Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç  I Ëåêöèÿ 7 Äîïîëíåíèÿ ê ïðåäûäóùèì ëåêöèÿì

Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç I
Ëåêöèÿ 7
Äîïîëíåíèÿ ê ïðåäûäóùèì ëåêöèÿì
ß õî÷ó ñôîðìóëèðîâàòü åùå íåñêîëüêî ïðîñòûõ ñâîéñòâ ïðåäåëîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Äîêàæèòå èõ ñàìîñòîÿòåëüíî.
Ïðåäëîæåíèå 1. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (an ) è (bn ) ñõîäÿòñÿ, è an 6 bn äëÿ ëþáîãî
n ∈ N , òî lim an 6 lim bn .
n→
−∞
n→
−∞
Ïðåäëîæåíèå 2. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (an ) ðàçáèòà íà êîíå÷íîå ÷èñëî ïîäïîñëåäîâà-
òåëüíîñòåé, êîòîðûå ñõîäÿòñÿ ê îäíîìó è òîìó æå ÷èñëó a , òî è âñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ñõîäèòñÿ ê a .
Êðîìå òîãî, â îäíîé èç ïðåäûäóùèõ ëåêöèé áûëî ïîñòðîåíî ñå÷åíèå (A, B) , ãäå A = {x ∈
R | x < 0 ∨ x2 < 2} , B = {x ∈ R | x > 0 ∧ x2 > 2} . Îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâóþùåå äåéñòâèòåëüíîå
÷èñëî ÷åðåç a . Äîêàæåì, ÷òî a2 = 2 .
Ïðåæäå âñåãî, çàìåòèì, ÷òî a2 > 1 (ïîñêîëüêó ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî 1 ëåæèò â A ). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî a2 < 2 . Òîãäà íàéäåòñÿ íàòóðàëüíîå ÷èñëî n òàêîå, ÷òî 2 − n1 > a2 . Íàéäåì â A
k2
k
2
, ãäå k ∈ N . ßñíî, ÷òî k < 6n (èíà÷å x2 > 2 ). Òîãäà 16n
íàèáîëüøåå ÷èñëî âèäà x 4n
2 6 a , íî
(k+1)2
> 2 . Îäíàêî
16n2
(k + 1)2
k2
2k + 1
12n + 1
1
−
=
<
<
< 2 − a2 .
2
2
2
2
16n
16n
16n
16n
n
Ïðîòèâîðå÷èå. Àíàëîãè÷íî ïðèâîäèòñÿ ê ïðîòèâîðå÷èþ ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî a2 > 2 . Ñëåäîâàòåëüíî, a2 = 2 .
√
Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîñòðîèëè äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî 2 . Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ñòðîèòñÿ
êîðåíü íàòóðàëüíîé ñòåïåíè èç ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî ðàöèîíàëüíîãî ÷èñëà. Ñ ïîìîùüþ ýòîãî
ëåãêî îïðåäåëèòü ðàöèîíàëüíóþ ñòåïåíü ïîëîæèòåëüíîãî ðàöèîíàëüíîãî ÷èñëà. Ê ïîñòðîåíèþ
ïîêàçàòåëüíîé è ñòåïåííîé ôóíêöèé â îáùåì ñëó÷àå ìû åùå âåðíåìñÿ.
Ïðåäåë ôóíêöèè
Ìû óæå ãîâîðèëè î òîì, ÷òî ñëîâî ¾ôóíêöèÿ¿ ýòî ñèíîíèì ñëîâà ¾îòîáðàæåíèå¿. Íå íóæíî
òîëüêî çàáûâàòü î òîì, ÷òî, êàê ïðàâèëî, ¾ôóíêöèÿ äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî¿ ýòî íå
îòîáðàæåíèå f : R −
→ R , à îòîáðàæåíèå f : Df −
→ R , ãäå Df ⊆ R îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ
ôóíêöèè f . Ó âñåõ òàê íàçûâàåìûõ ¾ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé¿ åñòü åñòåñòâåííûå îáëàñòè
îïðåäåëåíèÿ (íàïðèìåð, åñòåñòâåííàÿ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ëîãàðèôìà {x ∈ R | x > 0} ,
äëÿ ôóíêöèè f (x) = 1/x åñòåñòâåííàÿ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ {x ∈ R | x 6= 0} , è ò. ä.).
Åñëè ìû ðàññìàòðèâàåì ñëîæíóþ ôóíêöèþ f (g(x)) (êîìïîçèöèþ îòîáðàæåíèé f è g ), òî
åñòåñòâåííàÿ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ýòî ìíîæåñòâî âñåõ çíà÷åíèé ïåðåìåííîé x , äëÿ êîòîðûõ
ìîæíî âû÷èñëèòü çíà÷åíèå ôóíêöèè, òî åñòü Df ◦g = g −1 (g(Dg ) ∩ Df ) . Íàïðèìåð, åñòåñòâåííàÿ
îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè arcsin( x1 ) åñòü (−∞, −1] ∪ [1, +∞) .
1
Îïðåäåëåíèå 1. Ïóñòü a ïðåäåëüíàÿ òî÷êà îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ Df ôóíêöèè f . ×èñëî
b íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè f (x) ïðè x , ñòðåìÿùåìñÿ ê a , (îáîçíà÷àåòñÿ lim = b ), åñëè
x→
−a
äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò δ > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî x ∈ Df èç òîãî, ÷òî 0 < |x − a| < δ
ñëåäóåò, ÷òî |f (x) − b| < ε .
◦
Íàçîâåì ïðîêîëîòîé ε -îêðåñòíîñòüþ òî÷êè a ìíîæåñòâî Uε (a) = {x ∈ R | 0 < |x − a| < ε .
Îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè â òî÷êå ìîæíî ïåðåôîðìóëèðîâàòü òàê: ÷èñëî b íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè f ïðè x ñòðåìÿùåìñÿ ê a , åñëè äëÿ ëþáîé ε -îêðåñòíîñòè òî÷êè b ñóùåñòâóåò
◦
ïðîêîëîòàÿ δ -îêðåñòíîñòü òî÷êè a òàêàÿ, ÷òî f (Uδ (a)) ⊆ Uε (b) .
Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ.
Ïóñòü f (x) = x sin x1 . ×èñëî 0 ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè
f (x) . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî lim f (x) = 0 . Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ëþáîãî ε > 0 äîñòàòî÷íî âçÿòü δ = ε .
x→
−0
Ïóñòü f (x) = sgn x (¾ñèãíóì¿ çíàê: ôóíêöèÿ ðàâíà íóëþ â íóëå, åäèíèöå â ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñëàõ, è ìèíóñ åäèíèöå â îòðèöàòåëüíûõ). Òîãäà lim f (x) íå ñóùåñòâóåò. Äåéñòâèòåëüx→
−0
íî, åñëè ε = 1 , òî ðàçíîñòü ÷èñåë, ëåæàùèõ â ε -îêðåñòíîñòè ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà a ìåíüøå
äâóõ, à â ëþáîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè íóëÿ åñòü êàê ïîëîæèòåëüíûå, òàê è îòðèöàòåëüíûå
÷èñëà.
Ïóñòü f (x) = | sgn x| . Òîãäà, î÷åâèäíî, lim f (x) = 1 . Òîò æå îòâåò áóäåò, åñëè f (x) = sgn x ,
x→
−0
à îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ñóæåíà äî ìíîæåñòâà R+ = {x ∈ R | x > 0} . Ïðåäåëû òàêîãî ðîäà
îáîçíà÷àþòñÿ lim f (x) .
x→
− +0
Ïðåäåë ôóíêöèè ìîæíî îïðåäåëèòü è èíà÷å.
Îïðåäåëåíèå 2. Ïóñòü a ïðåäåëüíàÿ òî÷êà îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ Df ôóíêöèè f . ×èñëî b
íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè f (x) â ñìûñëå Ãåéíå ïðè x , ñòðåìÿùåìñÿ ê a , åñëè äëÿ ëþáîé
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (an ) ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà Df \ {a} , ñõîäÿùåéñÿ ê a , ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (f (an )) ñóùåñòâóåò è ðàâåí b .
×òîáû îòëè÷èòü îò ïðåäåëà â ñìûñëå Ãåéíå, ïðåäåë èç îïðåäåëåíèÿ 1 íàçûâàþò ïðåäåëîì â
ñìûñëå Êîøè.
Òåîðåìà 3. ×èñëî b ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè f (x) â ñìûñëå Ãåéíå ïðè x , ñòðåìÿùåìñÿ
ê a , òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì â ñìûñëå Êîøè.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü b ïðåäåë â ñìûñëå Êîøè. Äîêàæåì, ÷òî b ïðåäåë è â ñìûñëå
Ãåéíå. Ïóñòü (an ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà Df \ {a} , ñõîäÿùàÿñÿ ê a . Äîêàæåì, ÷òî ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (f (an )) ñóùåñòâóåò è ðàâåí b .
Ïóñòü çàäàíî ïðîèçâîëüíîå ε > 0 . Ïî îïðåäåëåíèþ íåïðåðûâíîñòè â ñìûñëå Êîøè, ñóùå◦
ñòâóåò δ > 0 òàêîå, ÷òî f (x) ∈ Uε (b) ïðè âñåõ x ∈ Uδ (a) ∩ Df . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, òàê êàê
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (an ) ñõîäèòñÿ ê a , ñóùåñòâóåò òàêîå N ∈ N , ÷òî an ∈ Uδ (a) ïðè n > N .
Òàê êàê âñå ýëåìåíòû ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ëåæàò â Df è íå ðàâíû a , ìû çàêëþ÷àåì, ÷òî
f (an ) ∈ Uε (b) ïðè n > N .  ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè ε , ýòî îçíà÷àåò, ÷òî lim f (an ) = b .
n→
−∞
Ïóñòü òåïåðü b ïðåäåë â ñìûñëå Ãåéíå. Äîêàæåì, ÷òî b ïðåäåë è â ñìûñëå Êîøè.
Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîå ε > 0 , ÷òî äëÿ ëþáîãî δ > 0 íàéäåòñÿ
◦
xδ ∈ Uδ (a) ∩ Df òàêîé, ÷òî f (xδ ) ∈
/ Uε (b) . Îáîçíà÷èì ÷åðåç an òàêîé xδ , íàéäåííûé ïî δ = 1/n .
Òîãäà lim an = a è âñå ÷ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ëåæàò â Df \ {a} , íî ÷èñëî b íå ìîæåò
n→
−∞
áûòü ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (f (an )) , òàê êàê â Uε (b) íå ïîïàäàåò íè îäèí åå ÷ëåí.
Ïðîòèâîðå÷èå.
Ýêâèâàëåíòíîñòü îïðåäåëåíèé ïðåäåëà ïî Ãåéíå è ïî Êîøè ïîçâîëÿåò ïåðåíåñòè íà ïðåäåëû
ôóíêöèé äîêàçàííûå íàìè ñâîéñòâà ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.
2
Òåîðåìà 4. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî a ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ îáëàñòåé îïðåäåëåíèÿ
ôóíêöèé f (x) è g(x) . Òîãäà
1) lim (f (x) ± g(x)) = lim f (x) ± lim g(x) ;
x→
−a
x→
−a
x→
−a
2) lim (f (x)g(x)) = lim f (x) · lim g(x) ;
x→
−a
x→
−a
x→
−a
3) åñëè lim g(x) 6= 0 , òî lim (f (x)/g(x)) = lim f (x)/ lim g(x) .
x→
−a
x→
−a
x→
−a
x→
−a
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì, ïðåæäå âñåãî, ÷òî â ïóíêòå 3) ÷èñëî a ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè f (x)/g(x) . Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü ε = | lim g(x)| . Òîãäà, ïî
x→
−a
îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà â ñìûñëå Êîøè, ñóùåñòâóåò δ > 0 òàêîå, ÷òî â ïðîêîëîòîé δ -îêðåñòíîñòè
òî÷êè a ôóíêöèÿ g ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ â ε -îêðåñòíîñòè ÷èñëà lim g(x) è, òåì ñàìûì, íå îáx→
−a
ðàùàåòñÿ â íóëü.
Òåïåðü âîñïîëüçóåìñÿ îïðåäåëåíèåì ïðåäåëà ïî Ãåéíå. Ïóñòü (an ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ýëåìåíòîâ Df ∩ Dg \ {a} , ñõîäÿùàÿñÿ ê a . Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (f (an )) è (g(an )) ñõîäÿòñÿ,
ñîîòâåòñòâåííî, ê lim f (x) è lim g(x) . Îñòàëîñü ïðèìåíèòü äîêàçàííóþ íà ïðîøëîé ëåêöèè
x→
−a
x→
−a
òåîðåìó îá àðèôìåòèêå ïðåäåëîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.
Àíàëîãè÷íî ïåðåíîñÿòñÿ íà ñëó÷àé ïðåäåëà ôóíêöèè óòâåðæäåíèå î ïåðåõîäå ê ïðåäåëó
â íåðàâåíñòâå è ëåììà î äâóõ ìèëèöèîíåðàõ. Ñôîðìóëèðóéòå è äîêàæèòå ñîîòâåòñòâóþùèå
óòâåðæäåíèÿ ñàìè.
 êà÷åñòâå ïðèëîæåíèÿ íàéäåì òàê íàçûâàåìûé ¾ïåðâûé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë¿.
Ïðåäëîæåíèå 5. lim
x→
−0
sin x
= 1.
x
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó ìû åùå íå äàëè ñòðîãîãî îïðåäåëåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé, ïðèâåäåì íå î÷åíü ñòðîãîå ðàññóæäåíèå íà îñíîâå øêîëüíîãî îïðåäåëåíèÿ.
Ðàññìîòðèì äóãó åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè, îãðàíè÷åííóþ óãëîì x ðàäèàí (ïóñòü 0 < x <
π/2 . Ïëîùàäü ñîîòâåòñòâóþùåãî ñåêòîðà AOB áîëüøå ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà AOB . Îòñþäà
sin x < x . Ñëåäîâàòåëüíî, lim sin x = 0 .
x→
−0
Ñðàâíèâàÿ ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà AOB ñ ïëîùàäüþ ñåêòîðà êðóãà ðàäèóñà cos x , ïîëó÷àåì
sin x > x cos2 x . Îòñþäà
sin x
1 − sin2 x 6
6 1.
x
Îòñþäà, ïîëüçóÿñü àðèôìåòèêîé ïðåäåëîâ è ëåììîé î äâóõ ìèëèöèîíåðàõ, ïîëó÷àåì
sin x
= 1.
x→
−0
x
lim
Îïðåäåëåíèå 3. Ïóñòü a ïðèíàäëåæèò îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ Df ôóíêöèè f . Ôóíêöèÿ f
íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé â òî÷êå a , åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò δ > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ
ëþáîãî x ∈ Df èç òîãî, ÷òî |x − a| < δ ñëåäóåò, ÷òî |f (x) − f (a)| < ε .
Çàìåòèì, ÷òî åñëè òî÷êà a íå ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé äëÿ ìíîæåñòâà Df (òàêèå òî÷êè ìíîæåñòâà íàçûâàþòñÿ èçîëèðîâàííûìè ), òî ôóíêöèÿ f â íåé îáÿçàòåëüíî íåïðåðûâíà. Åñëè æå òî÷êà a ïðåäåëüíàÿ, òî ôóíêöèÿ f â íåé íåïðåðûâíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà lim f (x) = f (a) .
x→
−a
Òåîðåìà 6. Ïóñòü (an ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ Df ôóíêöèè f (x)
è lim an = a ∈ Df , ïðè÷åì ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà â òî÷êå a . Òîãäà lim f (an ) = f (a) .
n→
−∞
n→
−∞
3
Óïðàæíåíèå 1. Äîêàæèòå ýòó òåîðåìó.
Óïðàæíåíèå 2. Ñôîðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîãè÷íóþ òåîðåìó î ïðåäåëå ôóíêöèè â òî÷êå.
Îòìå÷ó íàïîñëåäîê, ÷òî íàðÿäó ñ êîíå÷íûì ïðåäåëîì ôóíêöèè â êîíå÷íîé òî÷êå ðàññìàòðèâàþòñÿ è áåñêîíå÷íûå ïðåäåëû â áåñêîíå÷íûõ òî÷êàõ ( ∞ , +∞ , −∞ ).
Óïðàæíåíèå 3. Îïðåäåëèòå ïðîêîëîòûå îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íîñòè, ïëþñ áåñêîíå÷íîñòè è
ìèíóñ áåñêîíå÷íîñòè è ñôîðìóëèðóéòå ñîîòâåòñòâóþùèå îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëîâ.
4