14-15 декабря, определенный интеграл, геометрический смысл

Óðîêè  55-56
Ñâîéñòâà
îïðåäåëåííîãî
èíòåãðàëà.
14-15.12.10
Ãåîìåòðè÷åñêèé
ñìûñë
Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë.
Âñïîìíèì îïðåäåëåíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà:
Îïðåäåëåíèå 1. Ïóñòü çàäàíà ñêîðîñòü äâèæåíèÿ v(t) íà îòðåçêå âðåìåíè [t1 ; t2 ].
Ïåðåìåùåíèå òî÷êè çà âðåìÿ îò t = a äî t = b íàçûâàåòñÿ (îïðåäåëåííûì) èíòåãðàëîì
ôóíêöèè v(t) ïî îòðåçêó [a; b] è îáîçíà÷àåòñÿ
1.
Zb
v(t)dt.
a
Åñëè x(t) ôóíêöèÿ ïåðåìåùåíèÿ òî÷êè, òî
Zb
a
b
v(t)dt = x(b) − x(a) = x(t) a .
Ìû çíàåì, ÷òî v(t) = x0(t), ò. å. x(t) îäíà èç ïåðâîîáðàçíûõ ôóíêöèè v(t). Çàìåòèì, ÷òî åñëè âçÿòü äðóãóþ ïåðâîîáðàçíóþ V (t), òî, ïîñêîëüêó V (t) = x(t) + C , òî
Rb
V (b) − V (a) = x(b) + C − x(a) − C = v(t)dt.
a
Òàêèì îáðàçîì, ïî îïðåäåëåíèþ, åñëè åñòü ôóíêöèÿ f (x), îïðåäåëåííàÿ è íåïðåðûâíàÿ íà D(f ), [a; b] ⊂ D(f ), è F (x) îäíà èç ïåðâîîáðàçíûõ f (x), òî îïðåäåëåííûì
èíòåãðàëîì ïî îòðåçêó [a; b] íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòü F (b) − F (a) (ôîðìóëà ÍüþòîíàËåéáíèöà).
Óñëîâèå íåïðåðûâíîñòè âàæíî âñïîìíèì, íàïðèìåð, âû÷èñëåíèå ïåðâîîáðàçíîé äëÿ
1
1+x . Âîîáùå-òî èíòåãðàë ìîæíî îïðåäåëÿòü íå òîëüêî äëÿ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé, à
äëÿ áîëåå îáùåãî êëàññà ôóíêöèé, íàçûâàåìûõ êâàäðèðóåìûìè, íî ýòî òåìà äëÿ áîëåå
ñåðüåçíîãî ðàçãîâîðà.
2. Ñâîéñòâà îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.
Ra
1) f (x)dx = 0.
2
a
2)
Rb
a
f (x)dx = −
3)
Rb
Rc
a
f (x)dx =
a
Ra
b
f (x)dx.
f (x)dx +
Rb
c
f (x)dx.
Rb Rb
Rb
kf (x) + mg(x) dx = k f (x)dx + m g(x)dx
4)
a
a
a
Ïåðâûå òðè ñâîéñòâà ñëåäóþò íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ, ÷åòâåðòîå èç ñâîéñòâ
ïåðâîîáðàçíîé. Òàêæå, ïîñêîëüêó âû÷èñëåíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà, ïî ñóòè, ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ íåîïðåäåëåííîãî, ïðè íàõîæäåíèè èíòåãðàëîâ ìîæíî èñïîëüçîâàòü çàìåíó ïåðåìåííîé è èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì.
Rb Íàïðèìåð, ïóñòü íàäî âû÷èñëèòü èíòåãðàë f ϕ(x) ϕ0(x)dx. Ïîêàæåì, ÷òî áóäåò
a
âûïîëíåíî ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî:
Zϕ(b)
Zb f ϕ(x) ϕ0 (x)dx =
f (t)dt.
a
Ïóñòü F (t) = f (t), à
0
ϕ(a)
G (x) = f ϕ(x) ϕ0 (x).
0
F ϕ(x)
0
Òîãäà
0
= F ϕ(x) ϕ (x) = f ϕ(x) ϕ0(x) = G0 (x),
0
à ýòî çíà÷èò, ÷òî F è G îòëè÷àþòñÿ íà êîíñòàíòó.
Ïîñêîëüêó ëåâàÿ ÷àñòü èíòåãðàëüíîãî ðàâåíñòâà ðàâíà
Zb f ϕ(x) ϕ0 (x)dx = G(b) − G(a),
a
à ïðàâàÿ
Zϕ(b)
f (t)dt = F ϕ(b) − F ϕ(a) ,
ϕ(a)
òî ðàâåíñòâî âåðíî.
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî èñïîëüçîâàòü èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì. Íàïðèìåð,
ïóñòü íàäî âû÷èñëèòü
e
Z
x ln xdx.
1
Îáîçíà÷èì çà F (x) ïåðâîîáðàçíóþ x ln x, òîãäà
Ze
1
e
x ln xdx = F (x) 1 =
x2 ln x
−
2
Z
e
x
dx 1 ,
2
èëè
Ze
1
Èëè â îáùåì ñëó÷àå
Zb
a
x2 ln x e
−
x ln xdx =
1
2
b
v(x)du(x) = u(x)v(x) a −
Ze
x
dx.
2
1
Zb
u(x)dv(x).
a
Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.
Ïóñòü òåëî äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v(t) = v. Ïîñòðîèì ãðàôèê ñêîðîñòè
íà îòðåçêå [a; b] . Ïðîéäåííûé ïóòü áóäåò ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ âðåìåíè äâèæåíèÿ íà
ñêîðîñòü: x(t) ba = (b − a) · v, èëè ïëîùàäè ïîäãðàôèêà ôóíêöèè v(t).
Îïðåäåëåíèå 2. Åñëè f (x) íåïðåðûâíà íà ïðîìåæóòêå I , [a; b] ⊂ I è ∀x ∈ [a; b]
f (x) > 0, òî ôèãóðà, îãðàíè÷åííàÿ ãðàôèêîì ôóíêöèè y = f (x), îñüþ àáñöèññ è
âåðòèêàëüíûìè ïðÿìûìè x = a è x = b íàçûâàåòñÿ êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèåé èëè
ïîäãðàôèêîì ôóíêöèè f (x).
Òàêèì îáðàçîì, â ñëó÷àå ïîñòîÿííîé ïîëîæèòåëüíîé ôóíêöèè îïðåäåëåííûé èíòåãðàë
ðàâåí ïëîùàäè ñîîòâåñòâóþùåé êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè. ×òî äåëàòü, åñëè ôóíêöèÿ
íå ïîñòîÿííà?
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ S(t), ðàâíóþ ïëîùàäè êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, îáðàçîâàííîé
ãðàôèêîì ôóíêöèè f (x), îñüþ àáñöèññ, ïðÿìîé x = a ñëåâà è ïðÿìîé x = t ñïðàâà.
Òîãäà
3.
∆S = S(t + ∆t) − S(t)
Ïîñêîëüêó f (x) íåïðåðûâíà íà [a; b], òî îíà íåïðåðûâíà íà ∆t, à çíà÷èò, äîñòèãàåò íà
ýòîì îòðåçêå ñâîåãî íàèáîëüøåãî M è íàèìåíüøåãî çíà÷åíèÿ m. Èç ãðàôèêà âèäíî,
÷òî
m∆t 6 ∆S 6 M∆t
Ïîäåëèì íåðàâåíñòâî íà ∆t è ðàññìîòðèì ïðåäåë ïðè ∆t → 0. Ïîñêîëüêó ïðè ∆t → 0
m → f (t), M → f (t), òî
0
f (t) 6 S (t) 6 f (t),
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî S 0(t) = f (t).
Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé


Zt
a
0
f (x)dx = f (t),
è ïîëó÷èì, ÷òî
Zt
f (x)dx = S(t) + C.
a
Ðàññìîòðèì ðàâåíñòâî â òî÷êå t = a:
Za
f (x)dx = S(a) + C,
a
îòêóäà C = 0. Ðàññìîòðèì ðàâåíñòâî â òî÷êå t = b:
Zb
f (x)dx = S(b),
a
÷òî îçíà÷àåò, ÷òî ïëîùàäü ïîäãðàôèêà ðàâíà îïðåäåëåííîìó èíòåãðàëó:
Tåîðåìà Íþòîíà-Ëåéáíèöà . Åñëè f (x) íåïðåðûâíà íà ïðîìåæóòêå I , [a; b] ⊂ I
Rb
è ∀x ∈ [a; b] f (x) > 0, òî f (x)dx ðàâåí ïëîùàäè ñîîòâåòñâóþùåé êðèâîëèíåéíîé
a
òðàïåöèè.
Ñëåäñòâèå. Åñëè f (x) íåïðåðûâíà íà ïðîìåæóòêå I , [a; b] ⊂ I è ∀x ∈ [a; b] f (x) 6 0,
Rb
òî f (x)dx ðàâåí ïëîùàäè ñîîòâåòñâóþùåé êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, âçÿòîé ñî çíàêîìa ìèíóñ.
4. Ðåøåíèå çàäà÷.
−1
R √
1) Âû÷èñëèòå èíòåãðàë −2x − x2dx.
−2
Ðåøåíèå. Âîñïîëüçóåìñÿ
ãåîìåòðè÷åñêèì ñìûñëîì èíòåãðàëà è ïîñòðîèì ãðàôèê
√
ôóíêöèè y −2x − x2:
y=
p
−2x −
x2
⇔
y 2 = −2x − x2;
⇔
y > 0.
x2 + 2x + 1 + y 2 = 1;
y > 0.
Íàñ èíòåðåñóåò òîëüêî äóãà, îãðàíè÷åííàÿ x = −2 è x = −1. Ïëîùàäü ýòîé ÷àñòè
−1
R √
π
êðóãà ðàâíà 4 , ïîýòîìó −2x − x2dx = π4 .
2) Âû÷èñëèòå
R4
0
−2
(|x − 1| + |3 − x|) dx.
Ðåøåíèå. Ïîñòðîèì ãðàôèê ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè íà îòðåçêå [0; 4], è ðàññìîòðèì ïëîùàäü ïîëó÷èâøåéñÿ ôèãóðû. Èç ýëåìåíòàðíûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé
R4
ïîëó÷àåì, ÷òî ïëîùàäü ðàâíà äåñÿòè, ò. å. (|x − 1| + |3 − x|) dx = 10.
0
3) Íàéäèòå ìèíèìóìû ôóíêöèè
Ðåøåíèå. Ïóñòü F (x) =
Rx
0
Rx
0
2 cos2 t − sin 2t dt
2 cos2 t − sin 2t dt,
íà îòðåçêå [0; π].
òîãäà
F 0 (x) = 2 cos2 x − sin 2x = 2 cos x(cos x − sin x).
Ðàññìîòðèì ïîâåäåíèå F 0(x) íà ïîëóîêðóæíîñòè îò 0 äî π. Êðèòè÷åñêèìè òî÷êàìè
F (x) ÿâëÿþòñÿ òî÷êè 0; π4 , π2 , π . Çíàêè íà ïðîìåæóòêàõ ÷åðåäóþòñÿ, íà÷èíàÿ ñ ¾+¿.
Ïîýòîìó ìèíèìóì F (x) äîñòèãàåòñÿ òîëüêî â òî÷êå π2 . Âû÷èñëèì F ( π2 ):
π
π
Z2
Z2
0
2 cos2 t − sin 2t dt =
=
0
(1 + cos 2t − sin 2t) dt =
π
π
1
1
t + sin 2t + cos 2t 02 = − 1.
2
2
2
√
4) Íàéäèòå ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ëèíèÿìè y = 3 − x è y = | − x − 1| − 2.
Ðåøåíèå. Ïîñòðîèì ãðàôèêè îáåèõ ôóíêöèé. Âèäíî, ÷òî ïëîùàäü íóæíîé ôèãóðû
R2 √
ðàâíà 3 − x, ïëþñ ïëîùàäü íèæíåãî òðåóãîëüíèêà, ìèíóñ ïëîùàäè âåðõíèõ òðå−6
óãîëüíè÷êîâ. Îòâåò: 16 31 .
5) Íàéäèòå ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ëèíèÿìè y = x2 + 2|x| − 8 è y = 4 − x2.
Ðåøåíèå.
Ïîñòðîèì ãðàôèêèôóíêöèé. Ïî ÷åðòåæó âèäíî, ÷òî ïëîùàäü ôèãóðû ðàâíà
2
R
2 (4 − x2 ) − (x2 + 2x − 8) dx = 29 13 .
0
6) Íàéäèòå ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ëèíèÿìè y = − x2 + 192 è x = −|8 − y|.
Îòâåò: 3 23 .
2
7) Âû÷èñëèòå ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ãðàôèêîì ôóíêöèè y = (2x−1)
, êàñàòåëüíîé ê íåìó â òî÷êå ñ àáñöèññîé x0 = 1 è ïðÿìîé x = 2.
Îòâåò: 2 23 .
5. Äîìàøíåå çàäàíèå.
2
2
1) Ðåøèòå çàäà÷è ïðîøëîãî äîìàøíåãî çàäàíèÿ.
2) Ðåøèòå çàäà÷è, íåðåøåííûå â êëàññå.