5. Этюд о формуле Эйлера В статье приводится вывод формулы

ÊÂÀÍT 2007/¹1
Ýòþä î ôîðìóëå Ýéëåðà
Â.ÐÛÆÈÊ, Á.ÑÎÒÍÈ×ÅÍÊÎ
Ä
Ëß ÒÐÅÓÃÎËÜÍÈÊÀ, ÂÏÈÑÀÍÍÎÃÎ Â ÎÊÐÓÆ-
íîñòü ðàäèóñà R è îïèñàííîãî îêîëî îêðóæíîñòè ðàäèóñà r, èçâåñòíà ôîðìóëà Ýéëåðà:
d2 = R2 - 2Rr ,
ãäå d – ðàññòîÿíèå ìåæäó öåíòðàìè ýòèõ îêðóæíîñòåé.
Ýòà ôîðìóëà äîêàçûâàåòñÿ âî ìíîãèõ çàäà÷íèêàõ1 . Â
íåêîòîðûõ êíèãàõ2 ìîæíî íàéòè ôîðìóëó Ýéëåðà äëÿ
÷åòûðåõóãîëüíèêà; ïðè ýòîì óêàçàíà òîëüêî çàâèñèìîñòü ìåæäó ýòèìè âåëè÷èíàìè, íî íåò ÿâíîãî âûðàæåíèÿ äëÿ îäíîé èç íèõ. Âñòàåò åñòåñòâåííûé âîïðîñ –
ìîæíî ëè ïîëó÷èòü ñîîòâåòñòâóþùóþ ôîðìóëó äëÿ
ïðîèçâîëüíîãî n-óãîëüíèêà (ðàçóìååòñÿ, âûïóêëîãî)?
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ìû
îòâåòèì íà ýòîò âîïðîñ, è
îòâåò áóäåò óòâåðäèòåëüíûì. Äîêàçàòåëüñòâî áóäåò îñíîâàíî íà êèíåìàòè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèÿõ. Ñ
íèìè ìîæíî ïîçíàêîìèòüñÿ ïî êíèãàì 3 , à òàêæå ïî
íàøèì ïðåäûäóùèì ñòàòüÿì (ñì. «Êâàíò» ¹5 çà
2002 ã. è ¹1 çà 2005 ã.).
Ðèñ. 1
 äàëüíåéøåì ìû áóäåì
óïîòðåáëÿòü òàêóþ ñèñòåìó îáîçíà÷åíèé è òåðìèíîâ â
n-óãîëüíèêå (ðèñ.1):
k – íîìåð ýëåìåíòà n-óãîëüíèêà,
R – ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè,
r – ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè,
O1 – öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè,
O2 – öåíòð âïèñàííîé îêðóæíîñòè,
O1O2 – ëèíèÿ öåíòðîâ,
d – ðàññòîÿíèå ìåæäó öåíòðàìè O1 , O2 ,
ρ = r R,
δ = d R,
Ak – k-ÿ âåðøèíà n-óãîëüíèêà A1 A2 A3 K An ,
ak = Ak Ak +1 – ñòîðîíà n-óãîëüíèêà A1 A2 A3 K An ,
Bk – òî÷êà êàñàíèÿ ñòîðîíû n-óãîëüíèêà ak è
âïèñàííîé îêðóæíîñòè,
Rk = O1 Ak – ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè, ïðîâåäåííûé â âåðøèíó Ak ,
rk = O2 Bk – ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè, ïðîâåäåííûé â òî÷êó êàñàíèÿ Bk ,
Ck – ñåðåäèíà ñòîðîíû ak ,
bk = Ak Bk – äëèíà îòðåçêà êàñàòåëüíîé,
1 Ñì., íàïðèìåð, êíèãó: Â.Â.Ïðàñîëîâ. Çàäà÷è ïî ïëàíèìåòðèè. – Ì.: ÌÖÍÌÎ, 2001.
2 Ñì., íàïðèìåð, êíèãó: Ç.À.Ñêîïåö, Â.À.Æàðîâ. Çàäà÷è è
òåîðåìû ïî ãåîìåòðèè. Ïëàíèìåòðèÿ. – Ì.: Ó÷ïåäãèç, 1962.
3 Ñì., íàïðèìåð, êíèãó: Þ.È.Ëþáè÷, Ë.À.Øîð. Êèíåìàòè÷åñêèé ìåòîä â ãåîìåòðè÷åñêèõ çàäà÷àõ. – Ì.: Íàóêà, 1976.
ϕk = ÐAkO1O2 – óãîë ìåæäó ðàäèóñîì Rk è ëèíèåé
öåíòðîâ O1O2 ,
αk = ϕk +1 - ϕk – óãîë, ïîä êîòîðûì ñòîðîíà Ak Ak +1
âèäíà èç öåíòðà O1 ,
ϕ& k = ϕk ¢t = ωk – óãëîâàÿ ñêîðîñòü ðàäèóñà Rk .
Òðåóãîëüíèê è äâå îêðóæíîñòè
(òðåóãîëüíèê Ýéëåðà)
Íà÷íåì ñ òàêîãî ïîñòðîåíèÿ. Ïóñòü íàì äàíû îêðóæíîñòü ðàäèóñà R ñ öåíòðîì O1 (áóëüøàÿ îêðóæíîñòü)
è îêðóæíîñòü ðàäèóñà r ñ öåíòðîì O2 (ìåíüøàÿ
îêðóæíîñòü), ðàñïîëîæåííàÿ âíóòðè ïåðâîãî êðóãà.
Ïóñòü A1 – ïðîèçâîëüíàÿ
òî÷êà áîëüøåé îêðóæíîñòè. Ïðîâåäåì åå ðàäèóñ
O1 A1 . Èç òî÷êè A1 ïðîâåäåì êàñàòåëüíóþ ê ìåíüøåé îêðóæíîñòè, è òî÷êó,
â êîòîðîé îíà ïåðåñå÷åò
áîëüøóþ îêðóæíîñòü, íàçîâåì A2 . Àíàëîãè÷íî ïîëó÷èì òî÷êè A3 è A4 (ðèñ.
2,à,á). Íàì áû õîòåëîñü
ïîëó÷èòü ñîâïàäåíèå òî÷åê A4 è A1 , òàê êàê â
ýòîì ñëó÷àå ìû ïîëó÷àåì
òðåóãîëüíèê, âïèñàííûé â
áîëüøóþ îêðóæíîñòü è
îïèñàííûé îêîëî ìåíüøåé
îêðóæíîñòè. Åñëè çàôèêñèðîâàòü R, d è òî÷êó A1
íà áîëüøåé îêðóæíîñòè,
òî òàêîãî ñîâïàäåíèÿ ìîæíî äîáèòüñÿ, èçìåíÿÿ ðàäèóñ r (ðèñ.2,â).
Çàäàäèìñÿ òåïåðü âîïðîñîì: áóäóò ëè ñîâïàäàòü
òî÷êè A1 è A4 , åñëè â
ñèòóàöèè íà ðèñóíêå 2,â
èçìåíèòü íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå òî÷êè A1 ?
Ïóñòü â íà÷àëüíîì ïîëîæåíèè ðàäèóñ R1 =
= O1 A1 îáðàçóåò ñ ëèíèåé
öåíòðîâ óãîë ϕ1 è èìååò
óãëîâóþ ñêîðîñòü ϕ& 1 . Íàé- Ðèñ. 2
äåì óãëîâóþ ñêîðîñòü ðàäèóñà R4 . Åñëè óãëîâûå ñêîðîñòè ýòèõ ðàäèóñîâ îäèíàêîâû, òî òî÷êè A1 è A4 ñîâïàäàþò; åñëè ýòè ñêîðîñòè
íå ðàâíû, òî òî÷êè A1 è A4 â ïðîöåññå âðàùåíèÿ
ðàäèóñà O1 A1 ðàçîéäóòñÿ.
ÝÒÞÄ
Î
ÔÎÐÌÓËÅ
Ïðè ðåøåíèè ýòîé çàäà÷è ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü
ìåòîäû êèíåìàòèêè ñëîæíîãî äâèæåíèÿ òî÷êè è êèíåìàòèêè ïëîñêîïàðàëëåëüíîãî äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà
(ñì. «Êâàíò» ¹6 çà 2003 ã. è ¹1 çà 2005 ã.).
Íàïîìíèì âêðàòöå, ÷òî ñëîæíîå äâèæåíèå òî÷êè ýòî
åå äâèæåíèå îòíîñèòåëüíî äâóõ ñèñòåì îòñ÷åòà, îäíà
èç êîòîðûõ ñ÷èòàåòñÿ íåïîäâèæíîé, à äðóãàÿ – ïîäâèæíîé. Òîãäà äâèæåíèå òî÷êè îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà íàçûâàåòñÿ åå àáñîëþòíûì
äâèæåíèåì, à îòíîñèòåëüíî ïîäâèæíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà – îòíîñèòåëüíûì äâèæåíèåì. Ñîîòâåòñòâåííî, ñêîðîñòü òî÷êè ïðè àáñîëþòíîì äâèæåíèè íàçûâàåòñÿ åå
àáñîëþòíîé ñêîðîñòüþ, à ñêîðîñòü òî÷êè ïðè îòíîñèòåëüíîì äâèæåíèè íàçûâàåòñÿ åå îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòüþ.
Áîëåå ñëîæíî ïîíÿòèå ïåðåíîñíîãî äâèæåíèÿ è ïåðåíîñíîé ñêîðîñòè. Ïåðåíîñíûì äâèæåíèåì òî÷êè íàçûâàåòñÿ äâèæåíèå ïîäâèæíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé, ïåðåíîñíîé ñêîðîñòüþ òî÷êè –
ñêîðîñòü îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà
òîãî ïóíêòà ïîäâèæíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà, ñ êîòîðûì â
äàííûé ìîìåíò ñîâïàäàåò äâèæóùàÿñÿ òî÷êà.
Ïðèìåð. Òåïëîõîä ïëûâåò ïî ðåêå, à ïî ïàëóáå èäåò
÷åëîâåê. Ïóñòü íåïîäâèæíàÿ ñèñòåìà îòñ÷åòà ñâÿçàíà
ñ áåðåãàìè ðåêè, à ïîäâèæíàÿ – ñ òåïëîõîäîì. Òîãäà
äâèæåíèå ÷åëîâåêà îòíîñèòåëüíî òåïëîõîäà ÿâëÿåòñÿ
åãî îòíîñèòåëüíûì äâèæåíèåì, à îòíîñèòåëüíî áåðåãî⠖ àáñîëþòíûì. Ïåðåíîñíûì äâèæåíèåì ÷åëîâåêà
ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèå òåïëîõîäà îòíîñèòåëüíî áåðåãîâ.
Ñîîòâåòñòâåííî: àáñîëþòíàÿ ñêîðîñòü ÷åëîâåêà – ýòî
åãî ñêîðîñòü îòíîñèòåëüíî áåðåãîâ, îòíîñèòåëüíàÿ –
åãî ñêîðîñòü îòíîñèòåëüíî òåïëîõîäà, à ïåðåíîñíàÿ –
ýòî ñêîðîñòü îòíîñèòåëüíî áåðåãîâ òîé òî÷êè ïàëóáû,
â êîòîðîé â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè íàõîäèòñÿ ÷åëîâåê.
Òàêæå âêðàòöå íàïîìíèì íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ èç
òåîðèè ïëîñêîãî (ïëîñêîïàðàëëåëüíîãî) äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà. Ïóñòü ïëîñêàÿ ôèãóðà äâèæåòñÿ â ïëîñêîñòè, êîòîðàÿ åå ñîäåðæèò. Òîãäà îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïðè
ëþáîì íåïîñòóïàòåëüíîì äâèæåíèè ýòîé ôèãóðû (êîãäà åå óãëîâàÿ ñêîðîñòü ω íå ðàâíà íóëþ) îíà ñîäåðæèò
òàêóþ òî÷êó Ð, ñêîðîñòü
â äàííûé ìîìåíò
r
uuur êîòîðîé
âðåìåíè ðàâíà íóëþ: VP = 0 . Ýòà òî÷êà íàçûâàåòñÿ
ìãíîâåííûì öåíòðîì ñêîðîñòåé äàííîé ôèãóðû (èíà÷å
– ìãíîâåííûì öåíòðîì âðàùåíèé).
Ïðèìåð. Êîëåñî êàòèòñÿ ïî ðåëüñó áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ; â ýòîì ñëó÷àå òî÷êà êàñàíèÿ êîëåñà è ðåëüñà –
ìãíîâåííûé öåíòð ñêîðîñòåé êîëåñà. Ïðè ýòîì ñêîðîñòè òî÷åê ýòîé ïëîñêîé ôèãóðû òàêîâû, êàê áóäòî
ôèãóðà âðàùàåòñÿ âîêðóã íåïîäâèæíîé òî÷êè, ñîâïàäàþùåé ñ uuuìãíîâåííûì
öåíòðîì ñêîðîñòåé Ð. Òàê,
r
ñêîðîñòü VA íåêîòîðîé òî÷êè À ðàâíàuuurïî ìîäóëþ
uuur
PA × ω è ïåðïåíäèêóëÿðíà îòðåçêó ÐÀ: VA ^ PA .
Ïóñòü îòðåçîê A1 A2 ëåæèò íà ïðÿìîé L1L2 (ðèñ.3).
Ïóñòü òåïåðü ïðÿìàÿ L1L2 îáêàòûâàåò îêðóæíîñòü
ðàäèóñà r áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ â òî÷êå êàñàíèÿ B1 .
Òî÷êè A1 è A2 ó÷àñòâóþò â ñëîæíîì äâèæåíèè: îíè
ïåðåíîñÿòñÿ ýòîé ïðÿìîé è äâèæóòñÿ ïî ýòîé ïðÿìîé.
 ðåçóëüòàòå ñëîæåíèÿ ýòèõ äâèæåíèé êàæäàÿ èç
òî÷åê A1 è A2 äâèæåòñÿ ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñà R.
!
ÝÉËÅÐÀ
Ðàññìîòðèì äâèæåíèå òî÷êè A1 . Ïóñòü
óãëîâàÿ ñêîðîñòü ïðÿìîé L1L2 (ñòîðîíû
a1 = A1 A2 òðåóãîëüíèêà, ëåæàùåé íà ïðÿìîé L1L2 ) ðàâíà ωL .
Òîãäà ωL = ωa1 = ϕ& a1 .
Òàê êàê ïðÿìàÿ L1L2
íå ïðîñêàëüçûâàåò ïî
îêðóæíîñòè ðàäèóñà r,
ñêîðîñòü òî÷êè B1
(òî÷êè êàñàíèÿ) ðàâíà íóëþ è ïîýòîìó îíà Ðèñ. 3
ÿâëÿåòñÿ ìãíîâåííûì
öåíòðîì ñêîðîñòåé ýòîé ïðÿìîé. Ïîýòîìó ïåðåíîñíàÿ
ur
ñêîðîñòü V ïåð òî÷êè A1 ïåðïåíäèêóëÿðíà îòðåçêó
B1 A1 = b1 è
uur ðàâíà Vïåð = ωL B1 A1 = ϕ& a1 b1 .
Âåêòîð VA1 àáñîëþòíîé ñêîðîñòè òî÷êè A1 íàïðàâëåí ïî êàñàòåëüíîé ê áîëüøåé îêðóæíîñòè è ïî ìîäóëþ
ðàâåí VA1 = Vàáñ = ω1R = ϕ& 1R (çäåñü ω1 = ϕ& 1 – óãëîâàÿ
ñêîðîñòü ðàäèóñà O1 A1 ). uur
Îòíîñèòåëüíàÿ ñêîðîñòü V îòí òî÷êè A1 íàïðàâëåíà
ïî ïðÿìîé L1L2 ; åå âåëè÷èíà íàñ íå èíòåðåñóåò.
îr ñëîæåíèè ñêîðîñòåé èìååì ðàâåíñòâî
uurÏî òåîðåìå
uur
uu
V àáñ = V ïåð + V îòí . Íà ðèñóíêå 3 ýòà ñóììà ïîñòðîåíà.
Âèäíî, ÷òî
ur
ur
α
Vïåð = Vàáñ sin Ð V îòí ,V àáñ = Vàáñ sin 1
2
(çäåñü α1 – óãîë ìåæäó ðàäèóñàìè O1 A1 è O1 A2 ).
Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà óêàçàííûå âûøå çíà÷åíèÿ Vïåð è
α
a
α
Vàáñ , ïîëó÷èì ϕ& a1 b1 = ϕ& 1R sin 1 . Íî R sin 1 = 1 , è
2
2
2
ïîýòîìó
a
ϕ& a1 b1 = ϕ& 1 1 .
(1)
2
Ðàññìîòðèì àíàëîãè÷íûì îáðàçîì äâèæåíèå òî÷êè
A2 êàê òî÷êè òîé æå ñòîðîíû a1 è ïîëó÷èì
a
ϕ& a1 b2 = ϕ& 2 1 (çäåñü b2 = B1 A2 ).
(2)
2
Òî÷íî òàêèì æå îáðàçîì ïîëó÷èì àíàëîãè÷íûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ óãëîâûõ ñêîðîñòåé ñòîðîí a2 è a3 è
ðàäèóñîâ O1 A3 è O1 A4 . Ñòîðîíà a2 ñîñòîèò èç äâóõ
îòðåçêîâ êàñàòåëüíûõ ê ìàëîé îêðóæíîñòè:
a2 = A2 A3 = A2 B2 + B2 A3 .
Íî A2 B2 = A2 B1 = b2 . Ïîýòîìó
a2 = b2 + b3
b3
= B2 A3 .
Àíàëîãè÷íî,
a3 = A3 A4 = b3 + b4
b4
= B3 A4 .
Äëÿ ñòîðîíû A2 A3 ïîëó÷èì ðàâåíñòâà:
a
ϕ& a2 b2 = ϕ& 2 2
2
è
a
ϕ& a2 b3 = ϕ& 3 2 .
2
(3)
(4)
"
ÊÂÀÍT 2007/¹1
Äëÿ ñòîðîíû A3 A4 ïîëó÷èì ðàâåíñòâà
a
(5)
ϕ& a3 b3 = ϕ& 3 3
2
è
a
ϕ& a3 b4 = ϕ& 4 3 .
(6)
2
Óðàâíåíèÿ (1) – (6) ìîæíî çàïèñàòü îäíîé ñòðîêîé:
2ϕ& a3
2ϕ& a1
2ϕ& a2
ϕ&
ϕ&
ϕ&
ϕ&
=
=
= 1 = 2 = 3 = 4 . (7)
b1
b2
b3
b4
a1
a2
a3
&ϕ1 ϕ& 4
=
Èç ðàâåíñòâà
ñëåäóåò, ÷òî åñëè ëîìàíàÿ
b1
b4
îêàçàëàñü çàìêíóòîé, òî b1 = b4 , à ïîòîìó óãëîâûå
ñêîðîñòè ϕ& 4 è ϕ& 1 ðàâíû. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè
äâèæåíèè ïî îïèñàííîé îêðóæíîñòè âåðøèíû A1 çàìêíóòîé ëîìàíîé (òðåóãîëüíèêà) åå çàìêíóòîñòü ñîõðàíèòñÿ.
Åñëè òðåóãîëüíèê (è âîîáùå ìíîãîóãîëüíèê) äâèæåòñÿ ìåæäó äâóìÿ îêðóæíîñòÿìè òàê, ÷òî îí îïèñàí
îêîëî îäíîé îêðóæíîñòè è âïèñàí â äðóãóþ îêðóæíîñòü, òî áóäåì íàçûâàòü òàêîå åãî äâèæåíèå ñêîëüæåíèåì ìåæäó äâóìÿ îêðóæíîñòÿìè (èëè ïðîñòî ñêîëüæåíèåì), ïðî êàæäóþ åãî âåðøèíó è ñòîðîíó áóäåì
ãîâîðèòü, ÷òî îíè ñêîëüçÿò âäîëü ñîîòâåòñòâóþùåé
îêðóæíîñòè. Òàêîé òðåóãîëüíèê (ìíîãîóãîëüíèê) áóäåì íàçûâàòü òðåóãîëüíèêîì (ìíîãîóãîëüíèêîì) Ýéëåðà.
Ïðåæäå ÷åì íàõîäèòü
ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó R, r
è d â êîíêðåòíûõ ñëó÷àÿõ, ïîëó÷èì îäíî âàæíîå ðàâåíñòâî. Ðàññìîòðèì ðèñóíîê 4. Íà íåì
èçîáðàæåí ýëåìåíò ìíîãîóãîëüíèêà, ñîäåðæàùèé ñòîðîíó a1 =
= A1 A2 , ðàäèóñû O1 A1 è
O1 A2 è ðàäèóñ r = O2 B1 ,
ïðîâåäåííûé â òî÷êó êàÐèñ. 4
ñàíèÿ ñòîðîíû a1 è âïèñàííîé îêðóæíîñòè.
Ïóñòü óãîë ìåæäó ðàäèóñîì O1 A1 è ëèíèåé öåíòðîâ
O1 A0 ðàâåí ϕ1 , à óãîë ìåæäó ðàäèóñîì O1 A2 è ëèíèåé
öåíòðîâ O1 A0 ðàâåí ϕ2 . Òîãäà óãîë α1 ìåæäó ðàäèóñàìè O1 A1 è O1 A2 ðàâåí ðàçíîñòè ýòèõ óãëîâ:
α1 = ÐA2O1 A1 = ϕ2 - ϕ1 . Âûñîòà òðåóãîëüíèêà A2O1 A1
– îòðåçîê O1C1 – ÿâëÿåòñÿ â òî æå âðåìÿ áèññåêòðèñîé
óãëà ïðè âåðøèíå O1 , ïîýòîìó
ÐA2O1C1 =
è
α1
ϕ + ϕ1
.
+ ϕ1 = 2
2
2
Ýòà âûñîòà ñêëàäûâàåòñÿ èç äâóõ îòðåçêîâ:
ÐC1O1 A0 = ÐC1O1 A1 + ÐA1O1 A0 =
Ìíîãîóãîëüíèê è äâå îêðóæíîñòè
Òî÷íî òàêèì æå îáðàçîì, êàê ýòî ìû ñäåëàëè äëÿ
òðåóãîëüíèêà, ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî åñëè n-óãîëüíèê
(çàìêíóòàÿ ëîìàíàÿ) îäíîâðåìåííî âïèñàí è îïèñàí,
òî ïðè ñêîëüæåíèè îäíîé èç åãî âåðøèí ïî îïèñàííîé
îêðóæíîñòè îñòàëüíûå åãî âåðøèíû áóäóò ñêîëüçèòü
ïî òîé æå îêðóæíîñòè, à åãî ñòîðîíû – ïî âïèñàííîé
â íåãî îêðóæíîñòè.
Íåîáõîäèìàÿ äëÿ ýòîãî çàìêíóòîñòü ëîìàíîé
A1 A2 K An +1 îáåñïå÷èâàåòñÿ ðàâåíñòâîì óãëîâûõ ñêîðîñòåé ðàäèóñîâ O1 A1 è O1 An +1 : ϕ& 1 = ϕ& n +1 .
Ïðè ñêîëüæåíèè ìíîãîóãîëüíèêà A1 A2 K An ìåíÿþòñÿ âåëè÷èíû åãî óãëîâ è äëèíû ñòîðîí, íî íåêîòîðûå
ñâîéñòâà íåèçìåííû. Î òàêèõ ñâîéñòâàõ ðå÷ü ïîéäåò
äàëüøå. Ïîêà æå çàìåòèì, ÷òî äëÿ íåãî ñîõðàíÿåòñÿ
ðàâåíñòâî (7), êîòîðîå êðàòêî ìîæíî çàïèñàòü òàê:
2ϕ& ak
ϕ&
= k = c (k = 1, 2, …, n).
(8)
ak
bk
Ñëîâàìè ýòî ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê: îòíîøåíèÿ
2ϕ& ak
ϕ&
è k ðàâíû è íå çàâèñÿò îò èíäåêñà k.
bk
ak
Äàëüíåéøèå ðåçóëüòàòû áóäóò îñíîâàíû íà ñëåäóþùåì «ðóêîâîäÿùåì ïðèíöèïå»:
Ïîñêîëüêó ïðè ñêîëüæåíèè ìíîãîóãîëüíèêà îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè R, r è d, òî ìîæíî íàéòè ñîîòíîøåíèå ìåæäó ýòèìè âåëè÷èíàìè, ïåðåìåñòèâ äàííûé
ìíîãîóãîëüíèê â òàêîå ïîëîæåíèå, â êîòîðîì ýòî
ñîîòíîøåíèå íàõîäèòñÿ ñðàâíèòåëüíî ïðîñòî, à èìåííî, â òàêîå ïîëîæåíèå, êîãäà ìíîãîóãîëüíèê ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî ëèíèè öåíòðîâ O1O2 .
α1 ϕ2 - ϕ1
=
,
2
2
O1C1 = O1K + KC1 = d cos
ϕ2 + ϕ1
+r
2
(çäåñü òî÷êà K – ïðîåêöèÿ òî÷êè O2 íà ïðÿìóþ O1C1 ).
Íî âåðíî è òàêîå ðàâåíñòâî:
O1C1 = O1 A2 cos
α1
ϕ - ϕ1
= R cos 2
.
2
2
Èòàê, èìååì
ϕ2 - ϕ1
ϕ + ϕ1
= r + d cos 2
.
2
2
Ðàçäåëèëè îáå ÷àñòè íà R:
R cos
(9)
ϕ2 - ϕ1
ϕ + ϕ1
r
d
=
+ cos 2
.
2
2
R R
r
d
=ρ,
Ó÷èòûâàÿ îáîçíà÷åíèÿ
= δ , ïîëó÷èì òàêóþ
R
R
ôîðìóëó:
cos
cos
ϕ2 - ϕ1
ϕ + ϕ1
= ρ + δ cos 2
.
2
2
(10)
Òàêîå æå ðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ äëÿ ëþáîãî àíàëîãè÷íîãî ýëåìåíòà ìíîãîóãîëüíèêà, ò.å.
cos
ϕk +1 - ϕk
ϕ + ϕk
= ρ + δ cos k +1
2
2
(k = 1, 2, …, n).
(11)
Ýòà ôîðìóëà âåðíà êàê äëÿ çàìêíóòîé ëîìàíîé, òàê è
äëÿ íåçàìêíóòîé. Åñëè ëîìàíàÿ çàìêíóòà, òî÷êà An +1
ñîâïàäàåò ñ òî÷êîé A1 è âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
ϕn +1 = ϕ1 + 360° .
Íà÷íåì òåïåðü âû÷èñëåíèå ρ è δ â êîíêðåòíûõ
ñëó÷àÿõ.
ÝÒÞÄ
Î
ÔÎÐÌÓËÅ
Âû÷èñëåíèå äëÿ òðåóãîëüíèêà Ýéëåðà
ýòîìó
Ìû ïîëó÷èì ôîðìóëó Ýéëåðà äëÿ ðàâíîáåäðåííîãî
òðåóãîëüíèêà; êàê áûëî ñêàçàíî ðàíåå â «ðóêîâîäÿùåì
ïðèíöèïå», îíà áóäåò
âåðíà äëÿ ïðîèçâîëüíîãî òðåóãîëüíèêà.
Íà ðèñóíêå 5 òðåóãîëüíèê A1 A2 A3 ðàñïîëîæåí ñèììåòðè÷íî
îòíîñèòåëüíî ëèíèè
öåíòðîâ è O1O2 .
Çäåñü íóæíûå íàì
ñîîòíîøåíèÿ ïîÿâëÿþòñÿ íåïîñðåäñòâåííî
èç ðèñóíêà. Èç íåãî
ïîëó÷àåì òàêèå ðàâåíÐèñ. 5
ñòâà:
α1 O2 B1
r
ρ
=
=
=
cos
.
O2 A1 R - d 1 - δ
2
Êðîìå òîãî,
cos α1 = cos ÐA2O1 A1 = - cos ÐC2O1 A2 =
OC
r-d
= - ρ - δ .
= - 1 2 =O1 A2
R
α1
- 1 , òî
2
ρ2
- ρ - δ = 2
-1.
1 - δ2
Ïîñêîëüêó cos α1 = 2 cos2
Îòñþäà ïîëó÷àåì êâàäðàòíîå óðàâíåíèå
2
2
2ρ2 + ρ 1 - δ - 1 - δ 1 + δ = 0 .
Ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü ýòîãî óðàâíåíèÿ òàêîé:
ρ = 0,5 1 - δ2 ,
îòêóäà
r = 0,5
R2 - d2
.
R
(12)
Òåì ñàìûì, ìû ïîëó÷èëè èçâåñòíîå ñîîòíîøåíèå
ìåæäó âåëè÷èíàìè R, r è d, à èìåííî ôîðìóëó Ýéëåðà
äëÿ òðåóãîëüíèêà.
Âû÷èñëåíèå äëÿ ÷åòûðåõóãîëüíèêà Ýéëåðà
Íà ðèñóíêå 6 èçîáðàæåí âïèñàííûé è îïèñàííûé
÷åòûðåõóãîëüíèê, ñèììåòðè÷íûé îòíîñèòåëüíî ëèíèè
öåíòðîâ O1O2 (äåëüòîèä).
 ýòîì ñëó÷àå
α
OB
r
ρ
,
=
cos 1 = 2 1 =
O2 A1 R - d 1 - δ
2
à
cos
r
α2 O2 B2
ρ
=
=
=
2
O2 A3
R + d 1+ δ .
Êðîìå òîãî, α1 + α2 = 180° , ò.å.
α1 α2
+
= 90° , à ïî2
2
cos2
èëè
#
ÝÉËÅÐÀ
α1
α
+ cos2 2 = 1 ,
2
2
ρ2
1 - δ2
+
ρ2
1 + δ2
= 1.
(13)
2
2
1 1- δ
,
Îòñþäà ρ =
2 1 + δ2
è
2
ρ=
èëè
1 1 - δ2
2 1+ δ
2
Ðèñ. 6
,
r=
1
R2 - d2
.
(14)
R2 + d2
Ýòó ôîðìóëó, àíàëîãè÷íóþ ôîðìóëå (12) äëÿ òðåóãîëüíèêà, áóäåì íàçûâàòü ôîðìóëîé Ýéëåðà äëÿ ÷åòûðåõóãîëüíèêà.
2
Âû÷èñëåíèå äëÿ ïÿòèóãîëüíèêà Ýéëåðà
 ýòîì ñëó÷àå íàõîæäåíèå íóæíîé íàì çàâèñèìîñòè
ñóùåñòâåííî ñëîæíåå, ÷åì â ïðåäûäóùèõ.  îáùåì
ñëó÷àå îíî ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ íåêîòîðîãî êóáè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ.
Ðàññìîòðèì ïÿòèóãîëüíèê Ýéëåðà, ñèììåòðè÷íûé
(ñîãëàñíî «ðóêîâîäÿùåìó ïðèíöèïó») îòíîñèòåëüíî
ëèíèè öåíòðîâ O1O2
(ðèñ.7).
Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è
âîñïîëüçóåìñÿ äâóìÿ
ïåðâûìè ðàâåíñòâàìè èç
(11), ò.å. ïðè k = 1 è k =
= 2. Òàê êàê â íàøåì
ñëó÷àå ϕ1 = 0 è (ïîýòîìó) ϕ2 = α1 , ïåðâîå ðàâåíñòâî (ïðè k = 1)
çàïèñûâàåòñÿ òàê:
α
ρ
cos 1 =
,
Ðèñ. 7
2
1- δ
à âòîðîå ðàâåíñòâî (ïðè k = 2) çàïèøåòñÿ òàê:
ϕ - α1
ϕ + α1
= ρ + δ cos 3
cos 3
.
2
2
Âòîðîå ðàâåíñòâî ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó
ϕ3
ϕ
α
α
cos 1 + 1 + δ sin 3 sin 1 = ρ . (15)
2
2
2
2
Òðåòüå óðàâíåíèå ïîëó÷àåòñÿ èç ðàññìîòðåíèÿ ðèñóíêà 7:
α ö
α
æ
cos ϕ3 = cos ç180° - 3 ÷ = - cos 3 =
è
2ø
2
1 - δ cos
= -
O1B3
r-d
== - ρ - δ = δ - ρ .
O1 A3
R
Äàëüíåéøèå ïðåîáðàçîâàíèÿ òàêîâû. Ïîäñòàâèì
â óðàâíåíèå (15) çíà÷åíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ
$
ÊÂÀÍT 2007/¹1
Ïîäñòàâèâ (17) è (19) â (18), ïîëó÷èì:
ϕ
α
sin 1 + cos 3 = 1 ,
2
2
èëè
ôóíêöèé:
cos
ϕ3
=
2
1 + cos ϕ3
=
2
1+ δ - ρ
,
2
sin
ϕ3
=
2
1 - cos ϕ3
=
2
1- δ + ρ
,
2
α
α
ρ2
=
sin 1 = 1 - cos2 1 = 1 2
2
1 - δ 2
è ïîëó÷èì
ρ
1 - δ 2 - ρ2
1- δ
Ïîñëå èçáàâëåíèÿ îò èððàöèîíàëüíîñòåé è íåñëîæíûõ
ïðåîáðàçîâàíèé ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ òðåòüåé ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî ρ :
+ 1 - δ 2
2 3
= 0.
Ýòî óðàâíåíèå óïðîùàåòñÿ, åñëè ââåñòè íîâóþ ïåðå1 - δ2
ìåííóþ y =
. Îòíîñèòåëüíî ýòîé ïåðåìåííîé
2ρ
ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ
y 3 + y 2 - y - δ2 = 0 .
(16)
Èñòèííîñòü ýòîãî óðàâíåíèÿ ìîæíî ïðîâåðèòü äëÿ
ñëó÷àÿ ïðàâèëüíîãî ïÿòèóãîëüíèêà, êîãäà δ = 0 . Âû
ìîæåòå ïðîäåëàòü ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî.
Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå ìîæíî èññëåäîâàòü ãðàôè÷åñêè, à òàêæå ðåøèòü ïî ôîðìóëå Êàðäàíî èëè èñïîëüçóÿ
òðèãîíîìåòðèþ. È ýòî òîæå âû ìîæåòå ïðîäåëàòü
ñàìîñòîÿòåëüíî.
Âû÷èñëåíèå äëÿ øåñòèóãîëüíèêà Ýéëåðà
Ðàññìîòðèì øåñòèóãîëüíèê Ýéëåðà, ñèììåòðè÷íûé
(ñîãëàñíî «ðóêîâîäÿùåìó ïðèíöèïó») îòíîñèòåëüíî
ëèíèè öåíòðîâ O1O2
(ðèñ.8).
Âîñïîëüçóåìñÿ ïåðâûìè òðåìÿ ðàâåíñòâàìè èç (11), ò.å.
ïðè k = 1, k = 2 è k =
= 3.
Òàê êàê ϕ1 = 0 è
(ïîýòîìó) ϕ2 = α1 ,
ïåðâîå ðàâåíñòâî çàïèøåòñÿ òàê:
α
ρ
cos 1 =
, (17)
Ðèñ. 8
2
1- δ
à âòîðîå – òàê:
ϕ3
ϕ
α1
α
1 - δ cos cos + 1 + δ sin 3 sin 1 = ρ . (18)
2
2
2
2
Òðåòüå æå ðàâåíñòâî
ϕ4 - ϕ3
ϕ + ϕ3
= ρ + δ cos 4
2
2
(ïîñêîëüêó ϕ4 = 180° ) ïðèâîäèòñÿ ê âèäó
ϕ
ρ
sin 3 =
.
2
1+ δ
ρ2
(1 − δ )2
+ 1−
ρ2
(1 + δ )2
= 1.
(21)
Ýòà ôîðìóëà ñèìïàòè÷íà, à ïîïûòêà íàéòè ÿâíóþ
çàâèñèìîñòü ìåæäó ρ è δ ïðèâîäèò ê òàêîìó, óâû,
íåêðàñèâîìó âûðàæåíèþ:
1+ δ - ρ 1+ δ
1- δ - ρ
+
= ρ.
1 - δ + ρ
2
1- δ
2
ρ3 × 8δ2 + 4ρ2 × 1 - δ2 - 2ρ × 1 - δ2
1−
(20)
cos
(19)
ρ=
3
2
1 − δ2
1 + δ2 +
(
1 + δ2
)
2
.
+ 12δ2
Äëÿ ìíîãîóãîëüíèêîâ Ýéëåðà ñ ÷èñëîì ñòîðîí, áîëüøèì 6, ìîæíî ïîëó÷èòü óðàâíåíèÿ, ñâÿçûâàþùèå
çíà÷åíèÿ ρ è δ â íåÿâíîì âèäå. Ïîëó÷åíèå ÿâíîé
çàâèñèìîñòè ìåæäó íèìè ñâÿçàíî ñ ãðîìîçäêèìè è âðÿä
ëè ïðåîäîëèìûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè.
Ïîòîìó ìû è îãðàíè÷èâàåìñÿ ïîëó÷åíèåì ôîðìóëû
Ýéëåðà òîëüêî äëÿ òðåõ-, ÷åòûðåõ-, ïÿòè- è øåñòèóãîëüíèêîâ Ýéëåðà.
Çàäà÷è
Çàäà÷à 1. Öåíòð îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà
îêðóæíîñòè ëåæèò íà âïèñàííîé îêðóæíîñòè. Âû÷èñëèòå îòíîøåíèå ðàäèóñîâ ýòèõ îêðóæíîñòåé.
Ðåøåíèå. Ðàñïîëîæèì
òðåóãîëüíèê òàê, ÷òîáû
îäíà èç åãî ñòîðîí êàñàëàñü âïèñàííîé â íåãî
îêðóæíîñòè â öåíòðå
îïèñàííîé îêðóæíîñòè
O1 (ðèñ.9). Òîãäà ýòà
ñòîðîíà áóäåò äèàìåòðîì
îïèñàííîé îêðóæíîñòè, Ðèñ. 9
à ñàì òðåóãîëüíèê – ïðÿìîóãîëüíûì è ðàâíîáåäðåííûì. Ïîýòîìó
R = O1 A1 = O1O2 + O2 A1 = r + r 2 = r 1 + 2 .
Îòñþäà ïîëó÷àåì
1
= 2 − 1.
2 +1
Çàäà÷à 2. Îòíîøåíèå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó öåíòðàìè
âïèñàííîé â òðåóãîëüíèê îêðóæíîñòè è îïèñàííîé
îêîëî òðåóãîëüíèêà îêðóæíîñòè ê ðàäèóñó ïîñëåäíåé
d
= δ . Â êàêèõ ãðàíèöàõ ëåæàò óãëû ýòîãî
ðàâíî
R
òðåóãîëüíèêà?
Ðåøåíèå. Îöåíèì îäèí èç óãëîâ äàííîãî òðåóãîëüíèêà A1 A2 A3 – ïóñòü ýòî áóäåò óãîë ïðè âåðøèíå A1 ,
êîòîðûé ìû îáîçíà÷èì êàê α (ðèñ.10,à). Òîãäà
α r
sin = , ãäå r – ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè, à
2 l
l = O2 A1 . Ïðè ñêîëüæåíèè òðåóãîëüíèêà çíà÷åíèå l
ρ=
r
=
R
ÝÒÞÄ
Î
ÔÎÐÌÓËÅ
Ðèñ. 10
ìåíÿåòñÿ îò íàèìåíüøåãî çíà÷åíèÿ lmin = R - d
(ðèñ.10,á) äî íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ lmax =
r
r
α
=
=
= R + d (ðèñ.10,â). Ïîýòîìó sin max =
2
lmin
R-d
ρ
r
r
α
ρ
=
=
=
è sin min =
. Òàê êàê
1- δ
2
lmax
R + d 1+ δ
α
1+ δ
1 - δ2
α
1- δ
ρ=
, òî sin max =
è sin min =
.
2
2
2
2
2
1- δ
1+ δ
Îòñþäà îòâåò: 2 arcsin
.
£ α £ 2 arcsin
2
2
Çàìå÷àíèå 1. Åñëè ïîìèìî çíà÷åíèÿ δ çàäàíî òàêæå
çíà÷åíèå ρ , òî ýòà çàäà÷à èìååò è äðóãîå ïðîñòîå
ðåøåíèå – íàéäèòå åãî. Ïðè ýòîì ïîëó÷àåòñÿ áîëåå
êðàñèâûé îòâåò:
arccos ρ + δ £ α £ arccos ρ - δ .
Çàìå÷àíèå 2. Îöåíèâ îäèí èç óãëîâ òðåóãîëüíèêà,
ìû òåì ñàìûì îöåíèëè ëþáîé óãîë ñêîëüçÿùåãî òðåóãîëüíèêà.
Òåïåðü ðàññìîòðèì àíàëîãè÷íûå çàäà÷è äëÿ ÷åòûðåõóãîëüíèêà.
Çàäà÷à 3. Îêðóæíîñòü, âïèñàííàÿ â ÷åòûðåõóãîëüíèê Ýéëåðà, ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð îïèñàííîé îêîëî
íåãî îêðóæíîñòè. ×åìó ðàâíî îòíîøåíèå ðàäèóñîâ
ýòèõ îêðóæíîñòåé?
Ýòó çàäà÷ó âû ñìîæåòå ñäåëàòü ñàìîñòîÿòåëüíî.
Îòâåò: ρ = δ =
5 -2.
Çàäà÷à 4. Îòíîøåíèå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó öåíòðàìè
âïèñàííîé â ÷åòûðåõóãîëüíèê îêðóæíîñòè è îïèñàííîé îêîëî ÷åòûðåõóãîëüíèêà îêðóæíîñòè ê ðàäèóñó
d
= δ . Â êàêèõ ãðàíèöàõ ëåæàò óãëû
ïîñëåäíåé ðàâíî
R
ýòîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà?
Ðåøåíèå. Íà ðèñóíêå 6 ÷åòûðåõóãîëüíèê A1 A2 A3 A4
ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî ëèíèè öåíòðîâ O1O2 . Âåðøèíà ñêîëüçÿùåãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà Ýéëåðà ïîî÷åðåäíî çàíèìàåò ïîëîæåíèå A1, A2 , A3 è A4 . Êàê è ïðè
ñêîëüæåíèè òðåóãîëüíèêà (çàäà÷à 2), óãîë ïðè âåðøèíå ÷åòûðåõóãîëüíèêà äîñòèãàåò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ βmax , êîãäà ðàññòîÿíèå îò öåíòðà âïèñàííîé îêðóæíîñòè äî ýòîé âåðøèíû ìèíèìàëüíî è ðàâíî R – d
(â âåðøèíå A1 ), à ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ βmin – êîãäà
ýòî ðàññòîÿíèå ìàêñèìàëüíî è ðàâíî R + d (â âåðøèíå
A3 ).
%
ÝÉËÅÐÀ
Î÷åâèäíî, ÷òî
β
α
ρ
sin min = cos 2 =
,
2
2
1+ δ
à
β
α
ρ
cos min = cos 1 =
.
2
2
1- δ
Ïîýòîìó
sin βmin =
β
β
= 2 sin min cos min =
2
2
2ρ2
=
.
1 - δ2
2
Ïîäñòàâèì ñþäà çíà÷åíèå ρ èç ôîðìóëû (14) è
1 - δ2
. Ïîñêîëüêó βmin + βmax =
ïîëó÷èì sin βmin =
1 + δ2
= 180° , òî
arcsin
1 - δ2
1 + δ2
£ β £ 180° - arcsin
1 - δ2
1 + δ2
.
Çàäà÷à 5. Âåðøèíû A1 è A4 øåñòèóãîëüíèêà Ýéëåðà A1 A2 A3 A4 A5 A6 ëåæàò íà ëèíèè öåíòðîâ O1O2 (ñì.
ðèñ.8). Ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè ðàâåí R. Äîêàæèòå, ÷òî a1 + a3 = 2R ( a1 = A1 A2 , a3 = A3 A4 ).
Ðåøåíèå. Èìååì òàêèå ðàâåíñòâà:
ϕ
α
a1 = 2R sin 2 = 2R sin 1 ,
2
2
ϕ
ϕ4 - ϕ3
180° - ϕ3
= 2R cos 3 .
= 2R sin
2
2
2
Îòñþäà ïîëó÷àåì, ó÷èòûâàÿ óðàâíåíèå (20),
a3 = 2R sin
α
ϕ ö
æ
a1 + a3 = 2R ç sin 1 + cos 3 ÷ = 2R .
è
2
2ø
Çàäà÷à 6. Ïóñòü èçâåñòíû öåíòðàëüíûå óãëû αk ,
ïîä êîòîðûìè ñòîðîíû ìíîãîóãîëüíèêà Ýéëåðà âèäíû èç öåíòðà îïèñàííîé îêðóæíîñòè. ×åìó ðàâíî
îòíîøåíèå ðàäèóñîâ âïèñàííîé è îïèñàííîé îêðóæíîñòåé?
Ðåøåíèå. Óìíîæèì êàæäîå èç ðàâåíñòâ (11) íà
ϕ - ϕk
sin k +1
è ñëîæèì ïîëó÷åííûå ðàâåíñòâà:
2
n
å sin
k =1
ϕk +1 - ϕk
ϕ - ϕk
=
cos k +1
2
2
n
= ρ ∑ sin
k =1
n
ϕk + 1 − ϕk
ϕ
− ϕk
ϕ
+ ϕk
+ δ ∑ k +1
cos k +1
.
2
2
2
k =1
Ïðåîáðàçóÿ ýòî âûðàæåíèå, ïîëó÷èì
1 n
sin (ϕk +1 − ϕk ) =
2 k∑
=1
n
= ρ ∑ sin
k =1
Íî
n
ϕk + 1 − ϕk 1 n
+ δ ∑ (sin ϕk +1 − sin ϕk ) .
2
2 k =1
å sin ϕk +1 - sin ϕk k =1
= 0 (ó÷èòûâàÿ, ÷òî ϕn +1 =
&
ÊÂÀÍT 2007/¹1
= 360° + ϕ1 ). È òàê êàê ϕk +1 - ϕk = αk , ïîëó÷èì
n
ρ=
∑ sin αk
k =1
n
α
2∑ sin k
2
k =1
.
(22)
Çàìå÷àíèå. Åñëè ìíîãîóãîëüíèê Ýéëåðà ÿâëÿåòñÿ
òðåóãîëüíèêîì ñ óãëàìè α, β, γ , òî ôîðìóëà (22) âûãëÿäèò òàê:
sin 2α + sin 2β + sin 2γ
ρ=
(23)
2 sin α + sin β + sin γ .
Çàäà÷à 7. ×åòûðåõóãîëüíèê Ýéëåðà ÿâëÿåòñÿ òðàïåöèåé (ðèñ.
11). Çíàÿ δ , íàéäèòå
óãîë α ìåæäó åå äèàãîíàëÿìè.
Ðåøåíèå. ßñíî, ÷òî
òðàïåöèÿ A1 A2 A3 A4 –
ðàâíîáîêàÿ. Óãîë α
ðàâåí ïîëóñóììå äóã,
êîòîðûå âûñåêàþò íà
îïèñàííîé îêðóæíîñòè
Ðèñ. 11
äèàãîíàëè A1 A3 è
A2 A4 , ò.å. α = 0,5 α1 + α 3 . Òàê êàê ó òðàïåöèè
α1 = α 3 , òî α = α1 . Î÷åâèäíî âûïîëíåíèå ðàâåíñòâà
α + α2
α = α1 = 180° - 4
,
2
α4
α
= ÐA1O1B4 , 2 = ÐA2O1B2 . Íàéäåì
ãäå
2
2
α 4 + α2
α
α
α
α
== cos 4 cos 2 - sin 4 sin 2 .
cos
2
2
2
2
2
Èç ðèñóíêà 11 ñëåäóåò
OB
r+d
α
=ρ+δ,
cos 4 = 1 4 =
2
O1 A1
R
cos
à ïîòîìó
Íàéäåì òåïåðü sin
Òîãäà
öèÿ îïèñàíà îêîëî îêðóæíîñòè, ñóììû ïàð åå ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí ðàâíû: a1 + a3 = a2 + a4 . Ïîýòîìó
ïåðèìåòð Ð ðàâåí 2 a1 + a3 . Íî a1 = a3 , è ïîòîìó
ïåðèìåòð Ð ðàâåí 4a1 . Òàê êàê òðàïåöèÿ âïèñàíà â
α
îêðóæíîñòü, òî a1 = 2R sin 1 .  ïðåäûäóùåé çàäà÷å
2
ìû ïîëó÷èëè ðàâåíñòâî cos α = cos α1 = δ2 . Ïîýòîìó
a1 = 2R
α4
α
sin 2 =
2
2
P = 4 2 R 1 - δ2 .
A1 A2 = a1 , A2 A3 = a2 ,
 äåëüòîèäå A1 A2 A3 A4
A3 A4 = a3 , A4 A1 = a4 . Åãî ïåðèìåòð ðàâåí
P1 = 2 a1 + a3 = 2 a1 + a2 =
α1
α ö
æ
α
α
+ sin 2 ÷ .
= 2 æç 2R sin 1 + 2R sin 2 ö÷ = 4R ç sin
è
2
2ø
è
2
2ø
α1 α2
+
= 90° , òî
2
2
ρ
r
OB
α
α
=
,
sin 1 = cos 2 = 2 2 =
R + d 1+ δ
2
2
O2 A3
Òàê êàê
sin
α4
α
cos 2 = ρ2 - δ2 .
2
2
2
r
ρ
OB
α2
α
=
= cos 1 = 2 1 =
.
R - d 1- δ
2
2
O2 A1
Òîãäà
ρ ö
8 Rρ
æ ρ
P1 = 4 R ç
+
=
è 1 + δ 1 - δ ø÷ 1 - δ2 .
α4
α
sin 2 :
2
2
1 - ρ + δ
1 - cos α1
= 2 R 1 - δ2 ,
2
è
α2 O1B2 r - d
=
=
= ρ- δ,
O1 A2
R
2
cos
sin
Ðèñ. 12
2
1 - ρ - δ = ρ2 .
α ö
æα
cos ç 4 + 2 ÷ = - δ2 .
è 2
2ø
Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì: cos α = δ2 , è α = arccos δ2 .
Çàäà÷à 8. ×åòûðåõóãîëüíèê Ýéëåðà ïðè ñêîëüæåíèè
ñòàíîâèòñÿ â íåêîòîðûå ìîìåíòû âðåìåíè òðàïåöèåé (ðèñ.12,à) èëè äåëüòîèäîì (ðèñ.12,á). Â êàêîì
ñëó÷àå åãî ïåðèìåòð ìåíüøå?
Ðåøåíèå. Ïóñòü â òðàïåöèè A1 A2 A3 A4 A1 A2 = a1 ,
A2 A3 = a2 , A3 A4 = a3 , A4 A1 = a4 . Ïîñêîëüêó òðàïå-
Ïîäñòàâèì â ýòî ðàâåíñòâî ρ =
P1 =
4 2R
1 + δ2
1 − δ2
2 1 + δ2
è ïîëó÷èì
.
×òîáû âûÿñíèòü, êàêîé èç íàéäåííûõ ïåðèìåòðîâ
ìåíüøå, íàéäåì îòíîøåíèå ïåðèìåòðà òðàïåöèè ê ïåðèìåòðó äåëüòîèäà. Îíî ðàâíî 1 - δ4 < 1 . Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ïåðèìåòð òðàïåöèè ìåíüøå ïåðèìåòðà äåëüòîèäà.
(Îêîí÷àíèå ñëåäóåò)