Уравнения Пелля

10
Óðàâíåíèÿ Ïåëëÿ
ÊÂÀÍT 2002/¹6
À.ÑÏÈÂÀÊ
ìíîãî ðàçíûõ èíòåðåñíûõ òåîðåì. Íå äîêàçàíà
òîëüêî îäíà, ñàìàÿ òðóäíàÿ – äåñÿòàÿ. Ýòà òåîðåìà óòâåðæäàåò, ÷òî ëþáîå óðàâíåíèå x 2 - dy 2 = 1 , ãäå
d – íàòóðàëüíîå ÷èñëî, íå ÿâëÿþùååñÿ òî÷íûì êâàäðàòîì, èìååò õîòÿ áû îäíî ðåøåíèå â íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ.
ß èçëîæó ÷åòûðå äîêàçàòåëüñòâà. Ïåðâûé ñïîñîá
èñïîëüçóåò ïðèíöèï Äèðèõëå è ïðèáëèæåíèÿ èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ðàöèîíàëüíûìè. Ýòîò ñïîñîá êîðîòêèé
è ïðîçðà÷íûé, íî ó íåãî åñòü ïðèíöèïèàëüíûé íåäîñòàòîê: îí íå äàåò ïðèåìëåìîãî äëÿ ïðàêòèêè ìåòîäà
íàõîæäåíèÿ ðåøåíèÿ. Ïîõîæèå äðóã íà äðóãà äðóãèå
äâà ñïîñîáà – àíãëèéñêèé è èíäèéñêèé ìåòîäû –
ñâîáîäíû îò ýòîãî íåäîñòàòêà, ÿâëÿÿñü àëãîðèòìàìè
ïîèñêà ðåøåíèÿ. Ê ñîæàëåíèþ, äîêàçàòåëüñòâî òîãî,
÷òî ýòè àëãîðèòìû ðàíî èëè ïîçäíî îñòàíàâëèâàþòñÿ è
ïðèâîäÿò èìåííî ê íàèìåíüøåìó ðåøåíèþ, òðåáóåò
çíà÷èòåëüíûõ óñèëèé.
Ìíå áîëüøå âñåãî íðàâèòñÿ ÷åòâåðòûé ñïîñîá, èñïîëüçóþùèé öåïíûå äðîáè. Èõ ðîëü â òåîðèè óðàâíåíèé Ïåëëÿ íå ìåíåå çíà÷èòåëüíà, ÷åì ðîëü èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, î êîòîðîé áûëî ðàññêàçàíî â ïåðâîé è
Ïðîäîëæåíèå. Íà÷àëî ñì. â «Êâàíòå» ¹3, 4.
âòîðîé ÷àñòÿõ ñòàòüè. Äà è ñàìè ïî ñåáå öåïíûå äðîáè
÷ðåçâû÷àéíî èíòåðåñíû.
Íî ïðåæäå âñåãî ðàññêàæó îäíó èñòîðèþ. 1
Âûçîâ Ôåðìà
Íà÷àëî åñòü áîëåå ÷åì ïîëîâèíà âñåãî.
Àðèñòîòåëü
«Ñåé÷àñ åäâà ëè íàéäåòñÿ êòî-íèáóäü, êòî ïðåäëàãàåò àðèôìåòè÷åñêèå âîïðîñû, è êòî-íèáóäü, êòî èõ
ïîíèìàåò. Íå ïîòîìó ëè ýòî ïðîèñõîäèò, ÷òî äî ñèõ
ïîð àðèôìåòèêó ðàññìàòðèâàëè ñêîðåå ñ ãåîìåòðè÷åñêîé, ÷åì ñ àðèôìåòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ? Òàê áûëî
âñåãäà – è â äðåâíèõ, è â ñîâðåìåííûõ ðàáîòàõ; ïðèìåðîì òîìó ÿâëÿåòñÿ äàæå Äèîôàíò. Èáî õîòÿ îí è
áîëåå ÷åì äðóãèå îñâîáîäèëñÿ îò ãåîìåòðèè â òîì
îòíîøåíèè, ÷òî îãðàíè÷èâàåò ñâîé àíàëèç ðàññìîòðåíèåì ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, îäíàêî äàæå ó íåãî ãåîìåòðèÿ íå ïîëíîñòüþ îòñóòñòâóåò...
Òåïåðü àðèôìåòèêà èìååò, òàê ñêàçàòü, ñîáñòâåííóþ îáëàñòü èçó÷åíèÿ – òåîðèþ öåëûõ ÷èñåë. Åâêëèä
ëèøü ñëåãêà çàòðîíóë åå â ñâîèõ «Íà÷àëàõ», à åãî
1 Ìíîãîå èç òîãî, ÷òî âîøëî â ýòó ÷àñòü ñòàòüè, çàèìñòâîâàíî
èç êíèãè Ã.Ýäâàðäñà «Ïîñëåäíÿÿ òåîðåìà Ôåðìà. Ãåíåòè÷åñêîå
ââåäåíèå â àëãåáðàè÷åñêóþ òåîðèþ ÷èñåë».
Èëëþñòðàöèÿ Â.Àêàòüåâîé
Â
ÏÐÅÄÛÄÓÙÈÕ ×ÀÑÒßÕ ÑÒÀÒÜÈ ÄÎÊÀÇÀÍÎ
ÓÐÀÂÍÅÍÈß
ïîñëåäîâàòåëè íåäîñòàòî÷íî çàíèìàëèñü ýòîé òåîðèåé
(åñëè òîëüêî îíà íå ñîäåðæàëàñü â òåõ êíèãàõ Äèîôàíòà, êîòîðûõ ìû ëèøèëèñü âñëåäñòâèå ðàçðóøèòåëüíîãî
äåéñòâèÿ âðåìåíè); ñëåäîâàòåëüíî, àðèôìåòèêàì ïðåäñòîèò ðàçâèâàòü èëè âîññòàíàâëèâàòü åå.
Ïîýòîìó àðèôìåòèêàì, äàáû îñâåòèòü òîò ïóòü, ïî
êîòîðîìó íàäî ñëåäîâàòü, ïðåäëàãàþ ÿ ýòó òåîðåìó,
÷òîáû îíè äîêàçàëè åå, èëè ýòó çàäà÷ó, ÷òîáû îíè
ðåøèëè åå. Åñëè æå ïðåóñïåþò îíè â åå äîêàçàòåëüñòâå
èëè ðåøåíèè, òî èì ïðèäåòñÿ ïðèçíàòü, ÷òî âîïðîñû
òàêîãî ðîäà íè÷åì íå óñòóïàþò â îòíîøåíèè êðàñîòû,
òðóäíîñòè èëè ìåòîäà äîêàçàòåëüñòâà ñàìûì çíàìåíèòûì âîïðîñàì ãåîìåòðèè.
Åñëè äàíî ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå íå ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì, òî íàéäåòñÿ áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî
òàêèõ êâàäðàòîâ, ÷òî åñëè ýòîò êâàäðàò óìíîæèòü íà äàííîå ÷èñëî è ê ïðîèçâåäåíèþ ïðèáàâèòü
åäèíèöó, òî ðåçóëüòàò áóäåò êâàäðàòîì.
Ïðèìåð. Ïóñòü 3, êîòîðîå íå ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì,
áóäåò äàííûì ÷èñëîì. Åñëè óìíîæèòü åãî íà êâàäðàò,
ðàâíûé 1, è ê ïðîèçâåäåíèþ äîáàâèòü 1, òî â ðåçóëüòàòå
ïîëó÷èòñÿ 4, ÷òî ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì. Åñëè òî æå
ñàìîå ÷èñëî 3 óìíîæèòü íà 16, òî ïîëó÷èòñÿ ïðîèçâåäåíèå, êîòîðîå ïðè óâåëè÷åíèè íà 1 ïðåâðàùàåòñÿ â 49,
òîæå êâàäðàò. È êðîìå 1 è 16 ìîæíî íàéòè áåñêîíå÷íîå
ìíîæåñòâî êâàäðàòîâ ñ òåì æå ñâîéñòâîì.
Íî ÿ ñïðàøèâàþ îá îáùåì ïðàâèëå ðåøåíèÿ – êîãäà
äàíî ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî, íå ÿâëÿþùååñÿ êâàäðàòîì.
Íàïðèìåð, íàéäèòå òàêîé êâàäðàò, ÷òî åñëè ïðîèçâåäåíèå ýòîãî êâàäðàòà è ÷èñëà 109, 149 èëè 433 óâåëè÷èòü íà 1, òî ïîëó÷èòñÿ êâàäðàò.»
Òàêîâ áûë âûçîâ Ôåðìà, êîòîðûé îí ñäåëàë â 1657
ãîäó äðóãèì ìàòåìàòèêàì, â ÷àñòíîñòè àíãëèéñêèì.
Î÷åâèäíî, ÷òî îí æåëàåò íå òðàäèöèîííîãî äèîôàíòîâà
ðåøåíèÿ â ðàöèîíàëüíûõ ÷èñëàõ, à ðåøåíèÿ çàäà÷è â
öåëûõ ÷èñëàõ.2 Êàê ýòî íè ñòðàííî, íî ïîÿñíåíèÿ ê
çàäà÷å áûëè îïóùåíû îäíèì èç ïîñðåäíèêîâ â òîì
ýêçåìïëÿðå ïèñüìà, êîòîðûé áûë ïåðåäàí àíãëèéñêèì
ìàòåìàòèêàì; â ðåçóëüòàòå îíè ñî÷ëè çàäà÷ó ñîâåðøåííî ãëóïîé. À èìåííî, ìîæíî ââåñòè îáîçíà÷åíèå
m
x = 1+ y
n
è ïîäñòàâèòü â óðàâíåíèå:
2
m ö
æ
1 + y÷ - dy 2 = 1 ,
n ø
èç
m2
2m
y + 2 y2 - dy2 = 0 ,
n
n
2mn = dn2 - m2 y ,
îòêóäà
dn 2 + m 2
2mn
, x=
.
2
2
dn 2 - m 2
dn - m
Ïîëó÷åííûå ôîðìóëû, êàê ëåãêî óáåäèòüñÿ, äàþò
áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé â ðàöèîíàëüíûõ ÷èñëàõ.
y=
Óïðàæíåíèå 54. à) Óáåäèòåñü, ÷òî ýòè ôîðìóëû äàþò âñå
ðåøåíèÿ. á) Íàéäèòå àíàëîãè÷íûå ôîðìóëû äëÿ óðàâíåíèÿ
x 2 + y2 = 1 .
2 Ïî èðîíèè ñóäüáû, íûíå ñëîâî «äèîôàíòîâî» óïîòðåáëÿþò,
æåëàÿ ïîëó÷èòü ðåøåíèÿ â öåëûõ ÷èñëàõ, òîãäà êàê ñàì Äèîôàíò
íè â îäíîé èç äîøåäøèõ äî íàñ ðàáîò íå çàíèìàëñÿ ðåøåíèÿìè â
öåëûõ ÷èñëàõ, à òîëüêî â ðàöèîíàëüíûõ.
11
ÏÅËËß
Êîãäà æå äîïîëíèòåëüíîå òðåáîâàíèå, ÷òî x è y
äîëæíû áûòü öåëûìè ÷èñëàìè, äîøëî äî àíãëèéñêèõ
ìàòåìàòèêîâ, òî îíè ïîæàëîâàëèñü, ÷òî óñëîâèå çàäà÷è
èçìåíèëè. Êîíå÷íî, èõ æàëîáó ìîæíî ïîíÿòü â ñâåòå
ñèëüíîé äèîôàíòîâîé òðàäèöèè, íî, êàê óêàçàë Ôåðìà,
áûëî íàèâíî íàäåÿòüñÿ, ÷òî îí ïðåäëîæèë òðèâèàëüíóþ çàäà÷ó. Êàê âèäíî èç ïðèâåäåííîé çäåñü òàáëèöû,
çàäà÷à Ôåðìà âåñüìà ñëîæíàÿ: äëÿ d = 61 íàèìåíüøåå
ðåøåíèå – ýòî ïàðà y = 226153 980 è x = 1766319049.
(Âïðî÷åì, âïåðâûå ïîñ÷èòàë ýòî íå Ôåðìà, à ðîäèâøèéñÿ â 1114 ãîäó èíäèåö Áõàñêàðà Àêõàðèÿ.) À äëÿ
d = 109 âîîáùå y = 15140424455100.
Òàáëèöà
2) 2
7) 3
12) 2
17) 8
21) 12
26) 10
30) 2
34) 6
39) 4
43) 531
47) 7
52) 90
56) 2
60) 4
65) 16
69) 936
73) 267000
77) 40
82) 18
86) 1122
90) 2
94) 221064
98) 10
03) 22419
107) 93
111) 28
115) 105
119) 11
124) 414960
128) 51
132) 2
136) 3
140) 61
145) 24
149) 2113761020
3) 1
8) 1
13) 180
18) 4
22) 42
27) 5
31) 273
35) 1
40) 3
44) 30
48) 1
53) 9100
57) 20
61) 226153980
66) 8
70) 30
74) 430
78) 6
83) 9
87) 3
91) 165
95) 4
99) 1
104) 5
108) 130
112) 12
116) 910
120) 1
125) 83204
129) 1484
133) 224460
137) 519712
41) 8
146) 12
150) 4
5) 4
6) 2
10) 6
11) 3
14) 4
15) 1
19) 39
20) 2
23) 5
24) 1
28) 24
29) 1820
32) 3
33) 4
37) 12
38) 6
41) 120
42) 2
45) 24
46) 3588
50) 14
51) 7
54) 66
55) 12
58) 2574
59) 69
62) 8
63) 1
67) 5967
68) 4
71) 413
72) 2
75) 3
76) 6630
79) 9
80) 1
84) 6
85) 30996
88) 21
89) 53000
92) 120
93) 1260
96) 5
97) 6377352
101) 20
102) 101
105) 4
106) 3115890
109) 15140424455100 110) 2
113) 113296
114) 96
117) 60
118) 28254
122) 22
123) 11
126) 40
127) 419775
130) 570
131) 927
134) 12606
135) 21
138) 4
139) 6578829
142) 12
143) 1
147) 8
148) 6
×òî ñäåëàëè àíãëè÷àíå?
Àíãëè÷àíàì óäàëîñü íå òîëüêî íàéòè ÷àñòíûå ðåøåíèÿ ïðè d = 109, 149 èëè 433, íî è ðàçðàáîòàòü îáùóþ
ïðîöåäóðó ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèé äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ d.
Êòî ýòî ñäåëàë – íåèçâåñòíî. Õîòÿ Äæîí Âàëëèñ
(1616–1703) ïåðâûì äàë îïèñàíèå ïðîöåäóðû è ïîëó÷èë ðåøåíèÿ â òðåõ ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ, îí ïðèïèñûâàåò
àâòîðñòâî âèêîíòó Óèëüÿìó Áðîóíêåðó (1620–1684).
 îïóáëèêîâàííîé ïåðåïèñêå Âàëëèñà íåò íèêàêèõ
óêàçàíèé íà òî, ÷òî Áðîóíêåð êîãäà-ëèáî ñîîáùàë åìó
÷òî-ëèáî îá ýòîì ìåòîäå, êðîìå íåñêîëüêèõ ïðîñòûõ
ÊÂÀÍT 2002/¹6
12
çàìå÷àíèé, êîòîðûå, áûòü ìîæåò, ïîñëóæèëè çàðîäûøåì èäåè, ðàçâèòîé âïîñëåäñòâèè Âàëëèñîì. Âîçìîæíî, Âàëëèñó áûëî âàæíî äîáèòüñÿ ðàñïîëîæåíèÿ
Áðîóíêåðà è åãî ïîêðîâèòåëüñòâà, ïîýòîìó îí è íàçâàë
ýòîò ìåòîä ìåòîäîì Áðîóíêåðà (èáî Áðîóíêåð â 1662–
1677 ãîäàõ áûë ïðåçèäåíòîì îñíîâàííîãî â 1660 ãîäó
Ëîíäîíñêîãî Êîðîëåâñêîãî îáùåñòâà). Âïðî÷åì, íåêîòîðûå èñòîðèêè ñ÷èòàþò ñàìîãî Áðîóíêåðà âåñüìà
ñïîñîáíûì ìàòåìàòèêîì è óòâåðæäàþò, ÷òî ïî ñâîèì
ëè÷íûì êà÷åñòâàì Âàëëèñ ñêîðåå ìîã ïðèïèñàòü ñåáå
÷óæèå çàñëóãè, ÷åì îòêàçàòüñÿ îò ñâîèõ.
Ñòðîãî ãîâîðÿ, àíãëè÷àíå íå ðåøèëè çàäà÷ó Ôåðìà,
êîòîðàÿ çàêëþ÷àëàñü â òîì, ÷òî ïðè äàííîì (íå ÿâëÿþùåìñÿ êâàäðàòîì) íàòóðàëüíîì d ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî íàòóðàëüíûõ x òàêèõ, ÷òî dx 2 + 1 ÿâëÿåòñÿ
êâàäðàòîì. Îíè íå äîêàçàëè, ÷òî ïðîöåäóðà âñåãäà
çàâåðøèòñÿ, è, êàæåòñÿ, äàæå íå ïîíèìàëè, ÷òî ýòî
íóæíî äîêàçûâàòü.3
Ôåðìà íàïèñàë ïèñüìî, â êîòîðîì ïðèçíàë, ÷òî àíãëè÷àíàì óäàëîñü ðåøèòü åãî çàäà÷ó, è íå ïðîÿâèë íè
ìàëåéøåé íåóäîâëåòâîðåííîñòè èõ ìåòîäîì. Îäíàêî
ãëàâíûì äëÿ Ôåðìà â ýòîì ïèñüìå áûëî óáåäèòü
àíãëè÷àí, ÷òî ïåðåä íèìè áûëà ïîñòàâëåíà äîñòîéíàÿ
çàäà÷à, òàê ÷òî îí ìîã ñîçíàòåëüíî çàêðûòü ãëàçà íà
íåäîñòàòêè.
Íåñêîëüêî ëåò ñïóñòÿ, ïîäâîäÿ â ïèñüìå ê Êàðêàâè
èòîãè íåêîòîðûõ ñâîèõ îòêðûòèé, Ôåðìà óêàçàë, ÷òî
àíãëè÷àíå ïîëó÷èëè ðåøåíèå åãî çàäà÷è òîëüêî â
îòäåëüíûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ è èì íå óäàëîñü äàòü îáùåå
äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ýòîãî çàìå÷àíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî Ôåðìà çàìåòèë îòñóòñòâèå
äîêàçàòåëüñòâà òîãî, ÷òî ïðîöåññ âñåãäà ïðèâîäèò ê
ðåøåíèþ; ñ äðóãîé ñòîðîíû, â íåì ìîæíî óâèäåòü è
ìåíåå ãëóáîêóþ êðèòèêó òîãî, ÷òî ïðîöåññ áûë îïèñàí
â íåäîñòàòî÷íî îáùèõ òåðìèíàõ. Ôåðìà óòâåðæäàåò,
÷òî îí ìîã áû äàòü äîêàçàòåëüñòâî, «íàäëåæàùèì îáðàçîì» ïðèìåíèâ ìåòîä áåñêîíå÷íîãî ñïóñêà. Ýòè ñëîâà,
ðàçóìååòñÿ, íåëüçÿ ñ÷èòàòü äîñòàòî÷íûì ñâèäåòåëüñòâîì â ïîëüçó òîãî, ÷òî îí óìåë ðåøàòü ñâîþ çàäà÷ó.
Èíäèéñêèé è àíãëèéñêèé ìåòîäû
Ëåãåíäû ãëàñÿò, ÷òî çà íåñêîëüêî âåêîâ äî íàøåé ýðû
â Èíäèè áûëî èçâåñòíî ðàâåíñòâî 2 ⋅ 408 2 + 1 = 577 2 .
Ðàâåíñòâî 92 ⋅ 120 2 + 1 = 11512 âìåñòå ñ èçîùðåííîé
òåõíèêîé åãî âûâîäà áûëî ïîëó÷åíî Áðàõìàãóïòîé
(ðîäèëñÿ â 598 ãîäó). Îáùèé ñïîñîá ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ïåëëÿ 4 äàë Áõàñêàðà Àêõàðèÿ. Ýòîò ìåòîä íàçûâàþò öèêëè÷åñêèì èëè èíäèéñêèì.
3 Äàæå Ýéëåðó íå óäàëîñü äîêàçàòü, ÷òî àíãëèéñêèé ìåòîä
âñåãäà ïðèâîäèò ê óñïåõó. Óäàëîñü ýòî Ëàãðàíæó ÷åðåç 110 ëåò
ïîñëå òîãî, êàê Âàëëèñ îòîñëàë îòâåò íà âûçîâ Ôåðìà.
4 Òåðìèí «óðàâíåíèå Ïåëëÿ» âîçíèê â ðåçóëüòàòå îøèáêè
Ëåîíàðäà Ýéëåðà. Ïî÷åìó-òî – âîçìîæíî, ïî ïðè÷èíå ñìóòíûõ
âîñïîìèíàíèé, îñòàâøèõñÿ îò ÷òåíèÿ «Àëãåáðû» Âàëëèñà,– ó
Ýéëåðà ñîçäàëîñü âïå÷àòëåíèå, áóäòî Âàëëèñ ïðèïèñûâàåò ìåòîä
ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è íå Áðîóíêåðó, à Ïåëëþ – ñîâðåìåííèêó
Âàëëèñà, êîòîðûé ìíîãî ðàç óïîìÿíóò â åãî ðàáîòàõ, íî íå èìåë
2
2
íèêàêîãî îòíîøåíèÿ ê óðàâíåíèþ x − dy = 1 . Ýéëåð âïåðâûå
ñäåëàë ýòó îøèáêó â 1730 ãîäó, êîãäà åìó áûëî 23 ãîäà, íî îíà
ïîïàëà è â îêîí÷àòåëüíîå èçäàíèå «Ââåäåíèÿ â àëãåáðó» (ïðèìåðíî
1770 ã.). Ýéëåð áûë ñàìûì ïîïóëÿðíûì ìàòåìàòè÷åñêèì àâòîðîì
ñâîåãî âðåìåíè, è îøèáêà âîøëà â èñòîðèþ...
Ïîçíàêîìèìñÿ ñ íèì íà ïðèìåðå d = 67. Íàøà öåëü
– íàéòè òàêèå íàòóðàëüíûå x è y, ÷òîáû ðàçíîñòü
y2 − 67x 2 ðàâíÿëàñü 1.  êà÷åñòâå ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ ðàññìîòðèì ðàâåíñòâî
82 − 67 ⋅ 12 = −3 .
Âñïîìíèâ ôîðìóëó
(a
2
− 67b 2
)(c
2
)
− 67d 2 = ( ac + 67bd ) – 67 (bc + ad )
2
2
è ïðèìåíèâ åå ê ðàâåíñòâàì 82 − 67 ⋅ 12 = −3 è r 2 −
− 67 ⋅ 12 = s , ãäå r (à òåì ñàìûì è s) áóäåò îïðåäåëåíî
ïîçæå, ïîëó÷èì
(8r + 67 )
2
− 67 (r + 8 ) = −3 s .
2
Ïûòàÿñü ñäåëàòü ïðàâóþ ÷àñòü (ïî ìîäóëþ) êàê ìîæíî
ìåíüøåé òîëüêî çà ñ÷åò âûáîðà íàèìåíüøåãî ïî ìîäóëþ çíà÷åíèÿ s, ìû âûáðàëè áû r = 8, ïðè êîòîðîì s =
= –3, è ïîëó÷èëè áû ðàâåíñòâî
1312 − 67 ⋅ 16 2 = 9 ,
ñ êîòîðûì íåïîíÿòíî ÷òî äåëàòü äàëüøå.
Èäåÿ öèêëè÷åñêîãî ìåòîäà – âûáîð òàêîãî r, ÷òîáû
r + 8 äåëèëîñü íà 3 è s ïðè ýòîì áûëî êàê ìîæíî ìåíüøå
ïî ìîäóëþ. (Êîãäà ýòî ñäåëàíî, îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ
ðàçäåëÿòñÿ íàöåëî íà 32 .)
Èäåÿ àíãëèéñêîãî ìåòîäà – âûáîð òàêîãî êàê ìîæíî
áîëüøåãî r, ÷òî r 2 < d è r + 8 äåëèòñÿ íà 3.
Êàê âèäèòå, ìåòîäû î÷åíü ïîõîæè. Îáà ìîæíî ïðèìåíÿòü äëÿ ïîèñêà ðåøåíèé ïðè äàííîì d, íå çíàÿ
çàðàíåå, ÷òî ýòî ïðèâåäåò ê óñïåõó. (Ìåæäó ïðî÷èì,
àïðèîðè íåò íèêàêîé óâåðåííîñòè â òîì, ÷òî â îáùåì
ñëó÷àå â àíãëèéñêîì ìåòîäå ïîñëå êàæäîãî øàãà r áóäåò
ñóùåñòâîâàòü. Ýòî – îäíà èç òåîðåì, êîòîðûå íàäî
äîêàçûâàòü, îáîñíîâûâàÿ àíãëèéñêèé ìåòîä.)
Ïðîâåäåì ïîäðîáíî âû÷èñëåíèÿ äëÿ öèêëè÷åñêîãî
ìåòîäà. ×òîáû r + 8 äåëèëîñü íà 3, ÷èñëî r äîëæíî
ðàâíÿòüñÿ îäíîìó èç ÷èñåë áåñêîíå÷íîé â îáå ñòîðîíû
àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè ..., –2, 1, 4, 7, 10, 13,
16, ... Âûáîð r = 7 äàåò íàèìåíüøåå ïî ìîäóëþ çíà÷åíèå
s = –18. Ýòèì r è s ñîîòâåòñòâóåò ðàâåíñòâî
123 2 − 67 ⋅ 152 = 54 ,
êîòîðîå ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà 9 ïðåâðàùàåòñÿ â
412 − 67 ⋅ 52 = 6 .
Òåïåðü – ñëåäóþùèé øàã öèêëè÷åñêîãî ìåòîäà:
(41r + 67 ⋅ 5)2 − 67 (5r + 41)2
= 6s .
×èñëî 5r + 41 äåëèòñÿ íà 6 ïðè r = ..., –7, –1, 5, 11,
17, 23,... Âûáîð r = 5 äàåò íàèìåíüøåå ïî ìîäóëþ s =
= –42, è ìû ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî
5402 − 67 ⋅ 662 = 6 ⋅ ( −42 ),
êîòîðîå ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà 6 2 ïðåâðàùàåòñÿ â
902 − 67 ⋅ 112 = −7 .
Äàëüøå íàäî âûïîëíèòü ñëåäóþùèé øàã öèêëè÷åñêîãî
ìåòîäà, ïîòîì åùå îäèí, è òàê äî òåõ ïîð, ïîêà íå
ïîëó÷èì ðàâåíñòâî, â ïðàâîé ÷àñòè êîòîðîãî áóäåò 1.
ÓÐÀÂÍÅÍÈß
òî ãîäèòñÿ a = [bξ ] ; åñëè æå
Óïðàæíåíèÿ
55. Âûïîëíèâ åùå ïÿòü øàãîâ öèêëè÷åñêîãî ìåòîäà, íàéäèòå ðåøåíèå 488422 − 67 ⋅ 59672 = 1 .
56. à) Âûïîëíèòå âû÷èñëåíèÿ äëÿ d = 67, ïðèìåíÿÿ
àíãëèéñêèé ìåòîä. á) Ñðàâíèâ àíãëèéñêèé è öèêëè÷åñêèé
ìåòîäû äëÿ d = 67 è äëÿ íåñêîëüêèõ äðóãèõ çíà÷åíèé d,
ñôîðìóëèðóéòå ãèïîòåçó î âçàèìîñâÿçè ýòèõ äâóõ ìåòîäîâ.
Åñëè âû ðåøèëè ýòè äâà óïðàæíåíèÿ, òî óáåäèëèñü,
÷òî èíäèéñêèé è àíãëèéñêèé ìåòîäû ïîçâîëÿþò íàéòè
ðåøåíèå äëÿ d = 67. Îäíàêî íè äëÿ àíãëèéñêîãî, íè äëÿ
èíäèéñêîãî ìåòîäà íåò íèêàêèõ î÷åâèäíûõ ïðè÷èí, ïî
êîòîðûì ðàâåíñòâî ñ ïðàâîé ÷àñòüþ 1 äîëæíî îáÿçàòåëüíî ïîëó÷èòüñÿ â îáùåì ñëó÷àå. Åñòü è ìíîãî äðóãèõ
âîïðîñîâ. Íàïðèìåð, åñëè ýòè ìåòîäû äàäóò íàì êàêîåòî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ïåëëÿ, ìîæíî ëè óòâåðæäàòü,
÷òî ýòî ðåøåíèå – íàèìåíüøåå èç âîçìîæíûõ?
ß óâåðåí, ÷òî ïîïûòêà ñàìîñòîÿòåëüíî ðàçîáðàòüñÿ â
ýòèõ âîïðîñàõ áóäåò î÷åíü ïîëåçíîé. Ëþáèòåëü êîìïüþòåðîâ ìîæåò íà÷àòü ñ íàïèñàíèÿ àíãëèéñêîé è èíäèéñêîé ïðîãðàìì, êîòîðûå âû÷èñëÿò ïðèâåäåííóþ âûøå
òàáëèöó. À âîò äëÿ îáîñíîâàíèÿ öèêëè÷åñêîãî èëè
àíãëèéñêîãî ìåòîäà (à ëó÷øå áû îáîèõ!) âàì ïðèäåòñÿ
ñîçäàòü ÷óòü ëè íå öåëóþ òåîðèþ! Íî äàæå åñëè ó âàñ
íè÷åãî íå ïîëó÷èòñÿ (à ó áîëüøèíñòâà, âû óæ íå
îáèæàéòåñü, äåéñòâèòåëüíî íè÷åãî íå ïîëó÷èòñÿ, ïîñêîëüêó çàäà÷à î÷åíü ñëîæíà äàæå äëÿ òåõ, êòî óñïåøíî ñïðàâëÿåòñÿ ñ «Çàäà÷íèêîì «Êâàíòà»), ýòî áóäåò
î÷åíü ïîëåçíî.
Äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ
Ïðèáëèæåíèÿ èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë
ðàöèîíàëüíûìè
Òåîðåìó 10 ìîæíî äîêàçàòü, ðàññìàòðèâàÿ ïðèáëèæåíèÿ ÷èñëà d ðàöèîíàëüíûìè ÷èñëàìè. Äëÿ ýòîãî
ñíà÷àëà ñôîðìóëèðóþ è äîêàæó ñëåäóþùóþ ëåììó.
Ëåììà. Äëÿ ëþáîãî âåùåñòâåííîãî ÷èñëà ξ è ëþáîãî
íàòóðàëüíîãî ÷èñëà N ñóùåñòâóþò òàêèå öåëîå ÷èñëî a è íàòóðàëüíîå ÷èñëî b, ÷òî b ≤ N è
bξ − a ≤
1
.
N +1
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ÷èñëà 0 è 1, à òàêæå
äðîáíûå ÷àñòè ÷èñåë ξ , 2ξ , ..., Nξ . Åñëè áû âñå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ýòèìè (N + 2)-ìÿ ÷èñëàìè áûëè áîëüøå
1/(N + 1), òî ïîëó÷èëîñü áû ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò,
êàêîå-òî èç ðàññòîÿíèé íå ïðåâîñõîäèò 1/(N + 1). Åñëè
{b2 ξ} − {b1ξ}
≤
1
,
N +1
òî ìîæíî âçÿòü a = [bξ ] + 1. Ëåììà äîêàçàíà.
Óïðàæíåíèÿ
57. Äëÿ ëþáûõ ÷èñåë ξ1, ξ2 , K , ξk è ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà N ñóùåñòâóþò òàêèå öåëûå ÷èñëà b1, b2, K , bk è a,
õîòÿ áû îäíî èç êîòîðûõ îòëè÷íî îò íóëÿ, ÷òî àáñîëþòíûå
âåëè÷èíû ÷èñåë b1, b2, K , bk íå ïðåâîñõîäÿò N è
1
b1ξ1 + b2ξ2 + K + bkξk - a £ k
.
N +1
Äîêàæèòå ýòî.
58. Äëÿ ëþáûõ ÷èñåë ξ1, ξ2 , K , ξk è ëþáîãî íàòóðàëüíîãî
÷èñëà N ñóùåñòâóåò òàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî b, ÷òî b £ N k
è äðîáíûå ÷àñòè ÷èñåë bξ1, bξ2, K , bξk íå ïðåâîñõîäÿò 1/N.
Äîêàæèòå ýòî.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 10
Ïîëîæèì ξ = d . Äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî n > 1 â
ñèëó ëåììû ñóùåñòâóþò òàêèå íàòóðàëüíûå ÷èñëà an
è bn , ÷òî bn < n è
1
an - bn d £ .
n
Î÷åâèäíî,
an2 - dbn2 = an - bn d × an + bn d £
£
1æ1
1
ö
an - bn d + 2bn d £ ç + 2n d ÷ < 1 + 2 d .
n
n
è
ø
n
Èòàê, âåëè÷èíà an2 - dbn2 ìîæåò ïðèíèìàòü ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî çíà÷åíèé. Íî n ìîæíî áðàòü ñêîëü óãîäíî
1
áîëüøèì! È ïðè ýòîì â ñèëó íåðàâåíñòâà an - bn d £
n
ïðè n ® ¥ èìååì bn ® ¥ . Çíà÷èò, õîòÿ áû äëÿ îäíîãî
öåëîãî ÷èñëà c, ïî ìîäóëþ ìåíüøåãî 1 + 2 d , ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî ïàð íàòóðàëüíûõ ÷èñåë an ; bn ,
äëÿ êîòîðûõ
an2 - dbn2 = c .
Çàôèêñèðóåì îäíî èç òàêèõ ÷èñåë c. Ðàññìîòðèì
îñòàòêè îò äåëåíèÿ ÷èñåë an è bn íà |c|. Ïîñêîëüêó
êîëè÷åñòâî îñòàòêîâ êîíå÷íî, òî ñóùåñòâóþò òàêèå
äâå 5 ðàçíûå ïàðû íàòóðàëüíûõ ÷èñåë a; b è A; B ,
÷òî
a2 - db2 = c = A2 - dB2
è
aº A
bºB
mod c ,
mod c .
(Ïðîäóìàéòå ýòî!) Ðàññìîòðèì ÷àñòíîå
1
(b2ξ − [b2ξ]) − (b1ξ − [b1ξ]) ≤ N + 1 ,
òàê ÷òî äîñòàòî÷íî âçÿòü b = b2 − b1 è a = [b2 ξ] − [b1ξ] .
Îñòàëüíûå äâà ñëó÷àÿ ñòîëü æå î÷åâèäíû: åñëè
{bξ} − 0 ≤
1 − {bξ} ≤
1
,
N +1
ãäå 1 ≤ b1 < b2 ≤ N , òî
4 Êâàíò ¹ 6
13
ÏÅËËß
1
,
N +1
a -b d A+ B d
A+B d
=
=
a +b d
a2 - db2
aA - bBd + aB - Ab d
=
.
c
5 Íà ñàìîì äåëå äàæå íå äâå, à áåñêîíå÷íî ìíîãî, íî íàì ýòî íå
íóæíî.
ÊÂÀÍT 2002/¹6
14
Ïîñêîëüêó
íîå ÷àñòíîå: a1 = [β]. Åñëè {β} = 0, òî ðàçëîæåíèå
ïîëó÷åíî. Åñëè æå {β} > 0, òî
(mod c )
aA - bBd º a 2 - b2d = c º 0
è
β = a1 +
(mod c ) ,
aB - Ab º ab - ab = 0
òî ÷èñëà x = ( aA - bBd ) c è y = ( aB - Ab ) c öåëûå.
Òàê êàê
(
)(
)
x 2 - dy 2 = x - y d x + y d =
=
A-B d A+B d
A2 - dB2 c
×
= 2
= =1
c
a -b d a +b d
a - db2
è y ¹ 0 , òî ( x; y ) – èñêîìîå íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå
óðàâíåíèÿ Ïåëëÿ!
Óïðàæíåíèÿ
59. Äîêàæèòå, ÷òî y ¹ 0 .
60. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n
ñóùåñòâóþò òàêèå íàòóðàëüíûå x è y, ÷òî x 2 - 3y 2 = 1 è y
äåëèòñÿ íà 3n , îäíàêî ñòåïåíüþ òðîéêè y áûòü íå ìîæåò (çà
òðèâèàëüíûì èñêëþ÷åíèåì y = 1).
Öåïíûå äðîáè
2
Öåïíàÿ äðîáü ÷èñëà
Î÷åâèäíî,
íî,
(
)(
)
2 + 1 = 2 - 1 = 1 è, ñëåäîâàòåëü-
2 -1
2 -1 =
1
.
1+ 2
Âîñïîëüçóåìñÿ ýòîé ôîðìóëîé ìíîãî-ïðåìíîãî ðàç:
2 = 1+
(
)
2 -1 = 1+
= 1+
= 1+
2+
1
2+
1
(
1
=
1+ 2
1
)
2 -1
= 1+
1
2+
1+ 2
=K = 1+
1
2+
1+ 2
1
1
2+
2+
=
1
2+
.
ãäå γ > 1 . È òàê äàëåå, è òàê äàëåå, ïîêà î÷åðåäíîå
÷èñëî íå îêàæåòñÿ öåëûì èëè – äî áåñêîíå÷íîñòè
(òî÷íåå, ïîêà íå íàñòóïèò êîíåö ñâåòà).
Åñëè èñõîäíîå ÷èñëî α èððàöèîíàëüíî, òî è β , è γ ,
è âñå âîçíèêàþùèå äàëåå òàêèå ÷èñëà èððàöèîíàëüíû,
òàê ÷òî ïðîöåññ ðàçëîæåíèÿ â öåïíóþ äðîáü íèêîãäà íå
îñòàíîâèòñÿ è äàñò áåñêîíå÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
a0 , a1, a2 , K ýëåìåíòî⠖ òàê íàçûâàåìûõ íåïîëíûõ
÷àñòíûõ.
Îáðûâàÿ öåïíóþ äðîáü ÷èñëà 2 â ðàçíûõ ìåñòàõ,
ïîëó÷àåì ïîäõîäÿùèå äðîáè:
1
1 3
; 1+ = ; 1+
1
2 2
Ìû ïîëó÷èëè ðàçëîæåíèå ÷èñëà 2 â öåïíóþ äðîáü.
Âïðî÷åì, ÷òî ýòî çíà÷èò – ðàçëîæèòü äàííîå ÷èñëî α
â öåïíóþ äðîáü? Ýòî çíà÷èò, ïðåæäå âñåãî, âûäåëèòü
åãî öåëóþ ÷àñòü, ò.å. ïðåäñòàâèòü åãî â âèäå
α = [α ] + {α} ,
ãäå [α ] – öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà α , ò.å. òàêîå öåëîå ÷èñëî,
÷òî [ α] £ α < [ α] + 1. Îáîçíà÷àåì: a0 = [ α ]. Åñëè α –
öåëîå ÷èñëî, òî {α} = 0, è ïðîöåññ ðàçëîæåíèÿ â
öåïíóþ äðîáü íà ýòîì îáðûâàåòñÿ. Åñëè æå {α} > 0 , òî
1
÷èñëî α ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå α = a0 + , ãäå
β
β > 1. Çàïèñàâ β = [β] + {β}, íàõîäèì ñëåäóþùåå íåïîë-
1
2+
1
2
=
1
17
7
=
; 1+
;...
1
12
5
2+
1
2+
2
Íàøè ñòàðûå çíàêîìûå!
Ìîæåò áûòü, ýòî ñëó÷àéíîå ñîâïàäåíèå? Íåò, åñëè
n-ýòàæíàÿ äðîáü (ò.å. äðîáü, â êîòîðîé n äâîåê)
ïðèâîäèòñÿ ê íåñîêðàòèìîìó âèäó x/y, òî (n + 1)ýòàæíàÿ äðîáü ðàâíà
y
x + 2y
1
.
= 1+
=
1+
x
x+y
x+y
1+
y
Î÷åâèäíî, ÍÎÄ(x + 2y, x + y) = ÍÎÄ(y, x + y) =
= ÍÎÄ(x, y), òàê ÷òî äðîáü (x + 2y)/(x + y) òîæå
íåñîêðàòèìà. Ïîýòîìó óâåëè÷åíèå êîëè÷åñòâà äðîáíûõ
÷åðò íà åäèíèöó – ýòî ïåðåõîä îò íåñîêðàòèìîé äðîáè
x/y ê íåñîêðàòèìîé äðîáè (x + 2y)/(x + y). À ýòî è
åñòü ôîðìóëû ïåðâîé ÷àñòè ñòàòüè!
Ïîäõîäÿùèå äðîáè 1/1, 3/2, 7/5, 17/12,... çàìå÷àòåëüíû òåì, ÷òî äàþò (ïîïåðåìåííî, ñëåâà è ñïðàâà)
âåñüìà òî÷íûå ïðèáëèæåíèÿ ÷èñëà 2 . À èìåííî,
1 7 41 239
99 17 3
< <
<
<K< 2 <K<
<
< .
1 5 29 169
70 12 2
1
1
2+O
1
γ,
Îöåíèòü ïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåíèÿ íåñëîæíî:
x
- 2 =
y
(x - y 2 )(x + y 2 ) = x - 2y =
æx
ö
y (x + y 2 )
y ç + 2÷ y
èy
ø
2
=
2
2
Íàïðèìåð,
0<
17
- 2=
12
0< 2-
41
=
29
1
.
x
æ
ö
2
çè y + 2 ÷ø
1
1
< 2
< 0,0025 ,
17
æ
ö
×
12
2
2
2
12 ç 2 + ÷
è
12 ø
1
41 ö
æ
29 2 ç 2 +
è
29 ø÷
<
1
29 2 × 2 ×
41
29
< 0,00043 ,
ÓÐÀÂÍÅÍÈß
òàê ÷òî äðîáü 17/12 ïðèáëèæàåò ÷èñëî 2 ñ òî÷íîñòüþ
0,0025, à äðîáü 41/29 – ñ òî÷íîñòüþ 0,00043.
Óïðàæíåíèÿ
61. Ñóùåñòâóåò ëè äðîáü, êîòîðàÿ ïðèáëèæàåò ÷èñëî 2 ñ
òî÷íîñòüþ äî îäíîé ìèëëèîííîé, à åå çíàìåíàòåëü – òðåõçíà÷íîå ÷èñëî?
62. Äîêàæèòå ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
m
à) Åñëè m, n – íàòóðàëüíûå ÷èñëà è
2 > , òî
n
m
1
> 2
2.
n 2n 2
m
1
á) Åñëè m, n – íàòóðàëüíûå ÷èñëà, òî
- 2 > 2 .
n
4n
â) Ñóùåñòâóåò òàêàÿ áåñêîíå÷íàÿ îãðàíè÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü x1, x2, x3 ,K , ÷òî äëÿ ëþáûõ ðàçëè÷íûõ m è n
1
âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî xn - xm ³
. (Ýòîò ïóíêò ðån-m
øàëè â 1978 ãîäó øêîëüíèêè äâóõ ñàìûõ ñòàðøèõ êëàññîâ íà
Âñåñîþçíîé ìàòåìàòè÷åñêîé îëèìïèàäå.)
1
m
ã) Åñëè ε > 0 , òî íåðàâåíñòâî
èìå- 2 <
n
ε + 2 2 n2
åò ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî ðåøåíèé â íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ
m, n.
63. Äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà a ðàññìîòðèì
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ïåðâûé ÷ëåí êîòîðîé a1 = a , à êàæäûé
ñëåäóþùèé âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå an +1 = 2 + an 1 + an .
Äîêàæèòå, ÷òî lim an = 2 .
n®¥
3
Öåïíàÿ äðîáü ÷èñëà
3 òàê æå, êàê ìû ïîñòóïàëè ñ
Ïîñòóïèì ñ
3 = 1+
= 1+
= 1+
2:
3 -1 =
1
3 +1 2
1
1+
2+
1
= 1+
1
1
=1+
=
1
3 -1
+
1
1+
2
3 +1
= 1+
3 -1
K = 1+
1
1+
2+
1
=K
1
1
1+
2+
1+
3 +1 2
2+
1
.
1
1+
1
1
2+
1+
1
1+
2+
1
1+
=
1
1
2+
26
.
15
1
1
Çàìåòèì:
12 - 3 × 1 = -2,
22 - 3 × 12 = 1,
52 - 3 × 32 = -2,
72 - 3 × 42 = 1,
192 - 3 × 112 = -2, 262 - 3 × 152 = 1,
òàê ÷òî ïîëîâèíà äðîáåé «ëèøíèå» – îíè äàþò ðåøåíèÿ
íå óðàâíåíèÿ x 2 - 3y2 = 1 , à óðàâíåíèÿ x 2 - 3y2 = -2 .
(Êàê âû ïîìíèòå, ïîäõîäÿùèå äðîáè ÷èñëà 2 îáëàäàþò àíàëîãè÷íûì ñâîéñòâîì.)
Óïðàæíåíèå 64. Åñëè íà÷àòü ñ äðîáè 1/1 èëè 2/1 è
x
x + 3y
, òî âñå äðîáè, êîòîðûå
ïðèìåíÿòü ïðàâèëî
®
y
x + 2y
áóäóò ïðè ýòîì ïîëó÷åíû, ÿâëÿþòñÿ ïîäõîäÿùèìè äðîáÿìè
÷èñëà 3 . Äîêàæèòå ýòî.
 ñëåäóþùåé ÷àñòè ñòàòüè ìû äîêàæåì ìíîãèå óäèâèòåëüíûå ñâîéñòâà öåïíûõ äðîáåé.  ÷àñòíîñòè, åñëè
x
1
< 2 .
x/y – ïîäõîäÿùàÿ äðîáü ÷èñëà ξ , òî ξ y
y
2
2
Êðîìå òîãî, åñëè x - dy = 1 è x, y – íàòóðàëüíûå
÷èñëà, òî x/y – ïîäõîäÿùàÿ äðîáü ÷èñëà d , òàê ÷òî
äëÿ ïîèñêà ðåøåíèÿ (x; y) óðàâíåíèÿ Ïåëëÿ ñëåäóåò
ïåðåáèðàòü ëèøü ïîäõîäÿùèå äðîáè ÷èñëà d . À âîò
îáðàòíîå óòâåðæäåíèå, êàê âèäíî íà ïðèìåðàõ d = 2 è
d = 3, ëîæíî: íå êàæäàÿ ïîäõîäÿùàÿ äðîáü ñîîòâåòñòâóåò ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ Ïåëëÿ.
Âðÿä ëè âàì óäàñòñÿ ñàìîñòîÿòåëüíî ñîçäàòü òåîðèþ
öåïíûõ äðîáåé. Íî ïîýêñïåðèìåíòèðîâàòü, ðàçëàãàÿ
ðàçíûå ÷èñëà (è ðàöèîíàëüíûå, è èððàöèîíàëüíûå) â
öåïíûå äðîáè è âû÷èñëÿÿ ïîäõîäÿùèå äðîáè, î÷åíü
ïîëåçíî. Õîòÿ áû îäíó-äâå èíòåðåñíûå çàêîíîìåðíîñòè
îáÿçàòåëüíî îáíàðóæèòå! Íàïðèìåð, ïîñòàðàéòåñü âûÿñíèòü, êàê ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé àíãëèéñêèé ìåòîä
ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ x 2 - dy 2 = 1 è öåïíàÿ äðîáü ÷èñëà
d.
(Ïðîäîëæåíèå ñëåäóåò)
1
1
1+ O
Âûïèøåì íåñêîëüêî ïåðâûõ ïîäõîäÿùèõ äðîáåé:
1
1 2
1
5
= ;
; 1+ = ; 1+
1
1 1
1 3
1+
2
1
19
1
7
=
= ; 1+
1+
;
1
11
1
4
1+
1+
1
1
2+
2+
1
1
1+
2
4*
15
ÏÅËËß