Теория поля: градиент, ротор, дивергенция, поток

c ÌàòÁþðî ðåøåíèå çàäà÷ ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå, òåîðèè âåðîÿòíîñòåé
Òåîðèÿ ïîëÿ
Ãðàäèåíòîì ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u = u(x, y, z) íàçûâàåòñÿ ñëåäóþùèé âåêòîð (íàïðàâëåíèÿ íàèñêîðåéøåãî ðîñòà u):
∂u ∂u ∂u
grad u = ∇u =
, ,
.
∂x ∂y ∂z
Ïðîèçâîäíàÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u = u(x, y, z) ïî íàïðàâëåíèþ l âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
∂u
1
= ∇u · l.
∂l
|l|
Ïóñòü P = P (x, y, z), Q = Q(x, y, z), R = R(x, y, z) íåïðåðûâíûå ñî âìåñòå ñî
ñâîèìè ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ïåðâîãî ïîðÿäêà ôóíêöèè. Ïîòîêîì âåêòîðíîãî ïîëÿ
F = (P, Q, R) ÷åðåç ïîâåðõíîñòü S íàçûâàåòñÿ ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë
ZZ
ZZ
ZZ
Π=
F · n dS =
(P cos α + Q cos β + R cos γ) dS =
P dy dz + Q dx dz + R dx dy.
S
S
S
Äèâåðãåíöèåé âåêòîðíîãî ïîëÿ F = (P, Q, R) íàçûâàåòñÿ ñêàëÿð
div F =
∂P
∂Q ∂R
+
+
.
∂x
∂y
∂z
Åñëè div F (M0 ) > 0, òî òî÷êà M0 íàçûâàåòñÿ èñòî÷íèêîì, åñëè div F (M0 ) < 0, òî òî÷êà
M0 íàçûâàåòñÿ ñòîêîì. Âåêòîðíîå ïîëå, âî âñåõ òî÷êàõ êîòîðîãî äèâåðãåíöèÿ ðàâíà íóëþ
íàçûâàåòñÿ ñîëåíîèäàëüíûì. Ïîòîê òàêîãî ïîëÿ ÷åðåç ëþáóþ ïîâåðõíîñòü ðàâåí íóëþ.
Ëèíåéíûì èíòåãðàëîì îò âåêòîðà F ïî îðèåíòèðîâàííîé êðèâîé K íàçûâàåòñÿ êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë (ðàáîòà ïîëÿ âäîëü êðèâîé K )
Z
Z
F dr = P dx + Q dy + R dz.
K
K
Åñëè êîíòóð C çàìêíóòûé, òî ëèíåéíûé èíòåãðàë
I
I
F dr = P dx + Q dy + R dz.
C
C
íàçûâàåòñÿ öèðêóëÿöèåé âåêòîðíîãî ïîëÿ âäîëü êîíòóðà C .
Âèõðåì (ðîòîðîì) âåêòîðíîãî ïîëÿ F = (P, Q, R) íàçûâàåòñÿ âåêòîð
∂R ∂Q
∂R
∂P
∂Q ∂P
rot F =
−
−
−
,
,
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
Åñëè äëÿ âñåõ òî÷åê ïîëÿ ðîòîð ðàâåí íóëþ, òî òàêîå ïîëå íàçûâàåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì
(áåçâèõðåâûì). Â ïîòåíöèàëüíîì ïîëå öèðêóëÿöèÿ âñåãäà ðàâíà íóëþ.
1
Ôîðìóëà Ñòîêñà. C çàìêíóòûé êîíòóð, îãðàíè÷èâàþùèé ïîâåðõíîñòü S . Íàïðàâ-
ëÿþùèå êîñèíóñû íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè S cos α, cos β , cos γ (ñî ñòîðîíû íîðìàëè îáõîä
ïî êîíòóðó C îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè).
I
Z Z ∂R ∂Q
∂P
∂R
∂Q ∂P
R dx+Q dy+R dz =
−
cos α +
−
cos β +
−
cos γ dS.
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
C
S
Ôîðìóëà Ñòîêñà â âåêòîðíîé ôîðìå: öèðêóëÿöèÿ âåêòîðà âäîëü çàìêíóòîãî êîíòóðà C ,
îãðàíè÷èâàþùåãî íåêîòîðóþ ïîâåðõíîñòü S , ðàâíà ïîòîêó âèõðÿ ÷åðåç ýòó ïîâåðõíîñòü.
I
ZZ
F dr =
n · rot F dS.
C
S
Ôîðìóëà Ãàóññà-Îñòðîãðàäñêîãî. T çàìêíóòàÿ îáëàñòü îãðàíè÷åííàÿ çàìêíóòîé
ãëàäêîé ïîâåðõíîñòüþ S . cos α, cos β , cos γ íàïðàâëÿþùèå êîñèíóñû âíåøíåé íîðìàëè
ê ïîâåðõíîñòè S .
ZZ
ZZZ ∂P
∂Q ∂R
dx dy dz.
(P cos α + Q cos β + R cos γ)dS =
+
+
∂x
∂y
∂z
S
T
Ôîðìóëà Ãàóññà-Îñòðîãðàäñêîãî â âåêòîðíîé ôîðìå: èíòåãðàë îò äèâåðãåíöèè âåêòîðíîãî
ïîëÿ F , ðàñïðîñòðàíåííûé ïî íåêîòîðîìó îáúåìó T , ðàâåí ïîòîêó âåêòîðà ÷åðåç ïîâåðõíîñòü S , îãðàíè÷èâàþùóþ äàííûé îáúåì.
ZZ
ZZZ
F · n dS =
div F dV.
S
T
Ôîðìóëà Ãðèíà. C ãðàíèöà îáëàñòè D è ôóíêöèè P (x, y), Q(x, y) íåïðåðûâíû ñî
ñâîèìè ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ∂Q/∂x è ∂P/∂y íåïðåðûâíû â çàìêíóòîé îáëàñòè D.
I
ZZ ∂Q ∂P
P dx + Q dy =
−
dx dy.
∂x
∂y
C
D
2