Глава II Конструкции над пространствами и операторами

Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè
49
Ãëàâà II
Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è
îïåðàòîðàìè
 ýòîé ãëàâå ìû ðàññìîòðèì îñíîâíûå êîíñòðóêöèè íàä êîìïëåêñíûìè åâêëèäîâûìè ïðîñòðàíñòâàìè, èìåþùèå íåêîòîðóþ àíàëîãèþ ñ
îïåðàöèÿìè íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè.
Êîìïëåêñíîìó ñîïðÿæåíèþ ñîîòâåòñòâóåò àíòèèçîìîðôèçì, ñâÿçûâàþùèé ïàðó âçàèìíî äóàëüíûõ ïðîñòðàíñòâ; ñóììå ÷èñåë ñîîòâåòñòâóåò îðòîãîíàëüíàÿ ñóììà ïðîñòðàíñòâ; ïðîèçâåäåíèþ ÷èñåë ñîîòâåòñòâóåò òåíçîðíîå (êðîíåêåðîâî) ïðîèçâåäåíèå ïðîñòðàíñòâ.
Êàæäîé êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè ñîîòâåòñòâóåò êîíñòðóêöèÿ íàä îïåðàòîðàìè, òî åñòü îïåðàòîðó â äàííîì ïðîñòðàíñòâå ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðûé îïåðàòîð â äóàëüíîì ïðîñòðàíñòâå; ñèñòåìå îïåðàòîðîâ, çàäàííûõ â ñëàãàåìûõ ïðîñòðàíñòâàõ (ïî îäíîìó â êàæäîì ñëàãàåìîì), ñîîòâåòñòâóåò îïåðàòîð â ñóììå ýòèõ ïðîñòðàíñòâ; ñèñòåìå îïåðàòîðîâ, çàäàííûõ â ïðîñòðàíñòâàõ-ñîìíîæèòåëÿõ, ñîîòâåòñòâóåò
îïåðàòîð, çàäàííûé â èõ ïðîèçâåäåíèè.
Ýòè êîíñòðóêöèè ñîñòàâëÿþò îñíîâó òåíçîðíîé àëãåáðû è òåîðèè
ïðåäñòàâëåíèé ãðóïï, êîòîðûå ìû ðàññìîòðèì â ñëåäóþùèõ ãëàâàõ.
§2.1. Äóàëüíûå ïðîñòðàíñòâà
Ðàññìîòðèì ïàðó êîìïëåêñíûõ åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâ C è
Âåêòîðû, ïðèíàäëåæàùèå C , ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç
~
C.
x , y ,... , à âåê~
òîðû â C îáîçíà÷èì ÷åðåç ~
x ,~
y ,... . Òàêèì îáðàçîì, âåêòîðû ïðîñòðàí~
ñòâà C âñåãäà îòëè÷èìû îò âåêòîðîâ ïðîñòðàíñòâà C è èõ íå ñëåäóåò
ñìåøèâàòü.
50
Ãëàâà âòîðàÿ
Ïóñòü íàì çàäàí àíòèèçîìîðôèçì
~
ϕ:C → C.
(2.1.1)
~
Ïðîñòðàíñòâà C è C íàçûâàþòñÿ äóàëüíûìè1 ïî îòíîøåíèþ ê àíòèèçîìîðôèçìó ϕ (èëè ïðîñòî äóàëüíûìè, ïîäðàçóìåâàÿ çàäàíèå ϕ ).
Äëÿ ðàçëè÷èÿ âåêòîðîâ ïðîñòðàíñòâà C îò âåêòîðîâ ïðîñòðàíñòâà
~
~
C ìû áóäåì íàçûâàòü âåêòîðû ïðîñòðàíñòâà C êîâåêòîðàìè.
 ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì àíòèèçîìîðôèçìà (1.10.13), äëÿ âåê-
òîðîâ
x, ~
y èìååì:
(ϕ
−1
~
y x )C = (ϕϕ −1 ~
y ϕx )C~ = (~
y ϕx )C~ .
(2.1.2)
Äëÿ òîãî, ÷òîáû ðàçëè÷àòü ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå êîâåêòîðà íà âåêòîð, îïðåäåëèì åãî êàê
~
y x = (ϕ −1 ~y x )C = (~
y ϕ x )C~ .
(2.1.3)
Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
α~
x + β~
yz =α
~
z αx + βy = α
~
x z +β
~
z x +β
~
yz
~
z y
,

.
(2.1.4)
Ïðèìå÷àíèÿ.
1. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå
~
x y ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò ââå-
ä¸ííîãî ðàíåå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ
(x y ) ; òàê êàê ðå÷ü èä¸ò î ïðî-
èçâåäåíèè âåêòîðîâ ðàçíûõ ïðîñòðàíñòâ. Íà ïåðâîì ìåñòå âñåãäà ñòîèò
êîâåêòîð, à íà âòîðîì – âåêòîð. Ïîýòîìó âûðàæåíèå âèäà
x~
y íå ðàñ-
ñìàòðèâàåòñÿ; íå èìååò ñìûñëà è âîïðîñ î êîììóòàöèîííûõ ñâîéñòâàõ
ïðîèçâåäåíèÿ è î «ïðîèçâåäåíèè ñ ðàâíûìè ñîìíîæèòåëÿìè».
Ïåðâîå ñâîéñòâî äèñòðèáóòèâíîñòè (2.1.4) îòëè÷àåòñÿ îò (1.10.1): ÷èñëà
òåïåðü âûíîñÿòñÿ çà çíàê ïðîèçâåäåíèÿ áåç êîìïëåêñíîãî ñîïðÿæåíèÿ.
Ìîæíî â ðàçëè÷íîé ëèòåðàòóðå âñòðåòèòü âìåñòî äóàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà âûðàæåíèÿ: ñîïðÿæ¸ííîå (äâîéñòâåííîå) ïðîñòðàíñòâî.
1
Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè
51
Òàêîâû ôîðìàëüíûå ðàçëè÷èÿ ìåæäó ñêàëÿðíûìè ïðîèçâåäåíèÿ-
ìè
(x y ) è
~
xy .
2. Êàæäûé ôèêñèðîâàííûé êîâåêòîð
êöèþ
~
y îïðåäåëÿåò ëèíåéíóþ ôóí-
l (x ) = ~y x
(2.1.5)
ñ êîìïëåêñíûìè çíà÷åíèÿìè íà C , è àíàëîãè÷íî, êàæäûé ôèêñèðîâàííûé âåêòîð x îïðåäåëÿåò ëèíåéíóþ ôóíêöèþ
~ ~
l (y ) = ~
yx
(2.1.6)
~
íà C . Â ñîîòâåòñòâèè ñ (2.1.2) íåíóëåâûå âåêòîðû (êîâåêòîðû) îïðåäåëÿþò ïðè ýòîì íåíóëåâûå ôóíêöèè. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî âñå ëèíåéíûå
~
ôóíêöèè íà C è C ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû óêàçàííûì âûøå ñïîñîáîì ñ
ïîìîùüþ êîâåêòîðîâ è âåêòîðîâ, òàêèì îáðàçîì êàæäîå èç äâóõ äóàëüíûõ ïðîñòðàíñòâ ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ ïðîñòðàíñòâîì âñåõ ëèíåéíûõ
ôóíêöèé íà äðóãîì.
Ðàññìîòðèì ðàçëè÷èÿ ìåæäó (2.1.4) è (1.10.1),(1.10.2): ïî îòíîøåíèþ ê ïåðâîìó àðãóìåíòó «âíóòðåííåå» ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå
(x y )
åñòü íå ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ â îáû÷íîì ñìûñëå, êàê (2.1.6), à «àíòèëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ»:
l (αx + β y ) = αl (x ) + β l ( y ) .
(2.1.7)
3. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ðàçìåðíîñòè äóàëüíûõ ïðîñòðàíñòâ ñîâïà-
äàþò è ìû áóäåì èõ îáîçíà÷àòü äàëåå êàê
4. Îòíîøåíèå ïðîèçâåäåíèÿ
~
C (n ) è C (n ) .
ê ïðîèçâåäåíèþ
( ) åñòü, ïî ñó-
ùåñòâó, îòíîøåíèå ìåæäó ïðîñòðàíñòâàìè ñîñòîÿíèé êâàíòîâîé ìåõàíèêè â òðàêòîâêå Äèðàêà è, ñîîòâåòñòâåííî, ôîí Íåéìàíà. Êàæäàÿ èç
ýòèõ òðàêòîâîê èìååò ñâîè ïðåèìóùåñòâà â ðàçëè÷íûõ ñëó÷àÿõ, è ìû â
äàëüíåéøåì áóäåì èõ èñïîëüçîâàòü â ñîîòâåòñòâèè ñ ïîñòàâëåííûìè çàäà÷àìè.
5. Â òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè âåêòîðû x íàçûâàþò êîíòðàâàðèàíòíûìè âåêòîðàìè, à êîâåêòîðû ~
y - êîâàðèàíòíûìè âåêòîðàìè.
6. Òåîðèÿ äóàëüíîñòè (äâîéñòâåííîñòè) ïîëó÷èëà ñâî¸ íàçâàíèå
52
Ãëàâà âòîðàÿ
áëàãîäàðÿ òîìó, ÷òî îíà âûÿâëÿåò ðÿä ñâîéñò⠓äóàëüíîé ñèììåòðèè”
ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ, òðóäíûõ ñ òî÷êè çðåíèÿ íàãëÿäíîãî âîîáðàæåíèÿ, íî èìåþùèõ ôóíäàìåíòàëüíîå çíà÷åíèå. Äîñòàòî÷íî îòìåòèòü, ÷òî
äóàëèçì “âîëíà-÷àñòèöà” â êâàíòîâîé ìåõàíèêå àäåêâàòíî âûðàæàåòñÿ
èìåííî íà ÿçûêå ëèíåéíîãî äóàëèçìà áåñêîíå÷íî ìåðíûõ êîìïëåêñíûõ
åâêëèäîâûõ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ.
Ó÷èòûâàÿ ýòó òðóäíîñòü íàãëÿäíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ è âàæíîñòü äëÿ
ôèçè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé ïîíÿòèÿ äóàëüíîñòè, ðàññìîòðèì ýòó ïðîáëåìó
ïîäðîáíåå.
Ïóñòü íàì çàäàíà ëèíåéíàÿ ôîðìà
èç
C (n )
l (x ) ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà
α1 x 1 + α 2 x 2 + ... + α n x n .
(2.1.8)
Ýòî ïîíÿòèå èíâàðèàíòíî: îíî ìîæåò áûòü îïðåäåëåíî ïðè ïîìîùè ôóíêöèîíàëüíûõ ñâîéñòâ
l (αx ) = αl (x ) ,
l (x + y ) = l (x ) + l ( y ).
ßñíî, ÷òî âûðàæåíèå (2.1.8) îáëàäàåò ýòèìè ñâîéñòâàìè. Ôèêñèðóÿ
â
C (n ) áàçèñ e1 ,..., en ìû ìîæåì çàïèñàòü:
x = x i ei ; l (x ) = x i l (ei ) = α i x i ; α i = l (ei ) .
Ïåðåõîäÿ ê äðóãîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, â êîòîðîé êîìïîíåíòû
ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà x ïîäâåðãàþòñÿ ïðåîáðàçîâàíèþ (1.5.12)
xi
x i = Aii′ x i′ ,
à ëèíåéíàÿ ôîðìà (2.1.8) ïðèìåò âèä
α i x i = α i ′ x i′ ,
ãäå êîýôôèöèåíòû α i′ ñâÿçàíû ñ ïåðâîíà÷àëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè α i
ðàâåíñòâàìè
α i′ = Aii′α i .
Ãîâîðÿò, ÷òî êîýôôèöèåíòû
(2.1.9)
α i ëèíåéíîé ôîðìû (2.1.8) ïðåîáðàçó-
þòñÿ êîíòðàãðåäèåíòíî îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ
xi .
Ó íàñ íåò íåîáõîäèìîñòè ðàññìàòðèâàòü êîýôôèöèåíòû
α i êàê
Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè
êîíñòàíòû, à
53
x i êàê ïåðåìåííûå. Åñëè íå âñå α i ðàâíû íóëþ, óðàâíåíèå
l (x ) = 0 îïðåäåëÿåò “ïëîñêîñòü”, òî åñòü (n − 1) - ìåðíîå ïîäïðîñòðàíñòâî. Âåêòîð x ëåæèò â ýòîé ïëîñêîñòè, åñëè åãî êîìïîíåíòû óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ l (x ) = 0 .
Çàôèêñèðóåì òåïåðü íåêîòîðûé íåíóëåâîé âåêòîð x â C (n ) è ðàññìîòðèì óðàâíåíèå âñåõ ïëîñêîñòåé ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ýòîò âåêòîð. Åãî
0
êîìïîíåíòû
x i = x 0i ÿâëÿþòñÿ òåïåðü êîíñòàíòàìè, à êîýôôèöèåíòû
α i áóäóò ïåðåìåííûìè è ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü íàáîðû
(x , x
1
2
,..., x n ) è (α1 , α 2 ,..., α n )
ðàâíîïðàâíî, ÷òî äà¸ò íàì âîçìîæíîñòü ââåñòè âòîðîå
ñòðàíñòâî
n - ìåðíîå ïðî-
~
C (n ) , êîòîðîå ìû è áóäåì íàçûâàòü äóàëüíûì.
(y1 , y2 ,..., y n ) êîâåêòîðà ~y èç C~(n ) è
(x1 , x 2 ,..., x n ) âåêòîðà x èç C (n ) ìû ìîæåì ïîñòðîèòü ñêàëÿðíîå ïðîÏî êîìïîíåíòàì
èçâåäåíèå
y1 x 1 + y 2 x 2 + ... + y n x n .
(2.1.10)
Ýòî âûðàæåíèå ïî îïðåäåëåíèþ èìååò èíâàðèàíòíûé ñìûñë, òàê
êàê åñëè îòíåñòè ïðîñòðàíñòâî
C (n ) ê íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïîñðåä-
ñòâîì ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåìåííûõ
x i , ïåðåìåííûå yi èç äóàëüíîãî
~
C (n ) ïîäâåðãíóòñÿ êîíòðàãðåäèåíòíîìó ïðåîáðàçîâàíèþ.
~
Ýòî äóàëüíîå ïðîñòðàíñòâî C (n ) íà ñàìîì äåëå äëÿ òîãî è ââîäèòñÿ,
ïðîñòðàíñòâà
÷òîáû ìû ìîãëè ñîïîñòàâèòü êàæäîìó âçàèìíî îäíîçíà÷íîìó ïðåîáðàçîâàíèþ êîíòðàãðåäèåíòíîå åìó ïðåîáðàçîâàíèå.
Èòàê, äâà îáðàòèìûõ ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿ
~
x = Ax ′ è ~
y = A~
y′
ÿâëÿþòñÿ êîíòðàãðåäèåíòíûìè äðóã äðóãó, åñëè îíè ñîõðàíÿþò ëèíåéíóþ ôîðìó (2.1.8) íåèçìåííîé
54
Ãëàâà âòîðàÿ
y1 x 1 + y 2 x 2 + ... + y n x n = y1′ x 1′ + y 2′ x 2′ + ... + y n′ x n′ .
Åñëè ëèíåéíàÿ ôîðìà (2.1.8) ðàâíà íóëþ, òî ãîâîðÿò, ÷òî âåêòîð
x
~
~
èç C (n ) è êîâåêòîð y èç C (n ) íàõîäÿòñÿ â èíâîëþöèè. Ïðÿìàÿ èç C (n )
~
îïðåäåëÿåò ïëîñêîñòü â C (n ) , òî åñòü ïëîñêîñòü, ñîñòîÿùóþ èç êîâåêòîðîâ â èíâîëþöèè ñ äàííîé ïðÿìîé è íàîáîðîò. Äóàëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ îáðàòèìûì ñîîòíîøåíèåì.
§2.2. Äóàëüíûå áàçèñû
Ïóñòü
e1 , e2 ,..., en îðòîíîðìèðîâàííûé1 áàçèñ â C (n ) . Ìîæíî
ïîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò îäíîçíà÷íî îïðåäåë¸ííûé áàçèñîì
áàçèñ
e1 , e2 ,..., en
~
~
e 1, ~
e 2 ,..., ~
e n â C (n ) òàêîé, ÷òî
~
e k ei = δ ik
(2.2.1)
è
~
e k = ϕ(ek ),
(2.2.2)
ãäå ϕ - àíòèèçîìîðôèçì, ñëóæàùèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ äóàëüíîñòè ïðî-
ñòðàíñòâ.
e ,~
e ,..., ~
e íàçûâàþòñÿ äóàëüíûìè. ÄîãîÁàçèñû e1 , e 2 ,..., en è ~
âîðèìñÿ íóìåðîâàòü êîîðäèíàòû êîâåêòîðîâ âåðõíèìè èíäåêñàìè, à êîîðäèíàòû âåêòîðî⠖ íèæíèìè:
1
2
n
n
~
x = xi ~
e i = ∑ xi ~
ei .
(2.2.3)
i =1
Äëÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðà
æåííûõ ïî äóàëüíûì áàçèñàì, ïîëó÷èì:
~
x y = xi y i .
y è êîâåêòîðà ~
x , ðàçëî(2.2.4)
Òàê êàê ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî îðòîíîðìèðîâàííûå áàçèñû, òî ñëîâî
«îðòîíîðìèðîâàííûé» â äàëüíåéøåì îïóñêàåòñÿ.
1
Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè
55
 äàëüíåéøåì, ðàññìàòðèâàÿ îäíîâðåìåííî C (n ) è C (n ) , ìû áóäåì âñåãäà âûáèðàòü â íèõ äóàëüíûå áàçèñû è âåñòè âû÷èñëåíèÿ â ýòîì
ïðåäïîëîæåíèè.
 äóàëüíûõ áàçèñàõ àíòèèçîìîðôèçì ϕ çàïèøåòñÿ â âèäå
~
~
xi = xi ,
(i = 1,2 ,..., n ) .
(2.2.5)
§2.3. Äóàëüíûå îïåðàòîðû
~
~
A è A , äåéñòâóþùèå, ñîîòâåòñòâåííî, â C (n ) è C (n ) ,
íàçûâàþòñÿ äóàëüíûìè, åñëè äëÿ âñåõ ~
x è y
Îïåðàòîðû
~
A~
x Ay = ~
xy .
(2.3.1)
Íàéä¸ì ñâÿçü ìåæäó ìàòðèöàìè îïåðàòîðîâ
íèþ ÷èñåë
~
A è A . Ïî îïðåäåëå-
~
Ai j è A jk
~ k ~k ~ j
Aei = Ai j e j , A ~
e = Aj e ,
(2.3.2)
îòêóäà, â ñèëó (2.3.1),
~ k
~
A~
e Aei = A jk Ai j = δ ik .
Ìû âèäèì, ÷òî ìàòðèöû
j
~
Ai j = (A−1 )i .
(2.3.3)
~
A è A âçàèìíî îáðàòíû:
(2.3.4)
Îïåðàòîð, èìåþùèé äóàëüíûé îïåðàòîð, èìååò òåì ñàìûì è îáðàòíûé îïåðàòîð.
Åñëè, â ÷àñòíîñòè, A = U - óíèòàðíûé îïåðàòîð, òî èç (1.13.5) ñëåäóåò, ÷òî
~
U i j = U ji .
(2.3.5)
Èç (1.3.6) òåïåðü ñëåäóåò, ÷òî îïåðàòîð, äóàëüíûé óíèòàðíîìó, óíèòàðåí â
~
C (n ) .
Èç îïðåäåëåíèÿ (2.1.3) ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ
ñëåäóåò, ÷òî
56
Ãëàâà âòîðàÿ
+
~
A = ϕ A−1 ϕ −1 ,
y = ϕ(x ) , òî
èëè, ÷òî òîæå: åñëè ~
(2.3.6)
 + 
~
A~
y = ϕ A−1 x  .


(2.3.7)
+
Òàêèì îáðàçîì, äóàëüíûé ê A îïåðàòîð ïîëó÷àåòñÿ èç
íîñîì» ñ ïîìîùüþ àíòèèçîìîðôèçìà ϕ .
A−1 «ïåðå-
§2.4. Îðòîãîíàëüíàÿ ñóììà ïðîñòðàíñòâ
Ïóñòü
C (n1 ),C (n 2 ),..., C (ns ) - êîìïëåêñíûå åâêëèäîâû ïðîñòðàí-
ñòâà. Ïîñòðîèì èç íèõ íîâîå ïðîñòðàíñòâî C , âåêòîðû êîòîðîãî, åñòü
ôîðìàëüíûå ñóììû
1
2
s
x ⊕ x ⊕ ... ⊕ x ,
ãäå
(2.4.1)
x - âåêòîðû C (ni ) .
i
Çíàê ⊕ ââåä¸í â îòëè÷èå îò îáû÷íîãî çíàêà ñóììèðîâàíèÿ, òàê
êàê «ñóììèðîâàíèå» â (2.4.1) åñòü ïðîñòî ôîðìàëüíîå ñîåäèíåíèå âåêòîðîâ ðàçëè÷íûõ ïðîñòðàíñòâ â öåïî÷êó, ñëåäîâàòåëüíî, íå ñëîæåíèå èõ â
êàêîì-ëèáî çàäàííîì ïðîñòðàíñòâå.
Íåêîòîðûå èç ÷èñåë
n1 , n2 ,..., n s ìîãóò áûòü ðàâíû äðóã äðóãó è
ìû áóäåì ñ÷èòàòü ñîîòâåòñòâóþùèå ïðîñòðàíñòâà
C (ni ) ðàçëè÷íûìè
ýêçåìïëÿðàìè îäíîãî è òîãî æå ïðîñòðàíñòâà (â ñèëó èõ èçîìîðôíîñòè).
Äîãîâîðèìñÿ âûïèñûâàòü
C (ni ) â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ ÷èñåë ni .
Îïðåäåëèì â ïðîñòðàíñòâå C ñëîæåíèå âåêòîðîâ, óìíîæåíèå âåêòîðîâ íà ÷èñëî è ñêàëÿðíîå óìíîæåíèå ïî ïðàâèëàì:
 x1 ⊕ ... ⊕ xs  +  y1 ⊕ ... ⊕

 

 
1
s
y  =  x +
 
1
s
y  ⊕ ... ⊕  x +


y  ,

s
(2.4.2)
Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè
òî åñòü, ÷òîáû ñëîæèòü âåêòîðû, íàäî ñëîæèòü èõ êîìïîíåíòû â êàæäîì
1
1
s
s
λ  x ⊕ ... ⊕ x  = λ x⊕ ... ⊕ λ x ,


57
C (ni );
(2.4.3)
òî åñòü, ÷òîáû óìíîæèòü âåêòîð íà ÷èñëî λ , íàäî óìíîæèòü íà ýòî ÷èñëî âñå åãî êîìïîíåíòû;
s 1
s
1
 1 1
s s
,
+ ... +  x y 
 x ⊕ ... ⊕ x y ⊕ ... ⊕ y  =  x y 

   C (n1 )
  C (ns )
(2.4.4)
òî åñòü, ÷òîáû ïåðåìíîæèòü âåêòîðû, íàäî ñêàëÿðíî ïåðåìíîæèòü èõ
ñîîòâåòñòâóþùèå êîìïîíåíòû è ñëîæèòü ïîëó÷åííûå ÷èñëà.
Âûðàæåíèÿ (2.4.2) – (2.4.4) ïîêàçûâàþò, ÷òî äåéñòâèÿ íàä âåêòîðàìè â C ïîëíîñòüþ ñâîäÿòñÿ ê äåéñòâèÿì íàä èõ êîìïîíåíòàìè â ñîîòâåòñòâóþùèõ ñëàãàåìûõ ïðîñòðàíñòâàõ
íàëüíîé ñóììîé ïðîñòðàíñòâ
C (ni ) . C íàçûâàåòñÿ îðòîãî-
C (n1 ),C (n2 ),...,C (n s ) .
Îðòîãîíàëüíûå ñóììû ïðîñòðàíñòâ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ñ äâóõ
òî÷åê: ìîæíî ñíà÷àëà çàäàâàòü ïðîñòðàíñòâà
C (n1 ),C (n 2 ),..., C (n s ) íå-
çàâèñèìî äðóã îò äðóãà è ñòðîèòü èç íèõ ïðîñòðàíñòâî C ñ ïîìîùüþ
ôîðìàëüíûõ ñóìì (2.4.1), ëèáî ñ÷èòàòü, ÷òî âñå
C (ni ) óæå ëåæàò â íåêî-
òîðîì ïðîñòðàíñòâå C , è ñòðîèòü ðàçëîæåíèå âåêòîðîâ C íà ñëàãàåìûå, ëåæàùèå â
C (ni ) , i = 1,2 ,..., s .
Íàéä¸ì áàçèñ è ïîäñ÷èòàåì ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà C . Äëÿ
ýòîãî â êàæäîì
1
1
C (ni ) ïîñòðîèì áàçèñ e1 ,..., e ni ; òîãäà âåêòîðû
i
s
s
e1 ,..., e n1 ,..., e1 ,..., e ns
i
(2.4.5)
ñîñòàâëÿþò áàçèñ ïðîñòðàíñòâà C , à åãî ðàçìåðíîñòü ðàâíà ñóììå ðàçìåðíîñòåé ïðîñòðàíñòâ
C (ni ) , òî åñòü
C = C (n1 + ... + n s ) .
(2.4.6)
58
Ãëàâà âòîðàÿ
Òîò ôàêò, ÷òî C ðàçëàãàåòñÿ â îðòîãîíàëüíóþ ñóììó ïðîñòðàíñòâ
C (ni ) , çàïèøåòñÿ òàê:
C = C (n1 ) ⊕ ... ⊕ C (n s ) .
(2.4.7)
§2.5. Ïðèâîäèìûå îïåðàòîðû
Çíà÷åíèå ðàçëîæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà â îðòîãîíàëüíóþ ñóììó ñîñòîèò â òîì, ÷òî òàêîå ðàçëîæåíèå ÷àñòî ïîçâîëÿåò óïðîñòèòü èçó÷åíèå îïåðàòîðîâ, äåéñòâóþùèõ â C .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îïåðàòîð
äóþùèì ñâîéñòâîì:
L , äåéñòâóþùèé â C , îáëàäàåò ñëå-
L ïåðåâîäèò êàæäûé âåêòîð ïðîñòðàíñòâà C (ni )
i = 1,2 ,..., s . Ýòî çíà÷èò, ÷òî îðòîãîíàëüíîå ðàçëîæåíèå (2.4.7) ïðèâîäèò îïåðàòîð L . Åñëè ðàññìàòðèâàòü
äåéñòâèå îïåðàòîðà L òîëüêî íà ïîäïðîñòðàíñòâå C (ni ) , òî ïîëó÷èòñÿ
â âåêòîð òîãî æå ïðîñòðàíñòâà,
îïåðàòîð
Li , äåéñòâóþùèé â C (ni ) ; îòíîøåíèå ìåæäó îïåðàòîðîì L è
ïîðîæä¸ííûìè èì îïåðàòîðàìè
Li çàïèøåòñÿ â âèäå
L = L1 ⊕ L2 ⊕ ... ⊕ Ls .
(2.5.1)
Ñïðàâåäëèâî è îáðàòíîå: åñëè â êàæäîì
C (ni ) äåéñòâóåò îïåðàòîð
Li , òî â C äåéñòâóåò èõ ñóììà – îïåðàòîð, ïðåäñòàâëåííûé ôîðìóëîé
(2.5.1).
Ïðè ýòîì, åñëè âñå
Li óíèòàðíû, òî è L óíèòàðåí.
Åñëè ñóùåñòâóåò ðàçëîæåíèå C (íå ìåíåå ÷åì èç äâóõ ñëàãàåìûõ),
ïðèâîäÿùåå îïåðàòîð
÷àå – íåïðèâîäèìûì.
L , åãî íàçûâàþò ïðèâîäèìûì, â ïðîòèâíîì ñëó-
Èçó÷åíèå ïðèâîäèìîãî îïåðàòîðà
íèþ îïåðàòîðîâ
L ïîëíîñòüþ ñâîäèòñÿ ê èçó÷å-
Li , êàæäûé èç êîòîðûõ «àâòîíîìíî» äåéñòâóåò â ñâî¸ì
Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè
ïîäïðîñòðàíñòâå
59
C (ni ) ìåíüøåé ðàçìåðíîñòè, ÷åì ó ïðîñòðàíñòâà C .
Ýòî îáúÿñíÿåò èíòåðåñ ê íåïðèâîäèìûì îïåðàòîðàì è ê ðàçëîæåíèþ
ïðîèçâîëüíûõ îïåðàòîðîâ íà íåïðèâîäèìûå.
 ôèçèêå èãðàåò âàæíóþ ðîëü áîëåå îáùåå ïîíÿòèå ïðèâîäèìîñòè
äëÿ ñèñòåìû îïåðàòîðîâ. Ïóñòü äàíà íåêîòîðàÿ ñèñòåìà (ìíîæåñòâî)
îïåðàòîðîâ G , äåéñòâóþùàÿ â C .
Åñëè êàæäûé èç îïåðàòîðîâ G ïåðåâîäèò âåêòîðû êàæäîãî
â âåêòîðû òîãî æå
C (ni )
C (ni ) , òî ãîâîðÿò, ÷òî îðòîãîíàëüíîå ðàçëîæåíèå
(2.4.7) ïðèâîäèò ñèñòåìó îïåðàòîðîâ G ; ñèñòåìà G íàçûâàåòñÿ â ýòîì
ñëó÷àå ïðèâîäèìîé. Åñëè æå íå ñóùåñòâóåò ðàçëîæåíèÿ (2.4.7), ïðèâîäÿùåãî G , òî ñèñòåìà G íàçûâàåòñÿ íåïðèâîäèìîé.
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî êàæäûé îòäåëüíûé îïåðàòîð èç G ìîæåò
áûòü ïðèâîäèìûì, òîãäà êàê ñèñòåìà G â öåëîì – íåïðèâîäèìîé.
 äàëüíåéøåì ìû ïîêàæåì, ÷òî ýðìèòîâû è óíèòàðíûå îïåðàòîðû
âñåãäà ïðèâîäèìû; òîãäà êàê ñóùåñòâóþò íåïðèâîäèìûå ñèñòåìû òàêèõ
îïåðàòîðîâ. Ýòî ìîæíî îáúÿñíèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: äëÿ êàæäîãî
îòäåëüíîãî îïåðàòîðà èç G ìîæíî èíîãäà ïîäîáðàòü ïðèâîäÿùåå åãî
ðàçëîæåíèå, íî íè îäíî òàêîå ðàçëîæåíèå íå ïðèâîäèò èõ âñåõ ñðàçó.
Ðàçëîæåíèþ (2.4.7) ñîîòâåòñòâóåò áàçèñ (2.4.5), â êîòîðîì ìîæíî
çàïèñàòü êàæäûé äåéñòâóþùèé â C îïåðàòîð
L:
( j = 1,2 ,..., n; n = n1 + ... + n s ).
(2.5.2)
i
ëåæèò â C (nk ) , òî x = 0 äëÿ âñåõ i , êðîìå òåõ, êîòîðûå
y j = Lij x i ,
Åñëè x
óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì
n1 + ... + nk −1 + 1 ≤ i ≤ nk −1 + ... + n s ;
(2.5.3)
i
äëÿ i , óäîâëåòâîðÿþùèõ (2.5.3), x ïðîèçâîëüíû. Äëÿ âñåõ òàêèõ x âåêòîðû y , îïðåäåë¸ííûå ôîðìóëîé (2.5.2), äîëæíû òàêæå èìåòü íóëåâûå
êîîðäèíàòû ïðè
i , íå óäîâëåòâîðÿþùèõ (2.5.3). îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
Lij = 0 ïðè i , óäîâëåòâîðÿþùèõ (2.5.3), è, j , íå óäîâëåòâîðÿþùèõ
(2.5.3).
Èòàê,
Lij ìîãóò áûòü îòëè÷íû îò íóëÿ ëèøü â ÿùèêàõ ìàòðèöû
60
Ãëàâà âòîðàÿ
L , â êîòîðûõ îáà èíäåêñà óäîâëåòâîðÿþò îäíîìó è òîìó æå èç íåðàâåíñòâ (2.5.3), k = 1,2 ,..., s . Òàêèì îáðàçîì, ìàòðèöà ïðèâîäèìîãî
îïåðàòîðà â ñïåöèàëüíî ïðèñïîñîáëåííîì ê ðàçëîæåíèþ (2.4.7) áàçèñå (2.4.6) èìååò âèä
L11
...
L1n1
... L1n1
... ...
... Lnn11
Lnn11++11
...
... Lnn11++1n2
...
...
Lnn11++1n2
... Lnn11++nn22
.
(2.5.4)
...
Èç (2.5.4) ÿñíî, êàê ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû îïåðàòîðà
L âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû îïåðàòîðîâ Li , i = 1,2 ,..., s . Îïåðàòîð L
íàçûâàåòñÿ äèàãîíàëèçèðóþùèì, åñëè ïðèâîäèò íåêîòîðîå ðàçëîæåíèå
(2.4.7) íà îäíîìåðíûå ïîäïðîñòðàíñòâà; â ýòîì ñëó÷àå, ïðè íàäëåæàùåì
âûáîðå áàçèñà, ìàòðèöà (2.5.4) îêàçûâàåòñÿ äèàãîíàëüíîé:
λ1 .
0 λ2
.
.
.
0
. 0
. 0
.
. .
. λn
(2.5.5)
Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè
61
§2.6. Ñîáñòâåííûå âåêòîðû è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ
Ïóñòü îïåðàòîð
L äèàãîíàëèçèðóåì; òîãäà (2.4.7) èìååò âèä
C = C (1) ⊕ ... ⊕ C (1),
1
n
(2.6.1)
à èç óðàâíåíèé (2.5.2) âèäíî, ÷òî
Lei = λ i ei .
(2.6.2)
Óðàâíåíèå âèäà
(2.6.3)
Lx = λx
íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé. Âñå åãî íåíóëåâûå ðåøå-
x , ïðè äàííîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà λ , íàçûâàþòñÿ ñîáñòâåííûìè
âåêòîðàìè îïåðàòîðà L , ïðèíàäëåæàùèìè λ . Çíà÷åíèå λ , äëÿ êîòîðî-
íèÿ
ãî ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäèí ñîáñòâåííûé âåêòîð, íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåí-
íûì çíà÷åíèåì îïåðàòîðà L .
Çàäà÷à î ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèÿõ ñîñòîèò â âû÷èñëåíèè ñîáñòâåííûõ
çíà÷åíèé è â îïðåäåëåíèè ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ çàäàííîãî îïåðàòîðà.
Âûðàæåíèå (2.6.2) ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ äèàãîíàëèçèðóåìîãî îïåðàòîðà
L ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè ñëóæàò λ i , à ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè –
âåêòîðû âûáðàííîãî ñïåöèàëüíîãî áàçèñà
ei .
Îáðàòíî, åñëè â C ñóùåñòâóåò îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ
e1 ,..., en ,
ñîñòîÿùèé èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ îïåðàòîðà
L , òî âñå âåêòîðû âèäà
αei , ãäå α - êîìïëåêñíîå ÷èñëî, ñîñòàâëÿþò ïîäïðîñòðàíñòâî C (1)
ïðîñòðàíñòâà C è èìååò ìåñòî ðàçëîæåíèå (2.6.1); òåì ñàìûì îïåðàòîð
L îêàçûâàåòñÿ äèàãîíàëèçèðóåìûì.
Âàæíûìè ïðèìåðàìè äèàãîíàëèçèðóåìûõ îïåðàòîðîâ ÿâëÿþòñÿ
ýðìèòîâû è óíèòàðíûå îïåðàòîðû.
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ýðìèòîâà îïåðàòîðà â
îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ, ñîñòîÿùèé èç
ïðè÷¸ì âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ
C (n ) ñóùåñòâóåò
n åãî ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ,
λ i äåéñòâèòåëüíû.
Ìîæíî, òàê æå, ïîêàçàòü, ÷òî óíèòàðíûé îïåðàòîð â
îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ, ñîñòîÿùèé èç
C (n ) èìååò
n ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ; ñî-
62
Ãëàâà âòîðàÿ
îòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïî ìîäóëþ ðàâíû åäèíèöå:
λ k = e iϕk .
(2.6.4)
Åñëè λ - ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå, òî âñå ñîáñòâåííûå âåêòîðû, ïðèíàäëåæàùèå λ âìåñòå ñ íóëåâûìè âåêòîðîì îáðàçóþò ñîáñòâåííîå ïîäïðîñòðàíñòâî
Cλ ðàçìåðíîñòè r , íàçûâàåìîé êðàòíîñòüþ ýòîãî ïîäïðîñòðàí-
r -êðàòíî âûðîæäåííûì (ïðè r > 1 ).
Åñëè äëÿ ýðìèòîâûõ îïåðàòîðîâ A, B ñóùåñòâóåò îðòîíîðìèðî-
ñòâà, à ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå λ -
âàííûé áàçèñ, ñîñòîÿùèé èç èõ îáùèõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ, òî ýòè
îïåðàòîðû ïåðåñòàíîâî÷íû.
Âåðíî è îáðàòíîå: äëÿ äâóõ èëè áîëåå ïåðåñòàíîâî÷íûõ ýðìèòîâûõ
îïåðàòîðîâ ìîæíî ïîñòðîèòü îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ, ñîñòîÿùèé èç
îáùèõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ òàêîãî áàçèñà çàìåòèì,
÷òî êàæäûé èç ïåðåñòàíîâî÷íûõ îïåðàòîðîâ ïåðåâîäèò â ñåáÿ ëþáîå ñîáñòâåííîå ïîäïðîñòðàíñòâî äðóãîãî, è ìîæíî ñòðîèòü ñîáñòâåííûå âåêòîðû
B , íå âûõîäÿ èç ñîáñòâåííûõ ïîäïðîñòðàíñòâ A . Ýòî íå çíà÷èò,
îäíàêî, ÷òî êàæäûé ñîáñòâåííûé âåêòîð A ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì B : ýòî ñïðàâåäëèâî ëèøü äëÿ âåêòîðà, ïðèíàäëåæàùåãî ïðîñòîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ A êðàòíîñòè 1.
 ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîãî îïåðàòîðà ïðèâåäåíèå ê äèàãîíàëüíîìó
âèäó, â îáùåì ñëó÷àå, íåâîçìîæíî.
Çàïèøåì óðàâíåíèå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé (2.6.3) â ïðîèçâîëüíîì
áàçèñå â âèäå
(L
j
i
− λδ ij )x i = 0 .
Ýòî óðàâíåíèå èìååò íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ
òîì ñëó÷àå, êîãäà
det Lij − λδ ij = 0 .
(2.6.5)
x i â òîì è òîëüêî
(2.6.6)
Óðàâíåíèå (2.6.6) íàçûâàþò âåêîâûì óðàâíåíèåì, ñëóæàùèì äëÿ
îïðåäåëåíèÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, êîòîðûå â ïîäðîáíîì âèäå çàïèñûâàþòñÿ òàê:
Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè
L11 − λ
L12
...
L1n
63
L12
...
L1n
L22 − λ ...
L2n
=0.
...
...
...
Ln2
... Lnn − λ
(2.6.7)
Ëåâàÿ ÷àñòü (2.6.7) åñòü ïîëèíîì ñòåïåíè n îòíîñèòåëüíî λ , òî
åñòü ÷èñëî ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ëþáîãî îïåðàòîðà íå ïðåâûøàåò n .
Ïî òåîðåìå Âèåòà ñóììà êîðíåé óðàâíåíèÿ (2.6.7) âçÿòûõ ñ èõ àëãåáðàè÷åñêîé êðàòíîñòüþ (êàê êîðíåé óðàâíåíèÿ, à íå êàê ñîáñòâåííûõ
çíà÷åíèé), ðàâíà êîýôôèöèåíòó ïðè
n
n
i =1
i =1
(− 1)n −1 λn −1 :
SpL = ∑ Lij = ∑ λ i .
(2.6.8)
Ðàíåå ìû ïîêàçàëè, ÷òî îïðåäåëèòåëü îïåðàòîðà íå çàâèñèò îò âûn
áîðà áàçèñà. Ïðèìåíÿÿ ýòî ê (2.6.6), ìû óâèäèì, ÷òî ñóììà
∑L
i =1
ÿâëÿåòñÿ ÷èñëîâûì èíâàðèàíòîì îïåðàòîðà
âàåòñÿ ñëåäîì îïåðàòîðà.
j
i
â (2.6.8)
L . Èíâàðèàíò SpL íàçû-
Äðóãîé èíâàðèàíò, det L , ïî òåîðåìå Âèåòà ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ
êîðíåé:
n
det L = ∏ λ i .
(2.6.9)
i =1
Äëÿ êàæäîãî îïåðàòîðà
L = SpL ⋅ E (n ) + L0 ,
ãäå
L ñóùåñòâóåò îäíîçíà÷íîå ðàçëîæåíèå
(2.6.10)
E (n ) - òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð, à L0 - áåññëåäíûé îïåðàòîð (ñ íóëå-
âûì ñëåäîì).
Ïðèìåð 2.6.1. Íàéòè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòîðû
îïåðàòîðà
L ñ ìàòðèöåé
64
Ãëàâà âòîðàÿ
1 2
 .
L = 
5 4
Ðåøåíèå.
Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí îïåðàòîðà
ϕ (λ ) =
1− λ
4
2
4−λ
L åñòü
= λ2 − 5λ − 6 = 0 .
Åãî êîðíè λ1 = 6 è λ 2 = −1 .
Ñîáñòâåííûå âåêòîðû íàõîäèì èç äâóõ ñèñòåì óðàâíåíèé:
(1 − λ1 )x1 + 2 x 2 = 0
,

5 x1 + (4 − λ1 )x 2 = 0
(*)
(1 − λ 2 )x1 + 2 x 2 = 0
.

5 x1 + (4 − λ 2 )x 2 = 0
(**)
Ïðè
λ1 = 6 (*) ñâîäèòñÿ ê îäíîìó óðàâíåíèþ 5 x1 − 2 x 2 = 0
îòêóäà íàõîäèì, ÷òî
x1 2
= è â êà÷åñòâå ñîáñòâåííîãî âåêòîðà, ñîîòx2 5
âåòñòâóþùåãî ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ
èëè ëþáîé âåêòîð, êðàòíûé
Ïðè
λ1 = 6 , ìîæíî âçÿòü l1 = {2,5},
l1 .
λ 2 = −1 èìååì óðàâíåíèå x1 + x 2 = 0 èëè
âåòñòâóþùèé ñîáñòâåííûé âåêòîð áóäåò
íûé.
x1
= −1 , è ñîîòx2
l 2 = {1,−1}, èëè ëþáîé åìó êðàò-
Ïðèìåð 2.6.2. Íàéä¸ì ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòîðû îïåðàòîðà
R ïîâîðîòà íà óãîë ϕ ñ ìàòðèöåé
Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè
 cos ϕ
R = 
 sin ϕ
65
− sin ϕ 
.
cos ϕ 
Ðåøåíèå.
Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí îïåðàòîðà
ϕ (λ ) =
cos ϕ − λ
sin ϕ
Åãî êîðíè
R åñòü
− sin ϕ
= λ2 − 2 cos ϕ ⋅ λ + 1 = 0 .
cos ϕ − λ
λ1, 2 = cos ϕ ± i sin ϕ êîìïëåêñíû, è åñëè ϕ íå êðàòíî
π , ïðåîáðàçîâàíèå íå èìååò âåùåñòâåííûõ çíà÷åíèé.
Åñëè ϕ = 2kπ , ïðåîáðàçîâàíèå ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííûì, è êàæäûé âåêòîð ïëîñêîñòè – ñîáñòâåííûé, ïðè÷¸ì
λ = 1.
Åñëè ϕ = (2k + 1)π , ìû èìååì ïðåîáðàçîâàíèå öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè, è êàæäûé âåêòîð ïëîñêîñòè áóäåò ñîáñòâåííûì ñ ñîáñòâåííûì
çíà÷åíèåì λ = −1 .
Ïðèìå÷àíèå. Ðåøàòü ïðèìåðû íà îòûñêàíèå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé
è ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ óäîáíî ñ ïîìîùüþ ïðîãðàììû MathCAD PLUS
6.0 PRO.
§2.7. Òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå ïðîñòðàíñòâ
 §2.4. ìû íàó÷èëèñü èç çàäàííûõ ïðîñòðàíñòâ ñòðîèòü èõ «ñóììó»
(2.4.7), ïðè÷¸ì îïåðàòîðû äåéñòâóþùèå â «ñëàãàåìûõ» ïðîñòðàíñòâàõ, òàê
æå èìåþò «ñóììó» (2.5.1) – îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé â «ñóììå» ïðîñòðàíñòâ.
Ðàññìîòðèì òåïåðü ïîñòðîåíèå ñëîæíûõ ïðîñòðàíñòâ èç áîëåå ïðîñòûõ ñïîñîáîì «óìíîæåíèÿ». Ïðè ýòîì áóäóò «ïåðåìíîæàòüñÿ» è îïåðàòîðû, äåéñòâóþùèå â ïðîñòðàíñòâàõ-«ñîìíîæèòåëÿõ» è ìû ïîëó÷èì îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé â «ïðîèçâåäåíèè» ïðîñòðàíñòâ.
Ðàññìîòðèì äâà ïðîñòðàíñòâà
ïðîñòðàíñòâà îáîçíà÷èì ÷åðåç
C (m ) è C (n ) . Âåêòîðû ïåðâîãî
x , x1 , x ′,... , à âåêòîðû âòîðîãî -
y , y1 , y ′,... . Áàçèñû â C (m ) áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç e1 ,..., em , à â C (n ) ÷åðåç
f 1 ,..., f n .
66
Ãëàâà âòîðàÿ
Ðàññìîòðèì âñåâîçìîæíûå ôîðìàëüíûå âûðàæåíèÿ âèäà
p
∑x
i =1
i
⊗ yi = x1 ⊗ y1 + ... + x p ⊗ y p
ñ ëþáûì ÷èñëîì «ñëàãàåìûõ»
(2.7.1)
p , ãäå xi - âåêòîðû èç C (m ), à y i - èç
C (n ) . Çíàê ⊗ èãðàåò ðîëü ÷èñòî ôîðìàëüíîãî «ðàçäåëèòåëÿ» ìåæäó xi
è
yi . Ìû íå ìîæåì çäåñü ïîëüçîâàòüñÿ çàïèñüþ âèäà (xi y i ), òàê êàê
íàäî âñ¸ âðåìÿ ïîìíèòü, ÷òî ðå÷ü èä¸ò íå î «âíóòðåííåì» (àíàëîã ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ îäíîãî ïðîñòðàíñòâà), à íåêîòîðîì ôîðìàëüíîì àíàëîãå óìíîæåíèÿ äëÿ âåêòîðîâ èç ðàçíûõ ïðîñòðàíñòâ. Çíàêè + è
∑
â (2.7.1) èìåþò òîæå ôîðìàëüíûé õàðàêòåð è íå îçíà÷àþò
ñóììèðîâàíèÿ íè â êàêîì çàðàíåå çàäàííîì ïðîñòðàíñòâå.
Ñîâåðøåííî íåñóùåñòâåííî, ÷òî «ñîáîé ïðåäñòàâëÿþò» ôîðìàëüíûå ñóììû (2.7.1), èìåþò çíà÷åíèå ëèøü ïðàâèëà äåéñòâèé íàä íèìè,
êîòîðûå ìû ñåé÷àñ ïåðå÷èñëèì.
Óñëîâèìñÿ ñ÷èòàòü äâà âûðàæåíèÿ âèäà (2.7.1) ðàâíûìè, åñëè îíè
ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû äðóã èç äðóãà êîíå÷íûì ÷èñëîì ñëåäóþùèõ ýëåìåíòàðíûõ îïåðàöèé: åñëè â (2.7.1) âõîäèò ÷ëåí
x ⊗ y è x = x ′ + x ′′ â
C (m ), òî ýòîò ÷ëåí çàìåíÿåòñÿ íà x ′ ⊗ y + x ′′ ⊗ y è àíàëîãè÷íûìè (âçàèìîçàìåíÿåìûìè) áóäóò âûðàæåíèÿ:
(x ′ + x ′′) ⊗ y = x ′ ⊗ y + x ′′ ⊗ y ,
x ⊗ ( y ′ + y ′′) = x ⊗ y ′ + x ⊗ y ′′ ,
(2.7.2)
(2.7.3)
λx ⊗ y = x ⊗ λy .
(2.7.4)
Åñëè âûðàæåíèå (2.7.1) ìîæíî ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïðèâåñòè ê âèäó 0 ⊗ 0 (ñëåâà íóëåâîé âåêòîð â
C (m ), ñïðàâà –
íóëåâîé âåêòîð â C (n ) ), òî 0 ⊗ 0 îáîçíà÷àåòñÿ ïðîñòî ÷åðåç 0 . Ìíîæåñòâî âñåõ âûðàæåíèé âèäà (2.7.1), ñ îòîæäåñòâëåíèåì ðàâíûõ âûðàæå-
( )
()
íèé, îáîçíà÷èì ÷åðåç C m ⊗ C n .
Äëÿ âûðàæåíèé (2.7.1) ìîæíî óñòàíîâèòü äåéñòâèÿ ñëîæåíèÿ, óìíîæåíèÿ íà êîìïëåêñíîå ÷èñëî è ñêàëÿðíîãî óìíîæåíèÿ, ïðè÷¸ì
Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè
67
C (m ) ⊗ C (n ) ïðåâðàùàåòñÿ â êîìïëåêñíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî
C (m ) ⊕ C (n ), ðàç-
ðàçìåðíîñòè mn (â ñëó÷àå îðòîãîíàëüíîé ñóììû
ìåðíîñòè ñêëàäûâàþòñÿ).
Ñóììà îïðåäåëÿåòñÿ ïî ïðàâèëó:
(x′ ⊗ y ′ + ... + x′ ⊗ y ′ ) + (x′′ ⊗ y ′′ + ... + x′′ ⊗ y ′′ ) =
1
p
1
p
1
q
q
= x1′ ⊗ y1′ + ...x ′p ⊗ y ′p + x1′′ ⊗ y1′′ + ... + x q′′ y q′′ .
(2.7.5)
Äëÿ ñëîæåíèÿ äâóõ âûðàæåíèé (2.7.1) íàäî èõ ïðîñòî âûïèñàòü ïîäðÿä, ñîåäèíèâ çíàêîì ïëþñ. ×àñòî ïðè ýòîì â ïðàâîé ÷àñòè âîçìîæíû
óïðîùåíèÿ ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ îïåðàöèé, íàïðèìåð
x ⊗ y + x ⊗ y = (x + x ) ⊗ y = 2 x ⊗ y .
Óìíîæåíèå íà êîìïëåêñíîå ÷èñëî îïðåäåëÿåòñÿ ïî ïðàâèëó:
λ (x1 ⊗ y1 + ... + x p ⊗ y p ) = λx1 ⊗ y1 + ... + λx p y p =
= x1 ⊗ λy1 + ... + x p ⊗ λy p .
(2.7.6)
Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå:
äëÿ ìîíîìîâ:
(x ′ ⊗ y ′ x ′′ ⊗ y ′′) = (x ′ x ′′) ( ) ⋅ (y ′ y ′′) ( ) ;
C m
(2.7.7)
C n
äëÿ «ïîëèíîìîâ»:


 ∑ xi′ ⊗ yi′ ∑ x ′j′ ⊗ y ′j′  = ∑ xi′ ⊗ yi′ x ′j′ ⊗ y ′j′ .
 i
 i,j
j


(
)
(2.7.8)
Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ýòè äåéñòâèÿ óäîâëåòâîðÿþò âñåì òðåáîâàíèÿì, íàëîæåííûì âûøå íà äåéñòâèÿ íàä âåêòîðàìè êîìïëåêñíîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà.
Ïîñòðîèì òåïåðü áàçèñ è íàéä¸ì ðàçìåðíîñòü
C(m) ⊗ C(n) . Åñëè
x = x i ei , à y = y j f j , òî
x ⊗ y = x i y j ei ⊗ f j
ïðåäñòàâëÿþò ðàçëîæåíèå ìîíîìà
ei ⊗ f j .
(2.7.9)
x ⊗ y ïî áàçèñíûì ìîíîìàì
68
Ãëàâà âòîðàÿ
Ðàçëàãàÿ, òàêèì îáðàçîì, âñå ìîíîìû (2.7.1), ìû ìîæåì ïðåäñòà-
âèòü ëþáîé âåêòîð
ξ èç C(m) ⊗ C(n) â âèäå
ξ = ξij ei ⊗ f j .
Òàê êàê âåêòîðû
çèñ â
(2.7.10)
ei ⊗ f j îðòîíîðìèðîâàííû, îíè ñîñòàâëÿþò áà-
C(m) ⊗ C(n) . Êîãäà ìû ýòî ïîêàæåì, ìû òåì ñàìûì íàéä¸ì è ðàç-
ìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà
C(m) ⊗ C(n) ,
ïîñêîëüêó ÷èñëî âåêòîðîâ
ei ⊗ f j ðàâíî mn ( i = 1,..., m; j = 1,..., n ).
Ïî îïðåäåëåíèþ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ìîíîìîâ (2.7.7)
(e
i
⊗ f j ek ⊗ f l ) = (ei ek )⋅ ( f j f l ) = δik δ jl ;
ãäå ïðàâàÿ ÷àñòü îòëè÷íà îò íóëÿ ïðè i
(2.7.11)
= k , j = l , òî åñòü êîãäà âåêòîðû
ei ⊗ f j , ek ⊗ f l ñîâïàäàþò, â ýòîì ñëó÷àå δ ii δ jj = 1 .
Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî óêàçàòü îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ ïðîñòðàíñòâà
C(m) ⊗ C(n)
e1 ⊗ f 1 ; e1 ⊗ f 2 ;...; e1 ⊗ f n ; 
e2 ⊗ f1 ; e2 ⊗ f 2 ;...; e2 ⊗ f n ; 

........................................... 
em ⊗ f1 ; em ⊗ f 2 ;...; em ⊗ f n .
(2.7.12)
Åñëè çàíóìåðîâàòü âåêòîðû áàçèñà â íàïèñàííîì âûøå ïîðÿäêå,
òî ñòàíîâÿòñÿ ïîíÿòíûìè âûðàæåíèÿ: «áàçèñíûé âåêòîð íîìåð
«ìàòðè÷íûé ýëåìåíò èç
(i , j )-é ñòðîêè» è òàê äàëåå.
(k ,l )»,
Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè
69
§2.8. Òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå îïåðàòîðîâ
C (m ) äåéñòâóåò îïåðàòîð M , à â C (n ) - îïåðàòîð N .
Ïóñòü â
Ïîñòðîèì ïî ýòèì îïåðàòîðàì íîâûé îïåðàòîð M ⊗ N , äåéñòâóþùèé
â
C(m) ⊗ C(n) .
Òàê êàê íàì íàäî îïðåäåëèòü ëèíåéíûé îïåðàòîð, òî äîñòàòî÷íî
óêàçàòü, êàê íóæíûé íàì îïåðàòîð äåéñòâóåò íà ìîíîìû; ïî ëèíåéíîñòè
îí áóäåò òîãäà îïðåäåë¸í äëÿ âñåõ ïîëèíîìîâ (2.7.1).
Ïóñòü
L(x ⊗ y ) = Mx ⊗ Ny ;
òîãäà îïåðàòîð
(2.8.1)
L , äåéñòâóþùèé íà C(m) ⊗ C(n) îáîçíà÷èì êàê
L=M ⊗N
(2.8.2)
è íàçîâ¸ì òåíçîðíûì (êðîíåêåðîâûì) ïðîèçâåäåíèåì îïåðàòîðà
ñòâóþùèì íà
C (m ), è îïåðàòîðà N , äåéñòâóþùåãî íà C (n ) .
Ôèêñèðóåì áàçèñû
M , äåé-
ei , f j , ei ⊗ f j è âûðàçèì ìàòðèöó îïåðàòîðà
M ⊗ N ÷åðåç ìàòðèöû M è N .
Åñëè
Mei = M i j e j ,
(i = 1,..., m ),
Nf k = N kl f l ,
( j = 1,..., n ),
òî
L(ei ⊗ f k ) = Mei ⊗ Nf k = M ik ek ⊗ N lj f l = M ik N lj ek ⊗ f l .
Òàêèì îáðàçîì, ìàòðè÷íûé ýëåìåíò îïåðàòîðà
êå
(k ,l )
è ñòîëáöå
C(m) ⊗ C(n)
ìàòðèöó
(i , j ) ðàâåí
(2.8.3)
L , ñòîÿùèé â ñòðî-
M ik N lj . Åñëè áàçèñíûå âåêòîðû â
çàíóìåðîâàíû ïî ïðàâèëó (2.7.12), òî ìîæíî çàïèñàòü
M ⊗ N â âèäå
70
Ãëàâà âòîðàÿ
M 11 N11
.
1
M 1 N 1n
M 12 N11
.
2
M 1 N 1n
M 1m N11
.
m
M 1 N 1n
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
M 11 N n1
.
1
M 1 N nn
M 12 N n1
.
2
M 1 N nn
M 21 N11
.
1
M 2 N 1n
M 22 N 11
.
2
M 2 N 1n
M 1m N n1
.
m
M 1 N nn
M 2m N11
.
m
M 2 N 1n
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
M 21 N n1
.
1
M 2 N nn
M 22 N n1
.
2
M 2 N nn
M 2m N n1
.
m
M 2 N nn
M m1 N 11 . M m1 N n1
...
.
.
.
n
1
1
M m N 1 . M m N nn
M m2 N 11 . M m2 N n1
...
.
.
.
n
2
2
M m N 1 . M m N nn
...
...
M mm N11 . M mm N n1
...
.
.
.
m
n
m
M m N 1 . M m N nn
(2.8.4)
Ìàòðèöà (2.8.4) íàçûâàåòñÿ êðîíåêåðîâûì ïðîèçâåäåíèåì ìàòðèö
M ik è N lj .
Åñëè îïåðàòîðû M è N óíèòàðíû, òî è îïåðàòîð L = M ⊗ N
óíèòàðåí. Ïðîâåðèì óñëîâèå óíèòàðíîñòè (1.13.5); â ñëåäóþùåì âû-
∑
( )
÷èñëåíèè
îçíà÷àåò ñóììèðîâàíèå ïî âñåì ïàðàìåòðàì
i,j
i = 1,..., m ; j = 1,..., n :
L((
∑
( )
i,j)
k ,l )
i,j
L((is,,jt )) = ∑ M ik N l j M si N t j =
(i , j )


 
=  ∑ M ki M si  ⋅  ∑ N l j N t j  = σ ks σ lt ,
 i
  j

÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Êîíñòðóêöèè íàä ïðîñòðàíñòâàìè è îïåðàòîðàìè
71
§2.9. Ïðîèçâåäåíèå ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà ïðîñòðàíñòâ
Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå
ëþáîãî ÷èñëà ïðîñòðàíñòâ
C (n ) = C (n1 ) ⊗ C (n2 ) ⊗ ... ⊗ C (n s ) , n = n1n2 ...n s ,
(2.9.1)
âåêòîðû êîòîðîãî èìåþò âèä
1
∑x
s
j
⊗ ... ⊗ x j ,
(2.9.2)
j
ãäå
x - âåêòîð èç C (ni ) .
i
Ïî îïðåäåëåíèþ ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà



1
1
i
s
i
s
= x ⊗ ... ⊗ x ′⊗ ... ⊗ x + x ⊗ ... ⊗ x ′′⊗ ... ⊗ x ,

1
2
1
2
s
s

λ x ⊗ x ⊗ ... ⊗ x = x ⊗ λ x ⊗ ... ⊗ x =

1
2
s


= ... = x ⊗ x ⊗ ... ⊗ λ x .
1
i
i
s
x ⊗ ... ⊗  x ′+ x ′′  ⊗ ... ⊗ x =


(2.9.3)
Çàìåíà ëåâîé ÷àñòè òàêîãî ðàâåíñòâà ïðàâîé èëè íàîáîðîò, åñòü
ýëåìåíòàðíàÿ îïåðàöèÿ íàä ïîëèíîìîì (2.9.2). Ïîëèíîìû ñ÷èòàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè ïåðåâîäÿòñÿ äðóã â äðóãà ýëåìåíòàðíûìè îïåðàöèÿìè. Äåéñòâèÿ íàä âåêòîðàìè èç C (n ) (òî åñòü íàä ïîëèíîìàìè (2.9.2), ñðåäè êîòîðûõ ðàâíûå îòîæäåñòâëÿþòñÿ è ñ÷èòàþòñÿ îäíèì è òåì æå âåêòîðîì)
îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè
72
Ãëàâà âòîðàÿ
s 
x j ⊗ ... ⊗ x j = ∑ x j ⊗ ... ⊗ x j ;
j =1
j = p +1
j =1

1
1
s
s

λ ∑ x j ⊗ ... ⊗ x j = ∑ λ x j ⊗ ... ⊗ x j =

j
j

 (2.9.4)
1
s
= ... = ∑ x j ⊗ ... ⊗ λ x j ;

j


s
1
1
s
s 
k k



 ∑ x ′j ⊗ ... ⊗ x ′j ∑ x ′j′ ⊗ ... ⊗ x ′j′  = ∑∏  xi′ x ′j′ . 
 j
 i , j k =1 
 
j


p
1
∑x
s
j
⊗ ... ⊗ x j +
p+q
∑
1
s
Íàêîíåö, åñëè â êàæäîì ïðîñòðàíñòâå
p+q 1
C (ni ) äåéñòâóåò îïåðàòîð
Li , òî ìîæíî îïðåäåëèòü òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå
L = L1 ⊗ L2 ⊗ ... ⊗ Ls
(2.9.5)
ýòèõ îïåðàòîðîâ, äåéñòâóþùèõ íà ìîíîìû ïî ïðàâèëó:
1
1
2
s
s
L x ⊗ ... ⊗ x  = L1  x  ⊗ L2  x  ⊗ ... ⊗ Ls  x  .


 
 
 
(2.9.6)
Òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå ëþáîãî ÷èñëà óíèòàðíûõ îïåðàòîðîâ åñòü
óíèòàðíûé îïåðàòîð.