Потребительский выбор и предложение труда

628
Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðèëîæåíèå
X. Ïîòðåáèòåëüñêèé âûáîð è ïðåäëîæåíèå òðóäà
Íàïîìíèì ÷èòàòåëþ îñíîâíóþ çàäà÷ó ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà,
êîòîðóþ ìû ðàññìàòðèâàåì â ÷àñòè II. Ïîòðåáèòåëü âûáèðàåò íàáîð
q = (q1, q2, K , qn ) èç n ðàçëè÷íûõ áëàã. Êàæäîå (i-òîå) áëàãî õàðàêòåðèçóåòñÿ öåíîé pi, ïðè÷åì âñå öåíû ïîëîæèòåëüíû (íå ðàâíû íóëþ).
Ïîòðåáèòåëü, èìåþùèé ôóíêöèþ ïîëåçíîñòè U(q) è îáëàäàþùèé äîõîäîì
I, ðåøàåò çàäà÷ó
U(q) → max
ïðè âûïîëíåíèè áþäæåòíîãî îãðàíè÷åíèÿ
n
pi qi
∑
i =1
= I.
(1)
Çäåñü ìû ðàññìîòðèì ìîäåëü, îïèñûâàþùóþ ïîâåäåíèå èíäèâèäà,
ðåøàþùåãî ñîâìåñòíî çàäà÷ó ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà è îáúåìà ïðåäëîæåíèÿ òðóäà. Äëÿ ýòîãî â íàáîð q = (q1, q2, K , qn ) ïîòðåáëÿåìûõ
èíäèâèäîì áëàã íàðÿäó ñ òåìè áëàãàìè, êîòîðûå ïîêóïàþòñÿ íà ðûíêå,
âêëþ÷èì òàêèå, êàê ñîí, ïðîãóëêè è ò. ï., íå òðåáóþùèå äåíåæíûõ
çàòðàò, íî òðåáóþùèå çàòðàò âðåìåíè. Êàæäîå áëàãî òåïåðü õàðàêòåðèçóåòñÿ öåíîé pi è çàòðàòàìè âðåìåíè ti íà ïîòðåáëåíèå åäèíèöû áëàãà.
Íåêîòîðûå èç öåí òåïåðü ìîãóò ðàâíÿòüñÿ íóëþ, êàê è íåêîòîðûå èç
óäåëüíûõ çàòðàò âðåìåíè; íî íè äëÿ êàêîãî èç áëàã pi è ti íå ìîãóò
ðàâíÿòüñÿ íóëþ îäíîâðåìåííî.
Òåïåðü ìû áóäåì ñ÷èòàòü äîõîä íå çàäàííûì, à çàâèñÿùèì îò îáúåìà
ïðåäëîæåíèÿ èíäèâèäîì òðóäà L. Îáîçíà÷èì F äîëþ âðåìåíè (ñêàæåì,
÷èñëî ÷àñîâ â ñóòêè), îòâîäèìóþ íà ïîòðåáëåíèå. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî
ðàçëè÷íûå áëàãà íå ìîãóò ïîòðåáëÿòüñÿ â îäíî è òî æå âðåìÿ è ïîýòîìó
âåëè÷èíà F ñêëàäûâàåòñÿ èç çàòðàò âðåìåíè íà ïîòðåáëåíèå ðàçëè÷íûõ
áëàã:
n
∑ ti qi
= F.
i =1
(2)
Îáùàÿ ïðîäîëæèòåëüíîñòü ñóòîê T (24 ÷) ðàçëàãàåòñÿ íà âðåìÿ òðóäà
è âðåìÿ ïîòðåáëåíèÿ: T = L + F , à ñóòî÷íûé äîõîä îïðåäåëÿåòñÿ
âðåìåíåì òðóäà L è ÷àñîâîé ñòàâêîé çàðàáîòíîé ïëàòû w: I = wL .
Îòñþäà
I + wF = wT .
Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâà (1) è (2), ïîëó÷àåì îãðàíè÷åíèå, êîòîðîìó äîëæíî
óäîâëåòâîðÿòü ðåøåíèå êîìïëåêñíîé çàäà÷è ïîòðåáèòåëÿ:
n
n
pi qi + ∑ wti qi
∑
i =1
i =1
= wT ,
X. Ïîòðåáèòåëüñêèé âûáîð è ïðåäëîæåíèå òðóäà
629
èëè
n
∑ ( pi + wti )qi = wT .
i =1
(3)
Ðàâåíñòâî (3) íàçîâåì îáîáùåííûì áþäæåòíûì îãðàíè÷åíèåì,
à ìíîæèòåëü â ñêîáêàõ ïîä çíàêîì ñóììû — îáîáùåííîé öåíîé
( gi = pi + wti ). Åå ïåðâàÿ êîìïîíåíòà (pi) — öåíà â îáû÷íîì ñìûñëå,
âòîðàÿ (wti) — àëüòåðíàòèâíûå çàòðàòû, ñâÿçàííûå ñ òåì, ÷òî ïîòðåáëåíèå åäèíèöû i-òîãî áëàãà ñîïðÿæåíî ñ çàòðàòàìè âðåìåíè ti è
òåì ñàìûì — ñ îòêàçîì îò çàðàáîòíîé ïëàòû â êîëè÷åñòâå wti.
Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà èìååò âèä
U(q) → max
ïðè îãðàíè÷åíèè
n
gi qi
∑
i =1
= wT .
Åñëè ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è — íàáîð q — ïîäñòàâèòü â óðàâíåíèå (2),
ïîëó÷èì âåëè÷èíó âðåìåíè, îòâîäèìîãî íà ïîòðåáëåíèå; îñòàëüíàÿ ÷àñòü
ñóòîê — îáúåì ïðåäëîæåíèÿ òðóäà.
Çàìåòèì, ÷òî ïàðàìåòðàìè çàäà÷è ÿâëÿþòñÿ öåíû, ñòàâêà çàðàáîòíîé
ïëàòû è óäåëüíûå çàòðàòû âðåìåíè. Îò ýòèõ ïàðàìåòðîâ çàâèñÿò
ðåøåíèå çàäà÷è è, ñëåäîâàòåëüíî, îáúåì ïðåäëîæåíèÿ òðóäà.
Óìåñòíî ñîïîñòàâèòü òîëüêî ÷òî ðàññìîòðåííóþ çàäà÷ó ñ çàäà÷åé,
îïèñàííîé â Ìàòåìàòè÷åñêîì ïðèëîæåíèè V. Òàì îãðàíè÷åíèÿ âèäà
(1) — ïî äåíåæíîìó áþäæåòó — è âèäà (2) — ïî áþäæåòó âðåìåíè —
ðàññìàòðèâàëèñü êàê íåçàâèñèìûå, à âåëè÷èíû äåíåæíîãî äîõîäà I
è âðåìåíè íà ïîòðåáëåíèå F áûëè çàäàííûìè. Ýòî ñîîòâåòñòâóåò
ñëó÷àþ, êîãäà ïîòðåáèòåëü âûáèðàåò òîëüêî îáúåìû ïîòðåáëåíèÿ ðàçëè÷íûõ áëàã, íî íå âûáèðàåò ïðîäîëæèòåëüíîñòü ðàáî÷åãî äíÿ. Äâóì
îãðàíè÷åíèÿì ñîîòâåòñòâóþò äâà ìíîæèòåëÿ Ëàãðàíæà: l — äëÿ
«äåíåæíîãî» îãðàíè÷åíèÿ è m — äëÿ «âðåìåííîãî». Âåëè÷èíà l
õàðàêòåðèçóåò äîïîëíèòåëüíóþ ïîëåçíîñòü äîïîëíèòåëüíîãî ðóáëÿ,
âåëè÷èíà m — äîïîëíèòåëüíîé ìèíóòû:
λ=
äU
;
äI
µ =
äU
.
äF
 ðàìêàõ îðäèíàëèñòñêîé êîíöåïöèè ïîëåçíîñòè ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ
l è m íå èìåþò ñìûñëà. Âíèìàíèå ÷èòàòåëÿ îáðàùàëîñü íà îòíîøåíèå
m/l, èìåþùåå ðàçìåðíîñòü ñòàâêè çàðàáîòíîé ïëàòû, è ïðåäëàãàëîñü
ïîäóìàòü íàä ýêîíîìè÷åñêèì ñìûñëîì ýòîãî îòíîøåíèÿ.
Òåïåðü çàìåòèì, ÷òî µ λ = MRSFI — ïðåäåëüíàÿ íîðìà çàìåùåíèÿ
630
Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðèëîæåíèå
äîñóãà äåíåæíûì äîõîäîì. Åñëè îòíîøåíèå íå ñîâïàäàåò ñ ðûíî÷íîé
ñòàâêîé çàðàáîòíîé ïëàòû, èíäèâèä íå íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè íà
ðûíêå òðóäà: ïðè µ λ > w äîïîëíèòåëüíàÿ åäèíèöà äîñóãà öåíèòñÿ
ïîòðåáèòåëåì âûøå, ÷åì ñîîòâåòñòâóþùåå ïðèðàùåíèå äîõîäà, è
èíäèâèä õîòåë áû ðàáîòàòü ìåíüøå, ÷åì åìó ïðèõîäèòñÿ (è
ñîîòâåòñòâåííî ìåíüøå çàðàáàòûâàòü); ïðè µ λ > w îí õîòåë áû çàðàáàòûâàòü áîëüøå.
Ïðèìåð. Ïóñòü ïîòðåáëåíèå èíäèâèäà îãðàíè÷èâàåòñÿ òðåìÿ áëàãàìè: 1) ïèùåé, 2) ñíîì, 3) êíèãàìè. Åãî ïðåäïî÷òåíèÿ îïèñûâàþòñÿ ôóíêöèåé ïîëåçíîñòè
U(q) = q10.2 q20.3 q30.5 .
Ñòàâêó çàðàáîòíîé ïëàòû ïðèìåì ðàâíîé 5. Öåíû è óäåëüíûå çàòðàòû âðåìåíè
íà ïîòðåáëåíèå ïðèâåäåíû â òàáëèöå.  ïîñëåäíåì ñòîëáöå ïðèâåäåíû çíà÷åíèÿ
îáîáùåííîé öåíû ïðè w = 5 .
i
Áëàãî
pi
ti
gi
1
Ïèùà
10
—
10
2
Ñîí
—
1
5
3
Kíèãè
15
5
40
Äëÿ óäîáñòâà âû÷èñëåíèé çàìåíèì ôóíêöèþ ïîëåçíîñòè ýêâèâàëåíòíîé ôóíêöèåé: ln U (q ) = 0.2 ln q1 + 0.3 ln q2 + 0.5 ln q3 . Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà:
L ( q, λ ) = 0.2 ln q1 + 0.3 ln q 2 + 0.5 ln q 3 − λ (10 q 1 + 5 q 2 + 40 q 3 ) .
Óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè:
0.2
äL
=
− 10λ = 0;
äq1
q1
0.3
äL
=
− 5λ = 0;
äq2
q2
0.5
äL
=
− 40λ = 0 .
äq3
q3
Îòñþäà
q1 =
0.2
;
10λ
q2 =
0.3
;
5λ
q3 =
0.5
.
40λ
Èç óñëîâèÿ 10q1 + 5q2 + 40q3 = 5 ⋅ 24 íàõîäèì λ = 1 120, òàê ÷òî
q1 = 2.4 ;
q2 = 7.2 ;
q3 = 1.5 .
Çàòðàòû âðåìåíè íà ïîòðåáëåíèå: F = 0 ⋅ 2.4 + 1 ⋅ 7.2 + 5 ⋅ 1.5 = 14.7, è îáúåì ïðåäëîæåíèÿ òðóäà 9.3 ÷/ñóò.
Åñëè öåíà êíèã âîçðàñòåò ñ 15 äî 25 åä., òî q1 è q2 îñòàíóòñÿ áåç èçìåíåíèÿ, q3
ïðèìåò íîâîå çíà÷åíèå: q3 = 1.2 ; F = 0 ⋅ 2.4 + 1 ⋅ 7.2 + 5 ⋅ 1.2 = 13.2 , òàê ÷òî òåïåðü îáúåì
ïðåäëîæåíèÿ òðóäà L = 24 − 13.2 = 10.8.