Серия 3 - Математическая лаборатория имени П.Л. Чебышева

Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëàáîðàòîðèÿ èì. Ï. Ë. ×åáûø¼âà
3 ìàðòà 2011
Óïðàæíåíèÿ ê êóðñó ïî SLE. Ñåðèÿ 3.
1. Ïóñòü Kt - ïðÿìîëèíåéíûé ðàçðåç,
√ èäóùèé ïîä óãëîì θ ê ãîðèçîíòàëè (Kt =
iθ
{[0; r(t)e ]}). Äîêàæèòå, ÷òî ut = α t. Ïîäñêàçêà. Âîñïîëüçóéòåñü ñîîòíîøåíèåì
ga2 t (z) = agt (z/a) ïðè ëþáîì a.
2. Ïóñòü Kt ë¼âíåðîâñêàÿ öåïü, u0 = 0. Ïóñòü Rt - íàèìåíüøèé ïðÿìîóãîëüíèê
ñî√ñòîðîíàìè,
√ ïàðàëëåëüíûìè îñÿì êîîðäèíàò, ñîäåðæàùèé Kt . Äîêàæèòå: åñëè ut =
o( t) (èëè t = o(ut )) ïðè t → 0, òî îòíîøåíèå ãîðèçîíòàëüíîé ê âåðòèêàëüíîé
ñòîðîíå Rt ñòðåìèòñÿ ê íóëþ (ñîîòâåòñòâåííî ∞).
3. (Ýâîëþöèÿ ˼âíåðà â ïîëîñå). Ïóñòü S = {0 < =z < π}. Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèÿ gK : S\Kt → S ñ íîðìèðîâêîé gK (±∞) = ±∞, gK (z) + gK (−z) → 0, z → ∞.
Íàïèøèòå óðàâíåíèå ˼âíåðà äëÿ òàêèõ îòîáðàæåíèé è äîêàæèòå àíàëîã îñíîâíîé
òåîðåìû. Ïîäñêàçêà: ez êîíôîðìíî îòîáðàæàåò S íà H. Âîñïîëüçóéòåñü ýòèì, ÷òîáû ïîëó÷èòü ôîðìóëó äëÿ ÿäðà Ïóàññîíà, à èç íåãî - ÿäðà ˼âíåðà â ïîëîñå.
Áèáåðáàõà [1916] (òåîðåìà äå Áðàíæà [1984]) ãëàñèò: åñëè φ(z) =
PÃèïîòåçà
∞
k - êîíôîðìíîå îòîáðàæåíèå äèñêà D íà îáëàñòü Ω ⊂ C, òî |a |/|a | ≤ n.
a
z
n
1
k=1 k
Äâà ñëåäóþùèõ óïðàæíåíèÿ ïîñâÿùåíû ïðèìåíåíèþ ýâîëþöèè ˼âíåðà ê äîêàçàòåëüñòâó ýòîé òåîðåìû ïðè n = 2 è n = 3. Ìû áóäåì ðàññìàðèâàòü ñëó÷àé, êîãäà
Ω = D\Kt , ãäå Kt ïðåäñòàâèìî ýâîëþöèåé ˼âíåðà. Îáùèé ñëó÷àé ñâîäèòñÿ ê ýòîìó,
òàê êàê òàêèå îáëàñòè (è èõ ðàñòÿæåíèÿ) ïëîòíû â òîïîëîãèè Êàðàòåîäîðè.
4. (Òåîðåìà Áèáåðáàõà [1916]: |a2 | ≤ 2). Ïóñòü gt - ðàäèàëüíàÿ ýâîëþöèÿ ˼âíåðà.
Ðàññìîòðèì ft := gt−1 .
s−t
• Äèôôåðåíöèðóÿ îáðàòíîå óðàâíåíèå ˼âíåðà ∂t ft (z) = ft (z) fftt (z)+u
(z)−us−t ïî z , äîêà-
æèòå: ∂t ft00 (0) = −ft00 (0) −
4e−2t
us−t .
• Âûâåäèòå èç ýòîãî, ÷òî |ft00 (0)| ≤ Rt , ãäå Rt ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ∂t Rt = −Rt +4e2t ,
R0 = 0.
• Ðåøèâ ýòî óðàâíåíèå (èëè çàìåòèâ, ÷òî îíî ñîîòâåñòâóåò ñëó÷àþ, êîãäà ut ≡ 1, à
Kt - ïðÿìîëèíåéíûé ðàçðåç), íàéäèòå Rt .
5. (Òåîðåìà ˼âíåðà [1923]: |a3 | ≤ 3).
• Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó óïðàæíåíèþ, äîêàæèòå, ÷òî ∂t ft000 (0) = −ft000 (0) −
−t
−3t
12ft00 (0) ues−t − 12 ue 2 .
s−t
• Âûâåäèòå èç ýòîãî, ÷òî |ft000 (0)| ≤ St , ãäå St ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ∂t St = −St +
12Rt e−t + 12e−3t , S0 = 0.
• Ïîëó÷èòå èç ýòîãî îöåíêó |a3 | ≤ 5.
• *Ïîäóìàéòå, êàê óëó÷øèòü ýòî ðàññóæäåíèå, ÷òîáû ïîëó÷èòü |a3 | ≤ 3.