замечаний, которые, быть может, послужили зародыт шем идеи

ÊÂÀÍT 2002/¹6
12
çàìå÷àíèé, êîòîðûå, áûòü ìîæåò, ïîñëóæèëè çàðîäûøåì èäåè, ðàçâèòîé âïîñëåäñòâèè Âàëëèñîì. Âîçìîæíî, Âàëëèñó áûëî âàæíî äîáèòüñÿ ðàñïîëîæåíèÿ
Áðîóíêåðà è åãî ïîêðîâèòåëüñòâà, ïîýòîìó îí è íàçâàë
ýòîò ìåòîä ìåòîäîì Áðîóíêåðà (èáî Áðîóíêåð â 1662–
1677 ãîäàõ áûë ïðåçèäåíòîì îñíîâàííîãî â 1660 ãîäó
Ëîíäîíñêîãî Êîðîëåâñêîãî îáùåñòâà). Âïðî÷åì, íåêîòîðûå èñòîðèêè ñ÷èòàþò ñàìîãî Áðîóíêåðà âåñüìà
ñïîñîáíûì ìàòåìàòèêîì è óòâåðæäàþò, ÷òî ïî ñâîèì
ëè÷íûì êà÷åñòâàì Âàëëèñ ñêîðåå ìîã ïðèïèñàòü ñåáå
÷óæèå çàñëóãè, ÷åì îòêàçàòüñÿ îò ñâîèõ.
Ñòðîãî ãîâîðÿ, àíãëè÷àíå íå ðåøèëè çàäà÷ó Ôåðìà,
êîòîðàÿ çàêëþ÷àëàñü â òîì, ÷òî ïðè äàííîì (íå ÿâëÿþùåìñÿ êâàäðàòîì) íàòóðàëüíîì d ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî íàòóðàëüíûõ x òàêèõ, ÷òî dx 2 + 1 ÿâëÿåòñÿ
êâàäðàòîì. Îíè íå äîêàçàëè, ÷òî ïðîöåäóðà âñåãäà
çàâåðøèòñÿ, è, êàæåòñÿ, äàæå íå ïîíèìàëè, ÷òî ýòî
íóæíî äîêàçûâàòü.3
Ôåðìà íàïèñàë ïèñüìî, â êîòîðîì ïðèçíàë, ÷òî àíãëè÷àíàì óäàëîñü ðåøèòü åãî çàäà÷ó, è íå ïðîÿâèë íè
ìàëåéøåé íåóäîâëåòâîðåííîñòè èõ ìåòîäîì. Îäíàêî
ãëàâíûì äëÿ Ôåðìà â ýòîì ïèñüìå áûëî óáåäèòü
àíãëè÷àí, ÷òî ïåðåä íèìè áûëà ïîñòàâëåíà äîñòîéíàÿ
çàäà÷à, òàê ÷òî îí ìîã ñîçíàòåëüíî çàêðûòü ãëàçà íà
íåäîñòàòêè.
Íåñêîëüêî ëåò ñïóñòÿ, ïîäâîäÿ â ïèñüìå ê Êàðêàâè
èòîãè íåêîòîðûõ ñâîèõ îòêðûòèé, Ôåðìà óêàçàë, ÷òî
àíãëè÷àíå ïîëó÷èëè ðåøåíèå åãî çàäà÷è òîëüêî â
îòäåëüíûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ è èì íå óäàëîñü äàòü îáùåå
äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ýòîãî çàìå÷àíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî Ôåðìà çàìåòèë îòñóòñòâèå
äîêàçàòåëüñòâà òîãî, ÷òî ïðîöåññ âñåãäà ïðèâîäèò ê
ðåøåíèþ; ñ äðóãîé ñòîðîíû, â íåì ìîæíî óâèäåòü è
ìåíåå ãëóáîêóþ êðèòèêó òîãî, ÷òî ïðîöåññ áûë îïèñàí
â íåäîñòàòî÷íî îáùèõ òåðìèíàõ. Ôåðìà óòâåðæäàåò,
÷òî îí ìîã áû äàòü äîêàçàòåëüñòâî, «íàäëåæàùèì îáðàçîì» ïðèìåíèâ ìåòîä áåñêîíå÷íîãî ñïóñêà. Ýòè ñëîâà,
ðàçóìååòñÿ, íåëüçÿ ñ÷èòàòü äîñòàòî÷íûì ñâèäåòåëüñòâîì â ïîëüçó òîãî, ÷òî îí óìåë ðåøàòü ñâîþ çàäà÷ó.
Èíäèéñêèé è àíãëèéñêèé ìåòîäû
Ëåãåíäû ãëàñÿò, ÷òî çà íåñêîëüêî âåêîâ äî íàøåé ýðû
â Èíäèè áûëî èçâåñòíî ðàâåíñòâî 2 ⋅ 408 2 + 1 = 577 2 .
Ðàâåíñòâî 92 ⋅ 120 2 + 1 = 11512 âìåñòå ñ èçîùðåííîé
òåõíèêîé åãî âûâîäà áûëî ïîëó÷åíî Áðàõìàãóïòîé
(ðîäèëñÿ â 598 ãîäó). Îáùèé ñïîñîá ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ïåëëÿ 4 äàë Áõàñêàðà Àêõàðèÿ. Ýòîò ìåòîä íàçûâàþò öèêëè÷åñêèì èëè èíäèéñêèì.
3 Äàæå Ýéëåðó íå óäàëîñü äîêàçàòü, ÷òî àíãëèéñêèé ìåòîä
âñåãäà ïðèâîäèò ê óñïåõó. Óäàëîñü ýòî Ëàãðàíæó ÷åðåç 110 ëåò
ïîñëå òîãî, êàê Âàëëèñ îòîñëàë îòâåò íà âûçîâ Ôåðìà.
4 Òåðìèí «óðàâíåíèå Ïåëëÿ» âîçíèê â ðåçóëüòàòå îøèáêè
Ëåîíàðäà Ýéëåðà. Ïî÷åìó-òî – âîçìîæíî, ïî ïðè÷èíå ñìóòíûõ
âîñïîìèíàíèé, îñòàâøèõñÿ îò ÷òåíèÿ «Àëãåáðû» Âàëëèñà,– ó
Ýéëåðà ñîçäàëîñü âïå÷àòëåíèå, áóäòî Âàëëèñ ïðèïèñûâàåò ìåòîä
ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è íå Áðîóíêåðó, à Ïåëëþ – ñîâðåìåííèêó
Âàëëèñà, êîòîðûé ìíîãî ðàç óïîìÿíóò â åãî ðàáîòàõ, íî íå èìåë
2
2
íèêàêîãî îòíîøåíèÿ ê óðàâíåíèþ x − dy = 1 . Ýéëåð âïåðâûå
ñäåëàë ýòó îøèáêó â 1730 ãîäó, êîãäà åìó áûëî 23 ãîäà, íî îíà
ïîïàëà è â îêîí÷àòåëüíîå èçäàíèå «Ââåäåíèÿ â àëãåáðó» (ïðèìåðíî
1770 ã.). Ýéëåð áûë ñàìûì ïîïóëÿðíûì ìàòåìàòè÷åñêèì àâòîðîì
ñâîåãî âðåìåíè, è îøèáêà âîøëà â èñòîðèþ...
Ïîçíàêîìèìñÿ ñ íèì íà ïðèìåðå d = 67. Íàøà öåëü
– íàéòè òàêèå íàòóðàëüíûå x è y, ÷òîáû ðàçíîñòü
y2 − 67x 2 ðàâíÿëàñü 1.  êà÷åñòâå ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ ðàññìîòðèì ðàâåíñòâî
82 − 67 ⋅ 12 = −3 .
Âñïîìíèâ ôîðìóëó
(a
2
− 67b 2
)(c
2
)
− 67d 2 = ( ac + 67bd ) – 67 (bc + ad )
2
2
è ïðèìåíèâ åå ê ðàâåíñòâàì 82 − 67 ⋅ 12 = −3 è r 2 −
− 67 ⋅ 12 = s , ãäå r (à òåì ñàìûì è s) áóäåò îïðåäåëåíî
ïîçæå, ïîëó÷èì
(8r + 67 )
2
− 67 (r + 8 ) = −3 s .
2
Ïûòàÿñü ñäåëàòü ïðàâóþ ÷àñòü (ïî ìîäóëþ) êàê ìîæíî
ìåíüøåé òîëüêî çà ñ÷åò âûáîðà íàèìåíüøåãî ïî ìîäóëþ çíà÷åíèÿ s, ìû âûáðàëè áû r = 8, ïðè êîòîðîì s =
= –3, è ïîëó÷èëè áû ðàâåíñòâî
1312 − 67 ⋅ 16 2 = 9 ,
ñ êîòîðûì íåïîíÿòíî ÷òî äåëàòü äàëüøå.
Èäåÿ öèêëè÷åñêîãî ìåòîäà – âûáîð òàêîãî r, ÷òîáû
r + 8 äåëèëîñü íà 3 è s ïðè ýòîì áûëî êàê ìîæíî ìåíüøå
ïî ìîäóëþ. (Êîãäà ýòî ñäåëàíî, îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ
ðàçäåëÿòñÿ íàöåëî íà 32 .)
Èäåÿ àíãëèéñêîãî ìåòîäà – âûáîð òàêîãî êàê ìîæíî
áîëüøåãî r, ÷òî r 2 < d è r + 8 äåëèòñÿ íà 3.
Êàê âèäèòå, ìåòîäû î÷åíü ïîõîæè. Îáà ìîæíî ïðèìåíÿòü äëÿ ïîèñêà ðåøåíèé ïðè äàííîì d, íå çíàÿ
çàðàíåå, ÷òî ýòî ïðèâåäåò ê óñïåõó. (Ìåæäó ïðî÷èì,
àïðèîðè íåò íèêàêîé óâåðåííîñòè â òîì, ÷òî â îáùåì
ñëó÷àå â àíãëèéñêîì ìåòîäå ïîñëå êàæäîãî øàãà r áóäåò
ñóùåñòâîâàòü. Ýòî – îäíà èç òåîðåì, êîòîðûå íàäî
äîêàçûâàòü, îáîñíîâûâàÿ àíãëèéñêèé ìåòîä.)
Ïðîâåäåì ïîäðîáíî âû÷èñëåíèÿ äëÿ öèêëè÷åñêîãî
ìåòîäà. ×òîáû r + 8 äåëèëîñü íà 3, ÷èñëî r äîëæíî
ðàâíÿòüñÿ îäíîìó èç ÷èñåë áåñêîíå÷íîé â îáå ñòîðîíû
àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè ..., –2, 1, 4, 7, 10, 13,
16, ... Âûáîð r = 7 äàåò íàèìåíüøåå ïî ìîäóëþ çíà÷åíèå
s = –18. Ýòèì r è s ñîîòâåòñòâóåò ðàâåíñòâî
123 2 − 67 ⋅ 152 = 54 ,
êîòîðîå ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà 9 ïðåâðàùàåòñÿ â
412 − 67 ⋅ 52 = 6 .
Òåïåðü – ñëåäóþùèé øàã öèêëè÷åñêîãî ìåòîäà:
(41r + 67 ⋅ 5)2 − 67 (5r + 41)2
= 6s .
×èñëî 5r + 41 äåëèòñÿ íà 6 ïðè r = ..., –7, –1, 5, 11,
17, 23,... Âûáîð r = 5 äàåò íàèìåíüøåå ïî ìîäóëþ s =
= –42, è ìû ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî
5402 − 67 ⋅ 662 = 6 ⋅ ( −42 ),
êîòîðîå ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà 6 2 ïðåâðàùàåòñÿ â
902 − 67 ⋅ 112 = −7 .
Äàëüøå íàäî âûïîëíèòü ñëåäóþùèé øàã öèêëè÷åñêîãî
ìåòîäà, ïîòîì åùå îäèí, è òàê äî òåõ ïîð, ïîêà íå
ïîëó÷èì ðàâåíñòâî, â ïðàâîé ÷àñòè êîòîðîãî áóäåò 1.