Криволинейный интеграл первого рода.

1
Êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë ïåðâîãî ðîäà.
Îïðåäåëåíèå è îñíîâíûå ñâîéñòâà
Îïðåäåëåíèå. Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå ω îòðåçêà [a; b] â
ïðîñòðàíñòâî Rn , çàäàííîå íàáîðîì íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé
xi = ωi (t), t ∈ [a; b], i = 1, . . . , n.
Êðèâîé
L â ïðîñòðàíñòâå Rn
íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê x = (x1 , . . . , xn ), ÿâëÿþùèõñÿ
çíà÷åíèÿìè ýòîãî îòîáðàæåíèÿ.
Êàæäîìó çíà÷åíèþ ïàðàìåòðà t ∈ [a; b] îòîáðàæåíèå ω
ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðóþ òî÷êó M (t) ∈ Rn , ïðè÷åì
M (t) → M (t0 ) ïðè t → t0 â ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèé
ωi (t). Òàêèì îáðàçîì, ýòî îïðåäåëåíèå äàåò ïðåäñòàâëåíèå î
ëèíèè êàê î òðàåêòîðèè äâèæóùåéñÿ òî÷êè, à èìåííî, åñëè
ïàðàìåòð t ïðîáåãàåò ïîñëåäîâàòåëüíî âñå çíà÷åíèÿ îò a äî
b, òî÷êà M (t) îïèñûâàåò â ïðîñòðàíñòâå íåêîòîðóþ êðèâóþ.
Óðàâíåíèÿ xi = ωi (t), i = 1, ..., n íàçûâàþòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè
êðèâîé L, èëè óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ.
Òî÷êè M (a) è M (b) íàçûâàþòñÿ êîíöàìè êðèâîé.
Òî÷êà M íàçûâàåòñÿ êðàòíîé òî÷êîé êðèâîé L, åñëè îíà
ÿâëÿåòñÿ îáðàçîì ïî êðàéíåé ìåðå äâóõ ðàçëè÷íûõ òî÷åê t èç
[a; b]. Òî÷êè, íå ÿâëÿþùèåñÿ êðàòíûìè, íàçûâàþòñÿ ïðîñòûìè.
Êðèâàÿ, íå èìåþùàÿ êðàòíûõ òî÷åê, çà èñêëþ÷åíèåì,
ìîæåò áûòü, êîíöîâ, íàçûâàåòñÿ ïðîñòîé êðèâîé.
Åñëè çíà÷åíèÿ îòîáðàæåíèÿ ω ñîâïàäàþò òîëüêî â êîíöàõ
2
ïðîìåæóòêà [a; b], òî åñòü M (a) = M (b), êðèâàÿ íàçûâàåòñÿ
ïðîñòîé çàìêíóòîé êðèâîé.
Êðèâàÿ L, èìåþùàÿ òîëüêî êîíå÷íîå ÷èñëî êðàòíûõ òî÷åê, íàçûâàåòñÿ ïàðàìåòðèçóåìîé. Íåñëîæíî ïîêàçàòü, ÷òî
ëþáóþ ïàðàìåòðèçóåìóþ êðèâóþ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
îáúåäèíåíèÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà ïðîñòûõ êðèâûõ.
Îïðåäåëåíèå. Îòîáðàæåíèå ω : [a; b] Rn íàçûâàåòñÿ
êóñî÷íî-ëèíåéíûì, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå ðàçáèåíèå T
îòðåç-
êà [a; b] (a = t0 < t1 < ... < tk = b), ÷òî íà êàæäîì èíòåðâàëå
(tj−1 ; tj ) êàæäàÿ èç ôóíêöèé xi = ωi (t) ëèíåéíà.
Ïðîñòàÿ êðèâàÿ íàçûâàåòñÿ ëîìàíîé ëèíèåé, åñëè îïðåäåëÿþùåå åå îòîáðàæåíèå ω êóñî÷íî-ëèíåéíî. Òî÷êè M (tj )
íàçûâàþòñÿ óãëîâûìè òî÷êàìè ëîìàíîé.
Ïîíÿòíî, ÷òî ïðîñòàÿ ëîìàíàÿ ñîñòîèò èç êîíå÷íîãî ÷èñëà îòðåçêîâ (çâåíüåâ), êîòîðûå ïåðåñåêàþòñÿ òîëüêî â óãëîâûõ òî÷êàõ, ïðè÷åì â êàæäîé òàêîé òî÷êå, çà èñêëþ÷åíèåì
M (a) è M (b), ïåðåñåêàåòñÿ òîëüêî äâà îòðåçêà.
íîé
Äëèíà ëîìà-
ðàâíà ñóììå äëèí âñåõ åå çâåíüåâ.
Ëîìàíàÿ íàçûâàåòñÿ âïèñàíîé â êðèâóþ L, åñëè åå êîíöû
ñîâïàäàþò ñ êîíöàìè êðèâîé L è óãëîâûå òî÷êè ëåæàò íà
êðèâîé L.
Îïðåäåëåíèå. Ïðîñòàÿ êðèâàÿ íàçûâàåòñÿ ñïðÿìëÿåìîé,
åñëè ìíîæåñòâî S äëèí âñåõ ëîìàíûõ, âïèñàííûõ â ýòó êðè-
3
âóþ, îãðàíè÷åíî ñâåðõó. Òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü ìíîæåñòâà S
íàçûâàåòñÿ äëèíîé ñïðÿìëÿåìîé êðèâîé L è îáîçíà÷àåòñÿ |L|.
Òåîðåìà. Åñëè ôóíêöèè ωi (t), çàäàþùèå ïðîñòóþ êðèâóþ
L, íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìû íà îòðåçêå [a; b], òî êðèâàÿ
L ñïðÿìëÿåìà, è åå äëèíà |L| âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
|L| =
Zb p
(ω10 (t))2 + ... + (ωn0 (t))2 dt.
a
Ñëåäñòâèå. Åñëè ðàññìîòðåòü ïåðåìåííóþ äóãó ñ êîíöàìè
M (a) è M (t), òî åå äëèíà `(t) ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìîé
ôóíêöèåé îò t, è åå äèôôåðåíöèàë âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
d`(t) =
p
(ω10 (t))2 + ... + (ωn0 (t))2 dt.
 ÷àñòíîñòè, åñëè ïëîñêàÿ êðèâàÿ (n = 2) çàäàíà â ïðÿìîóãîëüíûõ êîîðäèíàòàõ (x; y) ÿâíûì îáðàçîì: y = g(x), òî,
ñ÷èòàÿ x ïàðàìåòðîì, ïîëó÷èì
d` =
p
1 + (g 0 (x))2 dx.
Åñëè ïëîñêàÿ êðèâàÿ çàäàíà óðàâíåíèåì â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ r = r(ϕ), òî äèôôåðåíöèàë äëèíû äóãè ðàâåí
d` =
p
r2 (ϕ) + (r0 (ϕ))2 dϕ.
4
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïîñëåäíåãî óòâåðæäåíèÿ ïðåîáðàçóåì ïîëÿðíîå óðàâíåíèå êðèâîé â ïàðàìåòðè÷åñêîå ñ ïîìîùüþ
ñòàíäàðòíûõ ôîðìóë ïåðåõîäà îò ïîëÿðíûõ êîîðäèíàò ê äåêàðòîâûì (ðîëü ïàðàìåòðà çäåñü èãðàåò óãîë ϕ):

x = r · cos ϕ = r(ϕ) · cos ϕ,
y = r · sin ϕ = r(ϕ) · sin ϕ.
Äèôôåðåíöèðóåì ôóíêöèè x è y ïî ϕ:

x0 = r0 (ϕ) · cos ϕ − r(ϕ) · sin ϕ,
y 0 = r0 (ϕ) · sin ϕ + r(ϕ) · cos ϕ.
Âîçâåäåì êàæäóþ ïðîèçâîäíóþ â êâàäðàò è ñëîæèì:
(x0 )2 + (y 0 )2 = (r0 )2 · cos2 ϕ + r2 · sin2 ϕ − 2r r0 · cos ϕ sin ϕ +
+ (r0 )2 · sin2 ϕ + r2 · cos2 ϕ + 2r r0 · cos ϕ sin ϕ =
= (r0 )2 + r2 ,
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Ïóñòü L ñïðÿìëÿåìàÿ êðèâàÿ, çàäàííàÿ óðàâíåíèÿìè
xi = ωi (t), i = 1, ..., n, t ∈ [a; b]. Ðàññìîòðèì ðàçáèåíèå T
îòðåçêà [a; b]: a = t0 < t1 < ... < tk = b ñ îòìå÷åííûìè òî÷êàìè ξj ∈ (tj−1 ; tj ). Âåëè÷èíà d(T ) = max |tj − tj−1 | íàçûâàåòñÿ
j
äèàìåòðîì ðàçáèåíèÿ
T . Ðàçáèåíèå T ïîðîæäàåò ðàçáèåíèå
êðèâîé L íà äóãè Lj ñ êîíöàìè M (tj−1 ) è M (tj ) è ñ îòìå÷åííûìè íà ýòèõ äóãàõ òî÷êàìè Pj = ω(ξj ).
5
Ïóñòü ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ f (M ) îïðåäåëåíà âî âñåõ òî÷êàõ
êðèâîé L. Äëÿ êàæäîãî ðàçáèåíèÿ T ñ îòìå÷åííûìè òî÷êàìè
ξj ñîñòàâèì èíòåãðàëüíóþ ñóììó
σ(f ; T ) =
k
X
f (Pj ) · |Lj |.
j=1
Îïðåäåëåíèå. Åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë èíòåãðàëüíûõ ñóìì σ(f ; T ) ïðè d(T ) → 0, òî îí íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì ïåðâîãî ðîäà îò ôóíêöèè f
ïî êðèâîé L è îáîçíà÷àåòñÿ
Z
f (x) d`.
L
Äàëåå ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êðèâàÿ L ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íîãëàäêîé, òî åñòü ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå îáúåäèíåíèÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà ãëàäêèõ êðèâûõ. Êðîìå òîãî, áóäåì
ïðåäïîëàãàòü, ÷òî êðèâàÿ L íå ñîäåðæèò îñîáûõ òî÷åê, òî
åñòü òî÷åê, â êîòîðûõ âñå ωi0 (t) = 0.
Òåîðåìà (ñâåäåíèå êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà ïåðâîãî ðîäà ê èíòåãðàëó ïî îòðåçêó). Åñëè L êóñî÷íî-ãëàäêàÿ êðèâàÿ, çàäàííàÿ óðàâíåíèÿìè xi = ωi (t), à ôóíêöèÿ f (x) êóñî÷íî-íåïðåðûâíà âäîëü êðèâîé L, òî êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë
ïåðâîãî ðîäà îò ôóíêöèè f ïî êðèâîé L ñóùåñòâóåò è ìîæåò
6
áûòü âû÷èñëåí ïî ôîðìóëå
Zb
Z
f (x) d` =
p
f (ω(t)) (ω10 (t))2 + ... + (ωn0 (t))2 dt.
a
L
Òåîðåìà. Çíà÷åíèå êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà ïåðâîãî ðîäà íå çàâèñèò îò âûáîðà ïàðàìåòðèçàöèè êðèâîé L.
Ñâîéñòâà êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà ïåðâîãî ðîäà.
(Âñå óïîìèíàåìûå êðèâûå ïðåäïîëàãàþòñÿ ñïðÿìëÿåìûìè, à ïîäûíòåãðàëüíûå ôóíêöèè êóñî÷íî-íåïðåðûâíûìè.)
1. Ëèíåéíîñòü. Äëÿ ëþáûõ ÷èñåë α1 è α1
Z
Z
Z
(α1 f1 (x) + α2 f2 (x)) d` = α1 f1 (x) d` + α2 f2 (x) d`.
L
L
L
2. Àääèòèâíîñòü. Åñëè ïåðåñå÷åíèå êðèâûõ L1 è L2 ñîäåðS
æèò íå áîëåå ÷åì êîíå÷íîå ìíîæåñòâî òî÷åê, è L = L1 L2 ,
òî
Z
Z
f (x) d` =
L
Z
f (x) d` +
L1
f (x) d`
L2
3. Ìîíîòîííîñòü. Åñëè f (x) 6 g(x) äëÿ âñåõ x ∈ L, òî
Z
Z
f (x) d` 6 g(x) d`.
L
L
 ÷àñòíîñòè, åñëè f (x) > 0, òî è
R
L
f (x) d` > 0.
7
Íà ýòîì ìû çàêîí÷èì ïåðå÷èñëåíèå îñíîâíûõ ñâåäåíèé î
êðèâîëèíåéíûõ èíòåãðàëàõ ïåðâîãî ðîäà è ïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ ïðèìåðîâ èõ âû÷èñëåíèÿ.
Êàê âèäíî èç ïðåäûäóùåãî èçëîæåíèÿ, åñëè êðèâàÿ óæå
çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêè, òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ êðèâîëèíåéíîãî
èíòåãðàëà íóæíî ëèøü âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé î ñâåäåíèè
åãî ê èíòåãðàëó ïî îòðåçêó. Ïîýòîìó îñíîâíîå âíèìàíèå ìû
óäåëèì âîïðîñó ïàðàìåòðè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ êðèâîé, à
èìåííî, ïîëó÷åíèþ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ x = ω(t) è îïðåäåëåíèþ äèàïàçîíà èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà t.
 4225:
Ïðèìåð:
Âû÷èñëèòü êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë
p
R √
3
( x4 + 3 y 4 ) d`,
L
ãäå L - äóãà àñòðîèäû
√
3
x2 +
p
3
y2 =
√
3
a2 , a > 0.
Ðåøåíèå:
Çàìåòèì, ÷òî êðèâàÿ L ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî îñåé
êîîðäèíàò, ïîñêîëüêó åå óðàâíåíèå èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé (x; y) → (−x; y) è (x; y) → (x; −y). Êðîìå òîãî, ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ÷¼òíà îòíîñèòåëüíî ýòèõ
æå ïðåîáðàçîâàíèé, òî åñòü ïðèíèìàåò â ñèììåòðè÷íûõ òî÷êàõ îäèíàêîâûå çíà÷åíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, êîîðäèíàòíûå îñè
8
ðàçáèâàþò êðèâóþ L íà 4 ÷àñòè, è èíòåãðàëû ïî êàæäîé èç
ýòèõ ÷àñòåé ðàâíû ìåæäó ñîáîé. Ïîýòîìó ìîæíî, âîñïîëüçîââøèñü àääèòèâíîñòüþ, âû÷èñëèòü èíòåãðàë òîëüêî ïî òîé
÷àñòè êðèâîé L, êîòîðàÿ ëåæèò â ïåðâîé ÷åòâåðòè: x > 0,
y > 0, à çàòåì óìíîæèòü åãî íà 4.
Ñïîñîá 1.
Ïîëîæèì x = t3/2 , ãäå t > 0. Òîãäà èç óðàâíåíèÿ àñòðîèäû
y 2/3 = a2/3 − t, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî t 6 a2/3 . Òàêèì îáðàçîì,
åñëè òî÷êà t ïðîáåãàåò îòðåçîê 0 6 t 6 a2/3 , òî÷êà (x, y)
ïðîáåæèò ÷åòâåðòü àñòðîèäû îò òî÷êè (0, a) äî òî÷êè (a, 0).

x0 = 3 · t1/2 ,
2
Äàëåå,
y 0 = − 3 · (a2/3 − t)1/2
Òîãäà d` =
3
2
·
√
2
t + a2/3 − t dt =
3
2
· a1/3 dt.
√
3
Z
Z a2
(t2 + a4/3 − 2a2/3 t + t2 ) dt =
(x4/3 + y 4/3 ) d` = 4
0
L
a2/3
2 3
2/3 2
4/3
=
=6a
t − a t + a t 3
0
2 2
1/3
2
2
=6a
a − a + a = 4 a7/3 .
3
1/3
Ñïîñîá 2.
Çàìåòèì, ÷òî àñòðîèäà ÿâëÿåòñÿ ëèíèåé óðîâíÿ îäíîðîä-
9
íîé àëãåáðàè÷åñêîé ôóíêöèè F (x, y) =
√
3
x2 +
y 2 , à ýòî çíà-
p
3
÷èò, ÷òî åå óðàâíåíèå ìîæåò ïðèîáðåñòè áîëåå ïðîñòîé âèä
ïîñëå ïåðåõîäà ê îáîáùåííîé ïîëÿðíîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò:
x = r · cosp ϕ,
y = r · sinp ϕ.
Ïîäñòàâèì ýòè âûðàæåíèÿ â óðàâíåíèå àñòðîèäû:
r2/3 (cos2p/3 ϕ + sin2p/3 ϕ) = a2/3 .
Åñëè âçÿòü p = 3, òî ýòî óðàâíåíèå ïðåâðàòèòñÿ â r2/3 = a2/3 ,
îòêóäà r = a. Èòàê, èñêîìàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ àñòðîèäû:

x = a · cos3 ϕ,
y = a · sin3 ϕ.
Ïîñêîëüêó x > 0 è y > 0, òî îäíîâðåìåííî cos ϕ > 0 è
sin ϕ > 0, òî åñòü 0 6 ϕ 6 π/2.
Âû÷èñëèì äèôôåðåíöèàë äëèíû äóãè:

x0 = −3a cos2 ϕ · sin ϕ,
y 0 = 3a sin2 ϕ · cos ϕ.
(x0 )2 + (y 0 )2 = 9a2 (cos4 ϕ sin2 ϕ + sin4 ϕ cos2 ϕ) =
= 9a2 cos2 ϕ sin2 ϕ,
d` =
p
(x0 )2
+
(y 0 )2
dϕ = 3a
q
cos2 ϕ sin2 ϕ dϕ =
= 3a cos ϕ sin ϕ dϕ,
10
ïîñêîëüêó cos ϕ > 0 è sin ϕ > 0.
Z
(x
4/3
+y
4/3
) d` = 12 a
7/3
Zπ/2
(cos4 ϕ + sin4 ϕ) cos ϕ sin ϕ dϕ =
0
L
Zπ/2
= 12 a7/3 (cos5 ϕ sin ϕ + sin5 ϕ cos ϕ) dϕ =
0
= 24 a
7/3
Zπ/2
sin5 ϕ cos ϕ dϕ = 4 a7/3 .
0
 4229:
Ïðèìåð:
Âû÷èñëèòü êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë
L îêðóæíîñòü x2 + y 2 = ax, a > 0.
x2 + y 2 d`, ãäå
Rp
L
Ðåøåíèå:
Ïåðåéäåì ê ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì:
x = r · cos ϕ,
y = r · sin ϕ.
Ïîäñòàâèâ ýòè âûðàæåíèÿ â óðàâíåíèå îêðóæíîñòè, ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå r2 = a r cos ϕ, êîòîðîå ðàñïàäàåòñÿ íà äâà:
r = 0 è r = a cos ϕ. Âïðî÷åì, òî÷êà r = 0 íå ÿâëÿåòñÿ èçîëèðîâàííîé, à ïîëó÷àåòñÿ èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ ïðè ϕ = ± π/2.
11
Êðîìå òîãî, ïîñêîëüêó ïåðåìåííàÿ r íå ìîæåò ïðèíèìàòü îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé, èç ýòîãî æå óðàâíåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî
cos ϕ > 0.  êà÷åñòâå îáëàñòè èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà ϕ â òàêîì ñëó÷àå óäîáíî âûáðàòü îòðåçîê [−π/2; π/2]. Òàêèì îáðàçîì, ìû íàøëè ïîëÿðíîå óðàâíåíèå äàííîé îêðóæíîñòè:
r = a cos ϕ è ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ.
Âû÷èñëèì äèôôåðåíöèàë äóãè, âîñïîëüçîâàâøèñü ïîëÿðíûì óðàâíåíèåì:
d` =
√
r02
+
r2
dϕ = a
q
sin2 ϕ + cos2 ϕ dϕ = a dϕ.
Êàê è â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå, íåòðóäíî óñòàíîâèòü, ÷òî
êðèâàÿ L ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî îñè Ox, à ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ÷¼òíà ïî ïåðåìåííîé y , ïîýòîìó ðàññìîòðèì ëèøü âåðõíþþ ïîëîâèíó îêðóæíîñòè, ñîîòâåòñòâóþùóþ
çíà÷åíèÿì 0 6 ϕ 6 π .
Âûðàçèì ïîäûíòåãðàëüíóþ ôóíêöèþ ÷åðåç ïàðàìåòð ϕ:
p
x2 + y 2 = r = a cos ϕ, è ïðèñòóïèì ê âû÷èñëåíèþ èíòåãðà-
ëà:
Zπ/2
x2 + y 2 d` = 2 a2 cos ϕ dϕ = 2a2 .
Z p
L
 4227:
Ïðèìåð:
0
12
Âû÷èñëèòü êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë
ëåìíèñêàòà (x2 + y 2 )2 = a2 (x2 − y 2 ).
R
| y | d`, ãäå L L
Ðåøåíèå:
Ýòà êðèâàÿ ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî îñåé êîîðäèíàò, à
ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ÷¼òíà ïî ïåðåìåííûì x è y , ïîýòîìó âîçüì¼ì ëèøü ÷àñòü äóãè, ëåæàùóþ â êâàäðàíòå x > 0,
y > 0.
Ïðàâàÿ è ëåâàÿ ÷àñòè óðàâíåíèÿ ëåìíèñêàòû ÿâëÿþòñÿ
îäíîðîäíûìè ïîëèíîìàìè, ïîýòîìó ïîïðîáóåì ïåðåéòè ê ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì. Óðàâíåíèå ïðèìåò âèä:
r4 = a2 r2 (cos2 ϕ − sin2 ϕ) = a2 cos 2ϕ,
è ñâåäåòñÿ ê óðàâíåíèþ r2 = a2 cos 2ϕ, ïîñêîëüêó òî÷êà r = 0
íå ÿâëÿåòñÿ èçîëèðîâàííîé, à ïîëó÷àåòñÿ ïðè ϕ = π/4 (â
ïåðâîé êîîðäèíàòíîé ÷åòâåðòè 0 6 ϕ 6
π
).
2
Èç ïîñëåäíåãî
óðàâíåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî cos 2ϕ > 0, òî åñòü ïàðàìåòð ϕ ìîæåò ìåíÿòüñÿ òîëüêî â ïðåäåëàõ 0 6 ϕ 6 π4 . Òàêèì îáðàçîì,
√
ìû íàøëè ïîëÿðíîå óðàâíåíèå ëåìíèñêàòû r = a cos 2ϕ è
ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ.
Âû÷èñëèì äèôôåðåíöèàë äóãè:
s
p
sin2 2ϕ
a dϕ
d` = (r0 )2 + r2 dϕ = a
+ cos 2ϕ dϕ = √
cos 2ϕ
cos 2ϕ
Âñïîìíèì, ÷òî â ïåðâîé ÷åòâåðòè | y | = y = r(ϕ) sin ϕ, è
13
âû÷èñëèì èíòåãðàë:
Z
Zπ/4 p
a
| y | d` = 4 a cos 2ϕ sin ϕ √
dϕ =
cos 2ϕ
L
0
Zπ/4
√
= 4a2
sin ϕ dϕ = 2a2 (2 − 2).
0
 á/í:
Ïðèìåð:
Çàïèñàòü ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå êðèâîé â ïðîñòðàíñòâå R3 , çàäàííîé ïåðåñå÷åíèåì äâóõ ïîâåðõíîñòåé:
x2 + y 2 + z 2 = 2ax è x2 + y 2 = z 2 , z > 0.
Ðåøåíèå:
Èñêëþ÷èâ èç ñèñòåìû ïåðåìåííóþ z , ìû òåì ñàìûì ïîëó÷èì óðàâíåíèå ïðîåêöèè äàííîé êðèâîé íà ïëîñêîñòü xOy :
x2 +y 2 = ax. Â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ óðàâíåíèå ýòîé îêðóæíîñòè èìååò âèä r = a cos ϕ, ãäå |ϕ| 6 π/2. Òîãäà èç óðàâíåíèÿ
x2 + y 2 = z 2 è z > 0 ñëåäóåò, ÷òî z = r = a cos ϕ. Âîçâðàùàÿñü
ê äåêàðòîâûì êîîðäèíàòàì, ïîëó÷àåì ïàðàìåòðèçàöèþ:


x = a cos2 ϕ,



y = a cos ϕ sin ϕ,



z = a cos ϕ
14
Çàìå÷àíèå 1. Óðàâíåíèå x2 + y 2 = z 2 , z > 0 çàäàåò âåðõíþþ ïîëîâèíó êîíóñà, à óðàâíåíèå x2 +y 2 +z 2 = 2ax ñôåðó
( åå êàíîíè÷åñêîå óðàâíåíèå (x − a)2 + y 2 + z 2 = a2 ).
Çàìå÷àíèå 2. Òó æå ñàìóþ ïàðàìåòðèçàöèþ ìîæíî áûëî
áû ïîëó÷èòü, çàïèñàâ ñíà÷àëà óðàâíåíèÿ îáåèõ ïîâåðõíîñòåé
â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
x = r · cos ϕ,
y = r · sin ϕ,
z = h,
à çàòåì óæå èñêëþ÷àÿ ïåðåìåííóþ h.
 4240:
Ïðèìåð:
Âû÷èñëèòü èíòåãðàë
R
z d`, ãäå L äðóãà êðèâîé
L

x2 + y 2 = z 2
y 2 = ax
√
îò òî÷êè (0, 0, 0) äî òî÷êè (a, a, a 2).
Ðåøåíèå:
Ñïîñîá 1.
Äëÿ òîãî ÷òîáû ïàðàìåòðèçîâàòü êðèâóþ L, ìîæíî âûáðàòü â êà÷åñòâå ïàðàìåòðà îäíó èç ïåðåìåííûõ, íàïðèìåð
x, à îñòàëüíûå âûðàçèòü ÷åðåç íåå. Ïîñêîëüêó çàäàííàÿ äóãà
15
êðèâîé ðàñïîëîæåíà â îêòàíòå x > 0, y > 0, z > 0, òî
√
√
x = t,
y = at,
z = t2 + at.
a
2t + a
x0 = 1,
y0 = √ ,
.
z0 = √
2 at
2 t2 + at
Ïàðàìåòð t, î÷åâèäíî, èçìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ îò 0 äî a.
s
8t2 + 9at + 2a2
dt.
4t · (t + a)
d` =
Z
z d` =
Za √
s
t2 + at ·
8t2 + 9at + 2a2
dt =
4t (t + a)
0
L
1
=
2
Za √
8t2 + 9at + 2a2 dt =
0
√
=
√
=
2 a2
v
u
tp2 −
25/16
Z u
√
17
16
!2
dp =
9/16
2
2a
512
√ !
√
25 + 4 38
100 38 − 72 − 17 ln
.
17
Ñïîñîá 2.
Êðèâàÿ L çàäàíà êàê ïåðåñå÷åíèå äâóõ ïîâåðõíîñòåé: êîíóñà è ïàðàáîëè÷åñêîãî öèëèíäðà. Èõ óðàâíåíèÿ â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ
x = r · cos ϕ,
y = r · sin ϕ,
z=h
16
ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñèñòåìó íåÿâíûõ ôóíêöèé
r2 = h2 ,
r2 · sin2 ϕ = ar · cos ϕ,
êîòîðóþ ìîæíî ðàçðåøèòü îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðà ϕ ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ äóãà ðàñïîëîæåíà â îáëàñòè
h > 0. Òîãäà
a cos ϕ
.
sin2 ϕ
Âîçâðàùàÿñü â äåêàðòîâû êîîðäèíàòû, ïîëó÷àåì ïàðàìåòðèh=r=
çàöèþ êðèâîé
x=a·
cos2 ϕ
,
sin2 ϕ
y =a·
cos ϕ
,
sin ϕ
z =a·
cos ϕ
.
sin2 ϕ
Íàéäåì ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ.
Ïî óñëîâèþ x 6 a, ñëåäîâàòåëüíî cos2 ϕ 6 sin2 ϕ, èëè
| cos ϕ| 6 | sin ϕ|. À òàê êàê x > 0 è y > 0, òî 0 6 ϕ 6 π/2,
à çíà÷èò cos ϕ > 0, sin ϕ > 0. Ïîýòîìó ìîäóëè ìîæíî îïóñòèòü: 0 6 cos ϕ 6 sin ϕ, èëè π/4 6 ϕ 6 π/2. Èòàê, ïðåäåëû
èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà ϕ óñòàíîâëåíû.
Âû÷èñëèì äèôôåðåíöèàë äëèíû äóãè.
cos ϕ
−2 cos ϕ sin3 ϕ − 2 sin ϕ cos3 ϕ
= −2a ·
,
4
sin ϕ
sin3 ϕ
− sin2 ϕ − cos2 ϕ
a
y0 = a ·
=− 2 ,
2
sin ϕ
sin ϕ
3
2
1 + cos2 ϕ
− sin ϕ − 2 sin ϕ cos ϕ
0
= −a ·
.
z =a·
sin4 ϕ
sin3 ϕ
x0 = a ·
17
(d`)2 = ((x0 )2 + (y 0 )2 + (z 0 )2 ) (dϕ)2 =
1
1 + 2 cos2 ϕ + cos4 ϕ
4 cos2 ϕ
2
=a
+
+
(dϕ)2 =
sin6 ϕ
sin4 ϕ
sin6 ϕ
cos4 ϕ + 5 cos2 ϕ + 2
= a2
(dϕ)2 .
6
sin ϕ
Òåïåðü ìîæíî ïðèñòóïàòü ê âû÷èñëåíèþ èíòåãðàëà:
Z
L
p
Zπ/2
5 cos2 ϕ + 2 + cos4 ϕ
2 cos ϕ
z d` =
dϕ.
a
sin2 ϕ
sin3 ϕ
π/4
cos ϕ
Ñäåëàåì çàìåíó t = sin−2 ϕ. Òîãäà dt = −2 sin
3 ϕ dϕ,
Ïðåîáðàçóåì ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå:
cos4 ϕ + 5 cos2 ϕ + 2 = sin4 ϕ − 7 · sin2 ϕ + 8,
è ïðîäîëæèì âû÷èñëåíèÿ.
18
Z
a2
z d` = −
2
Z1 √
t t−2 − 7t−1 + 8 dt =
2
L
=
a2
2
Z2
√
8 · t2 − 7 · t + 1 dt =
1
v
2 u
√ !2
2
Z
u
√
7
17
= a2 2 t t −
−
dt =
16
16
1
√
√ !
2
√
a 2
25 + 4 38
100 38 − 72 − 17 ln
.
=
512
17
 4238:
Ïðèìåð:
Âû÷èñëèòü êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë
R
x2 d`, ãäå L L
îêðóæíîñòü x + y + z = a , x + y + z = 0.
2
2
2
2
Ðåøåíèå:
Ñïîñîá 1.
Ïåðåéäåì â öèëèíäðè÷åñêèå êîîðäèíàòû
x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ,
z = h.
Îêðóæíîñòü L çàäàåòñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé
r2 + h2 = a2 ,
h = −(x + y) = −r(cos ϕ + sin ϕ).
19
Ïîäñòàâëÿÿ h èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ â ïåðâîå, âûðàçèì r
÷åðåç ϕ:
r2 + r2 (sin ϕ + cos ϕ)2 = a2
a2
2 + 2 sin ϕ cos ϕ
a
r=√
.
2 + sin 2ϕ
r2 =
Èòàê, ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå îêðóæíîñòè L:


x = r(ϕ) · cos ϕ,



a
.
ãäå r(ϕ) = √
y = r(ϕ) · sin ϕ,

2 + sin 2ϕ


z = −r(ϕ) · (cos ϕ + sin ϕ),
Âû÷èñëèì äèôôåðåíöèàë äëèíû äóãè ïî ôîðìóëå
(d`)2 = ((x0 )2 + (y 0 )2 + (z 0 )2 ) (dϕ)2 .
Ïåðâûå äâà óðàâíåíèÿ ïîëó÷åííîãî ïàðàìåòðè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ îêðóæíîñòè L ïî ñóòè ÿâëÿþòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè åå ïðîåêöèè íà ïëîñêîñòü xOy , à çàâèñè√
ìîñòü r(ϕ) = a( 2 + sin 2ϕ)−1 ïîëÿðíûì óðàâíåíèåì ýòîé
ïðîåêöèè.  òàêîì ñëó÷àå, êàê áûëî äîêàçàíî ðàíåå,
(x0 )2 + (y 0 )2 = (r0 )2 + r2 .
Êðîìå òîãî, ïîñêîëüêó z = −(x + y), òî
(z 0 )2 = (x0 + y 0 )2 = (x0 )2 + (y 0 )2 + 2x0 · y 0 =
= (r0 )2 + r2 + ((r0 )2 − r2 ) sin 2ϕ + 2 r0 r cos 2ϕ,
20
ãäå r0 = −a · cos 2ϕ (2 + sin 2ϕ)−3/2 .
Èòàê,
(x0 )2 + (y 0 )2 + (z 0 )2 = (x0 )2 + (y 0 )2 + (x0 + y 0 )2 =
= r2 (2 − sin 2ϕ) + (r0 )2 (2 + sin 2ϕ) + 2 (r0 r) cos 2ϕ =
= 3a2 (2 + sin 2ϕ)−2 .
Íàéäåì ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ. Ïàðàìåòð ϕ èìååò ïðîñòîé ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ýòî óãîë ìåæäó ïðîåêöèåé ðàäèóñ âåêòîðà òî÷êè (x, y, z) íà ïëîñêîñòü xOy è ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè Ox. Ïîñêîëüêó ïðîåêöèåé îêðóæíîñòè L ÿâëÿåòñÿ ýëëèïñ, à íà÷àëî êîîðäèíàò ñîäåðæèòñÿ
âíóòðè íåãî, òî ïðè îáõîäå ýòîãî ýëëèïñà òî÷êà (x, y) ñîâåðøèò ïîëíûé îáîðîò âîêðóã íà÷àëà êîîðäèíàò, è çíà÷èò
ïàðàìåòð ϕ èçìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ îò 0 äî 2π .
Ïðèñòóïèì ê âû÷èñëåíèþ èíòåãðàëà:
Z
2
x d` =
L
√
3a
3
Z2π
cos2 ϕ dϕ
(2 + sin 2ϕ)2
0
Ïîñêîëüêó 2 cos2 ϕ = cos 2ϕ+1, òî ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé àðãóìåíòà 2ϕ, à çíà÷èò, π ïåðèîäè÷íà. Ïîýòîìó èíòåãðàë ïî îòðåçêó [0; 2π] ðàâåí óäâîåííîìó èíòåãðàëó ïî ëþáîìó îòðåçêó, äëèíà êîòîðîãî ðàâíà
21
ïåðèîäó, íàïðèìåð, ïî îòðåçêó [−π/2; π/2]. Çàìåíà ïåðåìåííîé t = tg ϕ ñâîäèò çàäà÷ó ê èíòåãðèðîâàíèþ ðàöèîíàëüíîé
ôóíêöèè:
√
Z
2
x d` =
=
√
=
Zπ/2
3 a3
2
−π/2
3 a3
6
Z2π
cos2 ϕ dϕ
=
(1 + sin ϕ cos ϕ)2
0
L
√
3 a3
4
cos2 ϕ dϕ
=
(1 + sin ϕ cos ϕ)2
√
3 a3
2
Z∞
(t2
dt
=
+ t + 1)2
−∞
2t + 1
4
2t + 1
+ √ arctg √
2
(t + t + 1)
3
3
∞
2
= · πa3 .
3
−∞
Ñïîñîá 2.
Íàïðàâèì îñü Ox0 ïî ïðÿìîé x + y = 0, z = 0, îñü Oy 0 ïî
√
ïðÿìîé x = y , z = −(x + y), òî åñòü ïîä óãëîì α = arctg 2 =
√
arccos(1/ 3) ê ïëîñêîñòè xOy , à îñü Oz 0 - ïî íîðìàëè ê ïëîñêîñòè x + y + z = 0, òî åñòü âäîëü âåêòîðà (1, 1, 1) (ñì. ðèñ.).
 ïëîñêîñòè x0 Oy 0 îêðóæíîñòü L ïàðàìåòðèçóåòñÿ ñòàíäàðòíûì îáðàçîì: x0 = r · cos ϕ, y 0 = r · sin ϕ.
Òåïåðü ñîâåðøèì ïîâîðîò â ïëîñêîñòè x = y , ïðè êîòîðîì îñü Oz 0 ñîâìåñòèòñÿ ñ îñþ Oz , òî åñòü ïîëîæèì x00 = x0 ,
√
y 00 = y 0 / 3 è z 00 = z . Äëÿ çàâåðøåíèÿ êàðòèíû îñòàëîñü åù¼
ïîâåðíóòü åå íà óãîë π/4 â ïëîñêîñòè x00 Oy 00 :
22

r sin ϕ


x = cos (π/4) · (y 00 − x00 ) = √ ( √ − cos ϕ),


2
3


r sin ϕ
00
00
y = cos (π/4) · (y + x ) = √ ( √ + cos ϕ),

2
3


√ sin ϕ
p


00
0
z = z = y · 2/3 = r 2 · √ .
3
Òåïåðü ìîæíî âû÷èñëèòü èíòåãðàë:
Z
a3
x2 d` =
2
=
a3
6
sin ϕ
( √ − cos ϕ)2 dϕ =
3
0
L
Z2π
Z2π
√
2πa3
(2 · cos2 ϕ − 2 3 · sin ϕ · cos ϕ + 1) dϕ =
.
3
0
Ñïîñîá 3 (ñàìûé ïðîñòîé).
Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèÿ, îïðåäåëÿþùèå îêðóæíîñòü L,
èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî öèêëè÷åñêîé çàìåíû ïåðåìåííûõ
x → y → z → x, ïîýòîìó
Z
Z
Z
2
2
x d` = y d` = z 2 d`.
L
L
L
Äàëåå, íà îêðóæíîñòè L ôóíêöèÿ x2 + y 2 + z 2 ïðèíèìàåò
ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå a2 . Ñëåäîâàòåëüíî,


Z
Z
Z
Z
1
x2 d` =  x2 d` + y 2 d` + z 2 d`  =
3
L
L
L
L
Z
Z
1
1
a2
2πa3
2
2
2
2
=
(x + y + z ) d` =
a d` =
· 2πa =
.
3
3
3
3
L
L
23
Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü íåêîòîðàÿ ñêàëÿðíàÿ âåëè÷èíà (ìàññà, çàðÿä è ò. ï.) ðàñïðåäåëåíà íà êðèâîé L ñ ëèíåéíîé ïëîòíîñòüþ ρ(x; y; z), à r(M ) ðàññòîÿíèå îò òî÷êè M ∈ L äî
íåêîòîðîé ïëîñêîñòè èëè ïðÿìîé P . Èíòåãðàëû
Z
(k)
IP = ρrk d`, k ∈ Z
L
íàçûâàþòñÿ ìîìåíòàìè ïîðÿäêà k êðèâîé L îòíîñèòåëüíî
ïëîñêîñòè (ïðÿìîé) P.
Òàê, ìàññà êðèâîé
Z
M (L) = ρd`
L
ÿâëÿåòñÿ ìîìåíòîì íóëåâîãî ïîðÿäêà, ìîìåíòû ïåðâîãî ïîðÿäêà íàçûâàþòñÿ ñòàòè÷åñêèìè ìîìåíòàìè, à ìîìåíòû
âòîðîãî ïîðÿäêà ìîìåíòàìè èíåðöèè.
Êîîðäèíàòû öåíòðà ìàññ êðèâîé L âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì:
(1)
IyOz
1
x0 =
=
M (L)
M (L)
(1)
Z
xρ d` ,
1
I
y0 = xOz =
M (L)
M (L)
L
Z
yρ d` ,
L
(1)
IxOy
1
z0 =
=
M (L)
M (L)
Z
zρ d` .
L
Ìîìåíòû èíåðöèè êðèâîé L îòíîñèòåëüíî îñåé Ox, Oy è
Oz âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì:
24
Ix =
(2)
IOx
Z
2
2
(y + z ) ρ d` ,
=
Iy =
(2)
IOy
Z
=
(x2 + z 2 ) ρ d` ,
L
L
Iz =
(2)
IOz
Z
=
(x2 + y 2 ) ρ d` .
L
 4245:
Ïðèìåð:
Âû÷èñëèòü êîîðäèíàòû öåíòðà ìàññ êîíòóðà ñôåðè÷åñêîãî òðåóãîëüíèêà L : x2 + y 2 + z 2 = a2 ; x > 0, y > 0, z > 0.
Ðåøåíèå:
Çàìåòèì, ÷òî ïðîñòðàíñòâåííàÿ êðèâàÿ L ñîñòîèò èç òðåõ
ïëîñêèõ êóñêîâ Li , i = 1, 2, 3, êàæäûé èç êîòîðûõ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷åòâåðòü îêðóæíîñòè ðàäèóñà a, ëåæàùåé â îäíîé
èç êîîðäèíàòíûõ ïëîñêîñòåé. Êðîìå òîãî, ïðè öèêëè÷åñêîé
çàìåíå ïåðåìåííûõ x → y → z → x, òî åñòü ïðè ïîâîðîòå
âîêðóã îñè x = y = z íà 120o , êðèâàÿ L ïåðåõîäèò ñàìà â
ñåáÿ (L1 → L2 → L3 → L1 ). Ïîýòîìó ìàññó L ìîæíî íàéòè
êàê
Z
M=
Z
d` = 3
L
L1
Zπ/2
d` = 3 a dϕ = 3πa/2.
0
(L1 ïàðàìåòðèçóåòñÿ åñòåñòâåííûì îáðàçîì: x = a · cos ϕ,
y = a · sin ϕ, z = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, d` = a dϕ.)
25
Òàêæå ÿñíî, ÷òî â ñèëó óêàçàííîé ñèììåòðèè öåíòð ìàññ
ëåæèò íà ïðÿìîé x = y = z , òî åñòü åãî êîîðäèíàòû ðàâíû:
R
x0 = y0 = z0 . Çàìåòèì, ÷òî z d` = 0, ïîñêîëüêó z = 0 â
L1
ïëîñêîñòè xOy . Ïîýòîìó
z d` = 2
z d` +
Mz =
L2
Z
Z
Z
Zπ/2
cos ϕ dϕ = 2a2 ,
z d` = 2a2
L2
L3
èòàê,
x0 = y0 = z0 =
0
Mz
2a2
4a
=
=
.
M
3πa/2
3π
Ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë ïåðâîãî ðîäà.
Îïðåäåëåíèå è îñíîâíûå ñâîéñòâà
Îïðåäåëåíèå. Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå ω îãðàíè÷åííîé,
èçìåðèìîé ïî Æîðäàíó îáëàñòè D ⊂ R2 â ïðîñòðàíñòâî
Rn , çàäàííîå íàáîðîì íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé xi = ωi (u; v),
(u; v) ∈ D, i = 1, . . . , n. Îòîáðàæåíèå ω äîëæíî áûòü âçàèìíîîäíîçíà÷íûì âî âíóòðåííèõ òî÷êàõ ìíîæåñòâà D. Ïîâåðõíîñòüþ
S â ïðîñòðàíñòâå Rn íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê
x = (x1 , . . . , xn ), ÿâëÿþùèõñÿ çíà÷åíèÿìè ýòîãî îòîáðàæåíèÿ.
Óðàâíåíèÿ xi = ωi (u; v), i = 1, ..., n íàçûâàþòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè
ïîâåðõíîñòè S .
Êàæäîé òî÷êå (u; v) ∈ D îòîáðàæåíèå ω ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå òî÷êó M (u; v) ∈ Rn , ïðè÷åì M (u; v) → M (u0 ; v0 )
26
ïðè (u; v) → (u0 ; v0 ) â ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèé ωi (u; v).
Òàêèì îáðàçîì, äâóìåðíóþ ïîâåðõíîñòü â Rn ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê âëîæåíèå â Rn èçîãíóòîãî, äåôîðìèðîâàííîãî êóñêà
ïëîñêîñòè.
Ïóñòü (u0 ; v0 ) ∈ D. Òîãäà ÷åðåç òî÷êó M (u0 ; v0 ) ∈ S â
íåêîòîðîé åå îêðåñòíîñòè ïðîõîäÿò äâå êðèâûå: x = ω(s0 ; t) è
x = ω(s; t0 ), ëåæàùèå íà ïîâåðõíîñòè S , êîòîðûå íàçûâàþòñÿ
êîîðäèíàòíâìè ëèíèÿìè,
à ñàìè çíà÷åíèÿ (u0 ; v0 ) íàçûâàþò-
ñÿ êðèâîëèíåéíûìè êîîðäèíàòàìè íà ïîâåðõíîñòè S .
Îïðåäåëåíèå. Îòîáðàæåíèå ω : D Rn íàçûâàåòñÿ ãëàäêèì,
åñëè â ëþáîé òî÷êå (u; v) ∈ D ôóíêöèè xi = ωi (u; v)
èìåþò íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå.
Îïðåäåëåíèå. Ïîâåðõíîñòü S íàçûâàåòñÿ ãëàäêîé, åñëè çàäàþùåå åå îòîáðàæåíèå ω : D Rn ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì. Ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü íàçûâàåòñÿ íåâûðîæäåííîé, åñëè â êàæäîé
òî÷êå (u; v) ∈ D ðàíã ìàòðèöû ßêîáè îòîáðàæåíèÿ ω ìàêñèìàëåí, à èìåííî, ðàâåí 2.
Êîððåêòíîå îïðåäåëåíèå ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè â îáùåì
ñëó÷àå òðåáóåò ãîðàçäî áîëüøå óñèëèé, ÷åì îïðåäåëåíèå äëèíû êðèâîé. È ïîñêîëüêó öåëüþ äàííîãî ïîñîáèÿ âñå-æå ÿâëÿåòñÿ îñâîåíèå ïðèåìîâ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ, ìû ðàññìîòðèì, êàê îïðåäåëÿåòñÿ ïîíÿòèå ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè â ïðîñòîì ñëó÷àå, êîãäà S ÿâëÿåòñÿ îáðàçîì êâàäðàòà. Çäåñü óæå
27
ñîäåðæàòñÿ âñå îñíîâíûå ìîìåíòû ïîñòðîåíèÿ ïîíÿòèÿ ïëîùàäè, êîòîðûå âîñïðîèçâîäÿòñÿ è â áîëåå îáùåé ñèòóàöèè.
Äàëåå ñòàíäàðòíûìè ðàññóæäåíèÿìè ìîæíî ïåðåéòè ê îïðåäåëåíèþ ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè, ÿâëÿþùåéñÿ îáðàçîì ïðîèçâîëüíîãî èçìåðèìîãî ïî Æîðäàíó êîìïàêòíîãî ìíîæåñòâà.
Èòàê, ïóñòü S ãëàäêàÿ íåâûðîæäåííàÿ ïîâåðõíîñòü,
ÿâëÿþùàÿñÿ îáðàçîì êâàäðàòà D ñî ñòîðîíàìè, ïàðàëëåëüíûìè êîîðäèíàòíûì îñÿì. Ðàññìîòðèì åãî ðàçáèåíèå T íà
ðàâíûå êâàäðàòû Dk,l ñ îòìå÷åííûìè òî÷êàìè ξk,l , ãäå ξk,l âåðøèíà ëåâîãî íèæíåãî óãëà êâàäðàòà Dk,l . Äëèíó ñòîðîíû
êâàäðàòà Dk,l îáîçíà÷èì ÷åðåç d. Ðàçáèåíèå T ïîðîæäàåò ðàçáèåíèå ïîâåðõíîñòè S íà êóñêè Sk,l ñ îòìå÷åííûìè òî÷êàìè
Pk,l = ω(ξk,l ).
 êàæäîé òî÷êå ïîâåðõíîñòè S îïðåäåëåíû äâà âåêòîðà:
~x 0u è ~x 0v , êàñàòåëüíûå ê êîîðäèíàòíûì ëèíèÿì. Îíè îáðàçóþò
áàçèñ â êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ê S , ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äàííóþ
òî÷êó, ïîñêîëüêó ÿâëÿþòñÿ ñòîëáöàìè ìàòðèöû ßêîáè, ðàíã
êîòîðîé ïî ïðåäïîëîæåíèþ ðàâåí äâóì. Òàêèì îáðàçîì, âåê~ = [~x 0 × ~x 0 ] îòëè÷íî îò íóëÿ. Êàê
òîðíîå ïðîèçâåäåíèå N
u
v
~ ïåðïåíäèêóëÿðåí êàæäîìó èç âåêòîðîâ
èçâåñòíî, âåêòîð N
~x 0u è ~x 0v , à äëèíà åãî ðàâíà ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà ýòèõ âåêòîðàõ.
~ = [~x 0 × ~x 0 ] áóäåì íàçûâàòü íîðÎïðåäåëåíèå. Âåêòîð N
v
u
ìàëüþ ê ïîâåðõíîñòè
S,
îòâå÷àþùåé ïàðàìåòðèçàöèè
ω.
28
Ñïðîåêòèðîâàâ îðòîãîíàëüíî ýëåìåíò Sk,l íà êàñàòåëüíóþ
ïëîñêîñòü ê ïîâåðõíîñòè S â òî÷êå Pk,l , ìû ïîëó÷èì â ïðîåêöèè ïëîñêóþ ôèãóðó, ïëîùàäü êîòîðîé îáîçíà÷èì ÷åðåç µk,l .
Äëÿ êàæäîãî ðàçáèåíèÿ T ñ îòìå÷åííûìè òî÷êàìè ξj ñîñòàâèì èíòåãðàëüíóþ ñóììó
σ(T ) =
X
µk,l .
k,l
Îïðåäåëåíèå. Åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë èíòåãðàëüíûõ ñóìì σ(T ) ïðè d → 0, òî îí íàçûâàåòñÿ ïëîùàäüþ
ïîâåðõíîñòè
S . Ïîâåðõíîñòü, èìåþùàÿ ïëîùàäü, íàçûâàåòñÿ
êâàäðèðóåìîé.
Òåîðåìà. Åñëè S - ãëàäêàÿ íåâûðîæäåííàÿ ïîâåðõíîñòü,
ÿâëÿþùàÿñÿ îáðàçîì èçìåðèìîãî êîìïàêòà D, òî îíà êâàäðèðóåìà è åå ïëîùàäü ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà ïî ôîðìóëå
ZZ
~ | du dv.
|N
D
~ | du dv íàçûâàåòñÿ ýëåìåíòîì (äèôôåÂåëè÷èíà dS = |N
ðåíöèàëîì) ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè.
Äëÿ åå âû÷èñëåíèÿ ñóùå-
ñòâóåò åùå îäíà ôîðìóëà, îñíîâàííàÿ íà òîì, ÷òî ïëîùàäü
ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ ~x 0u è ~x 0v , ìîæåò
áûòü âûðàæåíà ÷åðåç îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû Ãðàìà:
(~x 0 · ~x 0 ) (~x 0 · ~x 0 ) E F u u
v
u 0
=
0
0
0
(~x u · ~x v ) (~x v · ~x v ) F G
29
Òîãäà, åñëè îáîçíà÷èòü îïðåäåëèòåëü EG − F 2 ÷åðåç Γ,
ïîëó÷èì ôîðìóëó
√
dS =
Γ du dv =
√
EG − F 2 du dv.
Ðàññìîòðèì ãëàäêóþ íåâûðîæäåííóþ ïîâåðõíîñòü S , ÿâëÿþùóþñÿ îáðàçîì èçìåðèìîãî êîìïàêòà D. Ïóñòü ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ f (M ) îïðåäåëåíà âî âñåõ òî÷êàõ ïîâåðõíîñòè S .
Ðàçìå÷åííîå ðàçáèåíèå T ìíîæåñòâà D íà èçìåðèìûå êóñêè
ïîðîæäàåò ðàçáèåíèå ïîâåðõíîñòè S íà êóñêè Sk,l ñ îòìå÷åííûìè òî÷êàìè Pk,l . Äëÿ êàæäîãî ðàçìå÷åííîãî ðàçáèåíèÿ T
ñîñòàâèì èíòåãðàëüíóþ ñóììó
σ(f ; T ) =
X
f (Pk,l ) · µ(Sk,l ),
k,l
ãäå µ(Sk,l ) ïëîùàäü ñîîòâåòñòâóþùåãî êóñêà ïîâåðõíîñòè.
Îïðåäåëåíèå. Åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë èíòåãðàëüíûõ ñóìì σ(f ; T ) ïðè max µ(Sk,l ) → 0, òî îí íàçûâàåòñÿ
èíòåãðàëîì ïåðâîãî ðîäà
îáîçíà÷àåòñÿ
îò ôóíêöèè f ïî ïîâåðõíîñòè S è
ZZ
f (x) dS.
S
Òåîðåìà (ñâåäåíèå ïîâåðõíîñòíîãî èíòåãðàëà ïåðâîãî ðîäà ê äâîéíîìó èíòåãðàëó). Åñëè ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà íà
30
íåâûðîæäåííîé ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè S , êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ îáðàçîì èçìåðèìîãî êîìïàêòà D ïðè îòîáðàæåíèè x = ω(u; v),
òî ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë ïåðâîãî ðîäà îò ôóíêöèè f ïî
ïîâåðõíîñòè S ñóùåñòâóåò è ìîæåò áûòü âû÷èñëåí ïî ôîðìóëå
ZZ
ZZ
f (x) dS =
S
√
f (ω(u; v)) EG − F 2 du dv.
D
Òåîðåìà. Çíà÷åíèå ïîâåðõíîñòíîãî èíòåãðàëà ïåðâîãî ðîäà íå çàâèñèò îò âûáîðà ïàðàìåòðèçàöèè ïîâåðõíñòè S .
Äàëåå ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïîâåðõíîñòü S ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííîé è êóñî÷íî-ãëàäêîé, òî åñòü ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå îáúåäèíåíèÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà ãëàäêèõ íåâûðîæäåííûõ ïîâåðõíîñòåé.
Çàäà÷à. Íàéòè ïëîùàäü ÷àñòè ãèïåðáîëè÷åñêîãî ïàðàáîëîèäà z = xy , êîòîðàÿ âûðåçàåòñÿ öèëèíäðîì x2 + y 2 = 3.
Ðåøåíèå:
Ïëîùàäü ðàâíà èíòåãðàëó îò 1.
Ïîâåðõíîñòü çàäàíà ÿâíûì óðàâíåíèåì, ïîýòîìó ìîæíî
ñ÷èòàòü ïàðàìåòðàìè x è y . Îáëàñòü èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðîâ
ýòî ïðîåêöèÿ ïîâåðõíîñòè íà ïëîñêîñòü xOy , òî åñòü êðóã
K : x2 + y 2 = 3. Ïîýòîìó
31
Z
1 dS =
S
Z p
1+
x2
+
y2
dx dy =
0
K
=
Z2 √
Z2π Z2 √
Z2π
1 + r2 rd r
0
Z3
dϕ = 2π
0
√
1 + r2 rd rdϕ =
0
1+t
dt
= 2π/3.
2
0
 4343:
Ïðèìåð:
Âû÷èñëèòü ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë 1-ãî ðîäà
RR
(x + y + z) dS ,
S
ãäå
S ïîâåðõíîñòü x2 + y 2 + z 2 = a2 , z > 0.
Ðåøåíèå:
Ïîâåðõíîñòü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîëóñôåðó ðàäèóñà a ñ
öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò , ïîýòîìó äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïàðàìåòðèçàöèè âîñïîëüçóåìñÿ ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò,
ïîäñòàâèâ R = a:


x = a · sin θ · cos ϕ,



y = a · sin θ · sin ϕ,



z = a · cos θ.
Ïîñêîëüêó z > 0, èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî
cos θ > 0, òî åñòü 0 6 θ 6 π2 .
32
Âû÷èñëèì ýëåìåíò ïîâåðõíîñòè: dS =
√
EG − F 2 dϕ dθ =
~ | dϕ dθ
|N
~rϕ = a (− sin θ sin ϕ, sin θ cos ϕ, 0),
~rθ = a (cos θ cos ϕ, cos θ sin ϕ, − sin θ)
(~r · ~r ) (~r · ~r ) a2 sin2 θ 0 ϕ
ϕ
ϕ
θ
~ |2 = |N
=
= a4 sin2 θ
2
(~rϕ · ~rθ ) (~rθ · ~rθ ) 0
a
Ïîñêîëüêó â ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò 0 6 θ 6 π ,
òî sin θ > 0, ñëåäîâàòåëüíî dS = a2 sin θ dθ dϕ.
Åù¼ ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî â ñèëó ñèììåòðèè ïîëóñôåðû è
RR
RR
íå÷¼òíîñòè ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè:
x dS = 0 è
y dS =
S
0, òîãäà âñ¼, ÷òî îñòà¼òñÿ:
ZZ
ZZ
(x + y + z) dS =
S
S
Zπ/2

= a3
Z2π

0
S
Z2π Zπ/2
z dS =
a cos θ · a2 sin θ dϕ dθ =
0
0
Zπ/2
dϕ sin θ cos θ dθ = 2πa3
sin θ d(sin θ) = πa3 .
0

0
 4350:
Ïðèìåð:
RR
(xy + yz + zx) dS , ãäå S ÷àñòü ïîâåðõíîñòè z =
S
âûðåçàííàÿ ïîâåðõíîñòüþ x2 + y 2 = 2ax.
Ðåøåíèå:
x2 + y 2 ,
p
33
Ïîâåðõíîñòü S , ïî êîòîðîé âåäåòñÿ èíòåãðèðîâàíèå, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷àñòü êðóãîâîãî êîíóñà z 2 = x2 + y 2 , îñü
âðàùåíèÿ êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ îñüþ Oz , ëåæàùóþ â ïîëóïðîñòðàíñòâå z > 0. Ýòà ÷àñòü êîíóñà âûðåçàíà öèëèíäðîì
x2 + y 2 = 2ax, íàïðàâëÿþùèå êîòîðîãî òàêæå ïàðàëëåëüíû
îñè Oz , à ïåðïåíäèêóëÿðíîå ñå÷åíèå ÿâëÿåòñÿ îêðóæíîñòüþ,
óðàâíåíèå êîòîðîé ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó (x − a)2 + y 2 = a2 .
Òàêèì îáðàçîì, ïðîåêòèðóÿ ïîâåðõíîñòü S íà ïëîñêîñòü xOy ,
ìû ïîëó÷èì êðóã (x − a)2 + y 2 6 a2 , èëè, âîçâðàùàÿñü ê ïåðâîíà÷àëüíîìó âèäó, x2 + y 2 6 2ax.
 öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò êîíóñ çàäàåòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêèì óðàâíåíèåì x = h cos ϕ, y = h sin ϕ, z = h.
Ïîäñòàâëÿÿ ýòè âûðàæåíèÿ â ñîîòíîøåíèå x2 + y 2 6 2ax,
ïîëó÷èì h2 6 2ah cos ϕ, è ó÷èòûâàÿ, ÷òî h > 0, òî 0 6 h 6
6 2a cos ϕ. Îòñþäà âèäíî, ÷òî 0 6 cos ϕ, òî åñòü |ϕ| 6 π/2.
Èòàê, ìû íàøëè ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè
è ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ.
Îñòàëîñü âû÷èñëèòü ýëåìåíò ïîâåðõíîñòè dS .
√
dS = EG − F 2 dh dϕ
~rϕ = (−h sin ϕ, h cos ϕ, 0),
~rh = (cos ϕ, sin ϕ, 1)
34
E = (~rϕ · ~rϕ ) = h2
G = (~rh · ~rh ) = 2
F = (~rϕ · ~rh ) = 0
dS =
√
2 h dh dϕ
Ïîñêîëüêó ïîâåðõíîñòü ñèììåòðè÷íà y ↔ −y è, êðîìå
òîãî, ôóíêöèÿ y ·(x+z) íå÷¼òíà ïî ïåðåìåííîé y , òî èíòåãðàë
îò íåå ðàâåí íóëþ.
Èòîãî:
ZZ
ZZ
zx dS =
(xy + yz + zx) dS =
S
S
Zπ/2 2a·cos
Z ϕ
√
=
−π/2
√
2 h3 cos ϕ dh dϕ = 2 2
0
Zπ/2
 2a·cos ϕ

Z

h3 dh cos ϕ dϕ =
0
0
π/2
√
√ Z
√
64 2 4
8
4
4
4
=
a.
= 2 2 4a · cos ϕ · cos ϕ dϕ = 8 2 · a ·
15
15
0
 4342:
Ïðèìåð:
Âû÷èñëèòü
z dS , ãäå S ÷àñòü ïîâåðõíîñòè x2 + z 2 =
S
p
2az (a > 0), âûðåçàííàÿ ïîâåðõíîñòüþ z = x2 + y 2 .
Ðåøåíèå:
RR
35
Ïîâåðõíîñòü S , ïî êîòîðîé âåäåòñÿ èíòåãðèðîâàíèå, ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ öèëèíäðà, îáðàçóþùèå êîòîðîãî ïàðàëëåëüíû îñè Oy . Ïîýòîìó äëÿ ïàðàìåòðèçàöèè ýòîé ïîâåðõíîñòè
âîñïîëüçóåìñÿ ñîîòâåòñòâóþùèìè öèëèíäðè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè:
x = r · sin ϕ,
y = h,
z = r · cos ϕ.
Ñå÷åíèå äàííîãî öèëèíäðà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îêðóæíîñòü,
ñìåùåííóþ ïî îñè Oz , ïîýòîìó èìåííî îñü Oz áûëà âûáðàíà â êà÷åñòâå ïîëÿðíîé îñè, îò êîòîðîé îòñ÷èòûâàåòñÿ óãîë
ϕ. Êàê áóäåò âèäíî äàëåå, ýòî ïîçâîëèò ó÷åñòü ñèììåòðèþ
öèëèíäðà x2 + z 2 = 2az îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè yOz è óïðîñòèòü çàïèñü ïðåäåëîâ èíòåãðèðîâàíèÿ.
Èòàê, óðàâíåíèå öèëèíäðà S â âûáðàííûõ êîîðäèíàòàõ
âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì: r = 2a cos ϕ
 ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì, ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå èìååò
âèä:


x



y



z
= 2a sin ϕ cos ϕ = a sin 2ϕ,
= h,
= 2a cos2 ϕ = a (cos 2ϕ + 1).
Âû÷èñëèì ýëåìåíò ïîâåðõíîñòè dS =
~ | dϕ d h:
|N
~rϕ = (2a cos 2ϕ, 0, −2a sin 2ϕ),
√
EG − F 2 dϕ d h =
36
~rh = (0, 1, 0)
(~r · ~r ) (~r · ~r )
4a2 0
ϕ
ϕ
ϕ
h ~ |2 = |N
= = 4a2 ⇒ dS =
(~rϕ · ~rh ) (~rh · ~rh )
0 1
2a dh dϕ.
Òåïåðü âûÿñíèì, êàêîâû ïðåäåëû èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðîâ
h è ϕ. Îíè îïðåäåëÿþòñÿ òåì, êàêàÿ ïîâåðõíîñòü âûðåçàåò.
Ýòî âåðõíÿÿ ïîëîâèíà êîíóñà z 2 = x2 + y 2 ñ îñüþ âðàùåíèÿ
Oz .
Åñëè ìû ïîäñòàâèì â óðàâíåíèå êîíóñà ïàðàìåòðè÷åñêèå
âûðàæåíèÿ äëÿ , òî òåì ñàìûì ìû íàéäåì ïàðàìåòðè÷åñêîå
óðàâíåíèå êðèâîé, ïî êîòîðîé ïåðåñåêàþòñÿ öèëèíäð è êîíóñ.
r2 cos2 ϕ = r2 sin2 ϕ + h2
h2 = 4a2 cos2 ϕ cos 2ϕ
p
⇒ |h| 6 2a |cos ϕ| cos 2ϕ.
Îáîçíà÷èì t = 2a |cos ϕ|
⇒
√
cos 2ϕ
Çàìåòèì òåïåðü, ÷òî cos 2ϕ > 0 ⇒ |ϕ| 6 π4 , à â ñèëó ñèììåòðèè x ↔ −x, y ↔ −y ìîæíî âçÿòü äâà èíòåãðàëà îò 0 äî
π/4.
Òàêèì îáðàçîì åñòü ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ, òåïåðü èùåì
37
èíòåãðàë:
Zπ/4Z t
4
0
Zπ/4
p
4a2 cos2 ϕ dh dϕ = 16 a2 cos2 ϕ · 2a · cos ϕ cos 2ϕ dϕ =
0
0
= 32a3
Zπ/4
q
(1 − sin2 ϕ) 1 − 2 sin2 ϕ cos ϕ dϕ =
0
√
Z2/2
p
= çàìåíà ïåðåìåííîé p = sin ϕ = 32a3
(1 − p2 ) 1 − 2p2 dp =
0
= 32a3
9p − 4p
16
!√2/2
√
√
√
7 2 3
7 2
2
=
arcsin( 2p) πa .
1 − 2p +
32
2
3p
0
 4344:
Ïðèìåð:
Âû÷èñëèòü ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë 1-ãî ðîäà
p
y 2 ) dS , ãäå S ãðàíèöà òåëà x2 + y 2 6 z 6 1.
RR
(x2 +
S
Ðåøåíèå:
Òåëî
p
x2 + y 2 6 z 6 1 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âíóòðåííîñòü
êîíóñà, è åãî ãðàíèöà ñîñòîèò èç äâóõ êóñêîâ ÷àñòè êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè z 2 =
= x2 + y 2 , 0 6 z 6 1, è êðóãà x2 + y 2 = 1, z = 0.
Çàïèøåì óðàâíåíèå êîíóñà â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò:
x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ,
z = h.
38

h2 = r2 ,
0 6 r 6 z 6 1.


x = h cos ϕ,



⇒ y = h sin ϕ,



z = h.
⇒ h = r 6 1,
Âû÷èñëèì ýëåìåíò ïîâåðõíîñòè dS :
~rϕ = (−h sin ϕ, h cos ϕ, 0),
~rh = (cos ϕ, sin ϕ, 1)
E = h2 · ((− sin ϕ)2 + cos2 ϕ) = h2 , G = 2, F = 0.
√
dS = 2 h dh dϕ
√
R2π R1 2 √
RR 2
h 2 · h d h d ϕ = π 2/2
(x + y 2 ) dS1 =
0 0
S


x = r · cos ϕ,



Äëÿ êðûøêè âîçüì¼ì ïàðàìåòðèçàöèþ: y = r · sin ϕ,



z = 1.
Âû÷èñëÿåì dS = r dr dϕ è íàêîíåö èùåì ïîñëåäíèé èíòåãðàë:
Z2π Z1
0
0
1
r4 π
r · r d r d ϕ = 2π · = .
4 0
2
2
Òîãäà âñ¼ âìåñòå π · (1 +
√
2)/2.
39
 4347:
Ïðèìåð:
RR
S
dS
,
h
ãäå S ïîâåðõíîñòü ýëëèïñîèäà è h ðàññòîÿíèå
îò öåíòðà ýëëèïñîèäà äî ïëîñêîñòè, êàñàòåëüíîé ê ýëåìåíòó
dS åãî ïîâåðõíîñòè.
Ðåøåíèå:
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî óðàâíåíèå ýëëèïñîèäà óæå ïðèâåäåíî
ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó:
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 = 1.
a2
b
c
Ðàñòÿæåíèÿìè ïî êîîðäèíàòíûì îñÿì óðàâíåíèå ýëëèïñîèäà
ëåãêî ïðåîáðàçîâàòü â óðàâíåíèå ñôåðû, ïîýòîìó ðàññìîòðèì
ñòàíäàðòíóþ ñôåðè÷åñêóþ ïàðàìåòðèçàöèþ


x/a = R · sin θ · cos ϕ,



y/b = R · sin θ · sin ϕ,



z/c = R · cos θ.


x = aR · sin θ · cos ϕ,



⇒ y = bR · sin θ · sin ϕ,



z = cR · cos θ.
Ðàññòîÿíèå äî êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ðàâíî äëèíå ïðîåêöèè ~r íà íàïðàâëåíèå ~n, òî åñòü |(~r ·~n)|, ãäå ~r ðàäèóñ-âåêòîð
òî÷êè ýëëèïñîèäà, à ~n åäèíè÷íàÿ íîðìàëü ê ýëëèïñîèäó â
ýòîé òî÷êå.
40
Îòñþäà
~ |dϕdθ
~ |2 dϕdθ
dS
|N
|N
=
=
~ )|
h
|(~r · ~n)|
|(~r · N
~ = [~rθ × ~rϕ ]:
Íàéäåì íîðìàëü ïî ôîðìóëå N
~rθ = (a cos θ cos ϕ, b cos θ sin ϕ, −c sin θ)
~rϕ = (−a sin θ sin ϕ, b sin θ cos ϕ, 0),
~k ~i
~j
~ = a cos θ cos ϕ b cos θ sin ϕ, −c sin θ =
N
−a sin θ sin ϕ b sin θ cos ϕ
0 = (bc sin2 θ · cos ϕ, ac sin2 θ · sin ϕ, ab sin θ · cos θ) =
sin θ · cos ϕ sin θ · sin ϕ cos θ
x y z
= abc sin θ(
,
,
) = abc sin θ( 2 , 2 , 2 ).
a
b
c
a b c
sin2 θ · cos2 ϕ sin2 θ · sin2 ϕ cos2 θ
2
2 2 2
2
~
|N | = a b c sin θ(
+
+
)
a2
b2
c2
 ñèëó óðàâíåíèÿ ýëëèïñîèäà
2
2
2
~ )| = abc sin θ( x + y + z ) = abc sin θ.
|(~r · N
a2
b2
c2
Èòàê, ñ ó÷åòîì ñèììåòðèè ýëëèïñîèäà è ïîäûíòåãðàëüíîé
41
ôóíêöèè
ZZ
dS
= 8abc
h
Zπ/2Zπ/2
sin2 θ cos2 ϕ sin2 θ sin2 ϕ cos2 θ
sin θ(
+
+
)dϕdθ =
a2
b2
c2
0
S
0
=
1
4π
1
1
abc( 2 + 2 + 2 )
3
a
b
c
Êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë 2-ãî ðîäà
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî óðàâíåíèÿ (*) îïðåäåëÿþò íå òîëüêî êðèâóþ êàê ìíîæåñòâî òî÷åê, íî òàêæå çàäàþò è ïîðÿäîê îáõîäà ýòèõ òî÷åê, íàçûâàåìûé íàïðàâëåíèåì íà êðèâîé.
Òàê, òî÷êà M (t1 ) ñ÷èòàåòñÿ ïðåäøåñòâóþùåé òî÷êå M (t2 ), åñëè t1 < t2 , òî÷êè M (a) è M (b) ñîîòâåòñòâåííî íàçûâàþòñÿ
íà÷àëüíîé è êîíå÷íîé òî÷êàìè êðèâîé.
Òàêèì îáðàçîì, ðàñïîëîæèâ òî÷êè íà êðèâîé ïî âîçðàñòàíèþ ïàðàìåòðà, ìû îïðåäåëèì íàïðàâëåíèå íà êðèâîé.
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî íàïðàâëåíèå íå çàâèñèò îò âûáîðà
òîãî èëè èíîãî ïàðàìåòðè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ (*), è ÿâëÿåòñÿ âïîëíå ãåîìåòðè÷åñêèì ïîíÿòèåì.  ñëó÷àå ïðîñòîé
íåçàìêíóòîé êðèâîé íàïðàâëåíèå îïðåäåëÿåòñÿ ëèøü óêàçàíèåì íà÷àëüíîé è êîíå÷íîé òî÷åê.  ñëó÷àå ïðîñòîé çàìêíóòîé êðèâîé íóæíî óêàçàòü íà íåé òðè òî÷êè è îïðåäåëèòü
ïîðÿäîê èõ îáõîäà. Íàïðèìåð, îò òî÷êè A ê D ÷åðåç C . Èñïîëüçóþòñÿ è äðóãèå ñïîñîáû (ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, èëè
òàê, ÷òî îãðàíè÷åííàÿ ÷àñòü ïëîñêîñòè îñòàåòñÿ ñëåâà).
 4252:
42
Ïðèìåð:
H
Âû÷èñëèòü êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë 2-ãî ðîäà (x+y) dx+
C
(x − y) dy , ãäå C ýëëèïñ
x2
a2
+
y2
b2
= 1, ïðîáåãàåìûé ïðîòèâ
õîäà ÷àñîâîé ñòðåëêè.
Ðåøåíèå:
Ðàç ïðîáåãàåò ïðîòèâ õîäà ÷àñîâîé ñòðåëêè, çíà÷èò ïðè
îáõîäå îáëàñòü íàõîäèòñÿ ïî ëåâóþ ðóêó, ò.å. íàïðàâëåíèå
îáõîäà ïðàâèëüíîå. Âîçüì¼ì ïàðàìåòðèçàöèþ: x = a · cos ϕ,
y = b · sin ϕ.
x0 = −a · sin ϕ, y 0 = b · cos ϕ.
Ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ: 0 6 ϕ 6 2π. Îñòàëîñü ïîñ÷èòàòü ñàì èíòåãðàë:
Z 2π
(−a · sin ϕ)(a · cos ϕ + b · sin ϕ) + b · cos ϕ(a cos ϕ − b · sin ϕ) dϕ =
0
Z 2π
=
−a2 · sin ϕ · cos ϕ − ab · sin2 ϕ + ab · cos2 ϕ − b2 · sin ϕ · cos ϕ dϕ =
Z0 2π
=
− sin ϕ · cos ϕ · (a2 + b2 ) + ab · (cos2 ϕ − sin2 ϕ) dϕ =
0
Z 2π
Z 2π
2
2
cos 2ϕ dϕ = 0.
cos ϕ d(cos ϕ) + ab ·
= (a + b ) ·
0
0
43
Ìîæíî âñ¼ íåìíîãî óïðîñòèòü, âñïîìíèâ ôîðìóëó Ãðèíà:
Z
ZZ ∂(x − y) ∂(x + y)
(x + y) dx + (x − y) dy =
−
dx dy =
∂x
∂y
C
ZZ S
0 dx dy = 0.
=
S
 4254:
Ïðèìåð:
Âû÷èñëèòü êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë 2-ãî ðîäà
I
(x + y) dx − (x − y) dy
,
x2 + y 2
C
ãäå C îêðóæíîñòü x2 + y 2 = a2 , ïðîáåãàåìàÿ ïðîòèâ õîäà
÷àñîâîé ñòðåëêè.
Ðåøåíèå:

x = a · cos ϕ,
Ïàðàìåòðèçóåì îêðóæíîñòü:
y = a · sin ϕ.

x0 = −a · sin ϕ,
⇒
y 0 = a · cos ϕ.
,
44
ïðåäåëû, êîíå÷íî: 0 6 ϕ 6 2π :
Z2π
−a2 · (cos ϕ + sin ϕ) · sin ϕ − a2 · (cos ϕ − sin ϕ) · cos ϕ
dϕ =
a2
0
Z2π
=
− cos ϕ · sin ϕ − sin2 ϕ − cos2 ϕ + cos ϕ · sin ϕ dϕ =
0
Z2π
−1 dϕ = −2π.
=
0
Çàìå÷àíèå: ôîðìóëó Ãðèíà çäåñü ïðèìåíèòü íåâîçìîæíî,
ïîñêîëüêó F~ íå îïðåäåëåíà è íå îãðàíè÷åíà (à çíà÷èò, íå
ìîæåò áûòü äîîïðåäåëåíà ïî íåïðåðûâíîñòè) â òî÷êå (0, 0) ∈
D
 4281:
Ïðèìåð:
Âû÷èñëèòü êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë 2-ãî ðîäà
Z
(y − z) dx + (z − x) dy + (x − y) dz,
C
ãäå C îêðóæíîñòü x2 + y 2 + z 2 = a2 , y = x · tg α (0 < α < π),
ïðîáåãàåìàÿ ïðîòèâ õîäà ÷àñîâîé ñòðåëêè, åñëè ñìîòðåòü ñî
ñòîðîíû ïîëîæèòåëüíûõ x.
Ðåøåíèå:
45
Îêðóæíîñòü C ëåæèò íà ñôåðå, ïîýòîìó êîîðäèíàòû åå
òî÷åê óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ
x = a·sin θ·cos ϕ,
y = a·sin θ·sin ϕ,
z = a·cos θ
(0 6 θ 6 π).
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ýòà îêðóæíîñòü ëåæèò â ïëîñêîñòè y = x ·
·tg α, ïîýòîìó, ïîäñòàâèâ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ äëÿ êîîðäèíàò â ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå
a · cos θ · sin ϕ = a · cos θ · cos ϕ · tg α
⇒
tg ϕ = tg α
Ñëåäîâàòåëüíî, ϕ = α èëè ϕ = α + π . Êàæäîìó èõ ýòèõ
çíà÷åíèé ϕ ñîîòâåòñòâóåò ïîëîâèíà îêðóæíîñòè, ïðè÷åì ïðè
èçìåíåíèè ïàðàìåòðà θ îò 0 äî π äâèæåíèÿ òî÷êè ïî ýòèì ïîëîâèíêàì ïðîèñõîäÿò âî âñòðå÷íûõ íàïðàâëåíèÿõ. ×òîáû èçáåæàòü ýòèõ íåïðèÿòíîñòåé, âûáåðåì òîëüêî çíà÷åíèå ϕ = α,
íî áóäåì ìåíÿòü ïàðàìåòð θ â ïðåäåëàõ îò 0 äî 2π . Òîãäà òî÷êà ñîâåðøèò ïîëíûé îáõîä îêðóæíîñòè. Âûÿñíèì, ñîâïàäàåò
ëè íàïðàâëåíèå îáõîäà ñ òåì, êîòîðîå çàäàíî â óñëîâèè çàäà÷è. Åñëè äâèæåíèå ïðîèñõîäèò ïðîòèâ õîäà ÷àñîâîé ñòðåëêè
ïðè âçãëÿäå ñî ñòîðîíû ïîëîæèòåëüíûõ x, òî ñíà÷àëà òî÷êà
ïîïàäàåò â ïîëóïðîñòðàíñòâî y 6 0, à çàòåì - â ïîëóïðîñòðàíñòâî y > 0. Òî åñòü y 6 0 äëÿ 0 6 θ 6 π è y > 0 äëÿ
π 6 θ 6 2π .
Èòàê, ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå îêðóæíîñòè
x = a cos α · sin θ,
y = a sin α · sin θ,
z = a · cos θ.
46
Ïîñêîëüêó ïî óñëîâèþ 0 < α < π , òî sin α > 0, ñëåäîâàòåëüíî,
çíàê y ñîâïàäàåò ñî çíàêîì sin θ, òî åñòü ñíà÷àëà ïðèíèìàåò
ïîëîæèòåëüíûå, à çàòåì îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Çíà÷èò,
âûáðàííàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ çàäàåò íàïðàâëåíèå îáõîäà, ïðîòèâîïîëîæíîå òîìó, ÷òî óêàçàíî â óñëîâèè çàäà÷è. Ïîýòîìó
íóæíî èíòåãðèðîâàòü â íàïðàâëåíèè óáûâàíèÿ ïàðàìåòðà:
I
(y − z) dx + (z − x) dy + (x − y) dz =
C
= a2
Z0 h
(sin α sin θ − cos θ) · cos α cos θ+
2π
i
+(cos θ − cos α sin θ) · sin α cos θ − (cos α − sin α) · sin2 θ dθ =
Z2π
= −a
(sin α − cos α) dθ = 2πa2 (cos α − sin α)
2
0
 4282:
Ïðèìåð:
R
C
y 2 dx + z 2 dy + x2 dz, ãäå C ÷àñòü êðèâîé Âèâèàíè
x2 + y 2 + z 2 = a2 , x2 + y 2 = ax (z > 0, a > 0), ïðîáåãàåìàÿ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, åñëè ñìîòðåòü ñ ïîëîæèòåëüíîé ÷àñòè
îñè Ox.
Ðåøåíèå:
Êðèâàÿ Âèâèàíè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïåðåñå÷åíèå ñôåðû
47
è öèëèíäðà.
Ïàðàìåòðèçóåì ñôåðó
x = a · sin θ · cos ϕ,
y = a · sin θ · sin ϕ,
z = a · cos θ.
Ïîäñòàâëÿåì â óðàâíåíèå öèëèíäðà
a2 · sin2 θ · cos2 ϕ + a2 · sin2 θ · sin2 ϕ = a2 · sin θ · cos ϕ. ⇒
⇒ sin2 θ = sin θ · cos ϕ ⇒ sin θ = cos ϕ.
Ïîñêîëüêó z > 0, òî cos θ > 0 è çíà÷èò
cos θ =
p
1 − sin2 θ =
p


x = a · cos2 ϕ = a2 (cos 2ϕ + 1),



y = a · sin ϕ · cos ϕ = a2 · sin 2ϕ,



z = a · | sin ϕ|.
1 − cos2 ϕ = | sin ϕ|


x0 = −a · sin 2ϕ,



⇒ y 0 = a · cos 2ϕ,



z 0 = a · sgn(sin ϕ) · cos ϕ.
òåïåðü ïîïûòàåìñÿ ñîñ÷èòàòü è ñàì èíòåãðàë, ïîäñòàâëÿåì:
a
3
Zπ/2 1
3
2
5
− · sin 2ϕ + sin ϕ · cos 2ϕ + cos ϕ · sgn(sin ϕ) dϕ
4
−π/2
à âû÷èñëÿòü áóäåì ïî îòäåëüíîñòè:
48
Ïåðâîå è òðåòüå ñëàãàåìîå ÿâëÿþòñÿ íå÷åòíûìè ôóíêöèÿìè, ïîýòîìó èíòåãðàë îò íèõ ïî ñèììåòðè÷íîìó ïðîìåæóòêó
ðàâåí íóëþ.
Ñî âòîðûì íå âñ¼ òàê ñóõî è ñïîêîéíî:
Zπ/2
2
Zπ/2
sin ϕ · cos 2ϕ dϕ =
−π/2
π
1
cos 2ϕ(1 − cos 2ϕ) dϕ = − .
2
4
−π/2
π
Òåïåðü îñòà¼òñÿ âñ¼ ýòî ïîäñ÷èòàòü è ïîëó÷èòñÿ: − · a3 .
4
Ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë âòîðîãî ðîäà.
 4362:
Ïðèìåð:
Âû÷èñëèòü ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë 2-ãî ðîäà
RR
(x dydz+
S
y dzdx +
+ z dxdy), ãäå S âíåøíÿÿ ñòîðîíà ñôåðû x2 + y 2 + z 2 = a2 .
Ðåøåíèå:


x = a · sin θ · cos ϕ,



Ïàðàìåòðèçóåì ñôåðó: y = a · sin θ · sin ϕ,



z = a · cos θ,
θ ∈ [0, π].
ãäå ϕ ∈ [0, 2π],
49
~ = (A, B, C) = [~rθ × ~rϕ ]:
Íàéä¼ì N
~
~
~
i
j
k
~ = a · cos θ · cos ϕ a · cos θ · sin ϕ −a · sin θ =
N
−a · sin θ · sin ϕ a · sin θ · cos ϕ
0
= a2 (sin2 θ · cos ϕ, sin2 θ · sin ϕ, sin θ · cos θ) =
= a · sin θ · (a · sin θ · cos ϕ, a · sin θ · sin ϕ, a · cos θ) = a · sin θ · ~r,
Èòàê, ìû ïîëó÷èëè èçâåñòíûé ôàêò, ÷òî íîðìàëü ê ñôåðå
íàïðàâëåíà ïî ðàäèóñó, íî â äàííîì ñëó÷àå äëèíà åå çàâèñèò
îò óãëà θ è, êàê ìû óæå çíàåì, ÷èñëåííî ðàâíà ïëîùàäè ýëåìåíòà dS . Êðîìå òîãî, äàííàÿ íîðìàëü ÿâëÿåòñÿ âíåøíåé,
ïîñêîëüêó θ ∈ [0, π] ⇒ sin θ > 0
~ = a · sin θ · (x, y, z).
N
ZZ
À òåïåðü âû÷èñëèì èíòåãðàë:
ZZ
ZZ
~
(x dydz + y dzdx + z dxdy) =
(~r · N )dS =
a · sin θ · (~r · ~r)dS =
S
S
Zπ Z2π
=
0
π
2π
Z Z
a · sin θ · (x2 + y 2 + z 2 ) dϕ dθ =
0
a3 · sin θ dϕ dθ = 2πa3
=
0
0
 4364:
Ïðèìåð:
S
Zπ
0
sin θ dθ = 4π a3 .
50
Âû÷èñëèòü ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë 2-ãî ðîäà
RR
(y−z) dydz+
S
+ (z − x) dzdx + (x − y) dxdy , ãäå S âíåøíÿÿ ñòîðîíà êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè x2 + y 2 = z 2 (0 6 z 6 H).
Ðåøåíèå:
Çàïèøåì óðàâíåíèå êîíóñà â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò:
x = h cos ϕ,
y = h sin ϕ,
z = h.
~rϕ = (−h sin ϕ, h cos ϕ, 0),
~rh = (cos ϕ, sin ϕ, 1)
~ = (A, B, C) = [~rϕ × ~rh ]:
N
~
~
~
i
j
k
~
N = −h · sin ϕ h · cos ϕ 0
=
cos ϕ
sin ϕ
1
= (h cos ϕ, h sin ϕ, −h) = h (cos ϕ, sin ϕ, −1) = (x, y, −z).
~ íà îñü Oz îòðèÏîñêîëüêó h > 0, ïðîåêöèÿ âåêòîðà N
öàòåëüíà, à ýòî íàïðàâëåíèå äëÿ âåðõíåé ïîëîâèíû êîíóñà
ÿâëÿåòñÿ âíåøíèì.
51
À òåïåðü âû÷èñëèì èíòåãðàë:
ZZ
(y − z) dydz + (z − x) dzdx + (x − y) dxdy =
S
ZZ
=
~ )dS =
(F~ · N
ZZ
2z(y − x)dS = 0,
S
S
ïîñêîëüêó ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ 2z(y − x) íå÷åòíà îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ x è y , à ïîâåðõíîñòü ñèììåòðè÷íà
îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé x → −x, y → −y .
 4365:
Ïðèìåð:
Âû÷èñëèòü ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë 2-ãî ðîäà
ZZ dydz dzdx dxdy
+
+
,
x
y
z
S
ãäå S âíåøíÿÿ ñòîðîíà ýëëèïñîèäà
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 = 1.
a2
b
c
Ðåøåíèå:
Äëÿ ïàðàìåòðèçàöèè x = a · sin θ · cos ϕ, y = b · sin θ · sin ϕ,
z = c · cos θ
52
~
~
~
i
j
k
~
N = a · cos θ · cos ϕ b · cos θ · sin ϕ −c · sin θ =
−a · sin θ · sin ϕ b · sin θ · cos ϕ
0
= (bc · sin2 θ · cos ϕ, ac · sin2 θ · sin ϕ, ab · sin θ · cos θ) =
x y z = abc · sin θ · 2 , 2 , 2 .
a b c
Óáåäèìñÿ, ÷òî âûáðàííàÿ íîðìàëü âíåøíÿÿ, âîçüì¼ì òî÷êó ϕ = 0, θ = π2 :
~ = bc · sin2 π , ac · sin2 π , ab · sin π · cos π = (bc, 0, 0), òî
N
2
2
2
2
åñòü íîðìàëü âíåøíÿÿ, òîãäà
ZZ
ZZ
x y z =
x−1 , y −1 , z −1 · 2 , 2 , 2
a b c
S
ZZ
1
1
1
=
+ +
abc · sin θ
dS =
a2 b 2 c 2
~) =
(F~ · N
S
abc · sin θ ·
S
=
bc ac ab
+
+
a
b
c
Zπ Z2π
bc ac ab
·
sin θ dϕ dθ = 4π
+
+
=
a
b
c
0
0
4π
=
· a2 b2 + a2 c2 + b2 c2 .
abc
Ôîðìóëà Îñòðîãðàäñêîãî
 4362:
Ïðèìåð:
53
Âû÷èñëèòü ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë 2-ãî ðîäà
RR
(x dydz+
S
y dzdx +
+ z dxdy), ãäå S âíåøíÿÿ ñòîðîíà ñôåðû x2 + y 2 + z 2 = a2 .
Ðåøåíèå:
Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé Îñòðîãðàäñêîãî:
ZZ
(x dydz + y dzdx + z dxdy) =
S
ZZZ
=
div (x, y, z) dV =
ZZZ
V
3 dV = 4π a3 .
V
 4366:
Ïðèìåð:
RR
x2 dydz + y 2 dzdx + z 2 dxdy, ãäå S âíåøíÿÿ ñòîðîíà
S
ñôåðû (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 .
Ðåøåíèå:
Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé Îñòðîãðàäñêîãî:
ZZ
2
2
2
ZZZ
x dydz + y dzdx + z dxdy =
S
div (x2 , y 2 , z 2 ) dV =
V
ZZZ
=
2(x + y + z) dV,
V
ãäå V øàð (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 6 R2 .
54
Ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííûõ, ñîâìåñòèâ íà÷àëî êîîðäèíàò
ñ öåíòðîì øàðà: x1 = x − a, y1 = y − b, z1 = z − c. Òîãäà
èíòåãðèðîâàíèå áóäåò èäòè ïî îáúåìó V1 : x21 + y12 + z12 6 R2
ZZZ
ZZZ
(x1 + y1 + z1 + a + b + c) dV1
2(x + y + z) dxdydz = 2
V1
V
Íî èíòåãðàë ïî øàðó V1 îò ôóíêöèè (x1 + y1 + z1 ) ðàâåí
íóëþ â ñèëó òîòàëüíîé ñèììåòðè÷íîñòè. Ïîýòîìó îñòàåòñÿ
âû÷èñëèòü
ZZZ
8
(a + b + c) dV1 = · (a + b + c) · π · R3
2
3
V1
 4364:
Ïðèìåð:
Âû÷èñëèòü ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë 2-ãî ðîäà
RR
(y−z) dydz+
S
+ (z − x) dzdx + (x − y) dxdy , ãäå S âíåøíÿÿ ñòîðîíà êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè x2 + y 2 = z 2 (0 6 z 6 H).
Ðåøåíèå:
Ýòà ïîâåðõíîñòü íåçàìêíóòà, òî åñòü íå îãðàíè÷èâàåò íèêàêîãî îáúåìà, ïîýòîìó çàìêíåì åå, äîáàâèâ ïëîñêóþ êðûøêó K : x2 + y 2 6 H 2 , z = H .
55
RR
(y−z) dydz+(z−x) dzdx+(x−y) dxdy =
K
RR
(x−y) dx dy =
K
0
ââèäó ñèììåòðèè.
Ïîýòîìó â ñèëó àääèòèâíîñòè èíòåãðàëà
RR
RR
RR
RR
ω
=
ω
+
ω
=
ω
S
S
K
S
K
S
ãäå ω = (y − z) dydz + (z − x) dzdx + (x − y) dxdy
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç ôîðìóëû Ã.-Î. èíòåãðàë ïî çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè:
RR
RRR
(F~ · ~n) dS =
divF~ dV,
S
V
íî div(y − z, z − x, x − y) = 0, ñëåäîâàòåëüíî,
RR
(y − z) dydz + (z − x) dzdx + (x − y) dxdy = 0
S
Ôîðìóëà Ãðèíà
 4264:
Ïðèìåð:
Óáåäèâøèñü, ÷òî ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ
ïîëíûì äèôôåðåíöèàëîì, âû÷èñëèòü êðèâîëèíåéíûé èíòå(6,8)
R x dx+y dy
√
ãðàë
âäîëü ïóòåé, íå ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç íà÷àëî
(1,0)
x2 + y 2
êîîðäèíàò
Ðåøåíèå:
56
Óáåäèìñÿ, ÷òî ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì äèôôåðåíöèàëîì:
!0
!0
x
y
x·y
x·y
p
p
;
;
=− 2
=− 2
2
3/2
(x + y )
(x + y 2 )3/2
x2 + y 2 y
x2 + y 2 x
çäåñü óáåæäàåìñÿ, ÷òî îíè ðàâíû. Òåïåðü ïîïûòàåìñÿ ðåøèòü:


Fx0 = √

Fy0 = √
x
,
x2 +y 2
y
x2 +y 2
⇒
.

p

F = x2 + y 2 + ϕ(y),

√
y
x2 +y 2
0
+ ϕ (y) = √
y
⇒ ϕ0 (y) = 0 ⇒ ϕ = C.
x2 +y 2
(6,8)
Z
(6,8)
p
p
2
2
2
2
d( x + y ) = x + y = 9.
(1,0)
(1,0)
Ôîðìóëà Ñòîêñà
 4281:
Ïðèìåð:
Âû÷èñëèòü êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë 2-ãî ðîäà
Z
(y − z) dx + (z − x) dy + (x − y) dz,
C
ãäå C îêðóæíîñòü x2 + y 2 + z 2 = a2 , y = x · tg α (0 < α < π),
ïðîáåãàåìàÿ ïðîòèâ õîäà ÷àñîâîé ñòðåëêè, åñëè ñìîòðåòü ñî
ñòîðîíû ïîëîæèòåëüíûõ x.
Ðåøåíèå:
57
Ýòà îêðóæíîñòü ëåæèò â ïëîñêîñòè y = x · tg α, ïîýòîìó, â êà÷åñòâå ïîâåðõíîñòè S âîçüìåì ÷àñòü ýòîé ïëîñêîñòè,
âûðåçàííóþ îêðóæíîñòüþ.
Ïðåîáðàçîâàâ óðàâíåíèå ïëîñêîñòè ê âèäó sin αx−cos αy =
0, ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî åäèíè÷íàÿ íîðìàëü ~n ðàâíà (sin α, − cos α, 0).
Åå íàïðàâëåíèå ñîîòâåòñòâóåò çàäàííîìó îáõîäó îêðóæíîñòè, òàê êàê ïðè 0 < α < π ïðîåêöèÿ íîðìàëè íà îñü Ox
ïîëîæèòåëüíà.
rotF~ = (−2, −2, −2)
ZZ
I
(y − z) dx + (z − x) dy + (x − y) dz =
(rotF~ · ~n) dS =
S
C
ZZ
ZZ
(−2 sin α + 2 cos α) dS = 2 · (cos α − sin α)
=
S
dS =
S
2
= 2 · (cos α − sin α) · πa .
 4282:
Ïðèìåð:
R
y 2 dx + z 2 dy + x2 dz, ãäå C ÷àñòü êðèâîé Âèâèàíè x2 +
C
y 2 + z 2 = a2 , x2 + y 2 = ax (z > 0, a > 0), ïðîáåãàåìàÿ ïðîòèâ
÷àñîâîé ñòðåëêè, åñëè ñìîòðåòü ñ ïîëîæèòåëüíîé ÷àñòè îñè
Ox.
Ðåøåíèå:
58
Êðèâàÿ Âèâèàíè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïåðåñå÷åíèå ñôåðû
è öèëèíäðà.  êà÷åñòâå ïîâåðõíîñòè, îãðàíè÷åííîé êðèâîé
Âèâèàíè, âîçüìåì ÷àñòü ñôåðû. Òîãäà íîðìàëü äîëæíà áûòü
âíåøíåé:
~n = a−1 · (x, y, z) , rot F~ = −2 · (z, x, y)
è íàø èíòåãðàë ïî òåîðåìå Ñòîêñà ýòî:
I
F~ · ~` =
C
ZZ
2
rot F~ · ~n dS = − ·
a
ZZ
(xz + xy + zy) dS,
S
S
Ïðîåêöèåé ïîâåðõíîñòè S íà ïëîñêîñòü xOy ÿâëÿåòñÿ êðóã
K : x2 + y 2 6 ax, ïîâåðõíîñòü çàäàíà ÿâíûì îáðàçîì:
p
z = a2 − x 2 − y 2
a
p
1 + zx2 + zy2 dx dy = dx dy
z
èíòåãðàë îò (xy + zy) ðàâåí íóëþ, ïîñêîëüêó åñòü ñèììåò-
Ïîýòîìó dS =
ðèÿ y ↔ −y,
2
−
a
ZZ
2
(xz + xy + zy) dS = −
a
S

x = r · cos ϕ,
y = r · sin ϕ.
ZZ
ZZ
xz dS = −2
S
x dxdy =
S
59
è, íàêîíåö, òàê êàê x2 + y 2 6 ax, òî r 6 a cos ϕ, ïîýòîìó
Zπ/2 a·cos
Z ϕ
Zπ/2 3
−πa3
a
−2
· cos4 ϕ dϕ =
.
r2 · cos ϕ dr dϕ = −2
3
4
−π/2
0
−π/2
 4290:
Ïðèìåð:
Íàéòè ïåðâîîáðàçíóþ ôóíêöèþ u, åñëè
du = (x2 − 2 · yz) dx + (y 2 − 2 · xz) dy + (z 2 − 2 · xy) dz.
Ðåøåíèå:
Çàìåòèì, ÷òî
~
~
~
i
j
k
~
rot A = ∂x
∂y
∂z =
2
x − 2yz y 2 − 2xz z 2 − 2xy = ~i · (−2x + 2x) + ~j · (−2y + 2y) + ~k · (−2z + 2z) = 0,
çíà÷èò ýòî åñòü âûðàæåíèå â ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ, òî
åñòü:
du = (x2 dx + y 2 dy + z 2 dz) − 2 · (yz dx + xz dy + xy dz) = 31 ·
·(dx3 +dy 3 +dz 3 )−2·d(xyz) ⇒ u = 31 ·(x3 +y 3 +z 3 )−2·xyz +C,
íî ìîæíî è ïî ôîðìóëå:
Rx
Ry
Rz
u(x, y, z) = x0 P (x, y, z) dx+ y0 Q(x0 , y, z) dy+ z0 R(x0 , y0 , z) dz+
C, ãäå (x0 , y0 , z0 ) íåêîòîðàÿ ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà îáëàñòè
V.
60
 4371:
Ïðèìåð:
H
(y − z) dx + (z − x) dy + (x − y) dz , ãäå C ýëëèïñ
C
x 2 + y 2 = a2 ,
x z
+ = 1 (a > 0, h > 0),
a h
ïðîáåãàåìûé ïðîòèâ õîäà ÷àñîâîé ñòðåëêè, åñëè ñìîòðåòü ñ
ïîëîæèòåëüíî ñòîðîíû îñè Ox.
Ðåøåíèå:
Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé Ñòîêñà, âûáðàâ â êà÷åñòâå ïîâåðõíîñòè S êðóã, âûðåçàåìûé öèëèíäðîì íà ïëîñêîñòè:
I
(y − z) dx + (z − x) dy + (x − y) dz =
C
cos
α
cos
β
cos
γ
ZZ
ZZ
∂x
=
(~n · rot F~ ) dS
=
∂
∂
y
z
S
S
(y − z) (z − x) (x − y)
x z
~ = (1/a, 0, 1/h),
+ = 1, çíà÷èò íîðìàëü N
a h
h
a
à åäèíè÷íàÿ íîðìàëü ñîîòâåòñòâåííî ~n = √
, 0, √
.
a2 + h2
a2 + h2
Òåïåðü íàäî íàéòè rot F~ , à äàëåå äåëî òåõíèêè:
Ïëîñêîñòü ñå÷åíèÿ:
61
~
~k ~j
i
rot F~ = ∂x
∂y
∂z = (−2, −2, −2),
(y − z) (z − x) (x − y)
òåïåðü: (~n, rot F~ ) =
ZZ
⇒
S
√ 2
a2 +h2
· (h + a)
2
2
√
· (h + a) dS = √
· (h + a) ·
a2 + h2
a2 + h2
ZZ
dS,
S
íî ïîñëåäíèé èíòåãðàë ýòî ïðîñòî ïëîùàäü ýëëèïñà,
√
èç ðèñóíêà íàõîäèì, ÷òî åãî îñè 2a è 2 · a2 + h2 , çíà÷èò
√
= √a22+h2 · (h + a) · πa · a2 + h2 = −2 · πa · (h + a).