1. Принцип аргумента 2. Мероморфные функции

ÔÎÐÌÓËÈÐÎÂÊÈ ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÉ Ê ÝÊÇÀÌÅÍÓ
ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
À. À. Ïîæàðñêèé
Ñîäåðæàíèå
1.
Ïðèíöèï àðãóìåíòà
1
2.
Ìåðîìîðôíûå ôóíêöèè
1
3.
Ìíîãîçíà÷íûå ôóíêöèè
2
4.
Ãàììà-ôóíêöèÿ
2
5.
Êîíôîðìíûå îòîáðàæåíèÿ
2
6.
Ôèçè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ êîíôîðìíûõ îòîáðàæåíèé
3
7.
Îïåðàöèîííîå èñ÷èñëåíèå
4
8.
Àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäû
5
1.
Ïðèíöèï àðãóìåíòà
Îïðåäåëåíèå 1 (Èíäåêñ ôóíêöèè íà êðèâîé). Ïóñòü
• γ çàìêíóòàÿ îðèåíòèðîâàííàÿ êóñî÷íî-ãëàäêàÿ êðèâàÿ â C;
• f íåïðåðûâíàÿ êîìïëåêñíî-çíà÷íàÿ ôóíêöèÿ íà êðèâîé γ ;
• ∀ z ∈ γ f (z) 6= 0.
Èíäåêñîì ôóíêöèè f íà êðèâîé γ íàçûâàþò öåëîå ÷èñëî
1
ind(f, γ) =
∆γ arg f,
2π
ãäå ∆γ arg f ïðèðàùåíèå íåïðåðûâíîé âåòâè àðãóìåíòà ôóíêöèè f (z) ïîñëå îäíîêðàòíîãî
îáõîäà òî÷êîé z êðèâîé γ â íàïðàâëåíèè çàäàííîì îðèåíòàöèåé íà êðèâîé γ .
Äðóãèìè ñëîâàìè, èíäåêñ ôóíêöèè f íà êðèâîé γ ýòî ÷èñëî îáîðîòîâ òî÷êè f (z) âîêðóã
íà÷àëà êîîðäèíàò, îòñ÷èòûâàåìûå ïðîòèâ õîäà ÷àñîâîé ñòðåëêè, ïðè îäíîêðàòíîì îáõîäå
òî÷êîé z êðèâîé γ â íàïðàâëåíèè çàäàííîì îðèåíòàöèåé íà êðèâîé γ .
2.
Ìåðîìîðôíûå ôóíêöèè
Îïðåäåëåíèå 2 (Ìåðîìîðôíàÿ ôóíêöèÿ). Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ ìåðîìîðôíîé, åñëè
• f ∈ H(C \ E), ãäå E ⊂ C;
• ëþáàÿ òî÷êà z èç E ÿâëÿåòñÿ ïîëþñîì ôóíêöèè f .
Îïðåäåëåíèå 3 (Ïðàâèëüíàÿ ñèñòåìà êîíòóðîâ). Ãîâîðÿò, ÷òî {γn }∞
n=1 ïðàâèëüíàÿ ñèñòåìà
êîíòóðîâ â C, åñëè
27 äåêàáðÿ 2013 ã.
1
2
À. À. Ïîæàðñêèé
•
•
•
•
•
∀ n ∈ N γn çàìêíóòûé êóñî÷íî-ãëàäêèé êîíòóð;
òî÷êà z = 0 ïðèíàäëåæèò îáëàñòè intγn , îãðàíè÷åííîé êîíòóðîì γ1 ;
∀ n ∈ N êîíòóð γn ëåæèò âíóòðè îáëàñòè, îãðàíè÷åííîé êîíòóðîì γn+1 ;
dn = dist(0, γn ) → ∞ ïðè n → ∞;
∃ C > 0 : ∀ n ∈ N dlnn 6 C , ãäå ln äëèíà êîíòóðà γn .
3.
Ìíîãîçíà÷íûå ôóíêöèè
Îïðåäåëåíèå 4 (Àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå). Ïóñòü
•
•
•
•
•
D îáëàñòü â C;
E ïîäìíîæåñòâî D;
f : E −→ C;
F ∈ H(D);
F = f (äðóãèìè ñëîâàìè, ∀ z ∈ E
f (z) = F (z)).
E
Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî F àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå f ñ ìíîæåñòâà E íà îáëàñòü D.
Îïðåäåëåíèå 5 (Ðåãóëÿðíàÿ âåòâü ìíîãîçíà÷íîé ôóíêöèè). Îäíîçíà÷íîé ðåãóëÿðíîé âåòâüþ
(èëè, ñîêðàùåííî, ðåãóëÿðíîé âåòâüþ) ìíîãîçíà÷íîé ôóíêöèè f (z) â îáëàñòè D íàçûâàþò
âñÿêóþ ðåãóëÿðíóþ ôóíêöèþ f0 (z) â D òàêóþ, ÷òî â ëþáîé òî÷êè z ∈ D çíà÷åíèå ôóíêöèè
f0 (z) ñîâïàäàåò ñ îäíèì èç çíà÷åíèé ôóíêöèè f (z).
Îïðåäåëåíèå 6 (Òî÷êà âåòâëåíèÿ). Îñîáàÿ òî÷êà z0 íàçûâàåòñÿ òî÷êîé âåòâëåíèÿ ìíîãî-
çíà÷íîé ôóíêöèè f (z), åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïðîêîëîòàÿ îêðåñòíîñòü 0 < |z − z0 | < r, ÷òî
ëþáàÿ ðåãóëÿðíàÿ âåòâü ôóíêöèè f (z) ìîæåò áûòü àíàëèòè÷åñêè ïðîäîëæåíà âäîëü ëþáîé
öåïî÷êè îáëàñòåé, ïðèíàäëåæàùèõ ýòîé îêðåñòíîñòè, è íàéäåòñÿ ðåãóëÿðíàÿ âåòâü ôóíêöèè f (z), êîòîðàÿ íå ìîæåò áûòü àíàëèòè÷åñêè ïðîäîëæåíà âî âñþ ïðîêîëîòóþ îêðåñòíîñòü 0 < |z − z0 | < r.
4.
Ãàììà-ôóíêöèÿ
Îïðåäåëåíèå 7 (Ãàììà-ôóíêöèÿ). Ãàììà-ôóíêöèåé (ñîêðàùåííî, Γ-ôóíêöèåé) íàçûâàþò ôóíê-
öèþ, îïðåäåëåííóþ ïðè Re z > 0 ðàâåíñòâîì
Z+∞
tz−1 e−t dt.
Γ(z) =
0
Îïðåäåëåíèå 8 (Áåòà-ôóíêöèÿ). Áåòà-ôóíêöèåé íàçûâàþò ôóíêöèþ, îïðåäåëåííóþ ïðè Re z >
0 è Re w > 0 ðàâåíñòâîì
Z1
B(z, w) =
tz−1 (1 − t)w−1 dt.
0
5.
Êîíôîðìíûå îòîáðàæåíèÿ
Îïðåäåëåíèå 9 (Îáëàñòü â C). Ìíîæåñòâî òî÷åê D íà ðàñøèðåííîé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè
C íàçûâàþò îáëàñòüþ, åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ.
ÔÎÐÌÓËÈÐÎÂÊÈ ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÉ Ê ÝÊÇÀÌÅÍÓ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
3
• Îòêðûòîñòü: äëÿ ëþáîé êîíå÷íîé òî÷êè z0 ∈ D ∃ r > 0 : {z | |z − z0 | < r} ⊂ D;
• äëÿ áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êè z0 = ∞ ∈ D ∃ R > 0 : {z | |z| > R} ⊂ D.
• Ëèíåéíàÿ ñâÿçíîñòü: äëÿ ëþáûõ äâóõ êîíå÷íûõ òî÷åê ìíîæåñòâà D íàéäåòñÿ ëîìàíàÿ (ëèíèÿ, ñîñòîÿùàÿ èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ïðÿìîëèíåéíûõ îòðåçêîâ) öåëèêîì ïðèíàäëåæàùàÿ D.
Îïðåäåëåíèå 10 (Êîíôîðìíîå îòîáðàæåíèå). Ãîâîðÿò, ÷òî f êîíôîðìíîå îòîáðàæåíèå
îáëàñòè D ⊂ C íà îáëàñòü G ⊂ C, åñëè
(1) f âçàèìíî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå D íà G;
(2) f ðåãóëÿðíàÿ ôóíêöèÿ â D , çà èñêëþ÷åíèåì íå áîëåå ÷åì îäíîé òî÷êè;
◦ ìû áóäåì ñ÷èòàòü ôóíêöèþ f ðåãóëÿðíîé íà áåñêîíå÷íîñòè, åñëè f èìååò óñòðàíèìóþ
îñîáåííîñòü íà áåñêîíå÷íîñòè.
Îïðåäåëåíèå 11 (Äðîáíî-ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå). Äðîáíî-ëèíåéíûì îòîáðàæåíèåì íàçûâà-
þò îòîáðàæåíèå âèäà
az + b
∈ C,
cz + d
ãäå ad − bc 6= 0. Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî
a
az+b • åñëè c 6= 0, òî az+b
=
è
= ∞;
cz+d z=∞
c
cz+d z=− dc
az+b = ∞.
• åñëè c = 0, òî
C 3 z 7−→
cz+d z=∞
Îïðåäåëåíèå 12 (Ñèììåòðè÷íûå òî÷êè îòíîñèòåëüíî îêðóæíîñòè). Ãîâîðÿò, ÷òî z1 è z2 ñèììåòðè÷íûå òî÷êè îòíîñèòåëüíî îêðóæíîñòè |z − z0 | = R, åñëè
(1) òî÷êè z1 è z2 ëåæàò íà îäíîì ëó÷å, íà÷èíàþùèìñÿ â òî÷êå z0 ;
(2) |z1 − z0 | · |z2 − z0 | = R2 ;
◦ òî÷êà z0 ñ÷èòàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé òî÷êå ∞.
6.
Ôèçè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ êîíôîðìíûõ îòîáðàæåíèé
Îïðåäåëåíèå 13 (Ïëîñêîå ïîëå). Ïóñòü
• D îáëàñòü â C;
• A îòîáðàæåíèå èç D â C;
Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî A ïëîñêîå ïîëå â D èëè, ñîêðàùåííî, ïîëå.
Îïðåäåëåíèå 14 (Ñîëåíîèäàëüíîå ïîëå). Ïóñòü
• D îáëàñòü â C;
• A = Ax + iAy ïîëå â D;
y
x
• div A = ∂A
+ ∂A
= 0.
∂x
∂y
Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî A ñîëåíîèäàëüíîå ïîëå â îáëàñòè D.
Îïðåäåëåíèå 15 (Ïîòåíöèàëüíîå ïîëå). Ïóñòü
• D îáëàñòü â C;
• A = Ax + iAy ïîëå â D;
y
x
• rot A = ∂A
− ∂A
= 0.
∂x
∂y
Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî A ïîòåíöèàëüíîå ïîëå â îáëàñòè D.
Îïðåäåëåíèå 16 (Ãàðìîíè÷åñêîå ïîëå). Ïóñòü
4
À. À. Ïîæàðñêèé
• D îáëàñòü â C;
• A = Ax + iAy ïîëå â D;
• A ñîëåíîèäàëüíîå ïîëå;
• A ïîòåíöèàëüíîå ïîëå.
Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî A ãàðìîíè÷åñêîå ïîëå â îáëàñòè D.
Îïðåäåëåíèå 17 (Êîìïëåêñíûé ïîòåíöèàë ïîëÿ). Ïóñòü
• D îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü â C;
• A ãàðìîíè÷åñêîå ïîëå â D;
• f ∈ H(D) òàêàÿ, ÷òî A = f 0 â îáëàñòè D.
Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî f êîìïëåêñíûé ïîòåíöèàë ïîëÿ A.
Îïðåäåëåíèå 18 (Òðàåêòîðèÿ ïîëÿ). Ïóñòü
• D îáëàñòü â C;
• A ãàðìîíè÷åñêîå ïîëå â D;
• z : [t1 , t2 ] −→ D ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
dz(t)
= A(z(t)).
dt
Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî z(·) òðàåêòîðèÿ ïîëÿ A.
∀ t ∈ [t1 , t2 ]
Îïðåäåëåíèå 19 (Ýêâèïîòåíöèàëüíûå ëèíèè ïîëÿ). Ïóñòü
• D îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü â C;
• A ãàðìîíè÷åñêîå ïîëå â D;
• f = u + iv êîìïëåêñíûé ïîòåíöèàë ïîëÿ A.
Òîãäà ëþáóþ ëèíèþ óðîâíÿ ôóíêöèè u (ò. å. êðèâóþ, óäîâëåòâîðÿþùóþ óðàâíåíèþ u = C ,
ãäå C íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ) íàçûâàþò ýêâèïîòåíöèàëüíîé ëèíèåé ïîëÿ A.
Îïðåäåëåíèå 20 (Ëèíèÿ òîêà ïîëÿ). Ïóñòü
• D îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü â C;
• A ãàðìîíè÷åñêîå ïîëå â D;
• f = u + iv êîìïëåêñíûé ïîòåíöèàë ïîëÿ A.
Òîãäà ëþáóþ ëèíèþ óðîâíÿ ôóíêöèè v íàçûâàþò ëèíèåé òîêà ïîëÿ A.
7.
Îïåðàöèîííîå èñ÷èñëåíèå
Îïðåäåëåíèå 21 (Ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà). Ïóñòü
• f : R −→ C;
• f êóñî÷íî-íåïðåðûâíà íà R;
• ∀ t < 0 f (t) = 0;
• ∃ C > 0 ∃ a ∈ R : ∀ t > 0 |f (t)| 6 Ceat .
Òîãäà
(1) ïðåîáðàçîâàíèåì Ëàïëàñà ôóíêöèè f íàçûâàþò ôóíêöèþ êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî
Z+∞
F (p) =
f (t)e−pt dt,
0
Re p > a;
(1)
ÔÎÐÌÓËÈÐÎÂÊÈ ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÉ Ê ÝÊÇÀÌÅÍÓ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
(2)
(3)
(4)
5
ôóíêöèþ f íàçûâàþò îðèãèíàëîì;
ôóíêöèþ F íàçûâàþò èçîáðàæåíèåì îðèãèíàëà f ;
äëÿ îáîçíà÷åíèÿ òîãî, ÷òî F èçîáðàæåíèå îðèãèíàëà f , èñïîëüçóþò çàïèñü
f (t) : F (p).
Îïðåäåëåíèå 22 (Ñâåðòêà îðèãèíàëîâ). Ñâåðòêîé îðèãèíàëîâ f è g íàçûâàþò ôóíêöèþ
Zt
f ∗ g(t) =
f (s)g(t − s) ds.
0
8.
Àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäû
Îïðåäåëåíèå 23 (Àñèìïòîòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü). Ïóñòü
• ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé {ϕn }∞
n=1 îïðåäåëåíà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 .
∞
Ãîâîðÿò, ÷òî {ϕn }n=1 àñèìïòîòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðè x → x0 , åñëè
∀ n ∈ N ϕn+1 (x) = o(ϕn (x))
ïðè x → x0 .
Îïðåäåëåíèå 24 (Àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå). Ïóñòü
• ôóíêöèÿ f è ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ϕn }∞
n=1 îïðåäåëåíû â íåêîòîðîé
îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 ;
• {ϕn }∞
n=1 àñèìïòîòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðè x → x0 ;
• {cn }∞
n=1 ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
∞
P
Ôîðìàëüíûé ðÿä
cn ϕn íàçûâàþò àñèìïòîòè÷åñêèì ðàçëîæåíèåì ôóíêöèè f ïðè x → x0 ,
n=1
åñëè
N
X
cn ϕn (x) = o(ϕN (x))
∀ N ∈ N f (x) −
n=1
ïðè x → x0 .  ýòîì ñëó÷àå ïèøóò
f (x) ∼
∞
X
cn ϕn (x),
x → x0 .
n=1
Îïðåäåëåíèå 25 (Ïåðåâàëüíûé êîíòóð). Ïóñòü
• D îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü â C;
• S ∈ H(D);
• a ∈ D, b ∈ D.
Òîãäà èç âñåõ êóñî÷íî-ãëàäêèõ êðèâûõ, ñîåäèíÿþùèõ òî÷êè a è b, ïåðåâàëüíûì êîíòóðîì
íàçûâàþò ëþáóþ êðèâóþ γ , óäîâëåòâîðÿþùóþ ñëåäóþùèì óñëîâèÿì.
(1) Êðèâàÿ γ ñîñòîèò èç îáúåäèíåíèÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà ãëàäêèõ êðèâûõ, íà êàæäîé èç êîòîðûõ âûïîëíåíî îäíî èç äâóõ óñëîâèé
Im S(z) = Const
(2)
èëè
Re S(z) = Const.
Äëÿ ëþáîé êóñî÷íî-ãëàäêîé êðèâîé Γ, ñîåäèíÿþùåé òî÷êè a è b âåðíî, ÷òî
max Re S(z) 6 max Re S(z).
z∈γ
z∈Γ
6
À. À. Ïîæàðñêèé
Îïðåäåëåíèå 26 (Òî÷êà ïåðåâàëà). Ïóñòü
• S ðåãóëÿðíà â îêðåñòíîñòè òî÷êè z0 ∈ C.
Òîãäà
(1) z0 íàçûâàþò òî÷êîé ïåðåâàëà ôóíêöèè S , åñëè S 0 (z0 ) = 0;
(2) òî÷êó ïåðåâàëà z0 íàçûâàþò ïðîñòîé, åñëè S 00 (z0 ) 6= 0.
Îïðåäåëåíèå 27 (Ëèíèÿ íàèñêîðåéøåãî ñïóñêà). Ïóñòü
D îáëàñòü â C;
S ∈ H(D);
z0 ∈ D ïðîñòàÿ òî÷êà ïåðåâàëà ôóíêöèè S ;
â îêðåñòíîñòè òî÷êè z0 ëèíèÿ óðîâíÿ Im S(z) = Im S(z0 ) ñîñòîèò èç äâóõ ãëàäêèõ
êðèâûõ γ+ è γ− , ïåðåñåêàþùèõñÿ â òî÷êå z0 ;
• ïðè óäàëåíèè îò òî÷êè z0 âäîëü êðèâîé γ− ôóíêöèÿ Re S(z) óáûâàåò.
Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî γ− ëèíèÿ íàèñêîðåéøåãî ñïóñêà ôóíêöèè S â îêðåñòíîñòè òî÷êè
ïåðåâàëà z0 .
•
•
•
•