Равновесные конфигурации плазмы z и θ пинчи

Ðàâíîâåñíûå êîíôèãóðàöèè ïëàçìû
z è θ ïèí÷è
date
1
Ïðîñòåéøèå óðàâíåíèÿ ÌÃÄ
 ðàáîòå ïîäðîáíî âûâîäÿòñÿ óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå ñîñòîÿíèå
ïëàçìû âî âíåøíåì ìàãíèòíîì ïîëå. À òàêæå êà÷åñòâåííî ðàññìàòðèâàþòñÿ ñëó÷àè ðàâíîâåñíûõ êîíôèãóðàöèé.
Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü çàìêíóòóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé, îïèñûâàþùóþ ïîâåäåíèå òàêîãî ðîäà îáúåêòîâ, çàïèøåì óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà
äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â ñðåäå äâèæóùåéñÿ ñî ñêîðîñòüþ v.
1 ∂B
∇×E=−
c ∂t
4πλ
4π
1
j = c E + c [vB]
∇×B=
c
∇.B = 0
ãäå λ - ïðîâîäèìîñòü âåùåñòâà (â íàøåì ñëó÷àå ïëàçìû).
Âûðàçèâ Å èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ, ïîäñòàâèì â ïåðâîå:
∂B
c2
rot
B
− ∇ × [v × B] = − ∇ ×
∂t
4π
Èç óðàâíåíèÿ divB = 0 ïîëó÷àåì:
∂B
− rot[v × B] =
∂t
èìååì λ → ∞,
c2 2
∇B
4πλ
λ
Äëÿ ïëàçìû
ò.ê. îíà ÿâëÿåòñÿ ñâåðõïðîâîäèìîé. Ñ
ó÷åòîì ýòîãî èìååì äâà ïåðâûõ óðàâíåíèÿ:
(
divB = 0
(1)
∂B
= rot[v × B]
∂t
1
Òàêæå èç ñîîáðàæåíèé ãèäðîäèíàìèêè ó÷òåì óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè è óðàâíåíèå äâèæåíèå (Ýéëåðà):
(
∂ρ
+ div(ρv) = 0
∂t
(2)
ρ ∂∂tv + (v∇)v = −∇P + 1c [ jB ]
Ñ ó÷åòîì óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ P = P (ρ, T ), óðàâíåíèÿ (1) è (2) îáðàçóþò çàìêíóòóþ ñèñòåìó, ñ ïîìîùüþ êîòîðîé ìîæíî îïðåäåëèòü ñîñòîÿíèå ïëàçìåííîãî îáúåêòà. Ñòîèò òàêæå çàìåòèòü, ÷òî íàïèñàííîå âûøå
óðàâíåíèå Ýéëåðà ïðèìåíèìî òîëüêî ïðè óñëîâèè ìàëîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E ≈ vc B , ò.å. ïðè íåðåëÿòèâèñòñêîé ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ñðåäû. Â
ïðîòèâíîì ñëó÷àå íåîáõîäèìî áûëî áû ó÷åñòü ñèëó ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ
ρe E , ãäå ρe - ïëîòíîñòü çàðÿäà.  ýòîì ñëó÷àå äëÿ çàìûêàíèÿ ñèñòåìû
óðàâíåíèé íåîáõîäèìî ðàññìîòðåòü òàêæå ïåðâîå óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà
divE = 4πρe.
2
Ðàâíîâåñíûå êîíôèãóðàöèè
Ðàññìîòðèì èäåàëüíî ïðîâîäÿùóþ æèäêîñòü â ïîñòîÿííîì ìàãíèòíîì
ïîëå. Äëÿ ðàâíîâåñèÿ èìååì èç (2) è (1):
1
∇P = [ jB ]
c
c
j = 4π rotB
divB = 0
Óìíîæèâ ñêàëÿðíî ïåðâîå èç ýòèõ óðàâíåíèé íà B è j ïîëó÷èì:
(B∇)P = 0,
(j∇)P = 0
Ñìûñë ýòèõ âûðàæåíèé ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïîëó÷àþòñÿ ðàâíûìè íóëþ
ïðîèçâîäíûå äàâëåíèÿ âäîëü ìàãíèòíûõ ñèëîâûõ ëèíèé è âäîëü ëèíèé
òîêà. Ò.å. ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ìàãíèòíûå ñèëîâûå ëèíèè è ëèíèè òîêà ëåæàò
íà ïîâåðõíîñòÿõ:
P (x, y, z) = const
îíè íàçûâàþòñÿ ìàãíèòíûìè ïîâåðõíîñòÿìè. Êàæäàÿ ìàãíèòíàÿ ïîâåðõíîñòü ìîæåò áûòü ãðàíèöåé ðàâíîâåñíîé êîíôèãóðàöèè ò.ê. íà êàæäîé
èç íèõ P ìîæíî ïðèíÿòü ðàâíîå íóëþ.
Ñëåäóþùåå óñëîâèå ìîæíî ïîëó÷èòü èç íàïèñàííûõ âûøå óðàâíåíèé,
ïðîèíòåãðèðîâàâ ïî íåêîòîðîìó îáúåìó.
Z I B2
B2
(Br) B
dV =
P+
r − 4π df
(3)
3P +
2π
8π
2
Ýòî óñëîâèå íà ðàâíîâåñíîå ñîñòîÿíèå áûëî ïîëó÷åíî â ñîâìåñòíîé
ðàáîòå ×àíäðàñåêàðà è Ôåðìè â 1953 ãîäó. Ýòî óðàâíåíèå ïîçâîëÿåò ñäåëàòü î÷åíü âàæíîå çàìå÷àíèå î ðàâíîâåñíîé êîíôèãóðàöèè. Ïóñòü ïëàçìà çàíèìàåò íåêèé êîíå÷íûé îáúåì, çà ïðåäåëàìè êîòîðîãî äàâëåíèå
P = 0. À òàêæå ïóñòü çà ïðåäåëàìè ýòîãî îáúåìà íåò íèêàêèõ èñòî÷íèêîâ ïîëÿ (ïðîâîäíèêîâ ñ òîêîì). Òîãäà âäàëè îò ïëàçìû ïîëå äîëæíî
óáûâàòü êàê r1 , à ñëåäîâàòåëüíî ïðàâàÿ ÷àñòü (3) îáðàùàåòñÿ â 0 ïðè
èíòåãðèðîâàíèè ïî áåñêîíå÷íî áîëüøîé ïîâåðõíîñòè. Íî èíòåãðàë îò çàâåäîìî ïîëîæèòåëüíîé âåëè÷èíû 3P + B 2/8π íå ìîæåò îáðàùàòüñÿ â
íóëü. Ñëåäîâàòåëüíî íå ìîæåò ñóùåñòâîâàòü îãðàíè÷åííîé â ïðîñòðàíñòâå ðàâíîâåñíîé êîíôèãóðàöèè, íå ïîääåðæèâàåìîé ìàãíèòíûì ïîëåì
îò âíåøíèõ èñòî÷íèêîâ. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè íàëè÷èè âíåøíèõ èñòî÷íèêîâ
ïðàâàÿ ÷àñòü ñâåäåòñÿ ê èíòåãðàëó ïî èõ ïîâåðõíîñòè è óñëîâèå ìîæåò
áûòü óäîâëåòâîðåíî.
3
2.1
×àñòíûå ñëó÷àè
Z
è
θ
ïèí÷åé
Ðàññìîòðèì îäíó èç ñàìûõ ïðîñòûõ ìîäåëåé - ìîäåëü ïëàçìåííîãî
ïèí÷à. Ðàññìàòðèâàåòñÿ áåñêîíå÷íûé ïëàçìåííûé öèëèíäð, âñå ïàðàìåòðû â íåì çàâèñÿò ëèøü îò êîîðäèíàòû r (â öèëèíòðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ r, ϕ, z, ãäå z íàïðàâëåíà âäîëü îñè öèëèíäðà). Èç óðàâíåíèé
divB = 0 è divj = 0 ñëåäóåò, ÷òî Br è jr ðàâíû íóëþ (èíà÷å îíè îáðàùàëèñü áû â áåñêîíå÷íîñòü ïðè r → ∞).
Èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà ïîëó÷àåì â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ:
jϕ = −
c dBz
,
4π dr
jz =
c d
(rBϕ )
4πr dr
Ïðîèíòåãðèðîâàâ âòîðîå âûðàæåíèå íàéäåì:
2J(r)
Bϕ =
,
cr
Zr
Äëÿ ïðîèçâîäíîé äàâëåíèÿ íàéäåì:
−
jz · 2πrdr
J(r) =
0
dP
1 dJ 2 (r)
1 dBz2
=
+
dr
2πc2 r2 dr
8π dr
Äàëåå ðàññìîòðèì äâà îòäåëüíûõ ñëó÷àÿ.  ïåðâîì áóäåì ïðåäïîëàãàòü Bz = 0, jϕ = 0 (ñëó÷àé z-ïèí÷à). Ïðîèíòåãðèðîâàâ âûðàæåíèå äëÿ
ãðàäèåíòà äàâëåíèÿ, ïîëó÷èì ðàâíîâåñèå â âèäå:
Za
P (r) · 2πrdr =
0
3
Ja2
2c2
ãäå J(a) - ïîëíûé òîê âäîëü øíóðà. Óäåðæàíèå ðàâíîâåñíîé êîíôèãóðàöèè ïëàçìû îñóùåñòâëÿåòñÿ ïîëåì ïðîäîëüíîãî òîêà.
Âî âòîðîì ñëó÷àå ðàññìîòðèì ò.í. θ-ïèí÷, êîãäà Bϕ = 0, jz = 0. Òîãäà
ïîëó÷èì:
2
2
P+
Bz
B
= o
8π
8π
ãäå Bo - ïðîäîëüíîå ìàãíèòíîå ïîëå âíå øíóðà. Óäåðæàíèå ïëàçìû îñóùåñòâëÿåòñÿ çäåñü âíåøíèì ïðîäîëüíûì ïîëåì.
Îñîáûé èíòåðåñ äëÿ èçó÷åíèå ïðåäñòàâëÿþò z-ïèí÷ ýôôåêòû, êîòîðûå èñïîëüçóåòñÿ ïðè óäåðæàíèè ïëàçìû â ÒîÊàìÀêàõ è ÿâëÿåòñÿ îäíîé
èç îñíîâíûõ ïðè÷èí ñòàáèëüíîñòè êîñìè÷åñêèõ ñòðóéíûõ âûáðîñîâ èëè
ò.í. ãàëàêòè÷åñêèõ äæåòîâ, ãäå êàê ðàç íàáëþäàåòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûé
(íåêëàññè÷åñêèé) ñëó÷àé, à èìåííî, óëüòðàðåëÿòèâèñòñêîå äâèæåíèå ÷àñòèö ñðåäû.
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] Ë. Ä. Ëàíäàó, E. M. Ëèôøèö,
Ì.:Íàóêà., 1982.
[2] Äæ. Äæåêñîí,
Ýëåêòðîäèíàìèêà ñïëîøíûõ ñðåä.
Êëàññè÷åñêàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà.
4
Ì.: Ìèð, 1965.