ÊÂÀÍT 2002/¹5 36 ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÊÐÓÆÎÊ Öåëàÿ è äðîáíàÿ ÷àñòè ÷èñëà À.ÅÃÎÐÎÂ Ó ÏÎÌßÍÓÒÛÅ Â ÇÀÃËÀÂÈÈ ÔÓÍÊÖÈÈ ÄÎÂÎËÜÍÎ ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ â ñàìûõ ðàçíûõ îáëàñòÿõ ìàòåìàòèêè â ÷àñòíîñòè, â àëãåáðå, àíàëèçå, òåîðèè ÷èñåë, êîìáèíàòîðèêå. Îá ýòèõ è ðîäñòâåííûõ èì ôóíêöèÿõ, à òàêæå î çàäà÷àõ, ñ èõ ïîìîùüþ ðåøàåìûõ, ìû è ïîãîâîðèì. Öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà è åå ðîäñòâåííèêè Öåëîé ÷àñòüþ [x] ÷èñëà õ íàçûâàåòñÿ íàèáîëüøåå öåëîå ÷èñëî, íå ïðåâîñõîäÿùåå õ. Íàïðèìåð, [1,5] = 2, [1] = 1, [0] = 0, [1,5] = 1, [ π] = 3 . Âîîáùå, â ñèëó îïðåäåëåíèÿ, ðàâåíñòâî [x] = k îçíà÷àåò, ÷òî k ýòî öåëîå ÷èñëî, òàêîå, ÷òî k £ x < k + 1 . Ãðàôèê ôóíêöèè y = [x] (ðèñ.1) ñîñòîèò èç ñòóïåíåê è êàê áû îáðàçóåò ëåñòíèöó, èäóùóþ ñëåâà íàïðàâî è ñíèçó ââåðõ, ïåðåõîäÿùóþ â ñåáÿ ïðè O ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå uuur íà âåêòîð AB = (1;1) .  ëèòåðàòóðå òàêæå âñòðå÷àåòñÿ òåðìèí «ïîë ÷èñëà õ» (â ïðîòèâîïî` ` N ëîæíîñòü ñëîâó «ïîòîëîê») è åãî îáîçíà÷åíèå ` êë xúû . Ýòî òî æå ñàìîå, ÷òî è öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà. Ñõîäíûì îáðàçîì îïÐèñ. 1 ðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèÿ éê xùú ïîòîëîê ÷èñëà õ. Ýòî íàèìåíüøåå öåëîå ÷èñëî, íå ìåíüøåå õ. é 1ù Íàïðèìåð, éê-1ùú = -1 , ê- ú = 0 , éê πùú = 4 , éê 2,5ùú = 3 . êê 2 úú y Ãðàôèê ôóíêöèè y = éê x ùú ïîêàçàí íà ðèñóíêå 2. Óïðàæíåíèÿ ` ` Ðèñ. 2 é x2 - 3x ù ú =1; à) êê ú 2 êë úû x 1. Ïîäóìàéòå, êàê èç ãðàôèêà y = [x] ïîëó÷èòü ãðàôèê y = êé x úù , è âûðàçèòå éê x ùú ÷åðåç öåëóþ ÷àñòü. 2. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ é 3 x - 1ù á) ê ú=5. êê 3 úú Îòìåòèì íåêîòîðûå ïî÷òè î÷åâèäíûå ñâîéñòâà öåëîé ÷àñòè ÷èñëà: 1) [ x ] £ x ; 2) [ x + a ] = [ x ] + a , ãäå à ïðîèçâîëüíîå öåëîå ÷èñëî; 3) [ x + y] ³ [ x ] + [ y ] ïðè ëþáûõ õ è ó. Óïðàæíåíèÿ 3. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè [ x + a ] = [ x ] + [a ] äëÿ ëþáîãî x Î 4 , òî à öåëîå ÷èñëî. 4. Ïîñòðîéòå ãðàôèêè ôóíêöèé é xù à) y = [2x ] ; á) y = [-x ] ; â) y = [ x ] - 2 ê ú . ëê 2 ûú 5. Íàðèñóéòå íà ïëîñêîñòè õÎó òî÷êè, äëÿ êîòîðûõ à) [ x + y] = [ x ] + [ y ] ; 6. Äîêàæèòå, ÷òî 2 2 á) éêë x + y ùúû = 1 ; â) [ x ] = [ y] . [ x ] + [ y ] + [ x + y ] £ [2 x ] + [2 y ] . Íàêîíåö, èíîãäà áûâàåò ïîëåçíà ôóíêöèÿ y = (x ) áëèæàéøåå ê õ öåëîå ÷èñëî. Ïðè ýòîì åñëè áëèæàéøèõ ê õ 2k + 1 öåëûõ ÷èñåë äâà (÷òî áûâàåò ïðè x = , ãäå k öåëîå), 2 âûáèðàåòñÿ áîëüøåå èç íèõ. æ 1ö Íàïðèìåð, çç- ÷÷ = 0 , çè 2 ø÷ æ 1 ö÷ çç ÷ = 1 , (π) = 3 , (0,8) = 1 . çè 2 ø÷ é 1ù Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ( x) = ê x + 2 ú . ëê ûú Óïðàæíåíèå 7. Äîêàæèòå ýòî è ïîñòðîéòå ãðàôèê ôóíêöèè y = (x) . Äðîáíàÿ ÷àñòü ÷èñëà Äðîáíîé ÷àñòüþ {x} ÷èñëà õ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî {x } = x - [ x ] . ì 1üï 1 Òàê, {-0,3} = 0,7 , ï í- 2ý = 2 , { 2 } = 2 - 1 , {-2 2 } = îïï þïï = 2 - 2 , {1} = 0 . Îòìåòèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà äðîáíîé ÷àñòè: 1) ðàâåíñòâî {x} = x ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî 0 £ x < 1 ; 2) {x} = {y} òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x y = n, ãäå n öåëîå ÷èñëî; â ÷àñòíîñòè, 3) y {x + 1} = {x} äëÿ ëþáî ãî õ. Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ y = {x} ïåðèîäè÷íà ñ ïåðèîäîì 1. Ãðàôèê åå ` x ïîêàçàí íà ðèñóíêå 3 (ïîêîñèâøèéñÿ ïåðèîäè÷åñÐèñ. 3 êèé çàáîð). Ñ äðîáíîé ÷àñòüþ òåñO íî ñâÿçàíà åùå îäíà ôóíê öèÿ: y = {{x}} ðàññòîÿíèå îò õ äî áëèæàéøåãî öåëîãî ÷èñëà.  îòëè÷èå îò ` N äðîáíîé ÷àñòè ïîñëåäíÿÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà. Åå ãðàôèê èçîáðàæåí íà ðèÐèñ. 4 ñóíêå 4. Óïðàæíåíèÿ {x + 21}- 21 . 8. Äîêàæèòå, ÷òî {{x}} = 9. Äîêàæèòå, ÷òî {k {x}} = {kx} ðåøèòå óðàâíåíèå ïðè ëþáîì íàòóðàëüíîì k, è {3 {x }} = x . 10. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ 1 à) {3 x } = ; á) {6 x } + {x} = 1 . 2