Гравитационное «отталкивание

ØÊÎËÀ Â «ÊÂÀÍÒÅ»
Ãðàâèòàöèîííîå
«îòòàëêèâàíèå»
Â.ÂÎÐÎÍÎÂ
Ç
ÀÊÎÍ ÂÑÅÌÈÐÍÎÃÎ ÒßÃÎÒÅÍÈß ÎÒÍÎÑÈÒÑß Ê ×ÈÑËÓ
ôóíäàìåíòàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ çàêîíîâ. Êàçàëîñü áû, íåò
îñíîâàíèÿ ñîìíåâàòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè åãî îñíîâíîãî òåçèñà î âçàèìíîì ïðèòÿæåíèè òåë â ïðèðîäå. Îäíàêî ñóùåñòâóþò ñèòóàöèè, â êîòîðûõ âñåìèðíîå òÿãîòåíèå ïðèâîäèò ê
ñîâåðøåííî íåîæèäàííûì ýôôåêòàì. Âîò îá ýòèõ íåîáû÷íûõ ñëó÷àÿõ è õîòåëîñü áû ïîãîâîðèòü.
Âîîáðàçèì áåñêîíå÷íóþ âñåëåííóþ, çàïîëíåííóþ âîäîé.
Êàê áóäóò âçàèìîäåéñòâîâàòü äðóã ñ äðóãîì ðàçëè÷íûå òåëà
â ýòîé âñåëåííîé? Âðîäå áû, îòâåò î÷åâèäåí: îíè áóäóò
ïðèòÿãèâàòüñÿ, ïîä÷èíÿÿñü çàêîíó âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ.
Íî… íå ñòîèò òîðîïèòüñÿ ñ âûâîäàìè. Äàâàéòå ðàçáåðåì
íåñêîëüêî ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ.
Äëÿ íà÷àëà èññëåäóåì âçàèìîäåéñòâèå äâóõ ñâèíöîâûõ
äðîáèíîê. Ñðàçó ñòîèò îãîâîðèòüñÿ, ÷òî òåðìèí «âçàèìîäåéñòâèå» çäåñü íå î÷åíü ïîäõîäèò, òàê êàê íà äðîáèíêè
äåéñòâóþò íå òîëüêî ñèëû âçàèìíîãî ãðàâèòàöèîííîãî ïðèòÿæåíèÿ, íî è ãðàâèòàöèÿ âñåëåííîé, è ñèëû óïðóãîñòè
âîäíîé ñðåäû.  ïåðâóþ î÷åðåäü, ïîñòàðàåìñÿ ó÷åñòü âñå
ñèëû, èìåþùèå ãðàâèòàöèîííóþ ïðèðîäó.
Ó÷åò ãðàâèòàöèîííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ. Ðàññìîòðèì ñèëû,
äåéñòâóþùèå íà äðîáèíêó 1 (ðèñ.1). Ïðîâåäåì ÷åðåç åå öåíòð
Ðèñ. 1
37-53.p65
ρñðåäû ö
m1m2 æ
ç1 - ρ
÷.
r2 è
âåùåñòâà ø
Âûðàæåíèå, ñòîÿùåå äî ñêîáîê, ïîëíîñòüþ ñîâïàäàåò ñ
çàêîíîì âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ, è åñëè ïëîòíîñòü ñðåäû
ïîëîæèòü ðàâíîé íóëþ, òî ìû ïîëó÷àåì ñòàíäàðòíóþ ôîðìóëèðîâêó çàêîíà. (×òî è äîëæíî ïðîèçîéòè, ïîñêîëüêó â ýòîì
ñëó÷àå ôîðìóëà îïèñûâàåò ãðàâèòàöèîííîå âçàèìîäåéñòâèå
òåë â âàêóóìå.)
Åñëè ïëîòíîñòü ñðåäû ïîñòåïåííî óâåëè÷èâàòü, òî ñèëà
âçàèìíîãî ïðèòÿæåíèÿ áóäåò óìåíüøàòüñÿ, ïîêà íå îáðàòèòñÿ â íîëü ïðè ðàâåíñòâå ïëîòíîñòåé ñðåäû è âåùåñòâà. Åñëè
æå ïëîòíîñòü ñðåäû áóäåò áîëüøå ïëîòíîñòè ïîìåùåííûõ â
íåå ýëåìåíòîâ âåùåñòâà, òî ñèëà ñòàíåò îòðèöàòåëüíîé, ÷òî
ñîîòâåòñòâóåò îòòàëêèâàíèþ ýòèõ ýëåìåíòîâ. Òàê, äâà äåðåâÿííûõ øàðèêà â âîäíîé âñåëåííîé áóäóò îòòàëêèâàòüñÿ ñ
ñèëîé
F=G
F=G
m1m2
r2
37
æ
ρâîäû ö
ç1 ÷,
ρ äð ø
è
ρ
m1m2
1 - âîäû .
ρ äåðåâà
r2
Òàêèì îáðàçîì, òÿãîòåíèå ñïîñîáíî ïîðîäèòü îòòàëêèâàíèå!
Ýòîò ýôôåêò âçàèìíîãî îòòàëêèâàíèÿ ìîæíî ïîÿñíèòü,
ââîäÿ â ðàññìîòðåíèå «ïîëÿ», ïîðîæäàåìûå âíåñåíèåì â
áåñêîíå÷íóþ îäíîðîäíóþ ñðåäó ýëåìåíòîâ âåùåñòâà ñ èíîé
ïëîòíîñòüþ. Ïîÿâëåíèå áîëåå ïëîòíîãî âåùåñòâà ïðèâîäèò ê
ñîçäàíèþ «ïîëÿ» òÿãîòåíèÿ. Ïðè÷åì òÿãîòåíèå ñîçäàåòñÿ
òîëüêî çà ñ÷åò «èçáûòî÷íîé» ïëîòíîñòè â îáúåìå âåùåñòâà.
Åñëè æå ïëîòíîñòü âåùåñòâà ìåíüøå ïëîòíîñòè ñðåäû, òî
âîçíèêàåò «ïîëå» îòòàëêèâàíèÿ. Îñîáåííîñòü ýòèõ «ïîëåé»
â òîì, ÷òî îíè ïðîÿâëÿþò ñâîè ñâîéñòâà âíå çàâèñèìîñòè îò
òîãî, íà êàêîå âåùåñòâî (ñ ïëîòíîñòüþ áîëüøåé èëè ìåíüøåé
ïëîòíîñòè ñðåäû) îíè äåéñòâóþò. Íàïðÿæåííîñòü òàêîãî
«ïîëÿ» ìîæíî ðàññ÷èòàòü ïî ôîðìóëå (ðå÷ü èäåò î öåíòðàëüíîì ïîëå)
E=G
ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ëèíèè, ñîåäèíÿþùåé îáå äðîáèíêè. Îíà ðàçäåëèò âñåëåííóþ íà äâå ïîëóâñåëåííûå. Äëÿ
óäîáñòâà íàçîâåì èõ ëåâîé è ïðàâîé. Ýòè äâå ïîëóâñåëåííûå
ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî ðàçäåëÿþùåé èõ ïëîñêîñòè, íî â
ïðàâîé åñòü äîïîëíèòåëüíàÿ äðîáèíêà 2. Ñèììåòðè÷íûå
÷àñòè ïîëóâñåëåííûõ äåéñòâóþò íà äðîáèíêó 1 ñ ñîâåðøåííî
ðàâíûìè ñèëàìè ïðèòÿæåíèÿ. Ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà ÿâëÿåòñÿ èòîãîì äåéñòâèÿ äâóõ ðàçëè÷àþùèõñÿ ñôåðè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ.  ïðàâîé ÷àñòè ýòî äðîáèíêà, à â ëåâîé – âîäà â
îáúåìå äðîáèíêè. Òàê êàê ìàññà äðîáèíêè áîëüøå
ur ìàññû
ñîîòâåòñòâóþùåãî ýëåìåíòà âîäû, òî ïîëíàÿ ñèëà F1 , äåéñòâóþùàÿ íà äðîáèíêó 1, áóäåò íàïðàâëåíà âïðàâî, íî
îêàæåòñÿ ìåíüøå ñèëû ãðàâèòàöèîííîãî ïðèòÿæåíèÿ ê äðîáèíêå 2. Ðàññ÷èòàåì ýòó ñèëó:
mäð mäð
mäð mâîäû
-G
=
F1 = Fäð - Fâîäû = G
r2
r2
2
æ
ö
mäð
mäð
ρ
= G 2 mäð - mâîäû = G 2 ç1 - âîäû ÷ ,
ρ äð ø
r
r è
ãäå r – ðàññòîÿíèå ìåæäó äðîáèíêàìè.
Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ýòà ôîðìóëà â ñëó÷àå ðàçíûõ ïî ìàññå
äðîáèíîê ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó
F1 = G
à â ñëó÷àå âçàèìîäåéñòâèÿ ÷àñòèö ëþáîãî âåùåñòâà â ëþáîé
áåñêîíå÷íîé ñðåäå ïðèíèìàåò âèä
mâåùåñòââà
r
2
1-
ρñðåäû
ρâåùåñòâà
.
Òåïåðü ïîïðîáóåì èññëåäîâàòü áîëåå ñëîæíûé ñëó÷àé. Äî
ñèõ ïîð ìû ðàññìàòðèâàëè ýëåìåíòû âåùåñòâà, èìåþùèå
îäíó è òó æå ïëîòíîñòü. À êàê áóäóò âçàèìîäåéñòâîâàòü òåëà
ñ ðàçëè÷íûìè ïëîòíîñòÿìè? Äëÿ îïðåäåëåííîñòè âûáåðåì
äåðåâÿííûé øàðèê è ñâèíöîâóþ äðîáèíêó è âîñïîëüçóåìñÿ
ïîíÿòèÿìè «ïîëåé» îòòàëêèâàíèÿ è òÿãîòåíèÿ. Äðîáèíêà,
èìåÿ èçáûòî÷íóþ ïëîòíîñòü, ñîçäàåò «ïîëå» òÿãîòåíèÿ è
ïîýòîìó áóäåò ïðèòÿãèâàòü äåðåâÿííûé øàðèê (ðèñ.2). À
Ðèñ. 2
ýòîò øàðèê, îáëàäàÿ íåäîñòàòî÷íîé ïëîòíîñòüþ, ñîçäàåò
«ïîëå» îòòàëêèâàíèÿ è ïîòîìó áóäåò îòòàëêèâàòü ñâèíöîâóþ
äðîáèíêó. Òàêèì îáðàçîì, ñèëû, äåéñòâóþùèå íà äðîáèíêó
è øàðèê, áóäóò íàïðàâëåíû â îäíó ñòîðîíó. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ìîäóëü êàæäîé ñèëû, ïðè ñîîòâåòñòâóþùåé çàìåíå èíäåêñîâ 1 (äëÿ äðîáèíêè) è 2 (äëÿ
øàðèêà), ðàññ÷èòûâàåòñÿ ïî ôîðìóëå
F12 = G
29.05.09, 14:34
m1m2
r
2
1-
ρñðåäû
ρ2
.
!&
ÊÂÀÍT 2009/¹3
Íî íàðóøåíèå òðåòüåãî çàêîíà Íüþòîíà (ñèëû íå òîëüêî
íå íàïðàâëåíû íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó, íî, â îáùåì ñëó÷àå,
è íå ðàâíû ïî ìîäóëþ), êàê è çàêîíà âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ, òîëüêî êàæóùååñÿ. Äåëî â òîì, ÷òî ñèëû, îïèñûâàåìûå ïîñëåäíåé ôîðìóëîé, íå ÿâëÿþòñÿ ñèëàìè âçàèìîäåéñòâèÿ. Íàðÿäó ñ ãðàâèòàöèîííûì âçàèìîäåéñòâèåì òåë ýòà
ôîðìóëà ó÷èòûâàåò ãðàâèòàöèîííîå âëèÿíèå âñåëåííîé,
ïîðîæäåííîå åå àñèììåòðèåé ïî îòíîøåíèþ ê êàæäîìó èç
òåë. È ðàçëè÷èå â ñèëàõ «âçàèìîäåéñòâèÿ» ïîðîæäàåòñÿ
èìåííî ðàçëè÷íûì âëèÿíèåì âñåëåííîé íà íàõîäÿùèåñÿ â
íåé ýëåìåíòû.
Ïîäâîäÿ ïðîìåæóòî÷íûé èòîã, ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî ó÷åò
âñåõ ñèë, èìåþùèõ ãðàâèòàöèîííóþ ïðèðîäó, ïîêàçûâàåò,
÷òî çàêîí âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ âûçûâàåò íå òîëüêî ïðèòÿæåíèå òåë. Íî íåîáõîäèìî ïîìíèòü, ÷òî ìû ïîêà íå ïðèíèìàëè âî âíèìàíèå íàëè÷èå ñèë óïðóãîñòè âîäíîé ñðåäû.
Ýòèì è çàéìåìñÿ.
Ó÷åò àðõèìåäîâîé ñèëû. Êàæåòñÿ âïîëíå î÷åâèäíûì, ÷òî
â îäíîðîäíîé âîäíîé âñåëåííîé äàâëåíèå âî âñåõ òî÷êàõ
îäèíàêîâî. Àðõèìåäîâà ñèëà âîçíèêàåò òîëüêî òîãäà, êîãäà
ïîÿâëÿåòñÿ íåîäíîðîäíîå âêëþ÷åíèå. Ðàññ÷èòàåì ýòó ñèëó
äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà îíà âûçûâàåòñÿ ïîÿâëåíèåì ñâèíöîâîé
äðîáèíêè.
Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíî âûáðàííûé ýëåìåíò âîäû (ðèñ.3).
Îí íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè ïîêîÿ, à çíà÷èò, ñèëà, äåéñòâóþ-
äåðåâÿííûõ øàðèêà â âîäíîé âñåëåííîé òîæå áóäóò ïðèòÿãèâàòüñÿ. È òîãäà ïîñëåäíþþ ôîðìóëó ìîæíî ïåðåïèñàòü â
áîëåå îáùåì âèäå:
F=G
m1m2
r2
2
ρñðåäû ö
æ
ç1 - ρ
÷ .
è
âåùåñòâà ø
Îäíàêî è ýòó ôîðìóëó íåëüçÿ èñïîëüçîâàòü äëÿ ðàñ÷åòà
ñèë, äåéñòâóþùèõ íà òåëà ñ ðàçëè÷íûìè ïëîòíîñòÿìè.
Âåðíåìñÿ ê ñèòóàöèè ñ äåðåâÿííûì øàðèêîì è ñâèíöîâîé
äðîáèíêîé. Íàéäåì ñèëó, äåéñòâóþùóþ íà ñâèíöîâóþ äðî-
Ðèñ. 5
áèíêó. Äåðåâÿííûé øàðèê ñîçäàåò ñèëó îòòàëêèâàíèÿ, íî â
ïðîòèâîïîëîæíóþ
r ñòîðîíó äåéñòâóåò àðõèìåäîâà ñèëà (ðèñ.5).
Ïîëíóþ ñèëó Fäð íàéäåì êàê âåêòîðíóþ ñóììó ñîîòâåòñòâóþùèõ ñèë:
Fäð = FA - Fîòòàëê = ρâîäûVäð Eîòòàëê - mäð Eîòòàëê =
æ ρâîäû
ö
- 1÷ mäð Eîòòàëê =
= ç
ρ
è äð
ø
Ðèñ. 3
ùàÿ ñî ñòîðîíû «ïîëÿ» òÿãîòåíèÿ äðîáèíêè, ïîëíîñòüþ
êîìïåíñèðóåòñÿ àðõèìåäîâîé ñèëîé. Íàéäåì ýòó ñèëó:
æ ρâîäû
ö
mäåðåâà
- 1÷ mäðG
=ç
r2
è ρ äð
ø
FA = Fïð = mýë-òà âîäû E«ïîëÿ» = ρâîäûVýë-òà âîäû E«ïîëÿ» .
= G
Î÷åâèäíî, ÷òî ýòà ôîðìóëà, òàê íàïîìèíàþùàÿ êëàññè÷åñêèé øêîëüíûé âàðèàíò FA = ρVg , ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ è
äëÿ «ïîëÿ» îòòàëêèâàíèÿ (â ýòîì ñëó÷àå îíà òàêæå áóäåò
íàïðàâëåíà ïðîòèâ «ïîëÿ»).
À òåïåðü ìîæíî ïîïðîáîâàòü ó÷åñòü âñå ñèëû.urÂåðíåìñÿ ê
ñëó÷àþ äâóõ ñâèíöîâûõ äðîáèíîê. Ïîëíàÿ ñèëà F1 , äåéñòâóþùàÿ íà ïåðâóþ äðîáèíêó, ðàâíà âåêòîðíîé ñóììå ñèëû,
âûçâàííîé «ïîëåì» âòîðîé äðîáèíêè, è àðõèìåäîâîé ñèëû
(ðèñ.4):
F1 = F«ïîëÿ»2 - FA = m1E«ïîëÿ»2 - ρâîäûV1E«ïîëÿ»2 =
æ
ö
æ
ö
ρ
ρ
m
= ç1 - âîäû ÷ m1E«ïîëÿ»2 = ç1 - âîäû ÷ m1G 22
ρ
ρ
r
è
è
äð ø
äð ø
2
ρâîäû ö
m1m2 æ
ç1 ÷ .
ρ äð ø
r2 è
Ïîëíàÿ ñèììåòðèÿ ýòîé ôîðìóëû îòíîñèòåëüíî èíäåêñîâ
ïîêàçûâàåò, ÷òî ïîëíàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà âòîðóþ äðîáèíêó, áóäåò ïî âåëè÷èíå òàêîé æå: F2 = F1 . Íàëè÷èå
= G
m1m2 æ ρâåù1 - ρñðåäû ö æ ρâåù2 - ρñðåäû ö
ç
֍
÷.
ρâåù1
ρâåù2
r2 è
øè
ø
Î÷åâèäíî, ÷òî â ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà ïëîòíîñòè òåë îäèíàêîâû, âíå çàâèñèìîñòè îò èõ ñîîòíîøåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþ
ñðåäû ýòè òåëà áóäóò ïðèòÿãèâàòüñÿ äðóã ê äðóãó (F > 0).
Ïðèòÿæåíèå áóäåò íàáëþäàòüñÿ è â òîì ñëó÷àå, êîãäà ïëîòíîñòè íå ðàâíû, íî îáå ëèáî áîëüøå, ëèáî ìåíüøå ïëîòíîñòè ñðåäû. Òîãäà âûðàæåíèÿ â ñêîáêàõ â ïîñëåäíåé ôîðìóëå
áóäóò îäíîãî çíàêà, è ñèëà áóäåò ïîëîæèòåëüíîé. Îòòàëêèâàíèå òåë âîçìîæíî ëèøü òîãäà, êîãäà ïëîòíîñòü îäíîãî
òåëà áîëüøå ïëîòíîñòè ñðåäû, à ïëîòíîñòü äðóãîãî – ìåíüøå.  ýòîì ñëó÷àå ñèëà ìåíÿåò çíàê íà îòðèöàòåëüíûé, ÷òî
ãîâîðèò îá îòòàëêèâàíèè òåë. Åñëè æå ïëîòíîñòü îäíîãî èç
òåë ñîâïàäàåò ñ ïëîòíîñòüþ ñðåäû, òî ñèëà îáðàùàåòñÿ â
íîëü.
Ðèñ. 4
êâàäðàòà âûðàæåíèÿ â ñêîáêàõ â ýòîé ôîðìóëå òîæå íå
ñëó÷àéíî. Åñëè ïëîòíîñòü ñðåäû îêàçûâàåòñÿ áîëüøå ïëîòíîñòè âåùåñòâà, òî çíàê ñèëû íå ìåíÿåòñÿ. À çíà÷èò, äâà
37-53.p65
38
öæ
ö
mäåðåâà mäð æ ρâîäû
ρ
- 1÷ ç1 - âîäû ÷ .
ç
2
ρ äåðåâà ø
r
è ρ äð
øè
Ìû âèäèì, ÷òî Fäð < 0 , à çíà÷èò, ñèëà îòòàëêèâàíèÿ áîëüøå
àðõèìåäîâîé ñèëû. Òàêèì îáðàçîì, äåðåâÿííûé øàðèê è
ñâèíöîâàÿ äðîáèíêà áóäóò îòòàëêèâàòüñÿ äðóã îò äðóãà.
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî òàêàÿ æå ïî ìîäóëþ, íî ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííàÿ ñèëà áóäåò äåéñòâîâàòü è íà äåðåâÿííûé
øàðèê.
Èòàê, îáùàÿ ôîðìóëà, îïèñûâàþùàÿ «âçàèìîäåéñòâèå»
äâóõ òåë â áåñêîíå÷íîé æèäêîé ñðåäå, èìååò ñëåäóþùèé âèä:
F=G
æ
ρâîäû ö
ç1 ÷ =
ρ äð ø
è
æ
ρâîäû ö
ç1 ÷ =
ρ äåðåâà ø
è
29.05.09, 14:34
ØÊÎËÀ
Çàãàäêè
ìàãíèòíîé
ñòðåëêè
È.ËÅÅÍÑÎÍ
Ò
ÐÓÄÍÎ ÍÀÉÒÈ ×ÅËÎÂÅÊÀ, ÍÈ ÐÀÇÓ ÍÅ ÂÈÄÅÂØÅÃÎ
êîìïàñ. Ýòîò ïðîñòåíüêèé ïðèáîð íåîáõîäèì è ïóòåøåñòâåííèêó, è îõîòíèêó, è äàæå ãðèáíèêó, èäóùåìó çà ãðèáàìè â íåçíàêîìûé ëåñ. Êàêèå æå òàéíû ìîæåò ñêðûâàòü â ñåáå
òàêîé ïðèáîð? Ñèíèé êîíåö ñòðåëêè êîìïàñà ïîêàçûâàåò íà
ñåâåð, êðàñíûé ïîêàçûâàåò íà þ㠖 êàçàëîñü áû, âîò è âåñü
ñåêðåò. Îêàçûâàåòñÿ, íå âñå òàê ïðîñòî, è ñ ýòîãî ëèøü
íà÷èíàåòñÿ íàøà ñåðèÿ çàãàäîê ïðî ìàãíèòíóþ ñòðåëêó.
Çàãàäêà ïåðâàÿ. Âñåãäà ëè ñèíèé êîíåö ñòðåëêè êîìïàñà
ïîêàçûâàåò íà ñåâåð?
Äàëåå. Ìíîãèå âèäåëè ïîäêîâîîáðàçíûå èëè ïîëîñîâûå
ìàãíèòû. Åñëè ïîëîñîâîãî ìàãíèòà íåò, íî åñòü ñèëüíûé
ïîäêîâîîáðàçíûé, ñ åãî ïîìîùüþ ëåãêî íàìàãíèòèòü ñòàëüíóþ ïîëîñêó (èëè ïðîñòî äëèííóþ èãîëêó), ñäåëàâ èç íåå
ïîëîñîâîé ìàãíèò. Êîíöû ìàãíèòà, ãäå îáíàðóæèâàþòñÿ
íàèáîëåå ñèëüíûå ìàãíèòíûå äåéñòâèÿ, íàçûâàþò ïîëþñàìè
ìàãíèòà. Ñëîâî «ïîëþñ» ïðîèñõîäèò îò ãðå÷åñêîãî pólos –
îñü, ïîýòîìó â äàëüíåéøåì âìåñòî «êîíåö ñòðåëêè» èëè
«êîíåö ìàãíèòà» áóäåì ãîâîðèòü «ïîëþñ». Ó êàæäîãî ìàãíèòà, êàê è ó çåìíîãî øàðà, åñòü äâà ïîëþñà: ñåâåðíûé è
þæíûé, òîëüêî ýòè ïîëþñà íàçûâàþòñÿ ìàãíèòíûìè. Ïî
òðàäèöèè, òó ïîëîâèíó ìàãíèòíîé ñòðåëêè, êîòîðàÿ ïîêàçûâàåò íà ñåâåð, îêðàøèâàþò â ñèíèé öâåò è åå êîíåö íàçûâàþò
ñåâåðíûì ïîëþñîì ìàãíèòà; åãî îáîçíà÷àþò áóêâîé N. Òó æå
ïîëîâèíó ìàãíèòíîé ñòðåëêè, êîòîðàÿ ïîêàçûâàåò íà þã,
îêðàøèâàþò â êðàñíûé öâåò è åå êîíåö íàçûâàþò þæíûì
ïîëþñîì ìàãíèòà; åãî îáîçíà÷àþò áóêâîé S. Òàê æå îêðàøèâàþò è îáîçíà÷àþò ëþáûå ïîñòîÿííûå ìàãíèòû. Òàêîå îáîçíà÷åíèå ïðèøëî â ðóññêèé ÿçûê èç ãîëëàíäñêîãî âî âðåìåíà
ïðàâëåíèÿ Ïåòðà I.
À ïðè ÷åì òóò ãîëëàíäöû? Äåëî â òîì, ÷òî êîãäà-òî
Ãîëëàíäèÿ áûëà âëàäû÷èöåé ìîðåé è ñîïåðíè÷àëà ñ Àíãëèåé. Òàê, 21 àâãóñòà 1673 ãîäà îêîëî ãîëëàíäñêîãî îñòðîâà
Òåêñåëü ñîñòîÿëîñü ìîðñêîå ñðàæåíèå ìåæäó ãîëëàíäñêèì è
îáúåäèíåííûì àíãëî-ôðàíöóçñêèì ôëîòàìè; â ýòî âðåìÿ
øëà óæå òðåòüÿ àíãëî-ãîëëàíäñêàÿ âîéíà (1672–1674). Â
áîþ, äëèâøåìñÿ âåñü äåíü, ãîëëàíäöû îäåðæàëè ïîáåäó,
õîòÿ ÷èñëåííûé ïåðåâåñ áûë íà ñòîðîíå ïðîòèâíèêà. Ãîëëàíäèÿ çàõâàòèëà â òå âðåìåíà îáøèðíûå êîëîíèè, îñîáåííî â
Þãî-Âîñòî÷íîé Àçèè. Äî ñèõ ïîð â ãîñóäàðñòâå Ñóðèíàì â
Þæíîé Àìåðèêå ãîëëàíäñêèé – ýòî îôèöèàëüíûé ÿçûê.
Åñëè ó âàñ åñòü äâà ìàãíèòà èëè îäèí ìàãíèò è êîìïàñ (åãî
ñòðåëêà – òîò æå ìàãíèò, òîëüêî ìàëåíüêèé è ëåãêèé), òî
ëåãêî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ñèíèé ïîëþñ îäíîãî ìàãíèòà
ïðèòÿãèâàåò êðàñíûé ïîëþñ äðóãîãî, à îäèíàêîâî ðàñêðàøåííûå ïîëþñà äðóã îò äðóãà îòòàëêèâàþòñÿ. Åñëè ïîäâåñèòü ïîëîñîâîé ìàãíèò òî÷íî çà åãî ñåðåäèíó íà íèòêå
ïîäàëüøå îò æåëåçíûõ ïðåäìåòîâ, íèòêó ê ÷åìó-íèáóäü
ïðèâÿçàòü è ïîäîæäàòü, ïîêà ìàãíèò ïåðåñòàíåò ðàñêà÷èâàòüñÿ, òî ìû óâèäèì, ÷òî ïîëîñêà ïîâåðíóëàñü òàê æå, êàê è
ñòðåëêà êîìïàñà. Èíûìè ñëîâàìè, îäíèì êîíöîì îíà áóäåò
37-53.p65
39
Â
!'
«ÊÂÀÍÒÅ»
ïîêàçûâàòü íà ñåâåð, äðóãèì – íà þã. Çíà÷èò, íàøà íàìàãíè÷åííàÿ ïîëîñêà – òîæå êîìïàñ, òîëüêî áîëüøîé è íåóäîáíûé.
Òåïåðü – ñëåäóþùàÿ çàãàäêà.
Çàãàäêà âòîðàÿ. ×òî áóäåò, åñëè íàìàãíè÷åííóþ ïîëîñêó
ðàçðåçàòü ïîïîëàì òî÷íî ïîñåðåäèíå?
È åùå îäíà çàãàäêà.
Çàãàäêà òðåòüÿ. Ìîæíî ëè íàìàãíèòèòü øàð?
Åñëè åñòü çàãàäêè, äîëæíû áûòü è ðàçãàäêè. Äåéñòâèòåëüíî, îòêóäà ñòðåëêà êîìïàñà çíàåò, ãäå ó Çåìëè ñåâåð, à ãäå
þã? Îêàçûâàåòñÿ, Çåìëÿ – òîò æå ìàãíèò, òîëüêî øàðîîáðàçíûé. Ïðèøëè ê òàêîìó ïîíèìàíèþ ëþäè äàëåêî íå ñðàçó
(êàê è íå ñðàçó äîãàäàëèñü, ÷òî íàøà Çåìëÿ íå ïëîñêàÿ, à
øàðîîáðàçíàÿ). Âîò êàê ýòî ïðîèçîøëî.
Äðåâíåãðå÷åñêèé ôèëîñîô Ôàëåñ â VI âåêå äî íîâîé ýðû
îïèñàë óäèâèòåëüíîå ÿâëåíèå, èçâåñòíîå ëþäÿì, âåðîÿòíî,
çàäîëãî äî ýòîãî. Ýòî ÿâëåíèå – ìàãíåòèçì. Ïî îäíîé èç
ëåãåíä, òàêîå íàçâàíèå îíî ïîëó÷èëî îò ãðå÷åñêîãî ãîðîäà
Ìàãíåçèÿ (íûíå îí íàçûâàåòñÿ Ìàíèññà è íàõîäèòñÿ â
Òóðöèè), ãäå áûë íàéäåí ìèíåðàë, ñïîñîáíûé ïðèòÿãèâàòü
æåëåçî. Ñåé÷àñ ýòîò ìèíåðàë íàçûâàåòñÿ ìàãíåòèòîì, èëè
ìàãíèòíûì æåëåçíÿêîì; îí ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñîåäèíåíèå
æåëåçà è êèñëîðîäà. À âîò êòî è êîãäà èçîáðåë êîìïàñ,
íåèçâåñòíî, õîòÿ ýòî èçîáðåòåíèå – îäíî èç âåëè÷àéøèõ
îòêðûòèé ÷åëîâåêà. Âîçìîæíî, êòî-òî ñëó÷àéíî îáíàðóæèë,
÷òî åñëè êóñîê ìàãíåòèòà âûòÿíóòîé ôîðìû ïîäâåñèòü íà
íèòêå èëè ïóñòèòü ïëàâàòü íà äåðåâÿííîé äîùå÷êå, òî îäèí
åãî êîíåö âñåãäà áóäåò ïîêàçûâàòü íà ñåâåð, à äðóãîé – íà þã,
êàê áû ìû íè êðóòèëè íèòêó èëè äîùå÷êó. Ðàíüøå ñ÷èòàëè,
÷òî êîìïàñ èçîáðåëè êèòàéöû ÷óòü ëè íå ïÿòü òûñÿ÷ ëåò
íàçàä, îäíàêî ïåðâûé êèòàéñêèé äîêóìåíò, â êîòîðîì óïîìèíàåòñÿ êîìïàñ, äàòèðîâàí XI âåêîì íîâîé ýðû. Âî âñÿêîì
ñëó÷àå, åùå â Ñðåäíèå âåêà ýòèì ñòàðèííûì îòêðûòèåì
øèðîêî ïîëüçîâàëèñü ìîðåïëàâàòåëè, îïðåäåëÿÿ ïî ïðèìèòèâíîìó êîìïàñó ñâîé ïóòü â îòêðûòîì ìîðå. Ñî âðåìåíåì
îáíàðóæèëîñü, ÷òî êóñîê ìàãíåòèòà ìîæåò ïåðåäàâàòü ñâîå
«âîëøåáíîå» ñâîéñòâî ñòàëüíûì ïðåäìåòàì – íàïðèìåð,
èãîëêå, è èç íåå ïîëó÷èòñÿ áîëåå óäîáíûé êîìïàñ.
 1269 ãîäó ôðàíöóç Ïüåð äå Ìåðèêóð, ïî ïðîçâàíèþ
Ïåðåãðèí, íàïèñàë êíèæêó «Ïèñüìà î ìàãíèòå», â êîòîðîé
ñîáðàë ðàçëè÷íûå ñâåäåíèÿ î ìàãíèòå – êàê èçâåñòíûå ðàíåå,
òàê è îòêðûòûå èì ëè÷íî. Èìåííî Ïåðåãðèí, ýêñïåðèìåíòèðóÿ ñ ìàãíèòàìè, îáíàðóæèë, ÷òî ó íèõ åñòü äâà îñîáûõ êîíöà
– äâà ïîëþñà. Ïîñêîëüêó îíè ïîêàçûâàëè íà ñåâåð è íà þã,
èõ òàê è íàçâàëè ñåâåðíûì è þæíûì ïîëþñàìè ìàãíèòà.
Êîãäà Ïåðåãðèí ïîäâåñèë íà íèòêàõ áëèçêî äðóã ê äðóãó äâå
ìàãíèòíûå ñòðåëêè, îêàçàëîñü, ÷òî èõ îäíîèìåííûå ïîëþñà
îòòàëêèâàþòñÿ, à ðàçíîèìåííûå ïðèòÿãèâàþòñÿ. Ïåðåãðèí
îáíàðóæèë åùå îäíî âàæíåéøåå ñâîéñòâî ìàãíèòîâ: åñëè
Ñòàðèííûé êèòàéñêèé êîìïàñ
29.05.09, 14:34
"
ÊÂÀÍT 2009/¹3
Óèëüÿì Ãèëüáåðò
ðàçëîìèòü ïîñòîÿííûé ìàãíèò íà äâå ÷àñòè, ïîëó÷àòñÿ äâà
íîâûõ ìàãíèòà ñ äâóìÿ ïîëþñàìè – ñåâåðíûì è þæíûì – ó
êàæäîãî. Ïîëó÷èòü êàêîé-íèáóäü îäèí ïîëþñ íå óäàëîñü íè
Ïåðåãðèíó, íè êîìó-ëèáî ïîñëå íåãî. Ýòî è åñòü îòâåò íà
âòîðóþ çàãàäêó. Ïî÷åìó òàê ïîëó÷àåòñÿ, áóäåò ðàññìîòðåíî
âî âòîðîé ÷àñòè ñòàòüè.
À òåïåðü – îòâåò íà òðåòüþ çàãàäêó: íàìàãíèòèòü øàð
ìîæíî, è ýòî îáíàðóæèë àíãëèéñêèé ôèçèê è âðà÷ Óèëüÿì
Ãèëüáåðò. Â 1600 ãîäó îí îïóáëèêîâàë êíèãó «Î ìàãíèòå,
ìàãíèòíûõ òåëàõ è î áîëüøîì ìàãíèòå – Çåìëå».  íåé îí
ðàññêàçàë î ñâîèõ ýêñïåðèìåíòàõ ñ ìàãíèòàìè. Âîò ÷òî îí
îáíàðóæèë:
Ìàãíèò îáëàäàåò â ðàçëè÷íûõ ÷àñòÿõ ðàçëè÷íîé
ïðèòÿãàòåëüíîé ñèëîé; íà ïîëþñàõ ýòà ñèëà íàèáîëåå
çàìåòíà. Ìàãíèò èìååò äâà ïîëþñà: ñåâåðíûé è þæíûé,
îíè ðàçëè÷íû ïî ñâîèì ñâîéñòâàì; ðàçíîèìåííûå ïîëþñà
ïðèòÿãèâàþòñÿ, îäíîèìåííûå îòòàëêèâàþòñÿ. Ìàãíèò,
ïîäâåøåííûé íà íèòêå, ðàñïîëàãàåòñÿ îïðåäåëåííûì
îáðàçîì â ïðîñòðàíñòâå, óêàçûâàÿ ñåâåð è þã.
Íåâîçìîæíî ïîëó÷èòü ìàãíèò ñ îäíèì ïîëþñîì: ñêîëüêî
íè ðàçëàìûâàé ìàãíèò, êàæäûé âíîâü ïîëó÷åííûé
êóñî÷åê âñåãäà áóäåò èìåòü äâà ïîëþñà. Çåìíîé øàð –
áîëüøîé ìàãíèò. Ïðè ñèëüíîì íàãðåâàíèè ìàãíèòíûå
ñâîéñòâà ó ïðèðîäíûõ è èñêóññòâåííûõ ìàãíèòîâ
èñ÷åçàþò. Ìàãíèòû îêàçûâàþò ñâîå äåéñòâèå ÷åðåç ñòåêëî,
êîæó è âîäó.
Íî ñàìûé çàìå÷àòåëüíûé îïûò Ãèëüáåðò ïðîâåë ñ íàìàãíè÷åííûì øàðîì, âûòî÷åííûì èç ìèíåðàëà ìàãíåòèòà. Ó íåãî
òîæå îêàçàëèñü äâà ïîëþñà – ñåâåðíûé è þæíûé, è, íàõîäÿñü
îêîëî ýòîãî øàðà, ñòðåëêà êîìïàñà âñåãäà ïîêàçûâàëà íà ýòè
ïîëþñà, ò.å. âåëà ñåáÿ òàê æå, êàê â îòíîøåíèè Çåìëè.
Ïîýòîìó Ãèëüáåðò íàçâàë ñâîé øàð «òåðåëëîé», ò.å. ìàëåíüêîé çåìëåé. Ñëîâî ýòî ïðîèñõîäèò îò ëàòèíñêîãî terra –
çåìëÿ; â ðóññêîì ÿçûêå íåìàëî ñëîâ ñ ýòèì êîðíåì: òåððèòîðèÿ, òåððàñà (óñòóï íà ñêëîíå ãîðû), òåððàðèóì (ïîìåùåíèå
äëÿ çåìíîâîäíûõ), òåððèêîí (êó÷à çåìëè è ïóñòîé ïîðîäû),
òåððàêîòà (îáîææåííàÿ ãëèíà), òåððåíêóð (ðàçìå÷åííûå
äîðîæêè äëÿ ëå÷åáíîé õîäüáû, îáû÷íî â ãîðèñòîé ìåñòíîñòè), à òàêæå òåððà èíêîãíèòà – íåâåäîìàÿ çåìëÿ. Ãèëüáåðò
âïåðâûå äîãàäàëñÿ, ÷òî çåìíîé øàð – òîæå ìàãíèò, ïîýòîìó
íàìàãíè÷åííàÿ ñòðåëêà êîìïàñà è ïîêàçûâàåò íà ïîëþñà
ýòîãî ãèãàíòñêîãî ìàãíèòà.
À âñåãäà ëè ñòðåëêà êîìïàñà îäíèì êîíöîì ïîêàçûâàåò íà
ñåâåð, à äðóãèì – íà þã? Îêàçûâàåòñÿ – è ýòî îòâåò íà ïåðâóþ
çàãàäêó, – íå âñåãäà. Åñëè èäòè (åõàòü, ïëûòü, ëåòåòü) ê
ñåâåðíîìó èëè þæíîìó ãåîãðàôè÷åñêîìó ïîëþñó, òî ïîêà
37-53.p65
40
ïóòåøåñòâåííèê îò íåãî äàëåêî, ñî ñòðåëêîé êîìïàñà îáû÷íî
íèêàêèõ íåîæèäàííîñòåé íå ïðîèñõîäèò. Íî ïðè ïðèáëèæåíèè ê ïîëþñó ñòðåëêà íà÷èíàåò ïîíåìíîãó «ñõîäèòü ñ óìà».
È ìîðÿêè äàâíî ýòî çàìåòèëè.  íà÷àëå XVI âåêà, êîãäà áûëà
îòêðûòà Àìåðèêà è êîðàáëè íà÷àëè çàïëûâàòü äàëåêî íà
ñåâåð, îáíàðóæèëîñü ñòðàííîå ÿâëåíèå. Ìîðÿêè çíàëè, ÷òî
â ÿñíóþ íî÷ü íèêàêîé êîìïàñ èì íå íóæåí: íàïðàâëåíèå íà
ñåâåð ïîêàçûâàåò Ïîëÿðíàÿ çâåçäà. Íî êîãäà îíè ñðàâíèëè
ýòî íàïðàâëåíèå ñ ïîêàçàíèåì êîìïàñà, îáíàðóæèëîñü óäèâèòåëüíîå ÿâëåíèå: ÷åì äàëüøå îíè çàïëûâàëè íà ñåâåð, òåì
ñèëüíåå ñèíÿÿ ñòðåëêà êîìïàñà îòêëîíÿëàñü îò ñåâåðà! Óãîë
ìåæäó îñüþ ñòðåëêè êîìïàñà è òî÷íûì íàïðàâëåíèåì íà
ïîëþñ (îíî ñîâïàäàåò ñ ãåîãðàôè÷åñêèì ìåðèäèàíîì) íàçâàëè ìàãíèòíûì ñêëîíåíèåì. Ýòî ñêëîíåíèå ðàçëè÷íî â ðàçíûõ òî÷êàõ çåìíîãî øàðà. ×òî æå ïðîèñõîäèò ñ êîìïàñîì íà
Ñåâåðíîì ïîëþñå? Îêàçûâàåòñÿ, ñèíÿÿ ÷àñòü ñòðåëêè ïîêàçûâàåò â ñòîðîíó ñåâåðíîé ÷àñòè Êàíàäû. Òàì, íà íåêîòîðîé
ãëóáèíå, è íàõîäèòñÿ â íàñòîÿùåå âðåìÿ îäèí èç ìàãíèòíûõ
ïîëþñîâ Çåìëè; äðóãîé æå ìàãíèòíûé ïîëþñ ðàñïîëîæåí â
Àíòàðêòèêå.
Ïî÷åìó òàê ïðîèñõîäèò, â òî÷íîñòè íåèçâåñòíî. Áîëåå
òîãî, óñòàíîâëåíî, ÷òî ìàãíèòíûå ïîëþñà Çåìëè ìåäëåííî
ïåðåäâèãàþòñÿ. Òàê, â Ïàðèæå â 1580 ãîäó íàáëþäàëîñü
ìàêñèìàëüíîå ìàãíèòíîå ñêëîíåíèå ê âîñòîêó îò ìåðèäèàíà,
îíî ñîñòàâëÿëî 9,5°. À ÷åðåç 230 ëåò, â 1810 ãîäó, áûëî
çàôèêñèðîâàíî óæå ìàêñèìàëüíîå ñêëîíåíèå â äðóãóþ ñòîðîíó – ê çàïàäó îò ìåðèäèàíà, è ñîñòàâèëî îíî öåëûõ 22,3°.
Çíà÷èò, ìàãíèòíûå ïîëþñà Çåìëè «ãóëÿþò», ïåðåìåùàÿñü ñ
ìåñòà íà ìåñòî. Áîëåå òîãî, î÷åíü ðåäêî – ðàç â òûñÿ÷è ëåò
– îíè ìåíÿþòñÿ ìåñòàìè. Ó÷åíûå íå èñêëþ÷àþò, ÷òî â
áëèæàéøèå ñòî-äâåñòè ëåò òàêîå ìîæåò âíîâü ïðîèçîéòè. È
òðóäíî ïðåäñêàçàòü, êàê ýòî îòðàçèòñÿ íà æèâûõ ñóùåñòâàõ.
Ìàãíèòíîå ñêëîíåíèå ÷àñòî èìååò è ìåñòíûå îòêëîíåíèÿ –
èíîãäà î÷åíü ñèëüíûå; èõ íàçûâàþò äåâèàöèåé (îò ëàòèíñêîãî deviatio – óêëîíåíèå îò ïóòè). Íàïðèìåð, çíàìåíèòàÿ
Êóðñêàÿ ìàãíèòíàÿ àíîìàëèÿ âûçâàíà çàëåæàìè ìàãíèòíîé
ðóäû, êîòîðàÿ äåéñòâóåò íà ñòðåëêó. Ìàëåíüêèå «ìàãíèòíûå
àíîìàëèè» ëåãêî îáíàðóæèòü è ó ñåáÿ äîìà, åñëè íåïîäàëåêó
îò êîìïàñà áóäóò íàõîäèòüñÿ æåëåçíûå ïðåäìåòû. Ìîæíî
òîëüêî ïðåäñòàâèòü, ñêîëüêî íåïðèÿòíîñòåé è äàæå íåñ÷àñòèé ïðèíîñèëè ìîðåïëàâàòåëÿì òàêèå «ìåñòíûå àíîìàëèè».
Âåäü äàæå íà äåðåâÿííûõ ïàðóñíûõ ñóäàõ âñåãäà áûëî ìíîãî
æåëåçíûõ ïðåäìåòîâ: ïóøêè, ÿäðà, ÿêîðÿ. Ïîëîæåíèå óñóãóáèëîñü ïîñëå òîãî, êàê íà ñìåíó ïàðóñíûì ñóäàì ïðèøëè
æåëåçíûå ïàðîõîäû.  1854 ãîäó ñòðàøíîå íåñ÷àñòüå ïîòðÿñëî Âåëèêîáðèòàíèþ: íà âîñòî÷íîì áåðåãó Èðëàíäèè ðàçáèëîñü ñóäíî «Òýéëîð» âîäîèçìåùåíèåì 2000 òîíí ñ íåñêîëüêèìè ñîòíÿìè ýìèãðàíòîâ, íàïðàâëÿâøèõñÿ â Àìåðèêó.
Áóëüøàÿ ÷àñòü ïàññàæèðîâ è êîìàíäû ïîãèáëà. À âåäü ýòî
áûëî íîâîå ñóäíî, ëåãêî âûäåðæàâøåå äâóõäíåâíûé øòîðì
â íà÷àëå ïëàâàíèÿ. Ðàññëåäîâàíèå ïîêàçàëî, ÷òî âèíîé âñåìó
– íåïðàâèëüíîå ïîêàçàíèå êîìïàñà, âûçâàííîå äåâèàöèåé.
Íàäî ñêàçàòü, ÷òî ñîâðåìåííûå êîìïàñû èìåþò ñïåöèàëüíûå
ïðèñïîñîáëåíèÿ äëÿ óíè÷òîæåíèÿ äåâèàöèè.
À âîò è ïîñëåäíÿÿ çàãàäêà. Åñëè ñèíèé ïîëþñ ìàãíèòà
íàçûâàþò ñåâåðíûì, à êðàñíûé – þæíûì, òî ñèíèé êîíåö
ñòðåëêè êîìïàñà äîëæåí ïîêàçûâàòü íå íà ñåâåð, à íà þã:
âåäü ïðèòÿãèâàþòñÿ òîëüêî ðàçíîèìåííûå ïîëþñà! Ïî÷åìó
æå ñèíÿÿ ïîëîâèíêà ñòðåëêè êîìïàñà ïîêàçûâàåò íå íà þã,
à íà ñåâåð? Åñëè ñèíèé êîíåö ñòðåëêè ïîêàçûâàåò íà ñåâåð,
ñëåäîâàòåëüíî, òàì íàõîäèòñÿ þæíûé ìàãíèòíûé ïîëþñ
Çåìíîãî øàðà, à â þæíîì ïîëóøàðèè – ñåâåðíûé ìàãíèòíûé
ïîëþñ!?
Çàãàäêà ÷åòâåðòàÿ. Êàêîé æå ìàãíèòíûé ïîëþñ íàõîäèòñÿ íà ñåâåðå çåìíîãî øàðà?
(Ïðîäîëæåíèå ñëåäóåò)
29.05.09, 14:34
ÊÂÀÍÒÛ
«Íóëåâûå»
ëèíçû
Â.ÄÐÎÇÄÎÂ
Ë
ÈÍÇÎÉ ÍÀÇÛÂÀÞÒ ÏÐÎÇÐÀ×ÍÎÅ ÒÅËÎ, ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÎÅ
äâóìÿ ïîâåðõíîñòÿìè, ïðåëîìëÿþùèìè ñâåòîâûå ëó÷è,
êîòîðîå ñïîñîáíî ñîçäàâàòü îïòè÷åñêèå èçîáðàæåíèÿ ïðåäìåòîâ. Íàèáîëåå ïðîñòû â èçãîòîâëåíèè ëèíçû ñî ñôåðè÷åñêèìè ïîâåðõíîñòÿìè. Åñëè òîëùèíà ëèíçû çíà÷èòåëüíî
ìåíüøå ðàäèóñîâ êðèâèçíû åå ïîâåðõíîñòåé, ëèíçà íàçûâàåòñÿ òîíêîé. Êàê èçâåñòíî, îïòè÷åñêàÿ ñèëà òàêîé ëèíçû D
íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
æ 1
1 ö
D = n - 1 ç ±
±
,
è R1 R2 ÷ø
ãäå n – îòíîñèòåëüíûé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ìàòåðèàëà
ëèíçû, R1 è R2 – ðàäèóñû êðèâèçíû ñôåðè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé. Ïåðåä ñëàãàåìûìè â ñêîáêå çíàêè âûáèðàþòñÿ òàê:
äëÿ âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè – «ïëþñ», äëÿ âîãíóòîé – «ìèíóñ».
Ïðèâåäåííîìó îïðåäåëåíèþ ëèíçû óäîâëåòâîðÿåò, íàïðèìåð, ïðîçðà÷íîå òåëî, èçîáðàæåííîå íà ðèñóíêå 1. Îäíà åãî
ïîâåðõíîñòü âûïóêëàÿ, äðóãàÿ –
âîãíóòàÿ, ðàäèóñû êðèâèçíû ïîâåðõíîñòåé ðàâíû: R1 = R2 = R ,
à òîëùèíà ìàëà: l = R . (Ðàçóìååòñÿ, ïðè ýòîì öåíòðû êðèâèçíû
îáåèõ ïîâåðõíîñòåé íå ñîâïàäàþò, à ñìåùåíû íà l.) Çíà÷èò, â
ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèâåäåííîé ôîðìóëîé, îïòè÷åñêàÿ ñèëà ýòîé ëèíçû ðàâíà íóëþ. Ïîñêîëüêó äàííàÿ ëèíçà íå áóäåò íè ñîáèðàþùåé, íè ðàññåèâàþùåé, íàçîâåì
Ðèñ. 1
åå «íóëåâîé».
Î÷åâèäíî, ÷òî äâîÿêîâûïóêëàÿ òîíêàÿ ëèíçà «íóëåâîé»
áûòü íå ìîæåò. Åñëè, êîíå÷íî, íå ïîìåñòèòü åå â æèäêîñòü ñ
ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ, ðàâíûì ïîêàçàòåëþ ïðåëîìëåíèÿ
ñòåêëà. Íî çäåñü ìû ìîë÷àëèâî ïðåäïîëàãàåì, ÷òî íàøà
ëèíçà íàõîäèòñÿ â âîçäóõå.
Èíòåðåñíî, à íå ñóùåñòâóåò ëè äâîÿêîâûïóêëàÿ «íóëåâàÿ»
ëèíçà ñðåäè òîëñòûõ ëèíç? Äîïóñòèì, ÷òî ñóùåñòâóåò, è
"
ÈÍÒÅÐÍÅÒÀ
Ðèñ. 2
èçîáðàçèì åå òàêîé, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 2. Âîçüìåì
ðàäèóñû êðèâèçíû ñôåðè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé îäèíàêîâûìè: R1 = R2 = R , à òîëùèíó ëèíçû îáîçíà÷èì l. Î÷åâèäíî,
÷òî ëèíçà ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ïåðïåíäèêóëÿðíî åå ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè ÷åðåç òî÷êó
Î – ñåðåäèíó îòðåçêà ÀÂ.
Ïóñòèì íà ëèíçó ëó÷, ïàðàëëåëüíûé ãëàâíîé îïòè÷åñêîé
îñè è íàõîäÿùèéñÿ íà ðàññòîÿíèè h = R îò íåå (ïàðàêñèàëüíûé ëó÷). Åñëè ïîñëå ïðåëîìëåíèÿ ëó÷ ïðîéäåò ÷åðåç òî÷êó
Î, òî, ïî ñîîáðàæåíèÿì ñèììåòðèè, èç ëèíçû îí âûéäåò
ïàðàëëåëüíî âõîäÿùåìó ëó÷ó. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè òàêîì
óñëîâèè òîëñòàÿ ëèíçà ôîêóñèðîâàòü ëó÷è íå áóäåò, ò.å. åå
îïòè÷åñêàÿ ñèëà áóäåò ðàâíà íóëþ.
Ðàññ÷èòàåì òîëùèíó íàøåé òîëñòîé «íóëåâîé» ëèíçû, ò.å.
âûðàçèì l ÷åðåç R è n. Ïðè ýòîì ñèíóñû è òàíãåíñû ìàëûõ
óãëîâ çàìåíèì çíà÷åíèÿìè ýòèõ óãëîâ â ðàäèàííîé ìåðå. Ïî
çàêîíó ïðåëîìëåíèÿ ëó÷à, â òî÷êå Ñ èìååì α = nβ . Èç
òðåóãîëüíèêîâ ÀÎÑ è ÀDÑ íàõîäèì
2h
h
h
α-β =
=
, α=
.
l 2 l
R
Äåëèì ïî÷ëåííî ëåâûå è ïðàâûå ÷àñòè ýòèõ ðàâåíñòâ:
β 2R
1- =
.
α
l
Èç çàêîíà ïðåëîìëåíèÿ âûðàæàåì îòíîøåíèå óãëîâ β è α :
β 1
= .
α n
Äàëüíåéøåå ÿñíî:
1 2R
2Rn
=
,è l=
.
n
l
n -1
Åñëè âçÿòü, íàïðèìåð, çíà÷åíèå n = 1,5, òî îêàæåòñÿ, ÷òî l =
= 6R, ò.å. «íóëåâàÿ» ëèíçà áóäåò âåñüìà òîëñòîé.
Îêàçûâàåòñÿ, ëèíçû ñ íóëåâîé îïòè÷åñêîé ñèëîé (àôîêàëüíûå ëèíçû) íàõîäÿò ñâîå ïðàêòè÷åñêîå ïðèìåíåíèå.
Òàêèå ëèíçû õîòÿ è íå ðàññåèâàþò è íå ñîáèðàþò ñâåòîâûå
ïó÷êè, íî ñîçäàþò àáåððàöèè, ò.å. èñêàæåíèÿ îïòè÷åñêèõ
èçîáðàæåíèé ïðåäìåòîâ ïî ñðàâíåíèþ ñ ñàìûìè ïðåäìåòàìè.
Ïîýòîìó èõ èñïîëüçóþò â ñëîæíûõ îáúåêòèâàõ â êà÷åñòâå
êîìïåíñàòîðîâ àáåððàöèé.
1-
ÊÂÀÍÒÛ ÈÍÒÅÐÍÅÒÀ
Êàê íàðèñîâàòü ïðÿìóþ?
(Íà÷àëî ñì. íà 2-é ñòðàíèöå îáëîæêè)
 1784 ãîäó Äæ.Óàòò èçîáðåë ìåõàíèçì, íàçâàííûé âïîñëåäñòâèè «ïàðàëëåëîãðàììîì Óàòòà» (ðèñ. 1). Íà ïîêàçàííûõ
ïóíêòèðîì ó÷àñòêàõ òðàåêòîðèè ñåðåäèíà ñðåäíåãî çâåíà îòêëîíÿåòñÿ îò ïðÿìîé äîâîëüíî ñèëüíî, íî ó÷àñòîê, ïîêàçàííûé
ñïëîøíîé ëèíèåé, äàåò äîñòàòî÷íóþ âî ìíîãèõ ïðàêòè÷åñêèõ
çàäà÷àõ òî÷íîñòü.
Äðóãîå ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ïðåäëîæèë Ï.Ë.×åáûø¸â.
Åñëè ïîäîáðàòü äëèíû çâåíüåâ òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 2,
òî îòìå÷åííàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ ïî ëèíèè, êîòîðàÿ õîòÿ è íå
ÿâëÿåòñÿ îòðåçêîì ïðÿìîé, íî íà ãëàç ïî÷òè íåîòëè÷èìà îò
îòðåçêà (ðèñ. 3). Èñïîëüçóÿ ýòîò ìåõàíèçì («ïðÿìèëî ×åáûø¸-
37-53.p65
41
âà»), à òàêæå «ëÿìáäà-îáðàçíûé ìåõàíèçì ×åáûø¸âà», ìîæíî
èçãîòîâèòü «òàáóðåòêó» (ðèñ. 4), «ñèäåíèå» êîòîðîé ïåðåìåùàåòñÿ ïî÷òè ïàðàëëåëüíî çåìëå.
 1864 ãîäó Ì.Ïîñåëüå ïðåäëîæèë ìåõàíèçì äëÿ òî÷íîãî
ðèñîâàíèÿ îòðåçêà, îñíîâàííûé íà ñâîéñòâàõ èíâåðñèè (ðèñ. 5).
Ïðè äâèæåíèè êðóãà, êàñàþùåãîñÿ èçíóòðè îêðóæíîñòè âäâîå
áîëüøåãî ðàäèóñà (ðèñ. 6), ëþáàÿ òî÷êà ãðàíèöû êðóãà (â
÷àñòíîñòè, òî÷êè P è H) äâèæåòñÿ ïî äèàìåòðó íåïîäâèæíîé
îêðóæíîñòè. Ýòî ôàêò (òåîðåìà Êîïåðíèêà) èñïîëüçóåòñÿ â
ìåõàíèçìå ðèñóíêà 7: òî÷êà P äâèæåòñÿ âåðòèêàëüíî.
Àíàëîãè÷íûé øàðíèðíûé ìåõàíèçì (ðèñ.8, 9) ðåàëèçóåò
òî÷íîå ïàðàëëåëüíîå ïåðåìåùåíèå îòðåçêà: ïðàâîå íèæíåå çâåíî
äâèæåòñÿ ãîðèçîíòàëüíî.
Ìàòåðèàë ïîäãîòîâèëè Ì.Ïàíîâ, À.Ñïèâàê
29.05.09, 14:34
"
ÂÀÍT 2009/¹3
Ì À Ò Å Ì À ÒÊÈ
×ÅÑÊÈÉ ÊÐÓÆÎÊ
Î ëåìíèñêàòå
Áåðíóëëè
À.ÀÊÎÏßÍ
×òî òàêîå ëåìíèñêàòà?
Ëåìíèñêàòîé ñ ôîêóñàìè F1, F2,K , Fn íàçûâàåòñÿ êðèâàÿ
íà ïëîñêîñòè, îáëàäàþùàÿ òåì ñâîéñòâîì, ÷òî äëÿ ëþáîé
òî÷êè íà íåé ïðîèçâåäåíèå ðàññòîÿíèé äî ôîêóñîâ ïîñòîÿííî. Íà ðèñóíêå 1 ïðèâåäåíî ñåìåéñòâî ëåìíèñêàò ñ òðåìÿ
ôîêóñàìè.
Óðàâíåíèå ëåìíèñêàòû ñ n ôîêóñàìè èìååò ñòåïåíü 2n.
Óïðàæíåíèå 1. Íàïèøèòå
ýòî óðàâíåíèå.
Ëåìíèñêàòû ñ äâóìÿ
ôîêóñàìè íàçûâàþòñÿ îâàëàìè Êàññèíè. Ñðåäè íèõ
íàèáîëüøèé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ëåìíèñêàòà Áåð-
Ðèñ. 1
Ðèñ. 2
íóëëè (ðèñ.2) – òàêàÿ êðèâàÿ, ÷òî äëÿ ëþáîé òî÷êè íà íåé
ïðîèçâåäåíèå ðàññòîÿíèé äî ôîêóñîâ ðàâíî êâàäðàòó ïîëî2
æ F1F2 ö
÷ . Î÷å2 ø
âèíû ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè: F1X × F2 X = ç
è
âèäíî, ÷òî ýòà ëåìíèñêàòà ïðîõîäèò ÷åðåç ñåðåäèíó îòðåçêà
ñ êîíöàìè â ñâîèõ ôîêóñàõ. Ýòà òî÷êà íàçûâàåòñÿ óçëîâîé,
èëè äâîéíîé òî÷êîé ëåìíèñêàòû.
Ëåìíèñêàòà Áåðíóëëè îáëàäàåò ìíîæåñòâîì î÷åíü èíòåðåñíûõ ñâîéñòâ. Íàïðèìåð, ïëîùàäü, îãðàíè÷èâàåìàÿ åþ,
1
2
ðàâíà F1F2 . Çäåñü ìû äîêàæåì íåñêîëüêî äðóãèõ èíòåðåñ2
íûõ ñâîéñòâ, ïðè ýòîì ïîñòàðàåìñÿ èñïîëüçîâàòü òîëüêî
«ãåîìåòðè÷åñêèå àðãóìåíòû», ò.å. äîêàçûâàòü ôàêòû ïî
âîçìîæíîñòè áåç âû÷èñëåíèé.
Êàê ïîñòðîèòü ëåìíèñêàòó Áåðíóëëè?
Ñóùåñòâóåò î÷åíü ïðîñòîé ñïîñîá íàðèñîâàòü ëåìíèñêàòó
Áåðíóëëè ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùåé êîíñòðóêöèè èç òðåõ ñêðåïëåííûõ øàðíèðàìè «ïàëî÷åê». Ïåðâûå äâå ïàëî÷êè F1 A è
F2 B , ïðèêðåïëåííûå ê òî÷êàì F1 è F2 ñîîòâåòñòâåí1
F1F2 ,
íî, èìåþò äëèíó
2
ïðè÷åì òî÷êè A è B âñåãäà
ëåæàò ïî ðàçíûå ñòîðîíû
îò ïðÿìîé F1F2 . Òðåòüÿ ïàëî÷êà ñîåäèíÿåò òî÷êè A è
B è èìååò äëèíó F1F2
(ðèñ.3).
Ðèñ. 3
Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïðè
37-53.p65
42
«âðàùåíèè» ýòèõ ïàëî÷åê ñåðåäèíà AB áóäåò äâèãàòüñÿ ïî
ëåìíèñêàòå Áåðíóëëè ñ ôîêóñàìè F1 è F2 .
Äàâàéòå äîêàæåì ýòî. Îáîçíà÷èì ñåðåäèíó AB ÷åðåç
X (ðèñ. 4). Çàìåòèì, ÷òî
F1 AF2 B – ðàâíîáîêàÿ òðàïåöèÿ. Êðîìå òîãî, òðåóãîëüíèêè
AF1X è ABF1 ïîäîáíû, ïîñêîëüêó óãîë A ó íèõ îáùèé,
Ðèñ. 4
AF1
AB
=
= 2 . Ïî òåì æå
à
AX
AF1
ñàìûì ïðè÷èíàì ïîäîáíû è òðåóãîëüíèêè BXF2 è BF2 A ,
òàê êàê ó íèõ îáùèé óãîë B è îòíîøåíèå äëèí ñòîðîí ïðè óãëå
B ðàâíî 2 . Ïîýòîìó ìû ìîæåì âûïèñàòü ñëåäóþùóþ
öåïî÷êó ðàâåíñòâ óãëîâ:
ÐAF1X = ÐABF1 = ÐBAF2 = ÐXF2 B .
Îáðàòèì òàêæå âíèìàíèå íà òî, ÷òî óãëû ïðè A è F2 ó
òðàïåöèè F1 AF2 B ðàâíû, à ïîñêîëüêó ðàâíû è óãëû AF1X
è XF2 B , ïîëó÷àåì, ÷òî ðàâíû è óãëû F1 AX è XF2 A .
Ñëåäîâàòåëüíî, òðåóãîëüíèêè F1 AX è F2 AX ïîäîáíû,
îòêóäà
F1X
AX
=
Þ XF1 × XF2 = AX 2 = F1O2 .
AX
XF2
Èòàê, ïðîèçâåäåíèå ðàññòîÿíèé îò òî÷êè X äî F1 è F2
ðàâíî êâàäðàòó ïîëîâèíû ðàññòîÿíèÿ ìåæäó F1 è F2 . À
çíà÷èò, òî÷êà X äâèæåòñÿ ïî ëåìíèñêàòå Áåðíóëëè. Ìîæíî
äîêàçàòü, ÷òî òðàåêòîðèåé òî÷êè X áóäåò âñÿ ëåìíèñêàòà
Áåðíóëëè. Èíòóèòèâíî ýòî ïîíÿòíî, ïîñêîëüêó òî÷êà X
äâèæåòñÿ íåïðåðûâíî è «ïîÿâëÿåòñÿ» âî âñåõ «êðàéíèõ»
òî÷êàõ ëåìíèñêàòû.
Óïðàæíåíèå 2. Êàêîâà áóäåò òðàåêòîðèÿ òî÷êè X, åñëè îò
êîíñòðóêöèè ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû òî÷êè A è B âñåãäà ëåæàëè ïî îäíó
ñòîðîíó îò F1F2 ?
Ïóñòü O – ñåðåäèíà îòðåçêà F1F2 – óçëîâàÿ òî÷êà ëåìíèñêàòû. Îáîçíà÷èì ÷åðåç M è N ñåðåäèíû îòðåçêîâ F1 A è F1B
ñîîòâåòñòâåííî (ðèñ.5).
Ñäâèíåì
uuuuur òî÷êó O íà âåêòîð NF1 , ïîëó÷èâøóþñÿ
òî÷êó îáîçíà÷èì ÷åðåç O¢ .
Çàìåòèì, ÷òî òðåóãîëüíèêè F1MO¢ è NXO ðàâíû,
êðîìå òîãî, âûïîëíåíî
ðàâåíñòâî
1
F1M = F1O ¢ =
F1O .
2
Òàêèì îáðàçîì, òî÷êè M è Ðèñ. 5
1
F1O .
O¢ ëåæàò íà îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â F1 è ðàäèóñîì
2
Èç ýòîãî ìîæíî ïîëó÷èòü åùå îäèí ýëåãàíòíûé ñïîñîá
ïîñòðîåíèÿ ëåìíèñêàòû Áåðíóëëè.
À èìåííî, ìåòîä Ìàêëîðåíà. Äàâàéòå ïîñòðîèì îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â îäíîì
èç ôîêóñîâ è ðàäèóñîì
1
F1O (ðèñ.6). Äàëåå,
2
íà êàæäîé ñåêóùåé ABO
(ãäå A è B – ýòî òî÷êè
ïåðåñå÷åíèÿ ñåêóùåé è
îêðóæíîñòè) âûáåðåì òàêèå òî÷êè X è X¢ , ÷òî Ðèñ. 6
29.05.09, 14:34
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ
AB = OX = OX¢ .
Ìíîæåñòâî òî÷åê X
è X¢ â îáúåäèíåíèè
îáðàçóþò ëåìíèñêàòó Áåðíóëëè ñ ôîêóñàìè F1 è F2 .
Îòìåòèì åùå îäèí
èíòåðåñíûé ñïîñîá
ïîñòðîåíèÿ ëåìíèñÐèñ. 7
êàòû ñ ïîìîùüþ «ïàëî÷åê». Äàííàÿ êîíñòðóêöèÿ èçîáðàæåíà íà ðèñóíêå 7.
Äëèíà ïàëî÷êè F1 A ðàâíà F1O . Òî÷êà A òàêæå ÿâëÿåòñÿ
êîíöîì ïàëî÷åê AX è AY, äëèíà êàæäîé èç êîòîðûõ ðàâíà
2F1O . Êðîìå òîãî, ñåðåäèíû ýòèõ ïàëî÷åê – òî÷êè B è C –
AX
ñîåäèíåíû ñ O ïàëî÷êàìè äëèíû
. Ïðè âðàùåíèè òî÷êè
2
A ïî îêðóæíîñòè êàæäàÿ èç òî÷åê X è Y îïèñûâàåò ïîëîâèíó
ëåìíèñêàòû Áåðíóëëè ñ ôîêóñàìè F1 è F2 .
Óïðàæíåíèå 3. Äîêàæèòå ýòî.
Ëåìíèñêàòà è ðàâíîñòîðîííÿÿ ãèïåðáîëà
Ãîðàçäî áîëåå èçâåñòíîé ôèãóðîé ÿâëÿåòñÿ ãèïåðáîëà –
ìíîæåñòâî òî÷åê X òàêèõ, ÷òî âåëè÷èíà F1X - F2 X ïîñòîÿííà. Òî÷êè F1 è F2 íàçûâàþòñÿ ôîêóñàìè ãèïåðáîëû. Ñðåäè
ãèïåðáîë ñëåäóåò âûäåëèòü ðàâíîñòîðîííþþ ãèïåðáîëó –
FF
ìíîæåñòâî òî÷åê X òàêèõ, ÷òî F1X - F2 X = 1 2 .
2
1
Óïðàæíåíèå 4. Äîêàæèòå, ÷òî óðàâíåíèå y =
çàäàåò ðàâíîñòîx
ðîííþþ ãèïåðáîëó, è íàéäèòå åå ôîêóñû.
Îêàçûâàåòñÿ, ëåìíèñêàòà Áåðíóëëè ÿâëÿåòñÿ èíâåðñíûì
îáðàçîì ðàâíîñòîðîííåé ãèïåðáîëû. Íàïîìíèì, ÷òî òàêîå
èíâåðñèÿ.
Îïðåäåëåíèå. Èíâåðñèåé îòíîñèòåëüíî îêðóæíîñòè ñ
öåíòðîì â òî÷êå O è ðàäèóñîì r íàçûâàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèå ïëîñêîñòè, ïåðåâîäÿùåå êàæäóþ òî÷êó X â òî÷êó X * ,
ëåæàùóþ íà ëó÷å OX è òàêóþ, ÷òî OX × OX * = r 2 .
Èíâåðñèÿ îáëàäàåò îäíèì î÷åíü óäîáíûì ñâîéñòâîì – ïðè
èíâåðñèè îêðóæíîñòè ïåðåõîäÿò â îêðóæíîñòè èëè ïðÿìûå.
Ïîäðîáíåå ïðî èíâåðñèþ ìîæíî ïðî÷åñòü, íàïðèìåð, â êíèãå
[1]. Ìû æå çäåñü äîêàæåì ñëåäóþùóþ ëåììó, êîòîðàÿ
ïðèãîäèòñÿ íàì â äàëüíåéøåì.
Ëåììà. Ïóñòü A – ïðîåêöèÿ òî÷êè O íà íåêîòîðóþ
ïðÿìóþ l. Òîãäà ïðè èíâåðñèè îòíîñèòåëüíî îêðóæíîñòè ñ
öåíòðîì O ïðÿìàÿ l ïåðåéäåò â îêðóæíîñòü ñ äèàìåòðîì
OA* , ãäå A* – èíâåðñíûé îáðàç òî÷êè A.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü  – ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà íà ïðÿìîé
l, à B* – åå èíâåðñíûé îáðàç (ðèñ.8). Ïîñêîëüêó
r2
r2
è OB* =
,
OA* =
OA
OB
ïîëó÷àåì, ÷òî òðåóãîëüíèêè OAB è OB* A* ïîäîáíû. Ñëåäîâàòåëüíî, óãîë OB* A* ïðÿìîé, è òî÷êà B* ëåæèò íà
îêðóæíîñòè ñ äèàìåòðîì
OA* . Ñòîèò òàêæå îòìåòèòü, ÷òî öåíòðîì ýòîé
îêðóæíîñòè áóäåò òî÷êà O1* , èíâåðñíàÿ òî÷êå
O1 , ñèììåòðè÷íîé O îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé l.
Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî
ëåìíèñêàòà Áåðíóëëè ñ
ôîêóñàìè F1 è F2 è ðàâÐèñ. 8
íîñòîðîííÿÿ ãèïåðáîëà ñ
37-53.p65
43
ÊÐÓÆÎÊ
"!
ôîêóñàìè F1 è F2 èíâåðñíû îòíîñèòåëüíî îêðóæíîñòè ñ
öåíòðîì â O è ðàäèóñîì OF1 .
Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ ðåçóëüòàòàìè, ïîëó÷åííûìè ïðè
äîêàçàòåëüñòâå êîððåêòíîñòè ïîñòðîåíèÿ ëåìíèñêàòû Áåðíóëëè ñ ïîìîùüþ òðåõ
ïàëî÷åê (ñì. ðèñ.4). Îáîçíà÷èì ÷åðåç P òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ F1 A è
F2 B , à ÷åðåç Q – òî÷êó,
ñèììåòðè÷íóþ åé îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé F1F2
(ðèñ.9).
Çàìåòèì, ÷òî
F2Q - F1Q = F2 P - F1P =
FF
= AP - F1P = F1 A = 1 2 .
2
Çíà÷èò, òî÷êè P è Q ëåæàò íà ðàâíîñòîðîííåé
ãèïåðáîëå ñ öåíòðàìè â Ðèñ. 9
F1 è F2 . Îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî òî÷êè X è Q èíâåðñíû îòíîñèòåëüíî îêðóæíîñòè ñ
öåíòðîì â O è ðàäèóñîì OF1 . Äëÿ íà÷àëà äîêàæåì, ÷òî
òðåóãîëüíèêè F1XO è PF1O ïîäîáíû.
Âî-ïåðâûõ, çàìåòèì, ÷òî F1XOB – òðàïåöèÿ, ïîýòîìó
ÐOXF1 + ÐXF1B = 180° , êðîìå òîãî, âûïîëíåíî ðàâåíñòâî
ÐAF1O + ÐOF1P = 180° . À ïîñêîëüêó óãëû XF1B è AF1O
ðàâíû, ïîëó÷àåì, ÷òî ðàâíû è óãëû OXF1 è OF1P .
Äàëåå, ïîñêîëüêó óãëû XF2 B è XF1 A ðàâíû, òî
ÐXF1P + ÐPF2 X = 180° , ò.å. ÷åòûðåõóãîëüíèê PF1XF2 âïèñàííûé. Ñëåäîâàòåëüíî,
ÐF2 F1X = ÐF2 PX = ÐF1PO .
Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî âåðíî â ñèëó òîãî, ÷òî òî÷êè O è X
ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî ñåðåäèííîãî ïåðïåíäèêóëÿðà ê
F1B .
Èòàê, òðåóãîëüíèêè F1XO è PF1O ïîäîáíû ïî äâóì
óãëàì. Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî óãëû F1OX è F1OP ðàâíû, à
çíà÷èò, òî÷êà Q ëåæèò íà ëó÷å OX. Êðîìå òîãî, èç ïîäîáèÿ
òðåóãîëüíèêîâ F1XO è QF1O (êîòîðûé ñèììåòðè÷åí
∆PF1O ) ñëåäóåò, ÷òî
OX OF1
=
Þ OX × OQ = OF12 .
OF1 OQ
À ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî òî÷êè Q è X èíâåðñíû îòíîñèòåëüíî
îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â O è ðàäèóñîì OF1 .
Èç ðèñóíêà 9 ìîæíî ñäåëàòü åùå îäíî íàáëþäåíèå, à
èìåííî, ÷òî òî÷êè X è O ëåæàò íà îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â
òî÷êå P. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ýòà îêðóæíîñòü êàñàåòñÿ ëåìíèñêàòû Áåðíóëëè (ïðî äâå êðèâûå ãîâîðÿò, ÷òî îíè êàñàþòñÿ â íåêîòîðîé òî÷êå, åñëè êàñàòåëüíûå ê êðèâûì â ýòîé
òî÷êå ñîâïàäàþò). Äàâàéòå äîêàæåì ýòî.
Ðàññìîòðèì ïðÿìóþ l – êàñàòåëüíóþ ê ãèïåðáîëå â òî÷êå
Q (ðèñ. 10). Èç ëåììû ñëåäóåò, ÷òî ïðè èíâåðñèè îòíîñèòåëüíî îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì O è ðàäèóñîì F1O ïðÿìàÿ l
äîëæíà ïåðåéòè â îêðóæíîñòü ωl , ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó
O, à òàêæå êàñàþùóþñÿ
ëåìíèñêàòû â òî÷êå X,
ïîñêîëüêó òî÷êà X èíâåðñíà Q. Èç ëåììû ñëåäóåò òàêæå, ÷òî öåíòð
ýòîé îêðóæíîñòè ëåæèò
íà ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé
÷åðåç O è ïåðïåíäèêóëÿðíîé l. Ïîêàæåì, ÷òî
ýòà ïðÿìàÿ OP ñèììåòðè÷íà ïðÿìîé OQ îòíî- Ðèñ. 10
29.05.09, 14:34
""
ÊÂÀÍT 2009/¹3
ñèòåëüíî F1F2 . Èç ýòîãî áóäåò ñëåäîâàòü, ÷òî
òî÷êà P ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì îêðóæíîñòè ωl .
Ïåðåéäåì â ñèñòåìó
êîîðäèíàò, â êîòîðîé
ôîðìóëà ñîîòâåòñòâóþùåé ãèïåðáîëû áóäåò
çàïèñûâàòüñÿ
êàê
Ðèñ. 11
1
y = . Ïóñòü ïðÿìàÿ l
x
ïåðåñåêàåò îñü àáñöèññ è îñü îðäèíàò â òî÷êàõ R è S
ñîîòâåòñòâåííî (ðèñ.11). Êàê èçâåñòíî, ïðîèçâîäíàÿ ôóíê-1
1
â òî÷êå x0 ðàâíà 2 . Îòñþäà ëåãêî ïîëó÷èòü, ÷òî
öèè
x0
x
òî÷êà Q ÿâëÿåòñÿ ñåðåäèíîé îòðåçêà RS, à OQ – ìåäèàíîé
ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ROS. (Ïîäðîáíåå îá ýòîì
ìîæíî ïðî÷èòàòü â ñòàòüå À.Çàñëàâñêîãî «Àôôèííàÿ ãåîìåòðèÿ» â «Êâàíòå» ¹1.) Ñëåäîâàòåëüíî, óãëû QOR è QRO
ðàâíû. Íî ïîñêîëüêó ðàâíû è óãëû POS è QOR, ïîëó÷àåì,
÷òî ïðÿìàÿ OP ïåðïåíäèêóëÿðíà RS. ×òî è òðåáîâàëîñü.
Çàìåòèì òàêæå, ÷òî
ïîñêîëüêó îêðóæíîñòü
ωl êàñàåòñÿ ëåìíèñêàòû â òî÷êå X, ðàäèóñ
PX ýòîé îêðóæíîñòè
áóäåò íîðìàëüþ (ïåð- Ðèñ. 12
ïåíäèêóëÿðîì ê êàñàòåëüíîé) ê ëåìíèñêàòå â òî÷êå X (ðèñ.12).  ñèëó òîãî, ÷òî
òðåóãîëüíèê XPO ðàâíîáåäðåííûé, à ïðÿìûå XO è PO
ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî F1O , ìîæíî âûïèñàòü ñëåäóþùóþ öåïî÷êó ðàâåíñòâ óãëîâ: ÐPXO = ÐXOP = 2ÐPOF1 .
Ýòî äàåò íàì î÷åíü ïðîñòîé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ íîðìàëè ê
ëåìíèñêàòå Áåðíóëëè. À èìåííî, äëÿ ëþáîé òî÷êè X ïðîâåäåì ïðÿìóþ, îáðàçóþùóþ ñ ïðÿìîé OX óãîë 2ÐXOF1 .
Ýòà ïðÿìàÿ è áóäåò íîðìàëüþ ê ëåìíèñêàòå.
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
1. À.À. Çàñëàâñêèé. Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ. – Ì.:
ÌÖÌÍÎ, 2004.
2. Ìàðêóøåâè÷ À.È. Çàìå÷àòåëüíûå êðèâûå. – Ì.: Ãîñòåõèçäàò,
1952.
Ôîðìóëà êðþêîâ
À.ÑÏÈÂÀÊ
×òî äëÿ íàñ – ãîëîâîëîìêà,
äóõîì òàéíû ðàçóì áóäèò –
î÷åâèäíî, äëÿ ïîòîìêà
ïðîñòî øêîëüíûì êóðñîì áóäåò.
È.Ãóáåðìàí
Ä
ÈÀÃÐÀÌÌÛ È ÒÀÁËÈÖÛ ÀËÜÔÐÅÄÀ ÞÍÃÀ (1873–1940)
èçó÷àþòñÿ â ìàòåìàòèêå óæå áîëåå ñòà ëåò. Ñîâðåìåííàÿ
êîìáèíàòîðèêà íåìûñëèìà áåç íèõ.
Ïîÿâèâøèñü ñíà÷àëà â ðàáîòàõ ïî ðàçáèåíèÿì ÷èñåë íà
ñëàãàåìûå, à çàòåì â âàæíîé è äîâîëüíî òðóäíîé îáëàñòè
àëãåáðû – òåîðèè ïðåäñòàâëåíèé ñèììåòðè÷åñêèõ ãðóïï,
äèàãðàììû Þíãà ñòàëè îáíàðóæèâàòüñÿ â ñàìûõ ðàçíûõ
îáëàñòÿõ ìàòåìàòèêè. Â ýòîé ñòàòüå ðàññêàçûâàåòñÿ îá îäíîé
çíàìåíèòîé ôîðìóëå äëÿ êîëè÷åñòâà òàáëèö Þíãà äàííîé
ôîðìû – î ôîðìóëå êðþêîâ.
Ïîëüçîâàòüñÿ åþ â âû÷èñëåíèÿõ ñìîæåò è ïÿòèêëàññíèê,
òàê ÷òî êàæäûé ÷èòàòåëü æóðíàëà ÷òî-òî èç ýòîé ñòàòüè
ïî÷åðïíåò. Íî ëó÷øå, êîíå÷íî, ïîíÿòü èçëàãàåìîå çäåñü åå
äîêàçàòåëüñòâî, êîòîðîå çàìå÷àòåëüíî òåì, ÷òî ïðè ðåøåíèè
÷èñòî êîìáèíàòîðíîé çàäà÷è áóäóò èñïîëüçîâàíû àíòèñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû. ×òî ýòî òàêîå – òîæå ðàññêàçàíî â
ñòàòüå.
Ïåðâûå ïðèìåðû
Íà ðèñóíêå 1 ïîêàçàíû âñå ñóùåñòâóþùèå 16 ñïîñîáîâ òàê
çàïîëíèòü äèàãðàììó, ñîñòîÿùóþ èç 6 êëåòîê, ÷èñëàìè îò 1
äî 6, ÷òî ÷èñëà âîçðàñòàþò ïðè äâèæåíèè ñëåâà íàïðàâî è
ñâåðõó âíèç. Íà ðèñóíêå 2 – ïÿòü çàïîëíåíèé äèàãðàììû èç
5 êëåòîê (äðóãèõ ñïîñîáîâ, êàê ëåãêî óáåäèòüñÿ, íåò); íà
ðèñóíêå 3 – äâà çàïîëíåíèÿ äèàãðàììû èç 3 êëåòîê; íà
ðèñóíêå 4 – åäèíñòâåííûé ñïîñîá çàïîëíèòü «ñòîëáèê»
âûñîòîé 5 (î÷åâèäíî, ñïîñîá åäèíñòâåííûé è ïðè ëþáîé
äðóãîé âûñîòå ñòîëáèêà).
37-53.p65
44
Ðèñ. 1
Ðèñ. 2
Ðèñ. 3
Ðèñ. 4
Îïðåäåëåíèÿ
×òîáû ïîíÿòü, ÷òî òàêîå äèàãðàììà Þíãà, ïðåäñòàâüòå
ñåáå ëèñò áóìàãè (êàêîãî óãîäíî ðàçìåðà) â êëåòî÷êó è
îòðåæüòå îò íåãî íåñêîëüêî êëåòîê, ñîáëþäàÿ óñëîâèå:
âìåñòå ñ ëþáîé îòðåçàííîé êëåòêîé îòðåçàåì è âñå êëåòêè,
ðàñïîëîæåííûå íèæå èëè ïðàâåå íåå.
Äðóãèìè ñëîâàìè, äèàãðàììà Þíãà ñîñòîèò èç ñâîåãî
ëåâîãî âåðõíåãî óãëà – íåêîòîðîé êëåòêè A – è îáëàäàåò
ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: âìåñòå ñ ëþáîé ñâîåé êëåòêîé B îíà
ñîäåðæèò è âñå êëåòêè ïðÿìîóãîëüíèêà, ëåâûì âåðõíèì
óãëîì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ êëåòêà A, à ïðàâûì íèæíèì –
êëåòêà B.
Òàáëèöà Þíãà – ýòî äèàãðàììà èç n êëåòîê, çàïîëíåííàÿ
÷èñëàìè îò 1 äî n òàê, ÷òî ÷èñëà âîçðàñòàþò ïðè äâèæåíèè
ñëåâà íàïðàâî è ñâåðõó âíèç (äàëåå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü
òîëüêî òàêèå çàïîëíåíèÿ).
×èñëà ñî÷åòàíèé
Ðàññìîòðèì äèàãðàììó, ñîñòîÿùóþ èç m + n + 1 êëåòîê,
m + 1 èç êîòîðûõ ðàñïîëîæåíû â âåðõíåé ñòðîêå, à n + 1 –
â ëåâîì ñòîëáöå. Ïðèìåð äëÿ m = 3 è n = 2 –
ðèñóíîê 5; ÷èñëî 1 â ëþáîì ñëó÷àå ðàñïîëîæåíî
â ëåâîì âåðõíåì óãëó; çàïîëíåíèå îäíîçíà÷íî
îïðåäåëåíî òåì, êàêèå èìåííî òðè ÷èñëà ñòîÿò â Ðèñ. 5
íåçàïîëíåííûõ êëåòêàõ âåðõíåé ñòðîêè. Èíòåðåñóþùåå íàñ êîëè÷åñòâî çàïîëíåíèé îáîçíà÷àþò Cmm+ n è
íàçûâàþò ÷èñëîì ñî÷åòàíèé èç m + n ïî m. ×èñëî ñî÷åòàíèé
– ýòî êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ âûáðàòü m ýëåìåíòîâ èç ìíîæå-
29.05.09, 14:34
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ
ñòâà {2, 3, …, m + n + 1}, ñîñòîÿùåãî èç m + n ýëåìåíòîâ.
Òðåóãîëüíèê Ïàñêàëÿ, îáðàçîâàííûé ÷èñëàìè Cmm+ n , è
ñâîéñòâà ýòèõ ÷èñåë â âûñøåé ñòåïåíè âàæíû äëÿ êîìáèíàòîðèêè. Îäíà èç âàæíåéøèõ åå ôîðìóë – ôîðìóëà
m + n !
Cmm+ n =
.
m!n!
Êàê òîëüêî ìû ñôîðìóëèðóåì ôîðìóëó êðþêîâ, ñòàíåò
ÿñíî, ÷òî îíà ÿâëÿåòñÿ ãëóáîêèì îáîáùåíèåì ýòîé ôîðìóëû.
"#
ÊÐÓÆÎÊ
íîé è ïðàâîé òàáëèöàõ òàêèõ êëåòîê ïî òðè. Çíà÷èò, äîñòàòî÷íî ðåøèòü çàäà÷ó äëÿ êàæäîé èç âîñüìè äèàãðàìì ðèñóíêà 9 è ñëîæèòü ðåçóëüòàòû. Îáëåã÷àåò ðàáîòó òî, ÷òî ðåçóëüòàòû äëÿ ïåðâîé, òðåòüåé, ïÿòîé è ñåäüìîé äèàãðàìì íå
îòëè÷àþòñÿ; íå îòëè÷àåòñÿ è âòîðàÿ äèàãðàììà îò øåñòîé.
Êîëè÷åñòâî çàïîëíåíèé ÷åòâåðòîé äèàãðàììû ðàâíî
C63 = 20 . Ïðè ïîìîùè ðèñóíêîâ 10, 11 è 12 ëåãêî íàéòè
îòâåòû – ÷èñëà 4 + 5 + 10 + 16 = 35, 16 + 5 = 21 è 5 + 5 +
×èñëà Êàòàëàíà
 ïðåäûäóùåì íîìåðå íàøåãî æóðíàëà îïóáëèêîâàíà
ñòàòüÿ «Ðàçðåçàíèÿ íà òðåóãîëüíèêè», ïîñâÿùåííàÿ ÷èñëàì
Êàòàëàíà. Äîêàçàííàÿ òàì ôîðìóëà – òîæå ÷àñòíûé ñëó÷àé
ôîðìóëû êðþêîâ.
Íàïîìíþ âêðàòöå, î ÷åì ðå÷ü. ×èñëà Êàòàëàíà ïî÷òè ñòîëü
æå çíàìåíèòû, êàê ÷èñëà Ôèáîíà÷÷è: â ñòàòüå «×èñëà
Êàòàëàíà» («Êâàíò» ¹3 çà 2004 ãîä) äàíî òðè äåñÿòêà
ðàçíûõ îïðåäåëåíèé, à íàóêå èçâåñòíî áîëåå ñîòíè.
Âîò îäíî èç ñàìûõ êîðîòêèõ îïðåäåëåíèé: ÷èñëî Êàòàëàíà – ýòî êîëè÷åñòâî òàáëèö Þíãà ðàçìåðîì 2 ´ n .
Òî æå ìîæíî ñêàçàòü è äðóãèìè ñëîâàìè. Ëþáîé òàêîé
òàáëèöå ìîæíî ñîïîñòàâèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç 2n ñêîáîê, åñëè ñòàâèòü îòêðûâàþùèå ñêîáêè íà ïîçèöèè, íîìåðà
êîòîðûõ ñòîÿò â âåðõíåé ñòðîêå, à çàêðûâàþùèå ñêîáêè – íà
îñòàëüíûå ìåñòà: íà ðèñóíêå 6 èçîáðàæåíû âñå 5 ñóùåñòâóþùèõ ðàññòàíîâîê äëÿ n = 3 âìåñòå ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè
ñèñòåìàìè ñêîáîê. Âîçíèêàþùèå òàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ïðàâèëüíûå â òîì ñìûñëå, ÷òî ïðè ÷òåíèè ñëåâà íàïðàâî íè
â êàêîé ìîìåíò êîëè÷åñòâî îòêðûâøèõñÿ ñêîáîê íå îêàçûâàåòñÿ ìåíüøå êîëè÷åñòâà çàêðûâøèõñÿ, à ïîñëå ïðî÷òåíèÿ
ïîñëåäíåé (çàêðûâàþùåé) ñêîáêè ýòè êîëè÷åñòâà ñòàíîâÿòñÿ
ðàâíûìè n.
Óïðàæíåíèÿ
1. Óáåäèòåñü, ÷òî: à) çàïîëíåíèé ïðÿìîóãîëüíîé òàáëèöû ðàçìåðîì 2 ´ 3 ñòîëüêî æå, ñêîëüêî çàïîëíåíèé òàáëèöû ðèñóíêà 2;
á) çàïîëíåíèé òàáëèöû ðàçìåðîì 2 ´ 2 ñòîëüêî æå, ñêîëüêî çàïîëíåíèé òàáëèöû Þíãà ñ äèàãðàììîé ðèñóíêà 3.
2. Íàéäèòå âñå çàïîëíåíèÿ òàáëèöû ðàçìåðîì 2 ´ 4 .
Îòáðàñûâàíèå êëåòîê
Âûÿñíèì, ñêîëüêî ñóùåñòâóåò çàïîëíåíèé äèàãðàììû ðèñóíêà 7. Íå ñîâåòóþ âûïèñûâàòü âñå òàáëèöû ïîäðÿä: îòâåò
ñëèøêîì âåëèê, ÷òîáû âû ïîëó÷èëè óäîâîëüñòâèå îò òàêîé
ðàáîòû. À ãëàâíîå – ìû õîòèì íàéòè íå îòâåò äëÿ îäíîé
êîíêðåòíîé äèàãðàììû, à îáùèå çàêîíîìåðíîñòè.
Íà÷íåì. Ãäå ìîæåò ñòîÿòü ÷èñëî 9?  êëåòêå, íè ïðàâåå, íè
íèæå êîòîðîé íè÷åãî íåò. Òàêèå êëåòêè íà ðèñóíêå 7 ïîìå÷åíû ñòðåëî÷êàìè. Îòáðàñûâàÿ èõ ïî îäíîé, ïîëó÷àåì
äèàãðàììû ðèñóíêà 8. Äëÿ êàæäîé èç íèõ ìû ïîñ÷èòàåì
êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ è ñëîæèì ðåçóëüòàòû.
×èñëî 8 â ëåâîé äèàãðàììå ðèñóíêà 8 ìîæåò ñòîÿòü íà
îäíîé èç äâóõ îòìå÷åííûõ ñòðåëî÷êàìè êëåòîê, à â öåíòðàëü-
37-53.p65
Ðèñ. 11
Ðèñ. 10
Ðèñ. 6
Ðèñ. 7
Ðèñ. 9
+ 4 = 14 – äëÿ ïåðâîé, âòîðîé è âîñüìîé
äèàãðàìì ðèñóíêà 9 ñîîòâåòñòâåííî. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ðèñóíêà 7 ñóùåñòâóåò
4 × 35 + 20 + 2 × 21 + 14 = 216 çàïîëíåíèé.
Îòâåò íàéäåí. Íàì íå ïðèøëîñü ðèñîâàòü âñå 216 òàáëèö îäíó çà
Ðèñ. 8
45
äðóãîé. Íî íàø ñïîñîá íå ñàìûé
áûñòðûé.
Áûñòðåå äàåò îòâåò îòêðûòàÿ â
1954 ãîäó ôîðìóëà êðþêîâ.
Êðþêè
Êðþê êëåòêè – ýòî îíà ñàìà, à
òàêæå êëåòêè, ðàñïîëîæåííûå
ñïðàâà îò íåå, è êëåòêè, ðàñïîëîæåííûå ñíèçó. Äëèíà êðþêà –
ýòî êîëè÷åñòâî åãî êëåòîê. Íà ðè- Ðèñ. 12
ñóíêå 13 äëÿ íåêîòîðûõ èç âñòðåòèâøèõñÿ íàì äèàãðàìì óêàçàíû äëèíû êðþêîâ (â êàæäîé
êëåòêå çàïèñàíà äëèíà êðþêà, ñîäåðæàùåãî ýòó êëåòêó) è
ïîêàçàíî, êàê äëÿ êàæäîé èç íèõ âûãëÿäèò ôîðìóëà êðþêîâ.
Ðèñ. 13
29.05.09, 14:34