План практических занятий (мат. анализ)

ÏÐÀÊÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÇÀÍßÒÈß
ÏÎ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÌÓ ÀÍÀËÈÇÓ
(2 ÑÅÌÅÑÒÐ)
À. À. Ïîæàðñêèé
Çàíÿòèå 1.
• Ïëîùàäü ïëîñêîé ôèãóðû.
• Äëèíà ãëàäêîé êðèâîé.
• Çàäà÷è ïî [3]: 2396 2455.
Çàíÿòèå 2.
• Êðèâèçíà ãëàäêîé êðèâîé.
• Ðàäèóñ è öåíòð êðèâèçíû ãëàäêîé êðèâîé.
• Çàäà÷è ïî [3]: 1591 1616.
Çàíÿòèå 3.
• Ðÿäû ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè.
• Ïðèçíàêè Äëàìáåðà, Êîøè, Ãàóññà è èíòåãðàëüíûé ïðèçíàê.
• Çàäà÷è ïî [3]: 2546 2655.
Çàíÿòèå 4.
• Ðÿäû ñî çíàêîïåðåìåííûìè ÷ëåíàìè.
• Çàäà÷è ïî [3]: 2659 2691.
Çàíÿòèå 5.
• Ñòåïåííûå ðÿäû. Ðàäèóñ ñõîäèìîñòè. Èíòåðâàë ñõîäèìîñòè.
• Çàäà÷è ïî [3]: 2812 2837.
Çàíÿòèå 6.
• Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè â ðÿä Òåéëîðà.
• Çàäà÷è ïî [3]: 2838 2913.
Çàíÿòèå 7.
• Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà  1 (2 ÷àñà).
(1) Âû÷èñëåíèå ïëîùàäè ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé êðèâîé èëè âû÷èñëåíèå äëèíû äóãè
êðèâîé.
(2) Ðàäèóñ êðèâèçíû êðèâîé.
(3) Èçó÷åíèå ñõîäèìîñòè îáû÷íîãî èëè ñòåïåííîãî ðÿäà.
2 ìàðòà 2012 ã.
1
2
À. À. Ïîæàðñêèé
(4) Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè â ðÿä Òåéëîðà.
Âàðèàíò êîíòðîëüíîé  1.
(1) Íàéòè ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé êðèâîé, çàäàííîé â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ
r = 1 + sin ϕ.
(2) Íàéòè óðàâíåíèå îêðóæíîñòè, èìåþùåé ñ êðèâîé y = x3 − 3x â òî÷êå (1, −2) êàñàíèå
2-ãî ïîðÿäêà.
(3) Íàéòè ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ðÿäà
∞
X
2n n
x .
n2
n=1
(4) Ðàçëîæèòü ôóíêöèþ
1
− 3x + 2
â ðÿä Òåéëîðà ñ öåíòðîì â òî÷êå x0 = −1 è óêàçàòü èíòåðâàë ñõîäèìîñòè ðÿäà.
f (x) =
x2
Âàðèàíò êîíòðîëüíîé  1.
(1) Âû÷èñëèòü äèíó äóãè êðèâîé, çàäàííîé â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ
r(ϕ) = 8(1 − cos ϕ),
ϕ ∈ [0, 2π/3].
(2) Íàéòè óðàâíåíèå îêðóæíîñòè, èìåþùåé ñ êðèâîé y = x sin x â òî÷êå (0, 0) êàñàíèå 2-ãî
ïîðÿäêà.
(3) Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü ðÿä
∞
X
n
.
3
n − 2n2 + 5
n=1
(4) Ðàçëîæèòü ôóíêöèþ
f (x) = x2 e2x
â ðÿä Òåéëîðà ñ öåíòðîì â òî÷êå x0 = 1 è óêàçàòü èíòåðâàë ñõîäèìîñòè ðÿäà.
Çàíÿòèå 8.
•
•
•
•
Ïðåäåë è íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ.
Ïîâòîðíûå ïðåäåëû.
Çàäà÷è ïî [3]: 3180 3202.
Çàäà÷è ïî [2]: ñòð. 286 290.
Çàíÿòèå 9.
•
•
•
•
•
Äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè.
×àñòíûå ïðîèçâîäíûå.
Ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè è ìàòðèöà ßêîáè.
Çàäà÷è ïî [3]: 3212 3245.
Çàäà÷è ïî [2]: ñòð. 291 298.
Çàíÿòèå 10.
• Ïðîèçâîäíàÿ ñëîæíîé ôóíêöèè.
• Ïðîèçâîäíàÿ ïî íàïðàâëåíèþ. Ãðàäèåíò.
ÏÐÀÊÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÇÀÍßÒÈß
ÏÎ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÌÓ ÀÍÀËÈÇÓ
(2 ÑÅÌÅÑÒÐ)
3
• Çàäà÷è ïî [3]: 3283 3351.
• Çàäà÷è ïî [2]: ñòð. 298 302.
Çàíÿòèå 11.
• Îñíîâíûå îïåðàöèè òåîðèè ïîëÿ: grad, rot è div â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ.
• Îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà ∇ è åãî ñâÿçü ñ îïåðàöèÿìè grad, rot è div.
• Óïðîùåíèå âûðàæåíèé, ñîäåðæàùèõ ïîâòîðíûå äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàöèè grad, rot
è div.
• Ïîòåíöèàëüíûå è ñîëåíîèäàëüíûå ïîëÿ.
• Çàäà÷è ïî [1]: ñòð. 383 407.
Çàíÿòèå 12.
•
•
•
•
Äèôôåðåíöèàëû âûñøåãî ïîðÿäêà.
Ôîðìóëà Òåéëîðà.
Çàäà÷è ïî [3]: 3581 3620.
Çàäà÷è ïî [2]: ñòð. 303 309.
Çàíÿòèå 13.
• Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà  2 (2 ÷àñà).
(1) Ïðåäåë ôóíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ.
(2) Âû÷èñëåíèå ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ.
(3) Ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèé ñ èñïîëüçîâàíèåì îïåðàöèé grad, rot è div.
(4) Ôîðìóëà Òåéëîðà èëè äèôôåðåíöèàë âòîðîãî ïîðÿäêà îò ñëîæíîé ôóíêöèè.
Âàðèàíò êîíòðîëüíîé  2.
(1) Âû÷èñëèòü ïðåäåëû (ëèáî äîêàçàòü, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèé ïðåäåë íå ñóùåñòâóåò)
lim
f (x, y),
(x,y)→(0,0)
lim lim f (x, y),
x→0 y→0
lim lim f (x, y),
y→0 x→0
ãäå
x2 e y − y 2 e x
.
x2 + y 2
(2) Âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíóþ îòîáðàæåíèÿ f : (x, y, z) → (u, v), ãäå u = x2 − yz , v = xey−z .
(3) Óïðîñòèòü âûðàæåíèå
div(u rot v),
ãäå u ñêàëÿðíîå ïîëå è v âåêòîðíîå ïîëå.
(4) Âûïèñàòü ïåðâûå òðè ÷ëåíà â ôîðìóëå Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìå Ïåàíî ñ
öåíòðîì â òî÷êå (x, y) = (0, −1) äëÿ ôóíêöèè
f (x, y) =
f (x, y) = ln(x − y).
Âàðèàíò êîíòðîëüíîé  2.
(1) Âû÷èñëèòü ïðåäåëû (ëèáî äîêàçàòü, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèé ïðåäåë íå ñóùåñòâóåò)
lim
(x,y)→(0,0)
f (x, y),
lim lim f (x, y),
x→0 y→0
ãäå
f (x, y) =
lim lim f (x, y),
y→0 x→0
ln(1 + x2 + y 2 )
.
x2 + y 2
4
À. À. Ïîæàðñêèé
(2) Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè f (x, y, z) = x2 sin y − xyz ïî íàïðàâëåíèþ l = (1, −1, 2) â
òî÷êå (1, 0, −2).
(3) Ðàçëîæèòü âåêòîðíîå ïîëå
v = (x2 − y, z + x, y − z)
íà ñóììó ïîòåíöèàëüíîãî è ñîëåíîèäàëüíîãî ïîëÿ.
(4) Íàéòè äèôôåðåíöèàë âòîðîãî ïîðÿäêà ñëîæíîé ôóíêöèè f (u(x, y), v(x, y)), ãäå
u(x, y) = x2 + y 2 ,
v(x, y) = x − y.
Çàíÿòèå 14.
•
•
•
•
•
Ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü.
Êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü.
Íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè.
Çàäà÷è ïî [3]: 3528 3565.
Çàäà÷è ïî [2]: ñòð. 329 335.
Çàíÿòèå 15.
• Ñóùåñòâîâàíèå íåÿâíîé ôóíêöèè.
• Äèôôåðåíöèðîâàíèå íåÿâíûõ ôóíêöèé.
• Çàäà÷è ïî [3]: 3361 3400.
Çàíÿòèå 16.
• Íåÿâíûå ôóíêöèè çàäàííûå ñèñòåìîé óðàâíåíèé.
• Çàäà÷è ïî [3]: 3401 3430.
• Çàäà÷è ïî [2]: ñòð. 310 319.
Çàíÿòèå 17.
• Çàìåíà ïåðåìåííûõ â âûðàæåíèÿõ, ñîäåðæàùèõ ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå.
• Çàäà÷è ïî [3]: 3431 3429, 3458 3527.
• Çàäà÷è ïî [2]: 320 328.
Çàíÿòèå 18.
• Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà  3 (2 ÷àñà).
(1) Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ.
(2) Ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü íåïðåðûâíîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ.
(3) Äèôôåðåíöèðîâàíèå íåÿâíî çàäàííîé ôóíêöèè.
(4) Çàìåíà ïåðåìåííûõ â âûðàæåíèè, ñîäåðæàùåì ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå.
Âàðèàíò êîíòðîëüíîé  3.
(1) Íàéòè óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ê ïîâåðõíîñòè
zx + 2xy − 3yz 2 = 0
â òî÷êå (1, 1, 1).
ÏÐÀÊÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÇÀÍßÒÈß
ÏÎ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÌÓ ÀÍÀËÈÇÓ
(2 ÑÅÌÅÑÒÐ)
5
(2) Âûÿñíèòå, âûïîëíåíû ëè óñëîâèÿ òåîðåìû î ñóùåñòâîâàíèè è åäèíñòâåííîñòè íåïðåðûâíîãî ðåøåíèÿ âèäà x = f (y) è y = g(x) äëÿ óðàâíåíèÿ
2x3 + 3y 5 = 5x2 y 3
â îêðåñòíîñòè òî÷êè (1, 1).
(3) Ïóñòü íåÿâíûå ôóíêöèè x = f (y) è z = g(y) çàäàíû ñèñòåìîé óðàâíåíèé
x2 y + zx = 0,
2
xy z − ex−z = 0
â îêðåñòíîñòè òî÷êè (1, −1, 1). Íàéòè f 0 (−1) è g 0 (−1).
(4) Ïðèíÿâ u è v çà íîâûå íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå, âûïîëíèòü çàìåíó ïåðåìåííûõ
u = x + y,
v = x − 2y
â óðàâíåíèè
∂ 2z
∂z
−y
= z.
∂x∂y
∂x
Âàðèàíò êîíòðîëüíîé  3.
(1) Íàéòè íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè, çàäàííîé ïàðàìåòðè÷åñêè
x = uv,
y = u + v,
z = u − 2v,
â òî÷êå (x, y, z) = (1, 2, −1).
(2) Âûÿñíèòå, âûïîëíåíû ëè óñëîâèÿ òåîðåìû î ñóùåñòâîâàíèè è åäèíñòâåííîñòè íåïðåðûâíîãî ðåøåíèÿ âèäà x = f (y) è y = g(x) äëÿ óðàâíåíèÿ
8
3x2 − 3 = x3 y
y
â îêðåñòíîñòè òî÷êè (1, 2).
(3) Ïóñòü íåÿâíàÿ ôóíêöèÿ z = u(x, y) çàäàíà óðàâíåíèåì âèäà
F (z 2 − y 2 , x2 + (z − y)2 ) = 0.
ãäå F íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ z = u(x, y)
ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ
∂z
∂z
(z − y)2
+ zx
= xy.
∂x
∂y
(4) Ïðèíÿâ u è v çà íîâûå íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå, âûïîëíèòü çàìåíó ïåðåìåííûõ
u = x + z,
v = yz
â óðàâíåíèè (çàìåíà ôóíêöèè z íå ïðîèçâîäèòñÿ)
∂z
∂z
−y
= x.
∂x
∂x
Çàíÿòèå 19.
• Áåçóñëîâíûé ëîêàëüíûé ýêñòðåìóì ôóíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ.
• Äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà.
6
À. À. Ïîæàðñêèé
• Êðèòåðèé Ñèëüâåñòðà.
• Çàäà÷è ïî [3]: 3621 3650.
• Çàäà÷è ïî [2]: ñòð. 336 341.
Çàíÿòèå 20.
• Áåçóñëîâíûé ëîêàëüíûé ýêñòðåìóì ôóíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ, çàäàííîé íåÿâíî.
• Îáÿçàòåëüíî ê èçó÷åíèþ [4].
• Çàäà÷è ïî [3]: 3651 3653, 3675 3681.
Çàíÿòèå 21.
•
•
•
•
•
•
Óñëîâíûé ýêñòðåìóì ôóíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ.
Ìåòîä èñêëþ÷åíèÿ ÷àñòè ïåðåìåííûõ.
Ìíîæèòåëè Ëàãðàíæà.
Çàäà÷è ïî [3]: 3654 3668.
Çàäà÷è ïî [1]: ñòð. 261 268.
Çàäà÷è ïî [2]: ñòð. 341 348.
Çàíÿòèå 22.
• Àáñîëþòíûé ýêñòðåìóì ôóíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ íà êîìïàêòå.
• Çàäà÷è ïî [3]: 3675 3679.
• Çàäà÷è ïî [2]: ñòð. 349.
Çàíÿòèå 23.
• Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû.
• Çàäà÷è ïî [3]: 3741 3750.
• Çàäà÷è ïî [2]: 243 245.
Çàíÿòèå 24.
•
•
•
•
Èíòåãðàëû çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà.
Äèôôåðåíöèðîâàíèå ïîä çíàêîì èíòåãðàëà.
Èíòåãðèðîâàíèå ïîä çíàêîì èíòåãðàëà.
Çàäà÷è ïî [3]: 3711 3740.
Çàíÿòèå 25.
• Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà  4 (2 ÷àñà).
(1) Áåçóñëîâíûé ýêñòðåìóì ôóíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ.
(2) Óñëîâíûé ýêñòðåìóì. Ìåòîä èñêëþ÷åíèÿ ÷àñòè ïåðåìåííûõ.
(3) Óñëîâíûé ýêñòðåìóì. Ìåòîä Ëàãðàíæà.
(4) Íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë.
Âàðèàíò êîíòðîëüíîé  4.
(1) Èññëåäîâàòü ôóíêöèþ íà áåçóñëîâíûé ýêñòðåìóì
f (x, y) = 2x3 + xy 2 + 5x2 + y 2 .
(2) Èññëåäîâàòü ôóíêöèþ íà óñëîâíûé ýêñòðåìóì ìåòîäîì èñêëþ÷åíèÿ ÷àñòè ïåðåìåííûõ
f (x, y) = 4x − y,
x2 − y 2 = 15.
ÏÐÀÊÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÇÀÍßÒÈß
ÏÎ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÌÓ ÀÍÀËÈÇÓ
(2 ÑÅÌÅÑÒÐ)
7
(3) Èññëåäîâàòü ôóíêöèþ íà óñëîâíûé ýêñòðåìóì ìåòîäîì Ëàãðàíæà
f (x, y) = x + y,
xy = 1.
(4) Âûÿñíèòü ïðè êàêèõ ïàðàìåòðàõ a ∈ R ñõîäèòñÿ èíòåãðàë
Z∞
2+x
dx.
a
x (1 + x)2a
0
Âàðèàíò êîíòðîëüíîé  4.
(1) Èññëåäîâàòü ôóíêöèþ íà áåçóñëîâíûé ýêñòðåìóì
f (x, y) = x3 + 8y 3 − 6xy + 1.
(2) Èññëåäîâàòü ôóíêöèþ íà óñëîâíûé ýêñòðåìóì ìåòîäîì èñêëþ÷åíèÿ ÷àñòè ïåðåìåííûõ
f (x, y) = x + 2y,
x + 2y + xy = 30.
(3) Èññëåäîâàòü ôóíêöèþ íà óñëîâíûé ýêñòðåìóì ìåòîäîì Ëàãðàíæà
f (x, y) = x2 + 8xy + 2y 2 ,
x + y = 5.
(4) Âûÿñíèòü ïðè êàêèõ ïàðàìåòðàõ a ∈ R ñõîäèòñÿ èíòåãðàë
Z∞
xa eax
dx.
(ex − 1)2
0
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] Á. Ô. Áóòóçîâ, Í. ×. Êðóòèöêàÿ, Ã. Í. Ìåäâåäåâ, À. À. Øèøêèí,
çàäà÷àõ // Ìîñêâà: Ôèçìàòëèò, (2001).
[2] È. À. Âèíîãðàäîâà, Ñ. Í. Îëåõíèê, Â. À. Ñàäîâíè÷èé,
// Èçäàòåëüñòâî Ìîñêîâñêîãî Óíèâåðñèòåòà, (1988).
Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç â âîïðîñàõ è
Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó
Ñáîðíèê çàäà÷ è óïðàæíåíèé ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó // ÑÏá.: Ìèôðèë, (1995).
Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è îá óñëîâíîì
ýêñòðåìóìå ìåòîäîì Ëàãðàíæà // ÌÃÓ.
[3] Á. Ï. Äåìèäîâè÷,
[4] Â.Â. Êîëûáàñîâà, Í.×. Êðóòèöêàÿ,