Конспект лекций (мат. физика)

advertisement
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
À. À. Ïîæàðñêèé
Ñîäåðæàíèå
1 ëåêöèÿ
1. Êîìïëåêñíàÿ ïëîñêîñòü
1.1. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà è îïåðàöèè íàä íèìè
1.2. Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà çàïèñè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà
1.3. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë
1.4. Ðàñøèðåííàÿ êîìïëåêñíàÿ ïëîñêîñòü
1.5. Ìíîæåñòâà íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè
1.6. Íåïðåðûâíûå ôóíêöèè êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé
2 ëåêöèÿ
4
4
4
6
6
7
8
2. Ðåãóëÿðíûå ôóíêöèè
2.1. Äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé
2.2. Ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè
2.3. Âîññòàíîâëåíèå ðåãóëÿðíîé ôóíêöèè ïî åå âåùåñòâåííîé (ìíèìîé) ÷àñòè
2.4. Îáðàòèìîñòü ðåãóëÿðíîé ôóíêöèè
10
10
13
14
16
3. Èíòåãðèðîâàíèå ðåãóëÿðíûõ ôóíêöèé
3.1. Êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë ôóíêöèè êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé
3.2. Èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà Êîøè
3.3. Ïåðâîîáðàçíàÿ ðåãóëÿðíîé ôóíêöèè
3.4. Èíòåãðàëüíàÿ ôîðìóëà Êîøè
3.5. Ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü
3.6. Ôîðìóëà Êîøè äëÿ ïðîèçâîäíûõ ðåãóëÿðíîé ôóíêöèè
3.7. Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ðåãóëÿðíîñòè
18
18
18
22
23
25
27
29
4. Ðÿäû Òåéëîðà
4.1. Ðÿäû Òåéëîðà
4.2. Ñòåïåííûå ðÿäû è èõ îñíîâíûå ñâîéñòâà
4.3. Òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè
4.4. Ïðèíöèï ìàêñèìóìà
31
31
31
33
34
5. Èçîëèðîâàííûå îñîáûå òî÷êè
5.1. Ðÿäû Ëîðàíà
5.2. Èçîëèðîâàííûå îñîáûå òî÷êè
37
37
39
6. Òåîðèÿ âû÷åòîâ
6.1. Âû÷åò â êîíå÷íîé òî÷êå
6.2. Âû÷åò â áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êå
44
44
45
3, 4, 5 ëåêöèè
6 ëåêöèÿ
7, 8 ëåêöèè
9, 10 ëåêöèè
6 äåêàáðÿ 2015 ã.
1
2
À. À. Ïîæàðñêèé
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
6.9.
Òåîðåìà î âû÷åòàõ
Ñâåäåíèÿ, ïîëåçíûå äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ ïî âû÷åòàì
Âû÷èñëåíèå èíòåãðàëîâ îò òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé ïî ïåðèîäó
Âû÷èñëåíèå èíòåãðàëîâ îò ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé ïî âåùåñòâåííîé îñè
Âû÷èñëåíèå èíòåãðàëîâ, ñîäåðæàùèõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè, ïî
âåùåñòâåííîé îñè
Âû÷èñëåíèå èíòåãðàëîâ, ñîäåðæàùèõ óñòðàíèìûå îñîáåííîñòè íà êîíòóðå
èíòåãðèðîâàíèÿ
Èíòåãðàë â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ
Êîëëîêâèóì
11 ëåêöèÿ
46
48
49
51
53
54
55
7. Ïðèíöèï àðãóìåíòà
7.1. Ïðèíöèï àðãóìåíòà
7.2. Îñíîâíàÿ òåîðåìà àëãåáðû
60
60
62
8. Ìåðîìîðôíûå ôóíêöèè
8.1. Ðàçëîæåíèå ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé íà ïðîñòûå äðîáè
8.2. Ðàçëîæåíèå ìåðîìîðôíûõ ôóíêöèé íà ïðîñòûå äðîáè
64
64
65
9. Ìíîãîçíà÷íûå ôóíêöèè
9.1. Àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå
9.2. Ðåãóëÿðíûå âåòâè ìíîãîçíà÷íûõ ôóíêöèé
9.3. Ðèìàíîâû ïîâåðõíîñòè ïðîñòåéøèõ ìíîãîçíà÷íûõ ôóíêöèé
9.4. Âû÷èñëåíèå èíòåãðàëîâ îò ìíîãîçíà÷íûõ ôóíêöèé
67
67
69
73
75
10. Ãàììà-ôóíêöèÿ
10.1. Ãàììà-ôóíêöèÿ
77
77
11. Êîíôîðìíûå îòîáðàæåíèÿ
11.1. Ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà ðåãóëÿðíûõ ôóíêöèé
11.2. Ëîêàëüíûå ñâîéñòâà êîíôîðìíûõ îòîáðàæåíèé
11.3. Îáùèå ñâîéñòâà êîíôîðìíûõ îòîáðàæåíèé
11.4. Äðîáíî-ëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ
11.5. Êîíôîðìíûå îòîáðàæåíèÿ åäèíè÷íîãî êðóãà íà ñåáÿ
80
80
81
82
83
85
12. Ôèçè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ êîíôîðìíûõ îòîáðàæåíèé
12.1. Çàäà÷à Äèðèõëå äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà
12.2. Êîìïëåêñíûé ïîòåíöèàë ïëîñêîãî ïîëÿ
12.3. Ïîëå ñêîðîñòåé èäåàëüíîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè
12.4. Ïîëå ñêîðîñòåé èäåàëüíîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè (äîïîëíåíèå)
12.5. Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå
86
86
87
89
91
96
12 ëåêöèÿ
13, 14 ëåêöèè
14 ëåêöèÿ
15, 16 ëåêöèè
17 ëåêöèÿ
18, 19 ëåêöèè
13. Îïåðàöèîííîå èñ÷èñëåíèå
13.1. Ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà
13.2. Ôîðìóëà Ìåëëèíà
13.3. Îïåðàöèîííûé ìåòîä ðåøåíèÿ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
99
99
102
104
20, 21, 22, 23 ëåêöèè
14. Àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäû
14.1. Àñèìïòîòè÷åñêèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
14.2. Àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå èíòåãðàëîâ òèïà Ëàïëàñà
14.3. Ôîðìóëà Ñòèðëèíãà
14.4. Àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå èíòåãðàëîâ òèïà Ôóðüå
14.5. Ìåòîä ïåðåâàëà
106
106
107
115
115
122
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
128
Ëèòåðàòóðà
4
À. À. Ïîæàðñêèé
Êîìïëåêñíàÿ ïëîñêîñòü
1.
1.1. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà è îïåðàöèè íàä íèìè.
Îïðåäåëåíèå 1.1 (Ìíîæåñòâî êîìïëåêñíûõ ÷èñåë). Ìíîæåñòâîì êîìïëåêñíûõ ÷èñåë C íà-
çûâàþò ìíîæåñòâî óïîðÿäî÷åííûõ ïàð âèäà (x, y) ∈ R2 , íà êîòîðîì îïðåäåëåíû îïåðàöèè
ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ ïî ñëåäóþùèì ïðàâèëàì.
• Àêñèîìà ñëîæåíèÿ: (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ).
• Àêñèîìà óìíîæåíèÿ: (x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ).
Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî çíà÷èòåëüíî óäîáíåå èìåòü äåëî ñî ìíîæåñòâîì C, åñëè ââåñòè ñëåäóþùèå
îáîçíà÷åíèÿ. Äîãîâîðèìñÿ âìåñòî êîìïëåêñíîãî ÷èñëà âèäà (x, 0) ïèñàòü ïðîñòî x, à âìåñòî
(0, y) ïèñàòü iy , ãäå i âñïîìîãàòåëüíûé ñèìâîë, íàçûâàåìûé êîìïëåêñíîé åäèíèöåé. Òîãäà,
ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñîãëàñíî àêñèîìå ñëîæåíèÿ (x, y) = (x, 0) + (0, y), ïîëó÷èì, ÷òî ïðîèçâîëüíîå
êîìïëåêñíîå ÷èñëî (x, y) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå x + iy .  äàëüíåéøåì, ïðè èñïîëüçîâàíèè
çàïèñè âèäà x + iy ìû áóäåì ïîäðàçóìåâàòü, ÷òî x è y âåùåñòâåííûå ÷èñëà.
Îïðåäåëåíèå 1.2 (Îñíîâíûå îïåðàöèè íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè). Íà ìíîæåñòâå C îïðå-
äåëåíû ñëåäóþùèå îïåðàöèè:
def
• âû÷èòàíèå: (x1 + iy1 ) − (x2 + iy2 ) = (x1 − x2 ) + i(y1 − y2 );
+iy1 def x1 x2 +y1 y2
1 y2
• äåëåíèå: xx21 +iy
= x2 +y2 + i x2xy12−x
;
+y 2
2
2
•
•
•
•
2
2
2
def
êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå: x + iy = x − iy ;
def
âåùåñòâåííàÿ ÷àñòü: Re(x + iy) = x;
def
ìíèìàÿ ÷àñòü: Im(x + iy) = y ;
def
ìîäóëü: |x + iy| =
p
x2 + y 2 .
1.2. Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà çàïèñè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà.
Îïðåäåëåíèå 1.3 (Ýêñïîíåíöèàëüíàÿ ôóíêöèÿ). Äëÿ ëþáîãî z ∈ C ýêñïîíåíöèàëüíàÿ ôóíê-
öèÿ îïðåäåëåíà ðàâåíñòâîì
z
e =
∞
X
zn
n=0
n!
= lim
N →∞
N
X
zn
n=0
n!
.
Îïðåäåëåíèå 1.4 (Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè). Äëÿ ëþáîãî z ∈ C ôóíêöèè ñèíóñ è êîñèíóñ
îïðåäåëåíû ðàâåíñòâàìè
sin z =
eiz − e−iz
,
2i
cos z =
eiz + e−iz
.
2
Îïðåäåëåíèå 1.5 (Àðãóìåíò êîìïëåêñíîãî ÷èñëà). Àðãóìåíòîì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z =
x + iy íàçûâàþò ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå Arg, äåéñòâóþùåå ïî ïðàâèëó
(
)
y
x
def
C \ {0} 3 z 7−→ Arg z = ϕ ∈ R sin ϕ = p
, cos ϕ = p
.
x2 + y 2
x2 + y 2
Ôóíêöèþ arg, äåéñòâóþùóþ ïî ïðàâèëó
def
C \ {0} 3 z 7−→ arg z = ϕ,
ãäå ϕ åäèíñòâåííûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà Arg z ∩ (−π, π], íàçûâàþò îäíîçíà÷íîé âåòâüþ
îòîáðàæåíèÿ Arg.
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
5
Òåîðåìà 1.6 (Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà çàïèñè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà). Ïóñòü çàäàíî êîì-
ïëåêñíîå ÷èñëî z = x + iy ∈ C \ {0}. Òîãäà
z = |z| · eiϕ ,
ãäå |z| =
p
x2 + y 2 ìîäóëü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z è ϕ ëþáîé ýëåìåíò ìíîæåñòâà Arg z .
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç îïðåäåëåíèÿ 1.5 ñëåäóåò, ÷òî
p
z = x + iy = x2 + y 2
x
y
p
+ ip
x2 + y 2
x2 + y 2
!
= |z|(cos ϕ + i sin ϕ) = |z|eiϕ . Îïðåäåëåíèå 1.7 (Ëîãàðèôì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà). Ëîãàðèôìîì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà íàçûâà-
þò ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå Ln, äåéñòâóþùåå ïî ïðàâèëó
def
C \ {0} 3 z 7−→ Ln z = ln |z| + i Arg z,
ãäå ln |z| âåùåñòâåííîçíà÷íûé ëîãàðèôì1.
Òåîðåìà 1.8 (Îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ ê êîìïëåêñíîé ýêñïîíåíòå).
• Äëÿ ëþáîãî z ∈ C \ {0} âåðíî, ÷òî Ln z = {w ∈ C | ew = z}.
◦ Äðóãèìè ñëîâàìè, Ln ýòî îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ ê êîìïëåêñíîé ýêñïîíåíòå.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå z0 ∈ C \ {0}. Äîêàæåì, ÷òî
(1.1)
Ln z0 ⊂ {w ∈ C | ew = z0 }.
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî
∀ w0 ∈ Ln z0 = ln |z0 | + i Arg z0 ∃ ϕ0 ∈ Arg z0 : w0 = ln |z0 | + iϕ0 .
Òàêèì îáðàçîì,
ew0 = eln |z0 | eiϕ0 = |z0 |eiϕ0 = z0
è, ñëåäîâàòåëüíî, ñïðàâåäëèâî âêëþ÷åíèå (1.1).
Äîêàæåì, ÷òî
Ln z0 ⊃ {w ∈ C | ew = z0 }.
(1.2)
Ïóñòü w0 óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó ew0 = z0 è w0 = ξ0 + iη0 . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî
ew0 = eξ0 eiη0 = eξ0 (cos η0 + i sin η0 ) ,
z0 = |z0 |eiϕ0 = |z0 | (cos ϕ0 + i sin ϕ0 ) ,
ϕ0 ∈ Arg z0 .
Îòêóäà ïîëó÷èì, ÷òî
|z0 | = eξ0 ,
cos η0 = cos ϕ0 ,
sin η0 = sin ϕ0 .
Èç (1.3) ñëåäóåò, ÷òî
ξ0 = ln |z0 |,
η0 = ϕ0 + 2πn,
äëÿ íåêîòîðîãî n ∈ Z. Òàêèì îáðàçîì,
w0 = ξ0 + iη0 = ln |z0 | + iϕ0 + 2πin ∈ Ln z0 . 1Îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ ê âåùåñòâåííîçíà÷íîé ýêñïîíåíòå.
(1.3)
6
À. À. Ïîæàðñêèé
1.3. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë.
Îïðåäåëåíèå 1.9 (Ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü â C). Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {zn }∞
n=1 èç
êîìïëåêñíûõ ÷èñåë íàçûâàþò ñõîäÿùåéñÿ, åñëè
∃ a ∈ C : ∀ ε > 0 ∃ N = N (ε) : ∀ n > N |zn − a| < ε.
Ïðè ýòîì ÷èñëî a íàçûâàþò ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {zn }∞
n=1 è èñïîëüçóþò îáîçíà÷åíèå
lim zn = a.
n→∞
Ëåììà 1.10. Ïóñòü ∀ n ∈ N zn = xn + iyn , a ∈ R è b ∈ R. Òîãäà
lim zn = a + ib
n→∞
⇐⇒
lim xn = a ∧ lim yn = b .
n→∞
n→∞
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñàìîñòîÿòåëüíî (äîêàçàíà íà 1-îì êóðñå). Òåîðåìà 1.11 (Îñíîâíûå ñâîéñòâà ñõîäÿùèõñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé â C). Ïóñòü {zn }∞
n=1 è
{ζn }∞
n=1 ñõîäÿùèåñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èç êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, lim zn = a è lim ζn = b.
n→∞
n→∞
Òîãäà
(1) lim (zn + ζn ) = a + b;
n→∞
(2) lim (zn − ζn ) = a − b;
n→∞
(3) lim (zn · ζn ) = a · b;
n→∞
(4) ïóñòü äîïîëíèòåëüíî b 6= 0 è ∀ n ∈ N ζn 6= 0, òîãäà lim
zn
n→∞ ζn
= ab .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñàìîñòîÿòåëüíî (äîêàçàíà íà 1-îì êóðñå). Îïðåäåëåíèå 1.12 (Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü â C). Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {zn }∞
n=1
èç êîìïëåêñíûõ ÷èñåë íàçûâàþò ôóíäàìåíòàëüíîé, åñëè
∀ ε > 0 ∃ N = N (ε) : ∀ n > N ∀ k > N |zn − zk | < ε.
Òåîðåìà 1.13 (Êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â C). Ïóñòü {zn }∞
n=1 ïîñëå-
äîâàòåëüíîñòü èç êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Òîãäà
{zn } ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ⇐⇒ {zn } ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñàìîñòîÿòåëüíî (äîêàçàíà íà 1-îì êóðñå). Òåîðåìà 1.14 (Òåîðåìà Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà). Ïóñòü {zn }∞
n=1 îãðàíè÷åííàÿ ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòü èç êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Òîãäà ñóùåñòâóåò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü {znj }∞
j=1 , ñõîäÿùàÿñÿ â C.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñàìîñòîÿòåëüíî (äîêàçàíà äëÿ âåùåñòâåííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íà 1-îì
êóðñå). 1.4. Ðàñøèðåííàÿ êîìïëåêñíàÿ ïëîñêîñòü.
Îïðåäåëåíèå 1.15 (Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäÿùàÿñÿ ê ∞). Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {zn }∞
n=1 èç
êîìïëåêñíûõ ÷èñåë íàçûâàþò ñõîäÿùåéñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, åñëè
∀ R > 0 ∃ N = N (R) : ∀ n > N |zn | > R.
Ïðè ýòîì èñïîëüçóþò îáîçíà÷åíèå
lim zn = ∞.
n→∞
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
7
Îïðåäåëåíèå 1.16 (Ðàñøèðåííàÿ êîìïëåêñíàÿ ïëîñêîñòü). Ðàñøèðåííîé êîìïëåêñíîé ïëîñ-
êîñòüþ íàçûâàþò ìíîæåñòâî C = C ∪ {∞}, íàäåëåííîå ïîíÿòèåì ñõîäèìîñòè, ñîãëàñíî
îïðåäåëåíèÿì 1.9 è 1.15.
Îïðåäåëåíèå 1.17 (Ñòåðåîãðàôè÷åñêàÿ ïðîåêöèÿ è ñôåðà Ðèìàíà). Ïóñòü
•
•
•
•
(x, y, t) êîîðäèíàòû â R3 ;
êîìïëåêñíàÿ ïëîñêîñòü C îòîæäåñòâëåíà ñ ïëîñêîñòüþ t = 0 â R3 ;
S ñôåðà â R3 åäèíè÷íîãî ðàäèóñà ñ öåíòðîì â òî÷êå (0, 0, 1);
P = (0, 0, 2) ¾ñåâåðíûé¿ ïîëþñ íà ñôåðå S ;
Ñòåðåîãðàôè÷åñêîé ïðîåêöèåé ðàñøèðåííîé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè C íà ñôåðó S íàçûâàþò
îòîáðàæåíèå âèäà
(1) ëþáîé òî÷êå z = x + iy ∈ C (êîòîðàÿ îòîæäåñòâëåíà ñ òî÷êîé M = (x, y, 0) â R3 ) ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèè òî÷êà íà ñôåðå S , êîòîðàÿ ëåæèò íà ïåðåñå÷åíèè îòðåçêà P M
è ïðîêîëîòîé ñôåðû S \ {P };
(2) òî÷êå z = ∞ ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå ¾ñåâåðíûé¿ ïîëþñ P ñôåðû S .
Ñôåðó S íàçûâàþò ñôåðîé Ðèìàíà.
Òåîðåìà 1.18 (Êîìïàêòíîñòü ðàñøèðåííîé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè). Ðàñøèðåííàÿ êîìïëåêñ-
íàÿ ïëîñêîñòü êîìïàêòíà. Äðóãèìè ñëîâàìè, èç ëþáîé áåñêîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â C
ìîæíî âûäåëèòü ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäÿþùóþñÿ â C.
∞
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü {zn }∞
n=1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü â C. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {zn }n=1
îãðàíè÷åíà, òî óòâåðæäåíèå òåîðåìû ñëåäóåò èç òåîðåìû 1.14. Åñëè æå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
{zn }∞
n=1 íåîãðàíè÷åíà, òî íàéäåòñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñõîäÿùàÿñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. 1.5. Ìíîæåñòâà íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè.
Îïðåäåëåíèå 1.19 (Îêðåñòíîñòü òî÷êè â C). Îêðåñòíîñòüþ òî÷êè z0 ∈ C íàçûâàþò
• (ñëó÷àé z0 ∈ C) ëþáîå ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå îòêðûòûé êðóã âèäà {z | |z − z0 | < r},
ãäå r > 0;
• (ñëó÷àé z0 = ∞) ëþáîå ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå ïîäìíîæåñòâî âèäà {z | |z| > R}, ãäå
R > 0.
Îïðåäåëåíèå 1.20 (Îáëàñòü). Ìíîæåñòâî òî÷åê D íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè C íàçûâàþò
îáëàñòüþ, åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ.
• Îòêðûòîñòü: ∀ z0 ∈ D ∃ r > 0 : {z | |z − z0 | < r} ⊂ D.
• Ëèíåéíàÿ ñâÿçíîñòü: äëÿ ëþáûõ äâóõ òî÷åê ìíîæåñòâà D íàéäåòñÿ ëîìàíàÿ (ëèíèÿ,
ñîñòîÿùàÿ èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ïðÿìîëèíåéíûõ îòðåçêîâ), ñîåäèíÿþùàÿ ýòè òî÷êè, è
öåëèêîì ïðèíàäëåæàùàÿ D.
Îïðåäåëåíèå 1.21 (Ãðàíèöà îáëàñòè). Ìíîæåñòâî òî÷åê ∂D íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè C
íàçûâàþò ãðàíèöåé îáëàñòè D, åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ.
• ∂D ∩ D = ∅.
• ∀ z0 ∈ ∂D ∀ r > 0 âåðíî, ÷òî {z | |z − z0 | < r} ∩ D 6= ∅.
Îïðåäåëåíèå 1.22 (Çàìûêàíèå îáëàñòè). Ìíîæåñòâî òî÷åê D = D ∪ ∂D íàçûâàþò çàìû-
êàíèåì îáëàñòè D.
8
À. À. Ïîæàðñêèé
Îïðåäåëåíèå 1.23 (Îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü). Îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü D íàçûâàåòñÿ îäíîñâÿç-
íîé, åñëè åå ãðàíèöà ∂D ñâÿçíà.
Ñâÿçíîñòü ãðàíèöû ∂D îçíà÷àåò, ÷òî íå ñóùåñòâóåò îòêðûòûõ ìíîæåñòâ A è B òàêèõ,
÷òî
∂D ⊂ A ∪ B, ∂D ⊂
6 A, ∂D 6⊂ B, A ∩ B = ∅.
1.6. Íåïðåðûâíûå ôóíêöèè êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé.
Îïðåäåëåíèå 1.24 (Ôóíêöèÿ êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé). Ôóíêöèåé êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé
íàçûâàåòñÿ îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå âèäà f : D −→ C, ãäå D ⊂ C.
Îäíîçíà÷íîñòü îòîáðàæåíèÿ f îçíà÷àåò, ÷òî
∀ z ∈ D ∃ ! w ∈ C : w = f (z).
Îïðåäåëåíèå 1.25 (Ïðåäåë ôóíêöèè êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé). Ïóñòü f ôóíêöèÿ êîì-
ïëåêñíîé ïåðåìåííîé, îïðåäåëåííàÿ â ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè òî÷êè z0 . ×èñëî a ∈ C íàçûâàþò ïðåäåëîì ôóíêöèè f â òî÷êå z0 , åñëè
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : (0 < |z − z0 | < δ =⇒ |f (z) − a| < ε) .
Ïðè ýòîì ïèøóò
lim f (z) = a.
z→z0
Îïðåäåëåíèå 1.26 (Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé). Ïóñòü D îáëàñòü
â C è çàäàíà ôóíêöèÿ êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé f : D −→ C.
• Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé â òî÷êå z0 ∈ D, åñëè2
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : (|z − z0 | < δ =⇒ |f (z) − f (z0 )| < ε) .
• Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé â â îáëàñòè D, åñëè îíà íåïðåðûâíà â êàæäîé
òî÷êå îáëàñòè D.
◦ Ìíîæåñòâî âñåõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé â îáëàñòè D îáîçíà÷àþò ÷åðåç C(D).
Òåîðåìà 1.27 (Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé). Ïóñòü
• D îáëàñòü â C;
• f : D −→ C;
• ïóñòü u è v âåùåñòâåííàÿ è ìíèìàÿ ÷àñòè ôóíêöèè f , ò. å.
∀ z = x + iy ∈ D
f (z) = u(x, y) + iv(x, y),
ãäå u è v âåùåñòâåííî-çíà÷íûå ôóíêöèè äâóõ âåùåñòâåííûõ ïåðåìåííûõ;
• z0 = x0 + iy0 ∈ D.
Òîãäà âåðíî, ÷òî
f íåïðåðûâíà â òî÷êå z0 ⇐⇒ u è v íåïðåðûâíû â òî÷êå (x0 , y0 ).
Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü (=⇒). Âûáåðåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Èç íåïðåðûâíîñòè f â
òî÷êå z0 ñëåäóåò, ÷òî íàéäåòñÿ δ > 0 òàêîå, ÷òî
|z − z0 | < δ =⇒ |f (z) − f (z0 )| < ε.
2Ýòî óñëîâèå ìîæíî çàìåíèòü íà ñëåäóþùåå f (z ) = lim f (z).
0
z→z0
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
Çàìåòèì, ÷òî
|z − z0 | =
9
p
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 .
Ñëåäîâàòåëüíî,
|z − z0 | < δ =⇒ |u(x, y) − u(x0 , y0 )| 6 |f (z) − f (z0 )| < ε,
|z − z0 | < δ =⇒ |v(x, y) − v(x0 , y0 )| 6 |f (z) − f (z0 )| < ε.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèè u è v íåïðåðûâíû â òî÷êå (x0 , y0 ).
Äîñòàòî÷íîñòü (⇐=). Âûáåðåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Èç íåïðåðûâíîñòè u è v íåïðåðûâíû â
òî÷êå (x0 , y0 ) ñëåäóåò, ÷òî íàéäóòñÿ δ1 > 0 òàêîå, ÷òî
ε
|z − z0 | < δ1 =⇒ |u(x, y) − u(x0 , y0 )| < ,
2
è δ2 > 0 òàêîå, ÷òî
ε
|z − z0 | < δ2 =⇒ |v(x, y) − v(x0 , y0 )| < .
2
Ïîëàãàÿ δ = min(δ1 , δ2 ) > 0, ïîëó÷èì, ÷òî
|z − z0 | < δ =⇒ |f (z) − f (z0 )| 6 |u(x, y) − u(x0 , y0 )| + |v(x, y) − v(x0 , y0 )| < ε. Çàìå÷àíèå 1.28.  äàëüíåéøåì, ìû âñåãäà áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî çàïèñü f = u + iv îçíà-
÷àåò, ÷òî u è v âåùåñòâåííàÿ è ìíèìàÿ ÷àñòè ôóíêöèè f ñîîòâåòñòâåííî.
10
À. À. Ïîæàðñêèé
2.
Ðåãóëÿðíûå ôóíêöèè
2.1. Äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé. Íàïîìíèì, ÷òî äëÿ âåùåñòâåííîçíà÷íûõ ôóíêöèé u è v äâóõ âåùåñòâåííûõ ïåðåìåííûõ äèôôåðåíöèðóåìîñòü (â ñìûñëå
âåùåñòâåííîãî àíàëèçà) â òî÷êå (x, y) îçíà÷àåò, ÷òî
∃ a, b ∈ R : u(x + hx , y + hy ) = u(x, y) + ahx + bhy + o(hx ) + o(hy ),
∃ α, β ∈ R : v(x + hx , y + hy ) = v(x, y) + αhx + βhy + o(hx ) + o(hy )
ïðè R 3 hx → 0 è R 3 hy → 0. Îòñþäà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî ôóíêöèþ êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé
ìîæíî çàïèñàòü â âèäå f = u + iv , ïîëó÷èì
f (z + h) = u(x + hx , y + hy ) + iv(x + hx , y + hy ) =
= u(x, y) + iv(x, y) + (a + iα)hx + (b + iβ)hy + o(hx ) + o(hy ) =
= f (z) + Ah + Bh + o(h),
ãäå z = x + iy , h = hx + ihy è
A=
a + iα b + iβ
+
,
2
2i
B=
a + iα b + iβ
−
.
2
2i
Îïðåäåëåíèå 2.1 (Äèôôåðåíöèðóåìîñòü â ñìûñëå âåùåñòâåííîãî àíàëèçà). Ïóñòü D îá-
ëàñòü â C, z ∈ D è f : D −→ C.
Ãîâîðÿò, ÷òî f äèôôåðåíöèðóåìà â ñìûñëå âåùåñòâåííîãî àíàëèçà â òî÷êå z , åñëè
∃ A, B ∈ C : f (z + h) = f (z) + Ah + Bh + o(h)
ïðè C 3 h → 0.
Îïðåäåëåíèå 2.2 (Äèôôåðåíöèðóåìîñòü â ñìûñëå êîìïëåêñíîãî àíàëèçà). Ïóñòü D îá-
ëàñòü â C, z0 ∈ D è f : D −→ C.
Ãîâîðÿò, ÷òî f äèôôåðåíöèðóåìà â ñìûñëå êîìïëåêñíîãî àíàëèçà â òî÷êå z , åñëè
∃ A ∈ C : f (z + h) = f (z) + Ah + o(h)
ïðè C 3 h → 0.
Îïðåäåëåíèå 2.3 (Ïðîèçâîäíàÿ â ñìûñëå êîìïëåêñíîãî àíàëèçà). Ïóñòü D îáëàñòü â C,
z ∈ D è f : D −→ C.
Ïðîèçâîäíîé â ñìûñëå êîìïëåêñíîãî àíàëèçà ôóíêöèè f â òî÷êå z íàçûâàþò ïðåäåë (åñëè
îí ñóùåñòâóåò)
f (z + h) − f (z)
lim
,
h→0
h
êîòîðûé îáîçíà÷àþò ñèìâîëîì f 0 (z).
Òåîðåìà 2.4 (Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèè â ñìûñëå
êîìïëåêñíîãî àíàëèçà). Ïóñòü D îáëàñòü â C, z ∈ D è f : D −→ C. Òîãäà âåðíî, ÷òî
f äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå z ⇐⇒ f èìååò ïðîèçâîäíóþ â òî÷êå z .
Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü (=⇒). Èç îïðåäåëåíèÿ o(h) ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ïðåäåë
o(h)
h→0 h
lim
= 0. Ïóñòü A : f (z + h) = f (z) + Ah + o(h) ïðè h → 0, òîãäà
f (z + h) − f (z)
o(h)
= A + lim
= A.
h→0
h→0 h
h
f 0 (z) = lim
(2.1)
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
11
Äîñòàòî÷íîñòü (⇐=). Èç òîãî, ÷òî D îáëàñòü ñëåäóåò, ÷òî ∃ α > 0 : {ζ | |ζ − z| < α} ⊂ D.
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
( f (z+h)−f (z)
− f 0 (z) ïðè 0 < |h| < α,
h
β(h) =
0
ïðè h = 0.
Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî lim β(h) = 0. Èç ñóùåñòâîâàíèÿ
h→0
ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè f â òî÷êå z ñëåäóåò, ÷òî
f (z + h) − f (z)
0
− f (z) < ε . ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : 0 < |h| < δ =⇒ |β(h)| = h
Çàìå÷àíèå 2.5. Èç (2.1) ñëåäóåò, ÷òî A = f 0 (z).
Òåîðåìà 2.6 (Óñëîâèÿ Êîøè-Ðèìàíà). Ïóñòü D îáëàñòü â C, z = (x, y) ∈ D è f = u + iv :
D −→ C. Äëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèÿ f áûëà äèôôåðåíöèðóåìà â ñìûñëå êîìïëåêñíîãî àíàëèçà
â òî÷êå z , íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèÿ ñëåäóþùèõ äâóõ óñëîâèé.
(1) Ôóíêöèè u è v äèôôåðåíöèðóåìû â ñìûñëå âåùåñòâåííîãî àíàëèçà â òî÷êå (x, y).
(2)  òî÷êå (x, y) âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ Êîøè-Ðèìàíà
∂u
∂v
∂u
∂v
=
,
=− .
∂x
∂y
∂y
∂x
Ïðè ýòîì ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà âèäà
∂u(x, y)
∂v(x, y)
∂v(x, y)
∂u(x, y)
f 0 (z) =
+i
=
−i
.
∂x
∂x
∂y
∂y
Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü (=⇒). (1) Ñëåäóåò èç ìîòèâèðîâêè ê îïðåäåëåíèþ 2.1.
(2) Èç îïðåäåëåíèÿ 2.2 è çàìå÷àíèÿ 2.5 ñëåäóåò, ÷òî
f (z + h) = f (z) + f 0 (z)h + o(h),
C 3 h → 0.
(2.2)
Ïîëàãàÿ h = δ ∈ R â ðàâåíñòâå (2.2), ïîëó÷èì
u(x + δ, y) + iv(x + δ, y) = u(x, y) + iv(x, y) + f 0 (z)δ + o(δ),
u(x + δ, y) − u(x, y)
v(x + δ, y) − v(x, y)
+i
= f 0 (z) + o(1).
δ
δ
Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè δ → 0 â ðàâåíñòâå (2.3) ïîëó÷èì, ÷òî
∂u(x, y)
∂v(x, y)
f 0 (z) =
+i
.
∂x
∂x
Äàëåå, ïîëàãàÿ h = iδ , ãäå δ ∈ R, â ðàâåíñòâå (2.2), ïîëó÷èì
u(x, y + δ) + iv(x, y + δ) = u(x, y) + iv(x, y) + f 0 (z)iδ + o(δ),
u(x, y + δ) − u(x, y) v(x, y + δ) − v(x, y)
+
= f 0 (z) + o(1).
iδ
δ
Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè δ → 0 â ðàâåíñòâå (2.5) ïîëó÷èì, ÷òî
∂v(x, y)
∂u(x, y)
f 0 (z) =
−i
.
∂y
∂y
Ñðàâíèâàÿ ïðàâûå ÷àñòè â ðàâåíñòâàõ (2.4) è (2.6), ïîëó÷èì, ÷òî
∂u(x, y)
∂v(x, y)
∂u(x, y)
∂v(x, y)
=
,
=−
.
∂x
∂y
∂y
∂x
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
12
À. À. Ïîæàðñêèé
Äîñòàòî÷íîñòü (⇐=). Èç ìîòèâèðîâêè ê îïðåäåëåíèþ 2.1 è äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèé u
è v â òî÷êå (x, y) ñëåäóåò, ÷òî
∃ A, B ∈ C : f (z + h) = f (z) + Ah + Bh + o(h)
(2.7)
ïðè C 3 h → 0.
Ïîëàãàÿ h = δ ∈ R â (2.7) ïîëó÷èì
f (z + δ) = f (z) + Aδ + Bδ + o(δ),
f (z + δ) − f (z)
u(x + δ, y) − u(x, y)
v(x + δ, y) − v(x, y)
+ o(1) =
+i
+ o(1).
δ
δ
δ
Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè δ → 0 â ðàâåíñòâå (2.8) ïîëó÷èì, ÷òî
A+B =
A+B =
∂u(x, y)
∂v(x, y)
+i
.
∂x
∂x
(2.8)
(2.9)
Ïîëàãàÿ h = iδ , ãäå δ ∈ R, â (2.7) ïîëó÷èì
f (z + δ) = f (z) + Aiδ − Biδ + o(δ),
f (z + δ) − f (z)
u(x, y + δ) − u(x, y) v(x, y + δ) − v(x, y)
+ o(1) =
+
+ o(1).
(2.10)
iδ
iδ
δ
Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè δ → 0 â ðàâåíñòâå (2.10) è, ó÷èòûâàÿ óñëîâèÿ Êîøè-Ðèìàíà, ïîëó÷èì,
÷òî
∂u(x, y) ∂v(x, y)
∂v(x, y) ∂u(x, y)
A − B = −i
+
=i
+
.
(2.11)
∂y
∂y
∂x
∂x
A−B =
Ñðàâíèâàÿ (2.9) è (2.11) ïîëó÷èì, ÷òî
A=
∂u(x, y)
∂v(x, y)
+i
,
∂x
∂x
B = 0. Òåîðåìà 2.7 (Îñíîâíûå ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ôóíêöèé êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé).
(1) f è g äèôôåðåíöèðóåìû â z ∈ C =⇒ (f (z) + g(z))0 = f 0 (z) + g 0 (z).
(2) f è g äèôôåðåíöèðóåìû â z ∈ C =⇒ (f (z) − g(z))0 = f 0 (z) − g 0 (z).
(3) f è g äèôôåðåíöèðóåìû â z ∈ C =⇒ (f · g)0 (z) =f 0(z)g(z) + f (z)g 0 (z).
0
0
(z)g 0 (z)
(4) f è g äèôôåðåíöèðóåìû â z ∈ C è g(z) 6= 0 =⇒ fg (z) = f (z)g(z)−f
.
g 2 (z)
(5) f äèôôåðåíöèðóåìà â z ∈ C, g äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå f (z) ∈ C =⇒ êîìïîçèöèÿ
(g ◦ f ) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå z , ïðè÷åì (g ◦ f )0 (z) = g 0 (f (z)) · f 0 (z).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñàìîñòîÿòåëüíî (ïî àíàëîãèè ñ äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íûõ òåîðåì î äèô-
ôåðåíöèðîâàíèè ôóíêöèé âåùåñòâåííîé ïåðåìåííîé). Îïðåäåëåíèå 2.8 (Ðåãóëÿðíàÿ ôóíêöèÿ). Ïóñòü D îáëàñòü â C è f : D −→ C. Ôóíêöèþ f
íàçûâàþò ðåãóëÿðíîé â îáëàñòè D, åñëè îíà äèôôåðåíöèðóåìà â ñìûñëå êîìïëåêñíîãî àíàëèçà
â êàæäîé òî÷êå îáëàñòè D.
Ìíîæåñòâî ôóíêöèé ðåãóëÿðíûõ â îáëàñòè D îáîçíà÷àþò ÷åðåç H(D).
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
13
2.2. Ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè. Íàïîìíèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà, à òàêæå îïðåäåëåíèÿ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé, äîêàçàííûå è ñôîðìóëèðîâàííûå íà 1-îì êóðñå.
Òåîðåìà 2.9 (Ñâîéñòâà êîìïëåêñíîé ýêñïîíåíòû).
(1) ∀ z ∈ C ∀ ζ ∈ C ez+ζ = ez · eζ .
(2) ∀ p ∈ Z+ ñïðàâåäëèâà îöåíêà ez =
p
P
n=0
zn
n!
+ O(z p+1 ) ïðè z → 0.
Äîêàçàòåëüñòâî. Áåç äîêàçàòåëüñòâà (äîêàçàíà íà 1-îì êóðñå). Îïðåäåëåíèå 2.10 (Ãèïåðáîëè÷åñêèå ôóíêöèè). Äëÿ ëþáîãî z ∈ C ãèïåðáîëè÷åñêèå ñèíóñ è
êîñèíóñ îïðåäåëåíû ðàâåíñòâàìè
ez − e−z
ez + e−z
, ch z =
.
2
2
Òåîðåìà 2.11 (Äèôôåðåíöèðîâàíèå ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé).
(1) ∀ n ∈ N z n ∈ H(C), (z n )0 = nz n−1 .
(2) ez ∈ H(C), (ez )0 = ez .
(3) sin z ∈ H(C), (sin z)0 = cos z .
(4) cos z ∈ H(C), (cos z)0 = − sin z .
(5) sh z ∈ H(C), (sh z)0 = ch z .
(6) ch z ∈ H(C), (ch z)0 = sh z .
sh z =
Äîêàçàòåëüñòâî. (1) Èç îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâîäíîé ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî z ∈ C âåðíî, ÷òî
z n + nz n−1 h + O(h2 ) − z n
(z + h)n − z n
= lim
= lim nz n−1 + O(h) = nz n−1 .
(z ) = lim
h→0
h→0
h→0
h
h
(2) Èç ñâîéñòâ êîìïëåêñíîé ýêñïîíåíòû ñëåäóåò, ÷òî ëþáîãî z ∈ C âåðíî, ÷òî
n 0
ez+h − ez
ez eh − ez
eh − 1
1 + h + O(h2 ) − 1
= lim
= ez lim
= ez lim
= ez .
h→0
h→0
h→0
h→0
h
h
h
h
(3) Èç îïðåäåëåíèÿ 1.4 è òåîðåìû 2.7 ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî z ∈ C âåðíî, ÷òî
iz
0
eiz + e−iz
0 e − e−iz
1 iz 0
1
0
(sin z) =
=
e
ieiz + ie−iz =
= cos z.
− e−iz
=
2i
2i
2i
2
(ez )0 = lim
(4) Èç îïðåäåëåíèÿ 1.4 è òåîðåìû 2.7 ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî z ∈ C âåðíî, ÷òî
iz
0
0 1
e + e−iz
eiz − e−iz
1 iz 0
0
(cos z) =
=
e
+ e−iz
=
ieiz − ie−iz = −
= − sin z.
2
2
2
2i
(5) Èç îïðåäåëåíèÿ 2.10 è òåîðåìû 2.7 ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî z ∈ C âåðíî, ÷òî
z
0
0 1 z
ez + e−z
e − e−z
1 z 0
0
(sh z) =
=
(e ) − e−z
=
e + e−z =
= cos z.
2
2
2
2
(6) Èç îïðåäåëåíèÿ 2.10 è òåîðåìû 2.7 ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî z ∈ C âåðíî, ÷òî
0
z
1 z
ez − e−z
e + e−z
1 z 0
0
−z 0
(ch z) =
=
(e ) + e
=
e − e−z =
= sh z. 2
2
2
2
Çàìå÷àíèå 2.12. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2.11 ìîæíî ïðîâîäèòü ñ ïîìîùüþ ïðîâåðêè óñëîâèé Êîøè-Ðèìàíà, ñì. òåîðåìó 2.6.
14
À. À. Ïîæàðñêèé
2.3. Âîññòàíîâëåíèå ðåãóëÿðíîé ôóíêöèè ïî åå âåùåñòâåííîé (ìíèìîé) ÷àñòè.
Îïðåäåëåíèå 2.13 (Ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ). Ôóíêöèÿ u : D −→ R íàçûâàåòñÿ ãàðìîíè÷å-
ñêîé â îáëàñòè D ⊂ R2 , åñëè â ýòîé îáëàñòè âûïîëíåíî ðàâåíñòâî ∆u = 0, ãäå
∆u =
∂ 2u ∂ 2u
+
.
∂x2 ∂y 2
Òåîðåìà 2.14 (Ãàðìîíè÷íîñòü âåùåñòâåííîé è ìíèìîé ÷àñòè ðåãóëÿðíîé ôóíêöèè). Ïóñòü D
îáëàñòü â C, f = u + iv ∈ H(D) è u, v ∈ C 2 (D). Òîãäà u è v ãàðìîíè÷åñêèå ôóíêöèè â
îáëàñòè D.
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç óñëîâèé Êîøè-Ðèìàíà ñëåäóåò, ÷òî
∂ ∂u
+
∆u =
∂x ∂x
∂ ∂v
∆v =
+
∂x ∂x
∂ ∂u
∂ ∂v
∂ ∂v
=
−
= 0,
∂y ∂y
∂x ∂y
∂y ∂x
∂ ∂v
∂ ∂u
∂ ∂u
=−
+
= 0. ∂y ∂y
∂x ∂y
∂y ∂x
Íàïîìíèì ñëåäóþùèå òåîðåìû.
Òåîðåìà 2.15 (Ôîðìóëà Ãðèíà). Ïóñòü
• D îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü â R2 ñ êóñî÷íî-ãëàäêîé ãðàíèöåé ∂D;
• êðèâàÿ ∂D îðèåíòèðîâàíà â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè;
• P ∈ C 1 (D) ∩ C(D), Q ∈ C 1 (D) ∩ C(D).
Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà Ãðèíà
I
ZZ ∂Q(x, y) ∂P (x, y)
P (x, y) dx + Q(x, y) dy =
−
dx dy.
∂x
∂y
D
∂D
Äîêàçàòåëüñòâî. Áåç äîêàçàòåëüñòâà (äîêàçàíà íà 2-îì êóðñå). Òåîðåìà 2.16 (Íåçàâèñèìîñòü êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà 2-ãî ðîäà îò ïóòè èíòåãðèðîâàíèÿ).
Ïóñòü
•
•
•
•
D îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü R2 ;
P ∈ C 1 (D), Q ∈ C 1 (D)
(x1 , y1 ) ∈ D, (x2 , y2 ) ∈ D;
γ êóñî÷íî-ãëàäêàÿ êðèâàÿ â D, ñîåäèíÿþùàÿ òî÷êè (x1 , y1 ) è (x2 , y2 ).
Òîãäà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
• Êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë 2-ãî ðîäà
Z
P (x, y) dx + Q(x, y) dy
γ
íå çàâèñèò îò âûáîðà êðèâîé γ , ñîåäèíÿþùåé òî÷êè (x1 , y1 ) è (x2 , y2 ), òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà â îáëàñòè D âûïîëíåíî óñëîâèå
∂P (x, y)
∂Q(x, y)
=
.
∂x
∂y
(2.12)
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
15
• Ïóñòü âûïîëíåíî óñëîâèå (2.12), òîãäà


(x,y)
Z


d
P (x̃, ỹ) dx̃ + Q(x̃, ỹ) dỹ  = P (x, y) dx + Q(x, y) dy.
(x1 ,x2 )
Äîêàçàòåëüñòâî. Áåç äîêàçàòåëüñòâà (äîêàçàíà íà 2-îì êóðñå). Òåîðåìà 2.17 (Âîññòàíîâëåíèå ðåãóëÿðíîé ôóíêöèè ïî åå âåùåñòâåííîé ÷àñòè). Ïóñòü D îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü è u ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ â îáëàñòè D. Òîãäà ñóùåñòâóåò ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ v â îáëàñòè D òàêàÿ, ÷òî f = u + iv ðåãóëÿðíàÿ ôóíêöèÿ â îáëàñòè D.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû, íàì äîñòàòî÷íî ïðåäúÿâèòü ÿâíîå âûðàæåíèå
äëÿ ôóíêöèè v è ïðîâåðèòü, ÷òî ïîëó÷åííàÿ òàêèì îáðàçîì ôóíêöèÿ f áóäåò ðåãóëÿðíà â
îáëàñòè D. Äëÿ òîãî ÷òîáû óãàäàòü ïðåäñòàâëåíèå äëÿ v , ìû ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèÿ v
ñóùåñòâóåò. Ïîñëå òîãî êàê ìû ïîëó÷èì ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè v ìû ñìîæåì íà÷àòü
âñå ñíà÷àëà, ò. å. çàáûòü î òîì êàê èìåííî ìû íàøëè ïðåäñòàâëåíèå äëÿ v . Íàì îñòàíåòñÿ ëèøü
ïðîâåðèòü, ÷òî óãàäàííîå âûðàæåíèå äëÿ v óäîâëåòâîðÿåò òðåáîâàíèÿì òåîðåìû.
Èòàê, ïðåäïîëîæèì, ÷òî òðåáóåìàÿ ôóíêöèÿ v ñóùåñòâóåò. Òîãäà èç óñëîâèé Êîøè-Ðèìàíà
ïîëó÷èì, ÷òî
∂v
∂v
∂u
∂u
dv =
dx +
dy = − dx +
dy.
(2.13)
∂x
∂y
∂y
∂x
Ïóñòü òåïåðü (x0 , y0 ) íåêîòîðàÿ òî÷êà â îáëàñòè D è γ íåêîòîðàÿ êðèâàÿ ñîåäèíÿþùàÿ òî÷êè
(x0 , y0 ) è (x, y). Òîãäà èç (2.13) ñëåäóåò, ÷òî
Z
∂u(x̃, ỹ)
∂u(x̃, ỹ)
v(x, y) − v(x0 , y0 ) = −
dx̃ +
dỹ.
(2.14)
∂ ỹ
∂ x̃
γ
Çàìåòèì, ÷òî êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë 2-ãî ðîäà â ôîðìóëå (2.14) êîððåêòíî îïðåäåëåí ëèøü â
ñèëó íàøåãî ïðåäïîëîæåíèÿ, ÷òî ôóíêöèÿ v ñóùåñòâóåò.  ÷àñòíîñòè, èç ýòîãî ïðåäïîëîæåíèÿ
ñëåäóåò, ÷òî èíòåãðàë â (2.14) íå çàâèñèò ïóòè èíòåãðèðîâàíèÿ γ .
ßñíî, ÷òî ôîðìóëà (2.14) âñå åùå íå ïðèãîäíà äëÿ âîññòàíîâëåíèÿ ôóíêöèè v èç-çà íàëè÷èÿ
ñëàãàåìîãî âèäà v(x0 , y0 ). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñëàãàåìîå v(x0 , y0 ) íå çàâèñèò îò x è y , çàìåíèì åãî
íà ïðîèçâîëüíóþ ïîñòîÿííóþ. Îêîí÷àòåëüíî, ôîðìóëà (2.14) ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíà â âèäå
Z
∂u(x̃, ỹ)
∂u(x̃, ỹ)
v(x, y) = −
dx̃ +
dỹ + C,
(2.15)
∂ ỹ
∂ x̃
γ
ãäå C íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ.
Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî ôîðìóëà (2.15) êîððåêòíî îïðåäåëÿåò íåêîòîðóþ ôóíêöèþ v â îáëàñòè
D. Äëÿ ýòîãî ïðîâåðèì óñëîâèÿ òåîðåìû 2.16. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî
P =−
∂u
,
∂y
∂P
∂ 2u
= − 2,
∂y
∂y
Q=
∂u
,
∂x
∂Q
∂ 2u
=
.
∂x
∂x2
Îòñþäà è èç ãàðìîíè÷íîñòè ôóíêöèè u ñëåäóåò, ÷òî ∂Q
= ∂P
. Òàêèì îáðàçîì, â ñèëó òåî∂x
∂y
ðåìû 2.16 èíòåãðàë â ôîðìóëå (2.15) íå çàâèñèò îò ïóòè èíòåãðèðîâàíèÿ è, ñëåäîâàòåëüíî,
ôóíêöèÿ v êîððåêòíî îïðåäåëåíà â îáëàñòè D.
16
À. À. Ïîæàðñêèé
Èç òåîðåìû 2.16 è ôîðìóëû (2.15) ïîëó÷èì, ÷òî
∂u(x, y)
∂u(x, y)
dx +
dy.
∂y
∂x
Ñëåäîâàòåëüíî, â îáëàñòè D âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ Êîøè-Ðèìàíà
∂u(x, y)
∂v(x, y)
∂u(x, y)
∂v(x, y)
=−
,
=
,
∂x
∂y
∂y
∂x
è ôóíêöèÿ f = u + iv ðåãóëÿðíà â îáëàñòè D.
dv(x, y) = −
Òåîðåìà 2.18 (Âîññòàíîâëåíèå ðåãóëÿðíîé ôóíêöèè ïî åå ìíèìîé ÷àñòè). Ïóñòü D îäíî-
ñâÿçíàÿ îáëàñòü è v ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ â îáëàñòè D. Òîãäà ñóùåñòâóåò ãàðìîíè÷åñêàÿ
ôóíêöèÿ u â îáëàñòè D òàêàÿ, ÷òî f = u + iv ðåãóëÿðíàÿ ôóíêöèÿ â îáëàñòè D.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñàìîñòîÿòåëüíî. 2.4. Îáðàòèìîñòü ðåãóëÿðíîé ôóíêöèè.
Òåîðåìà 2.19 (Òåîðåìà îá îáðàòíîé ôóíêöèè). Ïóñòü
• D îêðåñòíîñòü òî÷êè (x0 , y0 ) ∈ R2 ;
• F ∈ C 1 (D, R2 );
• F 0 (x0 , y0 ) îáðàòèìàÿ 2 × 2 ìàòðèöà.
Òîãäà ñóùåñòâóþò îêðåñòíîñòü U ⊂ D òî÷êè (x0 , y0 ) è îêðåñòíîñòü V ⊂ R2 òî÷êè
(α0 , β0 ) = F (x0 , y0 ) òàêèå, ÷òî
(1) F : U → V îáðàòèìîå îòîáðàæåíèå;
(2) F −1 ∈ C 1 (V );
(3) ∀ (α, β) ∈ V (F −1 )0 (α, β) = [F 0 (x, y)]−1 .
(x,y)=F −1 (α,β)
Äîêàçàòåëüñòâî. Áåç äîêàçàòåëüñòâà (äîêàçàíà íà 1-îì êóðñå). Òåîðåìà 2.20 (Äîñòàòî÷íîå óñëîâèå îáðàòèìîñòè ðåãóëÿðíîé ôóíêöèè). Ïóñòü
• D îáëàñòü â C;
• f ∈ H(D);
• f 0 (z0 ) 6= 0, ãäå z0 ∈ D.
Òîãäà ñóùåñòâóþò îêðåñòíîñòü U ⊂ D òî÷êè z0 è îêðåñòíîñòü V òî÷êè w0 = f (z0 ) òàêèå,
÷òî
(1) f : U → V îáðàòèìîå îòîáðàæåíèå;
(2) f −1 ∈ H(V );
1 −1 0
(3) ∀ w ∈ V (f ) (w) = f 0 (z) .
z=g(w)
Äîêàçàòåëüñòâî. Îáðàòèìîñòü ôóíêöèè f = u + iv â îêðåñòíîñòè òî÷êè z0 = x0 + iy0 ýêâèâà-
ëåíòíà îáðàòèìîñòè îòîáðàæåíèÿ âèäà
x
u(x, y)
F :
−→
y
v(x, y)
â îêðåñòíîñòè òî÷êè (x0 , y0 ). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî
∀ (x, y) ∈ D F 0 (x, y) =
∂u(x,y) ∂u(x,y)
∂x
∂y
∂v(x,y) ∂v(x,y)
∂x
∂y
!
.
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
17
Èç óñëîâèé Êîøè-Ðèìàíà ñëåäóåò, ÷òî
∂u(x, y) ∂v(x, y) ∂u(x, y) ∂v(x, y)
−
=
det F (x, y) =
∂x
∂y
∂y
∂x
0
∂u(x, y)
∂x
2
+
∂v(x, y)
∂x
2
.
(2.16)
Òåïåðü èç (2.16), óñëîâèÿ f 0 (z0 ) 6= 0 è èç òåîðåìû 2.6 ñëåäóåò, ÷òî det F 0 (x0 , y0 ) 6= 0. Òàêèì
îáðàçîì, ìàòðèöà F 0 (x0 , y0 ) îáðàòèìà è ìû ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé 2.19.
Èç òåîðåìû 2.19 ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü V ⊂ R2 òî÷êè (α0 , β0 ) = F (x0 , y0 )
òàêàÿ, ÷òî F : U → V îáðàòèìîå îòîáðàæåíèå, ïðè÷åì â îêðåñòíîñòè U ìàòðèöà F 0 (x, y)
òàêæå îáðàòèìà. Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî îòîáðàæåíèå f : U → V îáðàòèìî è äëÿ ëþáîãî z ∈ U
âåðíî, ÷òî f 0 (z) 6= 0. Îáîçíà÷èì îáðàòíîå îòîáðàæåíèå ê f ÷åðåç g .
Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó w1 ∈ V è ïîëîæèì z1 = g(w1 ) ∈ U . Èç äèôôåðåíöèðóåìîñòè
ôóíêöèè f â òî÷êå z1 ïîëó÷èì, ÷òî
f (z) = f (z1 ) + f 0 (z1 )(z − z1 ) + o(z − z1 ) ïðè z → z1 .
Ïîëàãàÿ w = f (z), ïîëó÷èì, ÷òî
w = w1 + f 0 (z1 )(g(w) − g(w1 )) + o(g(w) − g(w1 )) ïðè w → w1 ,
w − w1 = (g(w) − g(w1 )) (f 0 (z1 ) + o(1)) ïðè w → w1 ,
1
g(w) − g(w1 )
=
ïðè w → w1 .
(2.17)
0
f (z1 ) + o(1)
w − w1
Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè w → w1 â ðàâåíñòâå (2.17) ïîëó÷èì, ÷òî g äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå w1 ,
ïðè÷åì
1
.
g 0 (w1 ) = 0
f (z1 )
Òåîðåìà 2.21 (Äèôôåðåíöèðîâàíèå ëîãàðèôìà â ñìûñëå êîìïëåêñíîãî àíàëèçà). Ïóñòü
• z0 ∈ C \ {0};
• U äîñòàòî÷íî ìàëàÿ îêðåñòíîñòü òî÷êè z0 (íå ñîäåðæàùàÿ íóëÿ);
• ln z ïðîèçâîëüíàÿ ðåãóëÿðíàÿ âåòâü ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ Ln z â U .
Òîãäà
1
∀ z ∈ U (ln z)0 = .
z
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç òåîðåìû 1.8 (îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ ê êîìïëåêñíîé ýêñïîíåíòå) ñëåäóåò, ÷òî
ln z îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ ê ýêñïîíåíòå. Îòñþäà è èç òåîðåì 2.20 (äîñòàòî÷íîå óñëîâèå îáðàòèìîñòè ðåãóëÿðíîé ôóíêöèè) è 2.11 (äèôôåðåíöèðîâàíèå ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé êîìïëåêñíîé
ïåðåìåííîé) ñëåäóåò, ÷òî
1
1
1
∀ z ∈ U (ln z)0 = w 0 = w = .
(e )
e
z
w=ln z
w=ln z
18
À. À. Ïîæàðñêèé
3.
Èíòåãðèðîâàíèå ðåãóëÿðíûõ ôóíêöèé
3.1. Êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë ôóíêöèè êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé.
Îïðåäåëåíèå 3.1 (Êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë ôóíêöèè êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé âäîëü ãëàäêîãî êîíòóðà). Ïóñòü
•
•
•
•
D îáëàñòü â C;
f ∈ C(D);
γ ãëàäêàÿ îðèåíòèðîâàííàÿ êðèâàÿ â D;
îòîáðàæåíèå ζ : [a, b] −→ C çàäàåò ãëàäêóþ ïàðàìåòðèçàöèþ (ò. å. ζ ∈ C 1 [a, b]) êðèâîé γ ñ ó÷åòîì îðèåíòàöèè.
Êðèâîëèíåéíûì èíòåãðàëîì îò ôóíêöèè f âäîëü êîíòóðà γ íàçûâàþò ÷èñëî
Zb
Z
f (z) dz =
f (ζ(t))ζ 0 (t) dt.
a
γ
Òåîðåìà 3.2. Ïóñòü âûïîëíåíû ïðåäïîëîæåíèÿ â îïðåäåëåíèè 3.1. Òîãäà
Z
Z
f (z) dz 6 |f (z)| dl.
γ
γ
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî îïðåäåëåíèþ êðèâîëèíåéíûõ èíòåãðàëîâ 1-ãî è 2-ãî ðîäà èìååì
b
Z
Z
Zb
Z
f (z) dz = f (ζ(t))ζ 0 (t) dt 6 |f (ζ(t))||ζ 0 (t)| dt = |f (z)| dl. γ
a
a
γ
3.2. Èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà Êîøè.
Òåîðåìà 3.3 (Èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà Êîøè). Ïóñòü
• D îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü â C;
• f ∈ H(D);
• γ (ïðîèçâîëüíàÿ) îðèåíòèðîâàííàÿ êóñî÷íî-ãëàäêàÿ çàìêíóòàÿ êðèâàÿ â D.
Òîãäà
I
f (z) dz = 0.
γ
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîâîäèòü äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû áóäåì â äîïîëíèòåëüíîì ïðåäïîëîæå-
íèè, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè f íåïðåðûâíà â D (f 0 ∈ C(D)).
 ñëó÷àå åñëè êðèâàÿ γ èìååò ñàìîïåðåñå÷åíèÿ, åå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå îáúåäèíåíèÿ
êðèâûõ íå ñîäåðæàùèõ ñàìîïåðåñå÷åíèÿ. Ïîýòîìó áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü,
÷òî êðèâàÿ γ íå èìååò ñàìîïåðåñå÷åíèé.
Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ f = u + iv , z = x + iy è int γ âíóòðåííîñòü êðèâîé γ . Áåç îãðàíè÷åíèÿ
îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî êðèâàÿ γ îðèåíòèðîâàíà â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè. Ëåãêî
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
19
âèäåòü, ÷òî
I
f (z) dz =
γ
I u(x, y) + iv(x, y) (dx + idy) =
γ
I
I
u(x, y) dx − v(x, y) dy + i
=
γ
v(x, y) dx + u(x, y) dy.
(3.1)
γ
Èç îäíîñâÿçíîñòè îáëàñòè D ñëåäóåò, ÷òî int γ ⊂ D. Îòñþäà è èç óñëîâèÿ f 0 ∈ C(D) ïîëó÷èì,
÷òî u ∈ C 1 (int γ) ∩ C(int γ) è v ∈ C 1 (int γ) ∩ C(int γ).
Ñëåäîâàòåëüíî, ê èíòåãðàëàì, ñòîÿùèì â (3.1), ìîæíî ïðèìåíèòü ôîðìóëó Ãðèíà (ñì. òåîðåìó 2.15). Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Ãðèíà è óñëîâèÿ Êîøè-Ðèìàíà, ïîëó÷èì
I
ZZ ∂v(x, y) ∂u(x, y)
−
u(x, y) dx − v(x, y) dy =
−
dx dy = 0,
∂x
∂y
γ
int γ
I
ZZ ∂u(x, y) ∂v(x, y)
v(x, y) dx + u(x, y) dy =
−
dx dy = 0.
∂x
∂y
γ
int γ
Îòñþäà, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (3.1), ïîëó÷èì òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå. Çàìå÷àíèå 3.4. Ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû ìû ïðåäïîëîæèëè, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè
f íåïðåðûâíà â D. Â äåéñòâèòåëüíîñòè, äîêàçàòåëüñòâî ìîæíî ïðîâåñòè áåç ýòîãî ïðåäïîëîæåíèÿ.
Òåîðåìà 3.5 (Íåîáõîäèìîñòü óñëîâèÿ îäíîñâÿçíîñòè îáëàñòè â èíòåãðàëüíîé òåîðåìå Êîøè).
Òåîðåìà 3.3 (Èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà Êîøè) áåç óñëîâèÿ îäíîñâÿçíîñòè îáëàñòè D ÿâëÿåòñÿ
íåâåðíîé.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äàííîãî óòâåðæäåíèÿ ïîñòðîèì êîíòðïðèìåð. Ðàññìîò-
ðèì îáëàñòü D = {z | 1 < |z| < 3}, êîíòóð γ = {z | |z| = 2}, îðèåíòèðîâàííûé ïðîòèâ ÷àñîâîé
ñòðåëêè, è ôóíêöèþ f (z) = z1 . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî îáëàñòü D íå ÿâëÿåòñÿ îäíîñâÿçíîé, γ îðèåíòèðîâàííàÿ ãëàäêàÿ çàìêíóòàÿ êðèâàÿ â D, à ôóíêöèÿ f ðåãóëÿðíà â îáëàñòè D. Òàêèì îáðàçîì,
âûïîëíåíû âñå óñëîâèÿ òåîðåìû Êîøè çà èñêëþ÷åíèåì óñëîâèÿ îá îäíîñâÿçíîñòè îáëàñòè D.
Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà âû÷èñëèì èíòåãðàë
I
I
Z2π
i Z2π d(2eiϕ ) Z2π 2ieiϕ
dz h
f (z) dz =
= z = 2eiϕ , ϕ ∈ (0, 2π) =
=
dϕ = i dϕ = 2πi 6= 0. z
2eiϕ
2eiϕ
γ
γ
0
0
0
Òåîðåìà 3.6 (Òåîðåìà Êîøè î íåçàâèñèìîñòè çíà÷åíèÿ èíòåãðàëà îò êîíòóðà èíòåãðèðîâàíèÿ). Ïóñòü
• D îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü â C;
• f ∈ H(D);
• γ1 è γ2 îðèåíòèðîâàííûå êóñî÷íî-ãëàäêèå êðèâûå â D;
• êðèâûå γ1 è γ2 èìåþò îáùåå íà÷àëî;
• êðèâûå γ1 è γ2 èìåþò îáùèé êîíåö.
Òîãäà
Z
Z
f (z) dz = f (z) dz.
γ1
γ2
20
À. À. Ïîæàðñêèé
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì çàìêíóòûé êîíòóð Γ = γ1 ∪ γ2 . Îðèåíòàöèþ íà Γ çàäàäèì òàê,
÷òîáû êîíòóð γ1 ïðîõîäèëñÿ â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè, à γ2 â îòðèöàòåëüíîì. Èç òåîðåìû 3.3 (èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà Êîøè) ïîëó÷èì, ÷òî
I
f (z) dz = 0.
Γ
Îòñþäà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî
Z
Z
I
f (z) dz −
f (z) dz =
γ2
γ1
Γ
f (z) dz
ïîëó÷èì òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå. Òåîðåìà 3.7 (Èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà Êîøè äëÿ èíòåãðàëà ïî ãðàíèöå îáëàñòè ðåãóëÿðíîñòè
ôóíêöèè). Ïóñòü
• D îãðàíè÷åííàÿ îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü â C;
• f ∈ H(D) ∩ C(D);
• ãðàíèöà γ îáëàñòè D ÿâëÿåòñÿ îðèåíòèðîâàííîé êóñî÷íî-ãëàäêîé çàìêíóòîé êðèâîé.
Òîãäà
I
f (z) dz = 0.
γ
Èäåÿ äîêàçàòåëüñòâà. Ïóñòü γε îðèåíòèðîâàííàÿ êóñî÷íî-ãëàäêàÿ çàìêíóòàÿ êðèâàÿ, ðàñ-
ïîëàãàþùàÿñÿ öåëèêîì â îáëàñòè D è äîñòàòî÷íî áëèçêàÿ ê êðèâîé γ . Ãðóáî ãîâîðÿ, ìû áóäåì
ñ÷èòàòü, ÷òî ïðè ε → 0 êðèâàÿ γε â ïîäõîäÿùåì ñìûñëå ñòðåìèòñÿ ê êðèâîé γ . Îòñþäà è èç
íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè f â îáëàñòè D âïëîòü äî ãðàíèöû γ ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî
I
I
lim f (z) dz = f (z) dz.
(3.2)
ε→0
γε
γ
Òàê êàê êîíòóð γε öåëèêîì ëåæèò â îáëàñòè D, òî èç òåîðåìû 3.3 (Èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà
Êîøè) ñëåäóåò, ÷òî
I
f (z) dz = 0.
(3.3)
γε
Èç (3.2) è (3.3) ñëåäóåò íåîáõîäèìîå óòâåðæäåíèå. Îïðåäåëåíèå 3.8 (Ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííàÿ êðèâàÿ). Ïóñòü êðèâàÿ γ ïðèíàäëåæèò
ãðàíèöå îáëàñòè D (íàïðèìåð, êðèâûå γ1 , γ2 è γ3 íà ðèñóíêå 1).
Ãîâîðÿò, ÷òî êðèâàÿ γ ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàíà îòíîñèòåëüíî îáëàñòè D, åñëè âûïîëíåíî îäíî èç äâóõ ñëåäóþùèõ óñëîâèé.
(1) Ïðè îáõîäå âäîëü êðèâîé γ â íàïðàâëåíèè çàäàííîì îðèåíòàöèåé îáëàñòü D, îñòàåòñÿ
ñëåâà îò êðèâîé3 (êðèâûå γ1 è γ2 íà ðèñóíêå 1).
(2) Ó êðèâîé γ âûäåëåíî äâà ¾áåðåãà¿ (áîëåå òî÷íî, äâà ýêçåìïëÿðà êðèâîé γ ). Ïðè îáõîäå
âäîëü êàæäîãî èç ¾áåðåãîâ¿ êðèâîé γ â íàïðàâëåíèè çàäàííîì îðèåíòàöèåé, ñïðàâà îò
äàííîãî ¾áåðåãà¿ ðàñïîëàãàåòñÿ âòîðîé ¾áåðåã¿ êðèâîé, à ñëåâà îò íåãî îáëàñòü D
(êðèâàÿ γ3 íà ðèñóíêå 1).
3Ìû ïîçâîëèì ñåáå íå îáñóæäàòü âîïðîñû, ñâÿçàííûå ñ îðèåíòàöèåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Ãðóáî ãîâîðÿ,
ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ìû âñå âðåìÿ ñìîòðèì íà êîìïëåêñíóþ ïëîñêîñòü ñ îäíîé è òîé æå ñòîðîíû.
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
21
Òåîðåìà 3.9 (Èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà Êîøè äëÿ ìíîãîñâÿçíîé îáëàñòè). Ïóñòü
• D îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â C;
• f ∈ H(D) ∩ C(D);
• ãðàíèöà γ (ìíîãîñâÿçíîé) îáëàñòè D ñîñòîèò èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþùèõñÿ êóñî÷íî-ãëàäêèõ çàìêíóòûõ êðèâûõ γ1 , γ2 , . . ., γn ;
• êðèâûå γ1 , γ2 , . . ., γn ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàíû îòíîñèòåëüíî îáëàñòè D.
Òîãäà
n I
X
f (z) dz = 0.
k=1 γ
k
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîâåäåì â îáëàñòè D äîïîëíèòåëüíûå ãëàäêèå êðèâûå Γ1 , Γ2 , . . ., Γn−1 òàê,
÷òîáû íîâàÿ îáëàñòü
D∗ = D \
n−1
[
Γk
k=1
îêàçàëàñü îäíîñâÿçíîé (ñì. ðèñóíîê 2). Çàäàäèì íà êðèâûõ Γ1 , Γ2 , . . ., Γn−1 ïîëîæèòåëüíóþ
Ðèñ. 1. Îáëàñòü D âûäåëåíà ñåðûì öâåòîì.
Ðèñ. 2. Îáëàñòü D âûäåëåíà ñåðûì öâåòîì.
îðèåíòàöèþ îòíîñèòåëüíî îáëàñòè D∗ .  ýòîì ñëó÷àå ãðàíèöà îáëàñòè D∗ îêàæåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííîé. Ïðèìåíÿÿ òåîðåìó 3.3 (Èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà Êîøè) ê ôóíêöèè f è
îáëàñòè D∗ ïîëó÷èì, ÷òî
n I
n−1 I
X
X
f (z) dz +
f (z) dz = 0.
(3.4)
k=1 γ
k
k=1 Γ
k
−
Çàìåòèì òåïåðü, ÷òî êàæäàÿ èç êðèâûõ Γk èìååò ïî äâà áåðåãà Γ+
k è Γk , ãäå k = 1, . . . , (n−1), êîòîðûå îðèåíòèðîâàíû â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f
ñîâïàäàþò íà îáîèõ áåðåãàõ êðèâûõ Γ1 , . . ., Γn−1 (ñëåäóåò èç íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè f â îáëàñòè D), ïîëó÷èì, ÷òî èíòåãðàëû ñîñåäíèì áåðåãàì êàæäîé èç êðèâûõ Γ1 , . . ., Γn−1 îòëè÷àþòñÿ
22
À. À. Ïîæàðñêèé
ëèøü çíàêîì (â ñèëó ïðîòèâîïîëîæíîé îðèåíòàöèè ñîñåäíèõ áåðåãîâ). Ñëåäîâàòåëüíî,


Z
I
Z
n−1
n−1
X
X

f (z) dz =
 f (z) dz + f (z) dz  = 0.
k=1 Γ
k=1
k
(3.5)
Γ−
k
Γ+
k
Èç (3.4) è (3.5) ñëåäóåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû. 3.3. Ïåðâîîáðàçíàÿ ðåãóëÿðíîé ôóíêöèè.
Òåîðåìà 3.10 (Ñóùåñòâîâàíèå ïåðâîîáðàçíîé ðåãóëÿðíîé ôóíêöèè). Ïóñòü
• D îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü â C;
• f ∈ H(D).
Òîãäà f èìååò ïåðâîîáðàçíóþ â îáëàñòè D. Áîëåå òî÷íî,
∃ F ∈ H(D) : ∀ z ∈ D F 0 (z) = f (z).
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàôèêñèðóåì íåêîòîðóþ òî÷êó z0 â îáëàñòè D è ðàññìîòðèì ôóíêöèþ âèäà
Zz
∀z∈D
F (z) =
(3.6)
f (ζ) dζ.
z0
Èç òåîðåìû 3.6 ñëåäóåò, ÷òî çíà÷åíèå èíòåãðàëà â ôîðìóëå (3.6) íå çàâèñèò îò âûáîðà êîíòóðà
èíòåãðèðîâàíèÿ. Ïîýòîìó ôîðìóëà (3.6) êîððåêòíî îïðåäåëÿåò ôóíêöèþ F , ïðè÷åì â èíòåãðàëå
äîñòàòî÷íî îáîçíà÷àòü òîëüêî íà÷àëî (z0 ) è êîíåö (z ) êîíòóðà èíòåãðèðîâàíèÿ.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òîãî, ÷òî F 0 = f â îáëàñòè D, âîñïîëüçóåìñÿ îïðåäåëåíèåì ïðîèçâîäíîé.
Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Èç íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè f â òî÷êå z ñëåäóåò, ÷òî íàéäåòñÿ
δ > 0 òàêîå, ÷òî
|ζ − z| < δ =⇒ |f (ζ) − f (z)| < ε.
Äàëåå, äëÿ ëþáîãî h ∈ C òàêîãî, ÷òî |h| < δ âåðíî, ÷òî
z+h
Zz+h
Z
Zz+h
F (z + h) − F (z)
1
1
1
.
−
f
(z)
=
f
(ζ)
dζ
−
f
(z)
dζ
=
(f
(ζ)
−
f
(z))
dζ
h
h
h
h
z
z
z
Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ F îïðåäåëåíà â îêðåñòíîñòè òî÷êè z . Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî ñ÷èòàòü,
÷òî ïîñëåäíèé èíòåãðàë âû÷èñëÿåòñÿ ïî ïðÿìîëèíåéíîìó îòðåçêó, ñîåäèíÿþùåìó òî÷êè z è
z + h. Ñëåäîâàòåëüíî,
Zz+h
Zz+h
F (z + h) − F (z)
1
ε
− f (z) 6
|f (ζ) − f (z)| dl <
dl = ε. h
|h|
|h|
z
z
Òåîðåìà 3.11 (Îáùèé âèä ïåðâîîáðàçíîé ðåãóëÿðíîé ôóíêöèè). Ïóñòü
• D îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü â C;
• f ∈ H(D);
• F1 è F2 ïåðâîîáðàçíûå ôóíêöèè f â îáëàñòè D.
Òîãäà
∃ C ∈ C : ∀ z ∈ D F1 (z) − F2 (z) = C.
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
23
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ F = F1 − F2 . Îáîçíà÷èì åå âåùåñòâåííóþ è ìíèìóþ
÷àñòè ÷åðåç u è v ñîîòâåòñòâåííî. Èç óñëîâèÿ òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî
∀z∈D
F 0 (z) = F10 (z) − F20 (z) = f (z) − f (z) = 0.
Îòñþäà è èç òåîðåìû 2.6 ñëåäóåò, ÷òî
∀ (x, y) ∈ D
∂u(x, y)
∂v(x, y)
∂v(x, y)
∂u(x, y)
=
=
=
= 0.
∂x
∂y
∂x
∂y
Îòñþäà è èç ñâîéñòâ ïðîèçâîäíîé âåùåñòâåííîé ôóíêöèè ïîëó÷èì, ÷òî ôóíêöèè u è v ïîñòîÿííû â îáëàñòè D, à ñëåäîâàòåëüíî è ôóíêöèÿ F òàêæå ïîñòîÿííà â îáëàñòè D. Òåîðåìà 3.12 (Ôîðìóëà Íüþòîíà-Ëåéáíèöà). Ïóñòü
• D îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü â C;
• f ∈ H(D);
• F ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèè f â îáëàñòè D.
Òîãäà
Zz2
∀ z1 ∈ D ∀ z2 ∈ D
f (z) dz = F (z2 ) − F (z1 ).
z1
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç òåîðåì 3.10 è 3.11 ñëåäóåò, ÷òî
Zz
∃C∈C : ∀z∈D
F (z) =
f (ζ) dζ + C.
(3.7)
z1
Ïîëàãàÿ z = z1 â ðàâåíñòâå (3.7) ïîëó÷èì, ÷òî C = F (z1 ). Íàêîíåö, ïîëàãàÿ z = z2 â ðàâåíñòâå (3.7) ïîëó÷èì òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå. 3.4. Èíòåãðàëüíàÿ ôîðìóëà Êîøè.
Òåîðåìà 3.13 (Èíòåãðàëüíàÿ ôîðìóëà Êîøè). Ïóñòü
• D îãðàíè÷åííàÿ îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü â C;
• f ∈ H(D);
• γ êóñî÷íî-ãëàäêàÿ çàìêíóòàÿ áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé êðèâàÿ â D;
• êðèâàÿ γ ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàíà îòíîñèòåëüíî âíóòðåííîñòè intγ .
Òîãäà
I
1
f (ζ)
∀ z ∈ intγ f (z) =
dζ.
2πi
ζ −z
γ
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü êîíòóð cr = {ζ | |ζ −z| = r} ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàí îòíîñèòåëüíî
ñâîåé âíóòðåííîñòè. Ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ r îêðóæíîñòü cr ïðèíàäëåæèò îáëàñòè D (ïóñòü,
äëÿ îïðåäåëåííîñòè, cr ⊂ D ïðè r 6 r0 ). Èç òåîðåìû 3.9 ñëåäóåò, ÷òî
I
I
I
I
f (ζ)
1
f (ζ)
1
f (z)
1
f (ζ) − f (z)
1
dζ =
dζ =
dζ +
dζ.
(3.8)
2πi
ζ −z
2πi
ζ −z
2πi
ζ −z
2πi
ζ −z
γ
cr
cr
cr
Ïðîàíàëèçèðóåì êàæäûé èç èíòåãðàëîâ ñòîÿùèõ â ïðàâîé ÷àñòè (3.8).
24
À. À. Ïîæàðñêèé
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî
1
2πi
I
f (z)
f (z)
dζ =
ζ −z
2πi
cr
I
h
i f (z) Z2π ireiϕ
1
iϕ
dζ = ζ = z + re , ϕ ∈ (0, 2π) =
dϕ = f (z). (3.9)
ζ −z
2πi
reiϕ
0
cr
Èç äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèè f â òî÷êå z ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ïîñòîÿííàÿ C òàêàÿ,
÷òî
f (ζ) − f (z) 6 C.
|ζ − z| 6 r0 =⇒ ζ −z Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîãî r 6 r0 âåðíî, ÷òî
I
I
1
f (ζ) − f (z) 1
dζ 6
2πi
ζ −z
2π
cr
I
f (ζ) − f (z) dl 6 C
dl = Cr.
ζ −z 2π
cr
(3.10)
cr
Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè r → 0 â (3.10) ïîëó÷èì, ÷òî
I
f (ζ) − f (z)
1
dζ = 0.
lim
r→0 2πi
ζ −z
(3.11)
cr
Çàìåòèì òåïåðü, ÷òî èíòåãðàë â ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (3.8) íå çàâèñèò îò r. Ïåðåõîäÿ ê
ïðåäåëó ïðè r → 0 â (3.8) è, ó÷èòûâàÿ (3.9) è (3.11), ïîëó÷èì, ÷òî
I
1
f (ζ)
dζ = f (z). 2πi
ζ −z
γ
Òåîðåìà 3.14 (Èíòåãðàëüíàÿ ôîðìóëà Êîøè äëÿ èíòåãðàëà ïî ãðàíèöå îáëàñòè ðåãóëÿðíîñòè
ôóíêöèè). Ïóñòü
• D îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü â C;
• f ∈ H(D) ∩ C(D);
• ãðàíèöà γ îáëàñòè D ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî-ãëàäêîé çàìêíóòîé êðèâîé, ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííîé îòíîñèòåëüíî D.
Òîãäà
∀z∈D
1
f (z) =
2πi
I
f (ζ)
dζ.
ζ −z
γ
Èäåÿ äîêàçàòåëüñòâà. Ñàìîñòîÿòåëüíî (ïî àíàëîãèè ñ äîêàçàòåëüñòâîì òåîðåìû 3.7). Òåîðåìà 3.15 (Òåîðåìà î ñðåäíåì äëÿ ðåãóëÿðíûõ ôóíêöèé). Ïóñòü
• D îòêðûòûé êðóã ðàäèóñà r > 0 ñ öåíòðîì â òî÷êå z ∈ C;
• f ∈ H(D) ∩ C(D);
Òîãäà
1
f (z) =
2π
Z2π
0
f (z + reiϕ ) dϕ.
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
25
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü γ îêðóæíîñòü ðàäèóñà r ñ öåíòðîì â òî÷êå z , îðèåíòèðîâàííàÿ â
ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îòíîñèòåëüíî êðóãà D. Èç òåîðåìû 3.14 ñëåäóåò, ÷òî
I
I
h
i
1
f (ζ)
f (z + reiϕ ) iϕ
1
iϕ
dζ = ζ = z + re , ϕ ∈ (0, 2π) =
ire dϕ =
f (z) =
2πi
ζ −z
2πi
reiϕ
γ
=
1
2π
Z2π
γ
f (z + reiϕ ) dϕ. 0
Òåîðåìà 3.16 (Òåîðåìà î ñðåäíåì äëÿ ãàðìîíè÷åñêèõ ôóíêöèé). Ïóñòü
• D îòêðûòûé êðóã ðàäèóñà r > 0 ñ öåíòðîì â òî÷êå z ∈ C;
• u ∈ C 2 (D) ∩ C(D);
• ∆u = 0 â îáëàñòè D.
Òîãäà
Z2π
1
u(z) =
u(z + reiϕ ) dϕ.
2π
0
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç òåîðåìû 2.17 ñëåäóåò, ÷òî íàéäåòñÿ ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ v â îáëàñòè D
òàêàÿ, ÷òî f = u + iv ∈ H(D). Îòñþäà è èç òåîðåìû 3.15 ñëåäóåò, ÷òî
1
∀ ρ ∈ (0, r) f (z) =
2π
Z2π
f (z + ρeiϕ ) dϕ.
(3.12)
0
Îòäåëÿÿ âåùåñòâåííóþ ÷àñòü â ðàâåíñòâå (3.12), è, ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè ρ → r, ïîëó÷èì
òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå. Òåîðåìà 3.17 (Èíòåãðàëüíàÿ ôîðìóëà Êîøè äëÿ ìíîãîñâÿçíîé îáëàñòè). Ïóñòü
• D îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â C;
• f ∈ H(D) ∩ C(D);
• ãðàíèöà γ îáëàñòè D ñîñòîèò èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþùèõñÿ êóñî÷íîãëàäêèõ çàìêíóòûõ êðèâûõ γ1 , γ2 , . . ., γn ;
• êðèâûå γ1 , γ2 , . . ., γn ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàíû îòíîñèòåëüíî îáëàñòè D.
Òîãäà
n I
1 X
f (ζ)
∀ z ∈ D f (z) =
dζ.
2πi k=1
ζ −z
γk
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñàìîñòîÿòåëüíî (ïî àíàëîãèè ñ äîêàçàòåëüñòâîì òåîðåìû 3.9). 3.5. Ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü.
Îïðåäåëåíèå 3.18 (Ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè). Ïóñòü
• D ìíîæåñòâî â C;
• {fn }∞
n=1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîìïëåêñíîçíà÷íûõ ôóíêöèé íà D ;
Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn }∞
n=1 ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f íà îáëàñòè D ,
åñëè
∀ ε > 0 ∃ N > 0 : (z ∈ D) ∧ (n > N ) =⇒ |fn (z) − f (z)| < ε.
26
À. À. Ïîæàðñêèé
Òåîðåìà 3.19 (Ïðåäåë ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé).
Ïóñòü
• D îáëàñòü èëè êóñî÷íî-ãëàäêàÿ êðèâàÿ â C;
• ∀ n ∈ N fn ∈ C(D);
• ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn }∞
n=1 ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f íà îáëàñòè D .
Òîãäà f ∈ C(D).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü z0 ∈ D è ε > 0. Èç ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
{fn }∞
n=1 ñëåäóåò, ÷òî íàéäåòñÿ p ∈ N òàêîé, ÷òî
ε
|f (z) − fp (z)| < .
(3.13)
3
Èç íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè fp â òî÷êå z0 ñëåäóåò, ÷òî íàéäåòñÿ δ > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî
z ∈ D âåðíî, ÷òî
ε
|z − z0 | < δ =⇒ |fp (z) − fp (z0 )| < .
(3.14)
3
Èç (3.13) è (3.14) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî z ∈ D òàêîãî, ÷òî |z − z0 | < δ , ñïðàâåäëèâà îöåíêà
ε ε ε
|f (z) − f (z0 )| 6 |f (z) − fp (z)| + |fp (z) − fp (z0 )| + |fp (z0 ) − f (z0 )| < + + = ε. 3 3 3
Òåîðåìà 3.20 (Ïðåäåëüíûé ïåðåõîä ïîä çíàêîì èíòåãðàëà äëÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé). Ïóñòü
• γ êîíå÷íàÿ êóñî÷íî-ãëàäêàÿ êðèâàÿ â C;
• ∀ n ∈ N fn ∈ C(γ);
• ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn }∞
n=1 ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f íà êðèâîé γ .
Òîãäà
Z
Z
fn (z) dz = f (z) dz.
lim
∀z∈D
n→∞
γ
γ
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ε > 0 è L äëèíà êðèâîé γ . Èç ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn }∞
n=1 ñëåäóåò, ÷òî íàéäåòñÿ N > 0 òàêîå, ÷òî
ε
∀ z ∈ γ ∀ n > N |f (z) − fp (z)| < .
L
Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîãî n ∈ N òàêîãî, ÷òî n > N ñïðàâåäëèâà îöåíêà
Z
Z
Z
Z
fn (z) dz − f (z) dz 6 |fn (z) − f (z)| dl 6 ε
dl = ε. L
γ
γ
γ
γ
Îïðåäåëåíèå 3.21 (Ðàâíîìåðíûé ïðåäåë ñåìåéñòâà ôóíêöèé). Ïóñòü
• D ìíîæåñòâî â C;
• U îêðåñòíîñòü òî÷êè a0 ∈ C;
• f êîìïëåêñíîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ íà D × U ;
Ãîâîðÿò, ÷òî f (z, a) ñòðåìèòñÿ ïðè a → a0 ê ôóíêöèè f (z, a0 ) ðàâíîìåðíî îòíîñèòåëüíî z
íà ìíîæåñòâå D, åñëè
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : (z ∈ D) ∧ (|a − a0 | < δ) =⇒ |f (z, a) − f (z, a0 )| < ε.
Òåîðåìà 3.22 (Ïðåäåëüíûé ïåðåõîä ïîä çíàêîì èíòåãðàëà äëÿ ñåìåéñòâà ôóíêöèé). Ïóñòü
• γ êóñî÷íî-ãëàäêàÿ êðèâàÿ â C;
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
27
• U îêðåñòíîñòü òî÷êè a0 ∈ C;
• ∀ a ∈ U f (·, a) ∈ C(γ);
• f (z, a) ñòðåìèòñÿ ïðè a → a0 ê ôóíêöèè f (z, a0 ) ðàâíîìåðíî îòíîñèòåëüíî z íà êðèâîé γ .
Òîãäà
Z
Z
lim
f (z, a) dz = f (z, a0 ) dz.
a→a0
γ
γ
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñàìîñòîÿòåëüíî (ïî àíàëîãèè ñ äîêàçàòåëüñòâîì òåîðåì 3.19 è 3.20). 3.6. Ôîðìóëà Êîøè äëÿ ïðîèçâîäíûõ ðåãóëÿðíîé ôóíêöèè.
Òåîðåìà 3.23 (Ôîðìóëà Êîøè äëÿ ïðîèçâîäíûõ ðåãóëÿðíîé ôóíêöèè). Ïóñòü
• D îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â C;
• f ∈ H(D) ∩ C(D);
• ãðàíèöà γ îáëàñòè D ñîñòîèò èç êîíå÷íîãî ÷èñëà êóñî÷íî-ãëàäêèõ çàìêíóòûõ êðèâûõ,
ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííûõ îòíîñèòåëüíî îáëàñòè D.
Òîãäà f áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìà â D, ïðè÷åì
I
n!
f (ζ)
(n)
∀ n ∈ N ∀ z ∈ D f (z) =
dζ.
(3.15)
2πi
(ζ − z)n+1
γ
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì ôîðìóëó (3.15) ïðè n = 1. Ïóñòü z ∈ D è U îêðåñòíîñòü òî÷êè
z òàêàÿ, ÷òî U ⊂ D. Èç òåîðåìû 3.17 ñëåäóåò, ÷òî
I
I
f (z + h) − f (z)
1
1
f (ζ)
f (ζ)
1
f (ζ)
=
−
dζ =
dζ,
h
2πi
h ζ −z−h ζ −z
2πi
(ζ − z)(ζ − z − h)
γ
(3.16)
γ
1
ñòðåìèòñÿ ïðè h → 0 ê
ãäå h ∈ C òàêîå, ÷òî z + h ∈ U . Çàìåòèì òåïåðü, ÷òî ôóíêöèÿ ζ−z−h
1
ôóíêöèè ζ−z ðàâíîìåðíî îòíîñèòåëüíî ζ íà êðèâîé γ . Îòñþäà è èç òåîðåìû 3.22 ñëåäóåò, ÷òî â
ðàâåíñòâå (3.16) ñïðàâåäëèâ ïðåäåëüíûé ïåðåõîä ïðè h → 0 ïîä çíàêîì èíòåãðàëà. Â ðåçóëüòàòå
ïîëó÷èì, ÷òî
I
1
f (ζ)
0
f (z) =
dζ.
2πi
(ζ − z)2
γ
Äàëüíåéøåå äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì ïî èíäóêöèè. Ïóñòü ôîðìóëà (3.15) âåðíà ïðè n = p.
Äîêàæåì, ÷òî îíà âåðíà ïðè n = p + 1. Ïðè U 3 h → 0 âåðíî, ÷òî
I
f (p) (z + h) − f (p) (z)
p!
1
f (ζ)
f (ζ)
=
−
dζ =
h
2πi
h (ζ − z − h)p+1 (ζ − z)p+1
γ
f (ζ) (ζ − z)
− (ζ − z − h)p+1
p!
dζ
=
h (ζ − z − h)p+1 (ζ − z)p+1
2πi
γ
I
(p + 1)!
(ζ − z)p + O(h)
f (ζ)
dζ.
=
2πi
(ζ − z − h)p+1 (ζ − z)p+1
p!
=
2πi
p+1
I
γ
I
f (ζ) (p + 1)(ζ − z)p h + O(h2 )
dζ =
h (ζ − z − h)p+1 (ζ − z)p+1
γ
(3.17)
28
À. À. Ïîæàðñêèé
Èç òåîðåìû 3.22 ñëåäóåò, ÷òî â ôîðìóëå (3.17) âîçìîæåí ïðåäåëüíûé ïåðåõîä ïðè h → 0 ïîä
çíàêîì èíòåãðàëà. Ñëåäîâàòåëüíî,
I
f (p) (z + h) − f (p) (z)
(p + 1)!
(ζ − z)p + O(h)
(p+1)
f
(z) = lim
= lim
f (ζ)
dζ =
h→0
h→0
h
2πi
(ζ − z − h)p+1 (ζ − z)p+1
γ
I
I
p
(p + 1)!
(ζ − z) + O(h)
(p + 1)!
f (ζ)
=
f (ζ) lim
dζ
=
dζ. h→0 (ζ − z − h)p+1 (ζ − z)p+1
2πi
2πi
(ζ − z)p+2
γ
γ
Òåîðåìà 3.24 (Òåîðåìà Ëèóâèëëÿ). Ïóñòü
• f ∈ H(C);
• ∃ C > 0 : ∀ z ∈ C |f (z)| 6 C .
Òîãäà f ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ â C.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü z ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà â C è γR îêðóæíîñòü ðàäèóñà R ñ öåíòðîì
â òî÷êå z . Òîãäà èç òåîðåìû 3.23 ñëåäóåò, ÷òî
I
I
1
C
C
|f (ζ)|
0
|f (z)| 6
dl 6
dl = .
2
2
2π
|ζ − z|
2πR
R
γR
(3.18)
γR
Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè R → ∞ â íåðàâåíñòâå (3.18) ïîëó÷èì, ÷òî |f 0 (z)| 6 0 è, ñëåäîâàòåëüíî,
∀ z ∈ C f 0 (z) = 0.
Îòñþäà è èç ôîðìóëû Íüþòîíà-Ëåéáíèöà ïîëó÷èì, ÷òî
Zz2
∀ z1 ∈ C ∀ z2 ∈ C f (z2 ) − f (z1 ) = f 0 (z) dz = 0. z1
Òåîðåìà 3.25 (Îáîáùåííàÿ òåîðåìà Ëèóâèëëÿ). Ïóñòü
• f ∈ H(C);
• ∃ C > 0 ∃ n ∈ N : ∀ z ∈ C |f (z)| 6 C(|z|n + 1).
Òîãäà f ïîëèíîì ñòåïåíè íå âûøå n.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü z ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà â C è γR îêðóæíîñòü ðàäèóñà R > |z| ñ
öåíòðîì â òî÷êå z . Òîãäà èç òåîðåìû 3.23 ñëåäóåò, ÷òî
I
I
|f (ζ)|
C(n + 1)!
(n + 1)!
(n+1)
|f
(z)| 6
dl 6
(|ζ|n + 1) dl =
n+2
n+2
2π
|ζ − z|
2πR
γR
γR
I
I
C(n + 1)!
C(n + 1)!
n
=
(|z + (ζ − z)| + 1) dl 6
(|z| + R + 1)n dl 6
2πRn+2
2πRn+2
γR
γR
I
n
C(n + 1)!
(2R + 1)
n
6
(2R
+
1)
dl
=
C(n
+
1)!
.
2πRn+2
Rn+1
γR
Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè R → ∞ â ïîñëåäíåì íåðàâåíñòâå ïîëó÷èì, ÷òî
∀ z ∈ C f (n+1) (z) = 0.
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
29
Îòñþäà è èç ôîðìóëû Íüþòîíà-Ëåéáíèöà ïîëó÷èì, ÷òî ∀ z ∈ C
Zz
(n)
(n)
f (z) = f (0) + f (n+1) (ζ) dζ = f (n) (0),
0
f (n−1) (z) = f (n−1) (0) +
...
Zz
f (n) (ζ) dζ = f (n−1) (0) +
0
Zz
f (n) (0) dζ = f (n−1) (0) + f (n) (0)z,
0
f (z) = f (0) + f 0 (0)z + . . . +
f (n−1) (0) n−1 f (n) (0) n
z
+
z .
(n − 1)!
n!
3.7. Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ðåãóëÿðíîñòè.
Òåîðåìà 3.26 (Òåîðåìà Ìîðåðû). Ïóñòü
• D îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü â C;
• f ∈ C(D);
R
• äëÿ ëþáîé êóñî÷íî-ãëàäêîé çàìêíóòîé êðèâîé â D âåðíî, ÷òî f (z) dz = 0.
γ
Òîãäà f ∈ H(D).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
Zz
∀z∈D
F (z) =
(3.19)
f (ζ) dζ,
z0
ãäå z0 íåêîòîðàÿ ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà â îáëàñòè D. Èç óñëîâèé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî èíòåãðàë
â ôîðìóëå (3.19) íå çàâèñèò îò âûáîðà êîíòóðà èíòåãðèðîâàíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ F
îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíà â îáëàñòè D.
Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî F 0 = f â îáëàñòè D. Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Èç íåïðåðûâíîñòè
ôóíêöèè f â òî÷êå z ñëåäóåò, ÷òî íàéäåòñÿ δ > 0 òàêîå, ÷òî
|ζ − z| < δ =⇒ |f (ζ) − f (z)| < ε.
Äàëåå, äëÿ ëþáîãî h ∈ C òàêîãî, ÷òî |h| < δ âåðíî, ÷òî
z+h
Zz+h
Z
Zz+h
F (z + h) − F (z)
1
1
1
=
=
.
−
f
(z)
f
(ζ)
dζ
−
f
(z)
dζ
(f
(ζ)
−
f
(z))
dζ
h
h
h
h
z
z
z
Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ F îïðåäåëåíà â îêðåñòíîñòè òî÷êè z . Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî ñ÷èòàòü,
÷òî ïîñëåäíèé èíòåãðàë âû÷èñëÿåòñÿ ïî ïðÿìîëèíåéíîìó îòðåçêó, ñîåäèíÿþùåìó òî÷êè z è
z + h. Ñëåäîâàòåëüíî,
Zz+h
Zz+h
F (z + h) − F (z)
ε
1
− f (z) 6
|f (ζ) − f (z)| dl <
dl = ε.
h
|h|
|h|
z
z
Òàêèì îáðàçîì, ìû äîêàçàëè, ÷òî F = f è F ∈ H(D).
Íàêîíåö, èç òåîðåìû 3.23 ñëåäóåò, ÷òî f ∈ H(D) (êàê ïðîèçâîäíàÿ ðåãóëÿðíîé ôóíêöèè). 0
Òåîðåìà 3.27 (Òåîðåìà Âåéåðøòðàññà). Ïóñòü
• D îáëàñòü â C;
30
À. À. Ïîæàðñêèé
• ∀ n ∈ N fn ∈ H(D);
∞
P
• ðÿä
fn ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà D ê ôóíêöèè f .
n=1
Òîãäà
(1) f ∈ H(D);
∞
P
(2) ðÿä
fn0 ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà D ê ôóíêöèè f 0 .
n=1
Äîêàçàòåëüñòâî. (1) Ïóñòü γ ïðîèçâîëüíûé êóñî÷íî-ãëàäêèé çàìêíóòûé êîíòóð â D . Èç
òåîðåìû 3.3 (èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà Êîøè) ñëåäóåò, ÷òî
Z X
N
N Z
X
fn (z) dz =
∀N ∈N
fn (z) dz = 0.
γ
n=1
(3.20)
n=1 γ
Èç òåîðåìû 3.20 ñëåäóåò, ÷òî â ðàâåíñòâå (3.20) ìîæíî ïåðåéòè ê ïðåäåëó ïðè N → ∞ ïîä
çíàêîì èíòåãðàëà. Ñëåäîâàòåëüíî,
Z
Z X
N
f (z) dz = lim
fn (z) dz = 0.
(3.21)
N →∞
γ
γ
n=1
Èç (3.21) è òåîðåìû 3.26 (òåîðåìà Ìîðåðà) ñëåäóåò, ÷òî f ∈ H(D).
(2) Áåç äîêàçàòåëüñòâà. ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
31
Ðÿäû Òåéëîðà
4.
4.1. Ðÿäû Òåéëîðà.
Òåîðåìà 4.1 (Òåîðåìà î ðàçëîæåíèè ðåãóëÿðíîé ôóíêöèè â ðÿä Òåéëîðà). Ïóñòü
• D = {z | |z − z0 | < R}, ãäå z0 ∈ C è R > 0.
• f ∈ H(D).
Òîãäà
∞
X
f (n) (z0 )
(z − z0 )n .
∀ z ∈ D f (z) =
n!
n=0
(4.1)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó z∗ â îáëàñòè D . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî íàéäåòñÿ
R∗ ∈ (0, R) òàêîå, ÷òî |z∗ − z0 | < R∗ . Èç òåîðåìû 3.13 (èíòåãðàëüíàÿ ôîðìóëà Êîøè) ñëåäóåò,
÷òî
I
1
f (ζ)
f (z∗ ) =
dζ,
2πi
ζ − z∗
γ
ãäå γ = {z | |z − z0 | = R∗ }.
Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî ζ ∈ γ âåðíî, ÷òî
∞
X (z∗ − z0 )n
1
1
1
1
=
.
=
·
=
∗ −z0
n+1
ζ − z∗
(ζ − z0 ) − (z∗ − z0 )
ζ − z0 1 − zζ−z
(ζ
−
z
)
0
0
n=0
(4.2)
Ïðè ýòîì ðÿä, ñòîÿùèé â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (4.2), ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî ïî ζ íà îêðóæíîñòè γ . Îòñþäà è èç òåîðåìû 3.20 ïîëó÷èì, ÷òî
I
I
∞
∞
X
X
1
(z∗ − z0 )n
f (ζ)
n 1
f (z∗ ) =
f (ζ)
dζ =
(z∗ − z0 )
dζ.
n+1
n+1
2πi
(ζ
−
z
)
2πi
(ζ
−
z
)
0
0
n=0
n=0
γ
γ
Íàêîíåö, èç òåîðåìû 3.23 ñëåäóåò, ÷òî
∀ n ∈ Z+
1
2πi
I
f (n) (z0 )
f (ζ)
dζ
=
.
(ζ − z0 )n+1
n!
γ
Îïðåäåëåíèå 4.2 (Ðÿä Òåéëîðà). Ðÿä (4.1) íàçûâàþò ðÿäîì Òåéëîðà ôóíêöèè f ñ öåíòðîì
â òî÷êå z0 .
4.2. Ñòåïåííûå ðÿäû è èõ îñíîâíûå ñâîéñòâà.
Îïðåäåëåíèå 4.3 (Ñòåïåííîé ðÿä). Ñòåïåííûì ðÿäîì ñ öåíòðîì â òî÷êå z0 ∈ C íàçûâàåòñÿ
ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä âèäà
∞
X
cn (z − z0 )n = c0 + c1 (z − z0 ) + c2 (z − z0 )2 + . . . ,
(4.3)
n=0
ãäå {cn }∞
n=0 êîìïëåêñíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü è z êîìïëåêñíûé ïàðàìåòð.
Òåîðåìà 4.4 (Ôîðìóëà Êîøè-Àäàìàðà). Äëÿ ëþáîãî ñòåïåííîãî ðÿäà âèäà (4.3) ñóùåñòâó-
åò íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî R òàêîå, ÷òî ðÿä (4.3) àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ ïðè |z − z0 | < R è
ðàñõîäèòñÿ ïðè |z − z0 | > R.
32
À. À. Ïîæàðñêèé
Áîëåå òîãî, ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
R=
1
p
,
lim n |cn |
n→∞
ïðè÷åì åñëè lim
n→∞
p
n
|cn | = 0, ïîëàãàþò R = +∞, à åñëè lim
n→∞
p
n
|cn | = +∞, òî R = 0.
Äîêàçàòåëüñòâî. Áåç äîêàçàòåëüñòâà (äîêàçàíî íà 1-îì êóðñå). Îïðåäåëåíèå 4.5 (Ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà). ×èñëî R, îïðåäåëåííîå â òåîðåìå 4.4,
íàçûâàþò ðàäèóñîì ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (4.3).
Òåîðåìà 4.6 (Ðåãóëÿðíîñòü ñóììû ñòåïåííîãî ðÿäà). Ïóñòü R > 0 ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòå-
ïåííîãî ðÿäà (4.3). Òîãäà
(1) ðÿä (4.3) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ â ëþáîì êðóãå âèäà |z − z0 | 6 R∗ , ãäå R∗ ∈ (0, R);
(2) ñóììà ðÿäà (4.3) ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíîé ôóíêöèåé â êðóãå åãî ñõîäèìîñòè |z − z0 | < R.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå R∗ èç èíòåðâàëà (0, R) è ââåäåì îáîçíà÷åíèå
D∗ = {z | |z − z0 | < R∗ }. Çàìåòèì, ÷òî èç àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè ðÿäà (4.3) âíóòðè êðóãà
åãî ñõîäèìîñòè ñëåäóåò, ÷òî ðÿä
∞
X
|cn |R∗n
n=0
ñõîäèòñÿ. Ïðè z ∈ D∗ âåðíî, ÷òî
∞
X
n
|cn ||z − z0 | 6
n=0
∞
X
|cn |R∗n < ∞.
n=0
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â êðóãå D∗ ðÿä (4.3) èìååò ñóììèðóåìóþ ìàæîðàíòó. Ñëåäîâàòåëüíî, ðÿä (4.3)
ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ â êðóãå D∗ . Îòñþäà è èç òåîðåìû 3.27 (òåîðåìà Âåéåðøòðàññà) ïîëó÷èì,
÷òî ñóììà ðÿäà (4.3) ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíîé ôóíêöèåé â êðóãå D∗ . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî R∗ ïðîèçâîëüíîå
÷èñëî èç èíòåðâàëà (0, R), ïîëó÷èì, ÷òî ñóììà ðÿäà (4.3) ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíîé ôóíêöèåé âî âñåì
êðóãå åãî ñõîäèìîñòè |z − z0 | < R. Òåîðåìà 4.7 (Ïî÷ëåííîå äèôôåðåíöèðîâàíèå ñòåïåííîãî ðÿäà). Ïóñòü R > 0 ðàäèóñ ñõîäè-
ìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (4.3). Òîãäà
(1) â êðóãå ñõîäèìîñòè |z − z0 | < R ðÿä (4.3) ìîæíî äèôôåðåíöèðîâàòü ïî÷ëåííî
!0
∞
∞
X
X
n
cn (z − z0 )
=
ncn (z − z0 )n−1 ;
n=0
(4.4)
n=1
(2) ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ðÿäà (4.4) ðàâåí R.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñëåäóåò èç òåîðåì 3.27 (òåîðåìà Âåéåðøòðàññà) è 4.6. Òåîðåìà 4.8 (Ðÿä Òåéëîðà ñòåïåííîãî ðÿäà). Ëþáîé ñòåïåííîé ðÿä â (íåïóñòîì) êðóãå åãî
ñõîäèìîñòè ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì Òåéëîðà ñâîåé ñóììû.
Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì ñóììó ñòåïåííîãî ðÿäà
∞
P
cn (z − z0 )n â êðóãå åãî ñõîäèìîñòè
n=0
÷åðåç f (z). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî f (z0 ) = c0 . Äàëåå, èç òåîðåìû 4.7 ñëåäóåò, ÷òî
∞
X
n!
(p)
∀ p ∈ N ∀ z ∈ D f (z) =
cn
(z − z0 )n−p .
(n
−
p)!
n=p
(4.5)
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
33
Ïîäñòàâëÿÿ z = z0 â ðàâåíñòâå (4.5) ïîëó÷èì, ÷òî
∀ p ∈ N cp =
f (p) (z0 )
.
p!
Îïðåäåëåíèå 4.9 (Àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ). Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â îá-
ëàñòè D, åñëè äëÿ ëþáîé òî÷êè z0 ∈ D ñóùåñòâóåò ε > 0 òàêîå, ÷òî ôóíêöèÿ f â êðóãå
∞
P
|z − z0 | < ε ïðåäñòàâèìà â âèäå ñõîäÿùåãîñÿ ñòåïåííîãî ðÿäà âèäà
cn (z − z0 )n .
n=0
Òåîðåìà 4.10 (Ýêâèâàëåíòíîñòü ðåãóëÿðíîñòè è àíàëèòè÷íîñòè ôóíêöèè). Ïóñòü ôóíêöèÿ f
çàäàíà â îáëàñòè D ⊂ C. Òîãäà
f ∈ H(D) ⇐⇒ f àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ â D.
Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü (=⇒). Ñëåäóåò èç òåîðåìû 4.1.
Äîñòàòî÷íîñòü (⇐=). Ñëåäóåò èç òåîðåìû 4.6.
4.3. Òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè.
Òåîðåìà 4.11 (Òåîðåìà îá èçîëèðîâàííîñòè íóëåé ðåãóëÿðíîé ôóíêöèè). Ïóñòü
• D îáëàñòü â C;
• f ∈ H(D);
• f (z0 ) = 0, ãäå z0 ∈ D.
Òîãäà âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç äâóõ ñëåäóþùèõ óñëîâèé.
(1) Ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü òî÷êè z0 òàêàÿ, ÷òî f òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ â ýòîé
îêðåñòíîñòè.
(2) Ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü òî÷êè z0 òàêàÿ, ÷òî z0 åäèíñòâåííûé êîðåíü ôóíêöèè f
â ýòîé îêðåñòíîñòè.
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç òåîðåìû 4.10 ñëåäóåò, ÷òî íàéäåòñÿ îêðåñòíîñòü U òî÷êè z0 òàêàÿ, ÷òî â
ýòîé îêðåñòíîñòè ôóíêöèÿ f ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà ñòåïåííûì ðÿäîì âèäà
∞
X
cn (z − z0 )n .
f (z) =
n=0
Èç óñëîâèÿ òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî c0 = f (z0 ) = 0.  ñëó÷àå åñëè âñå êîýôôèöèåíòû cn îáðàùàþòñÿ â íîëü, ïîëó÷èòñÿ, ÷òî f òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ â îêðåñòíîñòè U .  ïðîòèâíîì ñëó÷àå,
íàéäåòñÿ íîìåð s ∈ N òàêîé, ÷òî cs 6= 0 è c0 = c1 = . . . = cs−1 = 0. Ñëåäîâàòåëüíî,
∞
∞
X
X
n
s
f (z) =
cn (z − z0 ) = (z − z0 )
cn (z − z0 )n−s = (z − z0 )s ϕ(z),
n=s
n=s
ãäå ϕ ∈ H(U ) è ϕ(0) = cs 6= 0. Èç íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè ϕ â òî÷êå z0 è óñëîâèÿ ϕ(0) 6= 0
ñëåäóåò, ÷òî íàéäåòñÿ îêðåñòíîñòü V ⊂ U òî÷êè z0 òàêàÿ, ÷òî ϕ 6= 0 â V . Ñëåäîâàòåëüíî, â
îêðåñòíîñòè V ôóíêöèÿ f íå èìååò íóëåé îòëè÷íûõ îò z0 . Îïðåäåëåíèå 4.12 (Ïîðÿäîê íóëÿ ðåãóëÿðíîé ôóíêöèè). Ïóñòü ôóíêöèÿ f ðåãóëÿðíà â
îêðåñòíîñòè òî÷êè z0 . Ãîâîðÿò, ÷òî z0 íóëü ôóíêöèè f ïîðÿäêà (êðàòíîñòè) s ∈ N, åñëè
∞
P
åå ðàçëîæåíèå â ðÿä Òåéëîðà ñ öåíòðîì â òî÷êå z0 èìååò âèä f (z) =
cn (z − z0 )n , ãäå cs 6= 0.
n=s
Òåîðåìà 4.13 (Ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíèå íóëåé ðåãóëÿðíîé ôóíêöèè). Ïóñòü ôóíêöèÿ f
ðåãóëÿðíà â îêðåñòíîñòè U òî÷êè z0 . Òîãäà âåðíî, ÷òî
34
À. À. Ïîæàðñêèé
z0 íóëü ôóíêöèè f ïîðÿäêà s ∈ N ⇐⇒ ∃ g ∈ H(U ) : ∀ z ∈ U f (z) = (z − z0 )s g(z) è g(z0 ) 6= 0.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî (ñàìîñòîÿòåëüíî). Òåîðåìà 4.14 (Òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè). Ïóñòü
•
•
•
•
D îáëàñòü â C;
f ∈ H(D), g ∈ H(D);
{zn }∞
n=1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ òî÷åê â D ;
lim zn = z∗ ∈ D;
n→∞
• ∀ n ∈ N f (zn ) = g(zn ).
Òîãäà f ≡ g â îáëàñòè D (ò. å. ∀ z ∈ D f (z) = g(z)).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ h = f − g . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî h ðåãóëÿðíà â îêðåñòíîñòè òî÷êè z∗ , ïðè÷åì
∀ n ∈ N h(zn ) = 0.
(4.6)
Èç (4.6) è íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè h â òî÷êå z∗ ñëåäóåò, ÷òî h(z∗ ) = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, z∗ íåèçîëèðîâàííûé íóëü ôóíêöèè h. Îòñþäà è èç òåîðåìû 4.11 ñëåäóåò, ÷òî h ≡ 0 â íåêîòîðîé
îêðåñòíîñòè òî÷êè z∗ .
Îáîçíà÷èì òåïåðü ÷åðåç N ñåìåéñòâî âíóòðåííèõ òî÷åê ìíîæåñòâà íóëåé ôóíêöèè h. Èç
òîëüêî ÷òî äîêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òî ìíîæåñòâî N íå ïóñòî (òàê êàê z∗ ∈ N ). Äàëåå âîçìîæíû
äâå ñèòóàöèè N 6= D è N = D.
 ñëó÷àå, åñëè N =
6 D íàéäåòñÿ ãðàíè÷íàÿ òî÷êà z ∗ ìíîæåñòâà N ïðèíàäëåæàùàÿ îáëàñòè
D. Èç îïðåäåëåíèÿ N ñëåäóåò, ÷òî h(z ∗ ) = 0. Âìåñòå ñ ýòèì, èç òîãî, ÷òî z ∗ ãðàíè÷íàÿ òî÷êà
N ñëåäóåò, ÷òî z ∗ íåèçîëèðîâàííûé íóëü ôóíêöèè h. Êàê è ðàíåå îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî h ≡ 0 â
íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè z ∗ . Íî ýòî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ î òîì, ÷òî z ∗ ãðàíè÷íàÿ
òî÷êà N . Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå îçíà÷àåò, ÷òî íàøå ïðåäïîëîæåíèå N 6= D îøèáî÷íî.
Èç óñëîâèÿ N = D ïîëó÷èì, ÷òî h ≡ 0 â D è, ñëåäîâàòåëüíî, f ≡ g â îáëàñòè D. Ïðèìåð 4.15. Ôóíêöèÿ f (z) = sin
1 ∞
îáðàùàåòñÿ â íîëü íà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè òî÷åê { πn
}n=1
ñõîäÿùåéñÿ ê òî÷êå z∗ = 0. Äàííûé ôàêò íå ïðîòèâîðå÷èò òåîðåìå åäèíñòâåííîñòè, ïîòîìó
÷òî ôóíêöèÿ f íå ðåãóëÿðíà â òî÷êå z∗ = 0.
1
z
4.4. Ïðèíöèï ìàêñèìóìà.
Òåîðåìà 4.16 (Ïðèíöèï ìàêñèìóìà (î ñâÿçè ìåæäó çíà÷åíèÿìè ôóíêöèè íà ãðàíèöå è âíóòðè
îáëàñòè ðåãóëÿðíîñòè)). Ïóñòü
• D îáëàñòü â C è γ êóñî÷íî-ãëàäêàÿ ãðàíèöà îáëàñòè D;
• f ∈ H(D) ∩ C(D).
Òîãäà
∀z∈D
|f (z)| 6 max |f (ζ)|.
ζ∈γ
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ëþáîãî n ∈ N âåðíî, ÷òî f n ∈ H(D) ∩ C(D). Îòñþäà è èç òåîðåìû 3.9
ïîëó÷èì, ÷òî
1
f (z) =
2πi
n
I
γ
f n (ζ)
dζ,
ζ −z
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
35
ãäå z ïðîèçâîëüíàÿ ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà â îáëàñòè D. Ñëåäîâàòåëüíî,
I
1
1
n
n
dζ,
|f (z)| 6 max |f (ζ)|
ζ∈γ
2π
|ζ − z|
γ
 n1

|f (z)| 6 max |f (ζ)| 
ζ∈γ
1
2π
I
1
dζ  .
|ζ − z|
(4.7)
γ
Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè n → ∞ â îöåíêå (4.7) ïîëó÷èì, ÷òî
∀z∈D
|f (z)| 6 max |f (ζ)|.
ζ∈γ
(4.8)
Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî íà ãðàíèöå γ îáëàñòè D îöåíêà (4.8)
âûïîëíÿåòñÿ àâòîìàòè÷åñêè. Ëåììà 4.17. Ïóñòü
• D îáëàñòü â C;
• f ∈ H(D);
• ôóíêöèÿ |f | ïîñòîÿííà â îáëàñòè D.
Òîãäà ôóíêöèÿ f ïîñòîÿííà â îáëàñòè D.
Èäåÿ äîêàçàòåëüñòâà. Åñëè |f | ≡ 0 â D , òî, î÷åâèäíî, ÷òî è f ≡ 0 â D . Ïðåäïîëîæèì òåïåðü,
÷òî |f | ≡ M > 0 â D.  ýòîì ñëó÷àå â îáëàñòè D êîððåêòíî îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ F (z) = ln f (z),
ïðè÷åì F ∈ H(D).
Çàìåòèì, ÷òî
∀z∈D
Re F (z) = ln |f (z)| = ln M.
Äðóãèìè ñëîâàìè, âåùåñòâåííàÿ ÷àñòü ôóíêöèè F ïîñòîÿííà â îáëàñòè D. Îòñþäà è èç óñëîâèé
Êîøè-Ðèìàíà ïîëó÷èì, ÷òî ìíèìàÿ ÷àñòü ôóíêöèè F òàêæå ïîñòîÿííà â îáëàñòè D. Ó÷èòûâàÿ
î÷åâèäíîå ñîîòíîøåíèå f (z) = eF (z) ïîëó÷èì, ÷òî f ïîñòîÿííà â îáëàñòè D. Òåîðåìà 4.18 (Ïðèíöèï ìàêñèìóìà (î ëîêàëüíîì ìàêñèìóìå ðåãóëÿðíîé ôóíêöèè)). Ïóñòü
• D îáëàñòü â C;
• f ∈ H(D);
• f èìååò ëîêàëüíûé ìàêñèìóì â òî÷êå z0 ∈ D.
Òîãäà ôóíêöèÿ f ïîñòîÿííà â îáëàñòè D.
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç óñëîâèé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî íàéäåòñÿ îòêðûòûé êðóã U ñ öåíòðîì â
òî÷êå z0 òàêîé, ÷òî
∀z∈U
|f (z)| 6 |f (z0 )|.
(4.9)
Äîêàæåì, ÷òî èç óñëîâèÿ (4.9) ñëåäóåò ïîñòîÿíñòâî ôóíêöèè |f | â êðóãå U . Äîêàçàòåëüñòâî
ïðîâåäåì îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü íàøëàñü òî÷êà z∗ ∈ U òàêàÿ, ÷òî |f (z∗ )| < |f (z0 )|. Îáîçíà÷èì
÷åðåç γ îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â òî÷êå z0 è ðàäèóñà r = |z∗ − z0 |. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî òî÷êà z∗
ëåæèò íà îêðóæíîñòè γ . Èç óñëîâèÿ f ∈ H(D) ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà γ è,
ñëåäîâàòåëüíî, íàéäåòñÿ äóãà γ1 îêðóæíîñòè γ òàêàÿ, ÷òî |f (z)| < |f (z0 )| ïðè z ∈ γ1 . Îòñþäà è
36
À. À. Ïîæàðñêèé
èç òåîðåìû 3.13 (èíòåãðàëüíàÿ ôîðìóëà Êîøè) ïîëó÷èì, ÷òî


I
I
I
I
1
f (ζ)
1
|f (ζ)|
1 

|f (z0 )| = dζ 6
dl =
|f (ζ)| dl <
 |f (ζ)| dl +
ζ − z0 2π
|ζ − z0 |
2πr
2πi
γ
γ
γ1
γ\γ1


I
I
I
|f (z0 )| 
 |f (z0 )|
dl =
dl = |f (z0 )|.
<
 dl +
2πr
2πr
γ1
γ
γ\γ1
Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò, ÷òî ôóíêöèÿ |f | ïîñòîÿííà â êðóãå U .
Èç ïîñòîÿíñòâà ôóíêöèè |f | â êðóãå U è ëåììû 4.17 ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ f ïîñòîÿííà â
êðóãå U . Îòñþäà èç òåîðåìû 4.14 (òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè) ñëåäóåò, ÷òî f ïîñòîÿííà âî âñåé
îáëàñòè D. Òåîðåìà 4.19 (Ëåììà Øâàðöà). Ïóñòü
• D = {z | |z| < 1}, ∂D = {z | |z| = 1};
• f ∈ H(D) ∩ C(D);
• f (0) = 0;
• ∀ z ∈ ∂D |f (z)| 6 1
Òîãäà
(1) ∀ z ∈ D |f (z)| 6 |z|;
(2) åñëè íàéäåòñÿ z∗ ∈ D \ {0} òàêàÿ, ÷òî |f (z∗ )| = |z∗ |, òî
∃α∈R : ∀z∈D
f (z) = eiα z.
Äîêàçàòåëüñòâî. (1) Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
( f (z)
F (z) =
z
0
ïðè 0 < |z| 6 1,
f (z) ïðè z = 0.
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ôóíêöèÿ F äîïóñêàåò ðàçëîæåíèå â ðÿä Òåéëîðà âèäà
∞
∞
X
f (n) (0) n−1 X f (n+1) (0) n
∀ z ∈ D F (z) =
z
=
z .
n!
(n
+
1)!
n=1
n=0
Îòñþäà è èç òåîðåìû 4.6 ñëåäóåò, ÷òî F ∈ H(D). Èç óñëîâèÿ f ∈ C(D) ïîëó÷èì, ÷òî F ∈ C(D).
Ïóñòü γ ãðàíèöà îáëàñòè D. Èç òåîðåìû 4.16 (ïðèíöèï ìàêñèìóìà) ñëåäóåò, ÷òî
|f (z)|
= max |f (z)| 6 1.
z∈γ
z∈γ
z∈γ
|z|
Îòñþäà, ñ ó÷åòîì îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè F , ñëåäóåò ïåðâîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû.
(2) Ïóñòü íàøëàñü òî÷êà z∗ ∈ D \ {0} òàêàÿ, ÷òî |f (z∗ )| = |z∗ |.  ýòîì ñëó÷àå |F (z∗ )| = 1
è ôóíêöèÿ F äîñòèãàåò ñâîåãî ìàêñèìóìà âî âíóòðåííåé òî÷êå îáëàñòè D (íàïîìíèì, ÷òî
|F (z)| 6 1 â îáëàñòè D). Îòñþäà è èç òåîðåìû 4.18 (ïðèíöèï ìàêñèìóìà) ïîëó÷èì, ÷òî
∀z∈D
|F (z)| 6 max |F (z)| = max
∃C∈C : ∀z∈D
F (z) = C,
è, ñëåäîâàòåëüíî, f (z) = Cz â îáëàñòè D. Òàêèì îáðàçîì, ó÷èòûâàÿ, ÷òî |f (z∗ )| = |z∗ |, ïîëó÷èì
|f (z∗ )| = |C||z∗ | =⇒ |C| = 1 =⇒ ∃ α ∈ R : C = eiα . ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
5.
37
Èçîëèðîâàííûå îñîáûå òî÷êè
5.1. Ðÿäû Ëîðàíà.
Òåîðåìà 5.1 (Òåîðåìà î ðàçëîæåíèè ðåãóëÿðíîé ôóíêöèè â ðÿä Ëîðàíà). Ïóñòü
• 0 6 r < ρ < R 6 ∞;
• D = {z | r < |z − z0 | < R}, ãäå z0 ∈ C;
• f ∈ H(D).
Òîãäà
∀z∈D
f (z) =
∞
X
(5.1)
cn (z − z0 )n ,
n=−∞
ãäå
1
∀ n ∈ Z cn =
2πi
I
f (ζ)
dζ,
(ζ − z0 )n+1
γ = {z | |z − z0 | = ρ} .
γ
Äîêàçàòåëüñòâî. Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó z∗ â îáëàñòè D . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî íàéäóòñÿ
r∗ è R∗ òàêèå, ÷òî
r < r∗ < |z∗ − z0 | < R∗ < R.
Èç òåîðåìû 3.17 ñëåäóåò, ÷òî
1
f (z∗ ) =
2πi
I
I
f (ζ)
1
dζ −
ζ − z∗
2πi
γR∗
f (ζ)
dζ,
ζ − z∗
(5.2)
γr∗
ãäå êîíòóðû γr∗ = {z | |z − z0 | = r∗ } è γR∗ = {z | |z − z0 | = R∗ } îðèåíòèðîâàíû ïðîòèâ õîäà
÷àñîâîé ñòðåëêè.
Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî ζ ∈ γR∗ âåðíî, ÷òî
∞
X (z∗ − z0 )n
1
1
1
1
=
=
·
.
=
∗ −z0
ζ − z∗
(ζ − z0 ) − (z∗ − z0 )
ζ − z0 1 − zζ−z
(ζ − z0 )n+1
0
n=0
(5.3)
Ïðè ýòîì ðÿä, ñòîÿùèé â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (5.3), ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî ïî ζ íà îêðóæíîñòè γR∗ . Îòñþäà è èç òåîðåìû 3.20 ïîëó÷èì, ÷òî
I
I
I
∞
∞
X
X
1
1
f (ζ)
(z∗ − z0 )n
f (ζ)
n 1
dζ =
f (ζ)
dζ =
(z∗ − z0 )
dζ.
n+1
2πi
ζ − z∗
2πi
(ζ − z0 )
2πi
(ζ − z0 )n+1
n=0
n=0
γR∗
γR∗
γR∗
Íàêîíåö, èç òåîðåìû 3.9 ñëåäóåò, ÷òî
I
I
1
f (ζ)
1
f (ζ)
∀ n ∈ Z+
dζ =
dζ,
n+1
2πi
(ζ − z0 )
2πi
(ζ − z0 )n+1
γR∗
γ
îòêóäà
1
2πi
I
γR∗
∞
X
f (ζ)
1
(z∗ − z0 )n
dζ =
ζ − z∗
2πi
n=0
I
γ
f (ζ)
dζ.
(ζ − z0 )n+1
(5.4)
38
À. À. Ïîæàðñêèé
Àíàëîãè÷íî, äëÿ ëþáîãî ζ ∈ γr∗ âåðíî, ÷òî
∞
h
i
X
1
(ζ − z0 )n
1
1
1
=
−
=
=−
·
=
n
=
−p
−
1
=
n+1
0
ζ − z∗
(ζ − z0 ) − (z∗ − z0 )
z∗ − z0 1 − zζ−z
(z
−
z
)
∗
0
n=0
∗ −z0
−1
−1
h
i
X
X
(z∗ − z0 )p
(z∗ − z0 )n
=−
=
p
=
n
=
−
.
(ζ − z0 )p+1
(ζ − z0 )n+1
p=−∞
n=−∞
(5.5)
Ïðè ýòîì ðÿä, ñòîÿùèé â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (5.5), ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî ïî ζ íà îêðóæíîñòè γr∗ . Îòñþäà è èç òåîðåì 3.20 è 3.9 ïîëó÷èì, ÷òî
I
I
I
−1
−1
X
X
f (ζ)
1
(z∗ − z0 )n
f (ζ)
1
n 1
dζ = −
f (ζ)
dζ
=
−
(z
−
z
)
dζ =
∗
0
n+1
n+1
2πi
ζ − z∗
2πi
(ζ
−
z
)
2πi
(ζ
−
z
)
0
0
n=−∞
n=−∞
γr∗
γr∗
−1
X
=−
γr∗
(z∗ − z0 )n
n=−∞
1
2πi
I
f (ζ)
dζ.
(ζ − z0 )n+1
(5.6)
γ
Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà ïîäñòàâèì ðàçëîæåíèÿ (5.4) è (5.6) â ôîðìóëó (5.2). Îïðåäåëåíèå 5.2 (Ðÿä Ëîðàíà). Ðÿä (5.1) íàçûâàþò ðÿäîì Ëîðàíà ôóíêöèè f â îáëàñòè D
ñ öåíòðîì â òî÷êå z0 .
Òåîðåìà 5.3 (Òåîðåìà î õàðàêòåðå ñõîäèìîñòè ðÿäà Ëîðàíà). Ïóñòü
• çàäàí ðÿäà Ëîðàíà
∞
X
(5.7)
cn (z − z0 )n ;
n=−∞
•
r = lim
n→∞
p
n
|c−n |,
R=
lim
p
n
n→∞
−1
|cn |
.
Òîãäà
(1) ðÿä (5.7) àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ ïðè r < |z − z0 | < R;
(2) ðÿä (5.7) ðàñõîäèòñÿ ïðè |z − z0 | < r;
(3) ðÿä (5.7) ðàñõîäèòñÿ ïðè |z − z0 | > R;
(4) åñëè r < R, òî ðÿä (5.7) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ â ëþáîì êîëüöå âèäà r∗ 6 |z − z0 | 6 R∗ ,
ãäå r < r∗ < R∗ < R;
(5) ñóììà ðÿäà (5.7) ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíîé ôóíêöèåé â êîëüöå r < |z − z0 | < R;
(6) â êîëüöå r < |z − z0 | < R ðÿä (5.7) ìîæíî äèôôåðåíöèðîâàòü ïî÷ëåííî.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñëåäóåò èç ðàçëîæåíèÿ âèäà
∞
X
n=−∞
n
cn (z − z0 ) =
∞
X
n
cn (z − z0 ) +
n=0
∞
X
n=1
c−n
1
z − z0
n
è òåîðåì 4.4, 4.6 è 4.7 äëÿ ðÿäîâ Òåéëîðà. Òåîðåìà 5.4 (Åäèíñòâåííîñòü ðàçëîæåíèÿ ðåãóëÿðíîé ôóíêöèè â ðÿä Ëîðàíà). Ïóñòü
• 0 6 r < R 6 ∞;
• D = {z | r < |z − z0 | < R}, ãäå z0 ∈ C;
• f ∈ H(D).
Òîãäà ðàçëîæåíèå ôóíêöèè f â ðÿä Ëîðàíà åäèíñòâåííî.
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
39
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ôóíêöèÿ f ìîæåò áûòü ðàçëîæåíà â äâà ðÿäà âèäà
∀z∈D
∞
X
f (z) =
∞
X
cn (z − z0 )n =
n=−∞
(5.8)
dn (z − z0 )n .
n=−∞
Âûáåðåì íåêîòîðîå ρ èç èíòåðâàëà (r, R). Èç òåîðåìû 5.3 ñëåäóåò, ÷òî ðÿäû (5.8) ñõîäÿòñÿ
ðàâíîìåðíî íà îêðóæíîñòè γ = {z | |z − z0 | = ρ}. Èç òåîðåìû 3.20) ñëåäóåò, ÷òî ýòè ðÿäû
ìîæíî ïî÷ëåííî èíòåãðèðîâàòü ïî êîíòóðó γ . Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîãî p ∈ Z âåðíî, ÷òî
I X
I X
∞
∞
1
1
n−p−1
cn (z − z0 )
dz =
dn (z − z0 )n−p−1 dz,
2πi n=−∞
2πi n=−∞
γ
γ
∞
X
1
cn
2πi
n=−∞
I
(z − z0 )
n−p−1
γ
∞
X
1
dz =
dn
2πi
n=−∞
Îòñþäà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî
1
2πi
I
n−p−1
(z − z0 )
dz =
I
(z − z0 )n−p−1 dz.
γ
1 ïðè n = p,
0 ïðè n 6= p,
γ
ïîëó÷èì
∀ p ∈ Z cp = d p . 5.2. Èçîëèðîâàííûå îñîáûå òî÷êè.
Îïðåäåëåíèå 5.5 (Èçîëèðîâàííàÿ îñîáàÿ òî÷êà).
• Òî÷êà z0 ∈ C íàçûâàåòñÿ èçîëèðîâàííîé îñîáîé òî÷êîé ôóíêöèè f , åñëè íàéäåòñÿ R > 0
òàêîå, ÷òî f ðåãóëÿðíà â îáëàñòè {z | 0 < |z − z0 | < R} è íå äèôôåðåíöèðóåìà â
òî÷êå z0 .
• Òî÷êà z0 = ∞ íàçûâàåòñÿ èçîëèðîâàííîé îñîáîé òî÷êîé ôóíêöèè f , åñëè íàéäåòñÿ
r < +∞ òàêîå, ÷òî f ðåãóëÿðíà â îáëàñòè {z | r < |z| < +∞}.
Îïðåäåëåíèå 5.6 (Òèïû èçîëèðîâàííûõ îñîáûõ òî÷åê). Èçîëèðîâàííóþ îñîáóþ òî÷êó z0 ∈ C
ôóíêöèè f íàçûâàþò
• óñòðàíèìîé îñîáîé òî÷êîé, åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë lim f (z);
z→z0
• ïîëþñîì, åñëè lim f (z) = ∞;
z→z0
• ñóùåñòâåííî îñîáîé òî÷êîé, åñëè ïðåäåë lim f (z) íå ñóùåñòâóåò.
z→z0
Îïðåäåëåíèå 5.7 (Ðåãóëÿðíàÿ è ãëàâíàÿ ÷àñòè ðÿäà Ëîðàíà â îêðåñòíîñòè êîíå÷íîé èçîëèðîâàííîé îñîáîé òî÷êè). Ïóñòü
• z0 ∈ C èçîëèðîâàííàÿ îñîáàÿ òî÷êà ôóíêöèè f (ò. å. ôóíêöèÿ f ðåãóëÿðíà â îáëàñòè
D = {z | 0 < |z − z0 | < R}, ãäå R > 0);
∞
P
• ðÿä Ëîðàíà ôóíêöèè f â îáëàñòè D ñ öåíòðîì â òî÷êå z0 èìååò âèä
cn (z − z0 )n .
n=−∞
Òîãäà
(1) ðÿä
(2) ðÿä
∞
P
n=−∞
∞
P
cn (z − z0 )n íàçûâàþò ðÿäîì Ëîðàíà ôóíêöèè f â îêðåñòíîñòè z0 ;
cn (z − z0 )n íàçûâàþò ðåãóëÿðíîé ÷àñòüþ ðÿäà Ëîðàíà;
n=0
40
À. À. Ïîæàðñêèé
(3) ðÿä
−1
P
cn (z − z0 )n íàçûâàþò ãëàâíîé ÷àñòüþ ðÿäà Ëîðàíà.
n=−∞
Îïðåäåëåíèå 5.8 (Ðåãóëÿðíàÿ è ãëàâíàÿ ÷àñòè ðÿäà Ëîðàíà â îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íî óäàëåííîé èçîëèðîâàííîé îñîáîé òî÷êè). Ïóñòü
• z0 = ∞ èçîëèðîâàííàÿ îñîáàÿ òî÷êà ôóíêöèè f (ò. å. ôóíêöèÿ f ðåãóëÿðíà â îáëàñòè
D = {z | r < |z| < +∞}, ãäå r < +∞);
∞
P
• ðÿä Ëîðàíà ôóíêöèè f â îáëàñòè D èìååò âèä f (z) =
cn z n .
n=−∞
Òîãäà
(1) ðÿä
(2) ðÿä
(3) ðÿä
∞
P
n=−∞
0
P
cn z n íàçûâàþò ðÿäîì Ëîðàíà ôóíêöèè f â îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íîñòè;
cn z n íàçûâàþò ðåãóëÿðíîé ÷àñòüþ ðÿäà Ëîðàíà â îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íîñòè;
n=−∞
∞
P
cn z n íàçûâàþò ãëàâíîé ÷àñòüþ ðÿäà Ëîðàíà â îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íîñòè.
n=1
Òåîðåìà 5.9 (Óñòðàíèìàÿ îñîáàÿ òî÷êà (íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå)). Ïóñòü z0 ∈ C
èçîëèðîâàííàÿ îñîáàÿ òî÷êà ôóíêöèè f .
Òîãäà äëÿ òîãî, ÷òîáû z0 áûëà óñòðàíèìîé îñîáîé òî÷êîé ôóíêöèè f íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ãëàâíàÿ ÷àñòü ðÿäà Ëîðàíà ôóíêöèè f â îêðåñòíîñòè òî÷êè z0 íå ñîäåðæàëà
íåòðèâèàëüíûõ ÷ëåíîâ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì äëÿ ñëó÷àÿ z0 6= ∞. Ñëó÷àé z0 = ∞ ñâîäèòñÿ ê
ðàññìàòðèâàåìîìó ñ ïîìîùüþ çàìåíû ïåðåìåííîé z = 1t .
Íåîáõîäèìîñòü (=⇒). Èç óñëîâèÿ òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ f ðåãóëÿðíà â îáëàñòè D =
{z | 0 < |z − z0 | < r}, ãäå r íåêîòîðîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Èç òåîðåìû 5.1 ñëåäóåò, ÷òî
I
1
f (ζ)
∀ n ∈ Z cn =
dζ, γ = {z | |z − z0 | = ρ} ,
(5.9)
2πi
(ζ − z0 )n+1
γ
ãäå ρ ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî èç ïðîìåæóòêà (0, r).
Òàê êàê z0 óñòðàíèìàÿ îñîáàÿ òî÷êà ôóíêöèè f , òî èç ñâîéñòâ ïðåäåëîâ ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ f îñòàåòñÿ îãðàíè÷åííîé â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè z0 . ×òîáû íå ââîäèòü íîâûå îáîçíà÷åíèÿ áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî f îãðàíè÷åíà â îáëàñòè D ïîñòîÿííîé M > 0. Îòñþäà è èç (5.9)
ñëåäóåò, ÷òî
1
∀ n ∈ Z |cn | 6
2π
I
γ
|f (ζ)|
dl 6
|ζ − z0 |n+1
max |f (ζ)| I
ζ∈γ
dζ 6
2πρn+1
M
.
ρn
(5.10)
γ
Çàìåòèì òåïåðü, ÷òî cn íå çàâèñèò îò âûáîðà ρ. Ñëåäîâàòåëüíî, ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè ρ → 0
â íåðàâåíñòâå (5.10), ïîëó÷èì, ÷òî cn = 0 ïðè n = −1, −2, . . ..
Äîñòàòî÷íîñòü (⇐=). Ðàññìîòðèì ñëó÷àé z0 6= ∞. Èç óñëîâèÿ òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî ðÿä
Ëîðàíà ôóíêöèè f ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì Òåéëîðà. Èç òåîðåìû 4.6 ñëåäóåò, ÷òî ðÿä Òåéëîðà ðåãóëÿðåí
â òî÷êå z0 è, ñëåäîâàòåëüíî ñóùåñòâóåò ïðåäåë êîíå÷íûé ïðåäåë lim f (z). z→z0
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
41
Òåîðåìà 5.10 (Ïîëþñ (íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå)). Ïóñòü z0 ∈ C èçîëèðîâàííàÿ
îñîáàÿ òî÷êà ôóíêöèè f .
Òîãäà äëÿ òîãî, ÷òîáû z0 áûëà ïîëþñîì ôóíêöèè f íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ãëàâíàÿ
÷àñòü ðÿäà Ëîðàíà ôóíêöèè f â îêðåñòíîñòè òî÷êè z0 ñîäåðæàëà êîíå÷íîå ÷èñëî íåòðèâèàëüíûõ ÷ëåíîâ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì äëÿ ñëó÷àÿ z0 6= ∞. Ñëó÷àé z0 = ∞ ñâîäèòñÿ ê
ðàññìàòðèâàåìîìó ñ ïîìîùüþ çàìåíû ïåðåìåííîé z = 1t .
Íåîáõîäèìîñòü (=⇒). Òàê êàê z0 ïîëþñ ôóíêöèè f , òî íàéäåòñÿ ïðîêîëîòàÿ îêðåñòíîñòü U
òî÷êè z0 òàêàÿ, ÷òî f ∈ H(U ) è
∀ z ∈ U |f (z)| > 1.
(5.11)
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ h =
1
f
ðåãóëÿðíà â U , ïðè÷åì
(5.12)
lim h(z) = 0.
z→z0
Ñëåäîâàòåëüíî, z0 óñòðàíèìàÿ îñîáàÿ òî÷êà ôóíêöèè h. Îòñþäà è èç òåîðåìû 5.9 ñëåäóåò, ÷òî
â ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè U ôóíêöèÿ h ìîæåò áûòü ðàçëîæåíà â ðÿä
h(z) =
∞
X
hn (z − z0 )n .
n=0
Ïðè ýòîì èç îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè h (íàïîìíèì, ÷òî h = f1 ) âûòåêàåò, ÷òî îíà íå ìîæåò áûòü
òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ. Îòñþäà è èç (5.12) ñëåäóåò, ÷òî íàéäåòñÿ íîìåð s ∈ N òàêîé, ÷òî
h0 = h1 = . . . = hs−1 = 0,
hs 6= 0.
Ïåðåïèøåì ôóíêöèþ h â âèäå
s
h(z) = (z − z0 ) ϕ(z),
ϕ(z) =
∞
X
hn (z − z0 )n−s .
n=s
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ϕ ∈ H(U ) è ϕ(z0 ) 6= 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ϕ1 ∈ H(U ) è ôóíêöèÿ
ðàçëîæåíà â ðÿä âèäà
∞
X
1
=
cn (z − z0 )n .
ϕ(z) n=0
1
ϕ(z)
ìîæåò áûòü
Ñîáèðàÿ ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû âìåñòå, ïîëó÷èì, ÷òî â ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè U òî÷êè z0
âåðíî, ÷òî
∞
∞
X
X
1
−s 1
−s
n
f (z) =
cn (z − z0 ) =
cn+s (z − z0 )n .
= (z − z0 )
= (z − z0 )
h(z)
ϕ(z)
n=0
n=−s
Äîñòàòî÷íîñòü (⇐=). Ïóñòü ðÿä Ëîðàíà ôóíêöèè f â îêðåñòíîñòè U òî÷êè z0 èìååò âèä
f (z) =
∞
X
cn (z − z0 )n ,
n=−s
ãäå s ∈ N è c−s 6= 0. Òîãäà
−s
f (z) = (z − z0 ) ϕ(z),
ϕ(z) =
∞
X
n=0
cn−s (z − z0 )n .
42
À. À. Ïîæàðñêèé
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ϕ ∈ H(U ) è lim ϕ(z) = c−s 6= 0. Ñëåäîâàòåëüíî,
z→z0
lim f (z) = c−s lim (z − z0 )−s = ∞. z→z0
z→z0
Îïðåäåëåíèå 5.11 (Ïîðÿäîê ïîëþñà â C). Ïóñòü
• z0 ∈ C ïîëþñ ôóíêöèè f ;
• ðÿä Ëîðàíà ôóíêöèè f â îêðåñòíîñòè òî÷êè z0 èìååò âèä
∞
P
cn (z − z0 )n , ãäå p > 0 è
n=−p
c−p 6= 0.
Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f èìååò â òî÷êå z0 ïîëþñ ïîðÿäêà p.
Îïðåäåëåíèå 5.12 (Ïîðÿäîê ïîëþñà â áåñêîíå÷íîñòè). Ïóñòü
• z0 = ∞ ïîëþñ ôóíêöèè f ;
• ðÿä Ëîðàíà ôóíêöèè f â îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íîñòè èìååò âèä
p
P
cn z n , ãäå p > 0 è
n=−∞
cp 6= 0.
Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f èìååò â áåñêîíå÷íîñòè ïîëþñ ïîðÿäêà p.
Òåîðåìà 5.13 (Ñóùåñòâåííî îñîáàÿ òî÷êà (íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå)). Ïóñòü z0 ∈
C èçîëèðîâàííàÿ îñîáàÿ òî÷êà ôóíêöèè f .
Òîãäà äëÿ òîãî, ÷òîáû z0 áûëà ñóùåñòâåííî îñîáîé òî÷êîé ôóíêöèè f íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ãëàâíàÿ ÷àñòü ðÿäà Ëîðàíà ôóíêöèè f â îêðåñòíîñòè òî÷êè z0 ñîäåðæàëà
áåñêîíå÷íîå ÷èñëî íåòðèâèàëüíûõ ÷ëåíîâ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñëåäóåò èç òåîðåì 5.9 è 5.10. Òåîðåìà 5.14 (Òåîðåìà Ïèêàðà).  ëþáîé îêðåñòíîñòè ñóùåñòâåííî îñîáîé òî÷êè ôóíêöèÿ
ïðèíèìàåò âñå çíà÷åíèÿ èç C çà èñêëþ÷åíèåì, áûòü ìîæåò, îäíîãî.
Äîêàçàòåëüñòâî. Áåç äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèìåð 5.15. Íàéòè âñå îñîáûå òî÷êè ôóíêöèè
f (z) =
è óêàçàòü èõ òèï.
1
1
1 − ez
1
Ðåøåíèå. Îñîáûå òî÷êè ôóíêöèè f ðàñïîëàãàþòñÿ â íóëÿõ ôóíêöèè 1 − e z , â òî÷êàõ z = 0 è
1
z = ∞. Íàéäåì íóëè ôóíêöèè 1 − e z
1
1
= 2πin, n ∈ Z ⇐⇒ z =
, n ∈ Z.
z
2πin
1
1
Ðàññìîòðèì òî÷êó zn = 2πin
, ãäå n ∈ Z. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè 1 − e z â ðÿä Òåéëîðà â îêðåñòíîñòè òî÷êè zn èìååò âèä
1
1
1 − e z = 0 ⇐⇒ e z = 1 ⇐⇒
1
e zn
1
1 − e = 2 (z − zn ) + O((z − zn )2 ) = 2 (z − z∗ ) + O((z − z∗ )2 ).
zn
zn
Îòñþäà íàõîäèì ðàçëîæåíèå ôóíêöèè f â ðÿä Ëîðàíà â îêðåñòíîñòè òî÷êè zn
1
z
f (z) =
1
1
1 − ez
=
1
1
zn2
zn2
=
=
+ O(1).
1
z − zn 1 + O(z − zn )
z − zn
(z − zn ) + O((z − zn )2 )
z2
n
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
43
Òàêèì îáðàçîì, zn ïîëþñ ïåðâîãî ïîðÿäêà äëÿ ëþáîãî n ∈ Z.
 ëþáîé îêðåñòíîñòè òî÷êè z = 0 íàõîäèòñÿ áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ïîëþñîâ zn ôóíêöèè f .
Ñëåäîâàòåëüíî, z = 0 íå èçîëèðîâàííàÿ îñîáàÿ òî÷êà.
1
 îêðåñòíîñòè òî÷êè z = ∞ ðàçëîæåíèå ôóíêöèè 1 − e z â ðÿä Ëîðàíà èìååò âèä
1
1
1
−2
1 − e z = 1 − 1 + + O(z ) = − + O(z −2 ).
z
z
Îòñþäà íàõîäèì ðàçëîæåíèå ôóíêöèè f â ðÿä Ëîðàíà â îêðåñòíîñòè òî÷êè z = ∞
1
1
1
= −z
= −z(1 + O(z −1 )) = −z + O(1).
f (z) =
1 =
1
−2
1 + O(z −1 )
− z + O(z )
1 − ez
Òàêèì îáðàçîì, z = ∞ ïîëþñ ïåðâîãî ïîðÿäêà.
n ∈ Z ïîëþñû ïåðâîãî ïîðÿäêà; z = 0 íå èçîëèðîâàííàÿ îñîáàÿ òî÷êà;
z = ∞ ïîëþñ ïåðâîãî ïîðÿäêà.
Îòâåò: z =
1
,
2πin
44
À. À. Ïîæàðñêèé
6.
Òåîðèÿ âû÷åòîâ
6.1. Âû÷åò â êîíå÷íîé òî÷êå.
Îïðåäåëåíèå 6.1 (Âû÷åò â êîíå÷íîé òî÷êå). Ïóñòü
• z0 ∈ C èçîëèðîâàííàÿ îñîáàÿ òî÷êà ôóíêöèè f ;
∞
P
• ðÿä Ëîðàíà ôóíêöèè f â îêðåñòíîñòè òî÷êè z0 èìååò âèä
cn (z − z0 )n .
n=−∞
Òîãäà âû÷åòîì ôóíêöèè f â òî÷êå z0 íàçûâàþò ÷èñëî
res f (z) = c−1 .
z=z0
Ïðèìåð 6.2. Íàéòè âû÷åò ôóíêöèè f (z) = z −5 ez â òî÷êå z0 = 0.
Ðåøåíèå. Íàéäåì ðàçëîæåíèå ôóíêöèè f â ðÿä Ëîðàíà â îêðåñòíîñòè òî÷êè z0 = 0. Ïðè
|z| > 0 ïîëó÷èì
−5 z
f (z) = z e = z
−5
∞
∞
X
1 n X 1 n−5
1 1
11
1
z =
z
= ... +
+
+ + ...
2
n!
n!
3! z
4! z 5!
n=0
n=0
Ñëåäîâàòåëüíî,
1
.
z=0
4!
2
Ïðèìåð 6.3. Íàéòè âû÷åò ôóíêöèè f (z) = z 2 −2z
â òî÷êå z0 = 2.
res z −5 ez =
Ðåøåíèå. Íàéäåì ðàçëîæåíèå ôóíêöèè f â ðÿä Ëîðàíà â îêðåñòíîñòè òî÷êè z0 = 2. Ïðè
0 < |z − 2| < 2 ïîëó÷èì
∞
X
2
1
1
1
2
=
=
− =
−
cn (z − 2)n ,
f (z) = 2
z − 2z
z(z − 2)
z−2 z
z − 2 n=0
ãäå cn êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèè z −1 â ðÿä Òåéëîðà â îêðåñòíîñòè òî÷êè z0 = 2.
Ñëåäîâàòåëüíî,
2
= 1. res 2
z=2 z − 2z
Òåîðåìà 6.4 (Âû÷èñëåíèå âû÷åòà ôóíêöèè â ïîëþñå 1-ãî ïîðÿäêà â C). Ïóñòü
• ôóíêöèè ϕ è ψ ðåãóëÿðíû â îêðåñòíîñòè òî÷êè z0 ∈ C;
• z0 íîëü ôóíêöèè ψ ïåðâîãî ïîðÿäêà.
Òîãäà
ϕ(z)
ϕ(z0 )
res
= 0
.
z=z0 ψ(z)
ψ (z0 )
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàñêëàäûâàÿ ôóíêöèè ϕ è ψ â îêðåñòíîñòè òî÷êè z0 â ðÿäû Òåéëîðà, íàéäåì
ðàçëîæåíèå ôóíêöèè
ϕ
ψ
â ðÿä Ëîðàíà â îêðåñòíîñòè z0
ϕ(z)
ϕ(z0 ) + O(z − z0 )
ϕ(z0 )
1
O(1)
= 0
= 0
·
+ 0
=
2
ψ(z)
ψ (z0 )(z − z0 ) + O((z − z0 ) )
ψ (z0 )(z − z0 ) 1 + O(z − z0 ) ψ (z0 ) + O(z − z0 )
ϕ(z0 )
= 0
+ O(1). ψ (z0 )(z − z0 )
Ïðèìåð 6.5. Íàéòè âû÷åò ôóíêöèè f (z) =
z2
sin 2z
â òî÷êå z0 = π .
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
45
Ðåøåíèå. Ïðèìåíÿÿ òåîðåìó 6.4, íàéäåì
z
z
=
res
0
z=π sin 2z
(sin 2z) 2
2
z
=
2 cos 2z 2
z=π
=
z=π
π2
.
2
Òåîðåìà 6.6 (Âû÷èñëåíèå âû÷åòà ôóíêöèè â ïîëþñå ïðîèçâîëüíî ïîðÿäêà â C). Ïóñòü ôóíê-
öèÿ f èìååò ïîëþñ ïîðÿäêà p > 0 â òî÷êå z0 ∈ C.
Òîãäà
1
dp−1 res f (z) =
lim p−1 (z − z0 )p f (z) .
z=z0
(p − 1)! z→z0 dz
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè â ðÿä Ëîðàíà â îêðåñòíîñòè òî÷êè z0 èìååò âèä
∞
X
c−p
c−1
f (z) =
cn (z − z0 )n =
+ O(1).
+ ... +
p
(z
−
z
)
z
−
z
0
0
n=−p
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè z → z0 âåðíî, ÷òî
∞
X
p
(z − z0 ) f (z) =
cn (z − z0 )n+p = c−p + . . . + c−1 (z − z0 )p−1 + O((z − z0 )p ),
n=−p
dp−1
(z − z0 )p f (z) = c−1 (p − 1)! + O((z − z0 )),
p−1
dz
1
dp−1
c−1 =
(z − z0 )p f (z) + O((z − z0 )).
(p − 1)! dz p−1
Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè z → z0 â ðàâåíñòâå (6.1), ïîëó÷èì òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå. Ïðèìåð 6.7. Íàéòè âû÷åò ôóíêöèè f (z) =
z3
(z−1)2
(6.1)
â òî÷êå z0 = 1.
Ðåøåíèå. Ïðèìåíÿÿ òåîðåìó 6.6, íàéäåì
d 3
z3
2
=
lim
z
=
3z
= 3. z→1 dz
z=1 (z − 1)2
z=1
res
6.2. Âû÷åò â áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êå.
Îïðåäåëåíèå 6.8 (Âû÷åò â áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êå). Ïóñòü
• z0 = ∞ èçîëèðîâàííàÿ îñîáàÿ òî÷êà ôóíêöèè f ;
• ðÿä Ëîðàíà ôóíêöèè f â îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íîñòè èìååò âèä
∞
P
cn z n .
n=−∞
Òîãäà âû÷åòîì ôóíêöèè f â áåñêîíå÷íîñòè íàçûâàþò ÷èñëî
res f (z) = −c−1 .
z=∞
Ïðèìåð 6.9. Íàéòè âû÷åò ôóíêöèè f (z) = z −5 ez â áåñêîíå÷íîñòè.
Ðåøåíèå. Íàéäåì ðàçëîæåíèå ôóíêöèè f â ðÿä Ëîðàíà â îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íîñòè. Ïðè
0 < |z| < ∞ ïîëó÷èì
−5 z
f (z) = z e = z
Ñëåäîâàòåëüíî,
−5
∞
∞
X
1 n X 1 n−5
1 1
11
1
z =
z
= ... +
+
+ + ...
2
n!
n!
3! z
4! z 5!
n=0
n=0
1
res z −5 ez = − . z=∞
4!
46
À. À. Ïîæàðñêèé
Ïðèìåð 6.10. Íàéòè âû÷åò ôóíêöèè f (z) =
3z+2
z 2 −2z
â áåñêîíå÷íîñòè.
Ðåøåíèå. Íàéäåì ðàçëîæåíèå ôóíêöèè f â ðÿä Ëîðàíà â îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íîñòè. Ïðè
2 < |z| < ∞ ïîëó÷èì
1
4
1
4 1
4
3
3z + 2
1
−1
=
− =
=
1
+
O(z
)
− = + O(z −2 ).
f (z) = 2
−
2
z − 2z
z−2 z
z1− z
z
z
z
z
Ñëåäîâàòåëüíî,
res
z=∞
3z + 2
= 3. z 2 − 2z
Òåîðåìà 6.11 (Âû÷èñëåíèå âû÷åòà ôóíêöèè íà áåñêîíå÷íîñòè äëÿ îãðàíè÷åííîé ôóíêöèè).
Ïóñòü z = ∞ óñòðàíèìàÿ îñîáàÿ òî÷êà ôóíêöèÿ f . Òîãäà
res f (z) = lim z(f (∞) − f (z)).
z=∞
z→∞
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè â ðÿä Ëîðàíà â îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íîñòè èìååò âèä
0
X
c−1
cn z = c0 +
+O
f (z) =
z
n=−∞
n
1
z2
c−1
+O
= f (∞) +
z
1
z2
.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè z → ∞ âåðíî, ÷òî
1
z(f (z) − f (∞)) = c−1 + O
.
z
(6.2)
Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè z → ∞ â ðàâåíñòâå (6.2), ïîëó÷èì òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå. Ïðèìåð 6.12. Íàéòè âû÷åò ôóíêöèè f (z) =
z 2 +1
z 2 +2z+5
â òî÷êå z = ∞.
Ðåøåíèå. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî
z2 + 1
f (∞) = lim 2
= 1.
z→∞ z + 2z + 5
Ïðèìåíÿÿ òåîðåìó 6.11, ïîëó÷èì
z2 + 1
z2 + 1
2z + 4
res 2
= lim z 1 − 2
= lim z 2
= 2. z=∞ z = 2z + 5
z→∞
z→∞ z + 2z + 5
z + 2z + 5
6.3. Òåîðåìà î âû÷åòàõ.
Òåîðåìà 6.13 (Âûðàæåíèå âû÷åòà ôóíêöèè â êîíå÷íîé òî÷êå ÷åðåç êîíòóðíûé èíòåãðàë).
Ïóñòü
• 0 < ρ < R;
• D = {z | 0 < |z − z0 | < R}, ãäå z0 ∈ C;
• γ ãðàíèöà êðóãà {z | |z − z0 | < ρ} ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííàÿ îòíîñèòåëüíî
ñâîåé âíóòðåííîñòè (ò. å. ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè);
• f ∈ H(D).
Òîãäà
I
1
res f (z) =
f (z) dz.
z=z0
2πi
γ
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñëåäóåò èç òåîðåìû 5.1 è îïðåäåëåíèÿ 6.1 âû÷åòà ôóíêöèè. ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
47
Òåîðåìà 6.14 (Âûðàæåíèå âû÷åòà ôóíêöèè â áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êå ÷åðåç êîíòóðíûé
èíòåãðàë). Ïóñòü
• 0 < R < ρ;
• D = {z | |z| > R};
• γ ãðàíèöà êðóãà {z | |z| < ρ} ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííàÿ îòíîñèòåëüíî âíåøíîñòè êðóãà {z | |z| < ρ} (ò. å. ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå);
• f ∈ H(D).
Òîãäà
1
res f (z) =
z=∞
2πi
I
f (z) dz.
γ
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñëåäóåò èç òåîðåìû 5.1 è îïðåäåëåíèÿ 6.8 âû÷åòà ôóíêöèè â áåñêîíå÷íî
óäàëåííîé òî÷êè. Òåîðåìà 6.15 (Òåîðåìà î âû÷åòàõ). Ïóñòü
•
•
•
•
D îãðàíè÷åííàÿ îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü â C;
E = {z1 , z2 , . . . , zn } ⊂ D, ãäå n ∈ N;
f ∈ H(D \ E) ∩ C(D \ E);
ãðàíèöà γ îáëàñòè D ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííîé êóñî÷íî-ãëàäêîé çàìêíóòîé êðèâîé.
Òîãäà
n
X
I
f (z) dz = 2πi
k=1
γ
res f (z).
z=zk
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ρ ìàëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî òàêîå, ÷òî êðóãè Dk = {z | |z−zk | < ρ}
ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ è ëåæàò â îáëàñòè D ïðè k = 1, 2, . . . , n. Ïóñòü, âìåñòå ñ ýòèì, γk ãðàíèöà êðóãà Dk ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííàÿ îòíîñèòåëüíî Dk ïðè k = 1, 2, . . . , n. Çàìåòèì
n
S
Dk è èç òåîðåìû 3.7 ñëåäóåò, ÷òî
òåïåðü, ÷òî f ðåãóëÿðíà â â îáëàñòè D \
k=1
I
f (z) dz −
n I
X
f (z) dz = 0.
(6.3)
k=1 γ
γ
k
Èç (6.3) è òåîðåìû 6.13 ïîëó÷èì, ÷òî
I
n I
n
X
X
f (z) dz =
f (z) dz = 2πi
res f (z). γ
k=1 γ
k
k=1
z=zk
Ïðèìåð 6.16. Âû÷èñëèòü èíòåãðàë
I
ez
dz.
z 2 − 4z + 3
|z|=2
Çàìå÷àíèå 6.17. Çäåñü è äàëåå ìû ïî óìîë÷àíèþ áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êîíòóð èíòåãðèðîâà-
íèÿ ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàí îòíîñèòåëüíî ñâîåé âíóòðåííîñòè.
48
À. À. Ïîæàðñêèé
Ðåøåíèå. Âíóòðè êîíòóðà èíòåãðèðîâàíèÿ íàõîäèòñÿ îäíà îñîáàÿ òî÷êà z = 1 (ïîëþñ ïåðâîãî
ïîðÿäêà). Îòñþäà è èç òåîðåìû 6.15 ñëåäóåò, ÷òî
I
ez
ez
ez
dz
=
2πi
res
=
2πi
= −πei.
z=1 z 2 − 4z + 3
z 2 − 4z + 3
(z 2 − 4z + 3)0 z=1
|z|=2
Òåîðåìà 6.18 (Òåîðåìà î ñóììå âû÷åòîâ). Ïóñòü
• E = {z1 , z2 , . . . , zn } ⊂ C, ãäå n ∈ N;
• f ∈ H(C \ E).
Òîãäà
res f (z) +
z=∞
n
X
k=1
res f (z) = 0.
z=zk
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü R > 0 òàêîå, ÷òî E ⊂ {z | |z| < R}, γ+ îêðóæíîñòü {z | |z| = R},
îðèåíòèðîâàííàÿ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, γ− îêðóæíîñòü {z | |z| = R}, îðèåíòèðîâàííàÿ ïî
÷àñîâîé ñòðåëêå. Èç òåîðåì 6.14 è 6.15 ñëåäóåò, ÷òî
I
I
n
X
0 = f (z) dz + f (z) dz = res f (z) +
res f (z). z=∞
γ−
k=1
γ+
z=zk
Ïðèìåð 6.19. Âû÷èñëèòü èíòåãðàë
I
(z 9
1
dz.
− 1)(z − 3)
|z|=2
Ðåøåíèå. Îòñþäà è èç òåîðåì 6.15 è 6.18 ñëåäóåò, ÷òî
I
(z 9
1
1
1
2πi
dz = −2πi res 9
− 2πi res 9
=− 9
.
z=3 (z − 1)(z − 3)
z=∞ (z − 1)(z − 3)
− 1)(z − 3)
3 −1
|z|=2
6.4. Ñâåäåíèÿ, ïîëåçíûå äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ ïî âû÷åòàì.
Òåîðåìà 6.20 (Îöåíêà èíòåãðàëà ïî ïîëóîêðóæíîñòè áåñêîíå÷íî áîëüøîãî ðàäèóñà). Ïóñòü
• D = {z | Im z > 0, |z| > R}, ãäå R > 0;
• f ∈ C(D);
• γρ = {z | Im z > 0, |z| = ρ}, ãäå ρ > R;
• lim max |z||f (z)| = 0.
ρ→+∞ z∈γρ
Òîãäà
Z
lim
f (z) dz = 0.
ρ→+∞
γρ
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðè ρ > R ñïðàâåäëèâà îöåíêà
Z
Z
Z
1
f (z) dz 6 |f (z)| |dz| 6 max |z||f (z)|
|dz| = π max |z||f (z)|.
z∈γρ
z∈γρ
|z|
γρ
γρ
γρ
Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè ρ → +∞ â îöåíêå (6.4), ïîëó÷èì òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå. (6.4)
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
49
Òåîðåìà 6.21 (Îöåíêà èíòåãðàëà ïî ïîëóîêðóæíîñòè áåñêîíå÷íî ìàëîãî ðàäèóñà). Ïóñòü
• D = {z | Im z > 0, 0 < |z| 6 R}, ãäå R > 0;
• f ∈ C(D);
• γρ = {z | Im z > 0, |z| = ρ}, ãäå 0 < ρ < R;
• lim max |z||f (z)| = 0.
ρ→+0 z∈γρ
Òîãäà
Z
f (z) dz = 0.
lim
ρ→+0
γρ
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðè ρ 6 R ñïðàâåäëèâà îöåíêà (6.4). Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè ρ → +0 â
îöåíêå (6.4), ïîëó÷èì òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå. Òåîðåìà 6.22 (Ëåììà Æîðäàíà). Ïóñòü
•
•
•
•
α > 0;
D = {z | Im z > 0, |z| > R}, ãäå R > 0;
f ∈ C(D);
γρ = {z | Im z > 0, |z| = ρ}, ãäå ρ > R;
• lim max |f (z)| = 0.
ρ→+∞ z∈γρ
Òîãäà
Z
lim
ρ→+∞
f (z)eiαz dz = 0.
γρ
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òî ïðè ϕ ∈ [0, π2 ] ñïðàâåäëèâà îöåíêà sin ϕ >
Mρ = max |f (z)| ïîëó÷èì, ÷òî
2
ϕ.
π
Äàëåå, ïîëàãàÿ
z∈γρ
π
Z
Z
Zπ
Z2
f (z)eiαz dz 6 Mρ |eiαz | |dz| = [z = ρeiϕ ] = Mρ ρ e−αρ sin ϕ dϕ = 2Mρ ρ e−αρ sin ϕ dϕ 6
γρ
γρ
0
π
2
Z
6 2Mρ ρ
− 2α
ρϕ
π
e
0
0
π
Mρ π
Mρ π
π − 2α ρϕ 2
1 − e−αρ 6
.
dϕ = −2Mρ e π =
2α
α
α
0
Ïåðåõîäÿ â ïîñëåäíåé îöåíêå ê ïðåäåëó ïðè ρ → +∞, ïîëó÷èì òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå. 6.5. Âû÷èñëåíèå èíòåãðàëîâ îò òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé ïî ïåðèîäó.
Òåîðåìà 6.23 (Âû÷èñëåíèå èíòåãðàëà îò òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôóíêöèè ïî ïåðèîäó). Ïóñòü
• D = {z | |z| < 1};
• E = {z0 , z1 , z2 , . . . , zn } ⊂ D, ãäå z0 = 0 è n ∈ N;
• F ∈ H(D \ E) ∩ C(D \ E).
Òîãäà
Z2π
n
X
F (z)
iϕ
F (e ) dϕ = 2π
res
.
z=zk
z
k=0
0
50
À. À. Ïîæàðñêèé
Äîêàçàòåëüñòâî. Âûïîëíÿÿ çàìåíó ïåðåìåííûõ, è, çàòåì, èñïîëüçóÿ òåîðåìó 6.15 î âû÷åòàõ,
ïîëó÷èì
Z2π
0
I
n
h
i
X
F (z)
dz
iϕ
.
F (e ) dϕ = z = e , dz = izdϕ =
F (z) = 2π
res
z=zk
iz
z
k=0
iϕ
|z|=1
Ïðèìåð 6.24. Âû÷èñëèòü èíòåãðàë
Z2π
1
dϕ.
2 + eiϕ
0
Ðåøåíèå.
Z2π
I
1
dϕ = [z = eiϕ ] =
iϕ
2+e
0
1 dz
1
= 2π res
= π. z=0 (2 + z)z
2 + z iz
|z|=1
Ïðèìåð 6.25. Âû÷èñëèòü èíòåãðàë
Z2π
1
dϕ,
a2 sin ϕ + b2 cos2 ϕ
2
0
ãäå a > 0 è b > 0.
Ðåøåíèå. Ïðåîáðàçóåì ïîäûíòåãðàëüíóþ ôóíêöèþ ñ ïîìîùüþ ôîðìóë Ýéëåðà
a2
4
1
=
=
2
2iϕ
−2iϕ
2
2
−a (e − 2 + e
) + b2 (e2iϕ + 2 + e−2iϕ )
sin ϕ + b cos ϕ
4e2iϕ
.
= 2
(b − a2 )e4iϕ + 2(a2 + b2 )e2iϕ + (b2 − a2 )
2
Äàëåå, çàìåòèì, ÷òî çàìåíà ïåðåìåííûõ z = e2iϕ çäåñü áîëåå óäîáíà. Îòñþäà
Z2π
Zπ
h
i
1
1
1
2iϕ
dϕ =
dϕ = z = e , dz = 2iz dϕ =
2
a2 sin2 ϕ + b2 cos2 ϕ
a2 sin2 ϕ + b2 cos2 ϕ
0
0
Z
Z
1
4z
dz
1
dz
=
=
.
2
(b2 − a2 )z 2 + 2(a2 + b2 )z + (b2 − a2 ) 2iz
i
(b2 − a2 )z 2 + 2(a2 + b2 )z + (b2 − a2 )
|z|=1
|z|=1
Íàéäåì êîðíè ïîëèíîìà p(z) = (b2 − a2 )z 2 + 2(a2 + b2 )z + (b2 − a2 )
p
−(a2 + b2 ) ± (a2 + b2 )2 − (b2 − a2 )2
−a2 ± 2ab − b2
(a ∓ b)2
z± =
=
=
−
,
b 2 − a2
2(a2 + b2 )
b 2 − a2
a−b
a+b
, z− =
.
a+b
a−b
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî 0 6 |z+ | < 1 < |z− | 6 ∞. Ñëåäîâàòåëüíî,
z+ =
Z2π
0
1
1
dϕ
=
2
i
a2 sin ϕ + b2 cos2 ϕ
Z
|z|=1
dz
1
2π
π
= 2π res
= 0
=
.
z=z+ p(z)
p(z)
p (z+ )
2ab
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
51
6.6. Âû÷èñëåíèå èíòåãðàëîâ îò ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé ïî âåùåñòâåííîé îñè.
Òåîðåìà 6.26 (Âû÷èñëåíèå èíòåãðàëîâ îò ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé ïî âåùåñòâåííîé îñè).
Ïóñòü
• R ðàöèîíàëüíàÿ
ôóíêöèÿ;
1
• R(z) = O z2 ïðè z → ∞;
• îñîáûå òî÷êè R íå ëåæàò íà âåùåñòâåííîé îñè;
• E+ = {z1+ , z2+ , . . . , zn+ } ìíîæåñòâî îñîáûõ òî÷åê ôóíêöèè R â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè,
ãäå n ∈ N;
−
• E− = {z1− , z2− , . . . , zm
} ìíîæåñòâî îñîáûõ òî÷åê ôóíêöèè R â íèæíåé ïîëóïëîñêîñòè,
ãäå m ∈ N;
• ρ > 0 òàêîå, ÷òî E+ ∪ E− ⊂ {z | |z| < ρ};
• γ+ ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííàÿ ãðàíèöà ïîëóêðóãà {z | |z| < ρ, Im(z) > 0}, ñì.
ðèñóíîê 3;
• γ− îòðèöàòåëüíî îðèåíòèðîâàííàÿ ãðàíèöà ïîëóêðóãà {z | |z| < ρ, Im(z) < 0}, ñì.
ðèñóíîê 4.
Òîãäà
Z
Z
Z
R(x) dx =
R(z) dz =
γ+
R
Ðèñ. 3. Êîíòóð γ+ âûäåëåí êðàñíûì öâåòîì.
R(z) dz.
γ−
Ðèñ. 4. Êîíòóð γ− âûäåëåí êðàñíûì öâåòîì.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì ïåðâîå ðàâåíñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî âòîðîãî ïðîâîäèòñÿ àíàëîãè÷íî.
Ïóñòü γr ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííàÿ ãðàíèöà ïîëóêðóãà {z | |z| < r, Im(z) > 0}, ãäå r > ρ.
Èç òåîðåìû 6.15 ñëåäóåò, ÷òî
Z
Z
n
X
R(z) dz = R(z) dz = 2πi
res R(z).
γ+
k=1
γr
z=zk
Âìåñòå ñ ýòèì ëåãêî âèäåòü, ÷òî
Z
Zr
Z
R(z) dz = R(x) dx + R(z) dz,
γr
−r
Cr+
52
À. À. Ïîæàðñêèé
ãäå Cr+ âåðõíÿÿ ïîëóîêðóæíîñòü ðàäèóñà r. Îòñþäà è èç òåîðåìû 6.20 ñëåäóåò, ÷òî
Z
Zr
Z
Z
Z
R(z) dz = lim
R(z) dz = lim
R(x) dx + lim
R(z) dz = R(x) dx. r→+∞
r→+∞
−r
γr
γ+
r→+∞
Cr+
R
Ïðèìåð 6.27. Âû÷èñëèòü èíòåãðàë
Z
x2
1
dx,
+ a2
a > 0.
R
Ðåøåíèå. Çàìûêàÿ êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ ñâåðõó, èç òåîðåìû 6.26 ïîëó÷èì, ÷òî
Z
1
dx =
2
x + a2
Z
z2
1
1
π
1
= ,
dz = 2πi res 2
= 2πi
2
2
z=ia z + a
+a
2ia
a
γ+
R
ãäå êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ γ+ èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 3. Ïðèìåð 6.28. Âû÷èñëèòü èíòåãðàë
Z
1
dx.
(x − 2i)4 (x + i)
R
Ðåøåíèå. Çàìûêàÿ êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ ñíèçó, èç òåîðåìû 6.26 ïîëó÷èì, ÷òî
Z
1
dx =
(x − 2i)4 (x + i)
Z
1
2πi
1
dz = −2πi res
=−
,
4
4
z=−i (z − 2i) (z + i)
(z − 2i) (z + i)
81
γ−
R
ãäå êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ γ− èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 4.
Îòìåòèì, ÷òî êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ γ− îáõîäèòñÿ ïðîòèâ õîäà ÷àñîâîé ñòðåëêè, ïîýòîìó â
ïðè âû÷èñëåíèè èíòåãðàëà ïî âû÷åòàì âîçíèêàåò çíàê ìèíóñ. Êðîìå òîãî, êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ ìîæíî áûëî çàìûêàòü ñâåðõó è âû÷èñëÿòü èíòåãðàë ïî γ+ , îäíàêî â ýòîì ñëó÷àå ïðèøëîñü
áû âû÷èñëÿòü âû÷åò â ïîëþñå ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà. Ïðèìåð 6.29. Ïóñòü f îãðàíè÷åííàÿ ðåãóëÿðíàÿ ôóíêöèÿ â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè. Âû÷èñ-
ëèòü èíòåãðàë
Z
f (x)
dx.
x2 + 1
R
Ðåøåíèå. Ïî àíàëîãèè ñ äîêàçàòåëüñòâîì òåîðåìû 6.26 ìîæíî ïîëó÷èòü, ÷òî
Z
R
f (x)
dx =
x2 + 1
Z
f (z)
f (z)
dz
=
2πi
res
= πf (i),
z=i z 2 + 1
z2 + 1
γ+
ãäå êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ γ+ èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 3.
Îòìåòèì, ÷òî â äàííîì ïðèìåðå çàìûêàòü êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ ñíèçó íåëüçÿ, ïîòîìó ÷òî
ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ íå îïðåäåëåíà â íèæíåé ïîëóïëîñêîñòè. ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
53
6.7. Âû÷èñëåíèå èíòåãðàëîâ, ñîäåðæàùèõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè, ïî âåùåñòâåííîé îñè.
Òåîðåìà 6.30 (Âû÷èñëåíèå èíòåãðàëîâ, ñîäåðæàùèõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè, ïî âåùåñòâåííîé îñè). Ïóñòü
•
•
•
•
•
•
•
•
•
R ðàöèîíàëüíàÿ
ôóíêöèÿ;
R(z) = O z1 ïðè z → ∞;
îñîáûå òî÷êè R íå ëåæàò íà âåùåñòâåííîé îñè;
E+ = {z1+ , z2+ , . . . , zn+ } ìíîæåñòâî îñîáûõ òî÷åê ôóíêöèè R â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè,
ãäå n ∈ N;
−
E− = {z1− , z2− , . . . , zm
} ìíîæåñòâî îñîáûõ òî÷åê ôóíêöèè R â íèæíåé ïîëóïëîñêîñòè,
ãäå m ∈ N;
ρ > 0 òàêîå, ÷òî E+ ∪ E− ⊂ {z | |z| < ρ};
γ+ ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííàÿ ãðàíèöà ïîëóêðóãà {z | |z| < ρ, Im(z) > 0};
γ− îòðèöàòåëüíî îðèåíòèðîâàííàÿ ãðàíèöà ïîëóêðóãà {z | |z| < ρ, Im(z) < 0};
α > 0.
Òîãäà
Z
iαx
R(x)e
Z
R(z)e
dx =
iαz
Z
R(x)e
dz,
γ+
R
−iαx
Z
dx =
R(z)e−iαz dz.
γ−
R
Çàìå÷àíèå 6.31. Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ eiαz óáûâàåò ïðè z → +i∞ (âåðõíÿÿ ïîëóïëîñ-
êîñòü), â òî âðåìÿ êàê ôóíêöèÿ e−iαz óáûâàåò ïðè z → −i∞ (íèæíÿÿ ïîëóïëîñêîñòü).
Ãðóáî ãîâîðÿ, êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ íóæíî çàìûêàòü â òîé ïîëóïëîñêîñòè, â êîòîðîé
óáûâàåò ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì ïåðâîå ðàâåíñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî âòîðîãî ïðîâîäèòñÿ àíàëîãè÷íî.
Ïóñòü γr ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííàÿ ãðàíèöà ïîëóêðóãà {z | |z| < r, Im(z) > 0}, ãäå r > ρ.
Èç òåîðåìû 6.15 ñëåäóåò, ÷òî
Z
Z
n
X
iαz
iαz
res R(z)eiαz .
R(z)e dz = R(z)e dz = 2πi
γ+
k=1
γr
z=zk
Âìåñòå ñ ýòèì ëåãêî âèäåòü, ÷òî
Z
iαz
R(z)e
Zr
dz =
R(x)e
iαx
Z
−r
γr
R(z)eiαz dz,
dx +
Cr+
ãäå Cr+ âåðõíÿÿ ïîëóîêðóæíîñòü ðàäèóñà r. Îòñþäà è èç òåîðåìû 6.22 (ëåììà Æîðäàíà)
ñëåäóåò, ÷òî
Z
R(z)e
iαz
Z
dz = lim
R(z)e
r→+∞
γ+
iαz
Zr
dz = lim
γr
Z
=
R
R(x)eiαx dx. r→+∞
−r
iαx
R(x)e
Z
dx + lim
r→+∞
Cr+
R(z)eiαz dz =
54
À. À. Ïîæàðñêèé
Ïðèìåð 6.32. Âû÷èñëèòü èíòåãðàë
Z
cos x
dx,
x 2 + a2
a > 0.
R
Ðåøåíèå. Èç òåîðåìû 6.30 ïîëó÷èì, ÷òî

ix



e
e
eiz
cos x




dx = Re
dx = Re
dx = Re 2πi res 2
=
z=ia z + a2
x 2 + a2
x 2 + a2
z 2 + a2
γ+
R
R
e−a
π
= Re 2πi
= a,
2ia
ae
ãäå êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ γ+ èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 3. Z
Z
Z
iz
Ïðèìåð 6.33. Âû÷èñëèòü èíòåãðàë
Z
x2
sin x
dx.
+ ix + 2
R
Ðåøåíèå. Èç òåîðåìû 6.30 ïîëó÷èì, ÷òî
Z
Z
sin x
1
eix
1
e−ix
dx
=
dx
−
dx =
x2 + ix + 2
2i
x2 + ix + 2
2i
x2 + ix + 2
R
R
R
Z
Z
iz
−iz
1
1
eiz
e−iz
e
e
=
dz
−
dz
=
π
res
−
π
res
=
z=i z 2 + iz + 2
z=−2i z 2 + iz + 2
2i
z 2 + iz + 2
2i
z 2 + iz + 2
Z
γ+
γ−
e−1
e−2
πi
−π
= − (e−1 + e−2 ),
3i
−3i
3
ãäå êîíòóðû èíòåãðèðîâàíèÿ γ+ è γ− èçîáðàæåíû íà ðèñóíêàõ 3 è 4 ñîîòâåòñòâåííî. =π
6.8. Âû÷èñëåíèå èíòåãðàëîâ, ñîäåðæàùèõ óñòðàíèìûå îñîáåííîñòè íà êîíòóðå èíòåãðèðîâàíèÿ.
Ïðèìåð 6.34. Âû÷èñëèòü èíòåãðàë
Z
sin x
dx.
x
(6.5)
R
Ðåøåíèå. Ïðîâåðèì, ÷òî ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ èìååò óñòðàíèìóþ îñîáóþ òî÷êó â îêðåñò-
íîñòè íóëÿ
sin z
z + O(z 3 )
=
= 1 + O(z 2 ).
z
z
Òàêèì îáðàçîì, èíòåãðàë (6.5) êîððåêòíî îïðåäåëåí.
Ïîñêîëüêó ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ñîäåðæèò òðèãîíîìåòðè÷åñêóþ ôóíêöèþ sin x, òî äëÿ
âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà (6.5) íàì òàê èëè èíà÷å íåîáõîäèìî áóäåò âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé 6.22
(ëåììà Æîðäàíà).  ñâîþ î÷åðåäü, äëÿ òîãî ÷òîáû âîñïîëüçîâàòüñÿ ëåììîé Æîðäàíà íàì íåîáõîäèìî ðàçáèòü èíòåãðàë (6.5) â ñóììó òàê, ÷òîáû ðàçíåñòè ýêñïîíåíòû eix è e−ix , ñîäåðæàùèåñÿ
â ñèíóñå, ïî ðàçíûì èíòåãðàëàì. Ïðÿìîëèíåéíûé ñïîñîá ðàçáèåíèÿ èíòåãðàëà (6.5) â ñóììó
Z
Z ix
Z −ix
1
sin x
e
e
? 1
dx =
dx −
dx
(6.6)
x
2i
x
2i
x
R
R
R
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
55
íåìåäëåííî ïðèâîäèò ê îøèáêå, ïîñêîëüêó êàæäûé èç èíòåãðàëîâ, ñòîÿùèõ â ïðàâîé ÷àñòè (6.6), ñîäåðæèò íå èíòåãðèðóåìóþ
îñîáåííîñòü â íóëå.
Îáîéòè óêàçàííóþ òðóäíîñòü ìîæíî ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Ôóíêöèÿ sinz z ðåãóëÿðíà âî âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, â òîì
Ðèñ. 5. Êîíòóð γ âûäåëåí ÷èñëå è â îêðåñòíîñòè íóëÿ. Ïðîäåôîðìèðóåì êîíòóð èíòåãðèêðàñíûì öâåòîì.
ðîâàíèÿ â îêðåñòíîñòè íóëÿ âíèç, ñì. ðèñóíîê 5. Ïðè òàêîé äåôîðìàöèè êîíòóðà, â ñèëó òåîðåìû Êîøè 3.6, çíà÷åíèå èíòåãðàëà (6.5) íå èçìåíèòñÿ. Îòñþäà
Z
Z
Z iz
Z −iz
sin z
sin x
1
e
1
e
dx =
dz =
dz −
dz =
x
z
2i
z
2i
z
γ
R
=
1
2i
γ
Z
iz
e
1
dz −
z
2i
γ+
γ
Z
−iz
e
eiz
− 0 = π,
z=0 z
dz = π res
z
γ−
ãäå êîíòóðû èíòåãðèðîâàíèÿ γ+ è γ− èçîáðàæåíû íà ðèñóíêàõ 6 è 7.
Ðèñ. 6. Êîíòóð γ+ âûäåëåí êðàñíûì öâåòîì.
Ðèñ. 7. Êîíòóð γ− âûäåëåí êðàñíûì öâåòîì.
e−iz
z
dz ñîãëàñíî òåîðåìå 6.30 ìû çàìêíóR iz
ëè êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ ñíèçó (íåëüçÿ ñâåðõó) è èíòåãðàëà ez dz ñîãëàñíî òåîðåìå 6.30 Îòäåëüíî îòìåòèì, ÷òî ïðè âû÷èñëåíèè èíòåãðàëà
R
γ
γ
ñâåðõó (íåëüçÿ ñíèçó). 6.9. Èíòåãðàë â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ.
Îïðåäåëåíèå 6.35 (Èíòåãðàë â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ (â îêðåñòíîñòè êîíå÷íîé îñîáîé
òî÷êè)). Ïóñòü
• −∞ < a < c < b < +∞;
• f ∈ C[a, c) ∩ C(c, b].
Èíòåãðàëîì â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ îò ôóíêöèè f ïî îòðåçêó [a, b] íàçûâàþò âåëè÷èíó
 c−ε

Zb
Z
Zb
v.p. f (x) dx = lim  f (x) dx +
f (x) dx ,
(6.7)
ε→+0
a
a
åñëè ïðåäåë â ïðàâîé ÷àñòè (6.7) ñóùåñòâóåò.
c+ε
56
À. À. Ïîæàðñêèé
Òåîðåìà 6.36 (Âû÷èñëåíèå èíòåãðàëîâ â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ (â îêðåñòíîñòè êîíå÷íîé
îñîáîé òî÷êè)). Ïóñòü
• −∞ < a < c < b < +∞;
• D îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü;
• [a, b] ⊂ D;
• f ∈ H(D \ {c});
• c ïîëþñ ïåðâîãî ïîðÿäêà ôóíêöèè f ;
• γ+ ãëàäêèé êîíòóð â D, ïîëó÷åííûé ïóòåì äåôîðìàöèè îòðåçêà [a, b] ââåðõ â îòíîñèòåëüíî ìàëîé îêðåñòíîñòè òî÷êè c, ñì. ðèñóíîê 8;
• γ− ãëàäêèé êîíòóð â D, ïîëó÷åííûé ïóòåì äåôîðìàöèè îòðåçêà [a, b] âíèç â îòíîñèòåëüíî ìàëîé îêðåñòíîñòè òî÷êè c, ñì. ðèñóíîê 9.
Òîãäà
Zb
Z
Z
v.p. f (x) dx = f (z) dz + πi res f (z) = f (z) dz − πi res f (z).
z=c
a
z=c
γ+
γ−
Ðèñ. 8. Êîíòóð γ+ âûäåëåí êðàñíûì öâåòîì.
Ðèñ. 9. Êîíòóð γ− âûäåëåí êðàñíûì öâåòîì.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ε ìàëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî è
Cε = {z | |z − c| = ε, Im z > 0},
γε = [a, c − ε] ∪ Cε ∪ [c + ε, b].
Ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ïîëóîêðóæíîñòü Cε îðèåíòèðîâàíà ïî õîäó ÷àñîâîé ñòðåëêè, à
îðèåíòàöèÿ êîíòóðà γε ñîîòâåòñòâóåò íàïðàâëåíèþ äâèæåíèÿ îò òî÷êè a ê òî÷êå b.
Èç òåîðåìû 3.3 (èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà Êîøè) ñëåäóåò, ÷òî
Z
Z
f (z) dz =
γ+
Zc−ε
Z
Zb
f (z) dz =
f (x) dx + f (z) dz +
f (x) dx.
γε
a
c+ε
Cε
Îòñþäà
Zc−ε
Zb
Z
Z
f (x) dx +
f (x) dx = f (z) dz − f (z) dz.
a
c+ε
γ+
Cε
Ïðè z → c ñïðàâåäëèâî ðàçëîæåíèå
c−1
f (z) =
+ O(1), c−1 = res f (z).
z=c
z−c
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ε → +0 âåðíî, ÷òî
Z
Z
Z
c−1
c−1
f (z) dz =
+ O(1) dz =
dz + O(ε) = −πic−1 + O(ε).
z−c
z−c
Cε
Cε
Cε
(6.8)
(6.9)
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè ε → +0 â ðàâåíñòâå (6.9), ïîëó÷èì, ÷òî
Z
f (z) dz = −πi res f (z).
lim
(6.10)
z=c
ε→+0
57
Cε
Èç (6.10) ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ïðåäåë ïðè ε → +0 â ïðàâîé, à, ñëåäîâàòåëüíî, è â ëåâîé,
÷àñòÿõ ðàâåíñòâà (6.8). Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè ε → +0 â ðàâåíñòâå (6.8), ïîëó÷èì, ÷òî
 c−ε

Z
Zb
Z
lim  f (x) dx +
f (x) dx = f (z) dz + πi res f (z).
z=c
ε→+0
a
c+ε
γ+
Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî
 c−ε

Z
Zb
Z
lim  f (x) dx +
f (x) dx = f (z) dz − πi res f (z). z=c
ε→+0
a
c+ε
γ−
Ïðèìåð 6.37. Âû÷èñëèòü èíòåãðàë â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ
Z
v.p.
1
dx.
(x + 1)(x2 + 1)
R
Ðåøåíèå. Ôóíêöèÿ
1
(z + 1)(z 2 + 1)
èíòåãðèðóåìà â îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íîñòè è èìååò íà êîíòóðå èíòåãðèðîâàíèÿ ïîëþñ ïåðâîãî
ïîðÿäêà â òî÷êå z = −1. Èç òåîðåìû 6.36 ñëåäóåò, ÷òî
Z
Z
1
1
1
dx =
dz + πi res
,
(6.11)
v.p.
2
2
z=−1
(x + 1)(x + 1)
(z + 1)(z + 1)
(z + 1)(z 2 + 1)
f (z) =
γ+
R
ãäå êîíòóð γ+ ïîëó÷åí ïóòåì äåôîðìàöèè âåùåñòâåííîé îñè ââåðõ â îòíîñèòåëüíî ìàëîé îêðåñòíîñòè òî÷êè z = −1.
Çàìûêàÿ êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ ñâåðõó, èç òåîðåìû 6.26 ïîëó÷èì, ÷òî
Z
1
1
1
π
dz
=
2πi
res
=
2πi
=
.
z=i (z + 1)(z 2 + 1)
(z + 1)(z 2 + 1)
(z + 1)2z z=i 1 + i
γ+
Êðîìå òîãî, ëåãêî âèäåòü, ÷òî
1
1
= .
2
z=−1 (z + 1)(z + 1)
2
Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ â ôîðìóëó (6.11), íàéäåì
Z
1
π
πi
π
dx =
+
= .
v.p.
2
(x + 1)(x + 1)
1+i
2
2
res
R
58
À. À. Ïîæàðñêèé
Îïðåäåëåíèå 6.38 (Èíòåãðàë â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ (â îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êè)). Ïóñòü
• f ∈ C(R).
Èíòåãðàëîì â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ îò ôóíêöèè f ïî âåùåñòâåííîé îñè íàçûâàþò
âåëè÷èíó
ZR
Z
f (x) dx,
(6.12)
v.p. f (x) dx = lim
R→+∞
−R
R
åñëè ïðåäåë â ïðàâîé ÷àñòè (6.12) ñóùåñòâóåò.
Òåîðåìà 6.39 (Âû÷èñëåíèå èíòåãðàëîâ â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ (â îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íî
óäàëåííîé òî÷êè)). Ïóñòü
R ðàöèîíàëüíàÿ
ôóíêöèÿ;
R(z) = O z1 ïðè z → ∞;
îñîáûå òî÷êè R íå ëåæàò íà âåùåñòâåííîé îñè;
ρ > 0 òàêîå, ÷òî R íå èìååò îñîáûõ òî÷åê ïðè |z| > ρ;
γ+ ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííàÿ ãðàíèöà ïîëóêðóãà {z | |z| < ρ, Im(z) > 0}, ñì.
ðèñóíîê 3;
• γ− îòðèöàòåëüíî îðèåíòèðîâàííàÿ ãðàíèöà ïîëóêðóãà {z | |z| < ρ, Im(z) < 0}, ñì.
ðèñóíîê 4.
Òîãäà
Z
Z
Z
•
•
•
•
•
z=∞
z=∞
γ−
γ+
R
f (z) dz − πi res f (z).
f (z) dz + πi res f (z) =
f (x) dx =
v.p.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü R > ρ è
CR = {z | |z| = R, Im z > 0},
γR = [−R, R] ∪ CR .
Ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ïîëóîêðóæíîñòü CR è êîíòóð γR îðèåíòèðîâàíû ïðîòèâ õîäà
÷àñîâîé ñòðåëêè.
Èç òåîðåìû 3.3 (èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà Êîøè) ñëåäóåò, ÷òî
Z
ZR
Z
f (z) dz =
γ+
f (z) dz =
Z
f (x) dx +
−R
γR
f (z) dz.
CR
Îòñþäà
ZR
Z
f (z) dz −
f (x) dx =
−R
Z
γ+
f (z) dz.
(6.13)
CR
Ïðè z → ∞ ñïðàâåäëèâî ðàçëîæåíèå
c−1
f (z) = −
+O
z
1
z2
,
c−1 = res f (z).
z=∞
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè R → +∞ âåðíî, ÷òî
Z
Z Z
c−1
1
c−1
1
1
f (z) dz =
−
+O
dz = −
dz + O
= −πic−1 + O
.
2
z
z
z
R
R
CR
CR
CR
(6.14)
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè R → +∞ â ðàâåíñòâå (6.14), ïîëó÷èì, ÷òî
Z
lim
f (z) dz = −πi res f (z).
(6.15)
z=∞
R→+∞
CR
59
Èç (6.15) ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ïðåäåë ïðè R → +∞ â ïðàâîé, à, ñëåäîâàòåëüíî, è â ëåâîé,
÷àñòÿõ ðàâåíñòâà (6.13). Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè R → +∞ â ðàâåíñòâå (6.13), ïîëó÷èì, ÷òî
ZR
Z
v.p.
f (x) dx = lim
R→+∞
−R
R
Z
f (z) dz + πi res f (z).
f (x) dx =
z=∞
γ+
Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî
Z
Z
v.p. f (x) dx = f (z) dz − πi res f (z). z=∞
γ−
R
Ïðèìåð 6.40. Âû÷èñëèòü èíòåãðàë â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ
Z
v.p.
x2
x
dx.
+ 3ix − 2
R
Ðåøåíèå. Ôóíêöèÿ
z
z 2 + 3iz − 2
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû 6.39. Ñëåäîâàòåëüíî,
Z
Z
x
z
z
v.p.
dx =
dz + πi res 2
,
2
2
z=∞ z + 3iz − 2
x + 3ix − 2
z + 3iz − 2
f (z) =
(6.16)
γ+
R
ãäå γ+ ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííàÿ ãðàíèöà ïîëóêðóãà {z | |z| < 3, Im(z) > 0} (îñîáåííîñòè ôóíêöèè f ðàñïîëàãàþòñÿ â òî÷êàõ −i è −2i).
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî
Z
z
dz = 0
2
z + 3iz − 2
γ+
è
z
1
= res = −1.
+ 3iz − 2 z=∞ z
Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ â ôîðìóëó (6.16), íàéäåì
Z
x
dx = −πi. v.p.
2
x + 3ix − 2
res
z=∞ z 2
R
60
À. À. Ïîæàðñêèé
7.
Ïðèíöèï àðãóìåíòà
7.1. Ïðèíöèï àðãóìåíòà.
Îïðåäåëåíèå 7.1 (Èíäåêñ ôóíêöèè íà êðèâîé). Ïóñòü
• γ çàìêíóòàÿ îðèåíòèðîâàííàÿ êóñî÷íî-ãëàäêàÿ êðèâàÿ â C;
• f íåïðåðûâíàÿ êîìïëåêñíî-çíà÷íàÿ ôóíêöèÿ íà êðèâîé γ ;
• ∀ z ∈ γ f (z) 6= 0.
Èíäåêñîì ôóíêöèè f íà êðèâîé γ íàçûâàþò öåëîå ÷èñëî
1
∆γ arg f,
2π
ãäå ∆γ arg f ïðèðàùåíèå íåïðåðûâíîé âåòâè àðãóìåíòà ôóíêöèè f (z) ïîñëå îäíîêðàòíîãî
îáõîäà òî÷êîé z êðèâîé γ â íàïðàâëåíèè çàäàííîì îðèåíòàöèåé íà êðèâîé γ .
Äðóãèìè ñëîâàìè, èíäåêñ ôóíêöèè f íà êðèâîé γ ýòî ÷èñëî îáîðîòîâ òî÷êè f (z) âîêðóã
íà÷àëà êîîðäèíàò, îòñ÷èòûâàåìûå ïðîòèâ õîäà ÷àñîâîé ñòðåëêè, ïðè îäíîêðàòíîì îáõîäå
òî÷êîé z êðèâîé γ â íàïðàâëåíèè çàäàííîì îðèåíòàöèåé íà êðèâîé γ .
ind(f, γ) =
Ðèñ. 10. ind(f, γ) = 1.
Ðèñ. 11. ind(f, γ) = −2.
Ðèñ. 12. ind(f, γ) = 0.
Ïðèìåð 7.2. Íà ðèñóíêàõ 10 12 èçîáðàæåíû ïðèìåðû îáðàçîâ íåêîòîðîé êðèâîé γ ïðè ïîäõîäÿùåì îòîáðàæåíèè f , à òàêæå ïðèâåäåíî ñîîòâåòñòâóþùåå çíà÷åíèå èíäåêñà.
Òåîðåìà 7.3 (Ïðèíöèï àðãóìåíòà). Ïóñòü
• D îãðàíè÷åííàÿ îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü â C;
• ãðàíèöà γ îáëàñòè D ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííîé êóñî÷íî-ãëàäêîé çàìêíóòîé êðèâîé;
• E = {a1 , a2 , . . . , an } ⊂ D, ãäå n ∈ N;
• f ∈ H(D \ E) ∩ C(D \ E);
• E ìíîæåñòâî ïîëþñîâ ôóíêöèè f (ñóùåñòâåííî îñîáûå òî÷êè èñêëþ÷àþòñÿ);
• ∀ z ∈ γ f (z) 6= 0;
• N ÷èñëî íóëåé ôóíêöèè f â îáëàñòè D, ïðè÷åì êàæäûé íóëü áåðåòñÿ ñòîëüêî ðàç,
êàêîâ åãî ïîðÿäîê;
• P ÷èñëî ïîëþñîâ ôóíêöèè f â îáëàñòè D, ïðè÷åì êàæäûé ïîëþñ áåðåòñÿ ñòîëüêî
ðàç, êàêîâ åãî ïîðÿäîê.
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
61
Òîãäà
ind(f, γ) = N − P.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà âáëèçè êðèâîé γ , ïîýòîìó ñóùåñòâóåò äîñòàòî÷íî
áëèçêàÿ ê íåé êðèâàÿ γε , ðàñïîëàãàþùàÿñÿ ñòðîãî âíóòðè îáëàñòè D, è òàêàÿ, ÷òî âñå ïîëþñà è
íóëè ôóíêöèè f ðàñïîëàãàþòñÿ âíóòðè êðèâîé γε . Ðàäè óïðîùåíèÿ îáîçíà÷åíèé, ìû ñîõðàíèì
îáîçíà÷åíèå γ çà íîâîé êðèâîé γε , îäíàêî, òåïåðü ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî f äèôôåðåíöèðóåìàÿ
ôóíêöèÿ â îêðåñòíîñòè êðèâîé γ .
Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ ln |f |(z) ïîñëå îäíîêðàòíîãî îáõîäà òî÷êîé z êðèâîé γ íå ìîæåò èçìåíèòü ñâîåãî çíà÷åíèÿ, ïîýòîìó
∆γ ln |f | = 0.
Ñëåäîâàòåëüíî,
∆γ ln f = ∆γ (ln |f | + i arg f ) = ∆γ ln |f | + i∆γ arg f = i∆γ arg f.
Èç òåîðåìû 3.12 (ôîðìóëà Íüþòîíà-Ëåéáíèöà) ïîëó÷èì, ÷òî
Z 0
Z 0
f (z)
dz =
ln f (z) dz = ∆γ ln f.
f (z)
γ
(7.1)
(7.2)
γ
Èç (7.1) è (7.2) ïîëó÷èì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ èíäåêñà ôóíêöèè f íà êðèâîé γ
Z 0
1
f (z)
ind(f, γ) =
dz.
2πi
f (z)
(7.3)
γ
Äëÿ òîãî ÷òîáû âû÷èñëèòü èíòåãðàë (ïî âû÷åòàì), ñòîÿùèé â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (7.3)
0 (z)
èìååò îñîáåííîñòè
èññëåäóåì îñîáåííîñòè ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè. ßñíî, ÷òî ôóíêöèÿ ff (z)
òîëüêî â íóëÿõ è ïîëþñàõ ôóíêöèè f .
Èç òåîðåìû 4.14 ñëåäóåò, ÷òî ìíîæåñòâî íóëåé â îáëàñòè D êîíå÷íî (èíà÷å íàøëàñü áû
òî÷êà ñãóùåíèÿ âíóòðè îáëàñòè D, îòêóäà ñëåäîâàëî áû, ÷òî f ≡ 0 â D). Ïóñòü {b1 , b2 , . . . , bm } ìíîæåñòâî íóëåé ôóíêöèè f â îáëàñòè D, ãäå m ∈ N. Ïóñòü bk íîëü ïîðÿäêà βk ∈ N ôóíêöèè f ,
ãäå k ∈ {1, 2, . . . , m}. Òîãäà â îêðåñòíîñòè òî÷êè bk ôóíêöèÿ f ðàñêëàäûâàåòñÿ â ðÿä Òåéëîðà
âèäà
f (z) = c(z − bk )βk + O((z − bk )βk +1 ),
ãäå ïîñòîÿííàÿ c íå ðàâíà íóëþ è çàâèñèò îò òî÷êè bk (ðàäè óïðîùåíèÿ îáîçíà÷åíèé ìû íå
áóäåì ñíàáæàòü ïîñòîÿííóþ c äîïîëíèòåëüíûìè èíäåêñàìè). Îòñþäà ïîëó÷èì, ÷òî
f 0 (z)
c βk (z − bk )βk −1 + O((z − bk )βk )
βk 1 + O(z − bk )
βk
=
=
=
+ O(1)
β
β
+1
k
k
f (z)
c(z − bk ) + O((z − bk )
)
z − bk 1 + O(z − bk )
z − bk
ïðè z → bk è, ñëåäîâàòåëüíî,
f 0 (z)
res
= βk .
z=bk f (z)
Ðàññìîòðèì òåïåðü ïîëþñ ak ôóíêöèè f , ãäå k ∈ {1, 2, . . . , n}. Ïóñòü ak ïîëþñ ïîðÿäêà
αk ∈ N ôóíêöèè f . Òîãäà â îêðåñòíîñòè òî÷êè ak ôóíêöèÿ f ðàñêëàäûâàåòñÿ â ðÿä Ëîðàíà
âèäà
f (z) = c(z − ak )−αk + O((z − ak )−αk +1 ),
ãäå c 6= 0. Îòñþäà ïîëó÷èì, ÷òî
f 0 (z)
−c αk (z − ak )−αk −1 + O((z − ak )−αk )
αk 1 + O(z − ak )
αk
=
=−
=−
+ O(1)
−α
−α
+1
f (z)
c(z − ak ) k + O((z − ak ) k )
z − ak 1 + O(z − ak )
z − ak
62
À. À. Ïîæàðñêèé
ïðè z → ak è, ñëåäîâàòåëüíî,
res
z=ak
f 0 (z)
= −αk .
f (z)
Íàêîíåö, èñïîëüçóÿ òåîðåìó 6.15 î âû÷åòàõ è ôîðìóëó (7.3), ïîëó÷èì
Z 0
m
n
m
n
X
X
1
f 0 (z) X
f (z)
f 0 (z) X
ind(f, γ) =
dz =
+
=
res
res
βk −
αk = N − P. z=ak f (z)
z=bk f (z)
2πi
f (z)
k=1
γ
k=1
k=1
k=1
7.2. Îñíîâíàÿ òåîðåìà àëãåáðû.
Òåîðåìà 7.4 (Òåîðåìà Ðóøå). Ïóñòü
•
•
•
•
D îãðàíè÷åííàÿ îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü â C;
ãðàíèöà γ îáëàñòè D ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî-ãëàäêîé çàìêíóòîé êðèâîé;
F ∈ H(D) ∩ C(D), f ∈ H(D) ∩ C(D);
∀ z ∈ γ |f (z)| < |F (z)|;
Òîãäà ôóíêöèè F è F + f èìåþò â îáëàñòè D îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî íóëåé ñ ó÷åòîì èõ
ïîðÿäêîâ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òî
∀z∈γ
|F (z) + f (z)| > |F (z)| − |f (z)| > 0.
Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèè F + f è F íå îáðàùàþòñÿ â íîëü íà êðèâîé γ . Ñëåäîâàòåëüíî,
f
f
∆γ arg(F + f ) = ∆γ arg F 1 +
= ∆γ arg F + ∆γ arg 1 +
.
(7.4)
F
F
Èç óñëîâèÿ ∀ z ∈ γ |f (z)| < |F (z)| ñëåäóåò, ÷òî ïðè äâèæåíèè òî÷êè z âäîëü êðèâîé γ òî÷êà
(z
w = 1 + Ff(z)
âñå âðåìÿ îñòàåòñÿ âíóòðè êðóãà {w | |w − 1| < 1}. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
f
∆γ arg 1 +
= 0.
F
Îòñþäà è èç (7.4) ïîëó÷èì, ÷òî
∆γ arg(F + f ) = ∆γ arg F.
(7.5)
Íàêîíåö, èç òåîðåìû 7.3 ñëåäóåò, ÷òî
N (F ) = ind(F, γ),
N (F + f ) = ind(F + f, γ),
ãäå N (F ) è N (F + f ) êîëè÷åñòâî íóëåé ôóíêöèé F è F + f ñ ó÷åòîì èõ ïîðÿäêîâ. Îòñþäà,
ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (7.5), ïîëó÷èì, ÷òî
N (F + f ) = ind(F + f, γ) =
1
1
∆γ arg(F + f ) =
∆γ arg F = ind(F, γ) = N (F ). 2π
2π
Òåîðåìà 7.5 (Îñíîâíàÿ òåîðåìà àëãåáðû). Äëÿ ëþáîãî n ∈ N óðàâíåíèå
z n + cn−1 z n−1 + cn−2 z n−2 + . . . + c1 z + c0 = 0
èìååò ðîâíî n êîìïëåêñíûõ êîðíåé ñ ó÷åòîì èõ êðàòíîñòåé.
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
63
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ôóíêöèè âèäà
∀ z ∈ C F (z) = z n ,
f (z) = cn−1 z n−1 + cn−2 z n−2 + . . . + c1 z + c0 .
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî F èìååò ðîâíî n êîðíåé ñ ó÷åòîì êðàòíîñòåé (z = 0 åäèíñòâåííûé êîðåíü
êðàòíîñòè n). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèè F è F + f èìåþò
â C îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî íóëåé ñ ó÷åòîì èõ êðàòíîñòåé.
Òàê êàê ñòåïåíü ïîëèíîìà F âûøå ñòåïåíè ïîëèíîìà f , òî ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì ïîëîæèòåëüíîì R âåðíî, ÷òî
∀ z ∈ γ = {z | |z| = R} |F (z)| > |f (z)|.
Òàêèì îáðàçîì, ïðèìåíèìà òåîðåìà Ðóøå. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî R ïðîèçâîëüíîå áîëüøîå ÷èñëî,
èç òåîðåìû Ðóøå ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèè F è F + f èìåþò â C îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî íóëåé ñ
ó÷åòîì èõ êðàòíîñòåé. Ïðèìåð 7.6. Íàéòè êîëè÷åñòâî íóëåé ôóíêöèè g(z) = z 7 − z 5 + 5z 2 − z + 1 â êðóãå |z| < 1.
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ F (z) = 5z 2 èìååò îäèí êîðåíü êðàòíîñòè äâà ïðè
|z| < 1.
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (z) = z 7 − z 5 − z + 1. Ïðè |z| = 1 âåðíî, ÷òî
|f (z)| 6 |z|7 + |z|5 + |z| + 1 = 4 < 5 = |F (z)|.
Îòñþäà è èç òåîðåìû 7.4 (òåîðåìà Ðóøå) ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèè F è g = F +f èìåþò îäèíàêîâîå
êîëè÷åñòâî íóëåé â îáëàñòè |z| < 1. Äðóãèìè ñëîâàìè, ôóíêöèÿ g èìååò äâà êîðíÿ ñ ó÷åòîì
êðàòíîñòè â îáëàñòè |z| < 1. 64
À. À. Ïîæàðñêèé
8.
Ìåðîìîðôíûå ôóíêöèè
8.1. Ðàçëîæåíèå ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé íà ïðîñòûå äðîáè.
Îïðåäåëåíèå 8.1 (Ìåðîìîðôíàÿ ôóíêöèÿ). Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ ìåðîìîðôíîé, åñëè
• f ∈ H(C \ E), ãäå E ⊂ C;
• ëþáàÿ òî÷êà z èç E ÿâëÿåòñÿ ïîëþñîì ôóíêöèè f .
Òåîðåìà 8.2 (Ðàçëîæåíèå ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé íà ïðîñòûå äðîáè). Ïóñòü
• f ìåðîìîðôíàÿ ôóíêöèÿ;
• E = {zk }nk=1 ìíîæåñòâî ïîëþñîâ ôóíêöèè f ;
• ∞ ïîëþñ èëè óñòðàíèìàÿ îñîáàÿ òî÷êà ôóíêöèè f .
• fzk ãëàâíàÿ ÷àñòü ðÿäà Ëîðàíà ôóíêöèè f â îêðåñòíîñòè òî÷êè zk , ãäå k ∈ {1, . . . , n};
• f∞ ãëàâíàÿ ÷àñòü ðÿäà Ëîðàíà ôóíêöèè f â îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íîñòè.
Òîãäà
(1) f ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ;
(2) íàéäåòñÿ ïîñòîÿííàÿ c ∈ C òàêàÿ, ÷òî
∀ z ∈C\E
f (z) = c + f∞ (z) +
n
X
fzk (z).
(8.1)
k=1
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ âèäà
∀ z ∈C\E
g(z) = f (z) − f∞ (z) −
n
X
fzk (z).
k=1
Ðàñêëàäûâàÿ ôóíêöèþ g â ðÿä Ëîðàíà â îêðåñòíîñòè ëþáîå åå îñîáîé òî÷êè, ïîëó÷èì, ÷òî ãëàâíàÿ ÷àñòü ðÿäà Ëîðàíà ðàâíà íóëþ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî g ðåãóëÿðíàÿ ôóíêöèÿ â C. Ó÷èòûâàÿ,
÷òî íà áåñêîíå÷íîñòè ãëàâíàÿ ÷àñòü ðÿäà Ëîðàíà ôóíêöèè g òàêæå ðàâíà íóëþ, ïîëó÷èì, ÷òî
g îãðàíè÷åíà âî âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Îòñþäà è èç òåîðåìû 3.24 (òåîðåìà Ëèóâèëëÿ)
ñëåäóåò, ÷òî g ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ â C. Òàêèì îáðàçîì, ìû äîêàçàëè âòîðîå óòâåðæäåíèå
òåîðåìû.
Çàìåòèì òåïåðü, ÷òî êàæäîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû (8.1) ÿâëÿåòñÿ ðàöèîíàëüíîé
ôóíêöèè. Îòñþäà ñëåäóåò ïåðâîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû. Ïðèìåð 8.3. Ðàçëîæèòü ôóíêöèþ
f (z) =
2z 2 + z + 2
z 2 − 3z + 2
íà ïðîñòûå äðîáè.
Ðåøåíèå. Ôóíêöèÿ f èìååò òðè îñîáûå òî÷êè: 1, 2 è ∞. Ãëàâíûå ÷àñòè ðÿäà Ëîðàíà ôóíêöèè
f â îêðåñòíîñòè îñîáûõ òî÷åê èìåþò âèä
2z 2 + z + 2 1
5
2z 2 + z + 2 1
12
f1 (z) =
·
=−
, f2 (z) =
·
=
,
2z − 3 z=1 z − 1
z−1
2z − 3 z=2 z − 2
z−2
f∞ (z) = 0.
Èç òåîðåìû 8.2 ñëåäóåò, ÷òî
f (z) = c + f∞ (z) + f1 (z) + f2 (z) = c −
5
12
+
,
z−1 z−2
(8.2)
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
65
ãäå c ∈ R. Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè z → ∞ â ðàâåíñòâå (8.2), íàéäåì ïîñòîÿííóþ c
2z 2 + z + 2
= 2. z→∞ z 2 − 3z + 2
c = lim f (z) = lim
z→∞
Îòâåò:
2z 2 +z+2
z 2 −3z+2
=2−
5
z−1
+
12
.
z−2
8.2. Ðàçëîæåíèå ìåðîìîðôíûõ ôóíêöèé íà ïðîñòûå äðîáè.
Îïðåäåëåíèå 8.4 (Ïðàâèëüíàÿ ñèñòåìà êîíòóðîâ). Ãîâîðÿò, ÷òî {γn }∞
n=1 ïðàâèëüíàÿ ñè-
ñòåìà
•
•
•
•
•
êîíòóðîâ â C, åñëè
∀ n ∈ N γn çàìêíóòûé êóñî÷íî-ãëàäêèé êîíòóð;
òî÷êà z = 0 ïðèíàäëåæèò îáëàñòè intγ1 , îãðàíè÷åííîé êîíòóðîì γ1 ;
∀ n ∈ N êîíòóð γn ëåæèò âíóòðè îáëàñòè, îãðàíè÷åííîé êîíòóðîì γn+1 ;
dn = dist(0, γn ) → ∞ ïðè n → ∞;
∃ C > 0 : ∀ n ∈ N dlnn 6 C , ãäå ln äëèíà êîíòóðà γn .
Òåîðåìà 8.5 (Ðàçëîæåíèå ìåðîìîðôíûõ ôóíêöèé íà ïðîñòûå äðîáè (ñëó÷àé ¾óáûâàþùåé¿
ôóíêöèè)). Ïóñòü
•
•
•
•
•
•
f ìåðîìîðôíàÿ ôóíêöèÿ;
E ìíîæåñòâî ïîëþñîâ ôóíêöèè f ;
fc ãëàâíàÿ ÷àñòü ðÿäà Ëîðàíà ôóíêöèè f â îêðåñòíîñòè òî÷êè c, ãäå c ∈ E ;
{γn }∞
n=1 ïðàâèëüíàÿ ñèñòåìà êîíòóðîâ;
∀ n ∈ N γn ∩ E = ∅;
Mn = max |f (z)| → 0 ïðè n → ∞.
z∈γn
Òîãäà
(1)
∀ z ∈C\E
f (z) = lim
n→∞
X
(8.3)
fc (z);
c∈E∩intγn
(2) äëÿ ëþáîãî îãðàíè÷åííîãî ìíîæåñòâà K ðÿä (8.3) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà K , åñëè
îòáðîñèòü â íåì êîíå÷íîå ÷èñëî ÷ëåíîâ, èìåþùèõ ïîëþñû â K .
Äîêàçàòåëüñòâî. (1) Ïóñòü z ∈ C \ E è n ∈ N òàêîå, ÷òî z ∈ intγn . Òîãäà èç òåîðåìû 6.15
(òåîðåìà î âû÷åòàõ) ñëåäóåò, ÷òî
Z
X
X
1
f (ζ)
f (ζ)
dζ = f (z) +
res
= f (z) −
fc (z).
(8.4)
ζ=c ζ − z
2πi
ζ −z
c∈E∩intγ
c∈E∩intγ
n
γn
n
 ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå ìû çàìåòèëè, ÷òî
f (ζ)
fc (ζ)
fc (ζ)
fc (ζ)
= res
= − res
− res
= −fc (z).
ζ=c ζ − z
ζ=c ζ − z
ζ=z ζ − z
ζ=∞ ζ − z
Äàëåå, ïðè n → ∞ âåðíî, ÷òî
Z
Z
1
f
(ζ)
1
2Mn
Mn ln
Mn C
6
dζ
d|ζ|
=
6
−→ 0.
2πi
ζ − z 2π
dn
πdn
π
res
γn
γn
Îòñþäà, ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè n → ∞ â ðàâåíñòâå (8.4), ïîëó÷èì (8.3).
(2) Ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî îöåíêà âèäà (8.5) âûïîëíÿåòñÿ ðàâíîìåðíî íà K . (8.5)
66
À. À. Ïîæàðñêèé
Òåîðåìà 8.6 (Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè
∀ z ∈C\E
ctg(πz)
z
íà ñóììó ïðîñòûõ äðîáåé).
∞
ctg(πz)
1
1
2X
f (z) =
= 2+
,
2
z
πz
π n=1 z − n2
ãäå E = Z.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèè f íà ñóììó ïðîñòûõ äðîáåé âîñïîëüçóåìñÿ òåî-
ðåìîé 8.5.
Çàìåòèì, ÷òî ñèñòåìà êîíòóðîâ γn = {z | |z| = n + 21 } ïðè n ∈ N ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíîé è, áîëåå
òîãî,
ctg(πz) →0
max z∈γn
z ïðè n → ∞.
Ôóíêöèÿ f èìååò ïîëþñ âòîðîãî ïîðÿäêà â òî÷êå z = 0. Ãëàâíàÿ ÷àñòü f0 ðÿäà Ëîðàíà
ôóíêöèè f â îêðåñòíîñòè òî÷êè z = 0 èìååò âèä
1
f0 (z) =
.
π z2
Ôóíêöèÿ f èìååò ïîëþñà ïåðâîãî ïîðÿäêà â òî÷êàõ z = n, ãäå n ∈ Z \ {0}. Ãëàâíàÿ ÷àñòü fn
ðÿäà Ëîðàíà ôóíêöèè f â îêðåñòíîñòè òî÷êè z = n èìååò âèä
cos(πz) 1
1 1
fn (z) =
·
=
.
0
z(sin(πz)) z=n z − n
πn z − n
Òàêèì îáðàçîì, âûïîëíåíû âñå óñëîâèÿ òåîðåìû 8.5, îòêóäà ïîëó÷èì, ÷òî
X 1 1
X
1
+
lim
=
f (z) = lim
fn (z) =
N →+∞
π z 2 N →+∞
πn z − n
|n|6N
1
1
=
+
lim
π z 2 N →+∞ π
0<|n|6N
N X
n=1
N
1 1
1 1
1
1
2X
−
=
+
lim
.
nz −n nz +n
π z 2 N →+∞ π n=1 z 2 − n2
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
9.
67
Ìíîãîçíà÷íûå ôóíêöèè
9.1. Àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå.
Îïðåäåëåíèå 9.1 (Àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå). Ïóñòü
•
•
•
•
•
D îáëàñòü â C;
E ïîäìíîæåñòâî D;
f : E −→ C;
F ∈ H(D);
F = f (äðóãèìè ñëîâàìè, ∀ z ∈ E
E
f (z) = F (z)).
Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî F àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå f ñ ìíîæåñòâà E íà îáëàñòü D.
Òåîðåìà 9.2 (Ïðèíöèï àíàëèòè÷åñêîãî ïðîäîëæåíèÿ). Ïóñòü
• D îáëàñòü â C;
• E ïîäìíîæåñòâî D;
• ìíîæåñòâî E èìååò ïðåäåëüíóþ òî÷êó z∗ , êîòîðàÿ ëåæèò â D.
Òîãäà àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå ñ ìíîæåñòâà E íà îáëàñòü D åäèíñòâåííî.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè f íàøëîñü äâà àíàëèòè÷åñêèõ ïðîäîëæåíèÿ
F1 è F2 ñ ìíîæåñòâà E íà îáëàñòü D. Èç óñëîâèÿ òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî íàéäåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {zn }∞
n=1 ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ èç ìíîæåñòâà E , ñõîäÿùàÿñÿ ê òî÷êå z∗ . Îòñþäà è èç
òåîðåìû 4.14 (òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè) ñëåäóåò, ÷òî F1 ≡ F2 â îáëàñòè D. Ïðèìåð 9.3. Ôóíêöèÿ ez : C → C ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêèì ïðîäîëæåíèåì âåùåñòâåííîé
ôóíêöèè ex : R → R ñ âåùåñòâåííîé îñè íà âñþ êîìïëåêñíóþ ïëîñêîñòü. Èç òåîðåìû 9.2
ñëåäóåò, ÷òî òàêîå àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå åäèíñòâåííî.
Àíàëîãè÷íî, êîìïëåêñíî-çíà÷íûå ôóíêöèè sin z , cos z è ò. ï. ÿâëÿþòñÿ àíàëèòè÷åñêèìè
ïðîäîëæåíèÿìè ñîîòâåòñòâóþùèõ âåùåñòâåííî-çíà÷íûõ ôóíêöèé.
Òåîðåìà 9.4 (Òåîðåìà Ðèìàíà îá àíàëèòè÷åñêîì ïðîäîëæåíèè). Ïóñòü
γ êóñî÷íî-ãëàäêàÿ êðèâàÿ â C;
D1 è D2 íåïåðåñåêàþùèåñÿ îáëàñòè â C;
D = D1 ∪γ ∪D2 îáëàñòü â C (ò. å. ãðàíèöû îáëàñòåé D1 è D2 èìåþò îáùóþ ÷àñòü γ );
f1 ∈ H(D1 ) ∩ C(D1 ∪ γ);
f2 ∈ H(D2 ) ∩ C(D2 ∪ γ);
∀ z ∈ γ f1 (z) = f2 (z);
f1 (z), z ∈ D1 ∪ γ,
• ∀ z ∈ D F (z) =
f2 (z), z ∈ D2 ∪ γ.
•
•
•
•
•
•
Òîãäà F ∈ H(D).
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé 3.26 (òåîðåìà Ìîðåðû). Ïóñòü
Γ ïðîèçâîëüíûé êóñî÷íî-ãëàäêîé çàìêíóòîé êîíòóð â D. Åñëè Γ öåëèêîì ëåæèò â îáëàñòè D1 ,
èç òåîðåìû 3.3 (èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà Êîøè) ñëåäóåò, ÷òî
I
I
F (z) dz = f1 (z) dz = 0.
Γ
Γ
68
À. À. Ïîæàðñêèé
Àíàëîãè÷íî, åñëè Γ öåëèêîì ëåæèò â îáëàñòè D2 , ïîëó÷èì, ÷òî
I
I
F (z) dz = f2 (z) dz = 0.
Γ
Γ
Íàêîíåö, ïóñòü êîíòóð Γ ëåæèò îäíîâðåìåííî â îáåèõ îáëàñòÿõ D1 è D2 (ðàäè îïðåäåëåííîñòè
áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êîíòóð Γ ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàí îòíîñèòåëüíî ñâîåé âíóòðåííîñòè).
 ýòîì ñëó÷àå ïîëîæèì Γ1 = Γ ∩ D1 , Γ2 = Γ ∩ D2 è γ1 = γ2 = intΓ ∩ γ . Ïðè ýòîì áóäåì ñ÷èòàòü,
÷òî îðèåíòàöèÿ íà êîíòóðàõ γ1 è γ2 çàäàíà òàê, ÷òîáû çàìêíóòûå êîíòóðà Γ1 ∪ γ1 è Γ1 ∪ γ1
îêàçàëèñü ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàíû.  ýòîì ñëó÷àå îðèåíòàöèè íà êîíòóðàõ γ1 è γ2 áóäóò
ïðîòèâîïîëîæíûìè, ñì. ðèñóíîê 13.
Ðèñ. 13. Îáëàñòü D1 âûäåëåíà òåìíî-ñåðûì öâåòîì, D2 ñâåòëî-ñåðûì, êîíòóð Γ êðàñíûì,
γ çåëåíûì, γ1 è γ2 ñèíèì.
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî
I
I
I
I
I
I
I
F (z) dz = F (z) dz + F (z) dz = F (z) dz + F (z) dz + F (z) dz + F (z) dz =
Γ
Γ1
Γ2
=
I
F (z) dz +
Γ1 ∪γ1
γ1
Γ1
I
Γ2 ∪γ2
γ2
I
F (z) dz =
I
f1 (z) dz +
Γ1 ∪γ1
f2 (z) dz = 0.
Γ2 ∪γ2
Îòñþäà è èç òåîðåìû 3.26 (òåîðåìà Ìîðåðû) ñëåäóåò, ÷òî F ∈ H(D). Òåîðåìà 9.5 (Ïðèíöèï ñèììåòðèè). Ïóñòü
• D îáëàñòü â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè Im z > 0;
• f ∈ H(D);
• ãðàíèöà îáëàñòè D ñîäåðæèò èíòåðâàë γ âåùåñòâåííîé îñè;
• f ∈ C(D ∪ γ);
• ∀ z ∈ γ f (z) ∈ R.
Òîãäà
Γ2
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
69
(1) ôóíêöèÿ f ìîæåò áûòü àíàëèòè÷åñêè ïðîäîëæåíà ÷åðåç γ â îáëàñòü D∗ = {z | z̄ ∈ D};
(2) àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå F çàäàåòñÿ ôîðìóëîé
(
f (z), z ∈ D ∪ γ,
F (z) =
f (z̄), z ∈ D∗ .
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç âåùåñòâåííîñòè ôóíêöèè f íà γ ⊂ R ñëåäóåò, ÷òî
∀z∈γ
f (z) = f (z̄).
Äîêàæåì, ÷òî ôóíêöèÿ
∀ z ∈ D∗
ðåãóëÿðíà â îáëàñòè D∗ . Äåéñòâèòåëüíî,
∀ z ∈ D∗
g(z) = f (z̄)
g(z + h) − g(z) = f (z̄ + h̄) − f (z̄) = f (z̄ + h̄) − f (z̄) = f 0 (z̄)h̄ + o(h̄) = f 0 (z̄) h + o(h)
ïðè C 3 h → 0.
Òåïåðü íåîáõîäèìîå óòâåðæäåíèå ñëåäóåò, èç òåîðåìû 9.4. 9.2. Ðåãóëÿðíûå âåòâè ìíîãîçíà÷íûõ ôóíêöèé.
Îïðåäåëåíèå 9.6 (Ðåãóëÿðíàÿ âåòâü ìíîãîçíà÷íîé ôóíêöèè). Îäíîçíà÷íîé ðåãóëÿðíîé âåò-
âüþ (èëè, ñîêðàùåííî, ðåãóëÿðíîé âåòâüþ) ìíîãîçíà÷íîé ôóíêöèè f (z) â îáëàñòè D íàçûâàþò
âñÿêóþ ðåãóëÿðíóþ ôóíêöèþ f0 (z) â D òàêóþ, ÷òî â ëþáîé òî÷êè z ∈ D çíà÷åíèå ôóíêöèè
f0 (z) ñîâïàäàåò ñ îäíèì èç çíà÷åíèé ôóíêöèè f (z).
Ïðèìåð 9.7. Âûäåëèòü îäíîçíà÷íóþ ðåãóëÿðíóþ âåòâü ôóíêöèè
√
4
z.
√
Ðåøåíèå. Ôóíêöèÿ 4 z â êàæäîé òî÷êå z 6= 0 ïðèíèìàåò òðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿ. Äëÿ òîãî
√
÷òîáû âûäåëèòü ðåãóëÿðíóþ âåòâü ôóíêöèè 4 z , óäîáíî ïåðåïèñàòü åå â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ
√
√ ϕ πn
f (z) = 4 z = r ei 4 +i 2 .
(9.1)
√
Ïóñòü òåïåðü ìû ôèêñèðîâàëè çíà÷åíèå ôóíêöèè f (z) = 4 z â íåêîòîðîé òî÷êå z0 6= 0,
íàïðèìåð, f (1) = 1. Èç
ïðåäñòàâëåíèÿ (9.1) âèäíî, ÷òî åñëè ìû òåïåðü áóäåì íåïðåðûâíî
√
4
ïðîäîëæàòü ôóíêöèþ z âäîëü îêðóæíîñòè |z| = 1 ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, òî ïî âîçâðàùåíèè
â òî÷êó z = 1 àðãóìåíò ϕ ïîëó÷èò ïðèðàùåíèå ðàâíîå ∆ϕ = 2π , è, ñîîòâåòñòâåííî, ôóíêöèÿ
√
∆ϕ
π
4
z ïîëó÷èò äîïîëíèòåëüíûé ìíîæèòåëü ei 4 = ei 2 = i.
Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî, ìîæíî ïîíÿòü, ÷òî ïðè
îáõîäå âäîëü ëþáîãî êîíòóðà, îõâàòûâàþùåãî
√
4
íà÷àëî êîîðäèíàò ðîâíî îäèí ðàç,
ôóíêöèÿ
z
áóäåò ìåíÿòü ñâîå çíà÷åíèå. Ýòî îçíà÷àåò,
√
4
÷òî ðåãóëÿðíóþ âåòâü ôóíêöèè z ìîæíî âûäåëèòü òîëüêî â òàêîé îáëàñòè, âíóòðè êîòîðîé
íåëüçÿ ïðîâåñòè çàìêíóòûé êîíòóð, ñîäåðæàùèé âíóòðè ñåáÿ íà÷àëî êîîðäèíàò. Ïðèìåðîì
òàêîé îáëàñòè ìîæåò ñëóæèòü, íàïðèìåð, îáëàñòü âèäà
D = C \ [0, +∞).
Ôèêñèðóåì â îáëàñòè D ïðåäåëû èçìåíåíèÿ àðãóìåíòà ϕ ∈ (0, 2π). Â ðåçóëüòàòå,
ñîãëàñíî
√
4
ïðåäñòàâëåíèþ (9.1), ìû ìîæåì âûäåëèòü ÷åòûðå ðàçëè÷íûå âåòâè ôóíêöèè z
√ ϕ πn
fn (z) = 4 r ei 4 +i 2 , n = 0, 1, 2, 3.
√
Îñòàëüíûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà n ïðèâîäÿò ê îäíîé èç îïèñàííûõ âåòâåé ôóíêöèè 4 z .
Îòâåò:  îáëàñòè C \ [0, +∞) ìîæíî âûäåëèòü ÷åòûðå îäíîçíà÷íûå ðåãóëÿðíûå âåòâè fn (z) =
√
4
ϕ
r ei 4 +i
πn
2
, ãäå n = 0, 1, 2, 3 è ϕ ∈ (0, 2π).
70
À. À. Ïîæàðñêèé
Ïðèìåð 9.8. Ïóñòü â ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè Re(z) > 0 çàäàíà ðåãóëÿðíàÿ âåòâü ôóíêöèè
√
f (z) = z , óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ f (1) = 1. Íàéòè àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå ôóíêöèè f (z) â ëåâóþ ïîëóïëîñêîñòü Re(z) < 0 ÷åðåç ïîëóîñü (0, +i∞) è ÷åðåç ïîëóîñü (0, −i∞).
Ñðàâíèòü çíà÷åíèÿ ïîëó÷åííûõ àíàëèòè÷åñêèõ ïðîäîëæåíèé â òî÷êå z = −1.
Ðåøåíèå. Ïåðåéäåì ê ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì
f (z) =
√
√ ϕ
z = r ei 2 +iπn ,
n ∈ Z.
(9.2)
Ôèêñèðóåì ïðåäåëû èçìåíåíèÿ àðãóìåíòà ϕ â ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè ϕ ∈ (− π2 , π2 ). Îòñþäà è èç
ïðåäñòàâëåíèÿ (9.2) ïîëó÷èì, ÷òî
√ i ϕ +iπn r
=
1
f (1) = r e 2
=
= eiπn .
ϕ
=
0
z=1
Òàêèì îáðàçîì, âåòâü, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ f (1) = 1, ïîëó÷àåòñÿ, íàïðèìåð, ïðè n = 0.
Îáîçíà÷èì åå ÷åðåç f0 (z).
Äëÿ òîãî ÷òîáû àíàëèòè÷åñêè ïðîäîëæèòü ôóíêöèþ f0 (z) â ëåâóþ ïîëóïëîñêîñòü ÷åðåç ïîëóîñü (0, +i∞), âîñïîëüçóåìñÿ ïðåäñòàâëåíèåì (9.2) ïðè n = 0
√ ϕ
ft (z) = r ei 2
). Ëåãêî âèäåòü,
è ôèêñèðóåì ïðåäåëû èçìåíåíèÿ àðãóìåíòà ϕ ñëåäóþùèì îáðàçîì ϕ ∈ (− π2 , 3π
2
÷òî ft (z) ðåãóëÿðíàÿ âåòâü, çàäàííàÿ â îáëàñòè C \ [0, −i∞). Ïðè ýòîì ôóíêöèÿ ft (z) ñîâïàäàåò ñ ôóíêöèåé f0 (z) â îáëàñòè Re(z) > 0, à ïîòîìó ft (z) àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå
ôóíêöèè f0 (z) â ëåâóþ ïîëóïëîñêîñòü ÷åðåç ïîëóîñü (0, +i∞).
Äëÿ òîãî ÷òîáû àíàëèòè÷åñêè ïðîäîëæèòü ôóíêöèþ f0 (z) â ëåâóþ ïîëóïëîñêîñòü ÷åðåç ïîëóîñü (0, −i∞), âîñïîëüçóåìñÿ ïðåäñòàâëåíèåì
√ ϕ
fb (z) = r ei 2
è ôèêñèðóåì ïðåäåëû èçìåíåíèÿ àðãóìåíòà ϕ ∈ (− 3π
, π ). Î÷åâèäíî, ÷òî fb (z) àíàëèòè÷åñêîå
2 2
ïðîäîëæåíèå ôóíêöèè f0 (z) â ëåâóþ ïîëóïëîñêîñòü ÷åðåç ïîëóîñü (0, −i∞).
Íàéäåì çíà÷åíèÿ âåòâåé ft (z) è fb (z) â òî÷êå z = −1
√ i ϕ π
= ei 2 = i,
ft (−1) = r e 2 r=1, ϕ=π
√ i ϕ π
fb (−1) = r e 2 = e−i 2 = −i. r=1, ϕ=−π
Îòâåò: ft (−1) = i, fb (−1) = −i.
Îïðåäåëåíèå 9.9 (Òî÷êà âåòâëåíèÿ). Îñîáàÿ òî÷êà z0 íàçûâàåòñÿ òî÷êîé âåòâëåíèÿ ìíî-
ãîçíà÷íîé ôóíêöèè f (z), åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïðîêîëîòàÿ îêðåñòíîñòü 0 < |z − z0 | < r,
÷òî ëþáàÿ ðåãóëÿðíàÿ âåòâü ôóíêöèè f (z) ìîæåò áûòü àíàëèòè÷åñêè ïðîäîëæåíà âäîëü
ëþáîé öåïî÷êè îáëàñòåé, ïðèíàäëåæàùèõ ýòîé îêðåñòíîñòè, è íàéäåòñÿ ðåãóëÿðíàÿ âåòâü
ôóíêöèè f (z), êîòîðàÿ íå ìîæåò áûòü àíàëèòè÷åñêè ïðîäîëæåíà âî âñþ ïðîêîëîòóþ îêðåñòíîñòü 0 < |z − z0 | < r.
Ïðèìåð 9.10. Ïóñòü
√ f ðåãóëÿðíàÿ ôóíêöèÿ â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè D. Íàéòè âñå òî÷êè
âåòâëåíèÿ ôóíêöèè
f.
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
71
Ðåøåíèå. Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî òî÷êè âåòâëåíèÿ
ýòî â ïåðâóþ î÷åðåäü îñîáûå òî÷êè.
√
Ïîýòîìó âíà÷àëå âûÿñíèì â êàêèõ òî÷êàõ ôóíêöèÿ f äîïóñêàåò âûäåëåíèå ðåãóëÿðíîé âåòâè.
Äëÿ ýòîãî âû÷èñëèì åå ïðîèçâîäíóþ
p
0
f 0 (z)
f (z) = p
.
(9.3)
2 f (z)
Ñòðîãî ãîâîðÿ, â âûðàæåíèè (9.3) íåîáõîäèìî óêàçàòü êàêàÿ âåòâü êîðíÿ âûáðàíà â îáåèõ ÷àñòÿõ
√
ðàâåíñòâà, îäíàêî ïîñêîëüêó ìû ñåé÷àñ èùåì òîëüêî ëèøü òî÷êè ðåãóëÿðíîñòè ôóíêöèè f ,
òî ýòîò âîïðîñ íå ÿâëÿåòñÿ ïðèíöèïèàëüíûì è ìû ïîçâîëèì
√ ñåáå íå îñòàíàâëèâàòüñÿ íà íåì.
Èç ðàâåíñòâà (9.3) âèäíî, ÷òî îñîáûå òî÷êè ôóíêöèè f ìîãóò ïîÿâëÿòüñÿ â òåõ òî÷êàõ,
â êîòîðûõ ôóíêöèÿ √
f îáðàùàåòñÿ â íîëü. Òàêèì îáðàçîì, åñòåñòâåííûå êàíäèäàòû íà òî÷êè
âåòâëåíèÿ ôóíêöèè f ýòî íóëè ôóíêöèè f .
Ïóñòü â òî÷êå z0 ∈ D ó ôóíêöèè f (z) íóëü ïîðÿäêà n. Òîãäà åå ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
f (z) = (z − z0 )n g(z),
g(z0 ) 6= 0,
ãäå g(z) ðåãóëÿðíàÿ ôóíêöèÿ â îáëàñòè D è n ∈ N. Îòñþäà
p
p
f (z) = (z − z0 )n/2 g(z) .
p
Èç ñêàçàííîãî ðàíåå ÿñíî, ÷òî ôóíêöèÿ g(z) äîïóñêàåò âûäåëåíèå ðåãóëÿðíîé âåòâè â îêðåñò√
íîñòè òî÷êè z0 . Ïðè ýòîì ó ôóíêöèè (z − z0 )n/2 (à, ñëåäîâàòåëüíî, è ó ôóíêöèè f ) òî÷êà z0 íå
ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé âåòâëåíèÿ åñëè n ÷åòíîå è ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé âåòâëåíèÿ, åñëè n íå÷åòíîå. √
Îòâåò: Òî÷êè âåòâëåíèÿ ôóíêöèè f ðàñïîëàãàþòñÿ â íóëÿõ íå÷åòíîãî ïîðÿäêà ôóíêöèè f .
√
Ïðèìåð 9.11. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f (z) = z 2 − 5z + 4 äîïóñêàåò âûäåëåíèå ðåãóëÿðíîé
âåòâè F â îêðåñòíîñòè òî÷êè z = 0, óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèþ F (0) = −2. Íàéòè ðåçóëüòàò
àíàëèòè÷åñêîãî ïðîäîëæåíèÿ F â òî÷êó z = 2 âäîëü êîíòóðà γ = {z | |z − 1| = 1, Im(z) > 0}.
Ðåøåíèå. Ó ôóíêöèè f äâå êîíå÷íûå òî÷êè âåòâëåíèÿ z1 = 1 è z2 = 4. Ââåäåì äâå ïîëÿðíûå
Ðèñ. 14. Ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû z − 1 = r1 eiϕ1 Ðèñ. 15. Êîíòóð γ âûäåëåí êðàñíûì öâåòîì,
è z − 4 = r2 eiϕ2 .
ðàçðåçû çåëåíûì.
ñèñòåìû êîîðäèíàò ñ öåíòðàìè â ýòèõ òî÷êàõ (ñì. ðèñóíîê 14)
z − 1 = r1 eiϕ1 ,
z − 4 = r2 eiϕ2 .
72
À. À. Ïîæàðñêèé
 ýòèõ êîîðäèíàòàõ ôóíêöèÿ f (z) ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì
p
√
ϕ1 + ϕ2 + 2πn
f (z) = (z − 1)(z − 4) = r1 r2 exp
i , n ∈ Z.
2
Äëÿ òîãî ÷òîáû ôèêñèðîâàòü ïðåäåëû èçìåíåíèÿ óãëîâ ϕ1 è ϕ2 , ïðîâåäåì ðàçðåçû êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 15. Ïðè ýòîì ïðåäåëû èçìåíåíèÿ óãëîâ óäîáíî âûáðàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì
ϕ1 ∈ (− π2 , 3π
), ϕ2 ∈ (0, 2π). Òàêèì îáðàçîì, íà îáëàñòè
2
D = C \ [4, +∞) ∪ (1 − i∞, 1]
ôóíêöèÿ f äîïóñêàåò âûäåëåíèå äâóõ ðåãóëÿðíûõ âåòâåé
√
ϕ1 + ϕ2 + 2πn
fn (z) = r1 r2 exp
i ,
2
Íàéäåì çíà÷åíèÿ âåòâåé f0 è f1 â òî÷êå z = 0
n = 0, 1.
f0 (0) = [ϕ1 = π, ϕ2 = π, r1 = 1, r2 = 4, n = 0] = 2eπi = −2,
f1 (0) = [ϕ1 = π, ϕ2 = π, r1 = 1, r2 = 4, n = 1] = 2e2πi = 2.
Òàêèì îáðàçîì, f0 ÿâëÿåòñÿ èñêîìîé âåòâüþ F ðåãóëÿðíîé ôóíêöèè f .
Çàìåòèì, ÷òî îáëàñòü ðåãóëÿðíîñòè D âåòâè f0 âûáðàíà òàê, ÷òî êîíòóð γ öåëèêîì ëåæèò â
îáëàñòè D. Ïîýòîìó ðåçóëüòàò àíàëèòè÷åñêîãî ïðîäîëæåíèÿ âåòâè f0 âäîëü êîíòóðà γ äàåòñÿ
çíà÷åíèåì ôóíêöèè f0 â òî÷êå z = 2
√ π
√
f0 (2) = [ϕ1 = 0, ϕ2 = π, r1 = 1, r2 = 2, n = 0] = 2e 2 i = 2 i. ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
73
9.3. Ðèìàíîâû ïîâåðõíîñòè ïðîñòåéøèõ ìíîãîçíà÷íûõ ôóíêöèé.
√
Ïðèìåð 9.12. Ðèìàíîâà ïîâåðõíîñòü ôóíêöèè f (z) = z .
√
Ðåøåíèå. Ó ôóíêöèè z îäíà êîíå÷íàÿ òî÷êà âåòâëåíèÿ z1 = 0. Ïåðåõîäÿ ê ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì z = reiϕ , ïåðåïèøåì ôóíêöèþ f â âèäå
√
√ ϕ
f (z) = z = r ei 2 +iπn , n ∈ Z.
(9.4)
Äëÿ òîãî, ÷òîáû âûäåëèòü îäíîçíà÷íûå âåòâè ôóíêöèè f , ïðîâåäåì ðàçðåç èç òî÷êè âåòâëåíèÿ
z1 = 0 íà áåñêîíå÷íîñòü âäîëü ïîëóîñè [0, +∞). Ñîîòâåòñòâåííî ñ ýòèì, ïðåäåëû èçìåíåíèÿ
óãëà ϕ ôèêñèðóåì ñëåäóþùèì îáðàçîì
ϕ ∈ (0, 2π).
Ïàðàìåòðàì n = 0 è n = 1 â ôîðìóëå (9.4) ñîîòâåòñòâóþò äâå ðàçëè÷íûå ðåãóëÿðíûå âåòâè
f0 è f1 ôóíêöèè f (îñòàëüíûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà n ïðèâîäÿò ê îäíîé èç óêàçàííûõ âåòâåé).
Âûïèøåì âûðàæåíèå äëÿ êàæäîé èç âûäåëåííûõ âåòâåé
√ ϕ
fn (z) = r ei 2 +iπn , n = 0, 1.
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âåòâü f0 çàäàíà íà ëèñòå D0 , à âåòâü f1 íà D1 . Âû÷èñëèì çíà÷åíèÿ ôóíêöèé f0 è f1 íà áåðåãàõ ðàçðåçîâ ëèñòîâ D0 è D1 , ñì. ðèñóíêè 16 è 17. Òåïåðü íóæíî ïîäõîäÿùèì
Ðèñ. 16. Çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f0 íà áåðåãàõ ðàçðåçîâ ëèñòà D0 .
Ðèñ. 17. Çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f1 íà áåðåãàõ ðàçðåçîâ ëèñòà D1 .
Ðèñ. 18. Ðèìàíîâà ïîâåðõíîñòü
√
z.
îáðàçîì ñêëåèòü ëèñòû D0 è D1 . Ñðàâíèâàÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèé f0 è f1 íà ðàçëè÷íûõ áåðåãàõ
ðàçðåçîâ ëèñòîâ D0 è D1 è ó÷èòûâàÿ òåîðåìó 9.4 (òåîðåìà Ðèìàíà îá àíàëèòè÷åñêîì ïðîäîëæåíèè), íàéäåì òðåáóåìóþ ñêëåéêó, ñì. ðèñóíîê 18. √
Îòâåò: Ðèìàíîâà ïîâåðõíîñòü ôóíêöèè z èçîáðàæåíà íà ðèñóíêå 18. Ïðè ýòîì íà ëèñòå D0
√ ϕ
√ ϕ
ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå f0 (z) = r ei 2 , à íà ëèñòå D1 f1 (z) = − r ei 2 , ãäå ϕ ∈ (0, 2π).
74
À. À. Ïîæàðñêèé
Ïðèìåð 9.13. Ðèìàíîâà ïîâåðõíîñòü ôóíêöèè f (z) = ln z .
Ðåøåíèå. Ó ôóíêöèè ln z îäíà êîíå÷íàÿ òî÷êà âåòâëåíèÿ z1 = 0. Ïåðåõîäÿ ê ïîëÿðíûì êîîð-
äèíàòàì z = reiϕ , ïåðåïèøåì ôóíêöèþ f â âèäå
f (z) = ln z = ln r + iϕ + 2πin,
n ∈ Z.
Äëÿ òîãî ÷òîáû âûäåëèòü îäíîçíà÷íûå âåòâè, ïðîâîäèì ðàçðåç èç òî÷êè âåòâëåíèÿ z1 = 0 íà
áåñêîíå÷íîñòü, íàïðèìåð, âäîëü ïîëóîñè [0, +∞).  ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì ðàçðåçîì, ôèêñèðóåì
ïðåäåëû èçìåíåíèÿ óãëà ϕ ∈ (0, 2π). Âûïèøåì âûðàæåíèå äëÿ êàæäîé èç âûäåëåííûõ âåòâåé
fn (z) = ln r + iϕ + 2πin,
n ∈ Z.
(9.5)
Îòìåòèì, ÷òî ðàçëè÷íûì ïàðàìåòðàì n â ôîðìóëå (9.5) ñîîòâåòñòâóþò ðàçëè÷íûå ðåãóëÿðíûå
âåòâè ôóíêöèè f .
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âåòâü fn çàäàíà íà ëèñòå Dn ïðè n ∈ Z. Âû÷èñëèì çíà÷åíèÿ ôóíêöèé
f−1 , f0 è f1 íà áåðåãàõ ðàçðåçîâ ëèñòîâ D−1 , D0 è D1 , ñì. ðèñóíêè 19, 20 è 21. Òåïåðü íóæíî
Ðèñ. 19. Çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f−1 íà áåðåãàõ ðàçðåçîâ ëèñòà D−1 .
Ðèñ. 20. Çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f0 íà áåðåãàõ ðàçðåçîâ ëèñòà D0 .
Ðèñ. 21. Çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f1 íà áåðåãàõ ðàçðåçîâ ëèñòà D1 .
Ðèñ. 22. Ðèìàíîâà ïîâåðõíîñòü ln z .
ïîäõîäÿùèì îáðàçîì ñêëåèòü ëèñòû Dn . Ñðàâíèâàÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèé fn íà ðàçëè÷íûõ áåðåãàõ
ðàçðåçîâ ëèñòîâ Dn íàéäåì òðåáóåìóþ ñêëåéêó. Íà ðèñóíêå 22 èçîáðàæåíà ñêëåéêà ëèñòîâ D−1 ,
D0 è D1 . Îñòàëüíûå ëèñòû ïîäêëåèâàþòñÿ àíàëîãè÷íî.
Îòâåò: Ðèìàíîâà ïîâåðõíîñòü ln z ñîñòîèò èç áåñêîíå÷íîãî íàáîðà ëèñòîâ Dn , ñêëåéêà íåñêîëüêèõ èç íèõ èçîáðàæåíà íà ðèñóíêå 22. Íà êàæäîì ëèñòå Dn ôèêñèðîâàíà ðåãóëÿðíàÿ âåòâü fn (z)
ðàâåíñòâîì (9.5), ïðè÷åì ϕ ∈ (0, 2π).
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
75
9.4. Âû÷èñëåíèå èíòåãðàëîâ îò ìíîãîçíà÷íûõ ôóíêöèé.
Òåîðåìà 9.14 (Âû÷èñëåíèå èíòåãðàëîâ îò ìíîãîçíà÷íûõ ôóíêöèé ïî ïîëîæèòåëüíîé ïîëóîñè).
Ïóñòü
• D = C \ [0, +∞);
• E = {z1 , z2 , . . . , zn } ⊂ D, ãäå n ∈ N;
• f ∈ H(D \ E);
• äëÿ ëþáîãî x > 0 ñóùåñòâóþò êîíå÷íûå ïðåäåëû f (x ± i0);
• γρ = {z | |z| = ρ}
, ãäå ρ > 0;
• max |f (z)| = o
z∈γρ
• max |f (z)| = o
z∈γρ
ïðè ρ → 0;
1
ρ
1
ρ
ïðè ρ → ∞;
• r > 0 è R > 0 òàêèå, ÷òî ∀ z ∈ E r < |z| < R;
• γ+ ïîëîæèòåëüíî
îðèåíòèðîâàííàÿ ãðàíèöà
îáëàñòè D \ {z | |z| < r} ∪ {z | |z| > R} , ñì.
ðèñóíîê 23.
Òîãäà
Z+∞
Z+∞
Z
f (x + i0) dx −
f (x − i0) dx = f (z) dz.
0
0
γ+
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî âïîëíå àíàëîãè÷íî Ðèñ. 23. Êîíòóð γ+ âûäåëåí êðàñíûì
äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 6.26.
öâåòîì.
Ïðèìåð 9.15. Âû÷èñëèòü èíòåãðàë
Z+∞
dx
√ .
(x + 1) x
0
Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íóþ ôóíêöèþ
f (z) =
1
√
(z + 1) z
è ôèêñèðóåì åå âåòâü â îáëàñòè D = C \ [0, +∞) ðàâåíñòâîì
f0 (z) =
ϕ
1
√ e−i 2 ,
(z + 1) r
z = reiϕ ,
ãäå ϕ ∈ (0, 2π).
Èç òåîðåìû 9.14 ñëåäóåò, ÷òî
Z+∞
Z+∞
Z
f0 (x + i0) dx −
f0 (x − i0) dx = f0 (z) dz,
0
0
γ+
ãäå êîíòóð γ+ èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 23. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî
h
i
h
i
1
1
√ , f0 (x − i0) = r = x, ϕ = 2π = −
√
f0 (x + i0) = r = x, ϕ = 0 =
(x + 1) x
(x + 1) x
(9.6)
76
À. À. Ïîæàðñêèé
ïðè x > 0. Îòñþäà è èç ðàâåíñòâà (9.6) ñëåäóåò, ÷òî
Z+∞
Z
dx
√ = f0 (z) dz = 2πi res f0 (z).
2
z=−1
(x + 1) x
0
(9.7)
γ+
Ôóíêöèÿ f0 èìååò â òî÷êå z = −1 ïîëþñ ïåðâîãî ïîðÿäêà. Âû÷åò ìîæåò áûòü íàéäåí ñ
ïîìîùüþ òåîðåìû 6.6 (èëè òåîðåìû 6.4)
1 −i ϕ res f0 (z) = lim (z + 1)f0 (z) = √ e 2 = −i.
z=−1
z→−1
r
r=1, ϕ=π
Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííûé âû÷åò â ôîðìóëó (9.7), íàéäåì
Z+∞
dx
√ = πi res f0 (z) = π. z=−1
(x + 1) x
0
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
77
Ãàììà-ôóíêöèÿ
10.
10.1. Ãàììà-ôóíêöèÿ.
Îïðåäåëåíèå 10.1 (Ãàììà-ôóíêöèÿ). Ãàììà-ôóíêöèåé (ñîêðàùåííî, Γ-ôóíêöèåé) íàçûâàþò
ôóíêöèþ, îïðåäåëåííóþ ïðè Re z > 0 ðàâåíñòâîì
Z+∞
Γ(z) =
tz−1 e−t dt.
0
Òåîðåìà 10.2 (Ðåãóëÿðíîñòü Γ-ôóíêöèè). Γ ∈ H(Π+ ), ãäå Π+ = {z | Re z > 0}.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü γ ïðîèçâîëüíàÿ êóñî÷íî-ãëàäêàÿ çàìêíóòàÿ êðèâàÿ â Π+ . Òîãäà
íàéäóòñÿ ε1 > 0 è ε2 > 0 òàêèå, ÷òî γ ⊂ {z | ε1 < Re z < ε2 }, îòêóäà ïîëó÷èì, ÷òî
ε −1 −t
t 1 e , t ∈ (0, 1],
z−1 −t
∀ (t, z) ∈ R+ × γ |t e | 6
tε2 −1 e−t , t ∈ (1, +∞).
(10.1)
Èç (10.1) ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ äâóõ ïåðåìåííûõ tz−1 e−t èíòåãðèðóåìà íà R+ × γ . Îòñþäà è èç
òåîðåìû Ôóáèíè ïîëó÷èì, ÷òî ìîæíî ïåðåñòàâëÿòü ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ â èíòåãðàëå
 +∞



I
I
Z
Z+∞ I
 tz−1 e−t dz  dt.
Γ(z) dz =  tz−1 e−t dt dz =
(10.2)
γ
γ
0
0
γ
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ôóíêöèÿ tz−1 ðåãóëÿðíà ïî ïåðåìåííîé z â ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè Π+ , èç òåîðåìû 3.3 (èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà Êîøè) ñëåäóåò, ÷òî
I
tz−1 dz = 0.
(10.3)
γ
Èç (10.2) è (10.3) ïîëó÷èì, ÷òî äëÿ ëþáîé êóñî÷íî-ãëàäêîé çàìêíóòîé êðèâîé â Π+ âåðíî, ÷òî
I
Γ(z) dz = 0.
γ
Îòñþäà è èç òåîðåìû 3.26 (òåîðåìà Ìîðåðû) ñëåäóåò, ÷òî Γ ∈ H(Π+ ). Òåîðåìà 10.3 (Ôóíêöèîíàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ Γ-ôóíêöèè). ∀ z ∈ Π+ Γ(z + 1) = zΓ(z).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðè ∀ z ∈ Π+ âåðíî, ÷òî
Z+∞
Z+∞
+∞ Z+∞
z −t
z
−t
z −t Γ(z + 1) =
t e dt = −
t de = −t e +
ztz−1 e−t dt = zΓ(z). 0
0
0
0
Òåîðåìà 10.4 (Àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå Γ-ôóíêöèè â C).
(1) Γ(z)-ôóíêöèÿ äîïóñêàåò àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå â C \ {0, −1, −2, . . .};
(2) ∀ z ∈ C\{0, −1, −2, . . .} Γ(z+1) = zΓ(z), ãäå ïîä Γ-ôóíêöèåé ïîíèìàåòñÿ àíàëèòè÷åñêîå
ïðîäîëæåíèå â îáëàñòü C \ {0, −1, −2, . . .}.
78
À. À. Ïîæàðñêèé
Äîêàçàòåëüñòâî. (1) Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
Γ(z + 1)
.
z
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî f ∈ H {z | Re z > −1} \ {0} . Èç òåîðåìû 10.3 ñëåäóåò, ÷òî
f (z) =
(10.4)
Γ(z + 1)
= Γ(z).
z
Òàêèì îáðàçîì, f àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå Γ-ôóíêöèè â îáëàñòü {z | Re z > −1} \ {0}.
Ñîõðàíèì çà àíàëèòè÷åñêèì ïðîäîëæåíèåì Γ-ôóíêöèè ïðåæíåå
îáîçíà÷åíèå Γ. Ñíîâà âîñ
ïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (10.4) è çàìåòèì, ÷òî íà ýòîò ðàç f ∈ H {z | Re z > −2} \ {0, −1} .
Âìåñòå ñ ýòèì
Γ(z + 1)
∀ z ∈ {z | Re z > −1} \ {0} f (z) =
= Γ(z).
z
Òàêèì îáðàçîì, f àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå Γ-ôóíêöèè â îáëàñòü {z | Re z > −2} \ {0, −1}.
Ïðîäîëæàÿ ïîñòðîåíèå ïî èíäóêöèè, ïîëó÷èì òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå.
(2) Ñëåäóåò èç ïîñòðîåíèÿ àíàëèòè÷åñêîãî ïðîäîëæåíèÿ, ïðåäëîæåííîãî â ïóíêòå (1). ∀ z ∈ Π+
f (z) =
Òåîðåìà 10.5 (Îñíîâíûå ñâîéñòâà Γ-ôóíêöèè).
(1) ∀ n ∈ Z+ Γ(n + 1) = n!;
(2) ∀ n ∈ Z+ Γ-ôóíêöèÿ èìååò â òî÷êå z = −n ïîëþñ ïåðâîãî ïîðÿäêà è res Γ(z) =
z=−n
(3) ∀ z ∈ C \ Z
Γ(z)Γ(1 − z) =
(−1)n
;
n!
π
;
sin(πz)
(4) ∀ z ∈ C Γ(z) 6= 0;
√
(5) Γ 12 = π .
Äîêàçàòåëüñòâî. (1) Äëÿ íà÷àëà çàìåòèì, ÷òî
Z+∞
e−t dt = 1.
Γ(1) =
0
Îòñþäà è èç òåîðåìû 10.4 ñëåäóåò, ÷òî
∀ n ∈ Z+
Γ(n + 1) = nΓ(n) = n(n − 1)Γ(n − 1) = . . . = n! Γ(1) = n!.
(2) Èç òåîðåìû 10.4 ñëåäóåò, ÷òî
∀ n ∈ Z+
Γ(z) =
Γ(z + 1)
Γ(z + 2)
Γ(z + n + 1)
=
= ... =
.
z
z(z + 1)
z(z + 1) . . . (z + n)
Îòñþäà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî ôóíêöèÿ Γ(z + n + 1) ðåãóëÿðíà â îêðåñòíîñòè òî÷êè z = −n, ïîëó÷èì,
÷òî Γ-ôóíêöèÿ èìååò â òî÷êå z = −n ïîëþñ ïåðâîãî ïîðÿäêà. Âìåñòå ñ ýòèì,
Γ(z + n + 1)
Γ(1)
(−1)n
∀ n ∈ Z+
res Γ(z) =
=
=
.
z=−n
z(z + 1) . . . (z + n − 1) (−n)(−n + 1) . . . (−1)
n!
z=−n
(3) Áåç äîêàçàòåëüñòâà.
(4) Ñëåäóåò èç ïóíêòà (3) íàñòîÿùåé òåîðåìû.
(5) Ñëåäóåò èç ïóíêòà (3) íàñòîÿùåé òåîðåìû ïðè z =
1
2
∀ z > 0 Γ(z) > 0. è ïðîñòîãî íàáëþäåíèÿ
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
79
Îïðåäåëåíèå 10.6 (Áåòà-ôóíêöèÿ). Áåòà-ôóíêöèåé íàçûâàþò ôóíêöèþ, îïðåäåëåííóþ ïðè
Re z > 0 è Re w > 0 ðàâåíñòâîì
Z1
B(z, w) =
tz−1 (1 − t)w−1 dt.
0
Òåîðåìà 10.7 (Ñâÿçü ìåæäó Ãàììà è Áåòà-ôóíêöèÿìè). Ïðè Re z > 0 è Re w > 0 ñïðàâåäëèâî
ðàâåíñòâî
B(z, w) =
Äîêàçàòåëüñòâî. Áåç äîêàçàòåëüñòâà. Γ(z)Γ(w)
.
Γ(z + w)
80
À. À. Ïîæàðñêèé
11.
Êîíôîðìíûå îòîáðàæåíèÿ
11.1. Ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà ðåãóëÿðíûõ ôóíêöèé.
Òåîðåìà 11.1 (Íåîáõîäèìîå óñëîâèå îáðàòèìîñòè ðåãóëÿðíîé ôóíêöèè). Ïóñòü
• D îáëàñòü â C;
• f ∈ H(D);
• ôóíêöèÿ f îáðàòèìà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè U òî÷êè z0 ∈ D.
Òîãäà f 0 (z0 ) 6= 0.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü f 0 (z0 ) = f 00 (z0 ) = . . . =
f (n) (z0 ) = 0 è f (n+1) (z0 ) 6= 0, ãäå n ∈ N. Èç òåîðåìû 4.11 (òåîðåìà îá èçîëèðîâàííîñòè íóëåé
ðåãóëÿðíîé ôóíêöèè) ñëåäóåò, ÷òî íàéäåòñÿ ε > 0 òàêîå, ÷òî Uε = {z | |z − z0 | 6 ε} ⊂ U è
0 < |z − z0 | 6 ε
=⇒
f 0 (z) 6= 0, f (z) 6= f (z0 ).
Òàêèì îáðàçîì, â êðóãå Uε ôóíêöèÿ f − f (z0 ) èìååò åäèíñòâåííûé íóëü êðàòíîñòè (n + 1).
Ïóñòü òåïåðü
δ = min |f (z) − f (z0 )| > 0
|z−z0 |=ε
è w∗ òàêîå, ÷òî 0 < |f (z0 ) − w∗ | < δ . Äîêàæåì, ÷òî ôóíêöèÿ f ïðèíèìàåò çíà÷åíèå w∗ â n
ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ, ïðèíàäëåæàùèõ Uε .
Çàìåòèì, ÷òî
|z − z0 | = ε =⇒ |f (z0 ) − w∗ | < δ 6 |f (z) − f (z0 )|.
Îòñþäà è èç òåîðåìû 7.4 (òåîðåìà Ðóøå) ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèè
f (z) − f (z0 )
è
f (z) − w∗ = f (z) − f (z0 ) + f (z0 ) − w∗
èìåþò â êðóãå Uε îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî íóëåé ñ ó÷åòîì èõ ïîðÿäêîâ. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî â êðóãå Uε
ïðè z 6= z0 âûïîëíåíî óñëîâèå f 0 (z) 6= 0, îòñþäà ïîëó÷èì, ÷òî ôóíêöèÿ f ïðèíèìàåò çíà÷åíèå
w∗ â êðóãå Uε ðîâíî â (n + 1) ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ.
Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ f íå îáðàòèìà â êðóãå Uε . Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå çàâåðøàåò
äîêàçàòåëüñòâî. Òåîðåìà 11.2 (Ïðèíöèï ñîõðàíåíèÿ îáëàñòè). Ïóñòü
• D îáëàñòü â C;
• f ∈ H(D);
• f íå ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ â D.
Òîãäà îáðàç îáëàñòè D ïðè îòîáðàæåíèè f ÿâëÿåòñÿ îáëàñòüþ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü G = f (D), z0 ∈ D , w0 ∈ G è f (z0 ) = w0 . Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû
íåîáõîäèìî äîêàçàòü, ÷òî íàéäåòñÿ îêðåñòíîñòü V òî÷êè w0 òàêàÿ, ÷òî V ⊂ G.
 ñëó÷àå f 0 (z0 ) 6= 0, òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç òåîðåìû 2.20. Åñëè æå f 0 (z0 ) = 0, òî
òàêæå êàê è ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 11.1 ïîëó÷èì, ÷òî íàéäåòñÿ îêðåñòíîñòü V òî÷êè w0
òàêàÿ, ÷òî äëÿ ëþáîãî w∗ ∈ V íàéäåòñÿ íå ìåíåå äâóõ òî÷åê z1 è z2 òàêèõ, ÷òî z1 ∈ D, z2 ∈ D
è f (z1 ) = f (z2 ) = w∗ . Ñëåäîâàòåëüíî, V ⊂ G (õîòÿ f è íå ÿâëÿåòñÿ îáðàòèìîé â îêðåñòíîñòè
òî÷êè z0 ) ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
81
11.2. Ëîêàëüíûå ñâîéñòâà êîíôîðìíûõ îòîáðàæåíèé.
Îïðåäåëåíèå 11.3 (Îáëàñòü â C). Ìíîæåñòâî òî÷åê D íà ðàñøèðåííîé êîìïëåêñíîé ïëîñ-
êîñòè
•
•
•
C íàçûâàþò îáëàñòüþ, åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ.
Îòêðûòîñòü: äëÿ ëþáîé êîíå÷íîé òî÷êè z0 ∈ D ∃ r > 0 : {z | |z − z0 | < r} ⊂ D ;
äëÿ áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êè z0 = ∞ ∈ D ∃ R > 0 : {z | |z| > R} ⊂ D.
Ëèíåéíàÿ ñâÿçíîñòü: äëÿ ëþáûõ äâóõ êîíå÷íûõ òî÷åê ìíîæåñòâà D íàéäåòñÿ ëîìàíàÿ (ëèíèÿ, ñîñòîÿùàÿ èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ïðÿìîëèíåéíûõ îòðåçêîâ) öåëèêîì ïðèíàäëåæàùàÿ D.
Îïðåäåëåíèå 11.4 (Êîíôîðìíîå îòîáðàæåíèå). Ãîâîðÿò, ÷òî f êîíôîðìíîå îòîáðàæåíèå
îáëàñòè D ⊂ C íà îáëàñòü G ⊂ C, åñëè
(1) f âçàèìíî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå D íà G;
(2) f ðåãóëÿðíàÿ ôóíêöèÿ â D, çà èñêëþ÷åíèåì íå áîëåå ÷åì îäíîé òî÷êè;
◦ ìû áóäåì ñ÷èòàòü ôóíêöèþ f ðåãóëÿðíîé íà áåñêîíå÷íîñòè, åñëè f èìååò óñòðàíèìóþ
îñîáåííîñòü íà áåñêîíå÷íîñòè.
Òåîðåìà 11.5 (Ïîâåäåíèå êîíôîðìíîãî îòîáðàæåíèÿ â îêðåñòíîñòè èçîëèðîâàííîé îñîáîé òî÷êè). Ïóñòü
• f êîíôîðìíîå îòîáðàæåíèå îáëàñòè D íà G;
• z0 ∈ D : f (z0 ) = ∞ ∈ G.
Òîãäà ôóíêöèÿ f èìååò â òî÷êå z0 ïîëþñ 1-ãî ïîðÿäêà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü z0 6= ∞. Ðàññìîòðèì âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ g =
1
.
f
Ëåãêî âèäåòü,
÷òî g âçàèìíî îäíîçíà÷íî îòîáðàæàåò îêðåñòíîñòü òî÷êè z0 íà îêðåñòíîñòü íóëÿ (g(z0 ) = 0).
Îòñþäà è èç òåîðåìû 11.1 ñëåäóåò, ÷òî g 0 (z0 ) 6= 0. Òàêèì îáðàçîì, ðàçëîæåíèå â ðÿä Òåéëîðà
ôóíêöèè â îêðåñòíîñòè òî÷êè z0 èìååò âèä
g(z) = g 0 (z0 )(z − z0 ) + O((z − z0 )2 ).
Ñëåäîâàòåëüíî,
1
1
1
= 0
+ O(1)
g(z)
g (z0 ) z − z0
ïðè z → z0 . Ïîñëåäíÿÿ îöåíêà îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèÿ f èìååò â òî÷êå z0 ïîëþñ ïåðâîãî ïîðÿäêà.
Ïóñòü òåïåðü z0 = ∞. Ðàññìîòðèì âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ
f (z) =
g(z) =
1
f
1
z
.
Çàìåòèì, ÷òî g âçàèìíî îäíîçíà÷íî îòîáðàæàåò îêðåñòíîñòü íóëÿ íà îêðåñòíîñòü íóëÿ. Òàêæå
êàê è ðàíåå ïîëó÷èì, ÷òî ðàçëîæåíèå â ðÿä Òåéëîðà ôóíêöèè â îêðåñòíîñòè òî÷êè íîëü èìååò
âèä
g(z) = g 0 (0)z + O(z 2 ).
Ñëåäîâàòåëüíî,
f (z) =
1
g
1
z
=
g 0 (0) z1
1
+O
1
z2
=
z
g 0 (0)
+ O(1)
ïðè z → ∞. Ïîñëåäíÿÿ îöåíêà îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèÿ f èìååò â áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êå
ïîëþñ ïåðâîãî ïîðÿäêà. 82
À. À. Ïîæàðñêèé
Òåîðåìà 11.6 (Ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà ïðîèçâîäíîé êîíôîðìíîãî îòîáðàæåíèÿ). Ïóñòü
• f êîíôîðìíîå îòîáðàæåíèå îáëàñòè D ⊂ C íà îáëàñòü G ⊂ C.
Òîãäà â îêðåñòíîñòè ëþáîé òî÷êè z0 ∈ D, ñ òî÷íîñòüþ äî O ((z − z0 )2 ), îòîáðàæåíèå f
ÿâëÿåòñÿ êîìïîçèöèåé ñëåäóþùèõ îòîáðàæåíèé
(1) ñäâèã íà −z0 ;
(2) ïîâîðîò íà óãîë arg f 0 (z0 ) (îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò);
(3) ðàñòÿæåíèå ñ êîýôôèöèåíòîì ðàñòÿæåíèÿ |f 0 (z0 )| (îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò);
(4) ñäâèã íà f (z0 ).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñëåäóåò èç ðàçëîæåíèÿ
0
f (z) = f (z0 ) + f 0 (z0 )(z − z0 ) + O (z − z0 )2 = f (z0 ) + r|f 0 (z0 )| ei(ϕ+arg f (z0 )) + O(r2 ),
ãäå
z → z0 ,
z − z0 = reiϕ . Òåîðåìà 11.7 (Ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà êîíôîðìíîãî îòîáðàæåíèÿ). Êîíôîðìíîå îòîáðàæå-
íèå ñîõðàíÿåò óãëû ìåæäó êðèâûìè, îðèåíòàöèþ, à òàêæå ôîðìó áåñêîíå÷íî ìàëûõ ôèãóð
ñ òî÷íîñòüþ äî áåñêîíå÷íî ìàëûõ áîëåå ñòàðøåãî ïîðÿäêà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñëåäóåò èç òåîðåìû 11.6. 11.3. Îáùèå ñâîéñòâà êîíôîðìíûõ îòîáðàæåíèé.
Òåîðåìà 11.8 (Ïðèíöèï ñîîòâåòñòâèÿ ãðàíèö). Ïóñòü
• D îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â C ñ êóñî÷íî-ãëàäêîé ãðàíèöåé ∂D;
• G îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â C ñ êóñî÷íî-ãëàäêîé ãðàíèöåé ∂G;
• f êîíôîðìíîå îòîáðàæåíèå D íà G.
Òîãäà ôóíêöèþ f ìîæíî äîîïðåäåëèòü íà D = D ∪ ∂D òàê, ÷òî
(1) f ∈ C(D);
(2) f âçàèìíî-îäíîçíà÷íî îòîáðàæàåò ∂D íà ∂G ñ ñîõðàíåíèåì îðèåíòàöèè.
Äîêàçàòåëüñòâî. Áåç äîêàçàòåëüñòâà. Òåîðåìà 11.9 (Îáðàòíûé ïðèíöèï ñîîòâåòñòâèÿ ãðàíèö). Ïóñòü
• D îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â C ñ êóñî÷íî-ãëàäêîé ãðàíèöåé ∂D;
• G îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â C ñ êóñî÷íî-ãëàäêîé ãðàíèöåé ∂G;
• f ∈ H(D) ∩ C(D);
• f âçàèìíî-îäíîçíà÷íî îòîáðàæàåò ∂D íà ∂G ñ ñîõðàíåíèåì îðèåíòàöèè.
Òîãäà f êîíôîðìíîå îòîáðàæåíèå D íà G.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü w0 ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà èç îáëàñòè G è N (w0 ) ÷èñëî ïðîîáðàçîâ
(ñ ó÷åòîì êðàòíîñòè) òî÷êè w0 â îáëàñòè D ïðè îòîáðàæåíèè f . Èç òåîðåìû 7.3 (ïðèíöèï
àðãóìåíòà) ñëåäóåò, ÷òî
1
1
N (w0 ) =
∆∂D arg(f (z) − w0 ) =
∆∂G arg(w − w0 ) = 1.
2π
2π
Çäåñü ìû òàêæå âîñïîëüçîâàëèñü òåì ôàêòîì, ÷òî f âçàèìíî-îäíîçíà÷íî îòîáðàæàåò ∂D
íà ∂G ñ ñîõðàíåíèåì îðèåíòàöèè.
Ïóñòü òåïåðü w0 6∈ G, òîãäà
1
1
N (w0 ) =
∆∂D arg(f (z) − w0 ) =
∆∂G arg(w − w0 ) = 0.
2π
2π
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
83
Òàêèì îáðàçîì, f âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå D íà G è, ñëåäîâàòåëüíî, f êîíôîðìíîå îòîáðàæåíèå D íà G. Òåîðåìà 11.10 (Òåîðåìà Ðèìàíà). Ïóñòü
• D îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü â C;
• ãðàíèöà ∂D îáëàñòè D ñîñòîèò áîëåå ÷åì èç îäíîé òî÷êè;
• z0 ∈ D, |w0 | < 1, α0 ∈ (−π, π].
Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå êîíôîðìíîå îòîáðàæåíèå f îáëàñòè D íà åäèíè÷íûé êðóã
{w | |w| < 1}, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿì
f (z0 ) = w0 ,
arg f 0 (z0 ) = α0 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Áåç äîêàçàòåëüñòâà. Çàìå÷àíèå 11.11.
• Êîìïëåêñíàÿ ïëîñêîñòü C íå ìîæåò áûòü êîíôîðìíî îòîáðàæåíà íà åäèíè÷íûé êðóã.
• Ðàñøèðåííàÿ êîìïëåêñíàÿ ïëîñêîñòü C íå ìîæåò áûòü êîíôîðìíî îòîáðàæåíà íà
åäèíè÷íûé êðóã.
• Ðàñøèðåííàÿ êîìïëåêñíàÿ ïëîñêîñòü C íå ìîæåò áûòü êîíôîðìíî îòîáðàæåíà íà
êîìïëåêñíóþ ïëîñêîñòü C.
11.4. Äðîáíî-ëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ.
Îïðåäåëåíèå 11.12 (Äðîáíî-ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå). Äðîáíî-ëèíåéíûì îòîáðàæåíèåì íà-
çûâàþò îòîáðàæåíèå âèäà
az + b
∈ C,
cz + d
ãäå ad − bc 6= 0. Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî
= ac è az+b
• åñëè c 6= 0, òî az+b
= ∞;
cz+d z=∞
cz+d z=− dc
= ∞.
• åñëè c = 0, òî az+b C 3 z 7−→
cz+d z=∞
Òåîðåìà 11.13 (Îáùèé âèä êîíôîðìíîãî îòîáðàæåíèÿ ðàñøèðåííîé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè
íà ñåáÿ). Äëÿ òîãî, ÷òîáû f áûëî êîíôîðìíûì îòîáðàæåíèåì ðàñøèðåííîé êîìïëåêñíîé ïëîñ-
êîñòè íà ñåáÿ íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òî f áûëî äðîáíî-ëèíåéíûì îòîáðàæåíèåì.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íîñòü (⇐=). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî w ∈ C óðàâíåíèå
w=
az + b
cz + d
(11.1)
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå
b − dw
.
cw − a
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äðîáíî-ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå âçàèìíî-îäíîçíà÷íî îòîáðàæàåò ðàñøèðåííóþ êîìïëåêñíóþ ïëîñêîñòü íà ñåáÿ. Êðîìå òîãî, ëåãêî âèäåòü, ÷òî äðîáíî-ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ
(11.1) ðåãóëÿðíà â C \ {− dc } (åñëè c = 0, ïîëàãàåì − dc = ∞). Íåîáõîäèìîñòü (=⇒). Ïóñòü f êîíôîðìíîå îòîáðàæåíèå ðàñøèðåííîé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè íà ñåáÿ. Èç îïðåäåëåíèÿ 11.4 ñëåäóåò, ÷òî f èìååò åäèíñòâåííóþ îñîáóþ òî÷êó â C.
Îáîçíà÷èì ýòó îñîáóþ òî÷êó ÷åðåç z0 . Èç òåîðåìû 11.5 ñëåäóåò, ÷òî f èìååò â òî÷êå z0 ïîëþñ
ïåðâîãî ïîðÿäêà.
z=
84
À. À. Ïîæàðñêèé
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà z0 6= ∞. Îáîçíà÷èì âû÷åò ôóíêöèè f â òî÷êå z0 ÷åðåç A. Òîãäà
ôóíêöèÿ
A
g(z) = f (z) −
z − z0
ðåãóëÿðíà âî âñåé ðàñøèðåííîé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè è, ñëåäîâàòåëüíî, îãðàíè÷åíà. Òåïåðü
èç òåîðåìû 3.24 (òåîðåìà Ëèóâèëëÿ) ñëåäóåò, ÷òî g ≡ C â C. Îòñþäà ïîëó÷èì, ÷òî
A
A
Cz + A − Cz0
=C+
=
.
z − z0
z − z0
z − z0
Òàêèì îáðàçîì, f äðîáíî-ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå.
 ñëó÷àå, åñëè z0 = ∞, ôóíêöèÿ f èìååò åäèíñòâåííóþ îñîáóþ òî÷êó íà áåñêîíå÷íîñòè. Ïðè
ýòîì èç òåîðåìû 11.5 ñëåäóåò, ÷òî ðÿä Ëîðàíà ôóíêöèè f â îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íîñòè èìååò
âèä
f (z) = Az + O(1), z → ∞.
Îòñþäà è èç òåîðåìû 3.25 (îáîáùåííàÿ òåîðåìà Ëèóâèëëÿ) ñëåäóåò, ÷òî f ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ. f (z) = g(z) +
Òåîðåìà 11.14 (Êðóãîâîå ñâîéñòâî äðîáíî-ëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé). Ïðè äðîáíî-ëèíåéíîì
îòîáðàæåíèè îáðàç ëþáîé îêðóæíîñòè èëè ïðÿìîé ÿâëÿåòñÿ îêðóæíîñòüþ èëè ïðÿìîé.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü äðîáíî-ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå èìååò âèä (11.1). Åñëè c = 0, òî îòîáðàæåíèå (11.1) ëèíåéíî è, ñëåäîâàòåëüíî, ÿâëÿåòñÿ êîìïîçèöèåé ñäâèãà, ïîâîðîòà è ðàñòÿæåíèÿ.
Êàæäîå èç óêàçàííûõ ïðåîáðàçîâàíèé îòîáðàæàåò îêðóæíîñòü â îêðóæíîñòü è ïðÿìóþ â ïðÿìóþ.
Ïóñòü òåïåðü c 6= 0. Òîãäà îòîáðàæåíèå (11.1) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
A
+ C.
(11.2)
z − z0
Èç (11.2) ñëåäóåò, ÷òî f ÿâëÿåòñÿ êîìïîçèöèåé ñäâèãà, èíâåðñèè, ïîâîðîòà, ðàñòÿæåíèÿ è ñíîâà
ñäâèãà. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî ïðè èíâåðñèè
1
(11.3)
w=
z
îáðàç ëþáîé îêðóæíîñòè èëè ïðÿìîé ÿâëÿåòñÿ îêðóæíîñòüþ èëè ïðÿìîé.
Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå ëþáîé ïðÿìîé èëè îêðóæíîñòè â C ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
f (z) =
az z̄ + Dz + Dz + b = 0,
(11.4)
ãäå a ∈ R, b ∈ R è D ∈ C. Ïðè a = 0 (11.4) ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì ïðÿìîé, à ïðè a 6= 0 óðàâíåíèåì îêðóæíîñòè.
Èíâåðñèÿ (11.3) ïðåîáðàçóåò óðàâíåíèå (11.4) ê âèäó
a + Dw̄ + D̄w + bww̄ = 0.
(11.5)
Óðàâíåíèå (11.5), òàêæå êàê è (11.4), ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì ïðÿìîé èëè îêðóæíîñòè. Îïðåäåëåíèå 11.15 (Ñèììåòðè÷íûå òî÷êè îòíîñèòåëüíî îêðóæíîñòè). Ãîâîðÿò, ÷òî z1 è z2
ñèììåòðè÷íûå òî÷êè îòíîñèòåëüíî îêðóæíîñòè |z − z0 | = R, åñëè
(1) òî÷êè z1 è z2 ëåæàò íà îäíîì ëó÷å, íà÷èíàþùèìñÿ â òî÷êå z0 ;
(2) |z1 − z0 | · |z2 − z0 | = R2 ;
◦ òî÷êà z0 ñ÷èòàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé òî÷êå ∞.
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
85
Òåîðåìà 11.16 (Ñâîéñòâà ñèììåòðè÷íûõ òî÷åê ïðè äðîáíî-ëèíåéíûõ îòîáðàæåíèÿõ). Ïóñòü
• f äðîáíî-ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå;
• γ îêðóæíîñòü èëè ïðÿìàÿ;
• z1 è z2 ñèììåòðè÷íûå òî÷êè îòíîñèòåëüíî γ ;
• Γ îáðàç γ ïðè îòîáðàæåíèè f ;
• w1 = f (z1 ) è w2 = f (z2 ).
Òîãäà w1 è w2 ñèììåòðè÷íûå òî÷êè îòíîñèòåëüíî Γ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Áåç äîêàçàòåëüñòâà. 11.5. Êîíôîðìíûå îòîáðàæåíèÿ åäèíè÷íîãî êðóãà íà ñåáÿ.
Òåîðåìà 11.17 (Îáùèé âèä êîíôîðìíîãî îòîáðàæåíèÿ åäèíè÷íîãî êðóãà íà ñåáÿ). Ïóñòü
• f êîíôîðìíîå îòîáðàæåíèå åäèíè÷íîãî êðóãà D = {z | |z| < 1} íà ñåáÿ.
Òîãäà ñóùåñòâóþò z0 ∈ D è ϕ ∈ (−π, π] òàêèå, ÷òî
z − z0
∀ z ∈ D f (z) = eiϕ
1 − z¯0 z
(11.6)
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç òîãî, ÷òî f êîíôîðìíîå îòîáðàæåíèå åäèíè÷íîãî êðóãà D íà ñåáÿ,
ñëåäóåò, ÷òî íàéäåòñÿ òî÷êà z0 ∈ D òàêàÿ, ÷òî f (z0 ) = 0. Ïîëîæèì ϕ = arg f 0 (z0 ).
Èç òåîðåìû 11.10 (òåîðåìà Ðèìàíà) ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå êîíôîðìíîå îòîáðàæåíèå f åäèíè÷íîãî êðóãà D íà ñåáÿ òàêîå, ÷òî
f (z0 ) = 0,
arg f 0 (z0 ) = ϕ.
(11.7)
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû íåîáõîäèìî ïîêàçàòü, ÷òî f , îïðåäåëÿåìîå ôîðìóëîé (11.6), êîíôîðìíî îòîáðàæàåò åäèíè÷íûé êðóã D íà ñåáÿ è, êðîìå òîãî, óäîâëåòâîðÿåò
óñëîâèþ (11.7).
Âûïîëíåíèå óñëîâèé (11.7) ñëåäóåò èç î÷åâèäíîãî ðàâåíñòâà
1
f 0 (z0 ) = eiϕ
.
1 − |z0 |2
Ïðîâåðèì òåïåðü, ÷òî f , îïðåäåëÿåìîå ôîðìóëîé (11.6), êîíôîðìíî îòîáðàæàåò åäèíè÷íûé
êðóã D íà ñåáÿ. Èç òåîðåìû 11.13 ñëåäóåò, ÷òî ôîðìóëà (11.6) îïðåäåëÿåò êîíôîðìíîå îòîáðàæåíèå ðàñøèðåííîé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè íà ñåáÿ. Äàëåå, òî÷êè z0 è z¯0 −1 ñèììåòðè÷íû
îòíîñèòåëüíî îêðóæíîñòè γ = {z | |z| = 1}, ïðè÷åì
f (z0 ) = 0, f z¯0 −1 = ∞.
Îòñþäà è èç òåîðåìû 11.16 ñëåäóåò, ÷òî îáðàçîì îêðóæíîñòè γ ïðè äðîáíî-ëèíåéíîì îòîáðàæåíèè (11.6) ÿâëÿåòñÿ îêðóæíîñòü Γ ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò. Äëÿ òîãî ÷òîáû âûÿñíèòü
ðàäèóñ îêðóæíîñòè Γ, çàìåòèì, ÷òî
iϕ 1 − z0 |1 − z0 |
=
|f (1)| = e
= 1.
1 − z¯0 |1 − z¯0 |
Ñëåäîâàòåëüíî, Γ îêðóæíîñòü åäèíè÷íîãî ðàäèóñà ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò.
Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà îñòàëîñü âñïîìíèòü, ÷òî îòîáðàæåíèå (11.6) êîíôîðìíî
îòîáðàæàåò ðàñøèðåííóþ êîìïëåêñíóþ ïëîñêîñòü íà ñåáÿ è, ñëåäîâàòåëüíî, êîíôîðìíî îòîáðàæàåò âíóòðåííîñòü îêðóæíîñòè γ íà âíóòðåííîñòü îêðóæíîñòè Γ. 86
À. À. Ïîæàðñêèé
12.
Ôèçè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ êîíôîðìíûõ îòîáðàæåíèé
12.1. Çàäà÷à Äèðèõëå äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà.
Òåîðåìà 12.1 (Òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Äèðèõëå äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà). Ïóñòü
• D îáëàñòü (âîçìîæíî, íåîãðàíè÷åííàÿ) â R2 ñ êóñî÷íî-ãëàäêîé ãðàíèöåé γ ;
• u0 êóñî÷íî-íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ íà γ ;
• E (êîíå÷íîå) ìíîæåñòâî òî÷åê ðàçðûâà ôóíêöèè u0 .
Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå u çàäà÷è
(12.1)
u ∈ C 2 (D) ∩ C(D \ E),
∀ (x, y) ∈ D
∆u(x, y) = 0,
∀ (x, y) ∈ γ \ E
def
∆=
2
2
∂
∂
+ y,
2
∂x
∂x
(12.2)
(12.3)
u(x, y) = u0 (x, y),
∃ C > 0 : ∀ (x, y) ∈ D
(12.4)
|u(x, y)| 6 C.
Çàäà÷ó (12.1) (12.4) íàçûâàþò çàäà÷åé Äèðèõëå äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Áåç äîêàçàòåëüñòâà. Òåîðåìà 12.2 (Ôîðìóëà Ïóàññîíà äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷à Äèðèõëå äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà â
êðóãå). Ïóñòü
• D = {z | |z| < 1}, D = {z | |z| 6 1};
• u âåùåñòâåííî-çíà÷íàÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ íà D;
• u ∈ C 2 (D) ∩ C(D);
• ∀ z ∈ D ∆u(z) = 0.
Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà Ïóàññîíà
∀ re
iϕ
∈D
1
u(re ) =
2π
iϕ
Z2π
u(eiθ )
1 − r2
dθ.
1 − 2r cos(ϕ − θ) + r2
(12.5)
0
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç òåîðåìû 2.17 ñëåäóåò, ÷òî íàéäåòñÿ ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ v â êðóãå D
òàêàÿ, ÷òî f = u + iv ∈ H(D). Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó z0 = reiϕ â îáëàñòè D. Èç
òåîðåìû 11.17 ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ
∀z∈D
g(z) =
z − z0
1 − z0 z
îñóùåñòâëÿåò êîíôîðìíîå îòîáðàæåíèå êðóãà D íà ñåáÿ, ïðè÷åì g(z0 ) = 0. Ñëåäîâàòåëüíî,
f ◦ g −1 ∈ H(D) è f ◦ g −1 (0) = f (z0 ).
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî U = Re (f ◦ g −1 ) ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ âïëîòü äî ãðàíèöû. Ïðèìåíÿÿ ê íåé òåîðåìó 3.16 (òåîðåìà î ñðåäíåì äëÿ ãàðìîíè÷åñêèõ ôóíêöèé), ïîëó÷èì,
÷òî
Z2π
Z2π
Z2π
h
i
1
1
1
g 0 (eiθ ) iθ
iψ
−1 iψ
iψ
iθ
u(z0 ) = U (0) =
U (e ) dψ =
u ◦ g (e ) dψ = e = g(e ) =
u(eiθ )
e dθ.
2π
2π
2π
g(eiθ )
0
0
0
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
87
Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî
0 0 0 g (z)
g 0 (eiθ ) iθ
e =
z
= ln g(z) z = ln(z − z0 ) − ln(1 − z0 z) z =
g(eiθ )
g(z)
iθ
iθ
z=e
z=e
z=eiθ
1
2
z0 1 − |z0 |2
1
−
|z
|
0
+
z
=
z =
=
=
z0
z − z0 1 − z0 z
(z − z0 )(1 − z0 z)
1 − zz0 − + |z0 |2 iθ
iθ
iθ
z=e
2
=
1−
z=e
z
z=e
2
1−r
1−r
=
.
iϕ−iθ
2
− re
+r
1 − 2r cos(ϕ − θ) + r2
reiθ−iϕ
Òåîðåìà 12.3 (Êîíôîðìíàÿ èíâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà). Ïóñòü
• D è D∗ îäíîñâÿçíûå îáëàñòè â C;
• u ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ â D;
• g êîíôîðìíîå îòîáðàæåíèå îáëàñòè D∗ íà îáëàñòü D.
Òîãäà u ◦ g ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ â D∗ .
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç òåîðåìû 2.17 ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ðåãóëÿðíàÿ ôóíêöèÿ f â îáëàñòè D
òàêàÿ, ÷òî Re f = u. Èç òåîðåìû 2.7 ïîëó÷èì, ÷òî f ◦ g ∈ H(D∗ ). Îòñþäà è èç òåîðåìû 2.14
ñëåäóåò, ÷òî u ◦ g = Re(f ◦ g) ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ â D∗ . 12.2. Êîìïëåêñíûé ïîòåíöèàë ïëîñêîãî ïîëÿ.
Îïðåäåëåíèå 12.4 (Ïëîñêîå ïîëå). Ïóñòü
• D îáëàñòü â C;
• A îòîáðàæåíèå èç D â C;
Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî A ïëîñêîå ïîëå â D èëè, ñîêðàùåííî, ïîëå.
Îïðåäåëåíèå 12.5 (Ñîëåíîèäàëüíîå ïîëå). Ïóñòü
• D îáëàñòü â C;
• A = Ax + iAy ïîëå â D;
y
x
• div A = ∂A
+ ∂A
= 0.
∂x
∂y
Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî A ñîëåíîèäàëüíîå ïîëå â îáëàñòè D.
Îïðåäåëåíèå 12.6 (Ïîòåíöèàëüíîå ïîëå). Ïóñòü
• D îáëàñòü â C;
• A = Ax + iAy ïîëå â D;
y
x
• rot A = ∂A
− ∂A
= 0.
∂x
∂y
Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî A ïîòåíöèàëüíîå ïîëå â îáëàñòè D.
Îïðåäåëåíèå 12.7 (Ãàðìîíè÷åñêîå ïîëå). Ïóñòü
• D îáëàñòü â C;
• A = Ax + iAy ïîëå â D;
• A ñîëåíîèäàëüíîå ïîëå;
• A ïîòåíöèàëüíîå ïîëå.
Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî A ãàðìîíè÷åñêîå ïîëå â îáëàñòè D.
Òåîðåìà 12.8 (Êîìïëåêñíûé ïîòåíöèàë ïëîñêîãî ïîëÿ). Ïóñòü
• D îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü â C;
• A ãàðìîíè÷åñêîå ïîëå â D.
88
À. À. Ïîæàðñêèé
Òîãäà ñóùåñòâóåò f ∈ H(D) òàêàÿ, ÷òî
∀z∈D
A(z) = f 0 (z).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
∀z∈D
g(z) = A(z) = Ax (x, y) − iAy (x, y).
Èç ïîòåíöèàëüíîñòè è ñîëåíîèäàëüíîñòè ïîëÿ A ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ g óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì Êîøè-Ðèìàíà è, ñëåäîâàòåëüíî, g ∈ H(D).
Èç òåîðåìû 3.10 ñëåäóåò, ÷òî g èìååò ïåðâîîáðàçíóþ â îáëàñòè D. Áîëåå òî÷íî,
∃ f ∈ H(D) : ∀ z ∈ D f 0 (z) = g(z).
Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî
∀z∈D
A(z) = g(z) = f 0 (z). Îïðåäåëåíèå 12.9 (Êîìïëåêñíûé ïîòåíöèàë ïîëÿ). Ïóñòü
• D îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü â C;
• A ãàðìîíè÷åñêîå ïîëå â D;
• f ∈ H(D) òàêàÿ, ÷òî A = f 0 â îáëàñòè D.
Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî f êîìïëåêñíûé ïîòåíöèàë ïîëÿ A.
Îïðåäåëåíèå 12.10 (Òðàåêòîðèÿ ïîëÿ). Ïóñòü
• D îáëàñòü â C;
• A ãàðìîíè÷åñêîå ïîëå â D;
• z : [t1 , t2 ] −→ D ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
dz(t)
= A(z(t)).
dt
Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî z(·) òðàåêòîðèÿ ïîëÿ A.
∀ t ∈ [t1 , t2 ]
Îïðåäåëåíèå 12.11 (Ýêâèïîòåíöèàëüíûå ëèíèè ïîëÿ). Ïóñòü
• D îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü â C;
• A ãàðìîíè÷åñêîå ïîëå â D;
• f = u + iv êîìïëåêñíûé ïîòåíöèàë ïîëÿ A.
Òîãäà ëþáóþ ëèíèþ óðîâíÿ ôóíêöèè u (ò. å. êðèâóþ, óäîâëåòâîðÿþùóþ óðàâíåíèþ u = C ,
ãäå C íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ) íàçûâàþò ýêâèïîòåíöèàëüíîé ëèíèåé ïîëÿ A.
Òåîðåìà 12.12 (Îñíîâíîå ñâîéñòâî ýêâèïîòåíöèàëüíûõ ëèíèé). Ïóñòü
• D îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü â C;
• A ãàðìîíè÷åñêîå ïîëå â D;
• f = u + iv êîìïëåêñíûé ïîòåíöèàë ïîëÿ A;
• z1 ∈ D, z2 ∈ D ëåæàò íà îäíîé ýêâèïîòåíöèàëüíîé ëèíèè ïîëÿ A (ò. å. u(z1 ) = u(z2 ));
• γ êóñî÷íî-ãëàäêàÿ êðèâàÿ â D, ñîåäèíÿþùàÿ òî÷êè z1 è z2 .
Òîãäà ðàáîòà ïîëÿ A ïî ïåðåìåùåíèþ òî÷êè âäîëü êðèâîé γ ðàâíà íóëþ. Áîëåå òî÷íî,
Z
Ax dx + Ay dy = 0.
γ
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
89
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç òîãî, ÷òî f = u + iv êîìïëåêñíûé ïîòåíöèàë ïîëÿ A ìîæíî âûâåñòè,
÷òî
Ax =
Ñëåäîâàòåëüíî,
Z
Z
Ax dx + Ay dy =
γ
∂u
,
∂x
Ay =
∂u
∂u
dx +
dy =
∂x
∂y
γ
∂u
.
∂y
Z
du = u(z2 ) − u(z1 ) = 0. γ
Îïðåäåëåíèå 12.13 (Ëèíèÿ òîêà ïîëÿ). Ïóñòü
• D îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü â C;
• A ãàðìîíè÷åñêîå ïîëå â D;
• f = u + iv êîìïëåêñíûé ïîòåíöèàë ïîëÿ A.
Òîãäà ëþáóþ ëèíèþ óðîâíÿ ôóíêöèè v íàçûâàþò ëèíèåé òîêà ïîëÿ A.
Òåîðåìà 12.14 (Îñíîâíîå ñâîéñòâî ëèíèé òîêà). Ïóñòü
• D îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü â C;
• A ãàðìîíè÷åñêîå ïîëå â D;
• f = u + iv êîìïëåêñíûé ïîòåíöèàë ïîëÿ A;
• z : [t1 , t2 ] −→ D òðàåêòîðèÿ ïîëÿ A.
Òîãäà
∃ C ∈ R : ∀ t ∈ [t1 , t2 ] v(z(t)) = C.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî
d Im f (z(t))
∀ t ∈ [t1 , t2 ]
dt
df (z(t))
dt
= Im (f 0 (z(t)) z 0 (t)) = Im (f 0 (z(t)) A(z(t))) =
2
0
0
0
= Im f (z(t)) f (z(t)) = Im |f (z(t))| = 0 = Im
12.3. Ïîëå ñêîðîñòåé èäåàëüíîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè. Ðàññìîòðèì ñòàöèîíàðíîå ïëîñêîïàðàëëåëüíîå òå÷åíèå èäåàëüíîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè â îáëàñòè D ⊂ C. Ïóñòü V = Vx + iVy
ïîëå ñêîðîñòåé ðàññìàòðèâàåìîé æèäêîñòè. Èçâåñòíî, ÷òî ïîëå ñêîðîñòåé V óäîâëåòâîðÿåò
óðàâíåíèþ íåðàçðûâíîñòè
∂Vx ∂Vy
+
=0
div V =
∂x
∂y
è óðàâíåíèþ íåñæèìàåìîñòè
∂Vy ∂Vx
rot V =
−
= 0.
∂x
∂y
Èç òåîðåìû 12.8 ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò êîìïëåêñíûé ïîòåíöèàë f ïîëÿ ñêîðîñòåé V .
Òåîðåìà 12.15 (Êîìïëåêñíûé ïîòåíöèàë äëÿ áåñêîíå÷íî ãëóáîêîãî ïëîñêî-ïàðàëëåëüíîãî
ïîòîêà èäåàëüíîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè). Ïóñòü
•
•
•
•
•
D îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü â C;
ãðàíèöà γ îáëàñòè D ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàíà îòíîñèòåëüíî D;
γ ñîäåðæèò áåñêîíå÷íî óäàëåííóþ òî÷êó;
γ ãëàäêàÿ êðèâàÿ â C;
â îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êè γ ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé;
90
À. À. Ïîæàðñêèé
• V∞ > 0.
Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ãàðìîíè÷åñêîå ïîëå ñêîðîñòåé V òàêîå, ÷òî
(1) ïîëå V îáòåêàåò êðèâóþ γ (ò. å. γ ÿâëÿåòñÿ ëèíèåé òîêà ïîëÿ V ) â íàïðàâëåíèè
çàäàííîì îðèåíòàöèåé íà γ ;
(2) ïîëå V ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíî â îáëàñòè D;
(3) |V (z)| = V∞ + o(1) ïðè D 3 z → ∞.
Êðîìå òîãî, ñóùåñòâóåò êîìïëåêñíûé ïîòåíöèàë f ïîëÿ ñêîðîñòåé V , óäîâëåòâîðÿþùèé
ñëåäóþùèì óñëîâèÿì4
(1) f êîíôîðìíîå îòîáðàæåíèå îáëàñòè D íà ïîëóïëîñêîñòü Π+ = {w | Im w > 0};
(2) f (∞) = ∞;
(3) |f 0 (z)| = V∞ + o(1) ïðè D 3 z → ∞.
Èäåÿ äîêàçàòåëüñòâà. Îáñóäèì èäåþ äîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ êîìïëåêñíîãî ïîòåíöè-
àëà f , óäîâëåòâîðÿþùåãî óñëîâèÿì òåîðåìû. Èç òåîðåìû 11.10 (òåîðåìà Ðèìàíà) ñëåäóåò, ÷òî
ñóùåñòâóåò êîíôîðìíîå îòîáðàæåíèå f îáëàñòè D íà âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü Π+ = {w | Im w >
0}. Ïðè ýòîì f îïðåäåëåíî ñ òî÷íîñòüþ äî ïðîèçâîëüíîãî âûáîðà òðåõ âåùåñòâåííûõ ïîñòîÿííûõ. Âûáèðàÿ ýòè ïîñòîÿííûå ïîäõîäÿùèì îáðàçîì, âñåãäà ìîæíî óäîâëåòâîðèòü äâóì óñëîâèÿì (2) è (3). Çàìåòèì, ÷òî ïðè ýòîì îñòàíåòñÿ âîçìîæíûì ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì ôèêñèðîâàòü
òðåòüþ âåùåñòâåííóþ ïîñòîÿííóþ. Ýòîò ïðîèçâîë ñâÿçàí èíâàðèàíòíîñòüþ âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè îòíîñèòåëüíî ñäâèãîâ âäîëü îñè Ox è íå ïðèâîäèò ê íåîäíîçíà÷íîìó îïðåäåëåíèþ ïîëÿ
ñêîðîñòåé V .
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ çàäàííîãî ïîëÿ ñêîðîñòåé, äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî ïîëå ñêîðîñòåé V , ïîñòðîåííîå ïî êîìïëåêñíîìó ïîòåíöèàëó f , óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû.
Èç òîãî, ÷òî îáðàçîì ãðàíèöû γ ÿâëÿåòñÿ âåùåñòâåííàÿ îñü ñëåäóåò, ÷òî
∀z∈γ
v(z) = Im f (z) = 0.
Òàêèì îáðàçîì, γ ëèíèÿ òîêà ïîëÿ V .
Ðàâíîìåðíàÿ îãðàíè÷åííîñòü ïîëÿ V ÿâëÿåòñÿ íå âïîëíå òðèâèàëüíûì ôàêòîì è íà åå äîêàçàòåëüñòâå ìû îñòàíàâëèâàòüñÿ íå áóäåì. Îòìåòèì ëèøü, ÷òî ðàâíîìåðíàÿ îãðàíè÷åííîñòü
ïîëÿ V ñëåäóåò èç ãëàäêîñòè ãðàíèöû γ (äëÿ íåãëàäêèõ ãðàíèö ïîëå V ìîæåò îêàçàòüñÿ íåîãðàíè÷åííûì (ñì. ïðèìåð 12.16)).
Èç |f 0 (z)| = V∞ + o(1) ñëåäóåò, ÷òî |V (z)| = V∞ + o(1) ïðè D 3 z → ∞.
Óòâåðæäåíèå î åäèíñòâåííîñòè ïîëÿ ñêîðîñòåé V îñòàâèì áåç äîêàçàòåëüñòâà. Ïðèìåð 12.16. Íàéòè ïîëå ñêîðîñòåé V èäåàëüíîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè â îáëàñòè
D = {z | Im z > 0} \ {z | z = iy, y ∈ (0, h)},
ãäå h > 0, óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèþ |V (z)| = V∞ + o(1) ïðè D 3 z → ∞, ãäå V∞ > 0, è
îáòåêàþùåå ãðàíèöó îáëàñòè D â íàïðàâëåíèè îò −∞ ê +∞.
Ðåøåíèå. Ïîñòðîèì êîíôîðìíîå îòîáðàæåíèå îáëàñòè D íà âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü Π+ . Îòîá-
ðàæåíèå
z1 = z 2 ,
êîíôîðìíî îòîáðàæàåò îáëàñòü D íà îáëàñòü
z∈D
D1 = C \ {z1 | z1 = x1 , x1 ∈ (−h2 , +∞)}.
4Îòìåòèì, ÷òî êîìïëåêñíûé ïîòåíöèàë îïðåäåëÿåòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ïðèáàâëåíèÿ ïðîèçâîëüíîé ïîñòîÿííîé.
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (5 ÑÅÌÅÑÒÐ)
91
Îòîáðàæåíèå
z2 = z1 + h2 ,
êîíôîðìíî îòîáðàæàåò îáëàñòü D1 íà îáëàñòü
z1 ∈ D1
D2 = C \ {z2 | z2 = x2 , x2 ∈ (0, +∞)}.
Îòîáðàæåíèå
√
z3 = z2 , z2 ∈ D2 ,
√
ãäå âûáðàíà âåòâü êîðíÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ −1 = i, êîíôîðìíî îòîáðàæàåò îáëàñòü
D2 íà âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü Π+ . Çàìåòèì, ÷òî ïîëó÷åííîå îòîáðàæåíèå îáëàñòè D íà Π+
ïåðåâîäèò ∞ â ∞. Îáùåå îòîáðàæåíèå âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè Π+ íà ñåáÿ ìîæíî çàïèñàòü â
âèäå
w = az3 + b, z3 ∈ Π+ ,
ãäå a > 0 è b ∈ R.
Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ
√
w = f (z) = a z 2 + h2 + b, z ∈ D
êîíôîðìíî îòîáðàæàåò îáëàñòü D íà âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü Π+ . ëåãêî âèäåòü, ÷òî
1
0
f (z) = a + O
, z −→ ∞.
z
Ïîëàãàÿ a = V∞ è b = 0 (âûáîð b íå âëèÿåò íà ïîëå ñêîðîñòåé V ) íàéäåì êîìïëåêñíûé ïîòåíöèàë
ïîëÿ V
√
f (z) = V∞ z 2 + h2 , z ∈ D.
Îòñþäà è èç òåîðåìû 12.15 ñëåäóåò, ÷òî
z
0
V (z) = f (z) = V∞ √
, z ∈ D.
(12.6)
z 2 + h2
Èç (12.6) ñëåäóåò, ÷òî ñêîðîñòü ïîòîêà ïðè ïðèáëèæåíèè ê òî÷êå z = ih ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, â òî âðåìÿ êàê ïðè ïðèáëèæåíèè ê z = 0 ñêîðîñòü ïîòîêà ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. 12.4. Ïîëå ñêîðîñòåé èäåàëüíîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè (äîïîëíåíèå).
Îïðåäåëåíèå 12.17 (Ïîòîê ïëîñêîãî ïîëÿ ÷åðåç çàìêíóòûé êîíòóð). Ïóñòü
• D îáëàñòü â C;
• A = Ax + iAy ïîëå â D;
• γ ãëàäêèé çàìêíóòûé êîíòóð â D ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííûé îòíîñèòåëüíî
ñâîåé âíóòðåííîñòè;
• n = nx + ny åäèíè÷íàÿ âíåøíÿÿ íîðìàëü ê γ .
Ïîòîêîì ïîëÿ A ÷åðåç êîíòóð γ â íàïðàâëåíèè âíåøíåé íîðìàëè n íàçûâàþò ÷èñëî5
I
N = Ax dy − Ay dx.
γ
Îïðåäåëåíèå 12.18 (Öèðêóëÿöèÿ ïëîñêîãî ïîëÿ âäîëü çàìêíóòîãî êîíòóðà). Ïóñòü
• D îáëàñòü â C;
5Ýòî îïðåäåëåíèå ýêâèâàëåíòíî êëàññè÷åñêîìó: N = H (A, n) dl, ãäå (A, n) = A n + A n ñêàëÿðíîå ïðîèçx x
y y
γ
âåäåíèå âåêòîðîâ A è n.
92
À. À. Ïîæàðñêèé
• A = Ax + iAy ïîëå â D;
• γ ãëàäêèé çàìêíóòûé îðèåíòèðîâàííûé êîíòóð â D;
• τ = τx + τy åäèíè÷íûé êàñàòåëüíûé âåêòîð ê γ , ñîãëàñîâàííûé ñ îðèåíòàöèåé íà γ .
Öèðêóëÿöèåé ïîëÿ A âäîëü êîíòóðà γ â íàïðàâëåíèè çàäàííîì îðèåíòàöèåé íà γ íàçûâàþò
÷èñëî6
I
Γ = Ax dx + Ay dy.
γ
Òåîðåìà 12.19 (Ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíèå ïîòîêà è öèðêóëÿöèè ïëîñêîãî ïîëÿ ÷åðåç çàìêíóòûé êîíòóð). Ïóñòü
• D îáëàñòü â C;
• A = Ax + iAy ïîëå â D;
• γ ãëàäêèé çàìêíóòûé êîíòóð â D ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííûé îòíîñèòåëüíî
ñâîåé âíóòðåííîñòè;
• n = nx + ny åäèíè÷íàÿ âíåøíÿÿ íîðìàëü ê γ ;
• N ïîòîê ïîëÿ A ÷åðåç êîíòóð γ â íàïðàâëåíèè âíåøíåé íîðìàëè n;
• Γ öèðêóëÿöèÿ ïîëÿ A âäîëü êîíòóðà γ â íàïðàâëåíèè çàäàííîì îðèåíòàöèåé íà γ .
Òîãäà




I
I
Γ = Re  A(z) dz  , N = Im  A(z) dz  .
γ
γ
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òî
I
I
(Ax − iAy ) (dx + i dy) =
A(z) dz =
γ
I
γ
I
Ax dy − Ay dx = Γ + iN.
Ax dx + Ay dy + i
γ
γ
Îòñþäà è èç âêëþ÷åíèé Γ ∈ R, N &isin