D
=
D.
2 sin 60°
3
Òåïåðü âïîëíå îæèäàåìî áûëî áû óïðàæíåíèå äëÿ
÷èòàòåëÿ «äîêàæèòå òåîðåìó 3 â ïðîñòðàíñòâå ¡ 3 ».
îïèñàííîãî êðóãà íå ïðåâîñõîäèò
01-24.p65
12
Îäíàêî, â îòëè÷èå îò ïðåäûäóùèõ ïðèìåðîâ, ñäåëàòü
ýòî íå òàê ïðîñòî, òðåõìåðíûé ñëó÷àé çäåñü ñèëüíî
îòëè÷àåòñÿ îò ïëîñêîãî. Ïðè÷åì íà÷àëî äîêàçàòåëüñòâà
ñîâïàäàåò ïî÷òè äîñëîâíî: ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Õåëëè
òåîðåìà 3 ñâîäèòñÿ ê ÷åòûðåì òî÷êàì (óïðàæíåíèå 4),
ò.å. ê ñëåäóþùåìó óòâåðæäåíèþ:
Òåòðàýäð, âñå ðåáðà êîòîðîãî íå ïðåâîñõîäÿò D,
3
D.
8
Îñòàëîñü «âñåãî ëèøü» ýòî äîêàçàòü. Çäåñü, îäíàêî,
íàñ ïîäñòåðåãàþò òðóäíîñòè. Íàøå ðàññóæäåíèå ñ
òðåóãîëüíèêîì íåëüçÿ ïðÿìî ïåðåíåñòè íà òåòðàýäð.
Íåÿñíî, ÷òî çíà÷èò «òóïîóãîëüíûé òåòðàýäð», è íåò
òåîðåìû ñèíóñîâ, ñ ïîìîùüþ êîòîðîé ìîæíî áûëî áû
íàéòè ðàäèóñ îïèñàííîé ñôåðû ÷åðåç äëèíó ðåáðà.
Ïðèäåòñÿ èäòè äðóãèì, áîëåå äëèííûì ïóòåì.
ñîäåðæèòñÿ â êðóãå ðàäèóñà R3 =
×èòàòåëü ìîæåò ïðîïóñòèòü ýòî ðàññóæäåíèå è ñðàçó
ïåðåéòè ê óïðàæíåíèÿì èëè ê ñëåäóþùåìó ðàçäåëó. À äëÿ
òåõ, êòî âñå æå õî÷åò ðàçîáðàòüñÿ ñ òðåõìåðíûì íåðàâåíñòâîì Þíãà, ìû íàìåòèì êîíòóðû äîêàçàòåëüñòâà.
1) Âîçüìåì øàð íàèìåíüøåãî ðàäèóñà, ñîäåðæàùèé äàííûé òåòðàýäð , . Ýòî, íåâèííîå íà ïåðâûé âçãëÿä, ïðåäïîëîæåíèå âûçîâåò ïðîòåñò ó âñÿêîãî ìàòåìàòèêà. À ïî÷åìó
òàêîé øàð ñóùåñòâóåò, ïî÷åìó íàèìåíüøèé ðàäèóñ äîñòèãàåòñÿ? Ýòîò ôàêò òðåáóåò îáúÿñíåíèÿ!  äàííîì ñëó÷àå
íàèìåíüøèé øàð äåéñòâèòåëüíî ñóùåñòâóåò, è ìàòåìàòèê
ñêàæåò, ÷òî «ýòî ñëåäóåò èç ñîîáðàæåíèé êîìïàêòíîñòè».
Ìû íå áóäåì ïðèâîäèòü ñòðîãîãî äîêàçàòåëüñòâà, ýòî çàâåëî
áû íàñ ñëèøêîì äàëåêî â îáëàñòü ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà.
Ïîâåðèì, ÷òî íàèìåíüøèé øàð ñóùåñòâóåò.
2) Èòàê, ó êàæäîãî òåòðàýäðà , åñòü øàð íàèìåíüøåãî
ðàäèóñà, åãî ñîäåðæàùèé. Îáîçíà÷èì ðàäèóñ ýòîãî øàðà êàê
R , . Ñðåäè âñåõ òåòðàýäðîâ, ó êîòîðûõ äëèíû ðåáåð íå
ïðåâîñõîäÿò D, íàéäåòñÿ òåòðàýäð ñ íàèáîëüøèì çíà÷åíèåì
R , . Ìû âíîâü îïóñòèì äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî ýòîò
òåòðàýäð ñóùåñòâóåò, ñêàæåì òîëüêî, ÷òî ýòî îïÿòü «ñëåäóåò
èç ñîîáðàæåíèé êîìïàêòíîñòè». Íàçîâåì ýòîò òåòðàýäð
A1 A2 A3 A4 . Íàì íóæíî äîêàçàòü, ÷òî R , £ R3 .
3) Åñëè íè îäíà èç âåðøèí òåòðàýäðà íå ëåæèò íà ïîâåðõíîñòè íàèìåíüøåãî øàðà, òî ðàäèóñ øàðà ìîæíî óìåíüøèòü
òàê, ÷òîáû îí ïî-ïðåæíåìó ñîäåðæàë òåòðàýäð. Çíà÷èò, øàð
– íå íàèìåíüøèé. Òî æå, åñëè òîëüêî îäíà âåðøèíà ëåæèò íà
ïîâåðõíîñòè øàðà. Åñëè ðîâíî äâå âåðøèíû, íàïðèìåð A1 è
A2 , ëåæàò íà ïîâåðõíîñòè øàðà, òî A1 A2 – åãî äèàìåòð,
èíà÷å ðàäèóñ øàðà âíîâü ìîæíî óìåíüøèòü. Ñëåäîâàòåëüíî,
1
1
â ýòîì ñëó÷àå R , = A1 A2 £ D < R3 . Íàêîíåö, åñëè
2
2
ðîâíî òðè âåðøèíû, íàïðèìåð, A1, A2 è A3 , ëåæàò íà
ïîâåðõíîñòè øàðà, òî åãî öåíòð ëåæèò â ïëîñêîñòè A1 A2 A3 ,
à ñå÷åíèå øàðà ýòîé ïëîñêîñòüþ åñòü êðóã íàèìåíüøåãî
ðàäèóñà, ñîäåðæàùèé òðåóãîëüíèê A1 A2 A3 , â ïðîòèâíîì
ñëó÷àå îïÿòü ðàäèóñ øàðà ìîæíî óìåíüøèòü. Ñîãëàñíî
äîêàçàííîìó íàìè íåðàâåíñòâó Þíãà äëÿ ïëîñêîñòè, ðàäèóñ
êðóãà, à çíà÷èò è ðàâíûé åìó ðàäèóñ øàðà, íå ïðåâîñõîäèò
R2 , ÷òî ìåíüøå R3 . Èòàê, îñòàëñÿ ïîñëåäíèé ñëó÷àé: âñå
÷åòûðå âåðøèíû òåòðàýäðà ëåæàò íà ïîâåðõíîñòè øàðà, ò.å.
îí ÿâëÿåòñÿ îïèñàííûì øàðîì òåòðàýäðà.
4) Åñëè òåòðàýäð , – ïðàâèëüíûé ñ äëèíîé ðåáðà D, òî
ðàäèóñ åãî îïèñàííîãî øàðà êàê ðàç ðàâåí R3 . Åñëè æå
òåòðàýäð íå ïðàâèëüíûé, òî îäíî èç åãî ðåáåð, íàïðèìåð
A3 A4 , ìåíüøå D. Çàôèêñèðóåì ãðàíü A1 A2 A3 , à ãðàíü
A1 A2 A4 áóäåì ïîâîðà÷èâàòü îòíîñèòåëüíî ðåáðà A1 A2 . Òàêèì îáðàçîì, ìû ìåíÿåì äâóãðàííûé óãîë ìåæäó ãðàíÿìè, à
29.05.09, 14:01
ÒÅÎÐÅÌÀ
ÕÅËËÈ
ñàìè ãðàíè íå èçìåíÿåì. Ïî
êàêîé ëèíèè áóäåò äâèãàòüñÿ
ïðè ýòîì öåíòð O îïèñàííîãî
øàðà òåòðàýäðà? Ïî ïåðïåíäèêóëÿðó, âîññòàâëåííîìó ê
ãðàíè A1 A2 A3 â öåíòðå åå îïèñàííîé îêðóæíîñòè (ðèñ.7).
×åì áëèæå òî÷êà O ê ïëîñêîñòè ãðàíè, òåì ìåíüøå ðàäèóñ
îïèñàííîãî øàðà, à ÷åì äàëüøå – òåì áîëüøå. Çíà÷èò, íåìíîãî èçìåíèâ äâóãðàííûé
Ðèñ. 7
óãîë – ëèáî óâåëè÷èâ, ëèáî
óìåíüøèâ åãî, ìîæíî ïåðåìåñòèòü òî÷êó O äàëüøå îò ãðàíè,
à çíà÷èò, óâåëè÷èòü ðàäèóñ îïèñàííîãî øàðà. Ïðè÷åì, òàê
êàê äâóãðàííûé óãîë èçìåíèëñÿ ìàëî, ðåáðî A3 A4 êàê áûëî,
òàê è îñòàíåòñÿ ìåíüøå D, à äëèíû îñòàëüíûõ ðåáåð íå
ïîìåíÿëèñü âîâñå. Çíà÷èò, òåòðàýäðó , íå ñîîòâåòñòâîâàë
íàèáîëüøèé ðàäèóñ øàðà. Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå, ÷åì è
çàâåðøàåòñÿ äîêàçàòåëüñòâî.
Óïðàæíåíèÿ
12. Äëÿ ëþáîãî öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íîãî ìíîæåñòâà R =
= D/2.
13. Âåðíî ëè, ÷òî åñëè R = D/2, òî ìíîæåñòâî èìååò öåíòð
ñèììåòðèè?
14. Âåðíî ëè, ÷òî åñëè äëÿ âûïóêëîãî ïëîñêîãî ìíîæåñòâà
3
R=
D , òî ýòî – ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê?
3
Çâåçäíûå ìíîæåñòâà è òåîðåìà Êðàñíîñåëüñêîãî
Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî ìû ïîïàëè â êîìíàòó âåñüìà
ïðè÷óäëèâîé ôîðìû, íå ïðÿìîóãîëüíóþ è äàæå íå
âûïóêëóþ. Èç êàæäîãî ìåñòà â êîìíàòå ìû ìîæåì
ðàçãëÿäåòü ëèøü íåêîòîðóþ åå ÷àñòü. Åñëè æå íàì
óäàëîñü íàéòè òî÷êó, èç êîòîðîé âèäíà âñÿ êîìíàòà, òî
êîìíàòà íàçûâàåòñÿ çâåçäíîé îòíîñèòåëüíî ýòîé òî÷êè.
Èòàê, îãðàíè÷åííîå çàìêíóòîå ìíîæåñòâî G íàçûâàåòñÿ çâåçäíûì, åñëè îíî ñîäåðæèò íåêîòîðóþ òî÷êó K,
èç êîòîðîé âèäíî âñå ìíîæåñòâî (ðèñ.8). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîé òî÷êè
X Î G îòðåçîê KX ëåæèò â
G. Ãîâîðÿò åùå, ÷òî G çâåçäíî îòíîñèòåëüíî òî÷êè K.
Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç íåñêîëüêèõ îòðåçêîâ, âûõîäÿùèõ èç îäíîé òî÷êè, çâåçäíî (îòíîñèÐèñ. 8
òåëüíî ýòîé òî÷êè), õîòÿ
îíî íå âûïóêëî. À âûïóêëûå ìíîæåñòâà – ýòî òå,
êîòîðûå çâåçäíû îòíîñèòåëüíî êàæäîé ñâîåé òî÷êè.
Çà÷åì íóæíû çâåçäíûå ìíîæåñòâà? Âî ìíîãèõ çàäà÷àõ ìàòåìàòèêè èíòåðåñóþùåå íàñ ìíîæåñòâî íå ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì, íî ÷àñòî îáëàäàåò êàêèì-òî äðóãèì,
áîëåå ñëàáûì ñâîéñòâîì. Çâåçäíîñòü – îäíî èç òàêèõ
ñâîéñòâ. Êàê îïðåäåëèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè ìíîæåñòâî çâåçäíûì? Äëÿ ýòîãî åñòü ñëåäóþùèé çàìå÷àòåëüíûé êðèòåðèé, äîêàçàííûé Ìàðêîì Àëåêñàíäðîâè÷åì Êðàñíîñåëüñêèì (1920–1997), âûäàþùèìñÿ ñîâåòñêèì ìàòåìàòèêîì. Ïîëó÷èë îí ýòîò ðåçóëüòàò áóäó÷è åùå ñîâñåì
ìîëîäûì ÷åëîâåêîì, êîãäà, ïðèçâàííûé â Êðàñíóþ
01-24.p65
13
È
ÂÎÊÐÓÃ
ÍÅÅ
!
Àðìèþ, ïðåïîäàâàë à àðòèëëåðèéñêîì ó÷èëèùå â ãîðîäå Òàëãàð, áëèç Àëìà-Àòû. Ýòà òåîðåìà – îäèí èç
ïåðâûõ ðåçóëüòàòîâ Êðàñíîñåëüñêîãî, ïðèíåñøèõ åìó
âñåìèðíóþ èçâåñòíîñòü. Ìû ñôîðìóëèðóåì åå òîëüêî
äëÿ ïëîñêîñòè, õîòÿ òî÷íî òàê æå îíà äîêàçûâàåòñÿ è
äëÿ ìíîæåñòâ â ïðîñòðàíñòâå (íàäî òîëüêî â ôîðìóëèðîâêå çàìåíèòü «òðè òî÷êè» íà «÷åòûðå»).
Òåîðåìà 4 (Êðàñíîñåëüñêèé, 1946). Åñëè ëþáûå òðè
òî÷êè ïëîñêîãî ìíîæåñòâà G âèäíû èç íåêîòîðîé åãî
òî÷êè, òî íàéäåòñÿ òî÷êà, èç êîòîðîé âèäíî âñå
ìíîæåñòâî (ò.å. G – çâåçäíî).
Âåðíóâøèñü ê àíàëîãèè ñ êîìíàòîé, ïðåäñòàâèì, ÷òî
íà åå ñòåíàõ âåçäå âèñÿò êàðòèíû. Òîãäà åñëè ëþáûå òðè
êàðòèíû ìîæíî îäíîâðåìåííî óâèäåòü èç ïîäõîäÿùåãî
ìåñòà â êîìíàòå, òî íàéäåòñÿ òî÷êà, èç êîòîðîé âèäíû
ñðàçó âñå êàðòèíû.
Ðîäñòâî ñ òåîðåìîé Õåëëè âèäíî ñðàçó: «åñëè êàæäûå òðè – òî è âñå...» Íî äî äîêàçàòåëüñòâà åùå äàëåêî,
ñíà÷àëà íóæíà ïðåäâàðèòåëüíàÿ ðàáîòà. Ïåðâîå – íàì
ïîíàäîáèòñÿ ïîíÿòèå âûïóêëîé îáîëî÷êè.
Âûïóêëîé îáîëî÷êîé ìíîæåñòâà A íàçûâàåòñÿ ïåðåñå÷åíèå âñåõ âûïóêëûõ ìíîæåñòâ, ñîäåðæàùèõ A. Äëÿ
ïîëó÷åíèÿ âûïóêëîé îáîëî÷êè íóæíî âçÿòü âñå âûïóêëûå ìíîæåñòâà, ñîäåðæàùèå A, è ïåðåñå÷ü. Ïîëó÷èì
âûïóêëîå ìíîæåñòâî (êàê ïåðåñå÷åíèå âûïóêëûõ ìíîæåñòâ). Ëþáîå âûïóêëîå ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå A,
ñîäåðæèò è åãî âûïóêëóþ îáîëî÷êó (äîêàæèòå ýòî).
Èòàê, âûïóêëàÿ îáîëî÷êà – ýòî íàèìåíüøåå âûïóêëîå
ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå A. Íåñêîëüêî ïðèìåðîâ ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 9.
Ðèñ. 9
È åùå îäèí ôàêò, êîòîðûé ìû èñïîëüçóåì â äîêàçàòåëüñòâå. Äëÿ ëþáûõ îãðàíè÷åííûõ çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ A è B ñðåäè âñåõ îòðåçêîâ, ñîåäèíÿþùèõ òî÷êó
èç A ñ òî÷êîé èç B, ñóùåñòâóåò ñàìûé êîðîòêèé. Èíûìè
ñëîâàìè, ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ îãðàíè÷åííûìè çàìêíóòûìè ìíîæåñòâàìè âñåãäà äîñòèãàåòñÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 4. Äëÿ êàæäîé òî÷êè X Î G
îáîçíà÷èì ÷åðåç VX ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê ìíîæåñòâà G, èç êîòîðûõ âèäíà òî÷êà X. Ïî óñëîâèþ,
ëþáûå òðè ìíîæåñòâà VX1 , VX2 è VX3 ïåðåñåêàþòñÿ.
Íà ýòîì ìåñòå ìîæíî âñïîìíèòü ãîãîëåâñêóþ Àãàôüþ
Òèõîíîâíó: «Àõ, åñëè áû ãóáû Íèêàíîðà Èâàíîâè÷à äà
ïðèñòàâèòü ê íîñó Èâàíà Êóçüìè÷à...» Àõ, åñëè áû ýòè
ìíîæåñòâà áûëè âûïóêëû! Òîãäà èç òåîðåìû Õåëëè
íåìåäëåííî ïîëó÷èëîñü áû, ÷òî âñå îíè èìåþò îáùóþ
òî÷êó, èç êîòîðîé áûëî áû âèäíî âñå ìíîæåñòâî G. Íî,
óâû! Îíè ìîãóò áûòü íåâûïóêëû (ðèñ. 10).
Ïîïðîáóåì îáîéòè ýòó òðóäíîñòü. Ðàññìîòðèì íå
ñàìè ìíîæåñòâà VX , à èõ âûïóêëûå îáîëî÷êè. Ê íèì
ìû ìîæåì ïðèìåíèòü òåîðåìó Õåëëè. Ïîëó÷àåì, ÷òî
ñóùåñòâóåò òî÷êà C, ïðèíàäëåæàùàÿ âûïóêëûì îáî-
29.05.09, 14:16
"
ÊÂÀÍT 2009/¹3
ëî÷êàì âñåõ ìíîæåñòâ VX ,
X Î G . Íî áóäåò ëè âñå ìíîæåñòâî G âèäíî èç òî÷êè C? Îêàçûâàåòñÿ, äà. Õîòÿ ïîêà íå î÷åâèäíî äàæå, ÷òî òî÷êà C ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó G, âåäü
ýòî ìíîæåñòâî íå âûïóêëî!
Èòàê, äîêàæåì îò ïðîòèâíîãî,
÷òî ìíîæåñòâî G çâåçäíî îòíîÐèñ. 10
ñèòåëüíî òî÷êè C. Ïóñòü ýòî íå
òàê, è íåêîòîðàÿ òî÷êà N Î G íå âèäíà èç C. Ýòî
çíà÷èò, ÷òî íåêîòîðàÿ òî÷êà A îòðåçêà CN íå ïðèíàäëåæèò G. Ïóñòü ρ > 0 – ðàññòîÿíèå îò A äî ìíîæåñòâà
G, ò.å., ðàññòîÿíèå îò òî÷êè A äî áëèæàéøåé ê íåé
òî÷êè G. Ïóñòü òàêæå B – áëèæàéøàÿ ê A òî÷êà îòðåçêà
NA, ïðèíàäëåæàùàÿ G. Îòëîæèì íà îòðåçêå BA îòðå1
çîê BP = ρ . Ïîñêîëüêó ρ £ BA , òî÷êà P ëåæèò íà
2
îòðåçêå BA. Íàêîíåö, ïóñòü V – áëèæàéøàÿ ê ìíîæåñòâó G òî÷êà îòðåçêà PA, à U Î G – áëèæàéøàÿ ê V
òî÷êà ìíîæåñòâà G. Çàìåòèì, ÷òî V îòëè÷íà îò A (ýòî
âàæíî!). Êðîìå òîãî, óãîë UVA – íå îñòðûé. Â
ïðîòèâíîì ñëó÷àå, åñëè ÐUVA < 90o , íà îòðåçêå VA
ìîæíî âçÿòü áëèçêóþ ê V òî÷êó V¢ , äëÿ êîòîðîé óãîë
ÐUV ¢A òàêæå îñòðûé. Íî òîãäà â òðåóãîëüíèêå UV ¢V
ñòîðîíà UV ëåæèò íàïðîòèâ òóïîãî óãëà, à çíà÷èò –
íàèáîëüøàÿ. Ïîëó÷àåì V ¢U < VU , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò
îïðåäåëåíèþ òî÷êè V, êàê áëèæàéøåé ê ìíîæåñòâó G
òî÷êå îòðåçêà PA.
Ïðîâåäåì òåïåðü ÷åðåç òî÷êó U ïðÿìóþ, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ VU, è íàçîâåì H ïîëóïëîñêîñòü, îãðàíè÷åííóþ ýòîé ïðÿìîé, íå ñîäåðæàùóþ òî÷êó V (ðèñ. 11).
Äîêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî VU öåëèêîì ëåæèò â H. Åñëè
ýòî íå òàê, òî íàéäåòñÿ òî÷êà X, íå ëåæàùàÿ â H, äëÿ
êîòîðîé âåñü îòðåçîê UX ëåæèò â G (ðèñ. 12). Òàê êàê
óãîë VUX – îñòðûé, òî íà îòðåçêå UX ìîæíî âçÿòü
áëèçêóþ ê U òî÷êó U¢ , äëÿ êîòîðîé óãîë VU ¢X òàêæå
îñòðûé, è ïîëó÷àåì VU ¢ < VU , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò
îïðåäåëåíèþ òî÷êè U, êàê áëèæàéøåé ê V òî÷êå
ìíîæåñòâà G. Èòàê, ìíîæåñòâî VU ëåæèò â ïîëóïëîñêîñòè H. Íî òîãäà è åãî âûïóêëàÿ îáîëî÷êà ëåæèò â H,
âåäü ïîëóïëîñêîñòü – âûïóêëîå ìíîæåñòâî! Çíà÷èò, è
òî÷êà C ëåæèò â H, ÷òî íåâîçìîæíî, ïîñêîëüêó
ÐUVC ³ 90o . Èòàê, ìû ïðåäïîëîæèëè, ÷òî ñóùåñòâóåò òî÷êà, êîòîðàÿ íå âèäíà èç òî÷êè C, è ïðèøëè ê
ïðîòèâîðå÷èþ. Òåîðåìà äîêàçàíà.
Òåîðèÿ ïðèáëèæåíèé
Åùå îäíà îáëàñòü ïðèìåíåíèÿ òåîðåìû Õåëëè –
òåîðèÿ ïðèáëèæåíèé. Îíà èçó÷àåò, êàê èìåþùèåñÿ
«íåóäîáíûå» ôóíêöèè èëè ÷èñëîâûå äàííûå (íàïðèìåð, ïîëó÷åííûå â ðåçóëüòàòå ýêñïåðèìåíòà) ïðèáëèæàòü áîëåå ïðîñòûìè è óäîáíûìè. Äîïóñòèì, íåêîòîðûé ôèçè÷åñêèé ïðîöåññ ìîæåò áûòü îïèñàí ôóíêöèåé
F ( x ) . Ñàìà ôóíêöèÿ íàì íåèçâåñòíà, íî ìû ìîæåì
óçíàòü åå çíà÷åíèå â ëþáîé òî÷êå. Ìû õîòèì ïðèáëèçèòü åå êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèåé f ( x ) = ax2 + bx + c ,
ãäå êîýôôèöèåíòû a, b, c íåèçâåñòíû. Äëÿ ýòîãî
âûáèðàåì n ÷èñåë x1,K , xn è óçíàåì çíà÷åíèÿ
F ( x1 ) ,K , F xn . Íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü, ñóùåñòâóåò
01-24.p65
14
ëè êâàäðàòè÷íàÿ ôóíêöèÿ f ( x ) òàêàÿ, ÷òî
f xk - F xk < ε äëÿ âñåõ k = 1, …, n,
ãäå ε > 0 – íóæíàÿ íàì òî÷íîñòü ïðèáëèæåíèÿ.
Ðèñ. 11
Ðèñ. 12
Óïðàæíåíèÿ
15. Äëÿ äàííîãî íàáîðà òî÷åê x1,K , xn èñêîìàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôóíêöèÿ f x ñóùåñòâóåò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
òàêàÿ ôóíêöèÿ ñóùåñòâóåò äëÿ ëþáûõ ÷åòûðåõ òî÷åê èç ýòîãî
íàáîðà.
Óêàçàíèå. Êàæäîé êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè f ïîñòàâèì â
ñîîòâåòñòâèå òî÷êó a, b, c Î ¡ 3 è äëÿ êàæäîãî k îïðåäåëèì
ìíîæåñòâî òàêèõ òî÷åê, äëÿ êîòîðûõ f xk - F xk < ε .
Äîêàæèòå, ÷òî ýòè ìíîæåñòâà âûïóêëû, è ïðèìåíèòå òåîðåìó
Õåëëè.
16. Ñôîðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå,
åñëè âìåñòî êâàäðàòè÷íûõ ôóíêöèé ïðèáëèæàòü ôóíêöèÿìè
âèäà f x = A sin x + ϕ .
Åùå íåñêîëüêî çàäà÷
Ìû çàêàí÷èâàåì çíàêîìñòâî ñ òåîðåìîé Õåëëè íåñêîëüêèìè çàäà÷àìè äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ.
Óïðàæíåíèÿ
17. Íà ïëîñêîñòè äàíî êîíå÷íîå ñåìåéñòâî ïðÿìûõ. Èçâåñòíî, ÷òî ëþáûå òðè ïðÿìûå ìîæíî ïåðåñå÷ü êðóãîì ðàäèóñà
r. Òîãäà âñå ïðÿìûå ñåìåéñòâà ìîæíî ïåðåñå÷ü êðóãîì
ðàäèóñà r.
18. Ñôîðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîãè óòâåðæäåíèÿ èç
óïðàæíåíèÿ 17
à) äëÿ ñåìåéñòâà ïðÿìûõ â ïðîñòðàíñòâå;
á) äëÿ ñåìåéñòâà ïëîñêîñòåé â ïðîñòðàíñòâå.
19. Âíóòðè îãðàíè÷åííîé âûïóêëîé ôèãóðû âñåãäà íàéäåòñÿ òî÷êà, îáëàäàþùàÿ ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: ëþáàÿ ïðÿìàÿ,
ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç ýòó òî÷êó, äåëèò ïëîùàäü ôèãóðû íà
÷àñòè, îòíîøåíèå êîòîðûõ íå ïðåâîñõîäèò 2.
20. Íà ïëîñêîñòè ëåæàò íåñêîëüêî ïðÿìîóãîëüíèêîâ ñî
ñòîðîíàìè, ïàðàëëåëüíûìè îñÿì êîîðäèíàò (íå îáÿçàòåëüíî
îäèíàêîâûõ), êàæäûå äâà èç êîòîðûõ ïåðåñåêàþòñÿ. Òîãäà
âñå ïðÿìîóãîëüíèêè èìåþò îáùóþ òî÷êó.
21. Åñëè íåñêîëüêî ïîëóïëîñêîñòåé ïîêðûâàþò âñþ ïëîñêîñòü, òî èç íèõ âñåãäà ìîæíî âûáðàòü òðè, êîòîðûå òàêæå
ïîêðîþò âñþ ïëîñêîñòü.
22. Ñôîðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîãè óòâåðæäåíèé èç
óïðàæíåíèé 19–21 äëÿ ïðîñòðàíñòâà ¡3 .
Çàêëþ÷åíèå
Ñêîëüêî æå, îêàçûâàåòñÿ, èíòåðåñíîãî ñâÿçàíî ñ
îäíîé ëèøü ïåðâîé òåîðåìîé Õåëëè! À âåäü åñòü åùå
âòîðàÿ è òðåòüÿ …
29.05.09, 14:16