8. Поверхности второго порядка - Псковский государственный

210
8. Ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà
Ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà ðàññìàòðèâàåìûå â ïðîñòðàíñòâå, ÿâëÿþòñÿ àíàëîãîì ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêà íà ïëîñêîñòè. Òàêèì îáðàçîì, ïî àíàëîãèè ñ óðàâíåíèåì ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà
F (x, y ) = 0 ,
óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà áóäåò çàäàíî óðàâíåíèåì
F (x, y, z ) = 0 ,
(8.1)
ãäå F (x, y, z ) - íåêîòîðûé ìíîãî÷ëåí âòîðîé ñòåïåíè îò x, y, z .
Èç-çà îòñóòñòâèÿ âðåìåíè ìû îãðàíè÷èìñÿ ëèøü êðàòêèì îïèñàíèåì âñåõ âîçìîæíûõ òèïîâ ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà.
Íà÷í¸ì èçó÷åíèå ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà ñ íàèáîëåå
ïðîñòîãî ñëó÷àÿ, êîãäà óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè (8.1) íå ñîäåðæèò
îäíîé èç êîîðäèíàò, ïóñòü äëÿ îïðåäåë¸ííîñòè ýòî áóäåò êîîðäèíàòà z .
Äîãîâîðèìñÿ, î òîì, ÷òî â äàëüíåéøåì ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò (ÏÑÊ).
8.1. Öèëèíäðè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè
Èòàê, ìû ðàññìàòðèâàåì ÷àñòíûé ñëó÷àé ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà
(8.1)
F (x, y, z ) = 0 ,
êîãäà ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (8.1) íå çàâèñèò îò z .  ýòîì ñëó÷àå
óðàâíåíèå (8.1) ïðèíèìàåò âèä
(8.2)
F (x, y ) = 0 .
Ïóñòü íåêîòîðàÿ òî÷êà M 0 (x0 , y0 , z0 ) ïðèíàäëåæèò ðàññìàòðèâàåìîé íàìè ïîâåðõíîñòè (8.2). Î÷åâèäíî, ÷òî âñå òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè x0 , y0 , z ïðè ëþáûõ z òîæå ïðèíàäëåæàò ïîâåðõíîñ-
òè (8.2). Ëåãêî óâèäåòü, ÷òî âñå òî÷êè âèäà x0 , y0 , z îáðàçóþò ïðÿ-
211
ìóþ, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ê ïëîñêîñòè Oxy . Ðàññìîòðèì äâå òî÷-
êè ïîâåðõíîñòè (8.2) - M 0 (x0 , y0 , z0 ) è M (x0 , y0 , z ) , è ñîñòàâèì óðàâíåíèå ïðÿìîé (5.35)
èëè
x0 − x0 y0 − y0 z − x0
=
=
l
m
n
x = x 0 , y = y0 .
(5.37)
Ìû èìååì ïðÿìóþ ïàðàëëåëüíóþ
îñè àïïëèêàò z
îñè Oz . Òàêèì îáðàçîì ìû
M 0 (x0 , y0 , z0 ) âèäèì, ÷òî âìåñòå ñ òî÷êîé
M 0 (x0 , y0 , z0 ) íà ïîâåðõíîñy
M (x, y, z )
òè (8.2) ëåæèò (ðèñ. 8.1) è
ïðÿìàÿ (5.37), ïðîõîäÿùàÿ
O
÷åðåç òî÷êó M 0 (x0 , y0 , z0 )
ïàðàëëåëüíî îñè Oz .
Ðèñ. 8.1.
x
Îïðåäåëåíèå 8.1. Ïîâåðõíîñòü, êîòîðàÿ ñîñòîèò èç ïðÿìûõ ëèíèé, ïàðàëëåëüíûõ çàäàííîìó íàïðàâëåíèþ, íàçûâàåòñÿ öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ èëè
öèëèíäðîì, à ïðÿìûå ëèíèè - å¸ îáðàçóþùèìè. Ëèíèþ, ëåæàùóþ
íà ïîâåðõíîñòè è ïåðåñåêàþùóþ âñå îáðàçóþùèå íàçîâ¸ì íàïðàâëÿþùåé ëèíèåé.
Èòàê, ïîâåðõíîñòè íå ñîäåðæàùèå îäíîé èç êîîðäèíàò, îïðåäåëÿþò öèëèíäð ñ îáðàçóþùèìè, ïàðàëëåëüíûìè ñîîòâåòñòâóþùåé îñè êîîðäèíàò.
Îïðåäåëåíèå 8.1 ãîâîðèò î òîì, ÷òî öèëèíäðè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà ýòî ïîâåðõíîñòè, íàïðàâëÿþùèå ëèíèè
êîòîðûõ, åñòü ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà ðàññìîòðåííûå â ï. 7.1:
ýëëèïñ, ìíèìûé ýëëèïñ, äâå ìíèìûå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå, ãèïåðáîëà, äâå äåéñòâèòåëüíûå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå, ïàðàáîëà, äâå
äåéñòâèòåëüíûå ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå, äâå ìíèìûå ïàðàëëåëüíûå
ïðÿìûå, äâå ñîâïàäàþùèå ïðÿìûå.
14*
212
Öèëèíäðè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà.
Òèï [1]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.2) ïðèíàäëåæàò ýëëèïòè÷åñêèå öèëèíäðû - ïîâåðõíîñòè
èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà
x2
a
2
+
y2
b
2
=1, a ≥ b > 0 .
z
y
(8.3)
O
Êîîðäèíàòíûå ïëîñêîñòè ÿâëÿþòñÿ
ïëîñêîñòÿìè ñèììåòðèè öèëèíäðà (8.3),
íà÷àëî êîîðäèíàò - åãî öåíòðîì ñèììåòðèè è ïðè a ≠ b äðóãèõ ïëîñêîñòåé ñèììåòðèè íåò.
x
Ðèñ. 8.2.
Òèï [2]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.3) ïðèíàäëåæàò
ìíèìûå ýëëèïòè÷åñêèå öèëèíäðû - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà
x2
a2
+
y2
b2
z
y
= −1 , a ≥ b > 0 .
(8.4)
O
x
Ýòî ïîâåðõíîñòè íå èìåþùèå âåùåñòâåííûõ òî÷åê.
Òèï [3]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.4) ïðèíàäëåæàò
äâå ìíèìûå (êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûå) ïåðåñåêàþùèåñÿ ïî âåùåñòâåííîé ïðÿìîé
ïëîñêîñòè - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â
ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà
x2
a2
+
y2
b2
=0,
a2
z
y
(8.5)
ãäå a > 0 , b > 0 è, êðîìå òîãî,
1
Ðèñ. 8.3.
+
1
b2
=1.
Âåùåñòâåííûå òî÷êè êàæäîé òàêîé ïîâåðõíîñòè ñîñòàâëÿþò ïðÿìóþ.
O
x
Ðèñ. 8.4.
213
Òèï [4]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.5) ïðèíàäëåæàò ãèïåðáîëè÷åñêèå öèëèíäðû - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà
x2
a2
−
y2
b2
=1, a > 0 , b > 0 .
z
y
O
x
(8.6)
Êàæäàÿ ïëîñêîñòü z = h ïåðåñåêàåò
öèëèíäð (8.6) ïî ãèïåðáîëå, èìåþùåé â
ÏÑÊ Oxy êàíîíè÷åñêèé âèä (8.6).
Ðèñ. 8.5.
z
Òèï [5]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.6) ïðèíàäëåæàò äâå äåéñòâèòåëüíûå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïëîñêîñòè - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà
x2
a2
−
y2
b2
=0,
y
O
x
(8.7)
ãäå a > 0 , b > 0 è, êðîìå òîãî,
1
a2
+
1
b2
=1.
Ðèñ. 8.6.
z
Òèï [6]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.7) ïðèíàäëåæàò ïàðàáîëè÷åñêèå öèëèíäðû - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà O
y 2 = 2 px , p > 0 .
(8.8)
Êàæäàÿ ïëîñêîñòü z = h ïåðåñåêàåò
öèëèíäð (8.8) ïî ïàðàáîëå, èìåþùåé â ÏÑÊ
Oxy êàíîíè÷åñêèé âèä (8.8).
y
x
Ðèñ. 8.7.
Òèï [7]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.8) ïðèíàäëåæàò äâå ðàçëè÷íûå äåéñòâèòåëüíûå ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â
ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà
214
z
z
z
O
y
y
y
O
x
x
Ðèñ. 8.8.
Ðèñ. 8.9.
y2 = b2 , b > 0 .
O
x
Ðèñ. 8.10.
(8.9)
Òèï [8]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.9) ïðèíàäëåæàò äâå ðàçëè÷íûå ìíèìûå (êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûå) ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà
y 2 = −b 2 , b > 0 .
(8.10)
Òèï [9]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.10) ïðèíàäëåæàò äâå ñîâïàäàþùèå
äåéñòâèòåëüíûå ïëîñêîñòè - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz
óðàâíåíèå âèäà
y2 = 0 .
(8.11)
8.2. Êîíóñû âòîðîãî ïîðÿäêà
Îïðåäåëåíèå 8.2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òðîéêè ÷èñåë (x, y, z ) è
(λx, λy, λz ), ãäå λ
- ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî, ïðèíàäëåæàò îäíîé è òîé
æå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ, è, êðîìå òîãî, äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî s
F (λx, λy, λz ) = λs F (x, y, z ) .
(8.12)
 ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèþ F áóäåì íàçûâàòü îäíîðîäíîé ôóíêöèåé ñòåïåíè s .
Ðàññìîòðèì ïîâåðõíîñòü S , îïðåäåëÿåìóþ â íåêîòîðîé ÏÑÊ
óðàâíåíèåì âèäà
215
F (x, y, z ) = 0 ,
ãäå F - îäíîðîäíàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà
åñëè òî÷êà M (x, y, z )∈ S , òî ïðè ëþáîì
z
λ â ñèëó (8.12) òî÷êà N (λx, λy, λz )∈ S .
l
N
M
y
Ðàäèóñ-âåêòîðû òî÷åê (ðèñ. 8.11) áóäóò
êîëëèíåàðíû, â ñèëó ÷åãî òî÷êà N áóx
äåò ëåæàòü íà ïðÿìîé OM .
O
Ðèñ. 8.11.
Îïðåäåëåíèå 8.3. Ïîâåðõíîñòü, êîòîðàÿ
ñîñòîèò èç ïðÿìûõ ëèíèé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ôèêñèðîâàííóþ
òî÷êó O , íàçûâàåòñÿ êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ èëè êîíóñîì. Ïðÿìûå ëèíèè íàçûâàþòñÿ å¸ îáðàçóþùèìè, òî÷êà O - âåðøèíîé êîíóñà. Ëèíèÿ, ëåæàùàÿ íà ïîâåðõíîñòè, íå ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç âåðøèíó êîíóñà è ïåðåñåêàþùàÿ âñå îáðàçóþùèå, íàçûâàåòñÿ íàïðàâëÿþùåé ëèíèåé.
Èòàê, ïîëàãàÿ â (8.12) s = 2 ìû ðàññìîòðèì êîíóñû âòîðîãî
ïîðÿäêà F (x, y, z ) = 0 .
Òèï [10]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.12) ïðèíàäëåæàò äåéñòâèòåëüíûå
êîíóñû âòîðîãî ïîðÿäêà - ïîâåðõíîñòè èìåz
þùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà
x2
a2
+
y2
b2
−
z2
c2
=0,
ãäå a ≥ b > 0 , c > 0 ,
1
a
2
(8.13)
+
1
b
2
+
1
c2
=1.
Êîîðäèíàòíûå ïëîñêîñòè ÿâëÿþòñÿ
ïëîñêîñòÿìè ñèììåòðèè êîíóñà (8.13), à íàx
÷àëî êîîðäèíàò - åãî öåíòðîì ñèììåòðèè.
Ïåðåñå÷¸ì êîíóñ (8.13) ïëîñêîñòüþ
z = h , ïàðàëëåëüíîé ïëîñêîñòè Oxy . Çäåñü h
- ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî.  ïåðåñå÷åíèè (ðèñ.
8.12) ïîëó÷èòñÿ ëèíèÿ
O
y
Ðèñ. 8.12.
216
x2
a2
+
y2
b2
−
h2
c2
= 0, z = h ,
ïðîåêöèÿ êîòîðîé íà ïëîñêîñòü Oxy äà¸òñÿ óðàâíåíèåì
x2
a2
+
y2
b2
−
h2
c2
= 0 èëè
x2
a2
Ðàçäåëèâ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî íà
x2
a2h2
c2
a
c
+
y2
b2h2
c2
=1
èëè
+
y2
b2
h2
c2
=
h2
c2
.
ïîëó÷èì
x2 y2
+
= 1,
a′ 2 b′ 2
b
c
ãäå a′ = ⋅ h , b′ = ⋅ h - ïîëóîñè ýëëèïñà.
Òàêèì îáðàçîì, ïåðåñå÷åíèå êîíóñà (8.13) ïëîñêîñòüþ z = h
åñòü ýëëèïñ ñ ïîëóîñÿìè a′ è b′ , ñ öåíòðîì íà îñè Oz . Ëþáîé
òàêîé ýëëèïñ ìîæíî âçÿòü â êà÷åñòâå íàïðàâëÿþùåé êîíóñà (8.13).
 ÷àñòíîñòè, åñëè ïîëîæèòü a = b ìû ïîëó÷èì ïðÿìîé êðóãîâîé êîíóñ
x 2 + y2 − k 2z2 = 0 ,
ãäå k =
(8.14)
a
.
c
Ïåðåñåêàÿ ïðÿìîé êðóãîâîé êîíóñ (8.14) ïëîñêîñòÿìè z = h ,
h ≠ 0 , ìû áóäåì ïîëó÷àòü îêðóæíîñòè
x2 + y2 = k 2h2
ðàäèóñà R = k ⋅ h ñ öåíòðàìè íà îñè OZ .
Ïëîñêîñòü z = 0 ïåðåñå÷¸ò êîíóñ (8.14) ïî òî÷êå O , à ïëîñêîñòè x = 0 è y = 0 ïåðåñåêóò êîíóñ ïî îáðàçóþùèì.
Ïëîñêîñòè x = h è y = h ïðè h ≠ 0 ïåðåñåêóò êîíóñ (8.13) ïî
ãèïåðáîëàì (ðèñ. 8.13à) ñ ïîëóîñÿìè
217
z
z
O
O
y
y
x
x
á
à
Ðèñ. 8.13.
c
b
c
a
⋅ h , ⋅ h è ⋅ h , ⋅ h ,
a
a
b
b
à êîíóñ (8.14) ïî ãèïåðáîëàì ñ ïîëóîñÿìè
c
c
⋅ h , h è ⋅ h , h .
a
b
Ïëîñêèìè ñå÷åíèÿìè è íàïðàâëÿþùèìè êîíóñà (8.13) ÿâëÿþòñÿ è ïàðàáîëû (ðèñ. 8.13á). Ðàññìîòðèì ñå÷åíèå êîíóñà ïëîñêîñòüþ
c
x + h , ïðè h ≠ 0 .
a
Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèå z â (8.13) ïîëó÷èì
z=
2

c
 x + h
2
2
x
y
a
 =0
+ 2 −
2
2
a
b
c
èëè
218
z
y2
h
h2
=
+
x
2
,
ac
b2
c2
èëè
y2 = 2
hb 2 
ha 
.
x +
ac 
c 
(8.15)
y
Ìû ïîëó÷èëè óðàâíåíèå ïàðàáîëû ñ
O
 ha 
âåðøèíîé â òî÷êå  − c ,0  .


Çàìåòèì, áåç äîêàçàòåëüñòâà, ÷òî ïåðåñå÷åíèå êîíóñà (8.13) è (8.14) ïëîñêîñòüþ
ñ íåáîëüøèì óãëîì íàêëîíà ê ïëîñêîñòè
Oxy ìû â ïåðâîì ñëó÷àå ïîëó÷èì îêðóæíîñòü, à âî âòîðîì (ðèñ. 8.14) ñëó÷àå - ýëëèïñ.
x
Ðèñ. 8.14.
Òèï [11]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.15) ïðèíàäëåæàò
ìíèìûå êîíóñû âòîðîãî ïîðÿäêà - ïîâåðõíîñòè
èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
z
=0,
(8.16)
O
y
x
1
1
1
ãäå a ≥ b ≥ c > 0 , 2 + 2 + 2 = 1 .
a
b
c
Åäèíñòâåííîé âåùåñòâåííîé òî÷êîé ìíèìîãî êîíóñà ÿâëÿåòñÿ òî÷êà O(0,0,0) .
Ðèñ. 8.15.
8.3. Ýëëèïñîèäû, ãèïåðáîëîèäû è ïàðàáîëîèäû
Òèï [12]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.16) ïðèíàäëåæàò ýëëèïñîèäû - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà
219
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
=1,
(8.17)
ãäå a ≥ b ≥ c > 0 - ïîëóîñè ýëëèïñîèäà.
Çàìåòèì, ÷òî èç óðàâíåíèÿ ýëëèïñîèäà (8.17) ñðàçó ñëåäóåò,
÷òî êîîðäèíàòíûå ïëîñêîñòè ÿâëÿz
þòñÿ ïëîñêîñòÿìè ñèììåòðèè ýëëèïñîèäà, à íà÷àëî êîîðäèíàò - åãî
öåíòðîì ñèììåòðèè.
O
Ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà a , b è c
íàçûâàþòñÿ ïîëóîñÿìè ýëëèïñîèäà.
Ýëëèïñîèä ëåæèò âíóòðè ïðÿ- x
y
ìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà
− a ≤ x ≤ a , −b ≤ y ≤ b , −c ≤ z ≤ c ,
Ðèñ. 8.16.
ò.å. ýëëèïñîèäû ÿâëÿþòñÿ îãðàíè÷åííûìè ïîâåðõíîñòÿìè è âñå ïëîñêèå ñå÷åíèÿ ýëëèïñîèäà ÿâëÿþòñÿ
îãðàíè÷åííûìè êðèâûìè âòîðîãî ïîðÿäêà - ýëëèïñàìè.
Ïóñòü a 2 ≥ b 2 ≥ c 2 . Ðàññìîòðèì ïåðåñå÷åíèå ýëëèïñîèäà (8.17)
ñ ïëîñêîñòüþ z = h ïðè h < c . Ïîäñòàâëÿÿ z = h â (8.17) ïîëó÷èì
x2
+
a2
y2
b2
= 1−
h2
c2
èëè
x2
2 

a 1− h 

c2 


+
y2
2 

b 1− h 

c2 


=1
.
(8.18)
Òàêèì îáðàçîì ìû âèäèì, ÷òî ïëîñêîñòü z = h ïðè h < c
ïåðåñåêàåò ýëëèïñîèä (8.17) ïî ýëëèïñó ñ ïîëóîñÿìè
a 1−
h2
c2
, b 1−
h2
c2
,
êîòîðûå äîñòèãàþò ìàêñèìóìà ïðè h = 0 è ìîíîòîííî óáûâàþò
220
äî íóëÿ ïðè h → c .
Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ïåðåñåêàÿ ýëëèïñîèä (8.17) ïëîñêîñòÿìè y = h è x = h ïðè h > b è h > a ìû ïîëó÷èì â ñå÷åíèÿõ ýëëèïñû ñ ïîëóîñÿìè
h2
a 1−
b2
, c 1−
h2
b2
è
h2
b 1−
a2
, c 1−
h2
a2
.
Åñëè â ýëëèïñîèäå (8.17) a = b ≠ c , òî åãî ïåðåñå÷åíèå ñ ïëîñêîñòüþ z = h äàñò íàì îêðóæíîñòü
x2
a2
+
y2
a2
= 1−
h2
c2
ðàäèóñà
rh =
a 2
c − h2 .
c
Ñàì ýëëèïñîèä â ýòîì ñëó÷àå (ðèñ. 8.17) ïîëó÷àåòñÿ âðàùåíèåì ýëëèïñà
x2
a2
+
z2
c2
=1, y = 0
âîêðóã îñè Oz . Òàê êàê c < a , òî âðàùåíèå ýëëèïñà ïðîèñõîäèò
âîêðóã åãî ìåíüøåé îñè è ìû èìååì â ýòîì ñëó÷àå òàê íàçûâàåìûé
z
ñæàòûé ýëëèïñîèä.
Åñëè a > b = c , òî ñå÷åíèå ýëëèïñîèäà ïëîñêîñòüþ x = h äà¸ò
y
íàì îêðóæíîñòè
y2
b2
+
z2
b2
= 1−
h2
a2
x
Ðèñ. 8.17.
221
z
z
y
x
O
y
Ðèñ. 8.18.
x
Ðèñ. 8.19.
ðàäèóñà
rh =
b 2
a − h2 .
a
Ñàì ýëëèïñîèä â ýòîì ñëó÷àå (ðèñ. 8.18) ïîëó÷àåòñÿ âðàùåíèåì ýëëèïñà
x2
a2
+
z2
b2
= 1, y = 0
âîêðóã îñè Ox . Ïîëó÷åííûé ýëëèïñîèä íàçîâ¸ì âûòÿíóòûì ýëëèïñîèäîì âðàùåíèÿ.
Åñëè a = b = c ýëëèïñîèä (ðèñ. 8.19) ÿâëÿåòñÿ ñôåðîé ðàäèóñà a .
Òèï [13]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.20)
ïðèíàäëåæàò ìíèìûå ýëëèïñîèäû ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz
óðàâíåíèå âèäà
x2
a
2
+
y2
b
2
+
z2
c
2
= −1 ,
z
O
(8.19)
ãäå a ≥ b ≥ c > 0 . Îíè âåùåñòâåííûõ
òî÷åê íå èìåþò.
y
x
Ðèñ. 8.20.
Òèï [14]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.21) ïðèíàäëåæàò äâóïîëîñòíûå ãèïåðáîëîèäû - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà
222
x2
a2
+
y2
b2
−
z2
c2
z
= −1 ,
(8.20)
ãäå a ≥ b > 0 , c > 0 .
Âèä óðàâíåíèÿ (8.20) ñðàçó ãîâîðèò î òîì,
÷òî êîîðäèíàòíûå ïëîñêîñòè ÿâëÿþòñÿ ïëîñêîñòÿìè ñèììåòðèè, à íà÷àëî êîîðäèíàò ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì ñèììåòðèè äâóïîëîñòíîãî ãèïåðáîëîèäà.
Êàê ñëåäóåò èç ðèñ. 8.21 ïëîñêîñòü z = h x
O
y
ïðè h < c íå ïåðåñåêàåò ãèïåðáîëîèä, ïðè
h = c èìååò ñ ãèïåðáîëîèäîì òî÷êè êàñà-
íèÿ (0,0, c ) è (0,0,−c ) . Ïðè h > c ïëîñêîñòü
Ðèñ. 8.21.
z = h ïåðåñåêàåò ãèïåðáîëîèä (8.20) ïî ýëëèïñó
x2
a
2
+
y2
b
2
=
h2
c2
−1
ñ ïîëóîñÿìè
a
h2
c2
−1 è b
h2
−1 ,
c2
ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèìè îò íóëÿ äî +∞ êîãäà h âîçðàñòàåò
îò c äî +∞ .
Êàæäàÿ ïëîñêîñòü y = h ïåðåñåêàåò ðàññìàòðèâàåìûé íàìè
ãèïåðáîëîèä ïî ãèïåðáîëå
z2
c2
−
x2
a2
= 1+
h2
b2
ñ ïîëóîñÿìè
c 1+
h2
b2
è a 1+
h2
b2
,
ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèìè îò c è a äî +∞ ïðè âîçðàñòàíèè h
223
îò íóëÿ äî +∞ .
Êàæäàÿ ïëîñêîñòü x = h ïåðåñåêàåò íàø ãèïåðáîëîèä ïî ãèïåðáîëå
z2
c
2
−
y2
b
2
= 1+
h2
a2
ñ ïîëóîñÿìè
c 1+
h2
a2
è b 1+
h2
a2
,
ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèìè îò c è b äî +∞ ïðè âîçðàñòàíèè h
îò íóëÿ äî +∞ .
Òàêèì îáðàçîì, ôîðìà äâóïîëîñòíîãî ãèïåðáîëîèäà íàìè
ïîëíîñòüþ âûÿñíåíà è ìû âèäèì, ÷òî îí ñîñòîèò äâóõ ñèììåòðè÷íûõ ÷àñòåé (“ïîë”), ðàñïîëîæåííûõ ñîîòâåòñòâåííî â ïîëóïðîñòðàíñòâàõ z ≥ c è z ≤ −c .
Òèï [15]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.22) ïðèíàäëåæàò îäíîïîëîñòíûå
ãèïåðáîëîèäû - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà
x2
a2
+
y2
b2
−
z2
c2
=1,
ãäå a ≥ b > 0 , c > 0 .
Âèä óðàâíåíèÿ (8.21) ñðàçó ãîâîðèò î
òîì, ÷òî êîîðäèíàòíûå ïëîñêîñòè ÿâëÿþòñÿ ïëîñêîñòÿìè ñèììåòðèè, à íà÷àëî êîîðäèíàò ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì ñèììåòðèè îäíîïîëîñòíîãî ãèïåðáîëîèäà.
Êàæäàÿ ïëîñêîñòü z = h ïåðåñåêàåò
(ðèñ. 8.22) îäíîïîëîñòíîé ãèïåðáîëîèä ïî
ýëëèïñó
x2
a2
ñ ïîëóîñÿìè
+
y2
b2
z
(8.21)
= 1+
y
x
h2
c2
Ðèñ. 8.22.
224
a 1+
h2
c2
è b 1+
h2
c2
,
ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèìè îò a äî +∞ , åñëè h âîçðàñòàåò îò
íóëÿ äî +∞ .
Ïðè h = 0 ìû ïîëó÷àåì òàê íàçûâàåìûé ãîðëîâîé ýëëèïñ
x2
a
2
+
y2
b2
=1.
(8.22)
Åñëè a = b ðàññìîòðåííûå âûøå ñå÷åíèÿ ÿâëÿþòñÿ îêðóæíîñòÿìè, à ãèïåðáîëîèä (8.21) íàçûâàåòñÿ îäíîïîëîñòíûì ãèïåðáîëîèäîì âðàùåíèÿ.
Êàæäàÿ ïëîñêîñòü y = h ïðè h < b ïåðåñåêàåò ðàññìàòðèâàåìûé íàìè îäíîïîëîñòíîé ãèïåðáîëîèä (8.21) ïî ãèïåðáîëå
x2
a
2
−
z2
c
2
= 1−
h2
(8.23)
b2
ñ ïîëóîñÿìè
a 1−
h2
b2
è c 1−
h2
b2
,
ìîíîòîííî óáûâàþùèìè îò a è c äî íóëÿ, êîãäà h âîçðàñòàåò
îò íóëÿ äî b .
Ïëîñêîñòü y = h = b ïåðåñåêàåò (ðèñ.8.23)
ðàññìàòðèâàåìûé íàìè ãèïåðáîëîèä, êàê ýòî
ñëåäóåò èç (8.23), ïî ïàðå ïðÿìûõ
x2
a
2
−
z2
c2
= 0,
à ïðè h > b - ïî ãèïåðáîëå ñ ïîëóîñÿìè
c
h2
b
2
−1 è a
h2
b2
−1 ,
Ðèñ. 8.23.
225
ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèìè îò íóëÿ äî +∞ , êîãäà h âîçðàñòàåò
îò b äî +∞ .
Ìíèìûå (äåéñòâèòåëüíûå) (ðèñ. 8.24)
z
îñè ãèïåðáîë, ïîëó÷àþùèõñÿ ïðè h > b ,
ïàðàëëåëüíû äåéñòâèòåëüíûì (ìíèìûì)
îñÿì ãèïåðáîë, ïîëó÷àþùèõñÿ ïðè h < b .
Ñëó÷àé ïåðåñå÷åíèÿ ãèïåðáîëîèäà
(8.21) ïëîñêîñòüþ x = h àíàëîãè÷åí ðàññìîòðåííîìó âûøå ïåðåñå÷åíèþ ãèïåðáî-
y
ëîèäà ñ ïëîñêîñòüþ y = h .
Îäíèì èç çàìå÷àòåëüíûõ ñâîéñòâ îä- x
íîïîëîñòíîãî ãèïåðáîëîèäà ÿâëÿåòñÿ íàëè÷èå öåëèêîì íà í¸ì ëåæàùèõ ïðÿìûõ
(ñì. ðèñ. 8.23).
Îïðåäåëåíèå 8.4. Ïîâåðõíîñòü â ïðîñòðàíñòâå íàçûâàåòñÿ l -êðàòíî ëèíåé÷àÐèñ. 8.24.
òîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëè ÷åðåç ëþáóþ å¸
òî÷êó ïðîõîäèò l è òîëüêî l ðàçëè÷íûõ ïðÿìûõ, öåëèêîì íà
íåé ëåæàùèõ. Ýòè ïðÿìûå íàçûâàþòñÿ ïðÿìîëèíåéíûìè îáðàçóþùèìè ëèíåé÷àòîé ïîâåðõíîñòè.
Ñôîðìóëèðóåì (áåç äîêàçàòåëüñòâà) äëÿ îäíîïîëîñòíîãî
ãèïåðáîëîèäà (8.21) ñëåäóþùåå
Ïðåäëîæåíèå 8.1. Îäíîïîëîñòíîé ãèïåðáîëîèä ÿâëÿåòñÿ äâàæäû
ëèíåé÷àòîé ïîâåðõíîñòüþ.
 ïîëüçó ýòîãî ïðåäëîæåíèÿ ñëóæèò òîò ôàêò, ÷òî ïðè ïåðåñå÷åíèè ãèïåðáîëîèäà ïëîñêîñòÿìè y = h = b è x = h = a ìû ïîëó÷àåì ïàðû ïåðåñåêàþùèõñÿ â òî÷êàõ ïðèíàäëåæàùèõ ãîðëîâîìó ýëëèïñó ïðÿìûõ. ßñíî, ÷òî ëþáàÿ ïëîñêîñòü êàñàòåëüíàÿ ê
îäíîïîëîñòíîìó ãèïåðáîëîèäó â òî÷êàõ ãîðëîâîãî ýëëèïñà áóäåò
ïåðåñåêàòü åãî ïî ïàðå ïðÿìûõ.
Òàêèì îáðàçîì (áåç äîêàçàòåëüñòâà) ìû ìîæåì ïðåäïîëîæèòü, ÷òî êàæäàÿ ïðÿìîëèíåéíàÿ îáðàçóþùàÿ îäíîïîëîñòíîãî ãè15 À.À. Êèðñàíîâ
226
ïåðáîëîèäà ïåðåñåêàåò åãî ãîðëîâîé ýëëèïñ.
Ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïðÿìîëèíåéíûõ îáðàçóþùèõ,
ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó M 0 (x0 , y0 ) ãîðëîâîãî ýëëèïñà, èìåþò âèä
x = x0 − u
a
y0 t ,
b
y = y0 + u
b
x0t ,
a
z = ct ,
(8.24)
ãäå u = ±1 .
Äâå ïðÿìîëèíåéíûå îáðàçóþùèå îäíîïîëîñòíîãî ãèïåðáîëîèäà áóäåì íàçûâàòü îäíîèì¸ííûìè, åñëè èì ñîîòâåòñòâóåò îäíî
è òî æå çíà÷åíèå u . Òàêèì îáðàçîì âñå îáðàçóþùèå ðàçáèâàþòñÿ
íà äâà êëàññà, êîòîðûå îáû÷íî íàçûâàþòñÿ ñåìåéñòâàìè ïðÿìîëèíåéíûõ îáðàçóþùèõ ãèïåðáîëîèäà (8.21).
Òèï [16]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.25) ïðèíàäëåæàò ýëëèïòè÷åñêèå ïàðàáîëîèäû - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà
x2 y2
+
= 2z ,
p
q
ãäå p ≥ q > 0 .
Âèä óðàâíåíèÿ (8.25) ñðàçó ãîâîðèò î òîì, ÷òî êîîðäèíàòíûå ïëîñêîñòè ÿâëÿþòñÿ ïëîñêîñòÿìè ñèììåòðèè
ýëëèïòè÷åñêîãî ïàðàáîëîèäà. Ïðè
p ≠ q äðóãèõ ïëîñêîñòåé ñèììåòðèè
ó íåãî íåò.
Ïëîñêîñòü z = h ïðè h < 0 íå
ïåðåñåêàåò ïàðàáîëîèä, ïðè h = 0
èìååò ñ ïàðàáîëîèäîì åäèíñòâåííóþ îáùóþ òî÷êó O(0,0,0) è ïðè
h > 0 ïåðåñåêàåò ïàðàáîëîèä ïî ýë-
(8.25)
z
x
O
y
Ðèñ. 8.25.
227
ëèïñó
x2 y2
+
= 2h
p
q
ñ ïîëóîñÿìè
2hp è
2hq ,
ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèìè âìåñòå ñ h îò íóëÿ äî +∞ .
Ïëîñêîñòè y = h è x = h ïåðåñåêàþò íàø ïàðàáîëîèä ïî ïàðàáîëàì ñ ôîêàëüíûìè ïàðàìåòðàìè p è q , ñ âåðøèíàìè ñîîòâåòñòâåííî â òî÷êàõ
2 
2 


 0, h, h 
 h, 0, h 

2q  è 
2 p 

è ñ “ðîãàìè” íàïðàâëåííûìè â ñòîðîíó âîçðàñòàíèÿ z .
Òèï [17]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.26) ïðèíàäëåæàò ãèïåðáîëè÷åñêèå
ïàðàáîëîèäû - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà
x2 y2
−
= 2z ,
p
q
ãäå p > 0 , q > 0 .
Âèä óðàâíåíèÿ (8.26) ñðàçó ãîâîðèò î òîì, ÷òî êîîðäèíàòíûå
ïëîñêîñòè ÿâëÿþòñÿ ïëîñêîñòÿìè
ñèììåòðèè ýëëèïòè÷åñêîãî ïàðàáîëîèäà. Äðóãèõ ïëîñêîñòåé ñèììåòðèè ó íåãî íåò.
x
Èç âñåõ ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî
ïîðÿäêà ýòî ñàìàÿ òðóäíàÿ äëÿ
ïðåäñòàâëåíèÿ ïîâåðõíîñòü.
Ïëîñêîñòü z = h ïðè h < 0 ïåðåñåêàåò ïàðàáîëîèä (8.26) ïî ãèïåðáîëå
x2 y2
−
= −2h
p
q
15*
(8.26)
z
y
O
Ðèñ. 8.26.
228
èëè
y2
x2
−
=1
2hq 2hp
ñ ïîëóîñÿìè
− 2hq è
− 2hp ,
ìîíîòîííî óáûâàþùèìè îò +∞ äî íóëÿ, êîãäà h âîçðàñòàåò îò
−∞ äî íóëÿ. Äåéñòâèòåëüíàÿ îñü ýòîé ãèïåðáîëû ïàðàëëåëüíà îñè
Ox , à ìíèìàÿ - îñè Oy .
Ïðè h = 0 ïëîñêîñòü z = 0 ïåðåñåêàåò (ðèñ. 8.27) ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèä ïî ïàðå ïðÿìûõ
z
y
x2 y2
−
=0.
p
q
x
Ïðè h > 0 ïëîñêîñòü z = h ïåðåO
ñåêàåò íàø ïàðàáîëîèä ïî ãèïåðáîëàì
x2 y2
−
= 2h
p
q
Ðèñ. 8.27.
ñ ïîëóîñÿìè
2hp è
2hq ,
ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèìè âìåñòå ñ h îò íóëÿ äî +∞ . Äåéñòâèòåëüíàÿ îñü ýòîé ãèïåðáîëû ïàðàëëåëüíà îñè Oy , à ìíèìàÿ - îñè Ox .
Ïëîñêîñòü y = h ïðåñåêàåò ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèä ïî
ïàðàáîëå
x2
h2
= 2z +
p
q
èëè
229

h 2 
x 2 = 2 p z +

2q 


h 2 

−
0
h
,
,
ñ ïàðàìåòðîì p è âåðøèíàìè 
2q  , íàïðàâëåííîé ðîãàìè

ââåðõ.
Ïëîñêîñòü x = h ïåðåñåêàåò ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèä ïî
ïàðàáîëå
h2
y2
= −2z +
q
p
èëè

h 2 
y 2 = −2q  z −

2 p 

2 

 h, 0, h 
q
ñ ïàðàìåòðîì , âåðøèíàìè 
2 p  , íàïðàâëåííîé ðîãàìè âíèç.

Ïëîñêîñòè y = 0 è x = 0 ïåðåñåêàþò ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèä ïî “ãëàâíûì” ïàðàáîëàì:
íåïîäâèæíîé ïàðàáîëå
x 2 = 2 pz , y = 0
(8.27)
è ïîäâèæíîé ïàðàáîëå
y 2 = −2qz , x = 0 ,
(8.28)
îáðàù¸ííûå ðîãàìè â ðàçíûå ñòîðîíû.
Ïðåäëîæåíèå 8.2. Ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèä ÿâëÿåòñÿ äâàæäû ëèíåé÷àòîé ïîâåðõíîñòüþ.
Ðàíåå ìû ïîêàçàëè, ÷òî ïðè h = 0 ïëîñêîñòü z = 0 ïåðåñåêàåò
(ðèñ. 8.27) ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèä ïî ïàðå ïðÿìûõ
x2 y2
−
=0
p
q
230
èëè
 x
y   x
y 

+
⋅
−
=0.
(8.29)
 p
  p

q
q

 

Ìû ìîæåì ïðåäïîëîæèòü, ÷òî âñÿêàÿ ïðÿìîëèíåéíàÿ îáðàçóþùàÿ ãèïåðáîëè÷åñêîãî ïàðàáîëîèäà (8.26) ïåðåñåêàåò ïëîñêîñòü z = 0 èëè ðàñïîëîæåíà â íåé.
Ïóñòü M 0 (x0 , y0 , z 0 ) - ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ãèïåðáîëè÷åñêîãî ïàðàáîëîèäà (8.26) è ïóñòü ïðÿìàÿ
x = x0 + tl ,
y = y0 + tm ,
z = z 0 + tn ,
ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó M 0 , öåëèêîì ëåæèò íà ïàðàáîëîèäå.
Êîîðäèíàòû ðàññìàòðèâàåìîé ïðÿìîé äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü
óðàâíåíèþ (8.26)
(x0 + tl )2 − (y0 + tm )2
= 2(z 0 + tn ) ,
p
q
êîòîðîå ïîñëå ðàñêðûòèÿ ñêîáîê è ïðèâåäåíèÿ ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ
ìîæíî çàïèñàòü òàê
 l 2 m2 
 lx

my
 + 2t  0 − 0 − n  = 0 .
t 2  −

p
q
p
q




Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî âîçìîæíî ïðè
l 2 m2
−
=0
p
q
(8.30)
è
lx0 my0
−
−n=0.
p
q
Èç ïåðâîãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî
(8.31)
231
l
m
=
=λ, (
u = ±1 )
p u q
èëè
l:m =
p :u q .
Ïîäñòàâëÿÿ âî âòîðîå ðàâåíñòâî çíà÷åíèÿ
l = λ p è m = λu q ,
ïîëó÷èì
 x
y 
λ 0 − u 0  = n ,
 p
q 

îòêóäà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî ñ òî÷íîñòüþ äî ïðîïîðöèîíàëüíîñòè
(8.30) è (8.31) èìåþò äâà è òîëüêî äâà ðåøåíèÿ:
 x
y 
p :u q : 0 − u 0  .
 p
q 

Íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî äâå ïðÿìûå ñ íàïðàâëÿþùèìè âåêòîðàìè
l :m:n =
l=
p,
m=u q ,
n=
x0
p
−u
y0
q
öåëèêîì ëåæàò íà ãèïåðáîëè÷åñêîì ïàðàáîëîèäå (8.26). Ïðÿìûå
ñ u = 1 îáðàçóþò îäíî ñåìåéñòâî îáðàçóþùèõ (ðèñ. 8.28), à
ñ u = −1 - äðóãîå.
 çàêëþ÷åíèå ìû ìîæåì
ñêàçàòü, ÷òî êëàññèôèêàöèÿ ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà
ïîëíîñòüþ èñ÷åðïûâàåòñÿ ïåÐèñ. 8.28.
232
ðå÷èñëåííûìè ñåìíàäöàòüþ òèïàìè ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå. Íè äëÿ îäíîé ïîâåðõíîñòè íå ñóùåñòâóåò äâóõ ÏÑÊ, â êîòîðûõ îíà èìåëà áû ðàçëè÷íûå óðàâíåíèÿ ýòèõ òèïîâ.
Òàêèì îáðàçîì âñå ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà èñ÷åðïûâàþòñÿ
1) ýëëèïñîèäàìè (äåéñòâèòåëüíûìè [12] è ìíèìûìè [13]) ,
2) ãèïåðáîëîèäàìè (îäíîïîëîñòíûìè [15] è äâóïîëîñòíûìè [14]),
3) ïàðàáîëîèäàìè (ýëëèïòè÷åñêèìè [16] è ãèïåðáîëè÷åñêèìè [17]),
4) êîíóñàìè âòîðîãî ïîðÿäêà (äåéñòâèòåëüíûìè [10] ìíèìûìè [11]),
5) öèëèíäðàìè âòîðîãî ïîðÿäêà (äåéñòâèòåëüíûìè ýëëèïòè÷åñêèìè [1] è ìíèìûìè ýëëèïòè÷åñêèìè [2], ïàðàáîëè÷åñêèìè [6] è ãèïåðáîëè÷åñêèìè [4]),
6) ïàðàìè ïëîñêîñòåé (äåéñòâèòåëüíûõ ïåðåñåêàþùèõñÿ [5], ìíèìûõ ïåðåñåêàþùèõñÿ [3] è äåéñòâèòåëüíûõ ïàðàëëåëüíûõ è ðàçëè÷íûõ [7], ìíèìûõ ïàðàëëåëüíûõ [8], äåéñòâèòåëüíûõ ñîâïàäàþùèõ [9]).
233
Ëèòåðàòóðà
1. Àëåêñàíäðîâ Ï.Ñ. Êóðñ àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è ëèíåéíîé
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2. Áåêëåìèøåâ Ä.Â. Êóðñ àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è ëèíåéíîé
àëãåáðû. Ì.: ÔÈÇÌÀÒËÈÒ, 2000.
3. Áåêëåìèøåâà Ë.À., Ïåòðîâè÷ À.Þ., ×óáàðîâ È.À. Ñáîðíèê
çàäà÷ ïî àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è ëèíåéíîé àëãåáðå. Ì.: Íàóêà, 1987.
4. Áîðåâè÷ Ç.È. Îïðåäåëèòåëè è ìàòðèöû. Ì.: Íàóêà, 1970.
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- ÑÏá.: Ñïåöèàëüíàÿ ëèòåðàòóðà, 1997.
6. Äàíêî Ï.Å., Ïîïîâ À.Ã. Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà â óïðàæíåíèÿõ è
çàäà÷àõ. ×. I. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1967.
7. Åôèìîâ Í.Â. Êâàäðàòè÷íûå ôîðìû è ìàòðèöû. Ì.: Íàóêà, 1967.
8. Åôèìîâ Í.Â. Êðàòêèé êóðñ àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè. - Ì.:
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9. Åôèìîâ Í.Â., Ðîçåíäîðí Ý.Ð. Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ìíîãîìåðíàÿ ãåîìåòðèÿ. Ì.: Íàóêà, 1970.
10. Çàäà÷íèê-ïðàêòèêóì ïî àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è âûñøåé
àëãåáðå. Ë.: Èçäàòåëüñòâî ËÃÓ, 1986.
11. Èëüèí Â.À., Ïîçíÿê Ý.Ã. Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ. Ì.: Íàóêà, 1968.
12. Êèðñàíîâ À.À. Çàäà÷íèê-ïðàêòèêóì ïî ëèíåéíîé àëãåáðå.
Ìàòðèöû. Äåòåðìèíàíòû. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Ïñêîâ:
ÏÃÏÈ, 2002.
13. Êèðñàíîâ À.À. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà. Ïñêîâ: ÏÃÏÈ, 2002.
14. Ëàïòåâ Ã.Ô. Ýëåìåíòû âåêòîðíîãî èñ÷èñëåíèÿ. Ì.: Íàóêà,
1975.
15. Ìàòåìàòèêà â ñîâðåìåííîì ìèðå. Ì.: Ìèð, 1967.
16. Ìèëîâàíîâ Ì.Â. è äð. Àëãåáðà è àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ. × 1. Ìí.: Àìàëôåÿ, 2001.
17. Ìîäåíîâ Ï.Ñ., Ïàðõîìåíêî À.Ñ. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè. Ì.: Íàóêà, 1976.
234
18. Ìóñõåëèøâèëè Í.È. Êóðñ àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1967.
19. Ïîñòíèêîâ Ì.Ì. Ëåêöèè ïî ãåîìåòðèè. Ñåìåñòð I. Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ. Ì.: Íàóêà, 1986.
20. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî ãåîìåòðèè. Ïîä ðåä. Â.Ò. Áàçûëåâà. Ì.:
Ïðîñâåùåíèå, 1980.
21. Øèëîâ Ã.Å. Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. Êîíå÷íîìåðíûå ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà. Ì.: Íàóêà, 1969.
Ê 435
Àëåêñàíäð Àëåêñååâè÷
Êèðñàíîâ
ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈß
È
ËÈÍÅÉÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ
I ñåìåñòð
(êóðñ ëåêöèé)
ISBN 5 -87854 -273 -0
9 785878 542739
Èçäàòåëüñêàÿ ëèöåíçèÿ ÈÄ ¹ 06024 îò 09.10.2001 ãîäà.
Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 24.07.2003 ã. Ôîðìàò 60õ90/16.
Îáúåì èçäàíèÿ: 14,75 ó.ï.ë. Òèðàæ 300 ýêç. Çàêàç ¹ .
Ïñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé ïåäàãîãè÷åñêèé èíñòèòóò èì.Ñ.Ì.Êèðîâà,
180760, ã.Ïñêîâ, ïë.Ëåíèíà, 2.
Ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèé îòäåë ÏÃÏÈ èì.Ñ.Ì.Êèðîâà,
180760, ã.Ïñêîâ, óë.Ñîâåòñêàÿ, 21, òåëåôîí 2-86-18.