К более точному вычислению трех- и четырёх-частичных фазово-пространственных интегралов

К более точному вычислению трех- и четырёх-частичных
фазово-пространственных интегралов
ИИ
• Абстракт
• Представлены интегральные формы для вычисления трех- и четырехчастичных фазово-пространственных интегралов. Получены
нерелятивистские и ультрарелятивистские пределы. Полученные
формулы позволяют более быстро и точно вычислять соответствующие
интегралы.
1 Введение
Для всесторонних исследований различных аспектов множественного рождения в ядерных
столкновения при высоких энергиях требуется вычисление фазово-пространственных интегралов.
Например, распределение энергий и импульсов частиц в конечном состоянии, разделение
динамических и кинематических особенностей процесса, соотношение между поперечным и
продольным импульсами частиц и т. д. Некоторое количество различных Монте Карло методов
используется для вычисления фазово-пространственных интегралов , но времена их счета, как
правило, велики. Наиболее популярный метод предложен
G.H. Campbell , J.V. Lepore and R.J. Riddell.
Evalution of Phase-Space Integrals.
J. of Mathematical Physics , 8, (1967) 687-691
Он состоит в следующем. Решаем уравнение
1  2n E I 0 (  E ) n m K 0 (  m)


0

I1 (  E )
K1 (  m)
для параметра  , где I и K есть модифицированные функции Бесселя первого и второго
типа, Е есть полная энергия , n число частиц , m есть масса частицы. Затем фазовопространственный интеграл вычисляется по формуле:
 2 I1 (  E ) 4 m
n
Zn ( E ) 
(
K
(

m)
)

1
3/2
(2 )
E

4n  2
E I0 ( E ) 2
m K 0 (  m) 2
2
2

E

nm

(
)

n
(
)
2

I1 (  E )
K1 (  m)
[
]
1/2
Наш интерес к более точным вычислениям фазово-пространственных интегралов был
стимулирован серьезными расхождениями между схемой Campbell и аппроксимациями для
нерелятивистского предела E  nm
:
3(n 1)/2
n /2
(3n 5)/2
(2

)
m
(
E

nm
)
Z nNR ( E , m) 
2n (nm)3/2 (3(n  1) / 2)
и ультрарелятивистского предела
E
Z nER ( E , m) 
nm :
 n1 E 2 n4
2n 1 (n  1)! (n  2)!
2 Трехмерный фазово-пространственный интеграл
В канонических формулах для фазово-пространственного обьема
3
d
ki
Z 3 ( E , m )    ( E   k i 0 )  3 (  k i )
i 1 2ki 0
3
где
ki
есть импульсы частиц и
ki 0  ki 2  m2
мы перейдем к безразмерным переменным
ki  m ti
Если выбрать ось
z
совпадающую с
m2
Z 3 ( E , m) 
8
 d
1
ti
получим:
d 2 d (cos  2 )
d 3t1
d 3t2
t12  1
t2 2  1
 (N  t12  1  t2 2  1  t12  t2 2  2t1t2 cos  2  1)
t12  t2 2  2t1t2 cos  2  1

где
N E/m
. После интегрирования по угловым переменным получаем:
Z 3 ( E , m )   2m 2

C
t1 dt1
t2 dt2
t12  1
t2 2  1
ui  ti 2  1
Для новых переменных
мы находим границы интегрирования решением
уравнения в аргументе дельта функции Дирака для cos  2  1 :
N  u1 1
u2 

2
2
( N 2  2 Nu1  3)(u12  1)
N 2  2 Nu1  1
Для фазово-пространственного интеграла получим:
Z 3 ( E , m)   m
2
2

( N 2 -3)/2 N
1
du1

u2 
u2 
du2
И окончательно получим:
 (  4) 2 1 v(1  v)( (  4)v  4(  3))
Z 3 ( E , m)   m (
)
dv
2

0
2(  3)
(  2)   (  4)v
2
  N 3
2
где
. Такая интегральная форма весьма удобна для численных расчетов с произвольно
заданной точности, а также не содержит сингулярностей. На Рис. 3 мы можем сравнить точные
расчеты по данной формуле и по Campbell схеме.
 0
Нерелятивистский предел фазово-пространственного интеграла соответствует пределу
Мы раскладываем подинтегральное выражение в ряд Тейлора по членам
и после
интегрирования получаем асимптотическое разложение:

3  (  4)
Z ( E , m)   m
32
 3
NR
3
3
(
2
)
2
1 2 1 3
7
5 5
4
(1   
 
 
  )
72
144
2592
5184
или
Z
NR
3
( E , m)   m
3
2
1 2
1 3
7
1
4
3(  
 
 
5 
18
108
2592
1296
)

1
Ультрарелятивистский предел фазово-пространственного интеграла соответствует пределу
. После замеы переменных в (12 )
 1/ y мы разложим подинтегральное выражение в
ряд Тейлора по членам
. Только для первых двух членов ряда интеграл сходится и расходится
для всех остальных. Поэтому мы выбираем следующую форму для ультрарелятивистского
предела фазово-пространственного интеграла
y

a1 a2 a3
1 31
Z ( E , m)   m  ( 
 a 0 (1  exp(  2  3 )))
8 4
  
Результаты фитирования данных y на интервале (0., 0.1) таковы:
ER
3
2
2
2
a0 =0.00071422;
a1 =78.4275;
a2 =-640.04376
a3 =2211.03989
2 Фазово-пространственный интеграл четырех частиц
Четырехчастичный фазово-пространственный интеграл может быть представлен через
двухчастичные фазово-пространственный интегралы:
Z 4 ( E,m)   d p Z 2 ( P - p,m)Z 2 ( p,m)
4
Z 2 ( p,m)
является не стандартным двухчастичным фазово-пространственным
интегралом:
Z 2 ( p,m) 

2
p0 2  4m 2
p0 2
а является двухчастичным фазово-пространственным интегралом вне центра масс:
Z 2 ( p,m)  
d 3k1
d 3 k2
2 k12  m2 2 k2 2  m 2

2
2
2
2
 ( p0  k1  m  k2  m ) 
2
 ( p  k1  k2 ) 
p0 2  p 2  4m2
p0 2  p 2
p
где
, 
E
есть импульс системы двух частиц. Подставив (19) в (17) и введя новую переменную
m(  4) , а также учитывая кинематические ограничения получим:
Z 4 ( E,m ) 
3
8
m (  4)
4
0
4

1 4/(  4)
dw

0
(1 w )2 ( 4/(   4)) 2
dt t 2 
(1  w) 2  t 2  (4 / (  4)) 2 (1  w) 2  t 2  (4 / (   4)) 2
(1  w) 2  t 2
(1  w) 2  t 2
На Рис. 4 сравниваются результаты расчетов по схеме [1] с (20). Как видим данные по схеме
Campbell превышают точные значения.
Нерелятивистскому пределу фазово-пространственного интеграла соответствует
пределу
 0 Перейдем к новым переменным u и v

w  z u,
t  v (1  u ) z (2  z  uz )


/( 
где z 
интегрирование по
4)
z
. Далее мы разложим в ряд Тейлора по членам
и проведем
и
. Полученный ряд по
легко преобразуется в ряд по
z
u v
3/2 4 4 7/2
2
 m
NR
i
Z 4 ( E , m) 
a


i
105
где значения коэффициентов
a0  1
1
16
81
a2 
5632
a1  
a3  
2811
1171456
ai
приведены в Таблице.
17581
74973184
1085791
a5 
20392706048
597243189
a6  
12398765277184
a4 
a7 
4581732455
198380244434944

:
Для получения ультрарелятивистского предела вводим новую переменную
b
b  4 / (  4)
Очевидно, ультрарелятивистскому пределу соответствует
подинтегральное выражение по членам b
:
b  0 . Мы разлагаем
2
2
2
2 2
t
(1

w

t
)
2
t
w
2
2
4
t  4
b

b

2
2
2
4
2
2
2 2
t  (1  w )  2t (1  w )
(t  (1  w )  2t (1  w ))
После интегрирования получаем:
1
f 0  ((2  5b2 ) 1  b2  3b4 ln(b)  3b4 ln(1  1  b2 ))
24
(10  b2 ) 1  b2 (32  24b2  b4 ) ln(1  1  b2 )
f2 


32
128
(16  24b2  b4 ) ln(b) b2 (8  b2 ) ln(4  3b 2  4 1  b 2  b 2 1  b 2 )

64
128
Следующие члены чрезвычайно громоздки. Для оценки точности аппроксимации мы численно
вычисляли интеграл (20) без множителя  3 E 4 / 8 с высокой точностью. На Рис. 5 можно видеть
поведение относительной ошибки .
Поведение фазово-пространственного интеграла и аппроксимаций на интервале
мы можем видеть на Рис. 6
b (0.0 , 0.5)
Для улучшения точности проведено фитирование следующей формулы
с параметрами
:
4
5
6
a ,a ,a
Z 4ER ( E,m) 
 3E 4
8
( f 0  f 2b2  (a4b4 + a5b5 + a6 b6 ) ln(b))
где значения параметров таковы:
a4  1.037089,
a5  4.018681,
a6  4.07162
4 Заключение
Необходимо отметить, что предложенная схема позволяет вычислять фазово-пространственные
интегралы более быстро и более точно для систем трех и четырех частиц. Если нет необходимости в
высокой точности можно ограничиться нерелятивистским и ультрарелятивистским аппроксимациями.
Это позволит существенно уменьшить время счета. Методология развитая в данной работе позволяет
построить вычислительную процедуру для пяти и более частиц.