Теория поверхностей

1
Ââåäåíèå
Ýëåìåíòàðíîé ïîâåðõíîñòüþ1 íàçûâàåòñÿ ãîìåîìîðôíûé îáðàç îòêðûòîãî êðóãà D2 â ïðîñòðàíñòâî R3 . Åñëè (u, v) äåêàðòîâû ïðÿìîóãîëüíûå êîîðäèíàòû â D2 , à âåêòîð-ôóíêöèÿ
⃗r = ⃗r(u, v) òàêîâà ÷òî, ⃗r(u, v) ∈ C k (àíàëèòè÷åñêàÿ) è rg d⃗r(u, v) = 2 äëÿ âñåõ (u, v), òî ïîâåðõíîñòü, çàäàâàåìàÿ âåêòîð-ôóíêöèåé ⃗r íàçûâàåòñÿ ðåãóëÿðíîé êëàññà C k (àíàëèòè÷åñêîé).
Êîîðäèíàòû (u, v) íàçûâàþòñÿ êðèâîëèíåéíûìè êîîðäèíàòàìè ïîâåðõíîñòè.
Åñëè (x, y, z) - äåêàðòîâû êîîðäèíàòû â R3 , òî âåêòîðíîå óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè ⃗r = ⃗r(u, v)
ýêâèâàëåíòíî çàäàíèþ òðåõ ôóíêöèé: x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v). Ýòî ïàðàìåòðè÷åñêîå
óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè. Ðåãóëÿðíîñòü êëàññà C k (àíàëèòè÷íîñòü) ïîâåðõíîñòè îçíà÷àåò, ÷òî
âñå òðè óêàçàííûå ôóíêöèè ïðèíàäëåæàò êëàññó C k (àíàëèòè÷åñêèå), à òàê æå
( ∂x ∂y ∂z )
rg
∂u
∂x
∂v
∂u
∂y
∂v
∂u
∂z
∂v
=2
Åñëè â êà÷åñòâå ïàðàìåòðîâ ïîâåðõíîñòè âûáðàíû äåêàðòîâû êîîðäèíàòû (x, y) ïëîñêîñòè
XoY â R3 , òî ïîâåðõíîñòü çàäàåòñÿ îäíîé ôóíêöèåé z = z(x, y). Òàêîå çàäàíèå ïîâåðõíîñòè
íàçûâàåòñÿ ÿâíûì, à ïîâåðõíîñòü - ÿâíî çàäàííîé.
Ê îïðåäåëåíèþ ïîâåðõíîñòè ìîæíî ïîäõîäèòü è ñ äðóãîé òî÷êè çðåíèÿ, à èìåííî êàê ê
ãåîìåòðè÷åñêîìó ìåñòó òî÷åê (ã.ì.ò.) â R3 , óäîâëåòâîðÿþùèõ íåêîòîðîìó óñëîâèþ. Ôîðìàëüíî ýòî óñëîâèå âûðàæàåòñÿ â âèäå ôóíêöèè îò êîîðäèíàò (x, y, z), çíà÷åíèå êîòîðîé äëÿ òî÷åê
ðàññìàòðèâàåìîãî ãåîìåòðè÷åñêîãî ìåñòà ïîñòîÿííî: M (x, y, z) ∈ (ã.ò.ì.) ⇐⇒ f (x, y, z) = 0.
Òàêîå çàäàíèå ïîâåðõíîñòè íàçûâàåòñÿ íåÿâíûì.
Íåÿâíî çàäàííàÿ ïîâåðõíîñòü íàçûâàåòñÿ ðåãóëÿðíîé êëàññà C k (àíàëèòè÷åñêîé), åñëè f ∈
k
C (àíàëèòè÷íà) è ãðàäèåíò ∇f ̸= 0 äëÿ âñåõ (x, y, z) èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ f .
Ëîêàëüíî âñå ïåðå÷èñëåííûå ñïîñîáû çàäàíèÿ ðåãóëÿòíîé ïîâåðõíîñòè ýêâèâàëåíòíû.
 äàëüíåéøåì íàì áóäåò óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ äðóãèìè îáîçíà÷åíèÿìè äëÿ ïàðàìåòðîâ:
u ←→ u1 , v ←→ u2 , à òàêæå ïðàâèëîì ñóììèðîâàíèÿ ïî ïîâòîðÿþùèìñÿ âåðõíèì è íèæíèì
èíäåêñàì2
Ïóñòü ⃗r = ⃗r(u1 , u2 ) âåêòîðíîå óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè. Òàê êàê rg d⃗r = 2 äëÿ âñåõ (u1 , u2 ),
òî â êàæäîé òî÷êå ïîâåðõíîñòè âåêòîðû
∂1⃗r =
∂
⃗r
∂u1
è
∂2⃗r =
∂
⃗r
∂u2
ëèíåéíî íåçàâèñèìû è îáðàçóþò áàçèñ êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ïîâåðõíîñòè â ñîîòâåòñòâóþùåé
òî÷êå3 . Âåêòîð
⃗ = ∂1⃗r × ∂2⃗r
N
îðòîãîíàëåí êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè è íàçûâàåòñÿ âåêòîðîì íîðìàëè.
Óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè è íîðìàëè ïîâåðõíîñòè èìååò âèä:
(
)
⃗ − ⃗r(u1 , u2 ), ∂1⃗r, ∂2⃗r = 0;
R
⃗
R(t)
= ⃗r(u1 , u2 ) + t∂1⃗r × ∂2⃗r
Åñëè ïîâåðõíîñòü çàäàíà íåÿâíî â âèäå f (x, y, z) = c, òî ïîëå íîðìàëåé ïîâåðõíîñòè ñî⃗ = ∇f .
ñòàâëÿåò ïîëå ãðàäèåíòà ôóíêöèè f , òî åñòü N
⃗ îáðàçóþò ïåðåìåííûé áàçèñ
Âäîëü âñåé ïîâåðõíîñòè òðîéêà âåêòîðíûõ ïîëåé ∂1⃗r, ∂2⃗r, N
3
(ïîäèæíûé ðåïåð) â R . Êàæäûé êàñàòåëüíûé ê ïîâåðõíîñòè âåêòîð ⃗a ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå
1 Ðàññìàòðèâàåìûå
â êóðñå ãåîìåòðèè ïîâåðõíîñòè ëîêàëüíî ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàðíûìè, ÷òî äàåò ïðàâî
èññëåäîâàòü òîëüêî ýëåìåíòàðíûå ïîâåðõíîñòè.
2 Íàïðèìåð, g bi ak
ik
3 Ñ ãåîìåòðè÷åñêîé
îçíà÷àåò
∑n
i k
i,k=1 gik b a .
∂1 ⃗
r è ∂2 ⃗
r-
òî÷êè çðåíèÿ
Íàïðèìåð
n
áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ èç êîíòåêñòà.
êàñàòåëüíûå âåêòîðû ê êîîðäèíàòíûì ëèíèÿì
âåòñòâåííî
1
u1
è
u2
ñîîò-
⃗a = a1 ∂1⃗r + a2 ∂2⃗r. Åñëè ⃗b = b1 ∂1⃗r + b2 ∂2⃗r, òî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ ⃗a è ⃗b êàê
âåêòîðîâ, ëåæàùèõ â R3 , âûðàçèòñÿ â âèäå áèëèíåéíîé ôîðìû íà êàñàòåëüíûõ âåêòîðàõ ê
ïîâåðõíîñòè:
(
)
< ⃗a, ⃗b >= a1 b1 < ∂1⃗r, ∂1⃗r > + a1 b2 + a2 b1 < ∂1⃗r, ∂2⃗r > +a2 b2 < ∂2⃗r, ∂2⃗r > .
Ïðè ⃗a = ⃗b ýòà ôîðìà ïðèíèìàå âèä êâàäðàòè÷íîé è íàçûâàåòñÿ ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé
ïîâåðõíîñòè.
Ôóíêöèÿ gik =< r⃗i , r⃗k > íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû, à ìàòðèöà G = (gik )-ìàòðèöåé ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ïîâåðõíîñòè.
Ðàññìîòðèì äèôôåðåíöèàë ðàäèóñà-âåêòîðà d⃗r = ∂1⃗rdu1 + ∂2⃗rdu2 êàê áåñêîíå÷íî ìàëûé
âåêòîð, èìåþùèé â ïîäâèæíîì áàçèñå {∂1⃗r, ∂2⃗r} êîîðäèíàòû {du1 , du2 }. Åãî äëèíà
2
2
2
|d⃗r| = g11 (du1 ) + 2g12 du1 du2 + g22 (du2 )
íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì ýëåìåíòîì ïîâåðõíîñòè è îáîçíà÷àåòñÿ ds2 . Âûðàæåíèå
ds2 = gik dui duk
íàçûâàþò òàêæå ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé ïîâåðõíîñòè.
Åñëè u1 è u2 ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé íåêîòîðîãî ïàðàìåòðà t, òî âñå òî÷êè êðèâîé
(
)
ρ
⃗(t) = ⃗r u1 (t), u2 (t)
ëåæàò íà ðàññìàòðèâàåìîé ïîâåðõíîñòè. Óðàâíåíèÿ
u1 = u1 (t),
u2 = u2 (t)
íàçûâàþòñÿ âíóòðåííèìè óðàâíåíèÿìè êðèâîé
(
)
ρ
⃗(t) = ⃗r u1 (t), u2 (t) .
Âåêòîðíîå ïîëå
du1
du2
d⃗
ρ
= ∂1⃗r
+ ∂2⃗r
dt
dt
dt
{ 1
}
du2
ñîñòàâëÿåò ïîëå êàñàòåëüíûõ êðèâîé è èìååò êîîðäèíàòû du
,
îòíîñèòåëüíî êàñàòåëüdt
dt
íîãî áàçèñà ïîâåðõíîñòè. Äëèíà îòðåçêà êðèâîé íà ïðîìåæóòêå [t1 , t2 ] âûðàçèòñÿ ôîðìóëîé
l[t1 ,t2 ]
∫t2 ∫ t2√
dρ dui duk
= dt =
gik
dt
dt
dt dt
t1
t1
{
}
{
}
u1 = u1 (t)
u1 = v 1 (τ )
Ïóñòü γ1
è γ2
äâå êðèâûå íà ïîâåðõíîñòè, èìåþùèå îáùóþ
u2 = u2 (t)
u2 = v 2 (τ )
òî÷êó u10 = u1 (t0 ) = v 1 (τ0 ), u20 = u2 (t0 ) = v 2 (τ0 ) Óãîë ìåæäó ýòèìè êðèâûìè â îáùåé òî÷êå îïðåäåëÿåòñÿ êàê óãîë ìåæäó èõ êàñàòåëüíûìè â ýòîé òî÷êå.  áàçèñå {∂1{
⃗r, ∂2⃗r} êàñà}
òåëüíûå âåêòîðû ðàññìàòðèâàåìûõ êðèâûõ èìåþò êîîðäèíàòû ñîîòâåòñòâåííî:
{ 1
}
dv
dv 2
,
. Ñëåäîâàòåëüíî,
dτ
dτ
cos(γ1ˆγ2 ) =
ãäå α1 =
√
i duk
gik du
dt dt ,
α2 =
√
i dv k
gik dv
dτ dτ .
1
dui dv k
gik
,
α1 α2
dt dτ
2
du1 du2
dt , dt
è
Ïëîùàäü σ çàìêíóòîé îáëàñòè D íà ïîâåðõíîñòè, ÿâëÿþùåéñÿ îáðàçîì çàìêíóòîé îáëàñòè
D′ îòíîñèòåëüíî âåêòîð-ôóíêöèè ⃗r, âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
∫∫ √
σ=
det(gik )du1 du2 .
D′
Ðàññìîòðèì âåêòîðíîå ïîëå åäèíè÷íûõ íîðìàëåé
⃗n =
∂1⃗r × ∂2⃗r
.
|∂1⃗r × ∂2⃗r|
Òîãäà {∂1⃗r, ∂2⃗r, ⃗n} ïî-ïðåæíåìó îáðàçóþò ïîäâèæíûé ðåïåð â êàæäîé òî÷êå ïîâåðõíîñòè.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðîèçâîäíûå ýòèõ âåêòîðîâ âûðàæàþò ñíîâà ÷åðåç âåêòîðû ïîäâèæíîãî ðåïåðà 4 :
∂
r = ∂11⃗r = Γ111 ∂1⃗r + Γ211 ∂2⃗r + b11⃗n,
∂u1 ∂1⃗
∂
r
∂u2 ∂1⃗
=
∂
∂u1 r2
∂
r
∂u2 ∂2⃗
= ∂22⃗r = Γ122 ∂1⃗r + Γ222 ∂2⃗r + b22⃗n,
= ∂12⃗r = Γ112 ∂1⃗r + Γ212 ∂2⃗r + b12⃗n,
∂
n
∂u1 ⃗
= ∂1⃗n = −a11 ∂1⃗r − a21⃗r2 ,
∂
n
∂u2 ⃗
= ∂2⃗n = −a12 ∂1⃗r − a22 ∂2⃗r,
Ïåðâûå òðè ôîðìóëû íàçûâàþòñÿ ôîðìóëàìè Ãàóññà, à âòîðûå äâå - ôîðìóëàìè Âåéíãàðòåíà.
 ñîîòâåòñòâèè ñ ñîãëàøåíèåì îá èíäåêñàõ ñóììèðîâàíèÿ, ýòè ôîðìóëû âûïèñûâàþòñÿ â
ñëåäóþùåé ëàêîíè÷íîé ôîðìå:
∂ik ⃗r = Γsik ∂s⃗r + bik ⃗n
∂i⃗n = −asi ∂s⃗r
(ôîðìóëû Ãàóññà)
(ôîðìóëû Âåéíãàðòåíà)
Êîýôôèöèåíòû íàçûâàþòñÿ ñèìâîëàìè Êðèñòîôåëÿ âòîðîãî ðîäà. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî
< ∂ik ⃗r, ⃗rj >= Γsik gsj
Ôóíêöèè Γik,j =< ∂ik ⃗r, ⃗rj > íàçûâàþòñÿ ñèìâîëàìè Êðèñòîôôåëÿ ïåðâîãî ðîäà. Òàêèì îáðàçîì Γik,j = gsj Γsik è îáðàòíî Γjik = g sj Γik,s ãäå G−1 = (g sj ) -ìàòðèöà îáðàòíàÿ ê ìàòðèöå
G = (gik )
Ñèìâîëû Êðèñòîôôåëÿ ìîãóò áûòü âûðàæåíû òîëüêî ÷åðåç êîýôôèöèåíòû ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû:
1
Γij,k = (∂j gik + ∂i gkj − ∂k gij )
2
i
Ìàòðèöà A = (ak ) èç ðàçëîæåíèÿ Âåéíãàðòåíà îïðåäåëÿåò ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå â êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ïîâåðõíîñòè.
2
2
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî bik =< ∂ik ⃗r, ⃗n > . Òàê êàê d2⃗r = ∂11⃗r(du1 ) + +2∂12⃗rdu1 du2 + ∂22⃗r(du2 ) ,
2
2
òî ôîðìóëà < d2⃗r, ⃗n >= b11 (du1 ) + 2b12 du1 du2 + b22 (du2 ) , ñ îäíîé ñòîðîíû, åñòü âåëè÷èíà ïðîåêöèè âåêòîðà d2⃗r íà íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè, à ñ äðóãîé - îïðåäåëÿþò êâàäðàòè÷íóþ
ôîðìó ñ ìàòðèöåé B = (bik ) íà êàñàòåëüíûõ âåêòîðàõ ê ïîâåðõíîñòè. Ýòà ôîðìà íàçûâàåòñÿ
âòîðîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé ïîâåðõíîñòè, à ôóíêöèè bik - êîýôôèöèåíòàìè âòîðîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû. Òàê êàê < d2⃗r, ⃗n >= − < d⃗r, d⃗n > ,òî èç ôîðìóëû Ãàóññà-Âåéíãàðòåíà ñëåäóåò
÷òî −aik = −g is bks ; â ìàòðè÷íîé çàïèñè ýòî îçíà÷àåò ñëåäóþùóþ ñâÿçü:
A = G−1 B
4 Ââèäó
åäèíè÷íîñòè âåêòîðà
ïëîñêîñòè. Çíàê
aik
⃗
n
eãî ïðîèçâîäíûå âåêòîðû
∂i ⃗
n
âûáèðàåòñÿ èç íèæåñëåäóþùèõ ñîîáðåæåíèé.
3
îðòîãîíàëüíû, à çíà÷èò ëåæàò êàñàòåëüíî
Ïóñòü γ -ïðîèçâîëüíàÿ êðèâàÿ íà ïîâåðõíîñòè. Òîãäà åå âåêòîð êðèâèçíû5 k⃗ν ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî âåêòîðàì ïîäâèæíîãî ðåïåðà:
k⃗ν = kn⃗n + kg ⃗τ ,
ãäå τ -åäèíè÷íûé âåêòîð, ëåæàùèé â êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè;
kn -íîðìàëüíàÿ êðèâè÷ýð ûøýøø,
kg -åå ãåîäåçè÷åñêàÿ êðèâèçíà.
Î÷åâèäíî, ÷òî kn = k cos θ,ãäå θ -óãîë ìåæäó ãëàâíîé íîðìàëüþ êðèâîé è íîðìàëüþ ê ïîâåðõíîñòè(òåîðåìà Ìåíüå).
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî kn íå çàâèñèò îò âûáîðà êðèâîé íà ïîâåðõíîñòè, à ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé
îò êàñàòåëüíîãî íàïðàâëåíèÿ â êàæäîé òî÷êå. Åñëè ⃗τ = τ 1 r⃗1 + τ 2⃗r2 êàñàòåëüíîå íàïðàâëåíèå,
òî
bik τ i τ k
kn (⃗τ ) =
.
gik τ i τ k
Çíà÷åíèå ôóíêöèîíàëà Kn (⃗τ ) íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíîé êðèâèçíîé ïîâåðõíîñòè â íàïðàâëåíèè
âåêòîðà ⃗τ . Ýêñòðåìóìû ýòîãî ôóíêöèîíàëà íàçûâàþòñÿ ãëàâíûìè êðèâèçíàìè ïîâåðõíîñòè,
à ñîîòâåòñòâóþùèå íàïðàâëåíèÿ -ãëàâíûìè íàïðàâëåíèÿìè.
Ãëàâíûå êðèâèçíû ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè îïåðàòîðà Âåéíãàðòåíà, à ñîîòâåòñâóþùèå ñîáñòâåííûå âåêòîðû ñîâïàäàþò ñ ãëàâíûìè íàïðàâëåíèÿìè.
Ãàóññîâîé K è ñðåäíåé H êðèâèçíîé ïîâåðõíîñòè â äàííîé òî÷êå íàçûâàþòñÿ ïðîèçâåäåíèå
K1 K2 è ïîëóñóììà 12 (k1 + k2 ) ãëàâíûõ êðèâèçí ïîâåðõíîñòè â ýòîé òî÷êå.
Òàêèì îáðàçîì, õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ìàòðèöû À èíòåðïðåòèðóåòñÿ äâóìÿ ñïîñîáàìè:
x(λ) = det(A − λE) = λ2 − traceAλ + detA,
x(λ) = λ2 − 2Hλ + K,
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî
K = detA =
detB
,
detG
1
1
traceA = trace(G−1 B).
2
2
Ãàóññîâà êðèâèçíà ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà áåç ïðèâëå÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ âòîðîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû (Òåîðåìà Ãàóññà):
R1212
,
K=
detG
ãäå R1212 êîìïîíåíòà (åäèíñòâåííàÿ äëÿ äâóìåðíûõ ïîâåðõíîñòåé) òåíçîðà êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè, êîòîðàÿ âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
H=
R1212 =
∂Γ22,1
∂Γ12,1
−
+ Γs12 Γ12,s − Γs22 Γ11,s .
∂u1
∂u2
Ïîâåðõíîñòè, äëÿ êîòîðûõ H ≡ 0,íàçûâàþòñÿ ìèíèìàëüíûìè. Åñëè k1 k2 > 0, -òî÷êà íà
ïîâåðõíîñòè íàçûâàåòñÿ ýëëèïòè÷åñêîé, åñëè k1 k2 < 0, -ãèïåðáîëè÷åñêîé, åñëè k1 k2 = 0;,
-ïàðàáîëè÷åñêîé, åñëè k1 = k2 , -îìáèëè÷åñêîé.
Ëèíèÿ íà ïîâåðõíîñòè íàçûâàåòñÿ ëèíèåé êðèâèçíû, åñëè â êàæäîé ñâîåé òî÷êå îíà êàñàåòñÿ ãëàâíîãî íàïðàâëåíèÿ. Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ëèíèé êðèâèçíû èìååò âèä
(du2 )2 −du1 du2 (du1 )2 g11
g12
g22 = 0
b11
b12
b22 5k
-êðèâèçíà êðèâîé
γ
êàê êðèâîé â
R3 ,
à
⃗
ν
- åå âåêòîð ãëàâíîé íîðìàëè.
4
Íàïðàâëåíèÿ p⃗ = {p1 , p2 } è ⃗q = {q 1 , q 2 } â êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ïîâåðõíîñòè íàçûâàþòñÿ
ñîïðÿæåííûìè, åñëè îíè ñîïðÿæåíû îòíîñèòåëüíî âòîðîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû
bik pi q k = 0.
 îêðåñòíîñòè íå îìáèëè÷åñêîé òî÷êè ëèíèè êðèâèçíû ìîæíî ïðèíÿòü â êà÷åñòâå êîîðäèíàòíûõ.  ïîëó÷åííîé îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ìàòðèö G è B îäíîâðåìåííî ïðèíèìàþò
äèàãîíàëüíûé âèä
(
)
(
)
1 0
k1 0
G=
,
B=
,
0 1
0 k2
ãäå k1 è k2 ãëàâíûå êðèâèçíû. Âûðàæåíèå íîðìàëüíîé êðèâèçíû ïðèíèìàåò âèä:
2
kn (⃗τ ) =
k1 (τ 1 ) + k2 (τ 2 )
2
2
(τ 1 ) + (τ 2 )
2
= k1 cos2 φ + k2 sin φ
(Ôîðìóëà Ýéëåðà)
à ôîðìóëû Âåéíãàðòåíà ïðåîáðàçóþòñÿ ê âèäó:
⃗n1 = −k1⃗r1 ,
⃗n2 = −k2⃗r2
(ôîðìóëû Ðîäðèãà)
Ñàìîñîïðÿæåííûå íàïðàâëåíèÿ íàçûâàþòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèìè. Ëèíèÿ íà ïîâåðõíîñòè íàçûâàåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêîé, åñëè â êàæäîé ñâîåé òî÷êå îíà êàñàåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêîãî íàïðàâëåíèÿ. Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå àñèìïòîòè÷åñêèõ ëèíèé, î÷åâèäíî, èìååò âèä
bik dui duk = 0
Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå îçíà÷àåò, ÷òî êàñàòåëüíàÿ êðèâèçíà àñèìïòîòè÷åñêîé ëèíèè â êàæäîé
òî÷êå ðàâíà íóëþ, à ñëåäîâàòåëüíî, åå âåêòîð êðèâèçíû ëåæèò â êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ïîâåðõíîñòè.
Ëèíèÿ íà ïîâåðõíîñòè íàçûâàåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé, à åñëè â êàæäîé òî÷êå åå ãåîäåçè÷åñêàÿ
êðèâèçíà kg = 0. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî åå âåêòîð êðèâèçíû íàïðàâëåí ïî íîðìàëèè ê ïîâåðõíîñòè,
à åå íîðìàëüíàÿ êðèâèçíà ñ òî÷íîñòüþ äî çíàêà ðàâíà êðèâèçíå ëèíèè.
Ãåîäåçè÷åñêèå ëèíèè ÿâëÿþòñÿ êðàò÷àéøèìè ìåæäó äâóìÿ äîñòàòî÷íî áëèçêèìè òî÷êàìè
ïîâåðõíîñòè. Ãåîäåçè÷åñêèå ëèíèè, ïàðàìåòðèçèðîâàííûå íàòóðàëüíûì ïàðàìåòðîì S , ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè (íåëèíåéíîé) ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé:
j
k
d2 ui
i du du
+
Γ
=0
jk
ds2
ds ds
2
(i = 1, 2)
Ñïîñîáû çàäàíèÿ ïîâåðõíîñòåé
1. Äëÿ òîãî ÷òîáû â êàæäîé òî÷êå íåêîòîðîé îáëàñòè èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðîâ u è v âåêòîð
⃗r(u, v) áûë îðòîãàíàëåí âåêòîðàì ∂u⃗r è ∂v ⃗r, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû |⃗r(u, v)| =
const. Äîêàæèòå.
2. Ïóñòü ⃗r = ⃗r(u, v) - âåêòîð-ôóíêöèÿ êëàññà C 1 . Äëÿ òîãî ÷òîáû âåêòîð ⃗r(u, v)èìåë ïîñòîÿííîå íàïðàâëåíèå,íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî,÷òîáû â îáëàñòè èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðîâ
u è v âåêòîð ⃗r(u, v) áûë êîëëèíåàðåí âåêòîðó ∂u⃗r è âåêòîðó ∂v ⃗r. Äîêàæèòå.
3. Äëÿ òîãî ÷òîáû îáðàç ãëàäêîé âåêòîð-ôóíêöèè ⃗r = ⃗r(u, v), óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèþ
∂u⃗r ̸∥ ∂v ⃗r, ïðèíàäëåæàë íåêîòîðîé ïëîñêîñòè,íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî,÷òîáû âåêòîðû
∂u⃗r è ∂v ⃗r áûëè ïàðàëëåëüíû ýòîé ïëîñêîñòè. Äîêàæèòå.
5
4. Â ïëîñêîñòè xOz çàäàíà ëèíèÿ x = f (u), z = g(u),íå ïåðåñåêàþùàÿ îñüOz. Íàéäèòå
ïàðàìåòðèçàöèþ ïîâåðõíîñòè ïðè âðàùåíèè ýòîé ëèíèè âîêðóã îñè Oz.
5. Íàïèøèòå óðîâíåíèå êàòèíîèäà,êîòîðûé ïîëó÷àåòñÿ ïðè âðàùåíèå öåïíîé ëèíèè x =
a ch( ua ), y = 0, z = uâîêðóã îñè Oz.
6. Íàïèøèòå óðàâíåíèå ïñåâäîñôåðû,êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ ïðè èðàùåíèè òðàêòðèñû x =
a sin u, y = 0, z = a(ln tg u2 ) + cos u)âîêðóã îñèOz
7. Íàïèøèòå óðàâíåíèå öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè,äëÿ êîòîðîé ëèíèÿ ρ
⃗=ρ
⃗(u) ÿâëÿåòñÿ
íàïðàâëÿþùåé, à îáðàçóþùèå ïàðàëëåëüíû âåêòîðó ⃗e.
8. Íàïèøèòå ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, îáðàçóþùèå êîòîðîé ïàðàëëåëüíû âåêòîðó ⃗a = {1, 2, 3}, à íàïðàâëÿþùàÿ çàäàíà óðàâíåíèÿìè x = u, y =
u2 , z = u3 .
9. Íàïèøèòå íåÿâíîå óðàâíåíèå öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ñ íàïðàâëÿþùåé ëèíèåé x =
cos u, y = sin u, z = 0 è ïðÿìîëèíåéíûìè îáðàçóþùèìè,ïàðàëëåëüíûìè âåêòîðó ⃗a =
{−1, 3, −2}.
10. Äàíà ïîâåðõíîñòü
x = 3u + v 2 + 1, y = 2u + v 2 − 1, z = −u + 2v :
(a) ïîêàæèòå, ÷òî ýòà ïîâåðõíîñòü öèëèíäðè÷åñêàÿ;
(b) íàïèøèòå óðàâíåíèå êàêîé-íèáóäü åå íàïðàâëÿþùåé ëèíèè;
(c) íàéäèòå ïðÿìîëèíåéíóþ îáðàçóþùóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó M(u=2, v=3).
11. Çàäàíà òî÷êà M(a,b,c) è ëèíèÿ L.
x = f (u), y = φ(u), z = ψ(u).
Íàïèøèòå â ïàðàìåòðè÷åñêîì è íåÿâíîì âèäå óðàâíåíèÿ êîíóñà ñ âåðøèíîé â Ì è ñ
íàïðàâëÿþùåé ëèíèåé L.
12. Ñîñòàâòå óðàâíåíèå êîíóñà, îáðàçóåìîãî ïðÿìûìè,ðïîõîäÿùèìè ÷åðåç òî÷êó M(a,b,c) è
ïåðåñåêàþùèìè ïàðàáîëó
y 2 = 2px , z = 0.
13. Ñîñòàâòå óðàâíåíèå êîíóñà, èìåþùåãî âåðøèíó â òî÷êå Ì(-1,0,0) è îïèñàííîãî îêîëî
ïàðàáîëîèäà 2y 2 + z 2 = 4x.
14. Íàïèøèòå ïàðàìåòðè÷åñèå óðàâíåíèÿ ôèãóðû, îáðàçîâàííîé êàñàòåëüíûìè ê äàííîé
ëèíèè ρ
⃗=ρ
⃗(u).
15. Îêðóæíîñòü ðàäèóñà a ïåðåìåùàåòñÿ òàê, ÷òî åå öåíòð äâèæåòñÿ ïî çàäàííîé ëèíèè
ρ
⃗=ρ
⃗(s) , à ïëîñêîñòü, â êîòîðîé îíà ðàñïîëîæåíà, ÿâëÿåòñÿ â êàæäûé ìîìåíò íîðìàëüíîé ïëîñêîñòüþ ýòîé ëèíèè.Ñîñòàâòå óðàâíåíèå ôèãóðû,îïèñûâàåìîé îêðóæíîñòüþ (ïîâåðõíîñòü òàêîãî âèäà íàçûâàåòñÿ òðóá÷àòîé).
16. Ïîâåðõíîñòü, äîïóñêàþùàÿ ïàðàìåòðèçàöèþ âèäà ⃗r = ⃗r1 (u) + ⃗r2 (v), ãäå ⃗r1 , ⃗r2 - ãëàäêèå âåêòîð-ôóíêöèè, íàçûâàåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ ïåðåíîñà. Ïîêàæèòå, ÷òî ïîâåðõíîñòü
ïåðåíîñà ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà ïîñòóïàòåëüíûì ïåðåìåùåíèåì íåêîòîðîé ëèíèè.
17. Ïîêàæèòå, ÷òî ýëèïòè÷åñêèé è ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèäû ÿâëÿþòñÿ ïîâåðõíîñòÿìè
ïåðåíîñà.
6
18. Ëèíåé÷àòîé íàçûâàåòñÿ ïîâåðõíîñòü, çàäàâàåìàÿ ïàðàìåòðè÷åñêèì óðàâíåíèåì
⃗r(u, v) = ρ
⃗(u) + v⃗a(u),
ãäå ρ
⃗=ρ
⃗(u) - âåêòîð-ôóíêöèÿ, çàäàþùàÿ íåêîòîðóþ êðèâóþ, ⃗a = ⃗a(u) - âåêòîð-ôóíêöèÿ,
çàäàþùàÿ ðàñïðåäåëåíèå ïðÿìîëèíåéíûõ îáðàçóþùèõ ëèíåé÷àòîé ïîâåðõíîñòè. Ñîñòàâòå óðàâíåíèå ëèíåé÷àòîé ïîâåðõíîñòè, îáðàçóþùèå êîòîðîé ïàðàëëåëüíû ïëîñêîñòè
y − z = 0 è ïåðåñåêàþò ïàðàáîëû y 2 = 2px, z = 0 è z 2 = −2px, y = 0.
19. Ñîñòàâòå óðàâíåíèå ëèíåé÷àòîé ïîâåðõíîñòè, îáðàçîâàííîé ïðÿìûìè, ïåðåñåêàþùèìè
êðèâóþ ρ
⃗ = {u, u2 , u3 }, ïàðàëëåëüíûìè ïëîñêîñòè xOy è ïåðåñåêàþùèìè îñü Oz.
3
Êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü, íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè
1. Íà ïîâåðõíîñòè x = u + cos v , y = u − sin v , z = λu äàíà òî÷êà M (u = 1, v = π/2:
(a) íàïèøèòå óðàâíåíèÿ êàñàòåëüíûõ ïðÿìûõ è íîðìàüíûõ ïëîñêîñòåé ê ëèíèÿì u = 1,
v = π/2 â òî÷êå Ì;
(b) ïîêàæèòå, ÷òî êàñàòåëüíàÿ â òî÷êå Ì ê ëèíèè u = sin v ÿâëÿåòñÿ êàñàòåëüíîé ê
ëèíèè u = 1 â ýòîé æå òî÷êå.
2. Íàïèøèòå óðàâíåíèÿ êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè è íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè x = u + v , y =
u − v , z = uv â òî÷êå M (u = 2, v = 1).
3. Íàïèøèòå óðàâíåíèÿ êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè è íîðìàëè â òî÷êå M (1, 3, 4) ïîâåðõíîñòè
x = u, y = u2 − 2uv, z = u3 − 3u2 v.
4. Ñîñòàâòå óðàâíåíèÿ êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè è íîðìàëè ê ïðÿìîìó ãåëèêîèäó
x = u cos v, y = u sin v, z = av.
Èññëåäóéòå ïîâåäåíèå íîðìàëè ïðè ñìåùåíèè å¼ âäîëü êîîðäèíàòíûõ ëèíèé.
5. Ïîêàæèòå, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå ïîâåðõíîñòè f (x−az, y−bz)
ïàðàëëåëüíà ôèêñèðîâàííîìó íàïðàâëåíèþ.
6. Äîêàæèòå, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü ê òðóá÷àòîé ïîâåðõíîñòè (ñì. çàäà÷ó 15) ïàðàëëåëüíà ôèêñèðîâàííîìó íàïðàâëåíèþ.
7. Ïîêàæèòå, ÷òî êàñàòåëüíûå ïëîñêîñòè ïîâåðõíîñòè
z = xφ(y/x)
ïðîõîäÿò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò.
8. Ïóñòü ïîâåðõíîñòü åñòü ÷àñòü ôèãóðû, îáðàçîâàííîé êàñàòåëüíûìè ê ëèíèè ⃗r = ⃗r(s). Íàïèøèòå óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå ïîâåðõíîñòè.Èññëåäóéòå
å¼ ïîâåäåíèå ïðè ñìåùåíèè òî÷êè êàñàíèÿ âäîëü ïðÿìîëèíåéíûõ îáðàçóþùèõ ïîâåðõíîñòè.
9. Ïîêàæèòå, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü, ïðîâåä¼ííàÿ â ëþáîé òî÷êå ëèíèè v = c íà ïîâåðõíîñòè x = u cos v, y = u sin v, z = f (v) + au, ïðîõîäèò ÷åðåç ôèêñèðîâàííóþ ïðÿìóþ.
10. Ïîâåðõíîñòü îáðàçîâàíà êàñàòåëüíûìè è êðèâîé L. Äîêàæèòå, ÷òî ýòà ïîâåðõíîñòü âî
âñåõ òî÷êàõ îäíîé è òîé æå êàñàòåëüíîé ê êðèâîé L èìååò îäíó è òóæå êàñà òåëüíéþ
ïëîñêîñòü.
7
11. Ïîâåðõíîñòü îáðàçîâàíà ãëàâíûìè íîðìàëÿìè êðèâîé L. Ñîñòàâòå óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ïëîñêîñòè è íîðìàëè â ðîèçâîëüíîé òî÷êå ïîâåðõíîñòè.
12. Ñîñòàâòå óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè è íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè, îáðàçîâàíîé áèíîðìàëÿìè êðèâîé L.
13. Äîêàæèòå, ÷òî íîðìàëü ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ ñîâïàäàåò ñ ãëàâíîé íîðìàëüþ ìåðèäèàíà è ïåðåñåêàåò îñü âðàùåíèÿ.
14. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè âñå íîðìàëè íîðìàëè ïîâåðõíîñòè ïåðåñåêàþò îäíó è òó æå ïðÿìóþ,
òî òî ïîâåðõíîñòü áóäåò ïîâåðõíîñòüþ âðàùåíèÿ.
15. Ëèíåé÷àòàÿ ïîâåðõíîñòü (ñì. îïðåäåëåíèå â çàäà÷å 18) íàçûâàåòüñÿ ðàçâ¼ðòûâàþùåéñÿ
, åñëè âî âñåõ òî÷êàõ ïðîèçâîëüíîé îáðàçóþùåé êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü ê ïîâåðõíîñòè
îäíà è òà æå.
Äîêàæèòå, ÷òî ëèíåé÷àòàÿ ïîâåðõíîñòü
⃗r = ρ
⃗(u) + v⃗a(u)
ÿâëÿåòüñÿ ðàçâ¼ðòûâàþùåéñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà (ρ′ , α, a′ ) = 0.
16. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáàÿ ðàçâåðòûâàþùàÿñÿ ïîâåðõíîñòü ìîæåò áûòü ðàçáèòà íà ñëåäóþùèå ÷àñòè: 1)÷àñòü ïëîñêîñòè; 2)÷àñòü öèëèíäðà; 3)÷àñòü êîíóñà; 4)÷àñòü ôèãóðû, îáðàçîâàíîé êàñàòåëüíûìè ê íåêîòîðîé íåïëîñêîé êðèâîé.
17. Íàéäèòå ïîâåðõíîñòü, çíàÿ, ÷òî âñå å¼ íîðìàëè ïåðåñåêàþòüñÿ â îäíîé òî÷êå.
4
Îãèáàþùàÿ ñåìåéñòâà ïîâåðõíîñòåé
1. Íàéäèòå îãèáàþùóþ ñåìåéñòâà ïîâåðõíîñòåé:
x2 + y 2 + (z + C)2 − 1 = 0.
2. Íàéäèòå îãèáàþùóþ ñåìåéñòâà ïîâåðõíîñòåé:
x + C 2 y + z − 2C = 0.
3. Íàéäèòå ðåáðî âîçâðàòà îãèáàþùåé ñåìåéñòâà ïîâåðõíîñòåé:
x sin α − y cos α + z = bα.
ãäå b = const, α−ïàðàìåòð.
4. Íàéäèòå îãèáàþùóþ ñåìåéñòâà ñôåð ïîñòîÿííîãî ðàäèóñà, öåíòðû êîòîðûõ ðàñïîëîæåíû íà äàííîé ëèíèè ρ
⃗=ρ
⃗(s) (òðóá÷àòàÿ ïîâåðõíîñòü).
5. Íàéäèòå îãèáàþùóþ íîðìàëüíûõ ïëîñêîñòåé ïðîñòðàíñòâåííîé ëèíèè, å¼ õàðàêòåðèñòèêè è ðåáðî âîçâðàòà.
6. Íàéäèòå îãèáàþùóþ ñïðÿìëÿþùèõ ïëîñêîñòåé ïðîñòðàíñòâåííîé ëèíèè,å¼ õàðàêòåðèñòèêè è ðåáðî âîçâðàòà.
7. Íàéäèòå îãèáàþùóþ è ðåáðî âîçâðàòà ñåìåéñòâà ïëîñêîñòåé
xα2 + yα + z = 0
ãäå α−ïàðàìåòð ñåìåéñòâà.
8. Íàéäèòå õàðàêòåðèñòèêè, îãèáàþùóþ è ðåáðî âîçâðàòà ñåìåéñòâà ïëîñêîñòåé
< ⃗r, ⃗n > +D = 0, ⃗n = ⃗n(u), D = D(u), |⃗n| = 1.
u−ïàðàìåòð ñåìåéñòâà.
8
5
I-ÿ è II-ÿ ôóíäàìåíòàëüíûå ôîðìû. Ãàóññîâà êðèâèçíà.
1. Íàéäèòå I êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó ïîâåðíîñòè âðàùåíèÿ 2 ïîðÿäêà.
2. Íàéäèòå ïåðâóþ êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó ïðÿìîãî ãåëèêîèäà
x = u cos v, y = u sin v, z = av
3. Âû÷èñëèòå ïåðâóþ êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó ñëåäóþùèõ ïîâåðõíîñòåé:
⃗(s) + λ⃗e, ⃗e = const;
(a) ⃗r = ρ
(b) ⃗r = v⃗
ρ(s);
(c) ⃗r = ρ
⃗(s) + λ⃗e(s), |⃗e(s)| = 1;
(d) ⃗r = ρ(s) + ⃗ν (s) cos φ + β(s) sin φ;
(e) ⃗r = (a + b cos v) cos u, (a + b cos v) sin u, b sin v ;
(f) ⃗r = {v cos u, v sin u, ku};
(g) ⃗r = ρ
⃗(s) + λ⃗ν (s);
⃗ .
⃗(s) + λβ(s)
(h) ⃗r = ρ
4. Ïîêàæèòå, ÷òî ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì âûáîðå êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàò âðàùåíèÿ íà
ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ å¼ ïåðâàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ê âèäó
ds2 = du2 + G(u)dv 2 .
5. Íàéäèòå óðàâíåíèÿ ëèíèé, ïåðåñåêàþùèõ ìåðèäèàíû ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ ïîä ïîñòîÿííûì óãëîì α (ëîêñîäðîìû). Íàéäèòå óðàâíåíèå ëîêñîäðîì íà ñôåðå.
6. Åñëè ñåìåéñòâî ëèíèé íà ïîâåðõíîñòè çàäàíî äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì A(u, v)du+
B(u, v)dv = 0, òî óðàâíåíèå îðòîãîíàëüíûõ òðàåêòîðèé, ò.å ëèíèé, ïåðåñåêàþùèõ çàäàííûå ëèíèè ïîä ïðÿìûì óãëîì, èìååò âèä
(BE − AF )du + (BF − AG)dv = 0.
Äîêàæèòå. Íàéäèòå îðòîãîíàëüíûå òðàåêòîðèè ïðÿìîëèíåéíûõ îáðàçóþùèõ êîíóñà.
7. Ñîñòàâòå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå îðòîãîíàëüíûõ òðàåêòîðèé ñåìåéñòâà ëèåèé φ(u, v) =
const íà ïîâåðõíîñòè.
(a) Íàéäèòå îðòîãîíàëüíûå òðàåêòîðèè ñåìåéñòâà ëèíèé u + v = const, ëåæàùèõ íà
ñôåðå x = R cos u cos v, R cos u sin v, R sin u;
(b) íàéäèòå îðòîãîíàëüíûå òðàåêòîðèè ñåìåéñòâà ëèíèé u = Cev , ëåæàùèõ íà êîñîì
ãåëèêîèäå x = u cos v, y = u sin v, z = u + v;
(c) íà êðóãîâîì êîíóñå x = u cos v, y = u sin v, z = u ðàññìàòðèâàåòñÿ ñåìåéñòâî ëèíèé
v = u2 + α, ãäå α - ïàðàìåòð. Íàéäèòå ñåìåéñòâî èõ îðòîãîíàëüíûõ òðàåêòîðèé.
8. (a) Âûâåäèòå óñëîâèå îðòîãîíàëüíîñòè äâóõ ñåìåéñòâ ëèíèé íà ïîâåðõíîñòè, îïðåäåëÿåìûõ äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì
P (u, v)du2 + Q(u, v)dudv + R(u, v)dv 2 = 0.
(b) Äîêàæèòå, ÷òî íà ïðÿìîì ãåëèêîèäå
x = u cos v, y = u sin v, z = av
äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå du2 − (u2 + a2 )dv 2 = 0 çàäàåò îðòîãîíàëüíóþ ñåòü.
9
9. (a) Äîêàæèòå, ÷òî ëèíèè, êîòîðûå â êàæäîé ñâîåé òî÷êå äåëÿò ïîïîëàì óãëû ìåæäó
êîîðäèíàòíûìè ëèíèÿìè, çàäàþòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíåèåì
√
√
Edu ± Gdv = 0.
(b) Íàéäèòå óðàâíåíèÿ ëèíèé íà ïðÿìîì ãåëèêîèäå x = u cos v, y = u sin v, z = av ,
äåëÿùèõ ïîïîëàì óãëû ìåæäó êîîðäèíàòíûìè ëèíèÿìè.
(c) Íàéäèòå óðàâíåíèÿ ëèíèé íà ñôåðå x = a cos u sin v, y = a sin u sin v, z = a cos v ,
äåëÿùèõ óãëû ìåæäó ïàðàëëåëÿìè è ìåðèäèàíàìè ïîïîëàì.
10. Íàéäèòå ïåðèìåòð èâíóòðåííèå óãëû êðèâîëèíåéíîãî òðåóãîëüíèêà u = ±av 2 /2, v = 1,
ðàñïîëîæåííîãî íà ïîâåðõíîñòè, ó êîòîðîé
ds2 = du2 + sh2 udv 2
11. Íàéäèòå óãîë ìåæëó ëèíèÿìè v = u + 1 è v = 3 − u íà ïîâåðõíîñòè x = u cos v, y =
u sin v, z = u2 .
12. Íàéäèòå ïëîùàäü ÷åòûðåõóãîëüíèêà íà ïðÿìîì ãåëèêîèäå x = u cos v, y = u sin v, z =
av , îãðàíè÷åííîãî ëèíèÿìè u = 0, u = a, v = 0, v = 1.
13. Íàéäèòå II êâàäðàòè÷íûå ôîðìû ïîâåðõíîñòåé âðàùåíèÿ 2-ãî ïîðÿäêà.
14. Ïîâåðõíîñòü s ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ ôèãóðû, ñîñòîÿùåé èç êàñàòåëüíûõ ê ïðîñòðàíñòâåííîé
ëèíèè. Íàéäèòå ãëàâíûå êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè s.
15. Íàéäèòå ãëàâíûå íàïðàâëåíèÿ è ãëàâíûå êðèâèçíû ïðÿìîãî ãåëèêîèäà x = u cos v, y =
u sin v, z = av . Äîêàæèòå, ÷òî ãëàâíûå íàïðàâëåíèÿ ïðÿìîãî ãåëèêîèäà äåëÿò ïîïîëàì
óãëû ìåæäó íàïðàâëåíèÿìè îáðàçóþùåé è âèíòîâîé ëèíèè.
16. Ïîêàæèòå, ÷òî â ëþáîé òî÷êå ïîâåðõíîñòè x = u cos v, y = u sin v, z = λu îäíî èç
ãëàâíûõ íîðìàëüíûõ ñå÷åíèé åñòü ïðÿìàÿ.
17. Íà ïîâåðõíîñòè x = u2 + v 2 , y = u2 − v 2 , z = av äàíà òî÷êà P(u=1,v=1) :
(a) âû÷èñëèòå ãëàâíûå êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè â òî÷êå P ;
(b) íàéäèòå óðàâíåíèÿ êàñàòåëüíûõ P T1 , P T2 ê ãëàâíûì íîðìàëüíûì ñå÷åíèÿì â óêàçàííîé òî÷êå;
(c) âû÷èñëèòå êðèâèçíó íîðìàëüíîãî ñå÷åíèÿ â òî÷êå P , ïðîõîäÿùåãî ÷åðåç êàñàòåëüíóþ ê ëèíèè v = u2 .
18. (a) Íàéäèòå âûðàæåíèå ïîëíîé êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè, îòíåñåííîé ê ïîëóãåîäåçè÷åñêèì êîîðäèíàòàì, ò.å ê òàêèì, â êîòîðûõ ïåðâàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà èìååò âèä
ds2 = du2 + G(u, v)dv 2 .
(b) Íàéäèòå ïîëíóþ êðèâèçíó ïîâåðõíîñòè, ïåðâàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà êîòîðîé èìååò
âèä
ds2 = du2 + e2 udv 2 .
19. Ïîêàæèòå, ÷òî åñëè ïåðâàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïîâåðõíîñòè èìååò âèä
ds2 = du2 + 2 cos ωdudv + dv 2 .
òî åå Ãàóññîâà êðèâèçíà âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå K =
10
2
∂uv
ω
sin ω .
20. Ïîâåðõíîñòü S åñòü ÷àñòü ôèãóðû, îáðàçîâàííîé ãëàâíûìè íîðìàëÿìè (áèíîðìàëÿìè)
ïðîñòðàíñòâåííîé ëèíèè. Íàéäèòå ïîëíóþ êðèâèçíó ïîâåðõíîñòè S .
21. Ïîêàæèòå, ÷òî âñå òî÷êè ïîâåðõíîñòè x + y = z 3 ïàðàáîëè÷åñêèå.
22. Ïîêàæèòå, ÷òî òî÷êè îêðóãëåíèÿ ïîâåðõíîñòè
x=
u2
v2
+ v, y = u + , z = uv
2
2
íàõîäÿòñÿ íà ëèíèÿõ u = v , u + v + 1 = 0.
23. Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êè îêðóãëåíèÿ õàðàêòåðèçóþòñÿ ðàâåíñòâîì
H 2 = K.
24. Äàíà êðèâàÿ ρ
⃗=ρ
⃗(u) ñ íàòóðàëüíûì ïàðàìåòðîì u, êðèâèçíîé k = k(u) è êðó÷åíèåì
κ = κ(u) ̸= 0. Ïóñòü ⃗τ = ⃗τ (u) - îðò êàñàòåëüíîé ê ýòîé êðèâîé. Äëÿ ïîâåðõíîñòè
êàñàòåëüíûõ
⃗r(u, v) = ρ
⃗(u) + v⃗τ (u), v > 0.
Íàéäèòå:
a)K ; b)H ,
25. Âû÷èñëèòå Ãàóññîâó è ñðåäíþþ êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè:
⃗r = {3u + 3uv 2 − u3 , v 3 − 3v − 3u2 v, 3(u2 − v 2 )}.
26. Íàéäèòå ïîëíóþ è ñðåäíþþ êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè, îáðàçîâàííîé áèíîðìàëÿìè äàííîé
êðèâîé.
27. Íàéäèòå ïîëíóþ è ñðåäíþþ êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè, îáðàçîâàííîé ãëàâíûìè íîðìàëÿìè
äàííîé êðèâîé.
28. Ïóñòü S - íåêîòîðàÿ äàííàÿ ïîâåðõíîñòü. Îòëîæèì íà íîðìàëÿõ ê ïîâåðõíîñòè S â
îäíîì íàïðàâëåíèè îòðåçêè ïîñòîÿííîé äëèíû. Êîíöû îòëîæåííûõ îòðåçêîâ îïèñûâàþò
ïîâåðõíîñòü S ∗ , "ïàðàëëåëüíóþ"ïîâåðõíîñòè S . Åñëè óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè S åñòü ⃗r =
⃗r(u, v), òî óðàâíåíèå S ∗ ,
ρ
⃗ = ⃗r(u, v) + a⃗n(u, v),
ãäå ⃗n- åäèíè÷íûé âåêòîð íîðìàëè ê S . Âûðàçèòå êîýôôèöèåíòû ïåðâîé è âòîðîé êâàäðàòè÷íûõ ôîðì ïîâåðõíîñòè S ∗ ÷åðåç êîýôôèöèåíòû ïåðâîé è âòîðîé êâàäðàòè÷íûõ
ôîðì ïîâåðõíîñòè S .
29. Âûðàçèòå ïîëíóþ êðèâèçíó K ∗ ïîâåðõíîñòè S ∗ ,"ïàðàëëåëüíîé"ïîâåðõíîñòè S , ÷åðåç
ïîëíóþ è ñðåäíþþ êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè S .
30. Âûðàçèòå ñðåäíþþ êðèâèçíó H ∗ ïîâåðõíîñòè S ∗ , "ïàðàëëåëüíîé"ïîâåðõíîñòè S , ÷åðåç
ïîëíóþ è ñðåäíþþ êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè S .
31. Ïëîñêàÿ êðèâàÿ γ çàäàíà óðàâíåíèåì ρ
⃗=ρ
⃗(s), ãäå s - íàòóðàëüíûé ïàðàìåòð, k(s) åå
êðèâèçíà (0 < k < a1 ), ⃗ν îðò ãëàâíîé íîðìàëè ê γ , β⃗ îðò íîðìàëè ê ïëîñêîñòè êðèâîé γ . Íàéäèòå Ãàóññîâó, ñðåäíþþ êðèâèçíó è ëèíèè êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè, çàäàííîé
⃗ sin φ.
óðàâíåíèåì ⃗r(u, v) = ρ
⃗(u) + a⃗v (u) cos φ + aβ
11
6
Ñïåöèàëüíûå ñåìåéñòâà ëèíèé íà ïîâåðõíîñòè.
1. Íàéäèòå óñëîâèå ñîïðÿæåííîñòè äâóõ ñåìåéñòâ ëèíèé íà ïîâåðõíîñòè, îïðåäåëÿåìûõ
äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì
P (u, v)du2 + Q(u, v)dudv + R(u, v)dv 2 = 0;
2. Ëèíèè v 2 du2 −u2 dv 2 = 0, ëåæàùèå íà ãåëèêîèäå x = u cos v , y = u sin v , z = av , îáðàçóþò
ñîïðÿæåííóþ ñåòü. Äîêàæèòå.
3. Îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ëèíèé íà ïîâåðõíîñòè çàäàíî äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì
A(u, v)du + B(u, v)dv = 0.
Íàéäèòå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ñåìåéñòâà ëèíèé, ñîïðÿæåííûõ ñ äàííûìè.
4. Ñîñòàâüòå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ñåìåéñòâà ëèíèé íà ïîâåðõíîñòè, îáðàçóþùèõ
ñîïðÿæåííóþ ñåòü ñ ñåìåéñòâîì ëèíèé
φ(u, v) = const,
5. Íàéäèòå ëèíèè, ñîïðÿæåííûå ñ ñåìåéñòâîì ëèíèé u + v = C íà êîñîì ãåëèêîèäå x =
u cos v , y = u sin v , z = u + v .
6. Íàéäèòå àññèìïòîòè÷åñêèå ëèíèè êàòåíîèäà x = cosh u cos v , y = cosh u sin v , z = u.
7. Eñëè â íåêîòîðîé òî÷êå ïîâåðõíîñòè ñðåäíÿÿ êðèâèçíà ðàâíà íóëþ, òî àñèìïòîòè÷åñêèå
íàïðàâëåíèÿ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû.Äîêàæèòå.
8. Äîêàæèòå, ÷òî ëèíèÿ l ïîâåðõíîñòè è åå ñôåðè÷åñêîå îòîáðàæåíèå l′ èìåþò â ñîîòâåòñòâóþùèõ òî÷êàõ ïåðïåíäèêóëÿðíûå êàñàòåëüíûå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà l åñòü
àñèìïòîòè÷åñêàÿ ëèíèÿ.
9. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ àñèìïòîòè÷åñêîé ëèíèè íà ïîâåðõíîñòè κ 2 = −K , ãäå κ êðó÷åíèå
ëèíèè, K Ãàóññîâà êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè â òî÷êàõ ëèíèè.
10. Íàéäèòå êðó÷åíèå àñèìïòîòè÷åñêèõ ëèíèé íà ïîâåðõíîñòè, îáðàçîâàííîé áèíîðìàëÿìèäàííîé êðèâîé.
11. Íàéäèòå êðó÷åíèå àñèìïòîòè÷åñêèõ ëèíèé íà ïîâåðõíîñòè, îáðàçîâàííîé ãëàâíûìè íîðìàëÿìè äàííîé êðèâîé.
12. Äîêàæèòå, ÷òî íîðìàëüíàÿ êðèâèçíà îðòîãîíàëüíîé òðàåêòîðèè àñèìïòîòè÷åñêèõ ëèíèé ðàâíà ñðåäíåé êðèâèçíå ïîâåðõíîñòè.
13. Íàéäèòå ëèíèè êðèâèçíû ñëåäóþùèõ ïîâåðõíîñòåé:
(a) ïðîèçâîëüíîé öèëèíäðè÷åñêîé;
(b) ïðîèçâîëüíîé êîíè÷åñêîé;
(c) ïðîèçâîëüíîé ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ;
(d) ïîâåðõíîñòè x = u2 + v 2 , y = u2 − v 2 , z = v.
14. Ïîêàæèòå, ÷òî êîîðäèíàòíûå ëèíèè ïîâåðõíîñòè
x = 3u − u3 + 3uv 2 , y = v 3 − 3u2 v − 3v, z = 3(u2 − v 2 )
ÿâëÿþòñÿ ëèíèÿìè êðèâèçíû.
12
15. Äîêàæèòå, ÷òî â îáëàñòè ãèïåðáîëè÷åñêèõ òî÷åê ïîâåðõíîñòè ëèíèè êðèâèçíû â êàæäîé
òî÷êå äåëÿò ïîïîëàì óãëû ìåæäó àñèìïòîòè÷åñêèìè ëèíèÿìè.
16. Ïîêàæèòå, ÷òî ëèíèÿì êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè S íà ýêâèäèñòàíòíîé åé ïîâåðõíîñòè òàêæå ñîîòâåòñòâóþò ëèíèè êðèâèçíû.
17. Äîêàæèòå, ÷òî ëèíèÿ êðèâèçíû ïëîñêàÿ, åñëè ñîïðèêîñàþùàÿñÿ ïëîñêîñòü åå îáðàçóåò
ïîñòîÿííûé óãîë ñ êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòüþ ïîâåðõíîñòè.
18. Äîêàæèòå, ÷òî âñÿêàÿ ïðÿìàÿ íà ïîâåðõíîñòè ÿâëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé ëèíèåé.
19. Äîêàæèòå, ÷òî ìåðèäèàíû ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ãåîäåçè÷åñêèìè ëèíèÿìè.
20. Äîêàæèòå, ÷òî ãåîäåçè÷åñêàÿ ëèíèÿ ÿâëÿåòñÿ àññèìïòîòè÷åñêîé òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà îíà ïðÿìàÿ.
21. Äîêàæèòå, ÷òî ãåîäåçè÷åñêàÿ ëèíèÿ ÿâëÿåòñÿ ëèíèåé êðèâèçíû òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà îíà ïëîñêàÿ.
22. Èçâåñòíî,÷òî ïîâåðõíîñòü
⃗r = ⃗r(u, v),
u1 < u < u2 ,
v1 < v < v2
èìååò ïåðâè÷íóþ êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó ds2 = du2 + b2 (u, v) dv 2 . Íàéäèòå ïëîùàäü σ ∗
ñôåðè÷åñêîãî îáðàçà ýòîé ïîâåðõíîñòè.
7
Ðàçíûå çàäà÷è
1. Ïóñòü íà ñôåðå ðàäèóñà R0 äàí òðåóãîëüíèê T , ïëîùàäü êîòîðîãî σ à ñòîðîíû ÿâëÿþòüñÿ äóãàìè áîëüøèõ îêðóæíîñòåé. Íàéäèòå ñóììó âíóòðåííèõ óãëîâ òðåóãîëüíèêà T
.
2. Ïóñòü T -òðåóãîëüíèê, ñòîðîíû êîòîðîãî ãåîäåçè÷åñêèå ëèíèè, ïîñòðîåííûå íà ïîâåðõíîñòè ñ ïîñòîÿííîé ãàóññîâîé êðèâèçíîé K < −a2 < 0, Çíàÿ ïëîùàäü Σ òðåéãîëüíèêà
T , íàéäèòå ñóììó åãî âíóòðåííèõ óãëîâ.
2
2
3. Ïîâåðõíîñòü S ïîëó÷åíà â ðåçóëüòàòå íåêîòîðîãî èçãèáàíèÿ ÷àñòè ýëëèïñîèäà xa2 + yb2 +
z2
c2 = 1, îïðåäåëÿåìîé íåðàâåíñòâàìè x > 0, y > 0, z > 0, Íàéäèòå ïëîùàäü ñôåðè÷åñêîãî
îáðàçà ïîâåðõíîñòè S .
4. Ïîâåðõíîñòü S çàäàíà âåêòîð-ôóíêöèåé âèäà ⃗r = ⃗r(U, V ), ïðèíàäëåæàùåé êëàññó C 2 ,
Ïðîâåðòå, ÷òî âåëè÷èíà d⃗n2 =< d⃗n, d⃗n >, ãäå ⃗n-îðò íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè S , ïðåäñòàâäÿåò ñîáîé êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó îòíîñèòåëüíî äèôôåðåíöèàëîâ du, dv (òàê íàçûâàåìîÿ
òðåòüÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïîâåðõíîñòè S ). Âûðàçèòå d⃗n2 ÷åðåç ïåðâóþ è âòîðóþ
êâàäðàòè÷íûå ôîðìû ïîâåðõíîñòè S .
5. Äîêàæèòå, ÷òî íà ìèíèìàëüíîé ïîâåðõíîñòè ñóììà êâàäðàòîâ êðèâèçíû è êðó÷åíèÿ
ãåîäåçè÷åñêîé ëèíèè ðàâíà −k .
6. Äîêàæèòå, ÷òî ïëîñêîñòü è êàòåíîèä ÿâëÿþòüñÿ åäèíè÷íûìè ìèíèìàëüíûìè ïîâåðõíîñòÿìè âðàùåíèÿ.
7. Äîêàæèòå, ÷òî ñðåäè ëèíåé÷àòûõ ïîâåðõíîñòåé ìèíèìàëüíûìè ÿâëÿþòüñÿ ïëîñêîñòü è
ïðÿìîé ãåëèêîèä.
13
8. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ñðåäíåé êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè èìååò ìåñòî ôîðìóëà
dσ − dσ ∗
,
a→0
2aσ
ãäå dσ è dσ ∗ -ñîîòâåòñòâóþùèå ýëåìåíòû ïëîùàäè ýêâèäèñòàíòíûõ ïîâåðõíîñòåé S è S ∗
.
H = lim
9. Äîêàæèòå, ÷òî ãàóññîâà êðèâèçíà ìåòðèêè ds2 = f (u, v)(du2 + dv 2 ) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå
1
K = − ∆ ln f
2f
ãäå ∆ =
∂2
∂u2
+
∂2
∂v 2
-îïåðàòîð Ëàïëàñà.
10.  êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè â òî÷êå Ì ïîâåðõíîñòè ïðîâåäåíî n ïðÿìûõ, îáðàçóþùèõ ìåæäó ñîáîé ðàâíûå óãëû π/n.Ïîêàæèòå, ÷òî
(
)
1 1
1
1
+
+ ··· +
=H ,
n r1
r2
rn
ãäå 1/ri -íîðìàëüíûå êðèâèçíû ëèíèé íà ïîâåðõíîñòè, êàñàþùèõñÿ äàííûõ ïðÿìûõ.
11. ×åðåç âåðøèíó Ì ýëèïñîèäà âðàùåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ ïî íåìó âñåâîçìîæíûå ëèíèè.Íàéäèòå
ôèãóðó, ñîñòîÿùóþ èç öåíòðîâ êðèâèçíû ýòèõ ëèíèé â òî÷êå Ì.
12. Äîêàæûòå, ÷òî ëèíèÿ l ïîâåðõíîñòè è åå ñôåðè÷åñêîå îòîáðàæåíèå l' èìåþò â ñîîòâåòñòâóþùèõ òî÷êàõ ïåðïåíäèêóëÿðíûå êàñàòåëüíûå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà l åñòü
àñèìïòîòè÷åñêàÿ ëèíèÿ.
13. Äîêàæèòå, ÷òî íà ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ âäîëü ëþáîé ãåîäåçè÷åñêîé ëèíèè âûïîëíÿåòñÿ
ñîîòíîøåíèå
ρ cos µ = c ,
ãäå ρ-ðàññòîÿíèå òî÷êè ãåîäåçè÷åñêîé îò îñè âðàùåíèÿ, µ-óãîë ìåæäó ãåîäåçè÷åñêîé è
ïàðàëëåëüþ,c-ïîñòîÿííîå äëÿ äàííîé ãåîäåçè÷åñêîé ÷èñëî (òåîðåìà Êëåðî).
14. Âåðíà ëè îáðàòíàÿ òåîðåìà,ò.å. ñëåäóåò ëè èç âûïîëíåíèÿ óêàçàííîãî ñîîòíîøåíèÿ âäîëü
íåêîòîðîé ëèíèè íà ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî ýòà ëèíèÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ?
15. Ïóñòü S ïîâåðõíîñòü îáðàçîâàíà êàñàòåëüíûìè ïðÿìûìè ê äàííîé êðèâîé ñ êðèâèçíîé
k . Äîêàæèòå, ÷òî åñëè êðèâàÿ èçãèáàåòñÿ ñ ñîõðàíåíèåì S , òî è ïîâåðõíîñòü S ñîõðàíÿåò
ìåòðèêó.
16. Ïóñòü P ýëëèïòè÷åñêàÿ òî÷êà íà ïîâåðõíîñòè. Îáîçíà÷èì ÷åðåç V îáúåì, çàêëþ÷åííûé
ìåæäó êàñàòåëüíîé ïîâåðõíîñòè â òî÷êå P è ïàðàëëåëüíîé åé ñåêóùåé, ïðîâåäåííîé íà
ðàññòîÿíèè h îò êàñàòåëüíîé. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ Ãàóññîâîé êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè èìååò
ìåñòî ïðåäåëüíîå ðàâåíñòâî
K(P ) = lim (πh2 /V )2 ,
h→+0
17. Ïóñòü P ýëëèïòè÷åñêàÿ òî÷êà íà ïîâåðõíîñòè. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Σ ïëîùàäü ÷àñòè
ïîâåðõíîñòè, çàêëþ÷åííîé ìåæäó êàñàòåëüíîé ïîâåðõíîñòè â òî÷êå P è ïàðàëëåëüíîé
åé ñåêóùåé, ïðîâåäåííîé íà ðàññòîÿíèè h îò êàñàòåëüíîé. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ Ãàóññîâîé
êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè èìååò ìåñòî ïðåäåëüíîå ðàâåíñòâî
K(P ) = lim (2πh/Σ)2 .
h→+0
14
18. Ïóñòü γ -çàìêíóòàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ ëèíèÿ áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé íà çàìêíóòîé âûïóêëîé
ïîâåðõíîñòè S . Äîêàæèòå, ÷òî ñôåðè÷åñêèé îáðàç êðèâîé γ äåëèò ãàóññîâó ñôåðó íà äâå
ðàâíîâåëèêèå ÷àñòè.
8
Îòâåòû, óêàçàíèÿ, ðåøåíèÿ
⟨
⟩
3. Óêàçàíèå: ðàññìîòðåòü ôóíêöèþ f (u, ϑ) = ⃗r(u, ϑ) − ⃗r0 , ⃗n è ïîêàçàòü, ÷òî f (u, ϑ) =
const.
4. x = f (u) cos ϑ, y = f (u) sin ϑ, z = g(u).
5. x = a ch(u/a) cos ϑ, y = a ch(u/a) sin ϑ, z = u.
6. x = a sin u cos ϑ, y = a sin u sin ϑ, z = a(ln tan u2 + cos u)
7. ⃗r = ρ
⃗(u) + ϑ⃗l,
8. x = u + ϑ, y = u2 + 2ϑ, z = u3 + 3ϑ.
9. (x − z/2)2 + (y + 32 z)2 = 1.
10.
á) Íàïðèìåð, x = ϑ2 + 1, y = ϑ2 − 1, z = 2ϑ,
â) − x−16
=
3
y−12
2
=
z−4
−1 .
11. x − a = ϑ(f (u) − a), y − b = ϑ(φ(u) − b), z − c = ϑ(ψ(u) − c)
Èñêëþ÷àÿ u è ϑ, íàéäåì íåÿâíîå óðàâíåíèå.
(
)
x−a y−b
F
,
= 0.
z−c z−c
12. (bz − cy)2 = 2p(z − c)(az − cx),
13. (x + 1)2 = 2y 2 + z 2
14. ⃗r = ρ
⃗(u) + v⃗
ρ ′ (u)
15. ⃗r = ρ
⃗(s) + a
(
¨
ρ
⃗
|⃗
ρ|
cos α +
¨
ρ
⃗˙ ×ρ
⃗
sin α
|ρ
⃗˙ ×⃗¨
ρ|
)
, ãäå α -óãîë ìåæäó ãëàâíîé íîðìàëüþ ëèíèè è ðàäè-
óñîì îêðóæíîñòè, èäóùèì â ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ïîâåðõíîñòè òðóáêè.
18. Ïàðàìåòðè÷åñêîå:
⃗r =
{
}
{ 2
} { 2
}
u2
u
u
, u, o + v
, u, u =
(1 + 2u), (1 + v)u, uv
2p
p
2p
Íåÿâíîå: y 2 − z 2 = 2px.
19. ⃗r = uv, u2 v, u3
20. (a) Êàñàòåëüíûå ïðÿìûå:
y = 0, z = λ
x−1
y
z−λ
= =
;
1
1
λ
(b) Íîðìàëüíûå ïëîñêîñòè:
x − 1 = 0, (x − 1) + y + λ(z − λ) = 0.
15
21. 3x − y − 2z − 4 = 0,
22. 6x + 3y − 2z − 7 = 0,
x−3
3
=
x−1
6
y−1
−1
=
=
y−3
3
z−2
−2
=
z−4
−2
23. xa sin v − ya cos v + zu − auv = 0
x − u cos v
y − u sin v
z − av
=
=
.
a sin v
−a cos v
u
⃗ − ⃗r(s), ⃗r˙ (s), ⃗r¨(s)) = 0. Êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü íåèçìåííà âäîëü îáðàçóþùåé s = s0
27. (R
28. Âñå ïëîñêîñòè ïðîõîäÿò ÷åðåç ïðÿìóþ
y = x tg α, ax cos c + ay sin c − z + f (c) = 0.
⃗ − λk β⃗ − λκ⃗τ ) >= 0. Íîðìàëü: R
⃗ −ρ
⃗ =ρ
29. Êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü: < (R
⃗ − λ⃗ν ), (β
⃗ + λ⃗ν +
⃗ − λκ⃗τ ).
ξ(β
⃗ (⃗ν +λκ⃗τ ) >= 0. Íîðìàëü: R
⃗
⃗ ρ−λβ),
⃗ =ρ
30. Êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü: < (R−⃗
⃗+λβ+ξ(⃗
ν +λκ⃗τ ) =
0.
33. Óêàçàíèå. Ïóñòü ⃗a íàïðàâëÿþùèé âåêòîð óêàçàííîé ïðÿìîé, ⃗r-ðàäèóñ-âåêòîð ïîâåðõíîñòè. Ïîêàæèòå,÷òî < ⃗r, ⃗ru >< ⃗a, ⃗rv > − < ⃗r, ⃗rv >< ⃗a, ⃗ru >= 0 è ïðèíÿòü âåêòîð ⃗a çà
íàïðàâëåíèå îñè Oz ñèñòåìû êîîðäèíàò.
36. Ñôåðà èëè åå ÷àñòü.
37. x2 + y 2 = 1 êðóãîâîé öèëèíäð.
38. xy + yz = 1 ãèïåðáîëè÷åñêèé öèëèíäð.
39. Âèíòîâàÿ ëèíèÿ x = b cos α, y = b sin α, z = bα.
⃗ −ρ
⃗ =ρ
⃗(s))2 = (⃗a)2 , Óðàâíåíèå äèñêðèìèíàíòû R
⃗+
40. Óêàçàíèå: óðàâíåíèå ñåìåéñòâà (R
⃗
a(β cos α + ⃗ν sin α)
41. Äèñêðèìèíàíòà çàäàåòñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé:
{ ⟨
⟩
⃗ − ⃗r(s), τ (s) = 0,
R
⟨
⟩
⃗ − r(s), ν(s) k(s) − 1 = 0.
R
Õàðàêòåðèñòèêè ïàðàëëåëüíû áèíîðìàëÿì è ïðîõîäÿò ÷åðåç öåíòðû êðèâèçíû ëèíèè.
⃗
⃗ = ⃗r + 1 ⃗ν + 1 β
Ðåáðî âîçâðàòà R
k
kκ .
42. Äèñêðèìèíàíòà çàäàåòñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé:
⟩
⟨
⃗ − r(s), ν(s) = 0,
R
⟨
⟩
⃗
⃗ − r(s), κ β(s)
R
− kτ (s) = 0.
Õàðàêòåðèñòèêè íàïðàâëåíû ïî âåêòîðàì Äàðáó. Ðåáðî âîçâðàòà
⃗ = ⃗r +
R
kκ
k2
⃗
⃗
τ
+
β.
kκ ′ − k ′ κ
kκ ′ − k ′ κ
43. Îãèáàþùàÿ: y 2 = 4xz ,ðåáðî âîçâðàòà- òî÷êà (íà÷àëî êîîðäèíàò).
16
′
′
44. Îãèáàþùàÿ: ⃗r = −D⃗n − D|⃗n⃗n′ | +λ⃗n ×⃗n ′ ,õàðàêòåðèñòèêè-ïðÿìûå u = const, ðåáðî âîçâðàòà:
⃗r =
D⃗
n′ ∗⃗
n′′ ∗D ′ ⃗
n′′ ∗D ′′ ⃗
n∗⃗
n′
(⃗
n,⃗
n′ ,⃗
n′′ )
45. ds2 = (f ′2 + g ′2 )du2 + f 2 dv 2
46. ds2 = du2 + (u2 + a2 ) dv 2
47. (a) ds2 + 2 < ⃗τ , ⃗e > ds dα + dα2
(b) v 2 ds2 + 2v < ⃗τ , ρ
⃗ > ds dv + ρ
⃗2 dv 2
(c) (⃗τ + λ ⃗e′s )2 ds2 + 2 < ⃗e, ⃗τ > ds dλ + dλ2
(d) {(1 − r cos φ)2 + κ 2 }ds2 + 2κds dφ + dφ2
(e) (a + b cos v)2 du2 + b2 dv 2
(f) (v 2 + k 2 )du2 + dv 2
(g) {(1 − λk)2 + κ 2 λ2 }ds2 + dλ2
(h) (1 + λ2 κ 2 )ds2 + dλ2
49. Óðàâíåíèå ëîêñîäðîì: v ctgα = ±
Íà ñôåðå: v ctg = ± ln tg(π/4 +
∫u
√du , ãäå G(u) âûáðàíî, êàê â çåäà÷å h.
u0
u
2k ).
G(u)
50. Çàïèñûâàÿ óðàâíåíèå êîíóñà â âèäå ⃗r = v · ⃗e(u),
|⃗e(u)| = 1, ïîëó÷àåì:
∫
tgα · ln v =
|e−1 (u)|du,
51. (Eφv − F φu )du + (F φv − Gφu )dv = 0.
(a) v − tg u = const
(b) u2 + u + 1 = C1 e−v , C1 = const
(c) v =
1
u2
+λ
52. (a) ER + F Q + GP = 0
√
53. (b) ln(u + u2 + a2 ) ± v = const.
(c) u ± ln tg v2 = const.
54. p =
10
3 a, cos α
= 1, cos β = 32 , cos γ = 23 .
55. cos α = 2/3.
√
2 √
56. S = a2 [ 2 + ln(1 = 2)].
58. Åñëè óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè çàïèñàòü â âèäå
⃗r = p⃗(s) + t⃗τ (s), òî k1 = 0, k2 = κ/vk , ãäå k è
κ -êðèâèçíà è êðó÷åíèå êðèâîé ρ
⃗(s).
√
a
du
u 2 = a2 .
59. k1 = −k2 = u2 +a
2 , dv = ±
61. (a) k1 =
1
√
,
2 5
(b) x − 2 = 0, z − 1 = 0, x−2
y =
(c) kn =
z−1
2 ,y
= 0,
2√
49 5
17
√
√
62. (a) k = −( G)uu / G,
(b) k = −1.
64. Êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè ãëàâíûõ íîðìàëåé
K=−
κ2
.
[(1 − vk)2 + vκ 2 ]2
Êðèâèçíà ïîâåðõíîñòåé áèíîðìàëåé
K=−
κ2
,
[1 + v 2 κ 2 ]2
ãäå k è κ êðèâèçíà è êðó÷åíèå èñõîäíîé êðèâîé.
68. (a) K = 0,
κ
(b) H =
.
2kv
69. K = −
4
,
9(u2 + v 2 + 1)4
⃗
70. ⃗r = ρ
⃗(s) + uβ(s),
71. K = −
H=0
K=−
k + kκ 2 u2 − uκ ′
κ2
,
H
=
(1 + u2 ∗ κ 2 )2
(1 + u2 κ 2 )3/2
κ2
u2 (k ′ κ − kκ ′ ) = uκ ′
, H=
2
2
2
2
[(1 − ku) + u κ ]
2[(1 − ku2 )2 + u2 κ 2 ]3/2
72. (a) E ∗ = (E − 2aL + a2 (2HL − EK)),
(b) F ∗ = ((1 − a2 K)F + 2a(aH − 1)M ),
(c) G∗ = ((1 − a2 K)G + 2a(aH − 1)N ),
(d) L∗ = (aEK + (1 − 2aH)L),
(e) M ∗ = (M − a(2M H − F K)),
(f) N ∗ = (N − a(2N H − GK)),
ãäå E, F, G, L, M, N - êîýôôèöèåíòû ïåðâîé è âòîðîé êâàäðàòè÷íûõ ôîðì ïîâåðõíîñòè
S; K, H - ãàóññîâà è ñðåäíÿÿ êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè S.
73. K ∗ =
K
1 − 2aH + a2 K
74. H ∗ =
H − aK
1 − 2aH + a2 K
75. 1)K = −
k cos φ
a(1 − ak cos φ
2) H = −(1 − ak cos φ)2
3) u = const, φ = const.
76. (a) LR − M Q + N F = 0.
77.
(LB − M A)du + (M B − N A)dv = 0,
(Lφv − M φu )du + (M φv − N φu )dv = 0,
v = arctg u + C.
78. u ± v = const.
⃗ = ±⃗n. Âûáðàòü íà ïîâåðõíîñòè êîîðäèíàòíóþ
81. Óêàçàíèå.Íà àñèìïòîòè÷èñêîé ëèíèè β
îñü èç ëèíèé êðèâèçíû è âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëàìè Ðîäðèãà.
18
κ
.
1 + u2 κ 2
κ
83.
.
(1 − ku)2 + u2 κ 2
82.
85.
a) Ïðÿìîëèíåéíûå îáðàçóþøèå è èõ îðòîãîíàëüíûå òðàåêòîðèè,êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ
ïëîñêèìè ñå÷åíèÿìè;
b) ïðÿìîëèíåéíûå îáðàçóþøèå è ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ñôåð ïðîèçâîëüíîãî ðàäèóñà ñ
öåíòðîì â âåðøèíå êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ñ êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ;
c) ïàðàëëåëè è ìåðåäèàíû;
d) êîîðäèíàòíûå ëèíèè.
94. σ ∗ =
∫v2
u
∫2
dv
v1
|Buv (u, v)| du
u1
96. π + σ/R02 .
97. π − a2 σ.
98. σ ∗ =
π
2.
99. d⃗n2 = 2H < ⃗n, d2⃗r > −Kds2 .
100. Óêàçàíèå. Ïóñòü ⃗n -åäèíè÷íûé âåêòîð íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè. Äîêàçàòü,÷òî âäîëü ëþáîé êðèâîé íà ïîâåðõíîñòè
(
d⃗n
ds
)2
= 2H · II − K · I,
ãäå I è II ïåðâàÿ è âòîðàÿ êâàäðàòè÷íûå ôîðìû, H è K -ñðåäíÿÿ è ãàóññîâà êðèâèçíû.
Äàëåå âîñïîëüçîâàòüñÿ òåì ôàêòîì, ÷òî âäîëü ãåîäåçè÷åñîé ⃗n = ⃗ν è âîñïîëüçîâàòüñÿ
ôîðìóëàìè Ôðåíå.
103. Óêàçàíèå. Ââåñòè íà ïîâåðõíîñòè S êîîðäèíàòíóþ ñåòü èç ëèíèé êðèâèçíû è âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëàìè Ðîäðèãà.
104. Óêàçàíèå. Âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé Ãàóññà-Áîííå.
105. Óêàçàíèå. Çàïèñàòü ôîðìóëó Ýéëåðà â âèäå:
R1 + R2
R1 − R2
i−1
1
=
−
cos 2 (φ +
π)
ri
2R1 R2
2R1 R2
n
ãäå
1
1
R1 , R2
-ãëàâíûå êðèâèçíû (i = 1, . . . , n).
106. Ñôåðà.
108. Óêàçàíèå.Ïðîâåðèòü,÷òî ρ cos µ = (⃗e, ⃗r, ⃗τ ) ,ãäå ⃗e - îðò îñè âðàùåíèÿ, ⃗r - ðàäèóñ-âåêòîð
òî÷êè íà ãåîäåçè÷åñêîé, ⃗τ - åäèíè÷íûé êàñàòåëüíûé âåêòîð ãåîäåçè÷åñêîé.
19
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] Ìèùåíêî À.Ñ., Ñîëîâüåâ Þ.Ï., Ôîìåíêî À.Ò., Ñáîðíèê çàäà÷ ïî äèôôåðåíöèàëüíîé
ãåîìåòðèè è òîïîëîãèè.- Ì.: Èçä-âî Ìîñê. óí-òà, 1981.- 184 c.
[2] Íîâèêîâ Ñ.Ï., Ìèùåíêî À.Ñ., è äð. Çàäà÷è ïî ãåîìåòðèè. - Ì.: Èçä-âî Ìîñê. óí-òà, 1978.
- 164 ñ.
[3] Ôåäåíêî À.Ñ., è äð. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè.- Ì.: ÃÐ.ÔÌË, 1979.
- 272 c.
[4] Ãþíòåð Í.Ì., Êóçüìèí Ð.Î., Ñáîðíèê çàäà÷ ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå. - Ì.: Ãîñòåõèçäàò,
1957.
20