определ интегралы - Томский государственный

Вычисление определенного
интеграла.
Шульц Денис Сергеевич
План занятия.
 Понятие и свойства определенного интеграла
 Геометрический смысл определенного интеграла
 Формула Ньютона-Лейбница
 Вычисление определенного интеграла
Понятие первообразной
F ′ x = f(x)
Ж.Л. Лагранж (1736 – 1813)
Определение №1. Функция F(x) называется первообразной функцией для
функции f(x) на интервале (a,b), если F(x) дифференцируема на (a,b) и F’(x)=f(x)
Если f(x) имеет на интервале (a,b) первообразную F(x), то и все функции вида:
F(x) + C будут для неё первообразными на том же промежутке
Неопределенный интеграл
Определение №2. Совокупность всех первообразных функции f(x)
на интервале (a,b) называется неопределенным интегралом от функции f(x)
и обозначается:
f x dx = F x + C
– значок интеграла
f(x) – подынтегральная функция
dx
– дифференциал независимой переменной
f x dx – подынтегральное выражение
Неопределенный интеграл
f x dx = F x + C
Найти (взять, решить) неопределенный интеграл – это значит найти
определенную функцию F(x) + C (множество всех первообразных), пользуясь
некоторыми правилами, методами, таблицей.
𝐹 𝑥 +𝐶
Интеграл
3x 2 dx = x 3 + C
′
= 𝑓(𝑥)
проверка:
𝑥3 + 𝐶
′
= 3𝑥 2
Определенный интеграл
Определение №3. Пусть функция f(x) задана на отрезке [a, b] и имеет на нём
первообразную F(x) . Разность F(b) – F(a) называется определенным интегралом
функции f(x) по отрезку [a, b] и обозначается:
b
f x dx = F b − F(a)
a
a, b – пределы интегрирования
формула Ньютона-Лейбница
Определенный интеграл
b
f x dx = F b − F(a)
a
Алгоритм нахождения определенного интеграла:
• Находим неопределенный интеграл, пользуясь таблицей интегралов,
различными приёмами интегрирования
• Не подставляем константу С при нахождении определенного интеграла
• Применяем формулу Ньютона-Лейбница
2
2
2
3𝑥 2 𝑑𝑥
1
𝑥 2 𝑑𝑥
=3
1
𝑥3
=3
3
= 23 − 13 = 8 − 1 = 7
1
Геометрический смысл
определенного интеграла
b
f x dx = F b − F(a)
a
y=0
x=a
y = f(x)
x=b
Sкриволинейной трапеции =
𝑏
𝑓
𝑎
𝑥 𝑑𝑥
Свойства
определенного интеграла
b
a
f x dx = −
1.
f x dx
a
b
b
c
f x dx =
2.
a
b
f x dx +
f x dx
a
c
b
b
f(x) ± g(x) dx =
3.
a
b
f x dx ±
a
b
b
kf x dx = k
4.
a
f x dx
a
g x dx
a
Неопределенный и
определенный интеграл
Неопределенный
функция (выражение)
нахождение функции по производной
(известна скорость движения точки.
Можно найти выражение для координаты)
𝑑𝑥
𝑣=
𝑑𝑡
Определенный
число
Площадь фигур
Объёмы фигур
Длины дуг
может ли определенный интеграл быть <0, =0, ∞?
всегда ли существует определенный интеграл?
Пример
𝑒
1
𝑙𝑛2 𝑥
𝑑𝑥
𝑥
𝜋/4
𝑥 ∙ sin 2𝑥 𝑑𝑥
0
Спасибо за внимание!!!
Шульц Денис Сергеевич
Кафедра прикладной математики и
информатики
Факультет дистанционного обучения
Томский государственный университет
систем управления и радиоэлектроники
[email protected]
[email protected]