Ëèñòîê 3. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà

Ëèñòîê
3.
Êîìïëåêñíûå ÷èñëà
Ãåîìåòðèÿ, 1 êóðñ, 24.09.2012
Êàæäûé ïóíêò êàæäîé çàäà÷è ýòîãî ëèñòêà îöåíèâàåòñÿ â 0.6 áàëëà ïðè ñäà÷å ðåøåíèÿ íå ïîçæå
12 îêòÿáðÿ, è â 0.3 áàëëà ïîçæå. Âî âñåõ çàäà÷àõ ýòîãî ëèñòêà æèçíü ïðîèñõîäèò íà êðóãîâîé
ïëîñêîñòè ñ ââåäåííîé òàì êîìïëåêñíîé êîîðäèíàòîé.
3⋄1 Äîêàæèòå, ÷òî âñÿêîå ïðåîáðàçîâàíèå ïîäîáèÿ ïëîñêîñòè çàäàåòñÿ ôîðìóëîé z 7→ az + b èëè
z 7→ az̄ + b, ãäå a ∈ C\{0}, b ∈ C.
3⋄2 à) Äîêàæèòå, ÷òî âñÿêîå êðóãîâîå ïðåîáðàçîâàíèå ïëîñêîñòè çàäàåòñÿ îäíîé èç ôîðìóë z 7→ az+b
cz+d
(òàêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ íàçûâàþòñÿ äðîáíî-ëèíåéíûìè ) èëè z 7→ az̄+b
,
ãäå
a,
b,
c,
d
∈
C
,
ïðè÷åì
cz̄+d
ad − bc ̸= 0. á) Äîêàæèòå, ÷òî âñÿêîå äðîáíî-ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå åñòü ïðîèçâåäåíèå (êîìïîçèöèÿ) ïðåîáðàçîâàíèé âèäà z 7→ az, z 7→ z + b è z 7→ z1 . â) Äîêàæèòå, ÷òî ïðîèçâåäåíèå
äðîáíî-ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ÿâëÿåòñÿ äðîáíî-ëèíåéíûì ïðåîáðàçîâàíèåì, è ÷òî ïðåîáðàçîâàíèÿ, îáðàòíîå ê äðîáíî-ëèíåéíîìó, òîæå ÿâëÿåòñÿ äðîáíî-ëèíåéíûì.( )
a b
3⋄3 Ñîïîñòàâèì êàæäîìó äðîáíî-ëèíåéíîìó ïðåîáðàçîâàíèþ åãî ìàòðèöó
.
c d
à) Âûðàçèòå ìàòðèöó ïðîèçâåäåíèÿ äðîáíî-ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ÷åðåç ìàòðèöû ñîìíîæèòåëåé. á) Íàéäèòå ôîðìóëó äëÿ ìàòðèöû îáðàòíîãî äðîáíî-ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ.
3⋄4 Äâîéíûì îòíîøåíèåì ÷åòâåðêè ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ òî÷åê z1 , z2 , z3 , z4 íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîå
−z
÷èñëî X(z1, z2, z3, z4) = zz −z
: zz −z
. à) Äîêàæèòå, ÷òî äðîáíî-ëèíåéíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñîõðà−z
íÿþò äâîéíîå îòíîøåíèå. á) Äàéòå îïðåäåëåíèå äâîéíîãî îòíîøåíèÿ ÷åòâåðêè òî÷åê, îäíà èç
êîòîðûõ ∞, òàê, ÷òîáû óòâåðæäåíèå ïðåäûäóùåãî ïóíêòà îñòàëîñü âåðíûì.
3⋄5
à) Íàéäèòå êàêîå-íèáóäü äðîáíî-ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå, ïåðåâîäÿùåå òðè äàííûå òî÷êè
z1 , z2 , z3 â òî÷êè 0, ∞, 1 ñîîòâåòñòâåííî. á) Äîêàæèòå, ÷òî òàêîå äðîáíî-ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå
åäèíñòâåííî.
3⋄6 à) Äîêàæèòå, ÷òî îêðóæíîñòü (èëè ïðÿìàÿ), ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òðè çàäàííûå òî÷êè z1 , z2 , z3 ,
ñîñòîèò â òî÷íîñòè èç òî÷åê z òàêèõ, ÷òî X(z1, z2, z3, z) ∈ R ∪ {∞}. á) Äîêàæèòå, ÷òî êðóãîâûå
ïðåîáðàçîâàíèÿ ñîõðàíÿþò äâîéíîå îòíîøåíèå òî÷åê íà îêðóæíîñòè.
3⋄7 à) Ïóñòü X(z1 , z2 , z3 , z4 ) = λ. Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü äâîéíîå îòíîøåíèå òåõ æå òî÷åê
â äðóãîì ïîðÿäêå? á) ×åòâåðêà òî÷åê z1, z2, z3, z4 íàçûâàåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé, åñëè X(z1, z2, z3, z4) =
−1. Äîêàæèòå, ÷òî ýòî ðàâíîñèëüíî óñëîâèþ X(z1 , z2 , z3 , z4 ) = X(z1 , z2 , z4 , z3 ).
3⋄8 Îêðóæíîñòü S îðòîãîíàëüíà îêðóæíîñòÿì C è C ′ . à) Äîêàæèòå, ÷òî äâîéíîå îòíîøåíèå ÷åòâåðêè òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ S ñ C è C ′ íå çàâèñèò îò S è ñîõðàíÿåòñÿ êðóãîâûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè.
á) Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ýòîãî äâîéíîãî îòíîøåíèÿ îêðóæíîñòè C è C ′ ïåðåñåêàþòñÿ? ïðè êàêèõ
îðòîãîíàëüíû? â) Âûðàçèòå óãîë ìåæäó îêðóæíîñòÿìè C è C ′ ÷åðåç ýòî äâîéíîå îòíîøåíèå.
3⋄9 à) Äîêàæèòå, ÷òî äâîéíîå îòíîøåíèå òî÷åê íà îêðóæíîñòè ñîõðàíÿåòñÿ ïðè ñòåðåîãðàôè÷åñêîé ïðîåêöèè îêðóæíîñòè íà ïðÿìóþ. á) Äîêàæèòå, ÷òî äâîéíîå îòíîøåíèå òî÷åê íà ïðÿìîé
ñîõðàíÿåòñÿ ïðè öåíòðàëüíîé ïðîåêöèè ïðÿìîé íà ïðÿìóþ.
3⋄10 (Ïîëíûé ÷åòûðåõâåðøèííèê) Ïóñòü ABCD ÷åòûðåõóãîëüíèê, íå èìåþùèé ïàðàëëåëüíûõ
ñòîðîí. Ïðîâåäåì ïðÿìûå, ÿâëÿþùèåñÿ ïðîäîëæåíèÿìè åãî ñòîðîí è äèàãîíàëåé, îáîçíà÷èì ÷åðåç P , Q, R òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ AB ñ CD, AD ñ BC , AC ñ BD, ñîîòâåòñòâåííî, è ïðîâåäåì
ïðÿìóþ ÷åðåç êàæäûå äâå èç òî÷åê P , Q, R. Äîêàæèòå, ÷òî íà êàæäîé èç äåâÿòè ïðîâåäåííûõ
ïðÿìûõ îñòàëüíûå âîñåìü âûñåêàþò ãàðìîíè÷åñêóþ ÷åòâåðêó òî÷åê.
3⋄11 (Çàäà÷à î áàáî÷êå) ×åðåç ñåðåäèíó C ïðîèçâîëüíîé õîðäû AB îêðóæíîñòè ïðîâåäåíû äâå õîðäû
KL è M N (òî÷êè K è M ëåæàò ïî îäíó ñòîðîíó îò AB ). Îòðåçîê KN ïåðåñåêàåò AB â òî÷êå
P . Îòðåçîê LM ïåðåñåêàåò AB â òî÷êå Q. Äîêàæèòå, ÷òî P C = QC .
4
4
1
2
3
3
1
2