Лекция 16. Пространство L1. 1. Определение пространства L1

Ëåêöèÿ 16. Ïðîñòðàíñòâî L1 .
Äëÿ óäîáñòâà ñòóäåíòîâ íà ñàéòå áóäåò ðàçìåùåíî äâà äîêàçàòåëüñòâà ïîëíîòû
ïðîñòðàíñòâà L1 .
1. Îïðåäåëåíèå ïðîñòðàíñòâà L1 .
Ïóñòü D ìíîæåñòâî ñ ìåðîé. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî èçìåðèìûå ôóíêöèè íà D
ýêâèâàëåíòíû, åñëè îíè ðàâíû ïî÷òè âñþäó. Îïðåäåëèì L1 (D) êàê ìíîæåñòâî êëàññîâ
ýêâèâàëåíòíîñòè èíòåãðèðóåìûõ ïî Ëåáåãó ôóíêöèé íà D.
Ïðåäëîæåíèå
1 Ìíîæåñòâî L1 (D) ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì, à ||f || =
R
D
|f |dµ çàäà¼ò íîðìó íà ýòîì ïðîñòðàíñòâå.
Íàøà çàäà÷à äîêàçàòü ïîëíîòó ýòîãî ïðîñòðàíñòâà.
Òåîðåìà 1 Ïðîñòðàíñòâî L1 (D) ïîëíî.
Íèæå ïðåäëîæåíû äâà äîêàçàòåëüñòâà, îíè îñíîâàíû íà íåðàâåíñòâå ×åáûø¼âà,
êîòîðîå ìîæíî âûðàçèòü ñëîâàìè: â êîìíàòó ïëîùàäè 10 ì2 íåëüçÿ ïîñòàâèòü ïðÿìîóãîëüíûé ñòîë ïëîùàäüþ áîëüøå 10 ì2 .
Ïðåäëîæåíèå 2 (Íåðàâåíñòâî ×åáûø¼âà) Ïóñòü ôóíêöèÿ f : D → R èçìåðèìà,
f ≥ 0 íà X ⊂ E . Òîãäà ∀c > 0
1
µ{x ∈ X|f (x) ≥ c} ≤
c
Z
f (x)dµ.
X
Äîêàçàòåëüñòâî
Ïóñòü E = {x ∈ X|f (x) ≥ c} ⊂ X . Òîãäà íà X èìååì f ≥ cχ(E) è
R
R
X
f (x)dµ ≥ c
X
χ(E)dµ = cµ(E).
¤
2. Ïåðâîå äîêàçàòåëüñòâî.
Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî D ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî îáúåäèíåíèåì ñ÷¼òíîãî ÷èñëà
ìíîæåñòâ êîíå÷íîé ìåðû (íàïðèìåð, D ⊂ R).
Ëåììà 1 Ïóñòü fn ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé èç L1 (D), ìîíîòîííî âîçðàñòàþùàÿ ïî n â êàæäîé òî÷êå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî fn ñõîäèòñÿ ïîòî÷å÷íî ê ôóíêöèè
f ∈ L1 (D). Òîãäà f èíòåãðèðóåìà ïî Ëåáåãó è fn ñõîäèòñÿ ê f è â L1 (D).
Äîêàçàòåëüñòâî Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé gn = |f − fn |. Ýòè ôóíê-
öèè ïîëîæèòåëüíû, ìîíîòîííî
óáûâàþò ïî n è ïîòî÷å÷íî ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ. Íàì
R
äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî D gn dµ ñòðåìèòñÿ ê íóëþ.
R
Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî äëÿ èçìåðèìîé g ≥ 0 èíòåãðàë Ëåáåãà D f dµ âû÷èñëÿåò
ìåðó Ëåáåãà ìíîæåñòâà Dg = {(x, y) | x ∈ D, 0 ≤ y ≤ g(x)}. Çàìåòèì, ÷òî òàê êàê
gn → 0, ∩n Dgn ñîñòîèò òîëüêî èç òî÷åê ñ y = 0, â ÷àñòíîñòè, èìååò ìåðó 0.
1
Ïóñòü En = Dgn \ Dgn+1 . Òîãäà â ñèëó ìîíîòîííîñòè gn ìíîæåñòâà En íå ïåðåñåêàþòñÿ è Dgn = ∪m≥nREn . Çíà÷èò, â ñèëó σ -àääèòèâíîñòè ìåðû Ëåáåãà, µ(En ) îáðàçóþò
ñõîäÿùèéñÿ ðÿä, è D gn dµ ñîâïàäàåò ñî ñòðåìÿùèìñÿ íóëþ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì ýòîãî
ðÿäà.
¤
Ëåììà 2 Ïóñòü fn ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ôóíêöèé èç L1 (D), âîçðàñòàþùàÿ ïî n
R
â êàæäîé òî÷êå, ïðè ýòîì d fn îãðàíè÷åí. Òîãäà supn fn îïðåäåë¼í ïî÷òè âñþäó, è
ýòà ôóíêöèÿ, äîîïðåäåë¼ííàÿ íóë¼ì, ïðèíàäëåæèò L1 (D).
Äîêàçàòåëüñòâî Âû÷èòàÿ èç âñåõ ôóíêöèé f1 , ñâåä¼ì óòâåðæäåíèå ê ñëó÷àþ íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé.
R
Ïóñòü äëÿ âñåõ n D fn dµ < I . Òîãäà ïî íåðàâåíñòâó ×åáûø¼âà ìåðà ìíîæåñòâà
òî÷åê E(n, C) = {x | fn (x) > C} íå ïðåâûøàåò I/C . Ìíîæåñòâî
E(C) = {x | supn (fn ) > C èëè áåñêîíå÷åí}
ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì ýòèõ ìíîæåñòâ. Â ñèëó âîçðàñòàíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fn
èìååì E(n + 1, C) ⊃ E(n, C), ïîýòîìó E(C) ñîâïàäàåò ñ îáúåäèíåíèåì íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ E(n + 1, C) \ E(n, C), ìåðû êîòîðûõ îáðàçóþò ðÿä, ÷àñòè÷íûå ñóììû
êîòîðîãî ìåíüøå I/C . Òîãäà è ìåðà E(C) íå ïðåâîñõîäèò I/C .
Ôóíêöèÿ supn fn îïðåäåëåíà âñþäó, êðîìå ∩N E(N ), íî ïîñêîëüêó ìåðà E(N ) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ñ ðîñòîì N , ìåðà ïåðåñå÷åíèÿ ðàâíà íóëþ.
Ïóñòü f = supn fn . Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà èíòåãðèðóåìîñòè
ñíîâà âîñïîëüçóåìñÿ òåì,
R
÷òî äëÿ èçìåðèìîé f ≥ 0 èíòåãðàë Ëåáåãà D f dµ âû÷èñëÿåò ìåðó Ëåáåãà ìíîæåñòâà
Df = {(x, y) | x ∈ D, 0 ≤ y ≤ f (x)}. Çàìåòèì, ÷òî Df = ∪n Dfn è àíàëîãè÷íî ïîëîæèì
En = Dfn \ Dfn−1 . Òîãäà Dfn = ∪n1 Ei , Df = ∪∞
1 Ei , ïîýòîìó ðÿä èç ìåð Di èìååò
îãðàíè÷åííûå ÷àñòè÷íûå ñóììû, çíà÷èò, îí ñõîäèòñÿ, è ïðåäåë ðàâåí ìåðå Df , òî
åñòü, èñêîìîìó èíòåãðàëó.
¤
Ëåììà 3 Ïóñòü fn ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðîèçâîëüíûõ
ôóíêöèé èç L1 (D), ïîëîP
æèì ai = ||fn+1 − fn ||. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðÿä
ai ñõîäèòñÿ.
Òîãäà g = inf n fn
P
îïðåäåëåíà ïî÷òè âñþäó, ïðèíàäëåæèò L1 (D) è ||g − f1 || ≤
ai .
Äîêàçàòåëüñòâî Ïóñòü gn = min(f1 , . . . , fn ). Ïóñòü Di ⊂ D ïîäìíîæåñòâî, ãäå
ìèíèìàëüíîé ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ fi . Òîãäà
Z
|gn − f1 |dµ =
D
≤
n Z
X
i=1
n Z
X
i=1
i−1
X
|gn − f1 |dµ =
Di
|fj+1 − fj |dµ ≤
n Z
X
i=1
Z X
n−1
Di j=1
D j=1
2
|fi − f1 |dµ ≤
Di
|fj+1 − fj |dµ =
n−1
X
j=1
αj ,
P
òî åñòü ||f1 − gn || ≤
αi äëÿ âñåõ n.
Çàìåòèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü f1 − gn ìîíîòîííî âîçðàñòàåò, f1 − g = supn (f1 −
gn ).  ñèëó îãðàíè÷åííîñòè èíòåãðàëîâ ïî Ëåììå 2 ôóíêöèÿ f1 −g ïðèíàäëåæèò L1 (D),
ñëåäîâàòåëüíî, g ∈ L1 (D)
P . À ïî Ëåììå 1 ||g − f1 || ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ||gn − f1 || è, òåì
ñàìûì, íå ïðåâûøàåò
αi .
¤
Äîêàçàòåëüñòâî Òåîðåìû. Ïóñòü òåïåðü fn ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòü â L1 (D). Âûáåðåì ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü fij äëÿ êîòîðîé ||fij − fij+1 || < 2−j è
ïîëîæèì gk = inf j≥k fij . Òîãäà ïî ëåììå 3 ||fij − gj || < 2−j+1 , òî åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü gj ôóíäàìåíòàëüíà è ýêâèâàëåíòíà èñõîäíîé. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïî ïîñòðîåíèþ
gk âîçðàñòàåò è ||gj || îãðàíè÷åíà â ñèëó ôóíäàìåíòàëüíîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Òîãäà ïî ëåììå 2 ñ ó÷¼òîì ëåììû 1 îíà ñõîäèòñÿ ê supk gk ∈ L1 (D), è òóäà æå ñîéä¼òñÿ
ýêâèâàëåíòíàÿ åé èñõîäíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn .
3. Âòîðîå äîêàçàòåëüñòâî.
Ëåììà 4 (Îñíîâíàÿ ëåììà) Ðàññìîòðèì ôóíäàìåíòàëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
(fn ) â L1 . Òîãäà äëÿ ëþáîãî ε èç íåå ìîæíî âûáðàòü ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü gk = fnk
ï.â.
òàê, ÷òî gk −→ Gε âíå ìíîæåñòâà ìåðû ìåíüøå ε.
Äîêàçàòåëüñòâî . Èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (fn ) âûáèðàåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü gk òàê,
÷òî
Z
|gk − gk+1 |dµ <
ε
, k≥1
4k
Ïóñòü
Ek = {x||gk − gk+1 | >
Ïî íåðàâåíñòâó ×åáûøåâà,
µ(Ek ) ≤
1
}.
2k
ε
.
2k
Òîãäà
µ(∪Ek ) ≤ ε.
Êðîìå òîãî,
X
(gk − gk+1 ) ⇒ Gε íà C(∪Ek ).
¤
Ðåäóêöèÿ: îñíîâíàÿ ëåììà ⇒ ïîëíîòà L1 .
Âûáèðàåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü εm → 0. Ñòðîèì èíäóêöèåé ïî m ïîñëåäîâàòåëüíîñòü gmk → Gm ïðè k → ∞. Íà øàãå èíäóêöèè èñïîëüçóåòñÿ îñíîâíàÿ ëåììà. Ïðàâèëüíî âûáðàííàÿ äèàãîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (îáîçíà÷èì åå ñíîâà gk ) ñõîäèòñÿ
ïî÷òè âñþäó ê íåêîòîðîé ôóíêöèè g .
3
Äîêàæåì, ÷òî g ∈ L1 . Âûøå ôàêòè÷åñêè äîêàçàíî, ÷òî ñóùåñòâóåò ïðåäåë:
X
ï.â.
|gk − gk+1 | −→ G
Äîêàæåì, ÷òî G ∈RL1 . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî g ∈ L1 .
Ïóñòü ýòî íå òàê: G = ∞. Ïîñêîëüêó ∃K : ïðè k ≥ K
||gk − gk+1 || ≤
ε
,
2k
ïîëó÷àåì, ÷òî âñå èíòåãðàëû ÷àñòíûõ ñóìì ðÿäà äëÿ G îãðàíè÷åíû â ñîâîêóïíîñòè:
GM :=
M
X
||gk − gk+1 || ≤ C.
1
R
G = ∞, òî ñóùåñòâóåò N -ñðåçêà G(N ) , äëÿ êîòîðîé
ï.â.
Ïîñêîëüêó GM −→ G, òî æå âåðíî äëÿ N -ñðåçîê:
Åñëè
R
G(N ) > C + 1.
(N ) ï.â.
GM −→ G(N ) .
Ïî òåîðåìå Ëåáåãà îá îãðàíè÷åííîé ñõîäèìîñòè
Z
(N )
GM → G(N ) .
Íî
R
R
(N )
GM < C, G(N ) > C + 1, ïðîòèâîðå÷èå.
ï.â.
Èòàê, G ∈ L1 . Êðîìå òîãî, GM ≤ G è GM −→ G. Ñëåäîâàòåëüíî,
|G − GM | ≤ G,
è G − GM → 0. Ïî òåîðåìå Ëåáåãà îá îãðàíè÷åííîé ñõîäèìîñòè,
Z
G − GM → 0.
4